Penjumlahan Vektor - · PDF fileContoh lain dari besaran vektor adalah perpindahan, gaya,...

SERI EBOOK GURUMUDA

Alexander san lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009

1

Penjumlahan Vektor

Edisi Kedua

Untuk SMA kelas X

(Telah disesuaikan dengan KTSP)

Penulis

Alexander san lohat

(san)

Lisensi Dokumen : Copyright © 2008‐2009 GuruMuda.Com Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com.

SERI EBOOK GURUMUDA


2

Contact Person

Anda bisa menghubungi saya melalui beberapa jalur di bawah :

Blog : http://www.gurumuda.com

Email : [email protected]

Testimonial dan Saran

Apapun pendapat anda mengenai tulisan saya, silahkan memberikan testimonial atau saran konstruktif demi pengembangan ebook ini menjadi lebih baik. Testimonial atau saran yang bersifat membangun

dari anda bisa dikirim ke email berikut :

[email protected]

Terima kasih atas partisipasi anda

SERI EBOOK GURUMUDA


3

Materi Pembelajaran :

Penjumlahan Vektor

Tujuan Pembelajaran :

Kompetensi Dasar :

Melakukan penjumlahan vektor

Indikator :

a. Menjumlahkan dua vektor atau lebih secara grafis b. Menjumlahkan dua vektor secara analisis

Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.

Selamat belajar ☺

SERI EBOOK GURUMUDA


4

Konsep Besaran Vektor

vektor tuH apa sich ? vektor tuh sejenis roti bakar ;) hiks2... vektor tuh besaran fisika yang mempunyai nilai dan arah. Temannya vektor itu skalar. Skalar merupakan besaran fisika yang hanya punya nilai saja. Contoh : berapa massa tubuh anda ? misalnya anda menjawab, massa tubuh saya adalah 40 kg arahnya ke timur. Aneh khan pernyataan ini ? ya aneh bahkan lucu karena massa tubuh kita hanya punya nilai alias besar saja. Ini contoh besaran skalar

Kalau saya mengatakan sepeda motor saya bergerak dengan kecepatan 40 km/jam. Apa informasi ini sudah cukup bagi anda ? belum... anda pasti bingung, saya sedang pergi ke mana. Ilustrasinya seperti ini. Misalnya anda mau pergi ke toko buku. Anda menghampiri taxi atau ojek yang sedang parkir di pinggir jalan, lalu tanpa sadar bilang... pak, cepat ya pak. Selesai... apa sopir taxi atau abang ojeknya tidak bingung ? malah anda bisa dibawa ke mall atau jalan2 keliling kota. Apa yang kurang dalam pernyataan anda ? Arah ! mau ke mana de ? nah, ini merupakan contoh besaran vektor

Contoh lain dari besaran vektor adalah perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dkk... jangan dihafal. Coba pahami saja, mengapa perpindahan atau gaya termasuk besaran vektor. Demikian juga mengapa massa, usaha, energi dkk termasuk besaran skalar

Menggambar Vektor

Sebelum kita belajar menjumlahkan vektor, pahami terlebih dahulu bagaimana cara menggambar vektor. Vektor itu besaran yang punya nilai dan arah. Oleh karena itu, dalam menggambarkan vektor, selain besar, kita juga perlu memperhatikan arah.

Dalam gambar, besar suatu vektor biasa dinyatakan dengan satuan panjang atau skala tertentu. Sedangkan arah vektor biasa dinyatakan dalam sudut atau arah mata angin.

Contoh 1 :

Sebuah mobil sedang bergerak ke utara dengan kecepatan 60 km/jam. Gambarkan vektor kecepatan mobil tersebut.

Untuk contoh ini, kita bisa menetapkan skala 10 km/jam = 1 satuan. Atau kalau skala ini membuat gambar kita terlalu panjang, gunakan skala lain. Misalnya 20 km/jam = 1 satuan. Bagaimana dengan arah ? arah kecepatan mobil ke utara, sehingga arah vektor kecepatan yang kita gambar perlu berpatokan pada arah mata angin. Perhatikan gambar di bawah

SERI EBOOK GURUMUDA


5

Contoh 2 :

Sebuah mobil bergerak ke timur sejauh 60 km. Gambarkan vektor perpindahan mobil tersebut.

Contoh 3 :

Vektor gaya 20 N dalam arah 45o terhadap sumbu x positif

Contoh 4 :

Gaya 40 N dalam arah ‐30o terhadap sumbu y (ke kanan)

SERI EBOOK GURUMUDA


6

Contoh 5 :

Gaya 120 N, 120o terhadap sumbu x

Contoh 6 :

Vektor perpindahan 80 m, ‐60o terhadap sumbu x

SERI EBOOK GURUMUDA


7

Menjumlahkan Vektor

Dalam menjumlahkan vektor, kita bisa menggunakan cara grafis dan cara analitis. Penjumlahan vektor secara grafis dan analitis itu maksudnya bagaimana ? penjumlahan vektor secara grafis = menjumlahan vektor menggunakan gambar, sedangkan penjumlahan vektor secara analitis = menjumlahan vektor menggunakan perhitungan.

Menjumlahkan dua vektor atau lebih sama saja dengan kita mencari vektor resultannya. Bedanya, pada cara grafis kita menentukan vektor resultan menggunakan gambar, sedangkan pada cara analitis kita tidak menggunakan gambar, tapi pakai perhitungan.

Menjumlahkan 2 Vektor atau Lebih Secara Grafis

Terdapat beberapa metode alias cara menjumlahkan vektor secara grafis, antara lain cara segitiga, cara poligon dan cara jajaran genjang. Ketiga cara ini dinamakan sesuai dengan bentuk gambarnya.

Cara Segitiga

Cara segitiga hanya bisa digunakan untuk menentukan vektor resultan dua vektor. Dengan kata lain, kita hanya bisa menggunakan cara segitiga untuk menggambar penjumlahan 2 vektor. Perhatikan contoh di bawah :

Contoh :

Gambarkan penjumlahan kedua vektor di bawah ini dengan cara segitiga.

SERI EBOOK GURUMUDA


8

Misalnya C adalah vektor resultan.

C = A + B

C = A ‐ B

Catatan :

Cara segitiga hanya bisa digunakan untuk menggambar penjumlahan dua vektor. Lebih dari dua tidak bisa, karena hasilnya bukan segitiga tapi malah segi banyak...

SERI EBOOK GURUMUDA


9

Cara Poligon

Poligon = segi banyak atau banyak sudut. Jadi cara poligon merupakan cara menggambar penjumlahan lebih dari dua vektor. Kita tidak bisa menggambar penjumlahan lebih dari dua vektor menggunakan cara segitiga, sehingga kita menggunakan cara poligon alias segi banyak

Contoh 1 :

Gambarkan penjumlahan vektor di bawah ini dengan cara poligon.

D = vektor resultan

Contoh 2 :

SERI EBOOK GURUMUDA


10

Gambarkan penjumlahan vektor di bawah ini dengan cara poligon.

E = vektor resultan

Di atas hanya beberapa contoh saja. Dipahami perlahan‐lahan, setelah itu anda bisa mengembangkannya.

Cara Jajaran Genjang

Dengan cara jajaran genjang, kita bisa menggambar resultan dari penjumlahan 2 atau lebih vektor. Berbeda dengan cara segitiga yang hanya bisa menggambar penjumlahan 2 vektor saja atau cara poligon yang hanya bisa menggambar penjumlahan lebih dari dua vektor saja. Paham ya....

SERI EBOOK GURUMUDA


11

Contoh 1 :

Gambarkan penjumlahan 2 vektor di bawah ini dengan cara jajaran genjang.

C = vektor resultan

Contoh 2 :

Gambarkan penjumlahan vektor di bawah ini dengan cara jajaran genjang.

Contoh 3 :

Gambarkan penjumlahan vektor di bawah ini dengan cara jajaran genjang.

SERI EBOOK GURUMUDA


12

Dipahami perlahan‐lahan ........ tanda negatif menunjukan bahwa arah vektor berlawanan.

Menentukan besar dan arah vektor Resultan dengan metode grafis merupakan salah satu pendekatan. Ketelitian hasil yang diperoleh juga sangat bergantung pada skala gambar, ketelitian mistar, busur derajat serta ketepatan anda dalam menggambar dan membaca skala. Jika anda ingin menentukan besar dan arah vektor Resultan secara lebih tepat, dapat digunakan perhitungan matematis (bukan dengan pengukuran), yakni menggunakan cara analitis

SERI EBOOK GURUMUDA


13

Menjumlahkan 2 Vektor Secara Analitis

Menjumlahkan vektor secara analitis terdiri beberapa cara, antara lain dengan menggunakan rumus phytagoras, dengan rumus cosinus, dan vektor komponen. (Menjumlahkan vektor = menentukan vektor resultan)

Terlebih dahulu kita pelajari bagaimana menjumlahkan vektor yang segaris kerja.

Menentukan Resultan Vektor yang segaris kerja

Vektor yang segaris kerja itu seperti apa ? vektor yang segaris, baik searah maupun berlawanan arah.

Contoh 1 : vektor sejajar sumbu x

A = 2 satuan, ke kanan

B = 4 satuan, ke kanan

Contoh 2 : vektor sejajar sumbu y

A = Perpindahan, 5 meter ke utara

B = Perpindahan, 3 meter ke selatan

SERI EBOOK GURUMUDA


14

(Ketentuan : arah utara = arah positif, arah selatan = arah negatif)

A ‐ B

A + B

Resultan dari vektor‐vektor yang segaris kerja bisa kita tentukan dengan hukum berhitung alias penjumlahan dan pengurangan biasa. Masalahnya, hukum berhitung hanya bisa digunakan untuk menentukan resultan dari vektor‐vektor yang berada pada satu dimensi. Untuk contoh di atas, vektor‐vektor yang dijumlahkan sama‐sama sejajar sumbu x atau sejajar sumbu y.

SERI EBOOK GURUMUDA


15

Persoalan mulai muncul ketika dua atau lebih vektor tidak saling sejajar. Kita tidak bisa menentukan vektor resultan dengan penjumlahan biasa. Lalu bagaimana kita menjumlahkan vektor‐vektor yang tidak saling sejajar ? Terdapat beberapa cara, antara lain : Pertama, menggunakan rumus phytagoras; Kedua, menggunakan rumus cosinus; Ketiga, menggunakan vektor komponen.

Apakah ketiga cara ini memiliki perbedaan ? ya.... ketiga cara ini berbeda, tetapi sama karena digunakan untuk menentukan vektor resultan. Terus perbedaannya bagaimana ? agar anda semakin memahaminya, silahkan pelajari terlebih dahulu ketiga metode tersebut. Perbedaan antara ketiga cara penentuan vektor resultan ini akan dijelaskan pada bagian akhir tulisan.

(Menjumlahkan dua atau lebih vektor dengan cara analitis biasanya dilakukan dalam dua tahap. Tahap pertama, menentukan besar vektor resultan. Tahap kedua, menentukan arah vektor resultan. Untuk menghitung besar dan arah vektor resultan, kita menggunakan rumus)

Menentukan Vektor Resultan dengan rumus Phytagoras

Vektor‐vektor seperti apakah yang resultannya bisa ditentukan menggunakan rumus phytagors ? Anda tahu, rumus phytagoras biasa digunakan pada apa ? segitiga siku‐siku. Jadi kita hanya bisa menggunakan rumus phytagoras untuk menentukan resultan vektor‐vektor yang saling tegak lurus atau berbentuk segitiga siku‐siku. Dengan demikian, rumus phytagoras otomatis hanya bisa dipakai untuk menjumlahkan 2 vektor.

Contoh 1 :

Dua vektor perpindahan, A dan B

A = 40 km searah sumbu x positif

B = 30 km searah sumbu y negatif (B = ‐30 km)

Bagaimana menentukan resultan vektor ini dengan cara phytagoras ? gampang... kita melewati dua tahap.

SERI EBOOK GURUMUDA


16

Pertama, menentukan besar vektor resultan

Masih ingat rumus phytagoras ?

R2 = A2 + B2

R2 = (40 km)2 + (‐30 km)2

R2 = 1600 km2 + 900 km2

R2 = 2500 km2

R = 50 km

Kedua, menentukan arah vektor resultan

Bagaimana menentukan arah vektor resultan ? arah vektor resultan biasanya dinyatakan dengan sudut. Dalam hal ini, arah vektor resultan berpatokan pada koordinat (x,y). Anda masih ingat rumus sin, cos dan tan ? jika sudah lupa, cermati gambar di bawah ni.

Selanjutnya terserah anda, mau menggunakan sin, cos atau tangen... sebaiknya menggunakan Tangen, karena nilai A dan B telah diketahui sebelumnya.

SERI EBOOK GURUMUDA


17

AB

=θtan

kmkm

4030tan −

=θ

75,0tan −=θ

)75,0(tan 1 −= −θ

o87,36−=θ

Jadi arah vektor resultan (R) adalah ‐36,87o terhadap sumbu x positif.

Contoh 2 :

Dua vektor Gaya, A dan B

A = 30 N searah sumbu x negatif (A = ‐40 N)

B = 40 N searah sumbu y positif


SERI EBOOK GURUMUDA


18

R2 = A2 + B2

R2 = (‐30 km)2 + (40 km)2

R2 = 900 km2 + 1600 km2

R2 = 2500 km2

R = 50 km


Perhatikan tanda...

AB

=θtan

kmkm

3040tan−

=θ

33,1tan −=θ

)33,1(tan 1 −= −θ

o06,53−=θ

Jadi arah vektor resultan (R) adalah ‐36,87o terhadap sumbu x negatif (ke atas / searah jarum jam)

(Jika dua buah vektor saling tegak lurus atau membentuk sudut siku‐siku, maka kita dapat menggunakan rumus phytagoras untuk menentukan vektor resultan kedua vektor tersebut)

SERI EBOOK GURUMUDA


19

Menentukan Vektor Resultan dengan rumus Cosinus

Bagaimana jika dua vektor tidak saling tegak lurus alias tidak bisa membentuk sudut siku‐siku ? Untuk menghitung vektor resultannya, kita menggunakan rumus cosinus... Kita tidak bisa menggunakan rumus phytagoras untuk kasus ini, karena kedua vektor tidak membentuk sudut siku‐siku.

(Rumus phytagoras dan rumus cosinus hanya bisa digunakan untuk menentukan Resultan dari dua vektor. Apabila terdapat lebih dari 2 vektor, kita tidak bisa menggunakan rumus phytagoras dan rumus cosinus untuk menentukan vektor resultan. Jangan dihafal ! pahami saja, lalu coba cari tahu alasannya)

Ada dua tahap yang harus kita lewati, yakni : menentukan besar vektor resultan dan menentukan arahnya.

Untuk menentukan besar vektor resultan, kita menggunakan rumus :

),(cos222 BAABBAC ∠++=

Arah vektor resultan ditentukan dengan rumus sinus :

),(sin),(sin),(sin BAC

CAB

CBA

∠=

∠=

∠

Cara penurunan rumus ini sudah dijelaskan pada modul vektor dan skalar gurumuda.com. jadi di sini tidak dijelaskan lagi. Untuk mempermudah pemahaman dirimu, cermati contoh soal berikut ini :

Contoh 1 :

2 vektor gaya :

F1 = 3 N, sejajar sumbu x positif;

F2 = 5 N, membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif;

SERI EBOOK GURUMUDA


20

Terlebih dahulu kita gambar vektor resultan menggunakan metode jajaran genjang :


),(cos))((2 21212

22

1 FFFFFFR ∠++=

oNNNNR 30cos)5)(3(2)5()3( 22 ++=

)87,0(30259 222 NNNR ++=

21,60 NR =

NR 75,7=

R = Vektor resultan


θ = 30o

150o = 180o ‐ θ

α2

150FR

o =

αSinN

SinN

o

515075,7

=

NN

SinSin

o 75,75

150=

α

SERI EBOOK GURUMUDA


21

oSinN

NSin 15075,75

=α

)5,0(75,75

NNSin =α

32,0=αSin

32,0sin 1−=α

o81,18=α

Vektor resultan berada pada 18,81o terhadap sumbu x

Contoh 2 :

Dua buah vektor perpindahan, masing2 L1 dan L2. Vektor perpindahan L1 besarnya 40 meter dan membentuk sudut 60o terhadap x positif. Sedangkan vektor perpindahan L2 besarnya 30 meter dan membentuk sudut 15o terhadap sumbu x. Tentukan besar dan arah resultannya

Terlebih dahulu kita gambar vektor resultan menggunakan metode jajaran genjang :

SERI EBOOK GURUMUDA


22


),(cos))((2 21212

22

1 LLLLLLR ∠++=

ommmmR 45cos)30)(40(2)30()40( 22 ++=

)7,0(24009001600 222 mmmR ++=

24180mR =

mR 6,64=

R = Vektor resultan


θsin)45180sin(1LR

oo =−

θSinm

Sinm

o

401356,64

=

oSinm

mSin 1356,64

40=θ

44,0=θSin

SERI EBOOK GURUMUDA


23

44,0sin 1−=θ

o26=θ

Jadi, arah vektor resultan adalah :

26o + 15o = 41o

Vektor resultan berada pada 41o terhadap sumbu x

Menentukan Vektor Resultan menggunakan Vektor Komponen

Sebelum kita belajar menjumlahkan dua vektor dengan metode alias cara vektor komponen, terlebih dahulu kita memahami konsep vektor komponen. Vektor komponen itu makhluk apa‐kah ?

Dalam menggambarkan sesuatu, kita selalu menggunakan koordinat x dan y (untuk dua dimensi) atau koordinat xyz (untuk tiga dimensi). Nah, apabila sebuah vektor membentuk sudut terhadap sumbu x maka kita bisa menguraikan vektor tersebut ke dalam komponen sumbu x atau komponen sumbu y (koordinat xy). Kedua vektor komponen tersebut biasanya saling tegak lurus.

Untuk memudahkan pemahaman anda, kita gambarkan sebuah vektor Gaya pada bidang koordinat xy, sebagaimana tampak pada gambar di bawah (ini hanya contoh)

Vektor gaya F yang membentuk sudut θ terhadap sumbu x positif, diuraikan menjadi komponen sumbu x, yaitu Fx dan dan komponen pada sumbu y, yakni Fy. Ini merupakan contoh vektor komponen.

Bagaimana menentukan besar vektor komponen ? Perhatikan gambar di bawah

SERI EBOOK GURUMUDA


24

Dengan demikian,

Besar vektor komponen Fx → Fx = F cos θ

Besar vektor komponen Fy → Fy = F sin θ

Besar vektor resultan → F = 22 )()( FyFx +

Terus arah vektor resultannya bagaimanakah ?

Untuk menentukan arah vektor resultan, kita menggunakan rumus tangen. Kita menggunakan rumus tangen karena komponen Fx dan Fy diketahui.

FxFy

=θtan

FxFy1tan −=θ

Contoh 1 :

Tentukanlah komponen‐komponen vektor gaya F yang besarnya 50 N dan membentuk sudut 30o terhadap sumbu x positif (lihat gambar)

SERI EBOOK GURUMUDA


25

Panduan Jawaban :

Yang ditanyakan pada soal di atas adalah komponen vektor F pada sumbu x (Fx) dan komponen vektor F pada sumbu y (Fy).

Komponen vektor F pada sumbu x (Fx)

)30)(cos50(cos oNFFx == θ

)87,0)(50( NFx =

NFx 5,43=

Komponen vektor F pada sumbu y (Fy)

)30)(sin50(sin oNFFx == θ

)5,0)(50( NFx =

NFx 25=

Selesai…..

Contoh 2 :

Tentukan besar dan arah vektor perpindahan (L), di mana komponen sumbu x‐nya = 30 m dan komponen sumbu y‐nya = 40 m.

Panduan Jawaban :

Kita menggambar indah dulu ya………

SERI EBOOK GURUMUDA


26

Lx = 30 m

Ly = 40 m

Besar vektor perpindahan (L) adalah :

22 )()( LyLxL +=

22 )40()30( mmL +=

22 1600900 mmL +=

22500mL =

mL 50=

Arah vektor perpindahan (L) adalah :

LxLy

=θtan

mm

3040tan =θ

33,1tan =θ

33,1tan 1−=θ

o53=θ

Ternyata vektor perpindahan L membentuk sudut 53o terhadap sumbu x…

SERI EBOOK GURUMUDA


27

Contoh 3 :

Dua buah vektor gaya, masing2 F1 dan F2. Vektor gaya F1 besarnya 30 N dan membentuk sudut 30o

terhadap x positif. Sedangkan vektor gaya F2 besarnya 40 N dan membentuk sudut 60o terhadap sumbu x. Tentukan besar dan arah resultannya...

Panduan Jawaban :

Menggambar indah lagi………

Langkah pertama : menggambar masing‐masing vektor dan menguraikannya ke dalam komponen sumbu x dan sumbu y.

Langkah kedua : menghitung besar masing‐masing vektor komponen

F1x = F1 cos θ = 30 N cos 30º = (30) (0,87) = 26 N

F1y = F1 sin θ = 30 N sin 30º = (30) (0,5) = 15 N

F2x = F2 cos θ = 40 N cos 60º = (40) (0,5) = 20 N

F2y = F2 sin θ = 40 N sin 60º = (40) (0,87) = 34,6 N

SERI EBOOK GURUMUDA


28

Langkah ketiga : menjumlahkan komponen vektor yang sejenis

Fx = F1x + F2x = 26 N + 20 N = 46 N

Fy = F1y + F2y = 15 N + 34,6 N = 49,6 N

Langkah keempat : menghitung besar vektor resultan

22 )()( FyFxF +=

22 )6,49()46( NNF +=

22 16,24602116 NNF +=

216,4576 NF =

NF 6,67=

Besar vektor resultan adalah 67,6 N

Langkah kelima : menentukan arah vektor resultan

FxFyTan =θ

466,49

=θTan

08,1=θTan

08,11−= Tanθ

o15,47=θ

Jadi arah vektor resultan adalah 47,15o terhadap sumbu x positif

SERI EBOOK GURUMUDA


29

Contoh 4 :

Dua buah vektor gaya, masing2 F1 dan F2. Vektor gaya F1 besarnya 30 N dan membentuk sudut 150o

terhadap x positif. Sedangkan vektor gaya F2 besarnya 40 N dan membentuk sudut 210o terhadap sumbu x. Tentukan besar dan arah resultannya.....

Panduan jawaban :

Menggambar indah lagi………

Langkah pertama : menggambar masing‐masing vektor dan menguraikannya ke dalam komponen sumbu x dan sumbu y.

Langkah kedua : menghitung besar masing‐masing vektor komponen

F1x = F1 cos θ = 30 N cos 150º = (30) (‐0,87) = ‐26 N

F1y = F1 sin θ = 30 N sin 150º = (30) (0,5) = 15 N

F2x = F2 cos θ = 40 N cos 210º = (40) (‐0,87) = ‐34,8 N

SERI EBOOK GURUMUDA


30

F2y = F2 sin θ = 40 N sin 210º = (40) (‐0,5) = ‐20 N

Langkah ketiga : menjumlahkan komponen vektor yang sejenis

Fx = F1x + F2x = ‐26 N – 34,8 N = ‐60,8 N

Fy = F1y + F2y = 15 N ‐ 20 N = ‐5 N

Langkah keempat : menghitung besar vektor resultan

22 )()( FyFxF +=

22 )5()8,60( NNF −+−=

22 2564,3696 NNF +=

264,3721 NF =

NF 61=

Besar vektor resultan adalah 61 N

Langkah kelima : menentukan arah vektor resultan

FxFyTan =θ

NNTan8,60

5−−

=θ

08,0=θTan

08,01−=Tanθ

o7,4=θ

SERI EBOOK GURUMUDA


31

Karena Fx dan Fy bernilai negatif, maka vektor resultan berada di antara sumbu x negatif dan sumbu y negatif.

Jadi arah vektor resultan adalah 4,7o terhadap sumbu x negatif

Semoga Sukses……….. ☺

SERI EBOOK GURUMUDA


32

Referensi :

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga

Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Penjumlahan Vektor - · PDF fileContoh lain dari besaran vektor adalah perpindahan, gaya,...

Documents

Transcript of Penjumlahan Vektor - · PDF fileContoh lain dari besaran vektor adalah perpindahan, gaya,...