Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Pengolahan Sinyal DigitalSistem & Sinyal Waktu Diskrit

Beny Nugraha, MT, M.Sc

02

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Definisi Sistem Waktu Diskrit• Sistem waktu diskrit adalah divais atau

algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu diskrit.

• Sistem ini mendapatkan masukan (input) x(n), dan menghasilkan sinyal waktu diskrit lain dinamakan keluaran atau respons sistem y(n).

Definisi Sistem Waktu Diskrit• Ilustrasi dari sistem waktu diskrit dapat dilihat

pada gambar berikut:

• Di mana x(n) dan y(n) adalah sinyal waktu diskrit.

Definisi Sistem Waktu Diskrit

• y(n) adalah transformasi dari x(n). y(n) disebut jg respon sistem. Bentuk matematis sistem di atas adalah:

Definisi Sistem Waktu Diskrit• Masukan dan keluaran dari suatu sistem waktu

diskrit terdiri dari suatu pernyataan matematis atau suatu aturan.

• Aturan ini secara eksplisit mendefinisikan hubungan antara sinyal masukan dan sinyal keluaran (hubungan masukan – keluaran).

• Sementara, struktur internal eksak dari sistem tidak diketahui atau diabaikan.

Definisi Sistem Waktu Diskrit• Sistem diasumsikan sebagai suatu “kotak

hitam” terhadap pemakai Cara untuk berinterakasi dengan sistem hanya dengan menggunakan terminal masukan dan terminal keluarannya.

Sistem Waktu Diskrit

Contoh:Tentukan respons sistem terhadap sinyal:

Tentukan:a) y(n) = x(n) b) y(n) = x(n-1) c) y(n) = x(n+1) d) y(n) = 1/3 [ x(n+1) + x(n) + x(n-1) ]

Sistem Waktu Diskrit

Jawab:

Secara eksplisit, sinyal x(n) memiliki nilai berikut:

a) y(n) = x(n). Keluarannya tepat sama seperti sinyal masukan. Sistem seperti ini dikenal sebagai sistem identitas. Maka:

Sistem Waktu Diskrit

Jawab:

b) y(n) = x(n-1). Sistem ini akan menunda keluarannya dengan satu cuplikan. Maka:

Sistem Waktu Diskrit

Jawab:

c) y(n) = x(n+1) . Pada kasus ini sistem “mendahulukan” masukan satu cuplikan menjadi yang akan datang. Maka:

Sistem Waktu Diskrit

Jawab:

d) y(n) = 1/3 [ x(n+1) + x(n) + x(n-1) ]. Keluaran sistem ini pada setiap waktu merupakan 1/3 dari cuplikan sekarang, sebelum dan yang akan datang. Sebagai contoh pada n = 0 adalah :

Dengan mengulangi komputasi ini untuk setiap nilai n, kita memperoleh sinyal keluaran:

Sifat-Sifat Sistem

• Ada tiga sifat dasar pada suatu sistem:1. Kausalitas2. Linearitas3. Time Invariant• Pembahasan difokuskan pada sistem single-

input single-output dengan input x(t) dan output y(t).

Sifat-Sifat Sistem

1. Kausalitas• Suatu sistem dikatakan sebagai kausal jika

output pada setiap saat t1 hanya tergantung pada nilai input saat sekarang dan input saat sebelumnya (tidak dipengaruhi oleh input yang akan datang / t > t1)

Sifat-Sifat Sistem

1. Kausalitas• Contoh:Terdapat sistem dinyatakan dengan hubungan input/output berikut :a) y(t) = x(t + 1)b) y(t) = x(t – 1)

Tentukan sifat kausalitas dari kedua sistem tersebut!

Sifat-Sifat Sistem

1. Kausalitas• Jawab:a) Sistem ini adalah non kausal, karena nilai

output y(t) pada saat t tergantung pada nilai input di saat (t + 1).

b) Sistem ini adalah kausal, karena nilai output pada saat t hanya tergantung pada nilai input saat (t – 1)

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Sebuah sistem adalah linear jika kedua sifat

additive dan homogen dipenuhi.• Suatu sistem dikatakan additive jika untuk

suatu input x1(t) dan x2(t) respon outputnya y1(t) dan y2(t), maka x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t).

• Suatu sistem dikatakan homogen jika untuk suatu input ax(t) dan suatu nilai real skalar a, respon outputnya adalah senilai a kali x(t).

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Sifat additive:

x1(t) y1(t)

x2(t) y2(t)

x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)• Sifat homogen:

x(t) y(t)ax(t) ay(t)bx(t) by(t)

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Kedua sifat additive & homogen apabila

digabung disebut juga sebagai sifat superposisi:

x1(t) y1(t)

x2(t) y2(t)

ax1(t) + bx2(t) ay1(t) + by2(t)

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Contoh:

Diketahui sebuah sistem dengan hubungan input-output sebagai berikut:

Apakah sistem tersebut adalah sistem linear?

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Jawab:

Sistem ini dapat digambarkan sebagai berikut:

Di mana sinyal input x(t) dikali sebanyak 2x untuk menjadi sinyal output y(t).

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Jawab:• Jika sebuah skalar a dan input x(t) diberikan ke

sistem, dengan persamaan dari sistem akan diperoleh respon untuk ax(t) adalah a2x2(t). Tetapi a dikalikan dengan respon y(t) maka hasilnya adalah ax2(t), yang secara umum tidak sama dengan a2x2(t).

• Sehingga sistem ini tidak homogen, dan bukan merupakan sistem linear.

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Contoh:

Diketahui sebuah sistem dengan hubungan input-output sebagai berikut:

Apakah sistem tersebut adalah sistem linear?

Sifat-Sifat Sistem

2. Linearitas• Jawab:

Jika sebuah skalar a dan input x(n) diberikan ke sistem, dengan persamaan dari sistem akan diperoleh respon untuk ax(n) adalah 2ax[n]. Jika a dikalikan dengan respon y(n) maka hasilnya adalah 2ax[n] juga sehingga sistem ini adalah sistem linear.

Sifat-Sifat Sistem

3. Time Invariant• Sebuah sistem dikatakan sebagai sistem time

invariant jika tidak masalah kapan waktunya diaplikasikan, outputnya selalu sama.

Sifat-Sifat Sistem

3. Time Invariant• Contoh:

Sebuah sistem pembangkit sinyal sinus menghasilkan sebuah sinyal yang memiliki hubungan input/output sebagai berikut:

Apakah sistem ini adalah Time Invariant?

Sifat-Sifat Sistem

3. Time Invariant• Jawab:

Jika sinyal masukan x(t) didelay sebanyak π radian, maka responnya adalah:

Sifat-Sifat Sistem

3. Time Invariant• Jawab:

Grafiknya:

Sifat-Sifat Sistem

3. Time Invariant• Jawab:

Dari grafik dapat dilihat meskipun terdapat delay, namun keluaran dari sistem tetap sama. Sehingga sistem ini adalah sistem Time-Invariant.

PR!!!!

Terdapat sinyal dengan persamaan berikut:

-1; di 6 ≤ n ≤ 10 x (n) 3; di 3 ≤ n ≤ 5

5; di 1 ≤ n ≤ 2Tentukan:a) y(n) = x(-n) b) y(n) = x(n-3) c) y(n) = 2x(n) d) y(n) = 1/2 [ x(n+1) + x(n) + x(n-1) ]

Konvolusi

• Penjumlahan konvolusi berfungsi untuk menyatakan hubungan antara masukan dan keluaran pada sistem Linear Time-Invariant (LTI).

• Konvolusi dinotasikan dengan:

• Di mana y[n] adalah output dari sistem, x[n] adalah input berupa sinyal diskrit & h[n] adalah respons impuls dari sistem LTI.

Konvolusi

Contoh:Diketahui sistem LTI dengan masukan:

Dan Respon Impuls-nya:

Tentukan respons sistem-nya, y[n], yang merupakan konvolusi dari masukan dan respon impuls.

Konvolusi

Jawab:

1. Gambar bentuk h[k] dan x[k]:

Konvolusi

2. Reverse h[k] menjadi h[-k]

Konvolusi

3. Kalikan h[-k] dengan x[k]

X

Hasilnya pada n=0 y[0] = (-1.0) + (1.0) + (2.1) + (1.2) + (0.3) + (0.1) = 4

Konvolusi

4. Geser h[-k] ke kanan, kemudian kalikan lagi dengan x[k]

X

Hasilnya pada n=1 y[1] = (-1.0) + (1.1) + (2.2) + (1.3) + (0.1) = 8

Konvolusi

5. Geser lagi h[-k] ke kanan, kemudian kalikan lagi dengan x[k]

X

Hasilnya pada n=2 y[1] = (-1.1) + (1.2) + (2.3) + (1.1) + (0.0) = 8

Konvolusi

6. Terus lakukan pergeseran ke kanan hingga tidak ada lagi sinyal yang bisa dikalikan.

7. Sekarang, sinyal h[-k] digeser ke kiri, dan dikalikan dengan x[k]

X

Konvolusi

X

Hasilnya pada n=-1 y[-1] = (-1.0) + (1.0) + (2.0) + (1.1) + (0.2) + (0.3) + (0.1) = 1

Konvolusi

8. Terus geser h[-k] ke kiri hingga tidak ada lagi yang bisa dikalikan.

9. Setelah semua selesai, maka akan didapatkan respon dari sistem:

Sifat-Sifat Sistem

• Sebuah sistem juga memiliki sifat-sifat lain selain tiga sifat dasar yang telah dijelaskan sebelumnya, yaitu:

1. Sistem Statis (Tanpa Memori)• Jika keluarannya untuk setiap harga variabel

bebas pada waktu yang diberikan bergantung hanya pada masukan waktu yang sama.Contoh:

Sifat-Sifat Sistem

2. Sistem Dinamis (Dengan Memori)• Jika sistem dapat menahan atau menyimpan

informasi mengenai harga masukan yang bukan harga masukan saat ini atau dengan kata lain bergantung dari masukan sebelumnya.Contoh:

Sifat-Sifat Sistem

3. Sistem Stabil• Suatu sistem dikatakan stabil jika dan hanya

jika setiap input yang terbatas menghasilkan sinyal keluaran yang terbatas/berhingga juga.Persamaanya:

Sifat-Sifat Sistem

3. Sistem Stabil• Contoh:• Sistem yang dinyatakan dengan

y(n) = 0,1.y(n – 1) + x(n)dan y(-1) = 0

Di mana x(n) adalah sinyal unit impuls, x(n) = 1 di n = 0 dan x(n) = 0 di n lainnya.

Sistem tersebut adalah stabil, karena outputnya adalah:y(0) = 0,1.y(–1) + x(0) = 1y(1) = 0,1.y(0) + x(1) = 0,1 y(2) = 0,1.y(1) + x(2) = 0,01 dan seterusnya.

Urutan Waktu Diskrit

• Notasi: {x} adalah sekumpulan angka di mana:

• Contoh:Diketahui notasi urutan berikut:

Urutan Waktu Diskrit

• Maka ilustrasi dari notasi di atas dapat dilihat pada gambar berikut:

Macam-Macam Urutan

1. Delayed Sequence• Notasi dari delayed sequence adalah:

• Ilustrasi dari delayed sequence adalah:

Macam-Macam Urutan

2. Unit Sample Sequence• Notasi dari unit sample sequence:

• Ilustrasi dari unit sample sequence adalah:

Macam-Macam Urutan

2. Unit Step Sequence• Notasi dari unit step sequence :

• Ilustrasi dari unit step sequence adalah:

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc