BUKU AJAR MATEMATIKA DISKRIT · 2018-04-04 · sinyal Keluaran sangat tergantung oleh sinyal...

1

BUKU AJAR

MATEMATIKA DISKRIT

Disusun oleh :

SUCIPTO BASUKI, S.Kom, MT

NIDN : 0405108402

STMIK INSAN PEMBANGUNAN

Jl. Raya Serang Km.10 Bitung – Tangerang

Banten Telp. (021) 59492836 Fax. (021) 59492837

Home page : http://www.ipem.ac.id Email : [email protected]

2015

http://www.ipem.ac.id/

mailto:[email protected]

Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S.Kom, MT

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kepada Allah SWT, atas rahmat dan hidayahnya kita bisa

menyelesaikan Buku Ajar dengan judul “MATEMATIKA DISKRIT” . Tak lupa sholawat serta

salam kita curah limpahkan kepada junjungan kita, ulil azmi nabi Muhammad SAW.

Buku ajar ini dibuat berdasarkan tuntutan tugas salah satu mata kuliah

“MATEMATIKA DISKRIT” yang di bimbing oleh dosen Bp. Sucipto basuki. Buku ajar ini

berisikan rangkuman materi-materi yang telah disampaikan beliau dari pertemuan pertama

sampai pertemuan terakhir sebelum UTS (ulangan tengah semester), buku ajar ini

membahas sedikit tentang :

1. Logika (tipe data bolean)

2. Gerbang logika

3. Fungsi

4. Relasi

5. Matriks – biner

Harapan kami, buku ajar ini dapat bermanfaat sebagai acuan belajar para mahasiswa

khusus nya mahasiswa STMIK Insan Pembangunan. Kami sadari buku ajar ini masih banyak

sekali kekurangan, baik dalam bentuk maupun isinya, oleh karena itu kami berharap kepada

pembaca yang budiman untuk memberikan komentar, kritik dan masukan untuk

memperbaiki buku ajar ini dikemudian hari.

Terimakasih kepada pihak-pihak yang terlibat dalam pembuatan buku ajar ini, tanpa

adanya bantuan pihak lain, kami tidak bisa menyusun buku ajar ini.

Tangerang, 08 November 2015

Sucipto Basuki


DAFTAR ISI

Kata Pengantar……………………………………………………………… 2

Daftar isi…………………………………………………………………….. 3

Uraian Materi………………………………………………………………… 5

1. Logika………………………………………………………………. 5

1.1. And…………………………………………………………. 5

1.2. Or……………………………………………………………. 5

1.3. Not………………………………………………………….. 6

1.4. Nand…………………………………………………………. 6

1.5. Nor…………………………………………………………… 7

1.6. X-Or………………………………………………………….. 7

1.7. N-Xor………………………………………………………… 7

2. Logic gate……………………………………………………………. 10

2.1. Logic gate Inverter…………………………………………… 10

2.2. Logic gate non inverter………………………………………. 10

2.2.1. Logic gate And…………………………………………… 11

2.2.2. Logic gate Or……………………………………………... 11

2.2.3. Logic gate Not……………………………………………. 12

2.2.4. Logic gate Nand………………………………………….. 12

2.2.5. Logic gate Nor……………………………………………. 13

2.2.6. Logic gate X-Or…………………………………………... 13

2.2.7. Logic gate N-Xor…………………………………………. 14

3. Operasi himpunan…………………………………………………….. 17

4. Irisan dan gabungan dua himpunan…………………………………… 18

5. Matriks………………………………………………………………… 29

5.1. Jenis-jenis Matriks……………………………………………... 30


5.1.1. Matriks bujur sangkar……………………………………… 30

5.1.2. Matriks nol…………………………………………………. 30

5.1.3. Matriks diagonal…………………………………………… 30

5.1.4. Matriks identity……………………………………………. 30

5.1.5. Matriks scalar………………………………………………. 31

5.1.6. Matriks segitiga bawah……………………………………. 32

5.1.7. Matriks segitiga atas………………………………………. 32

5.1.8. Matriks simetris……………………………………………. 32

5.1.9. Matriks anti simetris………………………………………. 33

5.1.10. Matriks hermitian………………………………………….. 33

5.1.11. Matriks invers……………………………………………… 33

5.1.12. Matriks komutatif…………………………………………. 34

5.1.13. Matriks idempoten,periodik,nilpoten……………………… 34

5.1.14. Matriks logika……………………………………………… 35

5.1.14.1. Definisi…………………………………………. 35

5.1.14.2. Matriks logika………………………………… 35

6. Relasi …………………………………………………………………. 38

6.1. Seleksi…………………………………………………………. 40

6.2. Proyeksi……………………………………………………….. 41

6.3. Join…………………………………………………………….. 42

Kesimpulan……………………………………………………………………. 43

Penutup……………………………………………………………………….. 45

Daftar Pustaka………………………………………………………………... 46


BAB 1

LOGIKA

Definisi Logika yaitu penalaran terhadap suatu pernyataan, atau pernyataan yang

bernilai benar atau salah di sebut proposisi.

Didalam Logika terdapat sebuah tabel kebenaran, yaitu tabel yang menyatakan nilai benar

atau salah.

Contoh Dari sebuah logika :

1. Ketua kelas SI2 adalah Tarjo, pernyataan ini dikatakan salah karena ketua kelas SI2

adalah Roy

2. 5 x 5 = 25, pernyataan ini dikatakan benar

3. 2a + 5 = 15, Pernyataan tersebut bukan proposisi karena bisa benar bisa salah

4. Berapa Harga baju itu?, pernyataan tersebut bukan proposisi

Macam – macam Logika :

1.1. AND (Dan)

Logika AND dapat dilambangkan dengan symbol A*B, A^B atau A.B

Logika AND ialah logika yang akan menghasilkan nilai benar / satu jika kedua inputan

bernilai benar / satu, dan akan menghasilkan nilai salah / nol jika salah satu inputan bernilai

salah / nol.


Tabel kebenaran

A B A*B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

1.2. OR (Atau)

Logika OR dapat dilambangkan dengan symbol A +B atau AVB

Logika OR ialah logika yang akan menghasilkan nilai benar jika salah / nol satu inputan

bernilai benar / satu, dan akan menghasilkan nilai salah / nol jika kedua inputan bernilai

salah / nol.

Tabel kebenaran

A B A+B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1.3. NOT (Tidak)

Logika NOT dapat dilambangkan dengan symbol –A, A’ atau Ᾱ

Logika NOT ialah kebalikan dari nilai asal, jika inputan benar / satu maka akan menghasilkan

nilai salah/nol dan jika inputan salah/nol maka akan menghasilkan nilai benar/satu.

Tabel kebenaran

A B -A -B

1 0 0 1

0 1 1 0

1.4. NAND (Not And)


Logika NAND ialah hasil kebalikan dari AND (A*B), jika salah satu inputan bernilai

salah/nol maka akan menghasilkan nilai benar/satu, dan jika kedua inputan bernilai

benar/satu maka akan menghasilkan nilai salah/nol.

Tabel kebenaran

A B A NAND B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

1.5. NOR (Not Or)

Logika NOR ialah hasil kebalikan dari OR (A+B), jika salahsatu inputan bernilai benar/satu

maka akan menghasilkan nilai salah/nol, jika kedua inputan bernilai salah/nol maka akan

menghasilkan nilai benar/satu.

Tabel kebenaran

A B A NOR B

1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1.6. XOR (Exclusive OR)

Logika XOR ialah logika yang menghasilkan nilai benar/satu jika kedua inputan bernilai

berbeda, jika kedua inputan bernilai sama maka kan menghasilkan nilai salah/nol.

Tabel kebenaran

A B A XOR B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1.7. N XOR (No Exclusive Or)


Logika N XOR ialah logika yang menghasilkan nilai benar/satu jika kedua inputan

bernilai sama, dan akan menghasilkan nilai salah/nol jika kedua inputan berbeda, logika N

XOR merupakan kebalikan dari logika XOR.

Tabel kebenaran

A B A N XOR B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

CONTOH SOAL

1. A^B^C

2. –(A^B) + C

3. (P+Q+R) + (P’+R’)

4. (P’+Q’+R’) * (PQR)

5. –(P’+Q’+R’) * -(PQR)

Cara Penyelesaian :

1. A^B^C

A B C A^B^C

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

2. –(A^B) + C


A B C C' A^B -(A^B) -(A^B)+C

1 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1 1

3. (P+Q+R) + (P’+R’) = Y

P Q R P' R' P+Q+R P'+R' Y

1 1 1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1

4. (P’+Q’+R’) * (PQR) = Y

P Q R P' Q' R' PQR P'+Q'+R' Y

1 1 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 0 1 0

5. –(P’+Q’+R’) * -(PQR) = Y


P Q R P' Q' R' PQR P'+Q'+R' Y

1 1 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 0 1 0

Latihan Soal :

1. AvBvC

2. –(AvB) + C

3. (P*Q*R) + (P’+R’)

4. (P’*Q’*R’) * (PQR)

5. –(P’*Q’+R’) * -(PQR)


BAB 2

LOGIC GATE

2.1. Inverter (Pembalik)

Inverter merupakan gerbang logika dengan satu nilai masukan dan satu keluaran di

mana nilai keluaran selalu berlawanan dengan nilai masukan.

Tabel Logic

Input (A) Output(Y)

0 1

1 0

Gambar Simbol Inverter (Not)


2.2. Logic Gate Non Inveter

Berbeda dengan gerbang logika inverter yang sinyal masukan hanya satu, untuk

gerbang logika Non inverter sinyal masukannya ada dua atau lebih sehingga hasil (Output)

sinyal Keluaran sangat tergantung oleh sinyal masukannya dan gerbang logika yang di

laluinya (NOT,AND,OR,NAND,NOR,XOR,XNOR) yang termasuk logic gate non inverter

adalah:

2.2.1. Logic Gate And

Gerbang And ialah gerbang yang menghasilkan nilai 1 jika semua inputan bernilai 1,

tetapi apabila semua atau salah inputannya bernilai 0 maka outputnya bernilai 0.

Tabel Logic (AND)

Input (A) Input (B) Output (Y)

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Gambar Logic(AND)


2.2.2. Logic Gate OR

Gerbang OR akan menghasilkan nilai 1 apabila salah satu atau semua inputan yang di

masukan bernilai 1 dan apabila semua inputan bernilai 0 maka akan menghasilkan keluaran

nilai 0.

Table Logic (OR)


0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Gambar Logic OR

2.2.3. Logic NAND

Logic NAND ialah gerbang yang apabila semua inputan bernilai 1 maka akan

menghasilkan nilai 0, tetapi apabila semua inputannya bernilai 0 maka keluarannya akan

menghasilkan nilai 1.

Tabel Logic (NAND)



0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Gambar Logic (NAND)

2.2.4. Logic Gate N OR

Gerbang N OR merupakan logika yang outputnya akan bernilai 1 apabila semua

inputanny bernilai 0 dan outputnya akan bernilai 0 apabila semua atau salah satu inputnya

bernilai 1.

Tabel Logic (NOR)

Input

(A)

Input

(B)

Output

(Y)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Gambar Logic NOR


2.2.5. Logic Gate XOR

Logic XOR merupakan kepanjang dari Exclusive OR yang mana keluarannya akan

bernilai 1 apabila inputannya berbeda, namun apabila semua inputannya sama maka akan

menghasilkan nilai 0.

Tabel Logic (XOR)

Input

(A)

Input

(B)

Output

(Y)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Gambar Logic (XOR)

2.2.6. Logic Gate (XNOR)


Gerbang XNOR merupakan kepanjangan Exculisive NOR yang mana keluarannya akan

bernilai 1 apabila semua inputannya sama,namun apabila inputannya berbeda maka akan

memberikan kelaran yang bernilai 0.

Tabel Logic (XNOR)

Input

(A)

Input

(B)

Output

(Y)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Gambar Logic XNOR

Latihan soal 1!


Misalkan kita memiliki inputan sebagai berikut :

A=1

B=1

C=1

JAWAB

D= jika inputan 1dan 1 melewati logic AND maka outputnya adalah 1

E= jika inputan 1 melewati logic NOT makao outputnya adalah 0

F= jika inputan 1 melewati logic NOT maka outputnya adalah 0

G= jika inputan 1 dan 1 melewati logic AND maka outputnya adalah 1

H= jika inputan 0 dan 1 melewati logic OR maka outputnya adalah 1

I= jika inputan 0 dan 1 melewati logic XOR maka outputnya adalah 1

J= jika inputan 1 dan 1 melewati logic NXOR maka outputnya adalah 1

K= jika inputan 1 dan 1 melewati logic NAND maka outputnya adalah 0

L= jika inputan 1 dan 0 melewati logic NOR maka outputnya adalah 0

Latihan soal 2!


Misalkan kita memiliki inputan sebagai berikut :

A=0

B=0

C=0

JAWAB:

E= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1

F= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1

G= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1

H= Jika inputan 0 melewati logic NOT maka outputnya adalah 1

I= Jika inputan 1 dan 1 melewati logic NAND maka outputnya adalah 0

J= Jika inputan 0 dan 1 melewati logic NXOR maka outputnya adalah 0

K= Jika inputan 0 dan 1 melewati logic OR maka outputnya adalah 1

1. OPERASI HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu

kesatuan dengan keterangan yang jelas.

Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, …


Sedangkan untuk menyatakan anggotanya menggunakan huruf kecil, a, b, c, …

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan:

a. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakkan di dalam

sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya di pisahkan dengan

tanda koma.

Contoh :

A = {a, i, u ,e, o}.

b. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah di sepakati.

Contoh:

P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adlah himpunan bilangan Riil.

c. Notasi pembentukan himpunan, yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-

sifat umum dari anggota.

Contoh :

A= {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}

d. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dari tiap-tiap

himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang di

gambarkan dengan segiempat.

Contoh:

S A B

5 8


4

2. IRISAN DAN GABUNGAN DUA HIMPUNAN

2.1 Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanyamerupakan

anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B. Notasi:

AND= A ∩ B = {x | x € A dan x € B}

Simbol = ∩ A ∩ B

Misal:

A = {1,2,3,4,5}

B = {2,3,6,7}

A ∩ B = {2,3}

4.2. Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B.

Gabungan = OR = { x | x € A atau x € B}


Simbol = Ư A Ư B

Misal:

A= {1,2,3,4,5}

B= {2,3,6,7}

A Ư B = {1,2,3,4,5,6,7}

4.2.1. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.

Notasi:

A ͨ = {x|x € S dan x € A}

Komplemen = NOT

Simbol = “ – “ - A

Misal:

S/U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

A = {1,2,3,4,5}


-A = {6,7,8}

Contoh soal .

1. Kelas SI2 terdiri dari 35 orang. Setelah di survey di dapat:

12 orang menyukai PHP (A)

20 orang menyukai Java (B)

1 orang yang tidak menyukai keduanya.

Berapa orang yang menyukai keduanya?

Jawab:

Diketahui: n(U) = 35

n(A) = 12

n(B) = 20

n-(A&B) = 1


Jawab:

A B

12-x 20-x

x

1

n(AƯB) = 35 – 1 = 34

34 = (12-x) + x + (20-x)

34 = 32 – x

x = 32 – 34

x = -2

1. Dari 1200 mahasiswa IT.

582 menguasai Linux (A)

627 menguasai Windows (B)

543 menguasai Ubuntu (C)

227 menguasai Linux dan Windows

307 menguasai Linux dan Ubuntu

250 menguasai Windows dan Ubuntu

222 menguasai ketiganya

a.) Berapa orang yang tidak menguasai ketiganya?

b.) Berapa orang yang hanya menguasai 1 jenis operasi system saja?

Jawab:


Diketahui: n(S/U) = 1200

n(A) = 582

n(B) = 627

n(C) = 543

n(A∩B) = 227

n(A∩C) = 307

n(B∩C) = 250

n(A∩B∩C)= 222

Jawab:

A

x

c 222 a

z b y

C B

a = n(A) – n(A∩B∩C)

= 582 – 222 = 5

b = n(B) – n(A∩B∩C)


= 627 – 222 = 28

c = n(C) – n(A∩B∩C)

= 307 – 222 = 85

x = n(A) – (a + n(A∩B∩C) + c)

= 582 – (5 + 222 + 85)

= 582 – (312) = 270

y = n(B) – (a + n(A∩B∩C) + b)

= 627 – (5+ 222 + 28)

= 627 – 255 = 372

z = n(C) – (b + n(A∩B∩C) + c)

= 543 – (28 + 222 + 85)

= 543 – 335 = 208

AƯBƯC = n(A∩B∩C) + a + b + c + x + y + z

= 222 + 5 +28 + 85 + 270 + 372 + 208

= 1190

a.) n-( AƯBƯC) = n(S/U) – n(AƯBƯC)

= 1200 – 1190 = 10

b.) 270 + 372 + 208 = 850

Jadi yang haya menguasai 1 jenis operasi system adalah 850 mahasiswa.


Latihan .

1. Kelas SI 2 belajar maple dan matlab. 20 orang belajar maple dan 25% belajar juga

matlab. Jika perbandingannya 5:4 .

Berapa jumlah mahasiswa di kelas SI 2 ?

Berapa mahasiswa yang belajar maple saja ?

2. Hasil survey input data kelas SI 2 di dapat :

32 suka mouse (A)

20 suka touchscreen (B)

45 suka keyboard (C)

15 suka mouse dan keyboard

7 suka maouse dan touchscreen

10 suka keyboard dan touchscreen

5 suka ketiganya

a.) Berapa jumlah mahasiswa ?

b.) Berapa mahasiswa yang suka mouse saja?

Jawaban.

1. Diket : maple (A) , matlab (B)

n(A) = 20

n(A∩B) = 25% x n(A)

perbandingan A:B = 5 : 4

Ditanya: n(S) ?

Yang belajar maple saja?


Jawab:

n(A∩B) = x 20 = 5

n(B) = x 20 = 16

a = n(A) – n(A∩B)

= 20 – 5 = 15

b = n(B) – n(A∩B)

= 16 – 5 = 11

n(S) = a + b + n(A∩B)

= 15 + 11 + 5 = 31.

Jadi yang belajar maple saja = 20 – 5 = 15 mahasiswa.

2. Diketahui: n(A) = 32

n(B) = 20

n(C) = 45

n(A∩C) = 15

n(A∩B) = 7

n(B∩C) = 10

n(A∩B∩C) = 5

Ditanya: n(S) ?

Yang suka mouse saja?

Jawab:

A B

a b 5


A

a

x y

5

c z b

C B

x = n(A∩C) - n(A∩B∩C)

= 15 – 5 = 10

y = n(A∩B) - n(A∩B∩C)

a = n(A) – (x + n(A∩B∩C) + y)

= 32 – (10 + 5 + 2)

= 32 – 17 = 15


b = n(B) – (y + n(A∩B∩C) + z)

= 20 – (2 + 5 + 5)

= 20 – 12 = 8

c = n(C) – (x + n(A∩B∩C) + z)

= 45 – ( 10 + 5 + 5)

= 45 – 20 = 25

= 7 – 5 = 2

z = n(B∩C) - n(A∩B∩C)

= 10 – 5 = 5

Matematika Diskrit, Sucipto Basuki, S. Kom, MT

n(S) = n(A∩B∩C) + a + b + c + x + y + z

= 5 + 15 + 8 + 25 + 10 +2 + 5

= 70

Yang suka mouse saja yaitu:

a = n(A) – (x + n(A∩B∩C) + y)

= 32 – (10 + 5 + 2)

= 32 – 17 = 15 mahasiswa.


5. Matriks

Matriks adalah suatu jajaran bilangan atau elemen yang di susun dalam bentuk baris dan lajur berbentuk persegi empat.

Ukuran atau ordo sebuah matriks adalah banyaknya baris(horizontal) dan banyaknya kolom(vertikal) dalam matriks tersebut.

Syarat-syarat matriks:

Berbentuk persegi empat dan di tempatkan dalam kurung siku

Unsur-unsur atau elemen elemenya terdiri dari bilangan-bilangan

Mempunyai baris dan lajur / kolom

Kegunaan matriks:

Memudahkan dalam membuat analisa mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung macam-macam variabel.

Untuk memecahkan masalah oerasi penyeledikan,seperti masalah penyelidikan sumber daya alam,perhitungan / kalkulasi,dll.

Mendukung berkaitan dengan penggunaan program linier,analisis input /output baik bidang ekonomi,statistik,maupun bidang-bidang pendidikan,manajemen dan tehknik.

Contoh matriks:

A= matriks A mempunyai ordo (ukuran) 3×2 sebab memiliki 3 baris dan 2 kolom.

B= matriks B mempunyai ordo 1×4

C= matriks C mempunyai ordo 3×3

Matriks yang hanya berukuran 1×1 disebut skalar.

Sedangkan matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom (n×n) di sebut matriks bujur sangkar.

Untuk menyatakan (menyimbolkan) matriks,digunakan huruf besar.Sedangkan untuk menyatakan (menyimbolkan) element matriks,digunakan huruf kecil.

A = element matrik dinyatakan dengan huruf kecil


Nama matriks A,dinyatakan dengan huruf besar

a. Beberapa jenis matriks khusus

i. Matriks bujur sangkar

Matriks bujur sangkar ialah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyak kolom = n . Barisan elemen a11,a12,.....,ann disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut. Contoh:

A = adalah matriks bujur sangkar berukuran 2

B = adalah matriks bujur sangkar berukuran 3

ii. Matrik nol Matriks nol adalah matrik yang semua elemennya 0 (di tulis matrik 0).

Sifat-sifatnya : a. A + 0 = A (bila ukuran A = ukuran 0) b. A0 = 0 ; 0A = 0 (kalau syarat=syarat perkalian terpenuhi)

iii. Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemenya di luar diagonal

utama adalah nol.Dengan perkataan lain: (αij) adalah matriks diagonal bila αij = 0 untuk i ≠ j.

contoh:

adalah matrik diagonal

iv. Matriks identity


Matrik identity (satuan) adalah matrik diagonal yang elemen-elemen diagonal

utamanya semua = 1,dengan perkataan lain : (αij) adalah matriks identity, bila αij = 1 dan

= 0 untuk i ≠ j.matriks biasanya ditulis I atau In dimana n menunjukan ukuran matrik bujur sangkar tersebur. Contoh:

I3 = ,I5 = dan lain lain

Sifat matriks identity adalah seperti bilangan 1 (satu) dalam operasi-operasi dengan bilangan biasa,yaitu: AI = A IA = A(bila syarat-syarat terpenuhi) Contoh:

A = , I3 =

Maka AI = = A

v. Matriks skalar

Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utamanya sama = K.matrik I adalah bentuk khusus dari matriks skalar,dengan K = I.

Contoh:

, adalah matriks skalar dapat di tuliskan pula sebagai

4I =


vi. Matriks segitiga bawah (lower triangular) Matriks segitiga bawah (lower triangular) matriks bujur sangkar yang semua elemen

di atas diagonal utama = 0.Dengam perkataan lain (αij) adalah matriks segitiga bawah bila

αij = 0,untuk i < j.

Contoh:

adalah matriks segitiga bawah

vii. Matriks segitiga atas (upper triangular)

Matriks segitiga atas (uppr triangular) adalah matriks bujur sangkar yang semua

elemen di bawah diagonal utama = 0.dengan perkataan lain (αij) adalah matriks sgitiga atas

bila αij = 0,i > j.

Contoh:

adalah matriks segitiga atas.

viii. Matriks simetris

Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya

sendiri,dengan kata lain bila A = AT atau αij = αij untk semua i dan j.jelas bahwa matriks

simetris adalah bujur sangkar.

Contoh:


A = dan AT =

ix. Matriks antisimetris

Matriks antisimetris adalah matriks yang tramposenya adalah negatifnya,dengan

perkataan lain bila AT = -A atau αij = - αij untuk seua i dan j.mudah di pahami bahwa

semua elemen diagonal utama matriks antisimetris adalah = 0.

Contoh:

A = , AT =

x. Matriks hermitian Matriks A disebut matriks hermitian bila transpose hermitianya =dirinya

sendiri,dengan kata lain bila AH = A.Mudah dimengerti bahwa matriks yang simetris adalah matriks hermitian.Disebut antihermitian bila AH = -A. Contoh:

A = dan AH =

xi. matriks invers (kebalikan)

kalau A dan B matrik-matrik bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I maka dikatakan B invers A dan di tulis B = A-1,sebaliknya A adalah invers B,dan ditulis A =B-1.

Catatan :tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers.sebuah matriks yang invernya adalah dirinya sendiri,dengan perkataan lain AA = I,disebut matriks yang involutory.


Contoh:

Matriks A =

Mempunyai invers A-1 =

Karena AA-1 = A-1 A = =

xii. matriks komutatif

kalau A dan B matriks-matrik bujur sangkar dan berlaku AB = BA,maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ukuran sama) dan dengan inversnya (bila ada).

Contoh :

A = dan B = berkomutatif karena

AB = =

Sedangkan :

BA = =

Catatan : matriks bujur sangkar N disebut normal bila berlaku NNH = NHN,yaitu bila N berkomutatif ddngan tranpose hermitianya.jelas bahwa matriks hermitian merupakan juga matriks normal.

xiii. Matriks idempoten,periodik,nilpoten

Bila berlaku AA = A2 = A,dikatakan matrks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten.


Secara umum bila p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku AAA....A = AP = A,maka dikatakan A matriks periodik dengan periode p – 1. Kalau A-1 = 0, dikatakan A nilpotent dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecilyang memenuhi hubungan di atas).

Contoh:

A = adalah nilpoten dengan indeks = 3.

Karena A-1=

= = = 0

xiv. Matriks logika

a. Definisi

A = (αij)

I = Baris

J = Kolom

5.1.14.2.1 Matriks logika

Matriks yang mengandung perintah kelompok. Contoh:

A =

Tentukan perintah pokok dari matriks A : (1,1) = 1 (1,2) = 4 (1,3) = 9 (1,4)= 16 (2,1) = 3 (2,2) = 2 (2,3) = 9 (2,4) = 16 (3,1) = 4 (3,2) = 5 (3,3) = 3 (3,4) = 16 (4,1) = 5 (4,2) = 6 (4,3) = 7 (4,4) = 4


Perintah pokoknya adalah :

1) Jika i = j,maka αij = i atau j (diagram)

2) Jika i < j,maka αij = j2 atau j×j (segitiga atas)

3) Jika i > j,maka αij = i + j (segitiga bawah)

Latihan 4:

1) Buatlah matrik berordo 5 × 5 dengan perintah pokok sebagai berikutn :

1 Jika i = j,maka αij = 1 + 2

2 Jika i < j,maka αij = j + 2

3 Jika i > j,maka αij = j2

Jawab

(1,1) = 3 (1,2) = 4 (1,3) = 6 (1,4)= 7 (2,1) = 1 (2,2) = 4 (2,3) = 6 (2,4) =7 (3,1) = 1 (3,2) = 4 (3,3) = 6 (3,4) =7 (4,1) = 1 (4,2) = 4 (4,3) = 16 (4,4) =7

X =


2) Tentukan perintah pokok dari matriks berikut :

X =

Y =

Jawab

( X )

(1,1) = 2 (1,2) = 1 (1,3) = 2 (1,4) = 3 (2,1) = 3 (2,2) = 2 (2,3) = 2 (2,4) = 3 (3,1) = 4 (3,2) = 4 (3,3) = 2 (3,4) = 3 (4,1) = 5 (4,2) = 5 (4,3) = 5 (4,4) = 2


1 Jika i = j,maka αij = i × 2 atau j × 2

2 Jika i < j,maka αij = j - 2

3 Jika i > j,maka αij = i + 1

( Y )

(1,1) = 1 (1,2) = 0 (1,3) = 1 (1,4) = 2 (2,1) = 4 (2,2) = 4 (2,3) = 1 (2,4) = 2 (3,1) = 9 (3,2) = 9 (3,3) = 9 (3,4) = 2 (4,1) = 16 (4,2) = 16 (4,3) = 16 (4,4) = 16



1 Jika i = j,maka αij = j2 atau i2

2 Jika i < j,maka αij = j - 2

3 Jika i > j,maka αij = i2

6. RELASI

Jika di kehidupan nyata ada yang namanya suatu hubungan (relasi) antara indivudu dan

indivudu didalam suatu kelompok. Atau hubungan unsur lain terhadap unsur atau hal lain,

misal, hubungan antar tetangga, hubungan mahasiswa dengan mata kuliah, ataupun

hubungan dosen dengan pelajaran yang diampunya, dan lain-lain. Di materi relasi ini, kita

akan membahas tentang hubungan atau relasi, hubungan antara ua unsur atau

himpunanyang tidak kosong dengan satu aturan hubungan/perkaitan tertentu, penjelasan

yang akan kami jelaskan meliputi definisi dan fungsi, operasi dan sifatnya.

Kita misalkan E dan F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E dan F merupakan

himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/angka yang berurutan, tetapi mengikuti

aturan tertentu. Dengan demikian hubungan biner R antar himpunan E dan F, merupakan

himpunan dari E x F / R C (E x F).


Contoh : misal E ={2,4,6} dan F = {2,4,6,8}. Jika didefinisikan relasi R dan E ke F menggunakan

aturan seperti, (e,fb) € R jika factor dari f, dan seperti yang kalian pelajari sebelumnya atau

yang sudah kalian ketahui,

E x F menjadi :

E x F = { (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,6), (6,8)}.

Jika menggunakan aturan relasi/hubungan diatas, relasi R dari E ke F yang mengikuti aturan

tadi menjadi,

R = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8)}.

Hubungan/relasi bisa juga terjadi hanya pada sau atau sebuah himpunan, yaitu hubungan

pada E, yang merupakan himpunan E x E.

Contoh :

Misal R a/ relasi pada E = {2,3,4,8,9} yang diumpamakan : ( X,Y ) € R dan bila X habis dapat

dibagi oleh Y.

Relasi R pada E yang mengikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.

R= { (2,2), (4,4), (4,2), (8,8), (8,2), (8,4), (3,3), (9,9), (9,3) }

Contoh Relasi :

E : Nama, Subyek/Domain

SORA

JUMSO

KANGPARK

SALAD

PASTA

STEAK

E R

F


F : Obyek / Kodomain

R : Relasi atau hubungan antar makanan favorite

Kesimpulan : Relasi adalah hubungan antara 2 atau lebih himpunan. Symbol Relasi adalah σ

Operasi himpunan relasi terdiri dari :

1. Seleksi

2. Proyeksi

3. Join

Setiap mahasiswa terkait dengan Nim, Nama, Matkul, Nilai. Maka kita buat tabel sebagai

berikut :

Nim Nama Matkul Nilai

01 Sule Mat. Diskrit A

01 Sule English B

02 Aziz Mat. Diskrit A

02 Aziz English B

03 Parto Mat. Diskrit A

03 Parto Sruktur data B

04 Nunung English B

05 Andre Struktur data B

Latihan :

a. σ Matkul “Mat. Diskrit” (Mhs):


01 Sule Mat. Diskrit A

02 Azis Mat Diskrit A


03 Parto Mat.Diskrit A

Operasi himpunan terdiri dari :

4. Seleksi

5. Proyeksi

6. Join

6.1. Seleksi

Menyeleksi baris dengan aturan tertentu, seleksi dapat disimbolkan dengan lambang σ

Contoh:


01 Sule Mtk.diskrit A

01 Sule English B

02 Azis Mtk.diskrit A

02 Azis English B

03 Parto Mtk.diskrit A

03 Parto Struktur data B

04 Nunung English B

05 Andre struktur data B

Tentukan hasil :

a. σ matkul “ mtk diskrit ” (mhs) :

jawab


01 Sule Mtk diskrit A

02 Azis Mtk diskrit A

03 Parto Mtk diskrit A


b. σ Nama “Parto” (Mhs)


3 parto Mtk diskrit A

3 parto struktur data B

6.2. Proyeksi

Proyeksi adalah operasi yang meilih kolom dari suatu tabel, jika ada beberapa

baris yang sama nilainya maka hanya diambil satu kali.

Simbol : π

Contoh : misalkan untuk relasi Mhs kita ingin menampilkan daftar nama mahasiswa

mata kuliah dan nilai operasi proyeksinya adalah πNama,Matakul,Nilai(Mhs).

Nama Matkul Nilai

Sule Mtk.diskrit A

Sule English B

Azis Mtk.diskrit A

Azis English B

Parto Mtk.diskrit A

Parto Struktur data B

Nunung English B

Andre struktur data B

6.3. Join

Operasi join adalah operasi yang menggabungkan 2 buah tabel menjadi 1. Bila kedua

tabel mempunyai attribut yang sama.

Operator untuk menuliskan join adalah Ʈ.


Misal kita mempunyai 2 buah tabel (Mhs dan Mhs2)

Tabel Mhs.


01 Sule Mtk.diskrit A

01 Sule English B

02 Azis Mtk.diskrit A

02 Azis English B

03 Parto Mtk.diskrit A

03 Parto Struktur data B

04 Nunung English B

05 Andre struktur data B

Tabel Mhs2

Nim Nama JK Matkul Nilai

01 Sule L Mtk.diskrit A

01 Sule L English B

02 Azis L Mtk.diskrit A

02 Azis L English B

03 Parto L Mtk.diskrit A

03 Parto L Struktur data B

04 Nunung P English B

05 Andre L struktur data B

Kita akan gabungkan kedua tabel diatas, maka perintahnya adalah :

ƮNim,Nama(Mhs)(Mhs2) :


Nim Nama JK Matkul Nilai

01 Sule L Mtk.diskrit A

01 Sule L English B

02 Azis L Mtk.diskrit A

02 Azis L English B

03 Parto L Mtk.diskrit A

03 Parto L Struktur data B

04 Nunung P English B

05 Andre L struktur data B

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Logika

Definisi Logika yaitu penalaran terhadap suatu pernyataan, atau pernyataan

yang bernilai benar atau salah di sebut proposisi.

Di dalam ilmu computer, logika sangatlah penting untuk membuat suatu

program.

2. Logika Gate


Logika gate atau gerbang logika adalah dasar pembentuk Simstem

Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa input

(masukan) menjadi sebuah sinyal output (keluaran) logis.

3. Operasi himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup

dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas.

4. Irisan gabungan dua himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang

anggotanyamerupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan

anggota himpunan B

5. Matriks

a. Matriks adalah sekelompok bilangan yang di susun dalam suatu jajaran

bentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris atau

kolom-kolom

b. Matriks di dalam matematika diskrit, matriks digunakan untuk

mempersentasikan struktur diskrit

6. Relasi

Jika di kehidupan nyata ada yang namanya suatu hubungan (relasi)

antara indivudu dan indivudu didalam suatu kelompok. Atau hubungan unsur

lain terhadap unsur atau hal lain, misal, hubungan antar tetangga, hubungan

mahasiswa dengan mata kuliah, ataupun hubungan dosen dengan pelajaran

yang diampunya, dan lain-lain


DAFTAR PUSTAKA

http://genius.smpn1-

mgl.sch.id/file.php/1/ANIMASI/matematika/irisan%20Dan%20Gabungan%20

Dua%20Himpunan/materi02.html

http://rumus-matematika.com/teori-himpunan

http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/sponsor-

pedamping/praweda/Matematika/0371%20Mat%20201-4a.html

http://genius.smpn1-mgl.sch.id/file.php/1/ANIMASI/matematika/irisan%20Dan%20Gabungan%20Dua%20Himpunan/materi02.html



http://rumus-matematika.com/teori-himpunan

http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/sponsor-pedamping/praweda/Matematika/0371%20Mat%20201-4a.html

http://opensource.telkomspeedy.com/repo/abba/v12/sponsor/sponsor-pedamping/praweda/Matematika/0371%20Mat%20201-4a.html


http://rumus-matematika.com/matriks

http://teknikelektronika.com/pengertian-gerbang-logika

http://rumus-matematika.com/matriks

http://teknikelektronika.com/pengertian-gerbang-logika

BUKU AJAR MATEMATIKA DISKRIT · 2018-04-04 · sinyal Keluaran sangat tergantung oleh sinyal...

Documents

Transcript of BUKU AJAR MATEMATIKA DISKRIT · 2018-04-04 · sinyal Keluaran sangat tergantung oleh sinyal...