PEMBUKTIAN

MATEMATIKA

Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

• PEMBUKTIAN LOGIKA PREDIKAT

• PEMBUKTIAN LANGSUNG

• PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG

Pembuktian Logika Predikat

Metode pembuktian pada dasarnya sama dengan

pada logika proporsional

Menggunakan dalil kesetaraan dan aturan

inferensia

Ditambah aturan-aturan dalam logika predikat

Pembuktian Logika Predikat ….

Contoh 1

Misalkan ada rangkaian proposisi :

Setiap manusia pasti mati. Furlan adalah manusia.

Oleh karena itu Furlan pasti mati.

Buktikan bahwa kesimpulan ini adalah benar.

Pembuktian Logika Predikat ….

Jawab

Buat predikatnya, misal :

P(x) : x adalah manusia

Q(x) : x pasti mati

Argumen soal diatas menjadi :

P1 : x [P(x) Q(x)]

P2 : P(Furlan)

K : Q(Furlan)

Pembuktian Logika Predikat ….

Untuk x = Furlan, menjadi :

P1 : P(Furlan) Q(Furlan)

P2 : P(Furlan)

Q(Furlan) (modus ponens)

Karena kesimpulan Q(Furlan), terbukti benar.

Pembuktian Logika Predikat ….

Contoh 2

Tunjukkan bahwa pernyataan :

x [P(x) -Q(x)]

adalah kesimpulan dari premis-premis :

x [-[-Q(x) -R(x)]]

x [R(x) P(x)]

Pembuktian Logika Predikat ….

Jawab

Argumen soal dapat ditulis :

P1 : x [-[-Q(x) -R(x)]]

P2 : x [R(x) P(x)]

K : x [P(x) -Q(x)]

Untuk suatu nilai x = e, pada P1 berlaku :

-[-Q(e) -R(e)] = -[Q(e) -R(e)] (tambahan)

= -Q(e) R(e) (deMorgan)

Pembuktian Logika Predikat ….

Pada P2 berlaku :

R(e) P(e)

Dapat ditulis kembali :

P11 : -Q(e)

P12 : R(e)

P21 : R(e)

P12 : P(e)

Pembuktian Logika Predikat ….

Perhatikan P11dan P22 , berlaku :

-Q(e) P(e) = P(e) -Q(e) (komutatif)

Atau ditulis

x [P(x) -Q(x)]

Terbukti benar

Pembuktian Logika Predikat ….

Contoh 3

Ada pasien yang menyukai semua dokter. Semua

pasien tidak menyukai tukang obat. Maka

disimpulkan bahwa semua dokter pasti bukan

tukang obat

Buktikan kebenaran dari argumen ini.

Pembuktian Logika Predikat ….

Jawab

P(x) : x adalah pasien

Q(y) : y adalah dokter

R(y) : y adalah tukang obat

S(x,y) : x suka y

P1 : x [P(x) y (Q(y) S(x,y)]

P2 : x [P(x) y (R(y) -S(x,y)]

K : y [Q(y) -R(y)]

Pembuktian Logika Predikat ….

Untuk suatu nilai x=e berlaku :

P1 : [P(e) y (Q(y) S(e,y)]

P2 : [P(e) y (R(y) -S(e,y)]

Dapat ditulis :

P11 : P(e)

P12 : y (Q(y) S(e,y))

P21 : P(e)

P22 : y (R(y) -S(e,y)) = y (S(y) -R(e,y))

(kontrapositif)

Pembuktian Logika Predikat ….

Perhatikan P12 dan P22 :

P12 : y (Q(y) S(e,y))

P22 : y (S(e,y) -R(y))

y (Q(y) -R(y)) (silogisme)

Terbukti benar karena

K : y [Q(y) -R(y)]

Pembuktian Logika Predikat ….

Latihan

Tunjukkan bahwa pernyataan :

x [F(x) -S(x)]

adalah kesimpulan dari premis-premis :

x (F(x) S(x)) y(M(y) W(y))

y(M(y) -W(y))

Pembuktian Langsung

Misalkan p dan q adalah proposisi.

Pembuktian langsung p q (p implikasi logik ke q)

adalah dengan mengkonstruksi proposisi-proposisi

r1, r2, …, rn, sedemikian sehingga

p r1, r1 r2, r2 r3, … , rn q

Pembuktian Langsung ….

Contoh 4

Buktikan bahwa kuadrat bilangan ganjil adalah

juga bilangan ganjil.

Pembuktian Langsung ….

Jawab

Misalkan p : n bilangan ganjil

q : n2 bilangan ganjil

p : n bilangan ganjil

r1 : n = 2k + 1 , kZ

r2 : n2 = (2k + 1)2

r3 : n2 = 4k2 + 4k + 1

r4 : n2= 2(2k2 + 2k) + 1

r5 : n2= 2m + 1 , m=(2k2 + 2k) Z

q : n2 bilangan ganjil.

Conditional Proof

Conditional proof adalah pembuktiam proposisi

yang berbentuk implikasi.

Contoh 5

Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan

n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah

bilangan bulat ganjil.

Conditional Proof ….

Jawab

Misalkan m = 2k , kZ

n = 2j + 1 , jZ

m + n = 2k + 2j + 1

= 2(k +j) + 1

= 2 p +1 , pZ

Pembuktian Tak Langsung

Ada dua jenis pembuktian tak langsung yaitu :

(1) Pembuktian Kontrapositif

(2) Pembuktian Kontradiksi

Kedua jenis pembuktian ini dimulai dengan

memisalkan kesimpulan q salah, dengan kata lain

memisalkan –q benar.

Pembuktian Tak Langsung ….

1. Pembuktian Kontrapositif

Menurut aturan kontrapositif, menunjukkan

kebenaran proposisi p q sama dengan

menunjukkan - q -p.

Contoh 6

Buktikan, jika n2 genap maka n genap untuk n

bilangan bulat.

Pembuktian Tak Langsung ….

Jawab

Misalkan p : n2 genap -p : n2 ganjil

q : n genap -q : n ganjil

maka

p q : jika n2 genap maka n genap

setara dengan

- q -p : jika n ganjil maka n2 ganjil

proposisi ini sudah dibuktikan pada contoh 1 tadi.

Pembuktian Tak Langsung ….

2. Pembuktian Kontradiksi

Pada pembuktian kontradiksi, akan dimulai dengan

memisalkan q salah dan selanjutnya ditunjukkan

terdapat pernyataan yang kontradiksi sehingga

disimpulkan haruslah q benar.

Contoh 7

Misalkan a bilangan real, jika a > 0 maka > 0.1a

Pembuktian Tak Langsung ….

Jawab

Anggap pernyataan a > 0 benar dan > 0 salah.

Proposisi ini akan menjadi a > 0 dan 0.

Berdasarkan sifat perkalian diperoleh

a( ) 0

1 0

Akan kontradiksi dengan kenyataan bahwa 1>0.

Jadi haruslah > 0.

1a

1a

1a

1a