Bilangan Bulat

“ Matematika Asyik dan Menyenangkan”

Materi : Bilangan BulatStandar Kompetensi : 1. Memahami sifat - sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 1. 1 Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat

Bilangan

Bulat

• himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan Bulat (B) adalah B = { ..., - 6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

pada Garis Bilangan

• Semakin ke kanan, nilai bilangan semakin besar.• Semakin ke kiri, nilai bilangan semakin kecil

nilai

BILANGAN BULAT

BILANGAN BULAT

himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari

bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan Bulat (B) adalah B = { ..., - 6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif.

Himpunan bilangan Bulat (B) adalah B = { ..., - 6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

CONTOH :1. Tulislah bilangan bulat mulai dari -8 sampai dengan 5 dan kelompokan bilangan negatif dan

bilangan positif jawab

Bilangan bulat dari -8 sampai 5 adalah -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.Bilangan negatifnya adalah -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1.

Bilangan positifnya adalah 1, 2, 3, 4, 5.

2. Tulislah bilangan genap antara -9 dan 10.Jawab

Bilangan genap antara -9 dan 10 adalah -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.

Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hari

 

Pernahkah kalian melihat termometer dalam kehidupan sehari-hari kalian. Termometer adalah alat untuk mengukur suhu yang memiliki nilai positif dan negatifnya. Gambaran ini menunjukkan bilangan bulat negatif misalnya :

Dalam pengukuran suhu dengan termometer berskala Celsius, titik didih air adalah 100oC dan titik beku air adalah 0oC. Untuk suhu di bawah titik beku air maka skala termometer diperpanjang ke bawah. Suhu 5o Cdi bawah nol ditulis –5o C dan dibaca “lima derajat Celsius di bawah nol”. Untuk suhu di atas nol ditulis tanpa tanda +, sehingga suhu 32o di atas nol cukup ditulis 32o C.

LETAK BILANGAN BULAT PADA GARIS BILANGAN

 

Pada garis bilangan, letak garis bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pada garis bilangan:• Semakin ke kanan, nilai bilangan semakin besar.• Semakin ke kiri, nilai bilangan semakin kecil nilai

CONTOH :

•Letakan bilangan bulat berikut ini kedalam garis bilangan 2, 4, -3, -5. •Jika seseorang berjalan diatas garis bilangan, ia melangkah dengan 5 langkah ke kanan nol. Terus ia mundur 7 langkah kebelakang. Berada diposisi manakah orang tersebut ?

Penyelesaian1. Buatlah garis bilangan dan tentukan titik nol nya.

Setelah titik nol nya diketahui barulah kalian letakkan bilangan yang terdapat pada soal tersebut.

2. Dengan menggunakan garis bilangan kalian dapat menjawabnya

Jadi, orang tersebut berada di garis bilangan -2.

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

1. Operasi Penjumlahan pada Bilangan BulatDalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat,

dapat digunakan dengan menggunakan2. garis bilangan

Untuk penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan kalian dapat mengambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

2. kepingan aljabarpenjumlahan dengan alat bantu keping aljabar kalian dapat menggambarkan kepingan aljabar dengan satu persatu.

 

CONTOH :

Misalkan, didalam kelas kalian ada sebuah kelompok yang terdiri dari 6 orang. Karena di kelas kalian mempunyai banyak tugas, jadi kelompok tersebut ditambah 3 orang lagi. Berapa orang di dalam kelompok tersebut. Selesaikan dengan alat bantu keping aljabar !

 Penyelesaian :Gambarlah keping aljabar yang pertama yaitu 6 keping.Gambarlah keping aljabar yang kedua sebanyak 3 keping.

Jadi, 6 + 3 = 9. Artinya jumlah orang dalam kelompok tersebut adalah 9 orang.

2. Operasi Pengurangan pada Bilangan Bulat

Pada waktu SD, kalian menyelesaikan contoh operasi pengurangan dengan menggunakan garis bilangan. Disini kalian akan menyelesaikan nya dengan bantuan garis bilangan dan keping aljabar.

Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku a – b = a + (-b)

CONTOH :1. Cici mempunyai 9 kapur, selanjutnya diberikan kepada bu guru 4 kapur.

Berapakah kapur cici sekarang?Penyelesaian

Gunakan keping aljabar untuk mencari 9 – 4

Jadi, 9 – 4 = 5, jadi kapur cici sekarang adalah 5. Gunakan keping aljabar untuk mencari 9 + (-4)

Gambarlah keping aljabar yang pertama yaitu 9 keping.Gambarlah keping aljabar yang kedua sebanyak 4 keping lalu kurangkanlah

dengan 9 keping pertama atau ambil 4 keping dari kepingan aljabar yang pertama.

Jadi, 9 – 4 = 9 + (-4) = 5

2. Hitunglah hasil penjumlahan dan pengurangan berikut ini dengan menggunakan garis bilangan -5 – (-3) dan -5+3

Penyelesaian :-5 – (-3) -5 + 3

Untuk menghitung -5 - (–3) dan -5 + 3, langkah-langkahnya sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 5 satuan ke kiri sampai pada angka -5.

(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka -5 sejauh 3 satuan ke kiri.

(c) Hasilnya, -5 - (–3) = -5 + 3 = -2.\

3. Operasi Perkalian pada Bilangan Bulat

Perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika kalian mengamati perkalian bilangan. kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut

Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka1) p x q = pq2) (–p) x q = –(p x q) = –pq3) p x (–q) = –(p x q) = –pq4) (–p) x (–q) = p x q = pq.

CONTOH :

Seorang penyelam ikan menyelam dengan kecepatan 2 m per detik menuju dasar laut selama 3 detik. Posisi penyelam tersebut

dapat ditunjukkan dengan garis bilangan vertikal. Dimanakah posisi

penyelam sesudah 3 detik?

Jawab :

Jadi, setelah 3 detik penyelam tersebut akan berada 6 meter di bawah permukaan laut. Pada garis bilangan ditunjukkan oleh

bilangan -6.

Penjumlahan Berulang Perkalian

(-2) + (-2) + (-2) = -6 3 x (-2) = -6

4. Operasi Pembagian Bilangan Bulat

Pembagian merupakan pengurangan berulang.Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

CONTOH:Ibu membeli 8 buah mangga, kemudian Ibu membagikan kepada 4 anaknya. Buah mangga tersebut dibagi sama rata tiap anak. Berapakah masing-masing mangga yang didapat oleh setiap anak tersebut ? Jawab :Jumlah seluruh mangga 8 buah dibagi 4 anak yaitu :8 : 4 = 2Jadi, mangga yang didapat oleh setiap anak adalah 2 buah.

Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, danQ ≠ maka berlaku p : q = r p ⇔ = q x r.

OPERASI HITUNG CAMPURAN PADA BILANGAN BULAT

 Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat terdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu.Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.1. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya

operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

2. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

3. Operasi perkalian (x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian (x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

•CONTOH :

Enam orang guru memenangkan lomba karya ilmiah. Jumlah hadiah yang mereka terima adalah Rp 45.000.000,00. Masing-masing akan mendapat bagian yang sama setelah dikurangi pajak sebesar 15% . Berapakah besar bagian masing-masing guru?PenyelesaianSebelum dibagi sama besar, uang tersebut harus dikurangi sebesar 15%, atau 15%(45.000.000)= 6.750.000 sehingga uang yang akan dibagi adalah 45.000.000 - 6.750.000 = 38.250.000. Bagian masing-masing adalah Rp38.250.000,00 ÷ 6 = Rp6.375.000,00 Dengan demikian urutan operasi penyelesaian masalah tersebut adalah: (45000000 - (15÷100) x 45000000) ÷ 6 = 6.375.000,00

PERPANGKATAN BILANGAN BULAT

Perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama.Secara umum, jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka berlaku :

CONTOH:Tentukan hasil perpangkatan bilangan-bilangan berikut ini.a. 122 b.(-8)3 c. -64

Penyelesaian :a. 122 = 12 x 12 = 144b. (-8)3 = (-8) x (-8) x (-8) = -512c. -64 = -(6 x 6 x 6 x 6) = - 1296

kalinsebanyak

aaaaa..

....

Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulat : Bilangan yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan bilangan.

Kalian telah mengetahui bahwa a2 = a x a di mana a2 dibaca a kuadrat atau a pangkat dua.

Contoh : tentukan nilai berikut ini

Penyelesaian :

= 14, karena 14 x 14 =196

(-27)2 = (-27) x (-27) = 729452 = 45 x 45 = 2023 

a2 = b sama artinya dengan = a.

:

Pangkat tiga dan akar pangkat tiga : Bilangan yang bila dkalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali menghasilkan bilangan.

CONTOH : Tentukan nilai berikut ini.

Penyelesaian : = 2, karena 23 = 2 x 2 x 2 = 8 = 10, karena 103 = 10 x 10 x 10 = 1000.

a3 = b sama artinya dengan = a

3 8 3 100

3 8

3 100

b

196.a

196

345.c3)27.(b

TERIMA KASIH