MODULPECAHAN

Yosep Dwi Kristanto

MODUL PECAHAN

Yosep Dwi Kristanto, M.Pd.Universitas Sanata DharmaYogyakarta

Modul Pecahan ini merupakan modul yang digunakan dalam pelatihan guru-guru SMP Yogyakarta tahun 2016

Cek juga buku yang telah ditulis oleh penulis modul ini

Apa fitur-fiturnya?

• Website pendamping KristantoMath.com• Video pembelajaran, aktivitas interaktif, dan

sumber belajar lain yang 100% gratis di website pendamping

• Buku disusun berdasarkan Kurikulum 2013 terbaru (revisi 2016)

• Penerapan matematika di berbagai bidang: sains, bisnis dan ekonomi, teknologi infor-masi, dan sebagainya.

• Buku mendukung pembelajaran kolaboratif melalui proyek

1Pendahuluan

PENDAHULUAN

A. Gambar Besar Pembelajaran Saintifik

Berdasarkan Permendikbud nomor 81A tahun 2013, proses pembelajaran sain-tifik terdiri atas lima pengalaman belajar pokok, yaitu:

(a) mengamati;(b) menanya;(c) mengumpulkan informasi;(d) mengasosiasi; dan(e) mengkomunikasikan.

Kelima pengalaman belajar tersebut dapat dirinci dalam berbagai kegiatan pem-belajaran seperti dalam tabel berikut.

Langkah Pembelajaran Kegiatan Belajar Kompetensi yang Dikembangkan

Mengamati Membaca, mendengar, menyimak, me-lihat (tanpa atau dengan alat)

Melatih kesungguhan, ketelitian, mencari informasi

Menanya Mengajukan pertanyaan tentang in-formasi yang tidak dipahami dari apa yang diamati atau pertanyaan untuk mendapatkan informasi tambahan ten-tang apa yang diamati (dimulai dari per-tanyaan faktual sampai ke pertanyaan yang bersifat hipotetik)

Mengembangkan kreativitas, rasa ingin tahu, kemampuan merumus-kan pertanyaan untuk membentuk pikiran kritis yang perlu untuk hidup cerdas dan belajar sepanjang hayat

Mengumpulkan informasi/eksperimen

• melakukan eksperimen• membaca sumber lain selain buku

teks• mengamati objek/kejadian/aktivi-

tas• wawancara dengan narasumber

Mengembangkan sikap teliti, ju-jur,sopan, menghargai pendapat orang lain, kemampuan berkomu-nikasi, menerapkan kemampuan mengumpulkan informasi melalui berbagai cara yang dipelajari, mengembangkan kebiasaan belajar dan belajar sepanjang hayat.

Mengasosiasikan/mengolah informasi

mengolah informasi yang sudah dikum-pulkan baik terbatas dari hasil kegiatan mengumpulkan/eksperimen maupun hasil dari kegiatan mengamati dan ke-giatan mengumpulkan informasi.

Mengkomunikasikan Menyampaikan hasil pengamatan, kes-impulan berdasarkan hasil analisis se-cara lisan, tertulis, atau media lainnya

Mengembangkan sikap jujur, teliti, toleransi, kemampuan berpikir siste-matis, mengungkapkan pendapat dengan singkat dan jelas, dan mengembangkan kemampuan ber-bahasa yang baik dan benar.

B. Analisis Topik Pecahan

Berdasarkan Kurikulum 2013, terdapat enam kompetensi dasar pada topik pecahan. Keenam kompetensi dasar tersebut dibagi menjadi dua kategori, yaitu

2 Modul Pecahan

pengetahuan dan keterampilan. Keenam kompetensi dasar tersebut dijabarkan di bawah ini.

Pengetahuan KeterampilanMenjelaskan dan menentukan urutan pada bilangan bulat (positif dan negatif) dan pecahan (biasa, campuran, desimal, persen)

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan urutan beberapa bilangan bulat dan pecahan (biasa, campuran, desimal, persen)

Menjelaskan dan melakukan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan dengan memanfaatkan berbagai sifat operasi

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan

Menjelaskan dan menentukan representasi bilangan bulat besar sebagai bilangan berpangkat bulat positif

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan bulat besar sebagai bilangan berpangkat bulat positif

Berdasarkan enam kompetensi dasar tersebut, struktur isi dari topik pecahan dapat dianalisis sebagai berikut.

Fakta Prinsip dan AturanSimbol-simbol pecahan, definisi pecahan, pemod-elan pecahan (luas, panjang, dan himpunan), pem-bilang, penyebut.

• Pecahan dengan penyebut nol• Aturan penjumlahan, pengurangan, perkalian,

dan pembagian pecahan.• Sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, perka-

lian, dan pembagian pecahan.Konsep ProsedurPecahan biasa, pecahan sejati, pecahan tidak se-jati, bilangan campuran, pecahan persen, pecahan permil, bilangan desimal.

• Prosedur membandingkan pecahan.• Prosedur penjumlahan, pengurangan, perka-

lian, dan pembagian pecahan.• Prosedur mengubah bentuk pecahan.

Sehingga, topik pecahan dapat dibagi menjadi beberapa sub-topik sebagai beri-kut.

• Membandingkan pecahan.• Mengurutkan pecahan.• Operasi dan sifat-sifat operasi pecahan.• Mengubah bentuk bilangan pecahan.

3Pecahan

PECAHAN

A. Terminologi Pecahan

Pecahan, dalam bahasa inggris fraction, berasal dari kata Latin fractio (kata ben-da dari frangere). Kata frangere ini berarti memecah. Oleh karena itu, istilah bilangan pecah juga sering digunakan sebagai sinonom dari pecahan.

Istilah pecahan dapat digunakan untuk merujuk suatu bilangan yang ditulis

dalam ab

dan angka ab

dimana b ≠ 0. Perlu diperhatikan penggunaan simbol

tersebut sebagai bilangan atau angka. Misalnya, jika kita menyatakan bahwa bilangan yang terletak di atas disebut pembilang dan bilangan yang di bawah disebut penyebut, maka pecahan yang kita maksud di situ adalah suatu simbol atau angka. Akan tetapi jika kita mengatakan, “Jumlahkan 1

3 dan 12 ,” maka yang

kita maksud adalah pecahan sebagai suatu bilangan.

Pada topik pecahan di SMP, pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah bi-langan bulat. Bilangan yang seperti ini juga disebut dengan bilangan rasional. Akan tetapi, secara umum, pembilang dan pecahan suatu pecahan adalah semba-rang bilangan real asalkan penyebutnya tidak sama dengan nol.

B. Konsep-Konsep Pecahan

Pecahan dapat dijelaskan dengan menggunakan tiga konsep, yaitu konsep seba-gian dari keseluruhan, konsep pembagian, dan konsep perbandingan.

Konsep Sebagian dari Keseluruhan. Dengan konsep ini, pecahan digunakan

untuk menyatakan sebagian dari keseluruhan. Pada pecahan ab

, bilangan yang

di bawah, b, menunjukkan banyaknya bagian yang sama dalam keseluruhan, sedangkan bilangan yang di atas, a, menunjukkan banyaknya bagian yang diper-hatikan. Gambar 1 di samping menggambarkan pecahan 3⁄8.

Konsep Pembagian. Konsep ini menyatakan pecahan sebagai hasil bagi suatu bilangan dengan bilangan yang lain. Konsep semacam ini dapat diilustrasikan dengan Gambar 2 sebagai berikut.

Untuk menentukan 3 ÷ 4, maka kita bagi 3 dengan 2 terlebih dahulu. Dari sini kita akan mendapatkan satu setengah. Setelah itu, kita bagi dua satu setengah tersebut untuk mendapatkan ¾.

Konsep Pecahan sebagai Pembagian

Untuk sembarang bilangan a dan b, dengan b ≠ 0a a bb= ÷

Gambar 1

Gambar 2

4 Modul Pecahan

Konsep Perbandingan. Pecahan juga dapat digunakan sebagai perbandingan. Misalkan banyaknya siswa laki-laki adalah sepertiga dari banyaknya siswa perempuan.

C. Pecahan-Pecahan Senilai

Pecahan-pecahan senilai dapat diilustrasikan dengan menggunakan Gambar 3 berikut.

1

1⁄2

1⁄4

1⁄8 1⁄8 1⁄8 1⁄8

1⁄4

1

1⁄3

1⁄6 1⁄6

1⁄12 1⁄12 1⁄12 1⁄12

Dari gambar tersebut kita dapat melihat bahwa,

1 2 43 6 12= =

dan 1 2 4

2 4 8= =

Ilustrasi tersebut memberikan aturan fundamental dari pecahan senilai: Untuk sembarang pecahan, pecahan yang senilai dari diperoleh dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bilangan tidak nol yang sama.

Konsep Pecahan Senilai

Untuk sembarang pecahan ab

dan bilangan k ≠ 0,a kab kb=

Menyederhanakan Pecahan. Aturan pecahan senilai tersebut dapat kita gunakan untuk menyederhanakan pecahan. Pecahan dikatakan dalam bentuk paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan kecuali 1.

9 9 3 3

12 12 3 4÷

= =÷

Gambar 4 berikut ini menunjukkan proses penyederhanaan pecahan 9⁄12 menjadi 3⁄4.

1⁄4 1⁄4 1⁄4 1⁄4

D. Menyamakan Penyebut

Adakalanya kita diberikan dua pecahan dengan penyebut yang berbeda. Misalkan 1⁄4 dan 1⁄6. Gambar 5 menunjukkan bahwa banyaknya bagian-bagian dari kedua pecahan tersebut berbeda. Jika masing-masing 1⁄6 bagian kita bagi menjadi dua bagian yang sama dan masing-masing 1⁄4 bagian kita bagi menjadi tiga bagian yang sama, maka masing-masing akan memiliki 12 bagian yang sama. Sehingga

Gambar 3

Gambar 4

5Pecahan

diperoleh dua pecahan yang senilai dengan dua pecahan sebelumnya, yaitu 3⁄12 dan 2⁄12, tetapi penyebutnya sama.

1⁄4

1⁄6

3⁄12

2⁄12

Cara lain untuk menyamakan penyebut dua pecahan adalah dengan menggunakan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) penyebut kedua pecahan tersebut. Karena KPK dari 4 dan 6 adalah 12, maka

1 1 3 34 4 3 12

×= =

× dan 1 1 2 2

6 6 2 12×

= =×

E. Membandingkan Pecahan

Untuk membandingkan dua pecahan, kita dapat menggunakan Gambar 6 di bawah ini.

1⁄2

1⁄3

1⁄4

1⁄5

1⁄6

1⁄7

1⁄8

1⁄9

1⁄10

Berdasarkan gambar di atas, kita dapat melihat bahwa

3 54 7>

Membandingkan pecahan juga dapat dilakukan dengan mengubah pecahan-peca-han tersebut menjadi pecahan senilai yang berpenyebut sama. Karena KPK dari 4 dan 7 adalah 28, maka

3 3 7 214 4 7 28

×= =

× dan 5 5 4 20

7 7 4 28×

= =×

Setelah itu, kita bandingkan pembilang kedua pecahan tersebut. Karena 21 > 20,

Gambar 5

Gambar 6

6 Modul Pecahan

maka

21 2028 28

>

Secara umum, membandingkan dua pecahan dapat dilakukan dengan cara berikut.

Konsep Membandingkan Pecahan

Untuk sembarang pecahan ab

dan cd

, dimana b dan d positif,

a cb d< jika dan hanya jika ad < bc

dan

a cb d> jika dan hanya jika ad > bc

F. Operasi-Operasi pada Pecahan

Penjumlahan Pecahan. Penjumlahan dua pecahan dapat diilustrasikan dengan menggabungkan dua nilai. Perhatikan contoh berikut.

Antok belajar matematika selama ½ jam, dan dilanjutkan belajar fisika 1⁄3 jam. Berapa jamkah Antok belajar matematika dan fisika?

Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan menggunakan gambar. Gambar 7 berikut ini menunjukkan pecahan ½ dan 1⁄3.

1 12 3+

Untuk memudahkan dalam penjumlahan pecahan, kita samakan penyebut dua pecahan yang diberikan. KPK dari 2 dan 3 adalah 6, maka

1 1 3 22 3 6 6+ = +

Selanjutnya kita ilustrasikan penjumlahan 3⁄6 dan 2⁄6 pada Gambar 8.

3 26 6+

Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan

3 2 56 6 6+ =

Sehingga, untuk menjumlahkan dua pecahan, pertama kita pastikan penyebut

Gambar 7

Gambar 8

7Pecahan

Gambar 9

kedua pecahan tersebut sama. Setelah itu kita jumlahkan pecahan tersebut dengan menjumlahkan pembilang-pembilangnya, dan membiarkan penyebut tetap.

Untuk menyamakan penyebut dua pecahan, kita juga dapat mengalikan penye-but kedua pecahan tersebut. Hasil kali kedua penyebut tersebut tidak selalu KPK dari kedua penyebut tersebut. Setelah dua pecahan tersebut memiliki penyebut yang sama, kita tinggal menjumlahkan kedua pecahan tersebut.

Konsep Penjumlahan Pecahan

Untuk sembarang dua pecahan ab

dan cd

,

a c ad bc ad bcb d bd bd bd

++ = + =

Pengurangan Pecahan. Pengurangan pecahan dapat dilakukan seperti dalam penjumlahan pecahan. Pertama, jika perlu, samakan penyebut pecahan-pecahan yang diberikan, kemudian kurangi pembilang-pembilang pecahan dan biarkan penyebutnya tetap. Perhatikan contoh berikut.

Bintang diberi ¾ kg buah apel oleh tantenya. Karena dia memiliki adik, maka dia memberikan 1⁄6 kg apel tersebut kepada adiknya. Berapa kg sisa apel yang dimiliki oleh Bintang?

Untuk menentukan sisa apel yang dimiliki Bintang, kita cari hasil

3 14 6−

Pengurangan kedua pecahan tersebut dapat diilustrasikan oleh Gambar 9 berikut.

3 14 6−

Berdasarkan gambar tersebut kita dapat melihat bahwa

3 1 9 2 74 6 12 12 12− = − =

Jadi, sisa apel yang dimiliki Bintang adalah 7⁄12 kg.

Konsep Pengurangan Pecahan

Untuk sembarang dua pecahan ab

dan cd

,

a c ad bc ad bcb d bd bd bd

−− = − =

8 Modul Pecahan

Perkalian Pecahan. Perkalian pecahan akan lebih mudah jika diilustrasikan dengan menggunakan luas daerah. Misalkan kita akan menghitung

2 43 5×

Untuk mengalikan kedua pecahan tersebut, pertama kita gambar pecahan 4⁄5. Se-lanjutnya kita arsir 2⁄3 dari daerah 4⁄5. Perhatikan Gambar 10 berikut.

45

815

2 43 5×

Dari ilustrasi tersebut kita dapat melihat bahwa hasil kalinya dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang kedua pecahan, per hasil kali dari penyebut.

Konsep Perkalian Pecahan

Untuk sembarang dua pecahan ab

dan cd

,

a c acb d bd× =

Pembagian Pecahan. Pembagian pecahan dapat dimaknai serupa dengan pem-bagian bilangan cacah. Salah satu makna dalam pembagian bilangan cacah dapat direpresentasikan dengan pengurangan berulang. Hal ini akan kita gunakan un-tuk memaknai pembagian pecahan.

Dari Gambar 11 tampak bahwa kita dapat mengurangi ¾ dengan 1⁄8 sebanyak 6 kali. Sehingga,

3 1 64 8÷ =

Kemudian bagaimana jika nanti hasil baginya bukan berupa bilangan cacah. Dengan kata lain, bagaimana jika nanti setelah dikurangi secara berulang akan menghasilkan sisa? Untuk kasus ini, perhatikan ilustrasi yang ditunjukkan Gam-bar 12.

Gambar 10

Gambar 11

9Pecahan

Gambar 12

Gambar 13

Sisa

Pembagi

Gambar di atas mengilustrasikan 5 16 3÷ . Ketika 5/6 dikurangi oleh 1/3 sebanyak

2 kali, maka akhirnya dihasilkan sisa. Jika kita bandingkan sisanya dengan pem-baginya, maka kita dapat melihat bahwa sisa tersebut sama dengan setengahnya pembagi. Sehingga,

5 1 126 3 2÷ =

Selain dengan menggunakan gambar, pembagian pecahan juga dapat dilakukan dengan mengubah pembagian menjadi perkalian dengan membalik pembaginya. Perhatikan contoh berikut.

1 1 1 3 3 112 3 2 1 2 2÷ = × = =

Pembagian tersebut dapat diilustrasikan oleh Gambar 13 berikut.

Kedua pecahan

kalikan 3

Sehingga, ide dalam pembagian tersebut adalah membuat pembaginya menjadi 1. Dengan cara yang serupa kita dapat membagi pecahan seperti berikut.

Konsep Perkalian Pecahan

Untuk sembarang pecahan ab

dan cd

, dengan 0cd≠

a c a db d b c÷ = ×

10 Modul Pecahan

PEMBELAJARAN PECAHAN

A. Permainan “Berbagi Cokelat”

Untuk membelajaran pecahan kepada siswa SMP, terdapat banyak macam pi-lihan yang inovatif dan menarik. Salah satunya adalah dengan menggunakan permainan “Berbagi Cokelat.” Permainan ini diambil dari artikel dengan judul “Sweet Work with Fractions” oleh Vinogradova dan Blaine da-lam Mathematics Teahing in the Middle School Vol. 18 No. 8, April 2013.

Untuk melakukan permainan ini diperlukan 6 cokelat batang dengan ukuran dan rasa yang sama, 3 meja, dan satu lembar aktivitas (terlampir). Keenam cokelat tersebut diletakkan pada setiap meja, sehingga pada meja pertama terdapat 1 cokelat, meja kedua ada 2 cokelat, dan meja ketiga ada 3 cokelat. Selanjutnya siswa secara bergilir diminta untuk memilih dan duduk di sekeliling meja tersebut. Dalam memilih meja, siswa harus memilih meja agar dia mendapatkan bagian cokelat yang maksimal. Selain itu, dia juga harus men-ganggap bahwa dia merupakan siswa terakhir yang memilih meja tersebut.

B. Diskusi dalam Permainan

Perhatikan tabel di bawah ini untuk mengikuti penjelasan. Karena cokelat dalam permainan ini memiliki ukuran sama, maka kita gunakan istilah batang sebagai satuan cokelat. Siswa pertama memilih meja ketiga yang tersedia 3 cokelat. Siswa kedua akan memilih meja kedua yang berisi 2 cokelat. Dan tamu keti-ga akan memilih meja ketiga. Pada kasus siswa ketiga ini, dia akan membagi 3 cokelat kepada satu siswa sebelumnya, sehingga masing-masing siswa akan mendapatkan 1 ½ batang.

Tamu NomorBesarnya Cokelat yang Diterima

Meja 1 Meja 2 Meja 31 1 2 32 1 2 1 1⁄23 1 1 1 1⁄24 1 1 15 1⁄2 1 16 1⁄2 1 3⁄47 1⁄2 2⁄3 3⁄48 1⁄2 2⁄3 3⁄59 1⁄2 2⁄4 3⁄5

10 1⁄2 2⁄4 3⁄611 1⁄3 2⁄4 3⁄612 1⁄3 2⁄4 3⁄713 1⁄3 2⁄5 3⁄714 1⁄3 2⁄5 3⁄815 1⁄3 2⁄6 3⁄816 1⁄3 2⁄6 3⁄9

11Pembelajaran Pecahan

Siswa 4, 5, 6 Siswa keempat dapat memilih meja manapun karena di setiap meja dia akan mendapatkan cokelat yang sama, yaitu satu batang. Kemudian permainan ini dilanjutkan oleh siswa kelima dan keenam. Bagaimanapun urutan meja yang dipilih oleh siswa kelima dan keenam, maka pilihan yang akan diha-dapi oleh siswa ketujuh tetaplah sama.

Siswa 7 Siswa ketujuh akan mendapatkan ½ batang di meja pertama, 2⁄3 batang di meja kedua, dan 3/4 di meja ketiga. Meja mana yang akan dipilih oleh meja ketujuh ini merupakan hal yang menarik. Mana yang lebih besar, ½, 2⁄3, atau ¾? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat menganggap bahwa ketiga pecahan tersebut sebagai pecahan yang kurang dari satu: ½ sama dengan 1 kurang seten-gah, 2⁄3 sama dengan 1 kurang 1⁄3, dan ¾ sama dengan 1 kurang ¼.

Sekarang yang akan kita bandingkan adalah ½, 1⁄3, dan ¼. Bayangkan ada 1 cokelat dibagi menjadi 2, 3, atau 4 bagian yang sama. Tentunya yang paling besar adalah ketika cokelat tersebut dibagi menjadi 2 bagian. Kemudian lebih kecil lagi jika cokelat tersebut dibagi menjadi 3, dan paling kecil ketika cokelat tersebut dibagi menjadi 4 bagian. Sehingga kita peroleh ½ > 1⁄3 > ¼.

Selanjutnya yang kita bandingkan adalah sisa cokelat ketika dikurangi ½, 1⁄3, dan ¼. Semakin besar pengurangnya, maka sisa cokelat semakin sedikit. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa ½ < 2⁄3 < ¾.

Siswa 8 sampai 12 Siswa 8 sampai 12 dapat membandingkan pecahan den-gan menggunakan gambar. Misalkan, siswa ke-8 akan membandingkan 2⁄3 dan 3⁄5 karena kedua pecahan ini lebih besar dari ½. Gambar di bawah ini menunjukkan bahwa 2⁄3 lebih besar dari ½ sejauh setengahnya 1⁄3. Sedangkan 3⁄5 lebih besar dari ½ sejauh setengahnya 1⁄5. Karena setengahnya 1⁄3 lebih besar dari setengahnya 1⁄5, maka siswa kedelapan akan memilih meja kedua.

0 1⁄2 1

1⁄3 1⁄3 1⁄3

1⁄5 1⁄5 1⁄5 1⁄5 1⁄5

0 1⁄2 1

LEMBAR AKTIVITASNama : .............................................

BERAPA BAGIAN COKELAT YANG DIDAPAT?

Terdapat tiga meja dalam game “Berbagi Cokelat,” dan terdapat 1, 2, dan 3 batang cokelat (dengan ukuran dan rasa yang sama) pada meja-meja tersebut. Perhatikan gambar di bawah. Masing-masing tamu, memilih sebuah meja dan duduk. Ketika tamu terakhir duduk, cokelat dari masing-masing meja dibagi secara merata kepada semua tamu yang duduk menghadap meja tersebut.

Meja 1 Meja 2 Meja 3

Ketika Bapak/Ibu duduk, analisislah meja dengan menganggap bahwa Bapak/Ibu sebagai tamu terakhir, untuk memaksimalkan cokelat yang diterima.

Lengkapilah tabel di bawah ini. Putuskan berapa banyak cokelat yang diperoleh pada mas-ing-masing meja, dan lingkarilah bagian terbesar (jika banyaknya sama, pilih sesuka hati).

Tamu NomorBanyaknya Cokelat yang Didapat

Meja 1 Meja 2 Meja 312345678910111213