INTEGRAL TAK TENTU

(pecahan rasional)

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

agustina.fmipa@unej.ac.id

DEFINISI 1

Fungsi suku banyak derajad n dengan n

bulat non negatif

0 dimana

,)( 2

210

n

n

nn

a

xaxaxaaxP

Fungsi konstan dipandang sbg fungsi

suku banyak derajad nol yaitu

00 )( axP

Fungsi pecahan rasional adalah

fungsi dengan bentuk

dengan N dan D fungsi suku banyak.)(

)(

xD

xN

DEFINISI 2

Dalam bagian ini akan dibahas mencari

integral tak tentu dari fungsi pecahan

rasional yaitu

)(

)(

xD

xN

BENTUK N(x) DAN D(x)

1. N(x)=D’(x)

2. Derajad N(x) tidak kurangdari derajad D(x)

3. Derajad N(x) kurang dariderajad D(x)

1. N(x)=D’(x)

Dari rumus integrasi dasar telah

diketahui bahwa

Cln xx

dx

Sehingga jika N(x) = D’(x) maka

C)(ln)(

)('

)(

)( xDdx

xD

xDdx

xD

xN

Ctansecln

sectan

secsectansec

sectansec&tansec

dasar integrasi rumus dari

sectan

sec)sec(tansec

2

2

xx

dxxx

xxxdxx

Cxx dxxCxxdx

dxxx

xxxdxx

Contoh 1

dxxsec Cari

Jika derajad N(x)≥derajad D(x), lebih

dahulu dilakukan pembagian N(x) oleh

D(x), sehingga

dengan

Q(x) & R(x) suku banyak dalam x, dan

derajad R(x)<derajad D(x).

)(

)()(

)(

)(

xD

xRxQ

xD

xN

2. Derajad N(x) tidak kurang dari derajad D(x)

Integrasi Q(x) sudah dapat

dikerjakan.

Integrasi merupakan

integral fungsi pecahan rasional

dengan derajat suku banyak

pembilang kurang dari derajat

suku banyak penyebut.

)(

)(

xD

xR

C O N T O H

dx

x

x

1 Cari

2

3

C1ln2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

111

11

2

2

222

3

22

3

xx

dxx

xx

dxx

xdxxdx

x

xxdx

x

x

x

xx

x

x

Contoh 2

Tanpa mengurangi keumumannya,

diambil koefisien suku pangkat

tertinggi dari x di dalam D(x) adalah

satu, kecuali dlm keadaan khusus

integral dapat disederhanakan dengan

menggunakan subtitusi.

3. Derajad N(x) kurang dari derajad D(x)

Pada bentuk derajat N(x) kurang dari

derajat D(x) maka integrand dipisah

lebih dahulu menjadi pecahan-pecahan

parsialnya.

C3ln152ln101ln

)3(15

)2(10

)1(64

66

sehingga

)3(

15

)2(

10

)1(

1

)3)(2)(1(

66

64

66

23

2

2

23

2

xxx

x

dx

x

dx

x

dxdx

xxx

x

xxx

xxx

x

xxx

x

Contoh 3

dx

xxx

x

64

66Cari

23

2

a. Semua akar real dan berlainan

b. Semua akar real dan ada yang sama

c. Punya akar tidak real yang berlainan

d. Punya akar tidak real yang sama

Dalam memisahkan atas pecahan-

pecahan parsialnya, dibedakan 4

keadaan akar-akar persamaan D(x)=0 :

)(

)(

xD

xN

Misalkan D(x)=0 punya akar a,b,c,d yang

real dan berlainan, maka

D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)

a. Semua akar real dan berlainan

untuk setiap nilai x yang diberikan maka

nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas

kanan, sedang A,B,C dan D konstanta yang

akan dicari.

Karena koefisien pangkat tertingginya satu

dan derajat N(x) tidak melebihi tiga maka

d

D

c

C

b

B

a

A

)(

)(

xxxxxD

xN

)2)(1)(1(D)3)(1)(1(C

)3)(2)(1(B)3)(2)(1(A5

)3(

D

)2(

C

)1(

B

)1(

A

)3)(2)(1)(1(

5

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxx

x

Contoh 4

Cari integral berikut

dxxxxx

x

)3)(2)(1)(1(

5

2D]-3C-6BB-A6[D]-C-BA11[

2D]3C4BA6[D]CBA[5 23

x

xxx

Ada empat persamaan :

52D-3C-6BB-A6 (4)

1D-C-BA11 (3)

02D3C4BA6 (2)

0DCBA )1(

Diperoleh,

4

1D,1C,1B,

4

1A

)3(4

1

2

1

1

1

)1(4

1

)3)(2)(1)(1(

5

xxxxxxxx

x

C3ln4

12ln1ln1ln

4

1

3

1

4

1

2

1

1

1

1

1

4

1

)3)(2)(1)(1(

5

xxxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxxxxx

x

Calna

x

x

dx

Dalam keadaan ini hanya dijumpai

satu macam integral yaitu

322 )d(

G

)d(

F

d

E

)c(

D

c

C

b

B

a

A

)(

)(

xxxxxxxxD

xN

Misalkan D(x)=0 punya akar tunggal x1=a

dan x2=b, akar kembar x3=x4=c dan akar

berlipat tiga x5=x6=x7=d, maka

D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)2(x-d)3

dan derajat N(x) tidak melebihi enam

b. Semua akar real dan ada yang sama

dimana A,B,C,D,E,F dan G konstanta yang

dicari.

k3

3

2

21

p)(

p

p)(

p

p)(

p

p

p

xxxx

k

Jika p akar berlipat k dari D(x)=0 maka

di ruas kanan dalam identitas ditulis k

pecahan berturut-turut dengan penyebut

(x-p),(x-p)2,(x-p)3,…,(x-p)k.

Jadi pecahan yg sesuai dengan akar p

yang berlipat k ini adalah

32

232

)1(

F

)1(

E

)1(

D

)1(

C

1

B

2

A

)1()1)(2(

xxx

xxxxxx

x

Contoh 5

Cari integral berikut

32 )1()1)(2( xxx

x

22

223

332

)1)(2(F)1()1)(2(E

)1()1)(2(D)1)(2(C

)1)(1)(2(B)1()1(A

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

Dari enam persamaan tersebut diperoleh

12

1F,

36

1E,

432

5D,

8

1C,

16

1B,

27

2A

32

232

)1(12

1

)1(36

1

)1(432

5-

)1(8

1

)1(16

1

)2(27

2

)1()1)(2(

xxx

xxxxxx

x

C)1(12

1

)1(36

11ln

432

5

)1(8

11ln

16

12ln

27

2

)1(

1

12

1

)1(

1

36

1

)1(

1

432

5

)1(

1

8

1

)1(

1

16

1

)2(

1

27

2

)1()1)(2(

32

2

32

xxx

xxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

xxx

x

Dalam keadaan ini dijumpai dua

macam integral yaitu

2,3,...)(n C,a))(1(

1

)a(.2

Calna

.1

1-n

xnx

dx

xx

dx

n

T

E

O

R

E

M

A

c. Punya akar tidak real yang berlainan

Akar-akar tidak real pada

persamaan derajad tinggi dengan

koefisien real sepasang-sepasang

bersekawan, artinya jika a+bi (a, b

real) suatu akar maka a-bi juga

akar persamaan itu.

Dari teorema tersebut diketahui

bahwa a+bi dan a-bi akar dari

D(x)=0, sehingga

[x-(a+bi)][x-(a-bi)]

faktor dari D(x).

Hasil kali ini sama dengan (x-a)2+b2,

yang merupakan bentuk kuadrat

dalam x yang definit positip.

Misalkan

Jadi

x1 = p, x2 = x3 = q,

x4 = a+bi, x5 = a-bi,

x6 = c+di, x7 = c-di

akar-akar persamaan tersebut.

}d)c}{(b)a){(q)(p()( 2222 xxxxxD

Karena derajat N(x) kurang dari

derajad D(x) maka pemisahan

atas pecahan-pecahan parsial adalah

Dimana konstanta A,B,C,D,E,F dan G

konstanta yang dicari.

)(

)(

xD

xN

22222 d)c(

GF

b)a(

ED

q)(

C

q

B

p

A

)(

)(

x

x

x

x

xxxxD

xN

1

1

3

1

)1(3

1

1

3

1C,

3

1B,

3

1A

)CA()CBA()BA(

)1(C)B()1(A

1

CB

1

A

)1)(1(1

23

2

2

223

xx

x

xx

x

xx

xxxxx

xx

x

xxxx

x

x

x

Contoh 6

dx

x

x

1 cari

3

C3

12arctan

3

31ln

6

11ln

3

1

1

arctan1

2

11ln

6

11ln

3

1

)(2

31ln

2

1

3

11ln

3

1

12

3

1

12

2

1

3

11ln

3

1

1

3-12

2

1

3

11ln

3

1

1

1

3

1

)1(

1

3

1

1

2

3

43

21

43

2

432

21

2

22

2

23

xxxxdx

x

x

xxxx

x

dxxxx

xx

dxdx

xx

xx

dxxx

xx

dxxx

xdx

xdx

x

x

Dalam keadaan ini dijumpai dua

macam integral yaitu

Cb

aarctan

b

BaA

b)a(ln2

A

b)a(

BA.2

Calna

.1

22

22

x

xdxx

x

xx

dx

Analogi dengan bentuk c, jika a+bi

merupakan akar berlipat k dari

persamaan D(x)=0, maka a-bi, dan

faktor-faktor dari D(x) yang sesuai

dengan akar-akar ini adalah

[(x-a)2+b2]]k

d. Punya akar tidak real yang sama

Misalkan

322222 }d)c}{(b)a{()q)(p()( xxxxxD

akar-akar persamaan tersebut :

1. x1 = p, x2 = x3 = q,

2. Akar tunggal kompleks

a+bi & a-bi

3. Akar kompleks berlipat tiga

c+di, dan c-di

Karena derajat N(x) kurang dari

derajad D(x) maka pemisahan

atas pecahan-pecahan parsial adalah

dimana konstanta A,B,C,D,E,F,G,H,

I,J dan K konstanta yang dicari.

)(

)(

xD

xN

32222222222d)c(

KJ

d)c(

IH

d)c(

GF

b)a(

ED

q)(

C

q

B

p

A

)(

)(

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxxD

xN

k

k

x

x

x

x

x

x

22

k

222

22

22

11

d)c(

BA

d)c(

BA

d)c(

BA

tiga suku terakhir yang sesuai dengan

faktor 322 ]d)c[( x

]d)c[( 22 x

kx ]d)c[( 22 Jika D(x) mempunyai faktor

maka pecahan yang sesuai dengan faktor

ini terdiri atas k suku pecahan berturut-

turut dengan penyebut

dari pangkat satu sd k dan pembilang

suatu bentuk linear dalam x.

0E,1D,1C,1B,1A

diperoleh

2E)-2C-A(E)2D-2B-(C

)D2CB2A()B2C(B)A(

)2(E)D()1)(2(C)B()1(A

1523

)1(

ED

1

CB

2

A

)1)(2(

1523

234

222

23

22222

23

x

xxx

xxxxxx

xxx

x

x

x

x

xxx

xxx

Contoh 7

dx

xx

xx22

23

)1)(2(

1523 cari

C)1(2

1arctan1ln

2

12ln

C)1(2

1

11

2

2

12ln

C)1(2

1

1

22

2

12ln

)1(1

1

2

1

)1)(2(

1523

2

2

222

22

222

22

23

xxxx

xx

dxdx

x

xx

xdx

x

xx

dxx

xdx

x

xdx

x

dxxx

xx

Dalam keadaan ini dijumpai tiga

macam integral yaitu

,...3,2untuk

b)a(

BA 3.

Cb

aarctan

b

BaA

b)a(ln2

A

b)a(

BA.2

Calna

.1

22

22

22

ndxx

x

x

xdxx

x

xx

dx

n

,...3,2untuk

b)a(

BA

Cb

aarctan

b

BaAb)a(ln

2

A

b)a(

BA

2,3,...)(n C,a))(1(

1

)a(

Calna

22

22

22

1-n

ndxx

x

xxdx

x

x

xnx

dx

xx

dx

n

n

Pada penyelesaian bentuk terdapat t

empat macam integral :

)(

)(

xD

xN

integral keempat dapat diselesaikan jika dapat

menyelesaikan

nt

dt

21

integral keempat dng subtitusi y = x-a.

integral kedua dari ruas terakhir diubah menjadi

Dengan

nn

b

ynt

dtdydy

y 21-2n22n22 1b

BaA

)(1b

BaA

b

BaA

b

yt

dy

yy

yddy

y

ydx

x

xnnnn 2222

22

2222 b

BaA

b

)b(

2

A

b

BaAA

b)a(

BA

121212

12122

122

2

1-n2

12

2

2

122

22

2

)1(

1

2n2

1

)1(2n2

1

)1(

)1(

1

2n2

1

)1()1(

)1(

1

2n2

1

)1(

-

2)1(

)1(1

)1(

1

)1()1()1(

1

)1(

nnn

nnn

nn

nn

nnnn

td

t

t

t

dt

ttd

t

dt

t

dt

td

t

dtt

dttt

ntd

td

dtt

t

t

dtdt

t

tt

t

dt

RUMUS REDUKSI

Diperoleh rumus reduksi yaitu

untuk n = 2, 3,…

Ruas kanan dari integral terakhir diperoleh

dari rumus reduksi sebelumnya.

222232

22222

)1(4

3

)1(4)1(

Carctan2

1

)1(212

1

)1(2)1(

t

dt

t

t

t

dt

tt

t

t

dt

t

t

t

dt

12122 )1(2n2

3n2

)1)(2n2()1( nnn t

dt

t

t

t

dt

dx

xxx

xxxx22

234

)32)(1(

812114 Hitung

-1E 1, D 0,C 0,B1,A

E3C9A )ED5C3B12A(

)D3C5B10A()C3B4A()BA(

)1E)(D()32)(1C)(B()32(A

812114

positipdefinit 2)1(32

)32(

ED

32

CB

1

A

)32)(1(

812114

234

222

234

22

22222

234

x

xxx

xxxxxxxx

xxxx

xxx

xx

x

xx

x

xxxx

xxxx

Contoh 7

22

2

12

22

2

12

222

2222

22

2222

234

})(1{2

1

)32(2

11ln

})(1{2

1

)32(2

11ln

})1(2{2

)32(2

11ln

)32(2

)32(

22

2

11ln

)32(

422

2

11ln

)32(

1

1)32)(1(

812114

x

x

dx

xxx

dx

xxx

x

dx

xxx

xx

dxdx

xx

xx

dxxx

xx

dxxx

x

x

dxdx

xxx

xxxx

C2

1arctan

4

2

)32(2

21ln

C2

1arctan

4

2

))(1(4

2

)32(2

11ln

Carctan4

2

)1(4

2

)32(2

11ln

)1(2

1

)1(22

2

)32(2

11ln

)1(2

2

)32(2

11ln

2

1 misal,

})(1{2

1

)32(2

11ln

2

2

2

1

2

1

2

22

222

222

22

2

12

x

xx

xx

x

xxx

tt

t

xxx

t

dt

t

t

xxx

t

dt

xxx

xt

dx

xxx

x

x

x