FUNGSI KABUR - USD

FUNGSI KABUR

Tugas Akhir

Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Nama : Retno Triyanti

NIM : 023114012

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

FUZZY FUNCTION

FINAL ASSIGNMENT

Presented for the Partial Fulfillment of the Requirement

To Obtain the Sarjana Sains Degree

Study Program of Mathematics

By:

Name : Retno Triyanti

Student Number : 023114012

STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS

SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008


ii


iii


HALAMAN PERSEMBAHAN

Kegagalan bukan berarti anda gagal

Tetapi anda belum sukses

Kegagalan bukan berarti anda tak mencapai apa-apa

Tetapi anda telah mempelajari sesuatu

Kegagalan bukan berarti anda bodoh karena pernah mencoba

Itu pertanda anda berani, berhati teguh, bersemangat baja

Maka berbanggalah dengan diri anda sendiri

Kegagalan bukan berarti anda tidak akan sukses

Tetapi dibutuhkan kesabaran

Kegagalan bukan berarti anda sudah berakhir

Tetapi anda masih punya peluang untuk memulainya kembali,

dan berusaha mencari sesuatu yang baru

Kegagalan bukan berarti Tuhan telah meninggalkan anda

Tetapi Dia punya rencana yang lebih baik

Jadi berarti bahwa kegagalan tidak akan pernah berakhir …

(Dr. Robert Schuller)

Tugas Akhir ini aku persembahkan kepada:

1. Kedua orangtua tercinta

2. Kakak-kakakku semua dan dek Tarra tersayang

3. Keluarga besarku

iv


v


ABSTRAK Fungsi kabur diklasifikasikan menjadi tiga kelompok, yaitu fungsi tegas

dengan kendala kabur, fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel be-

bas ke variabel tak bebas, dan fungsi pengaburan dengan variabel tegas. Untuk

menentukan nilai maksimum fungsi tegas dengan daerah asal tegas maupun ka-

bur dipakai himpunan pemaksimum dan himpunan peminimum. Integral kabur

diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu integral fungsi kabur pada interval

tegas dan integral fungsi tegas pada interval kabur. Diferensial fungsi tegas pada

himpunan kabur dikerjakan dengan menggunakan prinsip perluasan.

vi


ABSTRACT

Fuzzy functions can be classified into three groups, namely crisp functions

with fuzzy constraint, crisp functions that propagate fuzziness of independent

variable to dependent variable, and fuzzifying functions of crisp variable. To find

the maximum value of crisp function with crisp or fuzzy domain we use maximi-

zing set and minimizing set. Fuzzy integration is classified into two groups,

namely integration of fuzzy function on crisp interval and integration of crisp

function on fuzzy interval. Differentiation of crisp function on fuzzy set is carried

out using extension principle.

vii


KATA PENGANTAR

Alhamdullilahhirobil’alamin, puji syukur kepada Allah SWT yang telah

memberikan anugerah, kekuatan, kesabaran, kesehatan, dan kebahagiaan sehingga

penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir yang berjudul “FUNGSI

KABUR”. Tugas akhir ini disusun guna memenuhi salah satu syarat memperoleh

gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika.

Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-

besarnya kepada:

1. Romo Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing yang telah memberi-

kan bimbingan dan pengarahan dalam penulisan tugas akhir ini.

2. Romo Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.A., M.Sc, selaku Dekan

Fakultas Sains dan Teknologi

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi

Matematika.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

5. Bapak dan Ibu dosen Fakultas Sains dan Teknologi, khususnya Program

Studi Matematika.

6. Segenap karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpusta-

kaan, Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, BAA, dan AUK.

7. Bapak dan Ibu, yang telah memberikan kasih sayang, kepercayaan, doa,

semangat, dan kesabaran menunggu kelulusan saya.

viii


8. Semua kakakku dan dik Tarra terima kasih atas kasih sayang, dukungan

dan doanya.

9. Teman-teman angkatan 2002, terima kasih atas dukungan dan doanya.

10. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas

akhir ini.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih banyak kesalahan dan ke-

kurangan yang harus diperbaiki, oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis

harapkan demi kesempurnaan tugas akhir ini.

Yogyakarta, …………………………. 2008

Penulis

Retno Triyanti

ix


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL …………………………………………..……… ….… i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………….....… ii

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………....… iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………………. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………….…… v

ABSTRAK ……………………………………………………..……………… vi

ABSTRACT ………………………………………………….……………….. vii

KATA PENGANTAR ………………………………………...…….…….…... viii

DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. x

DAFTAR TABEL …………………………………………………………….. xii

DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………. xiii

BAB I PENDAHULUAN ………………………………………...…….…..….. 1

A. Latar belakang Masalah ……………………………….………...…..…. 1

B. Rumusan Masalah …………….………………………..………………. 2

C. Batasan Masalah ……………………………….………………………. 3

D. Tujuan Penulisan …………………………...……….………………….. 3

E. Metode Penulisan ……………………………….….…….…………….. 3

F. Manfaat Penulisan …………………………………….……..…………. 3

G. Sistimatika Penulisan …………………….…......................…………… 4

BAB II FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR ……….…….…..…….. 5

A. Fungsi Tegas …..…………………………………………..……….…… 5

1. Pengertian Fungsi ………………,,……………………….………. 5

2. Nilai maksimum dan Minimum Fungsi ………….……….……… 8

3. Diferensial ………………………………………..….…………… 9

4. Integral …………………………………….….…………………. 16

B. Himpunan Kabur …………………………………………….………... 20

1. Pengertian Himpunan Kabur ……………………….…………… 20

2. Fungsi Keanggotaan …………………………….…….…………. 25

3. Operasi pada Himpunan kabur …………………….………….…. 32

x


4. Potongan-α dari Himpunan Kabur ……………………………... 34

5. Prinsip Perluasan ……………………………………….………. 34

BAB III FUNGSI KABUR ………….........................................................…... 37

A. Jenis- jenis Fungsi Kabur …………………………….……………….. 37

1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur ……….………………….. 37

2. Penularan Kekaburan oleh Fungsi Tegas ………….……………. 39

3. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas ………….…………. 40

B. Ekstrim Kabur dari Fungsi ……………………………….…………… 44

1. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum …………….…….….. 44

2. Nilai Maksimum dari Fungsi tegas ……………….……..………. 47

a. Daerah Asal Tegas ………………………..…………………. 47

b. Daerah Asal Kabur ………………………….………………. 48

C. Integral dan Diferensial Kabur ………………….…………………….. 51

1. Integral ………………………………………….................……. 51

a. Integral Fungsi Kabur dengan Interval tegas ……….………. 52

b. Integral Fungsi Tegas dengan Interval kabur ……….….…… 54

2. Diferensial ………………………………………….…………… 56

D. Soal – soal ………………………………………………….………… 58

BAB IV KESIMPULAN ……………………………………….…………….. 70

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………….…….…….. 73

xi


DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Integral Kabur ………………………………………………………. 56

Tabel 3.2. Integral Kabur dari fungsi …………………………… 64 1)( 2 += xxf

xii


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c ………….. 8

Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c ………..….. 9

Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x) ……………………….…………………15

Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel ix ….………. 18

Gambar 2.5. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur

“bilangan real yang dekat dengan 4” ……………………….…... 26


“bilangan real yang dekat dengan 4”……………………………. 27

Gambar 2.7. Grafik fungsi keanggotaan ……………...... 28 )15,6,3;(xSegitiga

Gambar 2.8. Grafik fungsi keanggotaan …………... 29 )15,9,6,3;(xTrapesium

Gambar 2.9. Grafik fungsi keanggotaan ………………..….…. 30 )8,8;(xGauss

Gambar 2.10. Grafik fungsi keanggotaan …………...…….. 31 )8,1,4;(xCauchy

Gambar 3.1. Fungsi pengaburan …………………………………………..….. 41

Gambar 3.2. Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas ………..………………….. 44

Gambar 3.3. Contoh himpunan pemaksimum ……………………...…………. 45

Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum dari fungsi sinus ……………..……….. 46

Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas ……………..………. 48

Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar ………………………..……….. 49

Gambar 3.7. Nilai maksimum dari 2)( +−= xxf dengan daerah asal kabur .. 50

Gambar 3.8. Nilai maksimum xxf cos)( = dengan daerah asal kabur ……..... 51

xiii


Gambar 3.9. Integral fungsi kabur dengan interval tegas ……………..….…... 54

Gambar 3.10. Interval kabur …………………………………………..……… 54

xiv


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai gejala kekaburan, yaitu

suatu himpunan yang tidak mempunyai batasan yang jelas. Misalkan kita ambil

contoh dalam kehidupan nyata, manusia dapat dibagi menjadi dua yaitu laki-laki

dan perempuan. Batasan laki-laki dan perempuan adalah jelas, tetapi tidak

demikian dengan perempuan yang cantik dan perempuan tidak cantik. Himpunan

perempuan yang cantik merupakan himpunan dengan obyek-obyek yang keanggo-

taanya tidak dapat ditentukan dengan tegas karena himpunan perempuan yang

cantik dan himpunan perempuan yang tidak cantik mempunyai batasan yang tidak

jelas. Karena himpunan perempuan yang cantik itu tergantung oleh penilaian se-

seorang. Misalnya menurut Anton mungkin Krisdayanti itu cantik sekali, tetapi

menurut Budi itu mungkin hanya biasa saja. Jadi tidak jelas mana yang meru-

pakan anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan.

Dengan adanya permasalahan yang tidak dapat diselesaikan dengan him-

punan tegas, maka diperlukan konsep himpunan kabur. Konsep himpunan kabur

diperkenalkan oleh Lotfi Asker Zadeh, seorang guru besar di University of Cali-

fornia, Berkeley, Amerika Serikat. Konsep himpunan kabur tersebut memperluas

konsep himpunan tegas menjadi konsep himpunan kabur. Dalam teori klasik,

himpunan didefinisikan sebagai suatu kumpulan obyek-obyek yang terdefinisi se-

cara tegas, yaitu dapat ditentukan apakah obyek tersebut merupakan anggota him-

1


2

punan itu atau tidak. Himpunan tegas A dapat didefinisikan menggunakan fungsi

Aχ dengan nilai pada himpunan {0,1},yang disebut fungsi karakteristik dari him-

punan A. Di mana nilai fungsi dari )(xAχ adalah:

⎩⎨⎧

∉∈

=AxAx

xA jika 0 jika 1

)(χ

untuk setiap . Xx∈

Dengan memperluas konsep fungsi karakteristik tersebut, himpunan kabur

didefinisikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan, yang nilainya berada

dalam selang tertutup [0, 1]. Sehingga keanggotaan dalam himpunan kabur tidak

lagi merupakan sesuatu yang tegas, melainkan sesuatu yang berderajat secara kon-

tinu.

Dalam perkuliahan telah dipelajari konsep himpunan tegas dan fungsi tegas,

termasuk integral dan diferensial suatu fungsi. Dalam penulisan makalah ini akan

dibahas tentang apakah fungsi kabur serta jenis-jenisnya, penggunaan himpunan

pemaksimum dan peminimum, selain itu juga integral dan diferensial kabur.

B. Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan seba-

gai berikut

1. Jenis-jenis dari fungsi kabur dan pengertiannya?

2. Apa yang dimaksud dengan himpunan pemaksimum dan peminimum dan ba-

gaimana menentukan nilai maksimumnya?

3. Apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur?


3

C. Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam penulisan makalah ini hanya dibatasi pada

teori fungsi kabur serta integral dan diferensial kabur.

D. Tujuan Penulisan

Penulisan makalah ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu penu-

lisan makalah ini bertujuan untuk:

1. Memahami dan memperdalam tentang jenis – jenis fungsi kabur dan

pengertiannya.

2. Mengetahui apa yang dimaksud himpunan pemaksimum dan peminimum.

3. Mengetahui apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur.

E. Metode Penulisan

Penulisan makalah ini menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan

mempelajari bagian materi dari buku-buku yang berkaitan dengan fungsi kabur.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam penulisan makalah ini adalah:

1. Dapat memperdalam pemahaman mengenai fungsi kabur.

2. Dapat memperdalam pemahaman tentang himpunan pemaksimum dan

peminimum, serta integral dan diferensial kabur.


4

G. Sistematika Penulisan

BAB I Pendahuluan

Menjelaskan tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan

masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan serta sis-

tematika penulisan.

BAB II Teori himpunan kabur dan Fungsi

Menguraikan tentang teori himpunan kabur dan fungsi tegas. Dalam himpunan

kabur akan dibahas tentang pengertian dari teori kabur dan operasi- operasi

dalam himpunan kabur serta prinsip perluasan. Sedangkan dalam fungsi akan

dibahas tentang penegertian dari fungsi, nilai maksimum dan minimum dari

suatu fungsi, intergral dan diferensial.

BAB III Fungsi Kabur

Menguraikan tentang masalah yang diangkat dalam penulisan ini yaitu tentang

fungsi kabur, yang di dalamnya berisi tentang pegertian dari fungsi kabur,

jenis-jenis fungsi kabur, himpunan pemaksimum dan peminimum serta me-

nentukan nilai maksimum, integral dan diferensial kabur.

BAB IV Kesimpulan


BAB II

FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR

A. Fungsi Tegas

Banyak contoh yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari di mana nilai sua-

tu besaran bergantung pada nilai besaran lainnya. Misalnya balas jasa seseorang

bergantung pada banyaknya jam kerja; jarak yang ditempuh oleh mobil bergan-

tung pada waktu sejak bergerak dari suatu titik tertentu; tahanan suatu kabel listrik

dengan panjang tertentu bergantung pada garis tengahnya, dan lain-lain. Hubung-

an di antara besaran-besaran tersebut dapat dinyatakan dengan suatu fungsi.

1. Pengertian Fungsi

Suatu fungsi melibatkan tiga hal, yaitu sebuah himpunan tak kosong yang

disebut daerah asal fungsi, sebuah himpunan tak kosong lainnya yang disebut

daerah kawan fungsi, dan suatu aturan pengaitan yang menentukan elemen dalam

daerah kawan yang dikaitkan dengan tiap elemen dalam daerah asal.

Definisi 2.1

Fungsi adalah suatu aturan pengaitan antara elemen-elemen dua himpunan tak

kosong, yaitu daerah asal dan daerah kawan fungsi, yang mengaitkan tiap elemen

dalam daerah asal dengan tepat satu elemen dari daerah kawan. Dengan kata lain

sebuah fungsi memetakan tiap elemen di daerah asal ke tepat satu elemen di dae-

rah kawan.

5


6

Fungsi biasanya disajikan dengan hurur-huruf seperti f, g, F, φ, ψ. Jika x

elemen dalam daerah asal f, maka f(x) adalah elemen dalam daerah kawan f yang

dikaitkan dengan x. Elemen f(x) ini dinamakan nilai fungsi f di x, atau peta dari x.

Himpunan semua nilai fungsi disebut daerah nilai (range) dari fungsi itu. Daerah

nilai merupakan himpunan bagian dari daerah kawan. Suatu fungsi dapat ditulis

sebagai berikut:

)(: xfxf → .

Definisi 2.2

Misalkan suatu fungsi ditentukan oleh persamaan )(xfy = , maka x dinamakan

variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dina-

makan variabel tak bebas (dependent variable).

Suatu fungsi membangun himpunan pasangan terurut, sedemikian se-

hingga dalam tiap pasangan elemen yang pertama adalah elemen daerah asal

fungsi dan elemen yang kedua adalah nilai fungsi itu yang berkaitan dengan ele-

men pertama tersebut.

Sekarang akan kita definisikan operasi-operasi pada fungsi, yaitu operasi

jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi.


7

Definisi 2.3

Diberikan dua buah fungsi f dan g dengan daerah asal A dan daerah kawan B yang

merupakan himpunan semua bilangan real. Maka

i. )()())(( xgxfxgf +=+

ii. )()())(( xgxfxgf −=−

iii. )().())(.( xgxfxgf =

iv. 0)(,)()()( ≠=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xg

xgxfx

gf

untuk setiap . Ax∈

Definisi 2.4

Andaikan f suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C. Komposisi

fungsi dari dua fungsi itu adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan se-

bagai berikut

fg o

))(())(( xfgxfg =o

untuk setiap . Ax∈

Contoh 2.1

Misalkan diberikan daerah asal f adalah himpunan semua bilangan real tak negatif

dan daerah asal dari g adalah himpunan semua bilangan asli. Fungsi f dan g dide-

finisikan oleh

xxf =)( dan 24)( xxg −=

tentukan F(x) jika , dan tentukan daerah asal F. gfF o=


8

Jawab:

2

2

4

)4())((

))(()(

x

xfxgf

xgfxF

−=

−=

== o

Jadi daerah asal F adalah himpunan bilangan real sedemikian sehingga

, yaitu semua bilangan real dalam selang 04 2 ≥− x ]2,2[− .

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

Definisi 2.5

Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah

kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mem-

punyai nilai maksimum relatif di c jika untuk semua x di A. )()( xfcf ≥

Gambar 2.1 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai

nilai maksimum di c.

Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c


9

Definisi 2.6

Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah

kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mem-

punyai nilai minimum relatif di c jika )()( xfcf ≤ untuk semua x di A.

Gambar 2.2 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai

nilai minimum di c.

Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c

Bila suatu fungsi f mempunyai nilai maksimum relatif atau nilai minimum

relatif di c, maka dikatakan f mempunyai nilai ekstrim relatif di c.

3. Diferensial

Definisi 2.7

Diberikan fungsi f dengan daerah asal dan daerah kawan himpunan bilangan real.

Turunan fungsi f adalah fungsi f ′ yang nilainya untuk sebarang elemen x adalah

xxfxxfxf

x Δ−Δ+

=′→Δ

)()(lim)(0

jika limit itu ada dan adalah pertambahan sebarang nilai x. xΔ


10

Jika suatu fungsi f mempunyai turunan di x, maka fungsi tersebut dikatakan ter-

diferensialkan (terturunkan) di x.

Jika (x, y) suatu titik pada grafik f, maka y = f(x), dan juga digunakan

untuk menyatakan turunan dari f(x). Dengan fungsi f didefinisikan y = f(x), dapat

diperoleh

y ′

)()( xfxxfy −Δ+=Δ

di mana adalah pertambahan dari y dan menyatakan suatu perubahan nilai

fungsi bila x berubah sebesar

yΔ

xΔ . Oleh karena itu f ′ dapat diganti dengan:

.lim0 x

ydxdy

x ΔΔ

=→Δ

dxdy dinyatakan sebagai notasi turunan, dalam hal ini berarti )(y

dxd , yaitu turunan

dari y terhadap x.

Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f yang menghasil-

kan . Seringkali kita memakai huruf D untuk menunjukkan operasi ini, se-

hingga dapat dituliskan Df =

f ′

f ′ atau Df(x) = )(xf ′ .

Teorema 2.1

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta, maka

)(xf ′ = 0.

Bukti:

00limlim)()(lim)(000

==−

=−+

=′→→→ hhh h

kkh

xfhxfxf . ■


11

Teorema 2.2

Jika , dengan n bilangan bulat positif, maka nxxf =)(

1)( −=′ nnxxf .

Bukti:

h

hnxhhxnnnxh

h

xhnxhhxnnhnxx

hxhx

hxfhxfxf

nnnn

h

nnnnnn

h

nn

hh

)...2

)1((lim

...2

)1(

lim

)(lim)()(lim)(

1221

0

1221

0

00

−−−−

→

−−−

→

→→

+++−

+=

−+++−

++=

−+=

−+=′

1−= nnx . ■

Teorema 2.3

Misalkan f suatu fungsi, k suatu konstanta, dan g adalah fungsi yang didefinisikan

oleh g(x) = k.f(x). Jika ada, maka )(xf ′

)(.)( xfkxg ′=′ .

Bukti:

hxfhxfk

hxfhxfk

hxkfhxkf

hxghxgxg

h

h

hh

)()(lim

)()(lim

)()(lim)()(lim)(

0

0

00

−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

=

−+=

−+=′

→

→

→→

)(xfk ′= . ■


12

Teorema 2.4

Misalkan f dan g adalah fungsi dan F adalah fungsi yang didefinisikan oleh

)()()( xgxfxF += . Jika )(xf ′ dan )(xg ′ ada, maka

)()()( xgxfxF ′+′=′ .

Bukti:

hxghxg

hxfhxf

hxghxg

hxfhxf

hxgxfhxghxf

hxFhxFxF

hh

h

hh

)()(lim)()(lim

)()()()(lim

))()(())()((lim)()(lim)(

00

0

00

−++

−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

+−+

=

+−+++=

−+=

→→

→

→→

)()( xgxf ′+′= . ■

Contoh 2.2

Diberikan fungsi . Tentukan turunan dari fungsi tersebut. 13)( 3 +−= xxxf

Jawab:

.33)(13)(

2

3

−=′

+−=

xxfxxxf

Teorema 2.5

Jika f didefinisikan pada selang [a, b], mempunyai ekstrim relatif di c, dan

ada, maka

)(cf ′

0)( =′ cf .

Bukti:

Jika f(c) nilai maksimum relatif f pada [a, b], maka atau ],[),()( baxxfcf ∈∀≥

],[,0)()( baxcfxf ∈∀≤− .


13

Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh

0)()(≥

−−

cxcfxf .

Jika limitnya ada, maka

0)()(lim ≥−−

→ cxcfxf

cx. (1)

Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh

0)()(≤

−−

cxcfxf .


0)()(lim ≤−−

→ cxcfxf

cx. (2)

Dari (1) dan (2), diperoleh 0)( =′ cf .

Jika f(c) nilai minimum relatif f pada [a, b], maka ],[),()( baxxfcf ∈∀≤ atau

],[,0)()( baxcfxf ∈∀≥− .

Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh

0)()(≥

−−

cxcfxf .


0)()(lim ≥−−

→ cxcfxf

cx. (3)

Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh

0)()(≤

−−

cxcfxf .



14

0)()(lim ≤−−

→ cxcfxf

cx. (4)

Dari (3) dan (4), diperoleh 0)( =′ cf . ■

Teorema 2.6

Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada selang (a, b), sedangkan

f(a) = f(b) = 0, maka ada bilangan c pada (a, b) sedemikian sehingga . 0)( =′ cf

Bukti:

Karena f kontinu pada selang [a, b], maka fungsi f mempunyai nilai maksimum

maupun nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut sama dengan 0, maka

f(x) = 0 pada [a, b], akibatnya 0)( =′ xf untuk semua x dalam (a, b). Apabila sa-

lah satu nilai maksimum atau nilai minimum tidak sama dengan 0 dan

0)()( == bfaf , maka nilai ekstrim tersebut dicapai pada suatu titik .

Karena f terdiferensial pada selang (a, b), maka menurut Teorema 2.5 .■

),( bac∈

0)( =′ cf

Teorema 2.7

Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam (a, b),

maka terdapat bilangan c dalam (a, b) sedemikian sehingga

abafbfcf

−−

=′ )()()( .


15

Bukti:

Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x)

Misalkan fungsi s(x) = f(x) - g(x), dengan g adalah garis yang melalui (a, f(a)) dan

(b, f(b)). Karena garis g ini mempunyai kemiringan (f(b) – f(a))/(b - a) dan melalui

(a, f(a)), maka persamaannya adalah

)()()()()( axab

afbfafxg −−−

=−

sehingga

)()()()()()( axab

afbfafxfxs −−−

−−= .

Fungsi s kontinu dalam [a, b] karena merupakan selisih dua fungsi kontinu, dan

s(a) = s(b) = 0. Fungsi s terdiferensialkan dalam (a, b), karena s mempunyai tu-

runan di setiap titik dalam (a, b) yaitu

abafbfxfxs

−−

−′=′ )()()()( .

Maka terdapat suatu bilangan ),( bac∈ sedemikian sehingga 0)( =′ cs . Jadi

abafbfcf

abafbfcfcs

−−

−′=

−−

−′=′

)()()(0

)()()()(


16

abafbfcf

−−

=′ )()()( . ■

4. Integral

Definisi 2.8

Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada suatu selang I jika untuk setiap

berlaku . Ix∈ )()( xfxF =′

Pengintegralan merupakan cara untuk mendapatkan himpunan semua anti

turunan dari suatu fungsi yang diberikan. Pengintegralan tersebut didefinisikan

sebagai berikut:

∫ += CxFdxxf )()(

dan disebut integral tak tentu, di mana ∫ menyatakan lambang integral dan C

merupakan konstanta sembarang.

Teorema 2.8

Misalkan r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka

Crxdxx

rr +

+=

+

∫ 1

1

.

Bukti:

rrr

x xxrr

CrxD =+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

+

)1(1

11

1

. ■


17

Teorema 2.9

Misalkan f suatu fungsi dan c suatu konstanta, maka

∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( .

Bukti:

∫∫ = dxxfDcdxxfcD xx )(])([

)(xcf= . ■

Teorema 2.10

Misalkan f dan g mempunyai anti turunan, maka

∫∫ ∫∫∫ ∫

−=−

+=+

dxxgdxxfdxxgxf

dxxgdxxfdxxgxf

)()())()((

)()())()((

Bukti:

∫∫∫∫ +=+ dxxgDdxxfDdxxgdxxfD xxx )()(])()([

)()( xgxf += .

∫∫∫∫

∫∫∫∫

−=

−+=

−+=−

dxxgDdxxfD

dxxgDdxxfD

dxxgDdxxfDdxxgdxxfD

xx

xx

xxx

)()(

)()1()(

)()1()(])()([

)()( xgxf −= . ■


18

Contoh 2.3

Tentukan intergral dari fungsi . 13)( 3 ++= xxxf

Jawab:

Integral dari fungsi tersebut adalah

.23

41

)13()(

24

3

cxxx

dxxxdxxf

+++=

++=∫∫

Misalkan sebuah fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b].

Pandang suatu partisi P pada selang [a, b] yang terdiri dari n selang bagian yang

memakai titik-titik bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 ... dan andaikan

. Pada tiap selang bagian , ambil sebarang titik 1−−=Δ iii xxx ],[ 1 ii xx − ix yang

disebut titik sampel untuk selang bagian ke-i. Contoh partisi dapat dilihat dalam

Gambar 2.9 dengan n = 6.

Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel ix

Bentuk jumlahan sebagai berikut

∑=

Δ=n

iiip xxfR

1)(

yang disebut jumlah Riemann untuk f dengan partisi P.


19

Definisi 2.9

Misalkan fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika

i

n

iiP

xxf Δ∑=

→)(lim

10

ada, maka fungsi f dikatakan terintegralkan pada [a, b], di mana | P | yang disebut

norma P, adalah panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Selanjut-

nya,

i

n

iiP

b

a

xxfdxxf Δ= ∑∫=

→)(lim)(

10

disebut integral tentu fungsi f dalam [a, b].

Teorema 2.11

Integral tentu fungsi f dalam [a, b] adalah

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

di mana F adalah anti turunan dari fungsi f.

Bukti:

Misalkan bxxxxxaP nni =<<<<<= −120 ...: adalah sebarang partisi dari

[a, b], maka

.)]()([

)()(...)()()()()()(

11

01211

∑=

−

−−−

−=

−++−+−=−n

iii

nnnn

xFxF

xFxFxFxFxFxFaFbF

Menurut Teorema 2.6, terdapat ),( 1 iii xxx −∈ sedemikian sehingga

xxfxxxFxFxF iiiiii Δ=−′=− −− )())(()()( 11 .


20

Jadi

∑=

Δ=−n

ii xxfaFbF

1)()()( .

Apabila kedua ruas diambil limitnya untuk , maka diperoleh 0|| →P

.)()(lim)()(10|| ∫∑ =Δ=−=

→

b

a

n

iiP

dxxfxxfaFbF ■

Contoh 2.4

Diketahui fungsi . Hitungah integral tentu dari fungsi tersebut

dalam interval [1, 2].

2)( 2 += xxf

Jawab:

.314

37

320

231)2(

2

1

32

1

2

=−=

⎥⎦⎤+=+∫ xxdxx

B. Himpunan Kabur

1. Pengertian Himpunan Kabur

Kita telah mengenal himpunan tegas, yaitu himpunan yang terdefinisi se-

cara tegas dalam arti bahwa untuk setiap elemen dalan suatu semesta pembicaraan

selalu dapat ditentukan secara tegas apakah elemen tersebut termasuk anggota

himpunan itu atau tidak. Ada batas yang tegas antara elemen yang termasuk ang-

gota dan yang tidak termasuk anggota himpunan itu. Suatu himpunan tegas dapat

dinyatakan dalam fungsi karakteristik, yaitu fungsi dari semesta X ke dalam him-


21

punan {0,1}. Suatu himpunan A dalam semesta X dapat dinyatakan dengan fungsi

karakteristik }1,0{: →XAχ yang didefinisikan dengan

⎩⎨⎧

∉∈

=AxAx

xA jika 0 jika 1

)(χ


Sedangkan dalam himpunan kabur, keanggotaannya didefinisikan dengan

menggunakan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian antara elemen-

elemen dalam semesta dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan him-

punan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan, sedangkan nilai fungsinya

disebut derajat keanggotaan suatu elemen dalam himpunan itu. Derajat keanggo-

taan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam interval tertutup [0,1].

Definisi 2.10

Suatu himpunan kabur A~ dalam semesta X adalah himpunan yang mempunyai

fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan A~μ dari X ke interval [0,1],

ditulis:

]1,0[:~ →XAμ .

Nilai fungsi )(~ xAμ menyatakan derajat keanggotaan elemen dalam him-

punan kabur

Xx∈

A~ . Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, se-

dangkan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota dari

himpunan kabur tesebut. Oleh karena itu himpunan tegas dapat dipandang sebagai

kejadian khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keang-

gotaanya hanya mempunyai nilai 0 atau 1 saja.


22

Himpunan kabur A~ dalam semesta X dapat dinyatakan sebagai himpunan

pasangan terurut, yaitu }))(,{(~~ XxxxA A ∈= μ di mana A~μ adalah fungsi keang-

gotaan dari himpunan kabur A~ . Apabila semesta X adalah himpunan yang kon-

tinu, maka himpunan kabur A~ dapat dinyatakan dengan

∫ ∈=Xx A xxA /)(~

~μ

di mana bukan merupakan lambang integral, tetapi melambangkan himpunan

semua elemen bersama dengan derajat keanggotaanya dalam himpunan

kabur

∫

Xx∈

A~ . Sedangkan bila semesta X adalah himpunan yang diskret, maka him-

punan kabur A~ dapat dinyatakan dengan

xxAXx

A /)(~~∑

∈

= μ

di mana ∑ bukan merupakan lambang operator jumlah, tetapi melambangkan

himpunan semua elemen Xx∈ bersama dengan derajat keanggotaanya dalam

himpunan kabur A~ .

Contoh 2.5

Dalam semesta X={-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3}, A~ adalah himpunan “bilangan bulat

yang dekat dengan nol” dapat dinyatakan dengan

xAXx

xA /~)(~∑

∈

= μ

= 0.10/-3 + 0.30/-2 + 0.50/-1 + 1/0 + 0.50/1 + 0.30/2 + 0.10/3.


23

Definisi 2.11

Pendukung dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas yang memuat semua

elemen semesta yang memiliki derajat keanggotaan taknol dalam A~ , yang dilam-

bangkan dengan Pend , dinyatakan dengan )~(A

}0)({)~( ~ >∈= xXxAPend Aμ .

Himpunan kabur A~ disebut himpunan kabur elemen tunggal bila pendu-

kungnya adalah himpunan dengan elemen tunggal (singleton).

Definisi 2.12

Tinggi dari himpunan kabur A~ , dilambangkan dengan Tinggi , adalah )~(A

Tinggi = )~(A )}({sup ~ xAXxμ

∈.

Himpunan kabur yang tingginya sama dengan 1 disebut himpunan kabur normal,

sedangkan yang tingginya kurang dari 1 disebut himpunan kabur subnormal.

Definisi 2.13

Titik silang suatu himpunan kabur adalah elemen dari semesta pembicaraan him-

punan kabur itu yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5.

Definisi 2.14

Teras dari himpunan kabur A~ adalah himpunan dari semua elemen dari semesta

pembicaraan yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yang dilam-

bangkan dengan Teras , yaitu )~(A


24

Teras = )~(A }1)({ ~ =∈ xXx Aμ .

Definisi 2.15

Pusat dari himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata dari

semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai maksimum

adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata tersebut. Ji-

ka nilai puratanya takhingga positif (atau negatif), maka pusat himpunan kabur itu

adalah yang terkecil (atau terbesar) di antara semua titik yang mencapai nilai

fungsi keanggotaan maksimum.

Contoh 2.6

Himpunan kabur dalam Contoh 2.5 di atas

Pend = {-1, -2, -3, 0,1, 2, 3} )~(A

Tinggi = 1 )~(A

Titik silang dari A~ adalah -1 dan 1

Teras = {0} )~(A

Pusat dari A~ adalah 0.

Definisi 2.16

Dua buah himpunan kabur A~ dan B~ dalam semesta X dikatakan sama, dinotasi-

kan dengan A~ = B~ , bila dan hanya bila

)()( ~~ xx BA μμ =


25


Definisi 2.17

Himpunan kabur A~ disebut himpunan bagian dari himpunan kabur B~ , dinotasi-

kan dengan BA ~~⊆ , bila dan hanya bila

)()( ~~ xx BA μμ ≤


Contoh 2.7

Dalam semesta X = {1,2,3,4,5,6,7}, didefinisikan himpunan kabur sebagai beri-

kut:

A~ = 0.10/1 + 0.30/2 + 0.50/3 + 1.0/4 + 0.50/5 + 0.30/6 + 0.10/7

B~ = 0.30/2 + 0.40/3 + 1.0/4 + 0.40/5 + 0.30/6

maka AB ~~ ⊆ .

2. Fungsi Keanggotaan

Himpunan kabur dinyatakan dengan fungsi keanggotaan. Ada beberapa

cara untuk menyatakan himpunan kabur dengan fungsi keanggotaannya. Untuk

himpunan hingga diskret, dengan menggunakan cara daftar, yaitu mendaftar

anggota-anggota himpunan dengan derajat keanggotaannya. Misalnya dalam

semesta X = {Andi, Budi, Iwan, Nanda, Anton}yang terdiri dari anak-anak

dengan tinggi berturut-turut 175, 168, 170, 172, dan 169, himpunan kabur


26

A~ = “himpunan anak-anak yang tinggi” dapat dinyatakan dengan cara daftar

berikut ini:

A~ = 0.9/Andi + 0.4/Budi + 0.6/Iwan + 0.7/Nanda + 0.5/Anton.

Sedangkan untuk himpunan takhingga yang kontinu, cara yang biasa di-

pakai adalah cara analitik yaitu untuk merepresentasikan fungsi keanggotaan him-

punan kabur dalam suatu bentuk rumus matematis yang dapat dinyatakan dalam

bentuk grafik. Misalkan A adalah himpunan kabur “bilangan real yang dekat de-

ngan 4”, maka A~ dapat dinyatakan dengan

∫ ∈−−=

Rx

x xeA /~ 2)4(

di mana merupakan fungsi keanggotaan 2)4(

~ )( −−= xA exμ A~ yang digambarkan

dalam bentuk grafik berikut


“bilangan real yang dekat dengan 4”


27

Bilangan 4 mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu

1)(~ =xAμ , sedangkan 3 dan 5 mempunyai derajat keanggotaan 0.37, yaitu

37.0)5()3( ~~ == AA μμ .

Himpunan kabur A~ “bilangan real yang dekat dengan 4”, juga dapat dinyatakan

dengan fungsi keanggotaan berikut

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤−≤≤−

=selainnya 0

54untuk 543untuk3

)(~ xxxx

xAμ

grafiknya adalah sebagai berikut


“bilangan real yang dekat dengan 4”

Selanjutnya akan diperkenalkan beberapa himpunan kabur dengan fungsi

keanggotaan yang sering digunakan.


28

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga

jika memiliki tiga parameter, yaitu Rcba ∈,, dengan cba << , yang dinyatakan

sebagai dengan aturan sebagai berikut: ),,;( cbaxSegitiga

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−−

≤≤−−

=

selainnya 0

untuk

untuk

),,;( cxbbcxc

bxaabax

cbaxSegitiga

Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−

= 0,,minmax),,;(bcxc

bbaxcbaxSegitiga

Contoh 2.8

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan , maka grafik fungsi

keanggotaan tersebut adalah

)15,6,3;(xSegitiga

Gambar 2.7. Grafik fungsi keanggotaan )15,6,3;(xSegitiga


29

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trape-

sium jika memiliki empat parameter, yaitu Rdcba ∈,,, dengan ,

yang dinyatakan sebagai dengan aturan sebagai berikut:

dcba <<<

),,,;( dcbaxTrapesium

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−−

≤≤

≤≤−−

=

selainnya 0

untuk

untuk 1

untuk

),,,;(dxc

cdxd

cxb

bxaabax

dcbaxTrapesium

Fungsi keanggotaan itu juga dapat dinyatakan sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−

= 0,,1,minmax),,,;(bcxc

bbaxdcbaxTrapesium .

Contoh 2.9

Misalkan diketahui fungsi keanggotaan , maka grafik

fungsi keanggotaan tersebut adalah

)15,9,6,3;(xTrapesium

Gambar 2.8. Grafik fungsi keanggotaan )15,9,6,3;(xTrapesium


30

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Gauss

jika memiliki dua parameter, yaitu Rba ∈, , yang dinyatakan dengan

jika memenuhi ),;( baxGauss

2

),;(⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= b

ax

ebaxGauss

di mana ax = adalah pusat dan b menentukan lebar dari fungsi keanggotaan ter-

sebut. Gambar 2.5 merupakan grafik sebuah fungsi . )8,8;(xGauss

Gambar 2.9. Grafik fungsi keanggotaan . )8,8;(xGauss

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Cauchy

jika memiliki tiga parameter, yaitu Rcba ∈,, , yang dinyatakan dengan

jika memenuhi ),,;( cbaxCauchy

b

acx

cbaxCauchy 2

1

1),,;(−

+

=


31

di mana cx = merupakan pusat dan a menentukan lebar, dan b menentukan ke-

miringan (slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy. Misalkan diberi-

kan contoh sebuah fungsi keanggotaan , diperlihatkan dalam

Gambar 2.6 berikut ini

)8,1,4;(xCauchy

Gambar 2.10. Grafik fungsi keanggotaan )8,1,4;(xCauchy

Fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Sigmoid

jika memiliki dua parameter, yaitu Rca ∈, , dinyatakan dengan

jika memenuhi

),;( caxSigmoid

)(11),;( cxae

caxSigmoid −−+=

di mana a menentukan kemiringan fungsi keanggotaan sigmoid di titik silang

cx = .

Masih banyak fungsi-fungsi keanggotaan lain yang dapat dibuat untuk

memenuhi keperluan dalam penerapan tertentu. Fungsi keanggotaan sangat

penting dalam teori himpunan kabur. Dalam setiap penerapan, harus disesuaikan


32

fungsi keanggotaan dari himpunan kabur yang akan digunakan untuk menyatakan

istilah linguistik yang akan dipakai.

3. Operasi Pada Himpunan Kabur

Dalam himpunan kabur juga dikenal operasi-operasi antar himpunan,

seperti dalam himpunan tegas. Karena himpunan kabur dinyatakan dengan fungsi

keanggotaan, maka operasi pada himpunan kabur juga dinyatakan dengan

menggunakan fungsi keanggotaan.

Misalkan A~ dan B~ adalah dua buah himpunan kabur dalam semesta X.

Definisi 2.18

Komplemen dari himpunan kabur A~ adalah himpunan kabur '~A dengan fungsi

keanggotaan

)(1)( ~'~ xx AA μμ −=


Definisi 2.19

Gabungan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan kabur BA ~~∪

dengan fungsi keanggotaan

)}(),(max{)( ~~~~ xxx BABA μμμ =∪



33

Definisi 2.20

Irisan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan kabur BA ~~∩ de-

ngan fungsi keanggotaan

)}(),(min{)( ~~~~ xxx BABA μμμ =∩


Contoh 2.10

Misalkan dalam semesta X = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} diketahui himpunan-himpunan

kabur

A~ = 0.20/-2 + 0.30/-1 + 0.50/0 + 0.7/2 + 0.50/3 + 1.0/4

B~ = 0.40/-1 + 0.30/0 + 0.80/1 + 0.70/3 + 0.40/4

Maka:

'~A = 0.80/-2 + 0.70/-1 + 0.50/0 + 1.0/1 + 0.30/2 + 0.50/3

'~B = 1.0/-2 + 0.60/-1 + 0.70/0 + 0.20/1 + 1.0/2 + 0.30/3 +0.60/4

BA ~~∪ = 0.20/-2 + 0.40/-1 + 0.50/0 + 0.80/1 + 0.70/2 + 0.70/3 + 1.0/4

BA ~~∩ = 0.30/-1 + 0.30/0 + 0.50/3 + 0.40/4

Operasi-operasi yang telah didefinisikan di atas, yaitu komplemen, gabu-

ngan, dan irisan dalam himpunan kabur itu disebut operasi baku. Yang

merupakan perampatan dari definisi operasi-operasi bersesuaian pada himpunan

tegas.


34

4. Potongan-α dari Himpunan Kabur

Untuk suatu bilangan ]1,0[∈α , potongan-α dari suatu himpunan kabur

A~ , yang dinotasikan dengan αA~ , adalah himpunan tegas yang memuat semua

anggota dari semesta dengan derajat keanggotaan dalam A~ yang lebih besar atau

sama dengan α, yaitu

})({ ~ αμα ≥∈= xXxA A .

Sedangkan potongan-α kuat dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas

})({ ~ αμα >∈=′ xXxA A .

Contoh 2.11

Dari Contoh 2.10 potongan-α dari himpunan kabur A~ , untuk 4.0=α adalah

. }4,3,2,0{4.0 =A

5. Prinsip Perluasan

Misalkan diberikan suatu fungsi tegas , maka fungsi tersebut

dapat diperluas menjadi fungsi , di mana dan bertu-

rut-turut adalah himpunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu dengan aturan

YXf →:

)()(: YPXPf → )(XP )(YP

})()({:)( xfyAxYyAf =∈∃∈

untuk setiap . Demikian juga invers dari fungsi dapat diper-

luas menjadi fungsi dengan aturan

)(XPA∈ YXf →:

)()(:1 XPYPf →−

})({:)(1 BxfXxBf ∈∈−


35

untuk setiap . Himpunan dan juga dapat dinyatakan de-

ngan menggunakan fungsi karateristik yaitu sebagai berikut:

)(YPB∈ )(Af )(1 Bf −

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠∈∀

=∈∃= =

)()( jika0

)()( jika)}({sup)( )(

)(xfyXx

xfyXxxy

Axfy

Af

χχ

))(()()(1 xfx BBf

χχ =− .

Suatu fungsi tegas dikatakan dikaburkan bila fungsi itu diper-

luas menjadi fungsi , di mana dan berturut-turut

adalah himpunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu himpunan semua himpunan

kabur dalam X dan Y. Selain itu invers dari juga dapat dikaburkan de-

ngan memperluasnya menjadi fungsi . Prinsip yang diguna-

kan untuk mengaburkan fungsi tegas disebut dengan prinsip perluasan.

YXf →:

)()(: YFXFf → )(XF )(YF

YXf →:

)()(:1 XFYFf →−

Definisi 2.21

Suatu fungsi tegas dapat dikaburkan dengan memperluas fungsi terse-

but menjadi fungsi dengan aturan: , me-

rupakan himpunan kabur dalam dengan fungsi keanggotaan

YXf →:

)()(: YFXFf → )(~ XFA∈∀ )~(1 Af −

)(YF

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠∈∀

=∈∃= =

)()( jika0

)()( jika)}({sup)(

~)(

)~(xfyXx

xfyXxxy

Axfy

Af

μμ

Invers dari fungsi tegas dapat dikaburkan dengan memperluas

menjadi fungsi dengan aturan: , meru-

pakan himpunan kabur dalam dengan fungsi keanggotaan

YXf →:

)()(:1 XFYFf →− )(~ YFB ∈∀ )~(Bf

)(XF


36

))(()( ~)~(1 xfx BBf

μμ =−

Misalkan f adalah suatu pemetaan satu-satu, maka fungsi keanggotaan

himpunan kabur adalah )~(Af

⎩⎨⎧

≠∈∀

=∈∃=

)()( jika0 )()(jika)(

)(~

)~( xfyXxxfyXxx

y AAf

μμ

Jadi prinsip perluasan merupakan suatu prinsip yang mendasar dalam teori

himpunan kabur. Sehingga dengan prinsip perluasan tersebut kita dapat menga-

burkan konsep matematik yang tegas menjadi konsep yang kabur.

Contoh 2.12

Misalkan diberikan dan }6,5,4,3,2,1{=X }10,9,8,7{=Y .

Pemetaan didefinisikan sebagai berikut: YXf →: 7)2()1( == ff ,

9)3( =f , 10)6()5()4( === fff . Misalkan diberikan himpunan kabur

6/9.05/14/5.03/7.02/2.01/6.0~+++++=A dan himpunan kabur

10/5.09/9.08/7.07/3.0~ +++=B . Dengan prinsip perluasan diperoleh

10/1}10/9.010/110/5.0sup{10)6()5()4(9/7.09)3(

7/6.0}7/2.07/6.0sup{7)2()1(

=++⇒===⇒=

=+⇒==

ffff

ff

Jadi himpunan kaburnya adalah

.6/5.05/5.04/5.03/9.02/3.01/3.0)~(

10/19/7.07/6.0)~(1 +++++=

++=− Bf

Af


BAB III

FUNGSI KABUR

Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep fungsi kabur. Fungsi kabur

terdiri dari fungsi tegas dengan kendala kabur dan fungsi yang mengaburkan.

Himpunan pemaksimum dan peminimum juga diperkenalkan dan akan

diaplikasikan untuk menentukan nilai maksimum dengan daerah asal kabur pada

fungsi tegas. Dalam bagian ini juga akan dibahas tentang integral dan diferensial

kabur dengan contoh-contohnya.

A. Jenis-jenis Fungsi Kabur

Fungsi kabur dapat diklasifikasikan dalam tiga kelompok, yaitu

1. Fungsi tegas dengan kendala kabur.

2. Fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel

tidak bebas.

3. Fungsi pengaburan dengan variabel tegas.

1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur

Definisi 3.1

Misalkan X dan Y adalah himpunan semesta tegas, dan adalah suatu

fungsi tegas. A dan B adalah himpunan kabur yang berturut-turut didefinisikan

dalam himpunan semesta X dan Y. Jika fungsi f memenuhi kondisi

YXf →:

37


38

Xxxfx BA ∈∀≤ ))(()( μμ , maka f disebut fungsi tegas dengan kendala kabur

pada daerah asal A dan daerah hasil B.

Contoh 3.1

Misalkan diberikan suatu fungsi )(xfy = , dan fungsi f mempunyai kendala ka-

bur: “Derajat keanggotaan )(xAμ dari x dalam A adalah lebih kecil atau sama

dengan )(yBμ dari y dalam B”

atau

)()( yx BA μμ ≤


Jika derajat keanggotaan dari x dalam A adalah , maka derajat keanggotaan y

dalam B tidak lebih kecil dari a .

a

Contoh 3.2

Diberikan dua himpunan kabur )}8.0,2(),5.0,1{(=A dan )}9.0,4(),7.0,2{(=B ,

dan fungsi

,2)( xxf =

maka fungsi f memenuhi kondisi Xxxfx BA ∈∀≤ )),(()( μμ .

Diberikan fungsi-fungsi yang memenuhi kendala kabur

dan A, B, dan C adalah himpunan kabur dalam X, Y, dan Z berturut-

turut. Komposisi kedua fungsi tersebut hasilnya adalah fungsi kabur

,: YXf →

ZYg →:


39

ZXfg →:o

yang kondisinya adalah

Xxxfgx CA ∈∀≤ ))),((()( μμ .

2. Penularan Kekaburan oleh Fungsi Tegas

Definisi 3.2

Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel

takbebas. Jika f adalah fungsi tegas dari X ke Y, fungsi perluasan kabur f mendefi-

nisikan bayangan kabur )(Af dal dari himpunan kabur A dalam X, yaitu am Y

⎪⎩⎨

=− )( jika 0 1)(

φyfAf

adalah bayangan invers dari y.

⎪⎧ ≠=

−

∈ −)( jika)(sup

)(1

)(1φμ

μyfx

yA

yfx

di mana )(1 yf −

ontoh 3.4

suatu fungsi tegas 13)(

C

Misalkan ada = +xxf , dan

)}5. dan ]20,0[=B 0,4(),(),8.0,1(),9.0,0{(=A 6.0,3(),7.0,2

Variabel bebas mempunyai kekaburan dan kekaburannya itu ditularkan ke

himpunan tegas B, sehingga diperoleh himpunan kabur B′ dalam B, yaitu

)}5.0,3),6.0,10(),7.0,7(),8.0,4(),9.0,1{(=′B . 1(


40

3. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas

dalah suatu fungsi yang meng-

hasilka

efinisi 3.3 ( Fungsi Pengaburan Tunggal )

taan dari X ke himpunan kuasa ka-

Fungsi pengaburan dengan variabel tegas a

n bayangan dari daerah asal tegas berupa suatu himpunan kabur.

D

Fungsi pengaburan f~ dari X ke Y adalah peme

bur )(~ YP

~ ~: )(YPXf →

yaitu pemetaan dari daerah asal tegas ke daerah hasil yang elemen-elemennya

ontoh 3.5

a himpunan tegas }4,3,2{

adalah himpunan-himpunan kabur.

C

Diberikan du =A dan }12,9,8,6,4,3,2{=B . Suatu

fungsi kabur f~ memetakan angg dalam )(ota-anggota A ke himpunan kuasa ~ BP

dengan aturan berikut ini

321 )4(,)2(~ ~ ~,)3( BfBfB ===

di mana ,{)(

f

},~32 B dengan 1 BBBP = )}5.0,(),1,4(),5.0,2{(1 6=B ,

)}5.0,9(),1,6(),5.0,3{(2 =B , dan )}5.0,12(),1,8(),5.0,4{(3 =B .

ambar 3.1.

Secara detail, hubungan dalam peme Gtaan tersebut disajikan dalam


41

Gambar 3.1. Fungsi pengaburan


42

Jika kita aplikasikan operasi potongan-α pada fungsi pengaburan tersebut, akan

diperoleh

1untuk }4{2:5.0untuk }6,4,2{2:

=→=→

αα

ff

dengan cara yang sama

1untuk }6{3:5.0untuk }9,6,3{3:

=→=→

αα

ff

kemudian

1untuk }8{4:5.0untuk }12,8,4{4:

=→=→

αα

ff

Definisi 3.4

Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas dari X ke Y didefinisikan sebagai himpunan

kabur fungsi-fungsi tegas }...,,1( nif i = dan dinotasikan sebagai

},...,1,:))(,{(~~ niYXffff iifi =→= μ

if fungsi tegas pada X.

Fungsi tersebut menghasilkan himpunan kabur.

Contoh 3.6

Jika fungsi-fungsi tegasnya adalah , dan , maka himpunan kabur fungsi-

fungsi tersebut dengan daerah asal

1f 2f 3f

}3,2,1{=X adalah

1)(,)(,)(

)}5.0,(),7.0,(),4.0,{(~

32

21

321

+−===

=

xxfxxfxxf

ffff


43

dari , diperoleh 1f )}4.0,3(),4.0,2(),4.0,1{(~1 =f

dari , diperoleh 2f )}7.0,9(),7.0,4(),7.0,1{(~2 =f

dari , diperoleh 3f )}5.0,2(),5.0,1(),5.0,0{(~3 −−=f

maka dapat kita ringkas keluarannya sebagai berikut:

)}7.0,1(),5.0,0{()}5.0,0(),7.0,1(),4.0,1{()1(~==f

)}5.0,1(),7.0,4(),4.0,2{()}5.0,1(),7.0,4(),4.0,2{()2(~−=−=f

)}5.0,2(),7.0,9(),4.0,3{()}5.0,2(),7.0,9(),4.0,3{()3(~−=−=f

Dapat kita lihat bahwa fungsi kabur tersebut memetakan 2 ke 2 dengan derajat

keanggotaan 0.4 dengan memakai fungsi , ke 4 dengan derajat keanggotaan 0.7

memakai fungsi , dan ke –1 dengan derajat keanggotaan 0.5 dengan fungsi .

Hasil tersebut digambarkan oleh

1f

2f 3f

)2(~2f di atas.

Contoh 3.7

Misalkan ada suatu himpunan kabur dengan fungsi kontinu pada

(Gambar 3.2)

]2,0[=X

)}5.0,(),7.0,(),4.0,{(~321 ffff =

1)(,)(,)( 23

221 +=== xxfxxfxxf

Fungsi kabur tersebut memetakan 1.5 ke 1.5 dengan derajat keanggotaan 0.4 de-

ngan memakai fungsi , ke 2.25 dengan derajat keanggotaan 0.7 dengan me-

makai , dan ke 3.25 dengan derajat keanggotaan 0.5 memakai . Jadi

1f

2f 3f

)}5.0,25.3(),7.0,25.2(),4.0,5.1{()5.1(~=f .


44

Gambar 3.2. Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas

B. Ekstrim Kabur dari Fungsi

1. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum

Definisi 3.5 (Himpunan Pemaksimum)

Misalkan f adalah fungsi dengan nilai real dalam X dan nilai terbesar dan terkecil

dari f adalah dan berturut-turut. Himpunan pemaksimum M dide-

finisikan sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan

)sup( f )inf( f

Xxff

fxfxM ∈∀−−

= ,)inf()sup(

)inf()()(μ

yaitu himpunan pemaksimum M adalah suatu himpunan kabur dengan derajat

keanggotaan didefinisikan sebagai derajat kemungkinan x menghasilkan

nilai maksimum su Kemungkinan x berada dalam M didefinisikan dari posi-

si normal relatif dalam interval [inf( f val ),[inf( f

Xx∈

)p( f .

f . Inter f adalah)]sup(), )]sup(


45

daerah hasil yang mungkin dari )(xf . H nan peminimum dari f didefinisikan

sebagai himpunan pemaksimum dari –f.

impu

Contoh 3.8

Misalkan suatu fungsi (Gambar 3.3) dengan interval nilai sebagai berikut f

101],20,10[)]sup(),[inf( ≤≤= xff .

Jika , maka . Derajat keanggotaan dari 5=x 15)( =xf 5=x dalam himpunan

pemaksimum M dapat dihitung sebagai berikut:

5.010/5)1020/()1015()5( ==−−=Mμ

Jika , maka , dan 8=x 19)( =xf

9.010/9)1020/()1019()8( ==−−=Mμ

)(xMμ menyatakan kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum dari f. Dapat

dikatakan bahwa dan 5=x 8=x menghasilkan nilai maksimum de-

ngan kemungkinan 0.5 dan 0.9 berturut-turut.

20)( =xf

20)(10101

≤≤≤≤

xfx

Gambar 3.3. Contoh himpunan pemaksimum


46

Contoh 3.9

Diberikan suatu fungsi )20(sin)( π≤≤= xxxf seperti dalam Gambar 3.4. Him-

punan pemaksimum M dari fungsi tersebut mempunyai fungsi keanggotaan

21sin

21

21sin

)1(1)1(sin

)inf(sin)sup(sin)inf(sinsin)(

+=

+=

−−−−

=

−−

=

x

x

xxx

xxxMμ

Jika π=x , maka 0sin)( == πxf . Kemungkinan bahwa adalah nilai

maksimum dari fungsi sinus adalah

0)( =xf

21 .

(a) xxf sin)( =

(b) Himpunan pemaksimum M

Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum dari fungsi sinus


47

2. Nilai Maksimum dari Fungsi Tegas

a. Daerah Asal Tegas

Misalkan adalah nilai variabel bebas yang membuat fungsi f mencapai nilai

maksimum dalam daerah asal D. Kita dapat menggunakan himpunan pemak-

simum M untuk menemukan nilai , yaitu adalah elemen yang membuat

0x

0x 0x

)(xMμ menjadi nilai maksimum:

)(sup)( 0 xx MDx

M μμ∈

=

)(xMμ adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum. Nilai maksimum dari

f adalah . )( 0xf )( 0xMμ dapat ditulis sebagai berikut (dengan daerah asal D suatu

himpunan tegas):

)].(),(min[sup

)(sup)( 0

xx

xx

DMXx

MDx

M

μμ

μμ

∈

∈

=

=

Perhatikan bahwa daerah asal D digantikan oleh himpunan semesta X dalam ru-

mus di atas. Kemungkinan x berada dalam D dinotasikan dengan )(xDμ .

Contoh 3.10

Diberikan suatu fungsi dan daerah asalnya:

]2,0[,cos)( π=∈= Dxxxf

21cos

21

21cos

)1(1)1(cos

)inf(cos)sup(cos)inf(coscos)(

+=+

=−−−−

=

−−

=

xxxxx

xxxMμ


48

⎩⎨⎧ ≤≤

=selainnya0

20untuk 1)(

πμ

xxD

Nilai maksimum dicapai di )( 0xf 0x

di mana

.2atau0untuk1

)(sup

)](),(min[sup)(

0

20

200

π

μ

μμμ

π

π

==

=

=

≤≤

≤≤

x

x

xxx

Mx

DMx

M

Maka nilai maksimum 1)( 0 =xf dicapai ketika 00 =x atau π2 .

Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas

b. Daerah Asal Kabur

Sekarang dibahas cara mendapatkan nilai maksimum jika daerah

asalnya didefinisikan dalam himpunan kabur. Agar f mencapai nilai maksimum di

, dua kondisi berikut harus dipenuhi:

)( 0xf

0x

- )(xMμ maksimum

- )(xDμ maksimum


49

Elemen yang menghasilkan nilai maksimum f harus memenuhi dua kondisi di

atas. Kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum dari f ditentukan oleh min-

imum dari M

1x

1

)( 1xμ dan 1x (D )μ yaitu:

)](),([min 11 xx DM μμ .

Titik yang membuat fungsi f menjadi maksimum didefinisikan sebagai beri-

kut:

0x

)](),([minsup)( 0 xxxf DMXx

μμ∈

=

di mana )(xMμ adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum dan )(xDμ

adalah fungsi keanggotaan daerah asal kabur (Gambar 3.6). Perbandingan

dengan dalam Gambar 3.6, kemungkinan menghasilkan maksimum untuk f

lebih besar dari :

0x

1x 1x

0x

)()(atau)()( 0101 xxxfxf MM μμ >> .

Tetapi karena )( 1xDμ jauh lebih kecil dari pada )( 0xDμ , maka dipilih

sebagai nilai maksimum.

)( 0xf

Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar


50

Contoh 3.11

Diberikan suatu fungsi dengan daerah asal kabur (Gambar 3.7):

⎩⎨⎧ ≤≤

=

∈+−=

lainnya yang010untuk

)(

,2)(2 xx

x

Dxxxf

Dμ

Fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum:

112

12)( +−=−

−+−= xxxMμ .

Dari persamaan


μμ∈

=

titik diperoleh ketika 0x

6.0,1

)()(

0200

00

==+−

=

xxx

xx DM μμ

Maka kita mempunyai nilai maksimum 6.0untuk4.1)( 00 == xxf .


51

Gambar 3.7. Nilai maksimum dari 2)( +−= xxf dengan daerah asal kabur

Contoh 3.12

Misalkan diberikan suatu fungsi tegas f dan daerah asal kaburnya D:

21cos

21)(

lainnyauntuk 0

20untuk],1[min)(

,cos)(

+=

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

=

∈=

xx

xxx

Dxxxf

M

D

μ

ππμ

seperti dalam Gambar 3.8. Maka

)](),([minmax xx DMXxμμ

∈ diperoleh ketika π20 =x

dan . 1)( 0 =xf

Gambar 3.8. Nilai maksimum xxf cos)( = dengan daerah asal kabur

C. Integral dan Differensial Fungsi Kabur

1. Integral

Sekarang kita akan membahas integral fungsi kabur pada interval tegas

dan pada interval kabur.


52

a. Integral Fungsi Kabur pada Interval Tegas

Definisi 3.6 (Integral Fungsi Kabur)

Dalam interval tegas , misalkan fungsi kabur mempunyai nilai kabur ],[ ba

],[untuk )(~ baxxf ∈ . Integral ),(~ baI dari fungsi kabur dalam dide-

finisikan sebagai berikut

],[ ba

}]1,0[),)()({(),(~∫∫ ∈+= +−b

a

b

a

dxxfdxxfbaI αααα

di mana dan adalah fungsi potongan-α dari −αf

+αf )(~ xf . Tanda (+) dalam rumus

di atas menggambarkan keseluruhan unsur-unsur dalam himpunan kabur, bukan

penjumlahan aritmetika. Selanjutnya, integral total diperoleh dengan

mengumpulkan semua integral dari setiap fungsi potongan-α. Jika kita

mengerjakan operasi potongan-α untuk fungsi kabur, diperoleh atau

sehingga kita dapat menghitung integral dari masing-masing fungsi itu:

−αf

+αf

∫ −− =b

a

dxxfI )(~αα dan ∫ ++ =

b

a

dxxfI )(~αα

Jadi dapat dikatakan bahwa kemungkinan −αI

~ atau +αI

~ adalah anggota dari

integral total ),(~ baI adalah α.

Contoh 3.13

Misalkan ada suatu himpunan kabur dari fungsi-fungsi dan kita akan menghitung

integralnya pada [1, 2]:


53

)}4.0,(),7.0,(),4.0,{(~321 ffff =

]2,1[=X

1)(,)(,)( 32

21 +=== xxfxxfxxf

i. Untuk α = 0.7

22 )( xxff ==

37

31)()2,1(

2

1

2

1

32 =⎥⎦⎤== ∫ xdxxxIα

Hasil integralnya adalah 37 dengan kemungkinan 0.7

Maka )}7.0,37{()2,1(7.0 =I .

ii. Untuk α = 0.4 ada dua fungsi

1)(

)(

3

1

+==

==−

+

xxff

xxff

25

21)1()2,1(

23

21)2,1(

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

=⎥⎦⎤+=+=

=⎥⎦⎤==

∫

∫

xxdxxI

xxdxI

α

α

Hasil integralnya adalah 23 dengan kemungkinan 0.4 dan

25 dengan kemungkin-

an 0.4. Maka

)}4.0,25(),4.0,

23{()2,1(4.0 =I

sehingga kita mempunyai integral total


54

)}4.0,25(),4.0,

23(),7.0,

37{()2,1(~

=I .

Gambar 3.9. Integral fungsi kabur dengan interval tegas

b. Integral Fungsi Tegas pada Interval kabur

Selanjutnya akan diuraikan integral fungsi tegas pada interval kabur [A, B]

yang batasnya ditentukan oleh dua himpunan kabur A dan B (Gambar 3.10).

Gambar 3.10. Interval kabur


55

Definisi 3.7 (Integral pada interval kabur)

Integral I(A, B) dari fungsi tegas f pada interval kabur [A, B] didefinisikan sebagai

berikut

)].(),([minmax

)(

,),( xx BA

duufz

yxbaIy

x

μμμ

∫

=

=

Contoh 3.14

Berikut ini ditunjukkan integral dari fungsi 2)( =xf pada interval kabur [A, B].

A = {(4, 0.8), (5, 1), (6, 0.4)}

B = {(6, 0.7), (7, 1), (8, 0.2)}

]8,4[,2)( ∈= xxf

∫ ∫==B

A

B

A

dxdxxfBAI 2)(),(~

Lihat Tabel 3.1. Diperoleh integral I(A, B).


56

Tabel 3.1. Integral Kabur

[A, B] ∫b

a

dx2 )](),(min[ ba BA μμ

[4, 6] 4 0.7

[4, 7] 6 0.8

[4, 8] 8 0.2

[5, 6] 2 0.7

[5, 7] 4 1

[5, 8] 6 0.2

[6, 6] 0 0.4

[6, 7] 2 0.4

[6, 8] 4 0.2

)}2.0,8(),8.0,6(),1,4(),7.0,2(),4.0,0{(),(~ =BAI

Sebagai contoh, integral dalam [6, 6], diperoleh 0 sebagai nilai integral dengan

kemungkinan 0.4. Sedangkan dalam interval [5, 6] dan [6, 7], diperoleh nilai

integral 2 dengan kemungkinan 0.7 dan 0.4. Jadi kemungkinan nilai integralnya 2

adalah max[0.7, 0.4] = 0.7.

2. Diferensial


57

Selanjutnya akan diperkenalkan differensial fungsi tegas pada interval

kabur.

Definisi 3.8 (Diferensial pada himpunan kabur)

Dengan prinsip perluasan, diferensial )(Af ′ dari fungsi tegas f pada himpunan

kabur A didefinisikan sebagai berikut

)(max)()()( xy AyxfAf μμ=

′ = .

Contoh 3.15

Misalkan fungsi , maka diferensial dari fungsi tersebut pada himpunan

kabur A = {(-1, 0.4), (0, 1), (1, 0.6)}:

3)( xxf =

23)( xxf =′

)}.6.0,3(),1,0{()}6.0,3(),1,0(),4.0,3{()(

==′ Af

Contoh 3.16

Diberikan suatu fungsi kabur

)}4.0,(),7.0,(),4.0,{(~321 ffff =

1)(,)(,)( 33

221 +=== xxfxxfxxf

Kita peroleh


58

0.4jika75.0)5.0(0.7jika1)5.0(0.4jika1)5.0(

3)(,2)(,1)(

3

2

1

2321

==′==′==′

=′=′=′

ααα

fff

xxfxxfxf

)}.4.0,75.0(),7.0,1{(

)}4.0,75.0(),7.0,1(),4.0,1{()(~

0

=

=xdxfd

D. Soal – soal

1. Tunjukkan bahwa fungsi berikut

ByAxxxfy ∈∈== ,,3)( 2

)}5.0,27(),5.0,12(),4.0,4{()}4.0,3(),5.0,2{(

==

BA

memenuhi kondisi )()( yx BA μμ ≤ .

Jawab:

Untuk 2=x , maka , sedangkan 12)2(3)( 2 === xfy

5.0)12(dan5.0)2( == BA μμ .

Jadi )()( yx BA μμ ≤ .

Untuk , maka , sedangkan 3=x 27)3(3)3( 2 === fy

5.0)27(dan4.0)3( == BA μμ .

Jadi )()( yx BA μμ ≤ .

Jadi fungsi memenuhi kondisi 23)( xxf = )()( yx BA μμ ≤ .

2. Tunjukkan bahwa fungsi berikut adalah suatu fungsi pengaburan.


59

)(~:~ BPAf → di mana }3,2,1{=A , ,

}6,4,3,2,1{=B

},,()(~321 BBBBP =

3

2

1

)3(~)2(~)1(~

Bf

Bf

Bf

=

=

=

)}5.0,6(),0.1,3{()}9.0.4(),5.0,2{()}5.0,2(),9.0,1{(

3

2

1

===

BBB

Jawab:

Fungsi f~ adalah fungsi pengaburan, sebab

)}.5.0,6(),0.1,3{(3:~)}9.0,4(),5.0,2{(2:~)}5.0,2(),9.0,1{(1:~

3

2

1

=→

=→

=→

Bf

Bf

Bf

Jadi menurut definisi 3.3 fungsi tersebut adalah fungsi pengaburan.

3. Diberikan himpunan kabur fungsi-fungsi tegas dengan daerah asal

: }4,3,2{=X

)}.9.0,(),5.0,(),4.0,{(~1)(,)(,1)(

321

23

221

ffff

xxfxxfxxf

=

+==+=

Tentukan ).4(~),3(~),2(~ fff

Jawab:


60

Untuk 2=x , maka 3)2(1 =f , 4)2(2 =f , 5)2(3 =f

Untuk 3=x , maka 4)3(1 =f , 9)3(2 =f , 10)3(3 =f

Untuk 4=x maka 5)4(1 =f , 16)4(2 =f , 17)4(3 =f

Jadi

)}9.0,5(),5.0,4(),4.0,3{()2(~=f

)}9.0,10(),5.0,9(),4.0,4{()3(~=f

)}9.0,17(),5.0,16(),4.0,5{()4(~=f .

4. Diberikan suatu fungsi . ]3,1[,)( 3 −=∈= Dxxxf

Tentukan himpunan pemaksimum kabur dan himpunan peminimum kabur,

dan hitung kemungkinan 0=x dalam setiap himpunan tersebut.

Jawab:

a. Himpunan pemaksimum kabur adalah himpunan kabur M dengan fungsi

keanggotaan

281

28128

1)1(27)1(

)inf()sup()inf()()(

3

3

3

+=

+=

−−−−

=

−−

=

x

x

xff

fxfxMμ

Untuk nilai kemungkinannya adalah 0=x


61

.04.0

281

281

281)0( 3

==

+= xMμ

b. Himpunan peminimum kabur adalah himpunan kabur M dengan fungsi

keanggotaan

2827

28128

27)27(1

)27()inf()sup(

)inf()()(

3

3

3

+−=

+−=

−−−−−

=

−−−−−−

=

x

x

xff

fxfxMμ

Untuk nilai kemungkinannya adalah 0=x

.96.0

2827

2827

281)0( 3

==

+−= xMμ

5. Tentukan himpunan pemaksimum kabur dan himpunan peminimum kabur

dari , dan tentukan kemungkinan xxf cos)( = ππ 2dan2

menghasilkan nilai

maksimum dan minimum.

Jawab:

a. Himpunan pemaksimum kabur


62

21cos

21

21cos

)1(1)1(cos

)inf()sup()inf()()(

+=+

=

−−−−

=

−−

=

xx

xff

fxfxMμ

Untuk 2π

=x nilai kemungkinannya adalah

21

21)

2cos(

21)

2(

=

+=ππμM

dan untuk π2=x nilai kemungkinannya adalah

.1

21

21

21)2cos(

21)2(

=+=

+= ππμM

b. Himpunan peminimum kabur

.21cos

21

21cos)1(1

)1(cos)inf()sup(

)inf()()(

+−=

+−=

−−−−−

=

−−−−−−

=

x

x

xff

fxfxMμ

Untuk 2π

=x nilai kemungkinannya adalah


63

21

21)

2cos(

21)

2(

=

+−=ππμM

dan untuk π2=x nilai kemungkinannya adalah

.0

21

21

21)2cos(

21)2(

=+−=

+−= ππμM

6. Hitunglah nilai maksimum dari fungsi berikut

2)( xxf =

a. di mana 0.1)(],1,0[ ==∈ xDx Dμ

b. di mana xxDx D ==∈ )(],1,0[ μ

Jawab:

a. , di mana 2)( xxf = 0.1)(],1,0[ ==∈ xDx Dμ

22

22

22

010

)inf()sup()inf()(

xxxx

xxxM

=−−

=

−−

=μ

Nilai maksimum dicapai di titik di mana )( 0xf 0x

.1untuk 1

][sup]1,min[sup

)](),(min[sup)(

0

2

10

2

10

100

==

==

=

≤≤≤≤

≤≤

x

xx

xxx

xx

DMx

M μμμ

Jadi kita peroleh nilai maksimum 1)( 0 =xf untuk 10 =x .


64

b. , di mana 2)( xxf = xxDx D ==∈ )(],1,0[ μ .

Dari soal di atas telah didapatkan . 2)( xxM =μ

Nilai maksimum dicapai di titik di mana )( 0xf 0x

1atau00

)()(

00

020

020

00

===−

=

=

xxxx

xx

xx DM μμ

Jadi nilai maksimum 1)( 0 =xf dicapai untuk 10 =x .

7. Misalkan diberikan fungsi . Integralkan fungsi tersebut dalam

interval [A, B], di mana

1)( 2 += xxf

)}5.0,9(),1.0,8{(dan )}9.0,2(),5.0,1{( == BA .

Jawab:

]9,1[,1)( 2 ∈+= xxxf

∫ ∫ +==B

A

B

A

dxxdxxfBAI )1()(),(~ 2

Tabel 3.2. Integral Kabur dari fungsi 1)( 2 += xxf

],[ ba ∫ +b

a

x 12 )](),(min[ ba BA μμ

[1, 8] 31177 0.1

[1, 9] 32250 0.5


65

[2, 8] 174 0.1

[2, 9] 31247 0.5

Sehingga diperoleh

)}5.0,32250(),5.0,

31247(),1.0,

31177(),1.0,174{(),(~ =BAI .

8. Diberikan fungsi . Diferensialkan fungsi tersebut pada

himpunan kabur

15)( 2 += xxf

)}0.1,0(),9.0,1(),5.0,2{( −−=A .

Jawab:

15)( 2 += xxf

xxf 10)( =′

20)2( −=−′f

10)1( −=−′f

0)0( =′f

Jadi )}0.1,0(),9.0,10(),5.0,20{()( −−=′ Af .

9. Diketahui himpunan kabur dari fungsi-fungsi tegas

)}4.0,(),5.0,(),9.0,(),4.0,{(~4321 fffff =


66

.51)(,1)(

1)(,1)(]3,1[

43

221

+==

+=+=

=∈

xxf

xxf

xxfxxfDx

Tentukan himpunan kabur )2(~f dan )3(~f .

Jawab:

Untuk , maka 2=x 312)2(1 =+=f

514)2(2 =+=f

21)2(3 =f

5.5521)2(4 =+=f .

Untuk , maka 3=x 413)3(1 =+=f

1019)3(2 =+=f

31)3(3 =f

.3

16531)2(4 =+=f

Jadi diperoleh himpunan-himpunan kabur )2(~f dan )3(~f yaitu

)}4.0,5.5(),5.0,5.0(),9.0,5(),4.0,3{()2(~=f

)}.4.0,315(),5.0,

31(),9.0,10(),4.0,4{()3(~

=f


67

10. Tentukan himpunan pemaksimum kabur M dan nilai maksimumnya dari

fungsi berikut:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

=

∈+=

lainnyauntuk 0

20untuk2)(

,1sin)(

ππμ

xxx

Dxxxf

D

Jawab:

21sin

21

21sin

020)1(sin

)1inf(sin)1sup(sin)1inf(sin1sin)(

+=+

=−

−+=

+−++−+

=

xxxxx

xxxMμ

Nilai maksimum dicapai dititik di mana )( 0xf 0x

ππ

μμ

=

=+

=

0

00

00

221sin

21

)()(

x

xx

xx DM

Jadi nilai maksimum 1)( 0 =xf dicapai untuk π=0x .

11. Diketahui fungsi kabur

]3,1[)},9.0,(),4.0,(),5.0,(),4.0,{(~4321 =∈= Dxfffff

dengan

1)(,1)(1)(,1)(

24

23

21

−=+=

−=+=

xxfxxfxxfxxf

Hitunglah integral dari fungsi tersebut dalam [1, 3].

Jawab:


68

a. Intrgral untuk 5.0=α :

1)(2 −= xxf

2)21(

23

21)1()3,1(

3

1

23

15.0 =−−=⎥⎦

⎤−=−= ∫ xxdxxI

Jadi integralnya adalah 2 dengan kemungkinan 0.5.

b. Intrgral untuk 9.0=α :

1)( 24 −= xxf

326)

32(6

31)1()3,1(

3

1

33

1

29.0 =−−=⎥⎦

⎤−=−= ∫ xxdxxI

Jadi integralnya adalah 326 dengan kemungkinan 0.9.

c. Intrgral untuk 4.0=α ada dua fungsi:

1)(1 += xxf

1)( 23 += xxf

623

215

21)1()3,1(

3

1

23

14.0 =−=⎥⎦

⎤+=+= ∫ xxdxxI

3210)

34(12

31)1()3,1(

3

1

33

1

24.0 =−=⎥⎦

⎤+=+= ∫ xxdxxI

Jadi integralnya adalah 6 dengan kemungkinan 0.4, dan 3210 dengan

kemungkinan 0.4. Maka integral totalnya adalah

)}.4.0,3210(),9.0,

326(),5.0,2(),4.0,6{()3,1(~ =I


69

12. Diberikan suatu fungsi kabur

)}5.0,(),9.0,(),5.0,{(~321 ffff =

dengan

xxfxxxfxxf =++=+= )(,1)(,1)( 323

22

1 .

Diferensialkan fungsi tersebut di 20 =x .

Jawab:

xxfxxxfxxf =++=+= )(,1)(,1)( 323

22

1

1)(,23)(,2)( 32

21 =′+=′=′ xfxxxfxxf

Diferensial fungsi untuk 20 =x adalah

5.0dengan 1)2(9.0dengan 1641223)2(

5.0dengan 4)2(

3

22

1

==′==+=+=′

==′

αα

α

fxxf

f

)}.5.0,1(),9.0,16(),5.0,4{()2(~

=dxfd


BAB IV

KESIMPULAN

Fungsi kabur dapat diklasifikasikan dalam tiga kelompok, yaitu fungsi

tegas dengan kendala kabur, fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari varia-

bel bebas ke variabel tak bebas, dan fungsi pengaburan dengan variabel tegas.

Fungsi tegas dengan kendala kabur adalah suatu fungsi f yang memenuhi kondisi

Xxxfx BA ∈∀≤ ))(()( μμ , di mana X dan Y adalah himpuan semesta tegas dan

A dan B adalah himpunan kabur yang didefinisikan dalam semesta tegas tersebut.

Fungsi perluasan kabur menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tak

bebas. Jika f adalah fungsi tegas dari X ke Y, maka fungsi perluasan kabur f

mendefinisikan bayangan kabur f(A) dalam Y dari himpunan kabur A dalam X,

yaitu

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

−

−

∈ −

φ

φμμ

)( jika0

)( jika)(sup)(

1

1

)()(

1

yf

yfxy

Ayfx

Af

di mana adalah bayangan invers dari y. Sedangkan fungsi pengaburan de-

ngan variabel tegas adalah suatu fungsi yang menghasilkan bayangan dari daerah

asal tegas berupa suatu himpunan kabur.

)(1 Af −

Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tegas dengan daerah asal tegas

maupun kabur dipakai himpunan pemaksimum dan himpunan peminimum. Him-

punan pemaksimum M didefinisikan sebagai himpunan kabur dengan fungsi

keanggotaan

70


71

.,)inf()sup(

)inf()()( Xxff

fxfxM ∈∀−−

=μ

Himpunan pemaksimum M tersebut adalah suatu himpunan kabur dengan derajat

keanggotaan didefinisikan sebagai derajat kemungkinan x menghasilkan

nilai maksimum sup(f). Sedangkan himpunan peminimum dari f didefinisikan se-

bagai himpunan pemaksimum dari –f. Nilai maksimum dari fungsi tegas f adalah

, di mana suatu titik yang membuat fungsi f mencapai nilai maksimum

dalam daerah asal tegas D. Dengan himpunan pemaksimum M dapat ditemukan

nilai , yaitu elemen yang membuat

Xx∈

)( 0xf 0x

0x )(xMμ mencapai nilai maksimum:

)].(),(min[sup

)(sup)( 0

xx

xx

DMXx

MDx

M

μμ

μμ

∈

∈

=

=

Sedangkan nilai maksimum dari fungsi tegas f dalam daerah asal kabur dicapai

ketika ada titik yang membuat fungsi f menjadi maksimum yang didefinisikan

sebagai

0x


μμ∈

=

di mana )(xMμ adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum dan )(xDμ

adalah fungsi keanggotaan daerah asal kabur.

Integral fungsi kabur diklasifikasikan dalam dua kelompok, yaitu integral

fungsi kabur pada interval tegas dan integral fungsi kabur pada interval kabur. In-

tegral fungsi kabur dalam interval tegas [a, b] didefinisikan sebagai

}]1,0[),)()({(),(~ =+= ∫∫ +− ααb

aa

b

aa dxxfdxxfbaI


72

di mana dan adalah fungsi potongan-α dari . Integral total diperoleh

dengan mengumpulkan semua integral dari setiap fungsi potongan-α. Selanjutnya

integral I(A, B) dari fungsi tegas pada interval kabur [A, B] didefinisikan sebagai

berikut

−af +

af )(~ xf

)](),(min[max

)(

,),( xx BA

duufz

yxBAIy

x

μμμ

∫

=

=

.

Sedangkan diferensial dari fungsi tegas f pada himpunan kabur A dide-

finisikan sebagai berikut

)(Af ′

).(max)()( xAyxfAf μμ=

′ =


73

DAFTAR PUSTAKA

Baisuni, H. M. Hasyim. (1986). Kalkulus. Jakarta: Penerbit Unversitas Indonesia.

Lee, Kwang H. (2005). First Course on Fuzzy Theory and Applications. New

York: Springer – Verlag.

Purcell, J. Edwin. and Varberg, Dale. (1987). Kalkulus dan Geometri Analitis. Ja-

karta: Erlangga.

Susilo, F. (2003). Pengantar Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya.

Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.

Zimmermann, H.-J. (1991). Fuzzy Set Theory and Its Applications. Boston: Klu-

wer Academic Publisher.


FUNGSI KABUR - USD

Documents

Transcript of FUNGSI KABUR - USD