Aljabar dan Trigonometri - USD

Aljabar dan Trigonometri Yosep Dwi Kristanto , Eko Budi Santoso Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta

Ikuti buku ini dan karya lainnya di http://people.usd.ac.id/~ydkristanto/index.php/publications/

Rekomendasi Pengutipan Kristanto, Y. D., & Santoso, E. B. (2017). Aljabar dan Trigonometri. Yogyakarta: Sanata Dharma University Press.

http://people.usd.ac.id/%7Eydkristanto/index.php/publications/

http://people.usd.ac.id/%7Eydkristanto/index.php/publications/

https://orcid.org/0000-0003-1446-0422

© Penerbit Sanata Dharma University Press, Lantai 1 Gedung Perpustakaan Universitas Sanata Dharma, Jl. Affandi (Gejayan) Mrican, Yogyakarta 55281

Kata Pengantar

Aljabar dan Trigonometri merupakan mata kuliah fundamental bagi mahasiswa-mahasiswa tahun pertama. Alasan pertama, mata kuliah ini memberi kesempatan bagi mahasiswa untuk mengulang materi-materi yang telah dipelajari pada tingkat sekolah menengah, khususnya sekolah menengah atas. Hal ini juga memberi kesempatan bagi mahasiswa yang belum pernah mempelajari materi tertentu, Trigonometri misalnya, untuk bisa mempelajari materi tersebut. Dengan demikian, alasan keduanya adalah bahwa mata kuliah ini bisa digunakan sebagai matrikulasi. Tidak kalah penting, mata kuliah Aljabar dan Trigonometri juga merupakan mata kuliah persiapan bagi mahasiswa untuk mata-mata kuliah matematika lebih lanjut, seperti Kalkulus, Aljabar Linear, dan Geometri Analitik.

Buku ini disusun agar mahasiswa dapat belajar secara maksimal dalam mata kuliah Aljabar dan Trigonometri. Materi-materi dalam buku ini disusun secara sistematis, dimulai dari materi-materi dasar sampai materi-materi yang membutuhkan pemikiran tingkat tinggi. Di awal setiap bab disajikan hubungan antara topik yang disajikan dengan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dimaksudkan untuk membangun motivasi mahasiswa dalam pembelajaran. Deskripsi topik dan capaian pembelajaran juga disajikan untuk bisa dijadikan bahan pratinjau ataupun refleksi bagi mahasiswa pada saat sebelum dan sesudah mempelajari topik tersebut.

Struktur Buku

Buku Aljabar dan Trigonometri ini memuat sepuluh bab yang secara garis besar dibagi menjadi dua bagian besar, yaitu topik-topik dalam aljabar dan topik-topik dalam trigonometri. Terdapat tujuh bab yang membahas materi-materi aljabar dan tiga topik yang membahas materi-materi trigonometri. Kesepuluh bab tersebut diurutkan secara hati-hati dan cermat agar sesuai dengan tingkat perkembangan masing-masing mahasiswa.

Bab pertama dalam buku ini adalah Relasi dan Fungsi. Bab ini menjadi fondasi bagi semua bab yang mengikutinya. Bab-bab ber ikutnya, yaitu Persamaan Kuadrat, Fungsi Pecah, Persamaan Irasional, Eksponen dan Logaritma, Barisan dan Deret, serta Fungsi Polinomial (Suku Banyak) merupakan materi-materi pokok dalam aljabar. Kesemua materi tersebut dikatakan pokok karena materi-materi tersebut masih akan terus dibahas pada kuliah-kuliah berikutnya.

Bagian berikutnya dari buku ini adalah bab-bab dalam trigonometri. Materi trigonometri dibagi menjadi tiga bab, yaitu Fungsi Trigonometri, Segitiga, dan Trigonometri Analitik. Melalui ketiga bab ini mahasiswa dapat mengeksplorasi trigonometri secara utuh. Semua bab dalam trigonometri tersebut menawarkan pendekatan visual bagi mahasiswa dalam memahami materi trigonometri.


Fitur-Fitur Pedagogi

Masing-masing bab dalam buku ini memuat banyak contoh soal yang sesuai dengan capaian pembelajaran. Contoh soal tersebut merepresentasikan materi-materi yang telah dibahas. Mahasiswa dapat menggunakan contoh soal ini untuk melihat bagaimana materi-materi yang telah dibahas diterapkan dalam penyelesaian masalah.

Contoh-contoh soal dalam buku ini paralel dengan soal-soal latihan. Dengan demikian mahasiswa dapat berlatih mengerjakan soal-soal latihan setelah mempelajari contoh-contoh soal. Tidak hanya itu, kemampuan pemecahan masalah mahasiswa juga dapat diasah dengan mengerjakan soal-soal latihan karena beberapa soal latihan dirancang untuk memunculkan keterampilan pemecahan masalah mahasiswa.

Fitur Bacaan Lebih Lanjut diberikan di akhir setiap bab agar mahasiswa secara mandiri dapat mencari informasi berkaitan dengan topik yang dipelajari. Bacaan tersebut memuat topik-topik matematika dan matematika di bidang pendidikan. Dengan demikian, mahasiswa akan mengetahui perkembangan isu-isu dalam matematika maupun pendidikan matematika. Hal ini akan menjadi stimulus rasa ingin tahu mahasiswa di kedua bidang tersebut.

Ucapan Terima Kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan buku ini. Terima kasih kami ucapkan kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan serta Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan berharganya demi terwujudnya buku ini. Terima kasih juga kami sampaikan kepada semua mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang menjadi inspirasi penyusunan buku ini. Penulis mengharapakan saran, pesan, dan kritik dari pembaca agar tulisan dan pelayanan kami menjadi semakin baik.


Daftar Isi

Kata Pengantar ................................................................................................................. iii

Bab 1 Relasi dan Fungsi .................................................................................................... 1

Bab 2 Persamaan Kuadrat ............................................................................................... 57

Bab 3 Fungsi Pecah ......................................................................................................... 96

Bab 4 Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional ........................................................... 125

Bab 5 Fungsi Eksponensial dan Logaritma ................................................................... 143

Bab 6 Barisan dan Deret ................................................................................................ 189

Bab 7 Fungsi Polinomial ............................................................................................... 232

Bab 8 Fungsi Trigonometri ........................................................................................... 282

Bab 9 Segitiga ................................................................................................................ 352

Bab 10 Trigonometri Analitik ....................................................................................... 391

Tentang Penulis ............................................................................................................. 367

Trigonometri Analitik

10.1

10.2

10.3

10.4

10.4

Identitas-Identitas Trigonometri

Rumus-Rumus Penjumlahan dan PenguranganRumus Sudut Rangkap, Setengah, dan Hasil Kali-JumlahPersamaan-Persamaan Trigonometri DasarPersamaan-Persamaan Trigonometri Lainnya

Bagaimana hari Anda? Dingin, hangat, atau panas? Materi pada bab ini bisa digunakan untuk memodelkan kapan hari Anda dingin, hangat, dan panas.

Naskah ini merupakan naskah versi penulis yang belum melalui proses pengaturan halaman dan penyuntingan dari penerbit.

A. Deskripsi

Bab Trigonometri Analitik memba-has trigonometri secara analitik. Dalam bab ini memuat berbagai macam identitas-identitas trigono-

metri. Selain itu, dalam bab ini juga dibahas bagaimana teknik-teknik menyelesaikan persamaan trigono-metri.

B. Relevansi

Kita dapat merasakan bahwa suhu udara di sekitar berubah-ubah se-tiap waktunya. Ketika siang udara terasa panas, malam terasa dingin, siang udaranya panas lagi, malam kembali dingin, dan demikian seter-usnya. Karena suhu udara tersebut periodik, maka suhu udara setiap

waktunya tersebut bisa dimodel-kan dengan menggunakan fungsi trigonometri. Dengan demikian, jika kita bisa menyelesaikan persamaan trigonometri, yang akan dibahas pada bab ini, kita dapat menen-tukan waktu kapan suhu udara di sekitar kita 27°C atau 25°C.

C. Capaian Pembelajaran

• Kompetensi-kompetensi beri-kut ini diharapkan dikuasasimahasiswa setelah mempela-jari bab ini.

• Menyederhanakan ben-tuk-bentuk trigonometridengan menggunakan identi-tas-identitas dasar.

• Membuktikan identitas denganmenggunakan identitas-identi-tas dasar.

• Menggunakan rumus-rumuspenjumlahan dan pengu-rangan dalam pemecahanmasalah.

• Menggunakan rumus sudutrangkap, sudut setengah, danhasil kali-jumlah dalam pe-mecahan masalah.

• Menyelesaikan persa-maan-persamaan trigonometri.

10


3IDENTITAS-IDENTITAS TRIGONOMETRISUBBAB 10.1

10.1 Identitas-Identitas TrigonometriMisalkan kita diberikan dua fungsi sebagai berikut.

y = sin2 x dan 4

2

1 cos1 cos

xyx

−=

+Walaupun kedua fungsi tersebut tampak berbeda, tetapi keduanya memiliki grafik yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1 berikut.

–π

–1

1

0 πx

y

–2π 2π

Gambar 1

Dengan demikian, kedua fungsi tersebut sebenarnya sama, dan bisa dituliskan seperti ini.

42

2

1 cossin1 cos

xxx

−=

+

Persamaan terakhir tersebut dinamakan identitas, yaitu persamaan yang bernilai benar untuk semua nilai variabelnya. Karena identitas tersebut memuat fungsi-fungsi trigonometri, maka identitas terebut dinamakan identitas trigonometri.Pada bagian ini kita fokus untuk menyederhanakan bentuk-bentuk trigonometri dan membuktikan identitas-identitas trigonometri. Se-belum itu, kita ingat kembali identitas-identitas trigonometri yang terangkum sebagai berikut.


4 TRIGONOMETRI ANALITIK BAB 10

Identitas-Identitas Trigonometri DasarIdentitas-Identitas Kebalikan

1cscsin

xx

=

1seccos

xx

=

1cottan

xx

=

Identitas-Identitas Hasil Bagi

sintancos

xxx

=

coscotsin

xxx

=

Identitas-Identitas Pythagoras 2 2sin cos 1θ θ+ =

2 2tan 1 secθ θ+ =

2 21 cot cscθ θ+ =Identitas-Identitas Ganjil-Genap

( )sin sinx x− = −

( )cos cosx x− =

( )tan tanx x− = −

Identitas-Identitas Komplemen

sin cos

2x xπ − =

cos sin

2x xπ − =

tan cot

2x xπ − =

cot tan

2x xπ − =

sec csc

2x xπ − =

csc sec

2x xπ − =

10.1.1 Menyederhanakan Bentuk TrigonometriIdentitas-identitas trigonometri bisa digunakan untuk menyeder-hanakan bentuk-bentuk trigonometri. Akan tetapi, selain meng-gunakan identitas, kita juga bisa menggunakan teknik-teknik penyederhanaan bentuk aljabar seperti pemfaktoran, menyamakan penyebut, dan pengunaan perkalian sekawan.


5 IDENTITAS-IDENTITAS TRIGONOMETRISUBBAB 10.1

CONTOH 1—Menyederhanakan Bentuk TrigonometriSederhanakan bentuk sin x + cot x cos x.Pembahasan Pertama, kita nyatakan bentuk tersebut ke dalam sinus dan cosinus.

sin cot cosx x x+cossin cossin

xx xx

= +

2 2sin cossinx x

x+

=

1sin x

=

csc x=Kerjakan Latihan 1

CONTOH 2—Menyamakan Penyebut

Sederhanakan bentuk 1 sin coscos 1 sin

θ θθ θ

++

+.

Pembahasan Kita gabungkan dua pecahan tersebut dengan men-yamakan penyebutnya.

1 sin coscos 1 sin

θ θθ θ

++

+( )

( )

2 21 sin coscos 1 sin

θ θθ θ

+ +=

+

( )2 21 2sin sin cos

cos 1 sinθ θ θθ θ

+ + +=

+

( )1 2sin 1

cos 1 sinθ

θ θ+ +

=+

( )( )

2 1 sincos 1 sin

θθ θ+

=+

2cosθ

=

2secθ=Kerjakan Latihan 2

10.1.2 Membuktikan Identitas TrigonometriIdentitas adalah persamaan yang benar untuk semua nilai varia-



belnya. Untuk itu, kita bisa membuktikan identitas trigonometri dengan mengubah bentuk trigonometri di salah satu ruas untuk menjadi bentuk di ruas lain. Ruas yang dipilih biasanya adalah ruas yang bentuknya lebih rumit.Dalam mengubah bentuk trigonometri, kita bisa menggunakan identitas-identitas trigonometri yang sudah kita ketahui bersama dengan teknik-teknik aljabar. Selain itu, identitas trigonometri biasanya akan lebih sederhana jika kita mengubahnya ke dalam bentuk sinus dan cosinus.

CONTOH 3—Menuliskan ke dalam Sinus dan Cosinus

Perhatikan persamaan cos csc sinsec sin

x x xx x

= − .

(a) Gunakan grafik untuk melihat apakah persamaan tersebut me-rupakan identitas.

(b) Buktikan bahwa persamaan tersebut merupakan identitas trigo-nometri.

Pembahasan(a) Untuk melihat apakah persamaan yang diberikan merupakan

identitas, kita gambar grafik y = cos x/(sec x sin x) dan y = csc x – sin x. Kedua grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.

–2π

–5

5

2π

Gambar 2

Karena kita memperoleh grafik yang sama, maka kita menduga bahwa persamaan yang diberikan merupakan identitas. Kita buktikan dugaan ini pada bagian (b).



(b) Karena ruas kiri persamaan memuat bentuk yang lebih rumit, kita mulai pembuktiannya dari ruas kiri.

cossec sin

xx x ( )

cos1 cos sin

xx x

=

2cossin

xx

=

21 sinsin

xx

−=

21 sinsin sin

xx x

= −

csc sinx x= −Di sini kita sudah membuktikan bahwa persamaan yang diberi-kan merupaka identitas trigonometri.

Kerjakan Latihan 3

Jika identitas memuat penjumlahan atau pengurangan pecahan, biasanya identitas tersebut bisa dibuktikan dengan terlebih da-hulu mengkombinasikan pecahan tersebut dengan menyamakan penyebutnya. Hal ini diilustrasikan pada Contoh 4.

CONTOH 4—Mengkombinasikan PecahanBuktikan identitas berikut.

1 1 2secsec tan sec tan

xx x x x

+ =+ −

Pembahasan Kita jumlahkan pecahan pada ruas kiri dengan men-yamakan penyebutnya.

1 1sec tan sec tanx x x x

++ − ( )( )

sec tan sec tansec tan sec tan

x x xx x x x− + +

=+ −

2 2

2secsec tan

xx x

=−

2sec1

x=



2sec x=Kerjakan Latihan 4

Perkalian sekawan juga dapat digunakan untuk membuktikan iden-titas trigonometri. Teknik ini ditunjukkan pada Contoh 5.

CONTOH 5—Perkalian Sekawan

Buktikan 1 sin coscos 1 sin

t tt t

+=

−.

Pembahasan Kita mulai pembuktian dari ruas kanan dengan men-galikan pembilang dan penyebutnya dengan 1 + sin t.

cos1 sin

tt−

cos 1 sin1 sin 1 sin

t tt t

+= ⋅

− +( )

2

cos 1 sin1 sint t

t+

=−( )

2

cos 1 sincost t

t+

=

1 sincos

tt

+=

Kerjakan Latihan 5

Dari Contoh 3 sampai Contoh 5, kita telah membuktikan identitas trigonometri dengan mengubah bentuk dalam satu ruas menjadi bentuk di ruas lainnya. Hal ini bukan cara satu-satunya. Kita juga bisa mengubah bentuk dari kedua ruas secara terpisah, dan jika kita menghasilkan bentuk yang sama, maka persamaan yang diberikan merupakan identitas. Cara seperti ini diilustrasikan pada Contoh 6.

CONTOH 6—Mengubah Bentuk Kedua RuasBuktikan identitas berikut.

( )21 sin tan sec

1 sinx x xx

+= +

−

Pembahasan Kita akan buktikan identitas tersebut dengan mengu-



bah bentuk pada kedua ruas menjadi bentuk yang sama.Ruas kiri:

( )2

2

1 sin1 sin 1 sin 1 sin1 sin 1 sin 1 sin cos

xx x xx x x x

++ + += ⋅ =

− − +

Ruas kanan:

( )2tan secx x+ 2 2tan 2 tan sec secx x x x= + +2

2 2

sin 2 1cos cos cos

xx x

= + +

2

2

sin 2cos 1cos

x xx

+ +=

( )2

2

1 sincos

xx

+=

Karena ruas kiri maupun ruas kanan menuju bentuk yang sama, maka terbukti bahwa persamaan yang diberikan merupakan identi-tas.Kerjakan Latihan 6

Setelah kita fokus untuk membuktikan identitas trigonometri, kemudian bagaimana kita menunjukkan kalau suatu persamaan yang diberikan bukan identitas? Untuk melakukannya, kita hanya perlu memberikan satu nilai untuk variabel dalam persamaan yang menyebabkan persamaan tersebut salah. Contoh seperti ini dina-makan contoh kontra.

CONTOH 7—Menemukan Contoh KontraTunjukkan bahwa sin u + cos u = sin u cos u bukan merupakan identitas.Pembahasan Untuk menunjukkan bahwa persamaan yang diberi-kan bukan identitas, kita pilih contoh kontra u = π/3.

sin cos3 3π π+

?sin cos

3 3π π

=



3 12 2+

? 3 12 2

=

3 12+ 3

4≠

Jadi, sin u + cos u ≠ sin u cos u ketika u = π/3. Dengan demikian persamaan tersebut bukan identitas.Kerjakan Latihan 7

10.2 Rumus-Rumus Penjumlahan dan PenguranganDengan menggunakan kalkulator kita menentukan bahwa cos 75° ≈ 0,2588. Nilai tersebut merupakan nilai pembulatan sampai empat angka di belakang koma. Untuk bisa menentukan nilai eksak cos 75°, kita bisa menggunakan identitas penjumlahan. Identitas ini bersama dengan identitas pengurangan dirangkum sebagai berikut.

Rumus-Rumus Penjumlahan dan PenguranganRumus untuk Sinus: sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t sin(s – t) = sin s cos t – cos s sin tRumus untuk Cosinus: cos(s + t) = cos s cos t – sin s sin t cos(s – t) = cos s cos t + sin s sin tRumus untuk Tangen:

( ) tan tantan

1 tan tans ts t

s t+

+ =−

( ) tan tantan

1 tan tans ts t

s t−

− =+

Bukti Rumus Penjumlahan Cosinus Di sini kita akan membukti-kan rumus cos(s + t) = cos s cos t – sin s sin t


11 RUMUS-RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGANSUBBAB 10.2

Untuk membuktikannya, perhatikan lingkaran satuan dengan sudut pusat s, t, dan s + t pada Gambar 3(a). Kemudian kita putar segi-tiga OP0Q0 sedemikian sehingga titik Q0 berhimpit dengan titik Q1 seperti pada Gambar 3(b). Walaupun perputaran ini mengubah koordinat titik-titik sudut segitiga, tetapi perputaran tersebut tidak mempengaruhi panjang sisi di depan sudut s + t. Dengan demiki-an, walaupun panjang sisi tersebut dihitung dengan koordinat pada Gambar 3(a) ataupun 3(b), tetap akan menghasilkan panjang yang sama, P0Q0 = P1Q1.

O

x2 + y2 = 1

(a)

ss + t

tP0

Q0

Q1

x

y

O

(b)

x2 + y2 = 1

s + t

P1

Q1

x

y

Gambar 3

Koordinat titik-titik pada Gambar 3 adalah sebagai berikut. P0(1, 0) Q0(cos(s + t), sin(s + t)) P1(cos(–s), sin(–s)) Q1(cos t, sin t)Karena cos(–s) = cos s dan sin(–s) = –sin s, maka koordinat titik P1 adalah (cos s, –sin s).Dengan menerapkan Rumus Jarak pada Gambar 3(a), kita peroleh

0 0P Q [ ] [ ]2 2cos( ) 1 sin( ) 0s t s t= + − + + −

2 2cos ( ) 2cos( ) 1 sin ( )s t s t s t= + − + + + +

2 2cos( )s t= − +

Selanjutnya kita terapkan Rumus Jarak pada Gambar 3(b).



1 1PQ ( ) ( )2 2cos cos sin sint s t s= − + +

2 2cos cos 2sin sins t s t= − +

(Mengapa?)

Karena P0Q0 = P1Q1, maka

2 2cos( )s t− + 2 2cos cos 2sin sins t s t= − +

2 2cos( )s t− + 2 2cos cos 2sin sins t s t= − +2cos( )s t− + 2cos cos 2sin sins t s t= − +

cos( )s t+ cos cos sin sins t s t= −

Di sini, kita telah membuktikan rumus penjumlahan untuk cosinus.

Bukti Rumus Pengurangan Cosinus Kita ganti t dengan –t da-lam rumus penjumlahan untuk cosinus, kita dapatkan

cos( )s t− [ ]cos ( )s t= + −

cos cos( ) sin sin( )s t s t= − − −

cos cos sin sins t s t= +Dengan demikian, kita telah membuktikan rumus pengurangan untuk cosinus.

CONTOH 8—Menggunakan Rumus Penjumlahan dan PenguranganTentukan nilai eksak dari bentuk-bentuk berikut.(a) cos 75° (b) tan π/12Pembahasan(a) Perhatikan bahwa 75° = 30° + 45°. Karena kita tahu nilai eksak

cosinus dan sinus dari 30° dan 45°, maka kita gunakan rumus penjumlahan sebagai berikut.

cos 75° ( )cos 30 45= °+ °

cos30 cos 45 sin 30 sin 45= ° °− ° °

3 2 1 22 2 2 2

= −

6 24−

=



(b) Pertama kita nyatakan π/12 = π/3 – π/4. Dengan menggunakan rumus pengurangan untuk tangen, kita dapatkan

tan12π tan

3 4π π = −

( ) ( )( ) ( )

tan 3 tan 41 tan 3 tan 4

π ππ π−

=+

3 11 3 1

−=

+ ⋅

3 1 3 13 1 3 1− −

= ⋅+ −

4 2 32

−=

2 3= −

Kerjakan Latihan 8

CONTOH 9—Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan identitas sin( )tan tancos cos

x yx yx y−

− = .

Pembahasan Kita mulai pembuktian ini dari ruas kanan dengan menggunakan rumus pengurangan untuk sinus.

sin( )cos cos

x yx y− sin cos cos sin

cos cosx y x y

x y−

=

sin cos cos sincos cos cos cos

x y x yx y x y

= −

sin cos cos sincos cos cos cos

x y x yx y x y

= − tan tanx y= −

Kerjakan Latihan 9

CONTOH 10—Menentukan Nilai Fungsi Trigonometri

Jika sin s = 4⁄5, dimana 0 < s < π/2, dan sin t = 3 4− , dimana π < t < 3π/2, tentukan sin(s – t).



Pembahasan Dari rumus pengurangan untuk sinus, kita tahu bahwa sin(s – t) = sin s cos t – cos s sin tNilai sin s dan sin t sudah diketahui, tetapi nilai cos s dan cos t belum diketahui. Untuk itu, pertama kita tentukan cos s dengan menggunakan identitas Pythagoras.

22 2 4 16 9cos 1 sin 1 1

5 25 25s s = − = − = − =

Karena 0 < s < π/2, maka nilai cos s positif. Dengan demikian,

3cos5

s =

Dengan cara yang serupa, kita peroleh

13cos4

t = −

Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus pengurangan untuk sinus, kita dapatkan

sin( )s t− sin cos cos sins t s t= −

4 13 3 35 4 5 4

= − − −

4 13 3 3 3 3 4 1320 20 20

−= − + =

Kerjakan Latihan 10

10.2.1 Bentuk A sin x + B cos xBentuk A sin x + B cos x dapat diubah ke dalam bentuk yang hanya memuat sinus. Sebagai ilustrasi, perhatikan bentuk berikut.

3 1sin cos

2 2x x+

Jika kita misalkan θ = π/6, maka cos θ = 3 2 dan sin θ = 1⁄2. Dengan demikian, kita bisa menuliskan



3 1sin cos2 2

x x+ cos sin sin cosx xθ θ= +

( )sin x θ= +

sin6

x π = +

Kita dapat menggunakan cara ini untuk menuliskan bentuk A sin x + B cos x ke dalam bentuk k sin(x + θ). Untuk melakukannya, per-

tama kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 2 2A B+ .

2 2

2 2 2 2sin cos sin cosA BA x B x A B x x

A B A B

+ = + +

+ +

Selanjutnya kita cari θ sedemikian sehingga

2 2

cos AA B

θ =+

2 2sin B

A Bθ =

+

Gambar 4 berikut menunjukkan bahwa sudut θ ditentukan oleh titik (A, B) pada bidang koordinat.

Oθ

Ax

B(A, B)

y

2 2A B+

Gambar 4

Setelah kita menentukan θ, maka

sin cosA x B x+ ( )2 2 cos sin sin cosA B x xθ θ= + +

( )2 2 sinA B x θ= + +

Kita telah membuktikan teorema berikut.



Jumlah Sinus dan CosinusJika A dan B adalah bilangan-bilangan real, maka

( )sin cos sinA x B x k x θ+ = +

dimana dan θ memenuhi

2 2

cos AA B

θ =+

dan 2 2

sin BA B

θ =+

CONTOH 11—Bentuk Jumlah Sinus dan CosinusNyatakan 4 sin x + 3 cos x ke dalam bentuk k sin(x + θ).Pembahasan Pertama, kita tentukan nilai k.

2 2 2 24 3 5k A B= + = + =Sudut θ harus memiliki sifat sebagai berikut.

4cos5

Ak

θ = = dan 3sin5

Bk

θ = =

Karena nilai cosinus dan sinus dari θ positif, maka θ berada di Kuadran I. Dengan menggunakan kalkulator kita peroleh

1 4cos 36,87

5θ −= ≈ °

Jadi, 4 sin x + 3 cos x = 5 sin(x + 36,87°).Kerjakan Latihan 11

CONTOH 12—Menggambar Grafik Fungsi Trigonometri

Nyatakan fungsi ( ) sin 3 cosf x x x= − ke dalam bentuk k sin(x + θ), kemudian gunakan bentuk baru ini untuk menggambar grafiknya.Pembahasan Nilai k dapat ditentukan sebagai berikut.

( )2 2 21 3 2k A B= + = + =

Sudut θ memiliki nilai cosinus dan sinus sebagai berikut.

1cos2

Ak

θ = = dan 3sin2

Bk

θ = = −


17 RUMUS SUDUT RANGKAP, SETENGAH, DAN HASIL KALI-JUMLAHSUBBAB 10.3

Dengan demikian, θ berada di Kuadran IV yaitu θ = 5π/3. Dari sini kita peroleh

5sin 3 cos 2sin3

x x x π − = +

Jadi, fungsi f dapat dinyatakan ke dalam bentuk

5( ) 2sin3

f x x π = +

dimana grafiknya memiliki amplitudo 2, periode 2π, dan pergeseran horizontal –5π/3. Grafik f ditunjukkan pada Gambar 5.

–π

–2

2

0 πx

y5

( ) 2sin3

f x xπ

= +

Gambar 5Kerjakan Latihan 12

10.3 Rumus Sudut Rangkap, Setengah, dan Hasil Kali-Jumlah

Pada subbab ini kita akan mempelajari rumus-rumus yang dituru-kankan dari identitas-identitas yang telah kita diskusikan pada bagian sebelumnya. Pertama kita akan mendiskusikan rumus sudut rangkap, kemudian rumus sudut setengah, dan terakhir rumus hasil kali-jumlah.

10.3.1 Rumus Sudut RangkapBerikut ini adalah rumus-rumus sudut rangkap untuk sinus, cosi-nus, dan tangen yang merupakan akibat dari rumus penjumlahan.



Rumus-Rumus Sudut RangkapRumus untuk Sinus: sin 2x = 2 sin x cos xRumus untuk Cosinus: cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2 cos2 x – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 xRumus untuk Tangen:

2

2 tantan 21 tan

xxx

=−

Di sini kita akan membuktikan rumus sudut rangkap untuk cosinus. Rumus-rumus sudut rangkap lainnya ditinggalkan sebagai latihan (lihat Latihan 32 dan 33).Bukti Sudut Rangkap untuk Cosinus Ide untuk membuktikan rumus sudut rangkap pada cosinus adalah dengan mengubah sudut 2x menjadi x + x, kemudian kita gunakan rumus penjumlahan untuk cosinus.

cos 2x cos( )x x= +

cos cos sin sinx x x x= −2 2cos sinx x= −

Selanjutnya, berdasarkan identitas Pythagoras kita bisa menuliskan sin2 x menjadi 1 – cos2 x. Dengan demikian, kita peroleh

cos 2x 2 2cos sinx x= −

( )2 2cos 1 cosx x= − −22cos 1x= −

Kita gunakan identitas Pythagoras lagi untuk menuliskan cos2 x menjadi 1 – sin2 x.

cos 2x 22cos 1x= −

( )22 1 sin 1x= − −21 2sin x= −



Kita telah membuktikan rumus sudut rangkap untuk cosinus.

CONTOH 13—Menggunakan Rumus Sudut RangkapJika θ berada di Kuadran IV dan sin θ = –3/4, tentukan sin 2θ dan cos 2θ.Pembahasan Untuk menggunakan rumus sin 2θ = 2 sin θ cos θ, kita terlebih dahulu cari nilai cos θ. Karena θ berada di Kuadran IV, maka dengan menggunakan identitas Pythagoras kita mendapatkan

22 3 7cos 1 sin 1

4 4θ θ = − = − − =

Dengan demikian,

3 7 3 7sin 2 2sin cos 24 4 8

θ θ θ = = − = −

Nilai cos 2θ bisa ditentukan dengan rumus cos 2θ = 1 – 2 sin2 θ.

22 3 1cos 2 1 2sin 1 2

4 8θ θ = − = − − = −

Kerjakan Latihan 13

Rumus sudut rangkap bisa dikombinasikan dengan rumus penjum-lahan. Hal ini diilustrasikan pada Contoh 14 berikut.

CONTOH 14—Rumus Sudut Rangkap TigaNyatakan cos 3x ke dalam cos x.Pembahasan Kita ubah 3x menjadi 2x + x, kemudian kita terapkan rumus penjumlahan dan rumus sudut rangkap.

cos3x ( )cos 2x x= +

cos 2 cos sin 2 sinx x x x= −

( ) ( )22cos 1 cos 2sin cos sinx x x x x= − −3 22cos cos 2cos sinx x x x= − −

( )3 22cos cos 2cos 1 cosx x x x= − − −



3 32cos cos 2cos 2cosx x x x= − − +34cos 3cosx x= −

Kerjakan Latihan 14

Identitas trigonometri biasanya memuat sudut rangkap. Bagaimana membuktikan identitas semacam ini diilustrasikan pada Contoh 15.

CONTOH 15—Membuktikan Identitas TrigonometriBuktikan identitas berikut.

3

2

3tan tantan 31 3tan

x xxx

−=

−

Pembahasan Walaupun ruas kanan persamaan yang diberikan tampak lebih rumit, kita mulai pembuktiannya dari ruas kiri.

tan 3x ( )tan 2x x= +

tan 2 tan1 tan 2 tan

x xx x+

=−

2

2

2 tan tan1 tan

2 tan1 tan1 tan

x xxx xx

+−= − −

( )

3

2

2 2

2

2 tan tan tan1 tan

1 tan 2 tan1 tan

x x xx

x xx

+ −−=

− −

−3

2

3tan tan1 3tan

x xx

−=

−Kerjakan Latihan 15

10.3.2 Rumus Sudut SetengahRumus-rumus berikut digunakan untuk menurunkan pangkat dari fungsi trigonometri, khususnya dari pangkat-pangkat genap.



Rumus untuk Menurunkan Pangkat

2 1 cos 2sin

2xx −

=

2 1 cos 2cos2

xx +=

1 cos 2tan1 cos 2

xxx

−=

+

Bukti Rumus pertama diperoleh dengan menyelesaikan sin2 x pada rumus sudut rangkap untuk cosinus.

cos 2x 21 2sin x= −22sin x 1 cos 2x= −

2sin x1 cos 2

2x−

=

Dengan menyelesaikan cos2 x dari rumus sudut rangkap cosinus, kita juga memperoleh

cos 2x 22cos 1x= −22cos x 1 cos 2x= +

2cos x1 cos 2

2x+

=

Rumus terakhir dapat dibuktikan dengan menggunakan dua rumus sebelumnya bersama dengan identitas hasil bagi.

22

2

1 cos 2sin 1 cos 22tan 1 cos 2cos 1 cos 2

2

xx xx xx x

−−

= = =+ +

CONTOH 16—Menurunkan Pangkat Bentuk TrigonometriNyatakan sin4 x ke dalam bentuk cosinus pangkat satu.Pembahasan Kita gunakan rumus yang baru saja kita bahas secara berulang.

4sin x ( )22sin x=21 cos 2

2x− =



21 2cos 2 cos 24x x− +

=

1 1 cos 41 2cos 24 2

xx + = − + 1 3 12cos 2 cos 44 2 2

x x = − +

( )1 3 4cos 2 cos 48

x x= − +

Kerjakan Latihan 16

Rumus untuk menurunkan pangkat yang telah kita bahas sebe-lumnya bisa digunakan untuk menurunkan rumus sudut setengah sebagai berikut.

Rumus Sudut Setengah

1 cossin2 2u u−= ±

1 coscos2

uu += ±

1 cos sintan2 sin 1 cosu u u

u u−

= =+

Bukti Rumus sudut setengah dapat dibuktikan dengan mensubsti-tusi x dengan u/2 pada rumus untuk menurunkan pangkat, kemudi-an kita akarkan kedua ruas. Untuk tangen, rumus sudut setengahnya dapat dibuktikan sebagai berikut.

tan2u 1 cos

1 cosuu

−= ±

+

1 cos 1 cos1 cos 1 cos

u uu u

− −= ± ⋅

+ −

( )2

2

1 cos1 cos

uu

−= ±

−



1 cossin

uu

−= ±

Bentuk 1 – cos u tidak negatif untuk semua nilai u. Selain itu, sin u dan tan u/2 selalu memiliki tanda yang sama. (Mengapa?) Dengan demikian, kita peroleh

1 costan

2 sinu u

u−

=

Jika kita kalikan pembilang dan penyebut bentuk ruas kanan dari rumus yang baru saja kita peroleh dengan 1 + cos u, maka kita mendapatkan

sintan

2 1 cosu u

u=

+

CONTOH 17—Menggunakan Rumus Sudut SetengahCarilah nilai eksak dari sin 15°.Pembahasan Karena sudut 15° berada di Kuadran I, maka nilai sinusnya positif. Dengan demikian

sin15°30sin2°

=

1 cos302

− °=

1 3 22

−=

4 2 38

−=

( )21 3

8

− +=

1 32 2

− +=



( )1 2 64

= − +

Kerjakan Latihan 17

CONTOH 18—Menggunakan Rumus Sudut SetengahSudut u berada di Kuadran III dimana sin u = –2/5. Tentukan nilai dari tan u/2.Pembahasan Untuk menggunakan rumus sudut setengah

1 costan

2 sinu u

u−

=

kita terlebih dahulu harus menentukan nilai cos u. Karena u berada di Kuadran III, maka

22 2 21cos 1 sin 1

5 5u u = − − = − − − = −

Dengan demikian, nilai tan u/2 adalah

( )1 21 5 5 21tan2 2 5 2u − − += = −

−

(Jelaskan mengapa tanda dari tan u/2 negatif.)Kerjakan Latihan 18

10.3.3 Rumus Hasil Kali-JumlahDalam menyelesaikan permasalahan trigonometri, ada kalanya akan lebih mudah jika mengubah bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan atau pengurangan. Misalkan, daripada menyelesaikan bentuk sin 45° cos 15°, akan lebih mudah jika kita menyelesaikan bentuk

( )1 sin 60 sin 30

2° + °

karena bentuk terakhir ini hanya memuat sudut-sudut istimewa. Di sini kita akan membuktikan bahwa kedua bentuk tersebut ekuiva-len, yaitu



( )1sin 45 cos15 sin 60 sin 30

2° ° = °+ °

Secara umum, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi

( ) ( )1sin cos sin sin

2u v u v u v= + + −

Untuk membuktikan identitas terakhir, kita perhatikan rumus pen-jumlahan dan pengurangan untuk sinus berikut.

( )sin sin cos cos sinu v u v u v+ = +

( )sin sin cos cos sinu v u v u v− = −

Kita jumlahkan ruas kiri dan kanan dua persamaan tersebut untuk memperoleh

( ) ( )sin sin 2sin cosu v u v u v+ + − =

Selanjutnya kita bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan 2 un-tuk mendapatkan


2u v u v u v= + + −

Persamaan terakhir yang kita peroleh ini disebut Rumus Hasil Kali ke Jumlah. Rumus-rumus lainnya dapat diperoleh dengan cara yang serupa.

Rumus-Rumus Hasil Kali ke Jumlah


2u v u v u v= + + −

( ) ( )1cos sin sin sin

2u v u v u v= + − −

( ) ( )1cos cos cos cos

2u v u v u v= + + −

( ) ( )1sin sin cos cos

2u v u v u v= − − +



CONTOH 19—Mengubah Hasil Kali menjadi PenjumlahanSederhanakan bentuk sin 15° sin 75°.Pembahasan Dengan menggunakan Rumus Hasil Kali ke Jumlah, kita dapatkan

sin15 sin 75° ° ( ) ( )1 cos 15 75 cos 15 752

= °− ° − °+ °

( )1 cos 60 cos902

= − − °

1 1 102 2 4 = − =

Kerjakan Latihan 19

CONTOH 20—Mengubah Hasil Kali menjadi PenjumlahanUbahlah perkalian sin 4x cos 3x menjadi bentuk penjumlahan.Pembahasan Diketahui u = 4x dan v = 3x. Dengan menggunakan Rumus Hasil Kali ke Jumlah, kita peroleh

sin 4 cos3x x ( ) ( )1 sin 4 3 sin 4 32

x x x x= + − −

( )1 sin 7 sin2

x x= −

1 1sin 7 sin2 2

x x= −

Kerjakan Latihan 20

Pada Contoh 19 dan 20 kita telah berlatih untuk mengubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan dengan menggunakan Rumus Hasil Kali ke Jumlah. Rumus ini juga bisa digunakan untuk membalik proses yang kita lakukan pada contoh-contoh tersebut. Sebagai contoh, jika kita misalkan

2

x yu += dan

2x yv −

=

pada Rumus Hasil Kali ke Jumlah yang pertama, maka kita peroleh



( )1sin cos sin sin

2 2 2x y x y x y+ −

= +

Jika kita kalikan kedua ruas dengan 2, maka dihasilkan

sin sin 2sin cos

2 2x y x yx y + −

+ =

Persamaan terakhir yang kita peroleh ini merupakan salah satu dari Rumus Jumlah ke Hasil Kali. Rumus-rumus lainnya dirangkum sebagai berikut.

Rumus-Rumus Jumlah ke Hasil Kali

sin sin 2sin cos

2 2x y x yx y + −

+ =

sin sin 2cos sin

2 2x y x yx y + −

− =

cos cos 2cos cos

2 2x y x yx y + −

+ =

cos cos 2sin sin

2 2x y x yx y + −

− = −

CONTOH 21—Mengubah Penjumlahan menjadi Hasil KaliUbahlah bentuk penjumlahan berikut menjadi hasil kali.(a) sin 55° + sin 65° (b) cos 2θ – cos 4θPembahasan(a) Kita gunakan Rumus Jumlah ke Hasil Kali yang pertama.

sin 55 sin 65° + °55 65 55 652sin cos

2 2° + ° ° − °

=

( )2sin 60 cos 5= ° − °

32 cos52

= °

3 cos5= °

(b) Untuk soal ini kita gunakan Rumus Jumlah ke Hasil Kali yang



keempat.

cos cos 4θ θ−2 4 2 42sin sin

2 2θ θ θ θ+ −

= −

( )2sin 3 sinθ θ= − −

2sin 3 sinθ θ=Kerjakan Latihan 21

CONTOH 22—Membuktikan IdentitasBuktikan identitas berikut. Dengan menggunakan identitas tersebut, gambarlah grafik y = sin x + cos x.

sin cos 2 cos

4x x x π + = −

Pembahasan Untuk menggunakan Rumus Jumlah ke Hasil Kali, pertama kita ubah cos x.

cos sin

2x xπ = −

Dengan demikian, kita peroleh

sin cosx x+ sin sin2

x xπ = + −

2 22sin cos2 2

x x x xπ π+ − − +=

2sin cos4 4

xπ π = −

22 cos2 4

x π = −

2 cos4

x π = −

Di sini kita telah membuktikan identitas yang diberikan. Selanjut-nya kita gambar grafik y = sin x + cos x yang sama dengan grafik fungsi berikut.

2 cos

4y x π = −

Naskah ini merupakan naskah versi penulis yang belum melalui

proses pengaturan halaman dan penyuntingan dari penerbit.

29 PERSAMAAN-PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASARSUBBAB 10.4

Untuk menggambar grafik fungsi terakhir ini, pertama kita gambar grafik y = cos x, kemudian kita geser ke kanan sejauh π/4 satuan, dan terakhir kita regangkan grafik yang dihasilkan secara vertikal dengan faktor 2 dan dihasilkan grafik dengan amplitudo 2 . Perhatikan Gambar 6.

–π

–1

1

0 π x

y

–2πy = cos x

2π

2 cos4

y xπ

= −


10.4 Persamaan-Persamaan Trigonometri DasarPersamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri. Jika persamaan tersebut selalu benar untuk setiap nilai variabelnya yang mungkin, maka persamaan tersebut dinamakan identitas, misalkan

2 2sin cos 1x x+ =

sin cos

2x xπ − =

Akan tetapi, persamaan-persamaan trigonometri, seperti

3 tan 0x− =

sin cos 1t t− =hanya benar pada nilai-nilai tertentu. Nilai-nilai yang membuat persamaan seperti ini benar disebut dengan selesaian persamaan. Ketika kita menyelesaikan persamaan trigonometri, maka kita mencari semua selesaian dari persamaan trigonometri tersebut.



10.4.1 Persamaan Trigonometri DasarSuatu persamaan trigonometri disebut sebagai persamaan trigono-metri dasar jika persamaan tersebut memiliki bentuk T(θ) = cdimana T adalah fungsi trigonometri dan c adalah konstanta. Ketika kita menyelesaikan sembarang persamaan trigonometri, pada akhirnya kita akan berjumpa dengan persamaan trigonometri sederhana. Oleh karena itu, mulai dari Contoh 24 sampai Contoh Contoh 26 kita akan berlatih menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

CONTOH 23—Menyelesaikan Persamaan Sinus DasarSelesaikan persamaan sin x = 1⁄2.Pembahasan Jika kita perhatikan grafik y = sin x pada satu peri-ode, maka kita dapat melihat bahwa selesaian persamaan yang diberikan adalah x = π/6 dan x = 5π/6, lihat Gambar 7.

5π/6

y = sin x

y = 1⁄2

π/6

–1

x

y

0

11⁄2

Gambar 7 Grafik y = sin x, 0 ≤ x ≤ 2π, dan y = 1⁄2

Tanpa menggunakan Gambar 7, kita masih bisa menyelesaikan persamaan yang diberikan. Karena sin x = 1⁄2, maka kita tahu bahwa sudut acuan dari selesaiannya adalah π/6. Karena nilai sinusnya positif, maka selesaiannya berada di Kuadran I dan II. Dengan demikian, selesaian persamaan yang terletak dalam satu periode adalah x = π/6 dan x = π – π/6 = 5π/6.Karena fungsi sinus memiliki periode 2π, maka semua selesaiannya



dapat diperoleh dengan menjumlahkan dua selesaian yang telah kita peroleh dengan kelipatan bilangan bulat dari 2π, yaitu

2

6x kπ π= +

5 26

x kπ π= +

dimana k adalah sembarang bilangan bulat.Kerjakan Latihan 23

Dari menyelesaikan persamaan trigonometri pada Contoh 24, kita melakukan dua langkah pengerjaan, yaitu1. Menentukan selesaian-selesaian dalam satu periode.2. Menentukan semua selesaian.Dua langkah ini akan kita gunakan untuk menyelesaikan persa-maan-persamaan trigonometri dasar lainnya.

CONTOH 24—Menyelesaikan Persamaan Cosinus Dasar

Selesaikan persamaan cos x = 2 2− .Pembahasan Pertama, kita tentukan selesaian persamaan tersebut dalam satu periode. Nilai cosinus negatif jika sudutnya berada di

Kuadran II dan III. Karena kita tahu cos π/4 = 2 2 maka selesa-iannya adalah sudut-sudut dalam Kuadran II dan III yang memiliki sudut acuan π/4. Sudut-sudut tersebut adalah

34 4

x π ππ= − = dan 54 4

x π ππ= + =

Kedua, kita tentukan semua selesaian dari persamaan yang diberi-kan. Karena periode fungsi cosinus adalah 2π, maka selesaian dari persamaan yang diberikan adalah

3 24

x kπ π= + dan 3 24

x kπ π= +

dimana k adalah sembarang bilangan bulat. Gambar 8 berikut menggambarkan selesaian-selesaian tersebut.



–1

x

y

1

0

y = cos x54π− 3

4π− 3

4π 5

4π 11

4π 13

4π

22y = −


CONTOH 25—Menyelesaikan Persamaan Tangen DasarSelesaikan persamaan tan θ = 2.Pembahasan Pertama kita selesaikan persamaan tersebut pada satu periodenya. Untuk menentukan θ, kita gunakan kalkulator.

1tan 2 1,107θ −= ≈Selesaian tersebut merupakan satu-satunya selesaian pada interval (–π/2, π/2), yang panjangnya satu periode, yaitu π.Kedua, kita tentukan semua selesaian persamaan yang diberikan. Karena periode fungsi tangen adalah π, maka selesaian persamaan tersebut adalah 1,107 kθ π= +dimana k sembarang bilangan bulat.Kerjakan Latihan 25

Contoh 26 berikut mengilustrasikan bagaimana menyelesaikan per-samaan trigonometri yang secara aljabar ekuivalen dengan persa-maan trigonometri dasar.

CONTOH 26—Menyelesaikan Persamaan TrigonometriTentukan selesaian dari persamaan 3 – tan2 x = 0.Pembahasan Dari persamaan yang diberikan, kita selesaikan



dalam tan x.23 tan x− 0=2tan x 3=

tan x 3= ±

Pada interval (–π/2, π/2), yang merupakan satu periode fungsi tangen, nilai x yang memenuhi adalah x = π/3 dan x = –π/3. Dengan demikian, himpunan selesaian dari persamaan yang diberikan adalah

3

x kπ π= + dan 3

x kπ π= − +

dimana k sembarang bilangan bulat.Kerjakan Latihan 26

10.4.2 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Pemfaktoran

Salah satu teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan per-samaan trigonometri adalah pemfaktoran. Teknik ini diilustrasikan pada Contoh 27 dan 28.

CONTOH 27—Menggunakan PemfakoranSelesaikan persamaan 2 sin2 t – sin t – 1 = 0.Pembahasan Kita faktorkan bentuk pada ruas kiri untuk bisa menyelesaikannya ke dalam sin t.

22sin sin 1t t− − 0=

( )( )2sin 1 sin 1t t+ − 0=

2sin 1t + 0= atau sin 1t − 0=

sin t12

= − atau sin t 1=

Karena fungsi cosinus memiliki periode 2π, maka pertama kita ten-tukan selesaiannya pada interval [0, 2π). Untuk persamaan pertama, selesaiannya pada interval ini adalah t = 7π/6 dan t = 11π/6, sedang-kan untuk persamaan kedua selesaiannya adalah t = π/2. Dengan demikian, selesaian persamaan yang diberikan adalah



7 26

t kπ π= + , 11 26

t kπ π= + ,

22

t kπ π= +


CONTOH 28—Menggunakan PemfaktoranSelesaikan persamaan 2 cos x sin x – cos x = 0.Pembahasan Kita faktorkan bentuk pada ruas kiri persamaan.

2cos sin cosx x x− 0=

( )cos 2sin 1x x − 0=cos x 0= atau 2sin 1x − 0=

sin x12

=

Karena fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2π, pertama kita tentukan selesaiannya pada interval yang panjangnya 2π, yaitu [0, 2π). Untuk cos x = 0, nilai x yang memenuhi adalah π/2 dan 3π/2. Untuk sin x = 1⁄2, nilai x yang memenuhi adalah π/6 dan 5π/6.Dengan demikian, selesaian dari persamaan yang diberikan adalah

2

6x kπ π= +

5 26

x kπ π= +

2

2x kπ π= +

3 22

x kπ π= +


10.5 Persamaan-Persamaan Trigonometri LainnyaAdakalanya kita perlu menggunakan identitas-identitas trigonome-tri terlebih dahulu sebelum menyelesaikan persamaan trigonometri. Bagian ini kita akan berlatih bagaimana menyelesaikan persa-maan-persamaan yang seperti itu.


35 PERSAMAAN-PERSAMAAN TRIGONOMETRI LAINNYASUBBAB 10.5

10.5.1 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Menggunakan Identitas

Contoh 29 mengilustrasikan bagaimana identitas trigonometri bisa digunakan untuk mengubah bentuk trigonometri agar bentuk terse-but bisa difaktorkan.

CONTOH 29—Menggunakan Identitas TrigonometriTentukan selesaian dari persamaan 2 sin2 θ – cos θ = 1.Pembahasan Persamaan yang diberikan memuat dua fungsi trigo-nometri, yaitu sinus dan cosinus. Dengan menggunakan identitas Pythagoras, sin2 θ = 1 – cos2 θ, kita bisa membuat persamaan terse-but hanya memuat satu fungsi trigonometri.

22sin cosθ θ− 1=

( )22 1 cos cos 1θ θ− − − 0=21 cos 2cosθ θ− − 0=

( )( )1 2cos 1 cosθ θ− + 0=

1 2cosθ− 0= atau 1 cosθ+ 0=

cosθ12

= atau cosθ 1= −

Pada interval [0, 2π), selesaian dari cos θ = 1⁄2 adalah θ = π/3 dan θ = 5π/3, sedangkan selesaian dari cos θ = –1 adalah π. Jadi, selesa-ian umum dari persamaan yang diberikan adalah

23

kπθ π= + , 5 23

kπθ π= + , 2kθ π π= +


Jika dalam persamaan awal kita belum bisa menggunakan identitas, kita bisa mengkuadratkan kedua ruas persamaan tersebut. Teknik ini diilustrasikan pada Contoh 30.

CONTOH 30—Mengkuadratkan dan Menggunakan IdentitasSelesaikan persamaan tan θ + 1 = sec θ untuk 0 ≤ θ < 2π.



Pembahasan Untuk mengubah persamaan yang diberikan menjadi persamaan yang hanya memuat tangen atau secan, kita kuadratkan kedua ruas persamaan tersebut.

tan 1θ + secθ=2tan 2 tan 1θ θ+ + 2sec θ=2tan 2 tan 1θ θ+ + 2tan 1θ= +

2 tanθ 0=

tanθ 0=Untuk 0 ≤ θ < 2π, nilai yang memenuhi persamaan tan θ = 0 ada-lah θ = 0 dan θ = π. Karena tadi kita mengkuadratkan kedua ruas persamaan, maka kita perlu memeriksa jawaban tersebut ke dalam persamaan awal.

θ 0= θ π=

tan 0 1+?

sec0= tan 1π +?

secπ=

0 1+?

1= 0 1+?

1=−1 1= 1 1≠ −

Jadi, selesaian persamaan yang diberikan adalah θ = 0.Kerjakan Latihan 30

10.5.2 Persamaan Trigonometri dan Sudut RangkapDalam menyelesaikan persamaan trigonometri yang memuat sudut rangkap, kita lakukan langkah-langkah seperti sebelumnya. Akan tetapi di akhir kita harus membagi jawaban yang dihasilkan untuk mendapatkan sudut yang diminta.

CONTOH 31—Sudut Rangkap dalam Persamaan Trigonometri

Diberikan persamaan 2cos 2 3 0t − = .(a) Carilah semua selesaian persamaan tersebut.(b) Carilah selesaian persamaan tersebut pada interval [0, 2π).Pembahasan(a) Pertama kita selesaikan persamaan tersebut dalam 2t.


37RANGKUMANSUBBAB 10.6

2cos 2 3t − 0=

2cos 2t 3=

cos 2t 32

=

2t11,

6 6π π

=

Dengan demikian, semua selesaian persamaan yang diberikan adalah

2 26

t kπ π= +112 2

6t kπ π= +

Untuk menyelesaikan t, kita bagi kedua ruas dengan 2.

12t kπ π= +

1112

t kπ π= +

(b) Untuk mendapatkan selesaian pada interval [0, 2π), kita substi-tusi k dengan 0 dan 1 untuk memperoleh selesaian

11 13 23, , ,12 12 12 12

t π π π π=

Kerjakan Latihan 31

10.6 Rangkuman1. Berikut ini adalah identitas-identitas trigonometri dasar.

Identitas-Identitas Kebalikan:1csc

sinx

x=

1seccos

xx

=1cot

tanx

x=

Identitas-Identitas Hasil Bagi:sintancos

xxx

=

coscotsin

xxx

=

Identitas-Identitas Pythagoras:2 2sin cos 1θ θ+ =2 2tan 1 secθ θ+ =

2 21 cot cscθ θ+ =



Identitas-Identitas Ganjil-Genap:

( )sin sinx x− = −

( )cos cosx x− =

( )tan tanx x− = −

Identitas-Identitas Komplemen:

sin cos

2x xπ − =

cos sin

2x xπ − =

tan cot

2x xπ − =

cot tan

2x xπ − =

sec csc

2x xπ − =

csc sec

2x xπ − =

2. Berikut adalah rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan.Rumus untuk Sinus: sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t sin(s – t) = sin s cos t – cos s sin tRumus untuk Cosinus: cos(s + t) = cos s cos t – sin s sin t cos(s – t) = cos s cos t + sin s sin tRumus untuk Tangen:

( ) tan tantan

1 tan tans ts t

s t+

+ =−

( ) tan tantan

1 tan tans ts t

s t−

− =+

3. Jika A dan B adalah bilangan-bilangan real, maka

( )sin cos sinA x B x k x θ+ = +

dimana 2 2k A B= + dan θ memenuhi

2 2

cos AA B

θ =+

dan 2 2

sin BA B

θ =+

4. Rumus-rumus sudut rangkap adalah seperti berikut.Rumus untuk Sinus: sin 2x = 2 sin x cos x


39 RANGKUMANSUBBAB 10.6

Rumus untuk Cosinus: cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2 cos2 x – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 xRumus untuk Tangen:

2

2 tantan 21 tan

xxx

=−

5. Pangkat dari fungsi trigonometri dapat diturunkan/direduksi dengan rumus-rumus berikut.

2 1 cos 2sin

2xx −

=

2 1 cos 2cos2

xx +=

1 cos 2tan1 cos 2

xxx

−=

+6. Rumus untuk sudut setengah adalah sebagai berikut.

1 cossin

2 2u u−= ±

1 coscos2

uu += ±

1 cos sintan

2 sin 1 cosu u u

u u−

= =+

7. Untuk mengubah hasil kali bentuk trigonometri menjadi ben-tuk penjumlahan dapat digunakan rumus-rumus berikut.


2u v u v u v= + + −

( ) ( )1cos sin sin sin

2u v u v u v= + − −

( ) ( )1cos cos cos cos

2u v u v u v= + + −

( ) ( )1sin sin cos cos

2u v u v u v= − − +

8. Rumus-rumus berikut digunakan untuk mengubah bentuk pen-jumlahan ke hasil kali.

sin sin 2sin cos

2 2x y x yx y + −

+ =



sin sin 2cos sin2 2

x y x yx y + −− =

cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y + −+ =

cos cos 2sin sin2 2

x y x yx y + −− = −

PustakaAbramson, J. P., et. al. (2015). Algebra and Trigonometry. Hous-

ton: OpenStax College, Rice University.Barnett, R. A., Ziegler, M. R., & Byleen, K. E. (2012). Analytic

trigonometry with applications. Hoboken, N.J: Wiley.Kristanto, Y. D. (2016). Matematika Langkah Demi Langkah untuk

SMA/MA Kelas X. Jakarta: Grasindo.Larson, R. (2014). Precalculus. Stamford: Cengage learning.Lial, M. L. (2013). Trigonometry. Boston: Pearson.McKeague, C. P., & Turner, M. D. (2008). Trigonometry. Belmont,

CA: Thomson Brooks/Cole.Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2016). Algebra and Trigo-

nometry. Boston: Cengage Learning.

Latihan1. Sederhanakan bentuk-bentuk trigonometri berikut.

(a) 2

2

cot1csc

θθ

− (b) 2

2

1 tan1 tan

θθ

−+

2. Sederhanakan bentuk 1 11 sin 1 sinx x

+− +

.

3. Diberikan persamaan tan θ + cot θ = sec θ csc θ.(a) Buktikan bahwa persamaan tersebut merupakan identitas.(b) Dengan menggunakan grafik, pastikan bahwa persamaan

tersebut merupakan identitas.

4. Buktikan identitas sin cossin cos1 cot tan 1

A AA AA A

+ = −− −

.


41LATIHAN

5. Buktikan csc cot cotsec 1

u u xu−

=−

6. Buktikan bahwa 21 1 2 2cot1 cos 1 cos

αα α+ = +

− +.

7. Mengapa 1 + cot x = cos x bukan merupakan identitas?8. Tentukan nilai eksak dari bentuk-bentuk berikut.

(a) sin 105° (b)

2tan tan9 9

21 tan tan9 9

π π

π π

+ −

9. Buktikan identitas-identitas berikut.

(a) ( )sintan tan

cos coss t

s ts t+

= +

(b) cos sin 04 4π πθ θ + + − =

10. Misalkan sec s = 5⁄4, dimana sin s < 0, dan cot t = –1, dimana

π/2 < t < π. Carilah sin(s – t) dan cos(s + t).11. Nyatakan 3 sin πx + cos πx ke dalam bentuk k sin(x + θ).12. Nyatakan sin x + cos x ke dalam bentuk k sin(x + θ), kemudian

gambarkan grafiknya.13. Jika x = 4 sin θ, 0 < θ < π/2, nyatakan sin 2θ ke dalam x.14. Tunjukkan bahwa ada polinomial P(t) berderajat 4 sedemikian

sehingga cos 4x = P(cos x).15. Buktikan masing-masing identitas berikut.

(a) sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin3 θ

(b) sin 2 cos 2 secsin cos

u u uu u− =

(c) 2

2 tansin 21 tan

vvv

=+

16. Nyatakan cos4 x ke dalam bentuk cosinus pangkat satu.17. Tentukan nilai eksak dari bentuk-bentuk berikut.

(a) cos 22,5° (b) sin 67,5°


42 BARISAN DAN DERET BAB 6

18. Diketahui sin θ = –1/3 dimana π/2 < θ < π. Tentukan:(a) cos θ/2 (b) sin θ/2

19. Tentukan nilai eksak dari cos 3π/8 cos π/8.20. Ubahlah bentuk-bentuk perkalian berikut menjadi bentuk pen-

jumlahan.(a) sin 3u sin 5u (b) cos 4v sin 2v

21. Ubahlah bentuk-bentuk penjumlahan berikut menjadi bentuk hasil kali.(a) sin 17π/12 – sin π/12 (b) cos 5θ + cos 3θ

22. Gambarlah grafik y = cos x – sin x dengan terlebih dahulu membuktikan identitas berikut.

cos sin 2 sin

4x x x π − = − −

23. Carilah semua selesaian dari persamaan sin x = 3 2− .24. Carilah semua selesaian dari persamaan cos θ = –0,6.

25. Selesaikan persamaan tan θ = 3 .26. Carilah selesaian dari persamaan 2 2cos 0θ+ = .27. Selesaikan persamaan 4 sin2 x – 4 sin x = 3.28. Tentukan selesaian dari 2cos cot 2 cot 0x x x− = .29. Carilah semua selesaian dari 2 sin 2x – 3 sin x = 0.30. Selesaikan persamaan sin θ – 1 = cos θ untuk 0 ≤ θ < 2π.31. Tentukan selesaian persamaan csc 3u = 5 sin 3u untuk 0 ≤ θ <

2π.32. Buktikan rumus sudut rangkap untuk sinus dengan menggu-

nakan rumus penjumlahan untuk sinus.

33. Buktikan rumus sudut rangkap untuk tangen dengan menggunakan rumus penjumlahan untuk tangen.

34. Gambar di samping menunjukkan segitiga sama sisi yang ketiga titik

A1

A2 x2 + y2 = 1

A3

P x

y


43LATIHAN

sudutnya terletak pada lingkaran satuan. Titik P pada gambar tersebut memiliki koordinat (x, 0).Tunjukkan bahwa (PA1)(PA2)(PA3) = 1 – x3.

35. Gambar berikut menunjukkan segitiga sama kaki ABC yang ketiga titik sudutnya terletak pada lingkaran satuan. Sisi-sisi AB dan AC merupakan sisi-sisi yang kongruen.

A θ

B

C

x

y

x2 + y2 = 1

(a) Nyatakan luas segitiga ABC sebagai fungsi terhadap θ.(b) Tentukan besar sudut θ sedemikian sehingga luas segitiga

ABC sama dengan 40% dari luas lingkaran satuan.(c) Apakah ada θ yang membuat luas segitiga ABC sama de-

ngan 42% dari lingkaran satuan? Mengapa?

Bacaan Lebih Lanjut(1) Chen, H. (2002). On a new trigonometric identity. Internation-

al Journal of Mathematical Education in Science and Technol-ogy, 33(2), 306-309. doi:10.1080/002073902753586427.

(2) Klamkin, M. S. (1983). On Proving Trigonometric Identities. Mathematics Magazine, 56(4), 215. doi:10.2307/2689809.

(3) Mohlenkamp, M. J., & Monzón, L. (2005). Trigonometric identities and sums of separable functions. The Mathematical Intelligencer, 27(2), 65-69. doi:10.1007/bf02985795.


Aljabar dan Trigonometri - USD

Documents

Transcript of Aljabar dan Trigonometri - USD