MODUL PERKULIAHAN BILANGAN - …fasilkom.mercubuana.ac.id/wp-content/uploads/2017/10/Modul... ·...

2012 1

Matematika Dasar Pusat Bahan Ajar dan eLearning

Tim Dosen. http://www.mercubuana.ac.id

MODUL PERKULIAHAN

BILANGAN

Sistem bilangan real

Operasi pada bilangan bulat

Operasi pada bilangan pecahan

Sifat-sifat bilangan berpangkat

Operasi bilangan berpangkat

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Ilmu Komputer Sistem Informasi

01 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Dalam matematika bilangan merupakan konsep awal (primitive concept), yakni unsur yang bersifat

Mahasiswa mampu memahami operasi-0perasi yang berkaitan dengan bilangan bulat, pecahan dan bilangan berpangkat

http://www.mercubuana.ac.id/

2012 2



mendasar, sering dipakai tetapi tidak pernah dapat didefinisikan secara tepat.

BILANGAN

1. Sistem bilangan real

Bilangan real merupakan gabungan dari bilangan rasional dengan bilangan

irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎

𝑏 ,

dimana a dan b bulat sedangkan b ≠ 0. Dengan demikian bilangan rasional dapat berupa

bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎

𝑏, dimana a,b bulat dan b

≠0, a≠kb untuk setiap bilangan k. Pada bilangan bentuk 𝑎

𝑏 a disebut pembilang dan b

disebut penyebut.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatkan dalam bentuk 𝑎

𝑏 ,

dengan a,b bulat dan b ≠0, misal √2, log 3, π, bilangan e dan bentuk-bentuk akar.

Pada sistem bilangan real, hasil operasi penjumlahan dan perkalian bilangan selalu

bilangan real. Hal seperti ini dikatakan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada

bilangan real bersifat “tertutup”.

Beberapa aksioma yang memberikan sifat-sifat tentang operasi penjumlahan dan

perkalian di R, yaitu :

Jika a, b, c ε R berlaku :

a. Tertutup

maka terdapat satu dan hanya satu bilangan real yang dinyatakan dengan a + b dan

ab.

b. Komutatif

a + b = b + a dan ab = ba

c. Assosiatif

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c dan a ( bc ) = ( ab ) c

d. Distributif

a ( b + c ) = ab +ac

e. Unsur Indentitas


2012 3



Ada dua bilangan real 0 dan 1 sedemikian sehingga a + 0 = a dan a.1 = a

f. Invers Penjumlahan

Untuk setiap bilangan real a, ada suatu bilangan real yang dinamakan negatif dari

a, dinyatakan dengan –a ( dibaca “ negatif dari a” ) sehingga a + ( -a ) = 0

g. Invers Perkalian

Untuk setiap bilangan real a ≠ 0, terdapat bilangan b sedemikian hingga a.b = 1

2. Operasi pada bilangan bulat

Dalam Matematika operasi yang dimaksud adalah operasi hitung. Pada dasarnya operasi

hitung mencakup empat pengerjaan dasar, yaitu : penjumlahan, pengurangan, perkalian

dan pembagian. Dari ke empat operasi ini yang merupakan operasi pokok yaitu

penjumlahan. Pengurangan merupakan lawan penjumlahan (penambahan). Perkalian

merupakan penambahan berulang. Sedangkan pembagian merupakan pengurangan

berulang. Hirarki pengerjaannya dalam operasi hitung yang pertama tanda kurung,

kemudian perpangkatan, lalu perkalian dan pembagian ( sama kuat, yang ditulis

disebelah kiri didahulukan ) dan terakhir adalah penjumlahan dan pengurangan.

3. Operasi pada bilangan pecahan

a) Penjumlahan dan Pengurangan

Untuk melakukan penjumlahan atau pengurangan bentuk pecahan, maka

nyatakan dulu pecahan-pecahan itu mempunyai penyebutnya sama, dengan cara

mencari dahulu KPK-nya. Setelah penyebutnya sama baru dapat dilakukan

penjumlahan atau pengurangan pada pembilangnya.

Contoh :

2/3+1/4+5/6 = KPK 3,4,6 = 12

2/3+1/4+5/6 = 8/12+3/12+10/12= 21/12

b) Perkalian dan Pembagian

Untuk mengalikan dua pecahan atau lebih maka kalikan pembilang dengan

pembilang dan penyebut dikalikan dengan penyebut.

𝑎

𝑏 x

𝑐

𝑑 x

𝑒

𝑓 =

𝑎𝑏𝑐

𝑏𝑑𝑓

Untuk membagai satu pecahan dengan pecahan lainnya, maka dengan cara

kalikan pecahan yang satu dengan kebalikan pecahan pengalinya.


2012 4



𝑎

𝑏 :

𝑐

𝑑 =

𝑎

𝑏 x

𝑑

𝑐

c) Konversi Pecahan

Suatu bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk bentuk tertentu. Seperti untuk

menyatakan tingkat inflasi ekonomi suatu negara digunakan persen (%), untuk

ketelitian dalam perhitungan digunakan bentuk desimal, atau untuk menyatakan

perbandingan dua buah objek digunakan pecahan.

1. Persen

Untuk mengubah bentuk pecahan biasa ke bentuk persen dapat dilakukan

dengan cara yaitu: mengubah pecahan itu menjadi pecahan yang senilai dengan

berpenyebut 100 atau dengan cara mengalikan pecahan itu dengan 100 %.

Dengan demikian setiap bilangan pecahan dapat dirubah ke bentuk persen dan

sebaliknya.

Contoh :

¼ = ¼ x 100% = 25%

2. Desimal

Mengubah bentuk pecahan menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan cara

membagi pembilang oleh penyebutnya atau dengan cara mengubah

penyebutnya menjadi bilangan 10.

Contoh :

3/4 = 3/4 *25/25 = 75/100 =0.75

Contoh :

Jika emas 20 karat berarti emas tersebut mengandung 20/24 emas murni dan

4/24 campuran logam lain. Tentukan berat emas murni yang terkandung dalam

30 gram emas 20 karat.

Jawab :

Berat emas murni dalam 30 gram emas 20 karat =

20/24 * 30 gram = 25 gram.

d) Perbandingan

Perbandingan adalah mencari nilai perbandingan antara ukuran dari dua objek.

Perbandingan dua objek dapat berupa perbandingan senilai dan perbandingan

berbalik nilai.


2012 5



1. Perbandingan senilai

Apabila terdapat korespodensi satu-satu antara dua obyek dengan sifat

bahwa nilai perbandingan dua elemen di obyek pertama sama dengan nilai

perbandingan dua elemen yang bersesuaian di obyek kedua maka kedua

obyek itu disebut berbanding senilai. Perbandingan senilai digunakan juga

dalam membuat skala pada peta atau membuat model. Grafik dari

perbandingan senilai berupa garis lurus Misalnya : Suatu kendaraan dengan

kecepatan 60 km/jam. Jarak tempuh kendaraan setelah sekian jam berjalan:

Perbandingan senilai

Grafik

Misal : Skala pada peta adalah 1 : 150000. Jika jarak dua kota pada peta

adalah 7,5 cm, maka jarak sebenarnya = 150000 x 7,5 cm = 11,25 km.

2. Perbandingan berbalik nilai

Perbandingan berbalik nilai adalah apabila terdapat korespodensi satu-satu

antara dua obyek dengan sifat bahwa nilai perbandingan dua elemen di obyek

Jam Jarak Tempuh

1 60

2 120

3 180

4 240


2012 6



pertama berbalik nilainya dengan nilai perbandingan dua elemen yang

bersesuaian di obyek kedua maka perbandingan antara obyek pertama

dengan obyek kedua disebut perbandingan berbalik nilai.

Contoh : Dalam pembangunan ruang kelas suatu sekolahan akan selesai

dalam waktu 6 bulan, jika dikerjakan oleh 10 orang. Pekerjaan tersebut akan

memerlukan waktu 3 bulan jika dikerjakan oleh 20 orang dan akan selesai

dalam waktu 2 bulan jika dikerjakan oleh 30 orang.

Jumlah Pekerja 10 20 30

Lama Pekerjaan 6 3 2

Dari tabel diatas terlihat perbandingan jumlah pekerja dengan lama pekerjaan

adalah tidak tetap dan grafik perbandingan tersebut juga bukan merupakan

garis lurus ( linier).

Dari grafik diatas terlihat bahwa jika jumlah pekerja x dan lama perkerjaan y.

Perkalian antara kedua variabel tersebut selalu tetap yaitu 60. Jika pada

contoh diatas, jumlah perkerja ditambah sehingga menjadi 5 orang. Maka

waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut :

misal jumlah pekerja awal x1 = 2, lama pekerjaan y1=30,jumlah pekerja setelah

penambahan x2=5 dan lama perkerjaan y2.

x1/ x2 = y2/ y1

y2 = y1 * x1/ x2

Lama pekerjaan y2 = 30 * 2/5 = 60/5 = 12 hari.


2012 7



4. Bilangan berpangkat

Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n")

adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat

bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk:

an = a x a x a x a....... ( sebanyak n faktor)

dengan :

a = bilangan dasar

n = pangkat atau eksponen

an = bilangan berpangkat.

a. Sifat – sifat bilangan berpangkat

1. Perkalian dua bilangan berpangkat

ap . aq = ap+q

2. Pembagian dua bilangan berpangkat

ap : aq = ap-q

3. Pemangkatan bilangan berpangkat

(ap)q = ap.q

4. Pemangkatan bilangan rasional

(𝑎

𝑏)

𝑞 =

𝑎𝑞

𝑏𝑞

5. Perpangkatan perkalian dua bilangan

(a.b)q = aqbq

6. Bilangan berpangkat 0

a0 = 1

7. Pangkat bulat negatif

a-p = 1/ap

b. Operasi Bilangan berpangkat

1. Tentukan hasil 25 . 23

Jawab :

25 . 23 = 2 (5+3) = 28 = 64

2. Sederhanakan 25 . 8.43 =

25 . 8.43 = 25 . 23.(22)3 = 25 . 23.26


2012 8



= 214

3. Tentukan hasil (8

12)

2

Jawab :

(8

12)

2 =

82

122 = (23 )2

(3.22)2

= 24

2432 =1

32= 1

9

4. Sederhanakan

2𝑥3 + 4𝑥6

𝑥−2

Jawab :

2𝑥3+4𝑥6

𝑥−2 = 𝑥2 ( 2𝑥3 + 4𝑥6)

= 2𝑥2+3 + 4𝑥2+6

=2𝑥5 + 4𝑥8

5. Tentukan hasil 43+86

42

Jawab :

43+86

42 = 42 ( 43 + 86)

= 22(23 + 2(3)6 )

=25 + 218

= 32 + 262144 = 262176

c. Persamaan Bilangan berpangkat

Bentuk Umum :

a f ( x) = a g( x) f (x) = g(x)

Konsep :

1. Samakan bilangan pokok

2. Samakan bilangan pangkat

3. Selesaikan


2012 9



Contoh :

42𝑥+1=2𝑥−1

22(2𝑥+1)=2𝑥−1

24𝑥+2)=2𝑥−1 f(x) =4x+2 , g(x)= x-1

f(x) = g(x)

4x+2+(-x-2)=x-1+(-x-2)

3x = -3 x= -1

d. Soal

1. Jika a = 1/2 , b = 1/4 dan c = 1/5 Maka nilai a +bc =

2. Tentukan hasil

a. 31

4 - 4

3

2 +

1

3 =

b. (21

3 : 3

2

5 ) 2

1

4

3. Seorang karyawan menggunakan 15% dari gajinya untuk biaya transportasi selama

sebulan, 25% untuk sewa rumah dan bayar listrik selama sebulan, dan sisanya 35%

sebanyak Rp72.000,00 ditabung. Biaya untuk makan selama sebulan adalah

4. Seorang pemilik motor menjual motornya seharga Rp. 4500.000,- . Jika harga

tersebut adalah 90% dari harga pembelian. Berapakah nilai pembelian motor

tersebut.

5. Berikut adalah data jumlah siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakulikuler di suatu

SMK. Siswa yang mengikuti kegiatan olahraga sebanyak 40%, musik 20%, Paskibra

10%, PMR 5%, dan sisanya mengikuti kegiatan Pramuka. Jika jumlah siswa

seluruhnya 600 orang maka tentukan banyaknya siswa yang mengikuti kegiatan

ekstrakulikuler pramuka.

6. Pedagang elektronik menjual televisi 14 inci seharga Rp1.500.000,00 dan

memperoleh keuntungan 20% dari penjualan tersebut maka tentukan harga

pembelian televisi tersebut.


2012 10



Daftar Pustaka

1. Gleen Ledder. 2013, Mathematical for the Life Sciences, Springer.

2. Dra.Siti Marwiyanti dan Dra. Chafidzah.2006. Matematika untuk SMK kelas X semester

genap.Swadaya Murni: Jakarta.

3. Agus Setiawan – Bae Kudus, Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat

4. http://www.file-edu.com/2011/04/program-linier.html

5. http://arimatematika .blogspot.com/

6. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta


2012 1



MODUL PERKULIAHAN

BILANGAN BENTUK

PANGKAT DAN

LOGARITMA

Bilangan bentuk akar

Operasi bilangan bentuk akar

Penyederhanaan bilangan bentuk akar

Konsep logaritma dan Operasi logaritma



02 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Sifat-sifat bentuk akar menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar

Mahasiswa mampu memahami dan dapat menyelesaikan soal-soal bilangan


2012 2



senama dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama.

bentuk akar dan soal-soal logaritma sesuai dengan sifat-sifatnya

Bilangan bentuk akar

1. Bilangan bentuk akar

Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu

lambang bentuk akar, radikan, dan indeks.Secara umum, bentuk akar ditulis dalam

bentuk:

√𝑎 𝑛

( √𝑎 𝑛

dibaca "akar pangkat n dari a")

Dengan : √𝑎 𝑛

disebut bentuk akar/ radikal

n disebut index

a disebut radikan

Seperti halnya bilangan pangkat, bentuk akar pun memiliki sifat-sifat tertentu.Untuk a,

b bilangan riil dengan n bilangan asli berlaku:

1. √𝑎𝑛

x √𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

𝑥𝑏

2. √𝑎

𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛

3. 𝑝 √𝑎𝑛

± 𝑞 √𝑏𝑛

=(p ± 𝑞) √𝑎𝑛

Sifat-sifat bentuk akar di atas menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar senama

dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing masing bentuk akar

dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar

senama. Untuk penjumlahan dan pengurangan dengan bentuk akar sejenis maka

yang dijumlahkan atau dikurangkannya adalah koefisien dari masing-masing bentuk

akar, lalu dikalikan dengan bentuk akar tersebut.

Contoh :

1. √543

=


2012 3



√543

=√27 𝑥23

= √273

. √23

= √333 . √2

3 = 3

3

3 . √23

= 3√23

2. √2

27

3 =

√2

27

3 =

√23

√273 =

√23

√333

=√23

333

= 1

3. √2

3

3. Tentukan hasil

√35 4

x √32 3

=

√35 4

x √32 3

=35

4 x 32

3 = 323

12

4. √53

x√253

=

√53

x√253

=√5𝑥253

=√5𝑥253

= √1253

= √533 = 5

3

3 = 5

2. Operasi bilangan bentuk akar

Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga

sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan

pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya. Untuk sebarang

nilai a dengan a ≠ 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n ≥ 2 berlaku:

1. √𝑎 𝑛

= 𝑎1

𝑛

2. √𝑎𝑚 𝑛

= 𝑎𝑚

𝑛


2012 4



Bilangan 𝑎1

𝑛 dan 𝑎𝑚

𝑛 disebut bilangan dengan pangkat sebenarnya.

Contoh :

1. √5=51

2

2. √23

=21

3

3. Penyederhanaan Bentuk akar

Dalam suatu bentuk operasi bilangan, ada kalanya bilangan tersebut memiliki

penyebut dalam bentuk akar, seperti:

1

√3 ,

1

1−√3

Bentuk-bentuk bilangan tersebut dapat disederhanakan dengan cara merasionalkan

penyebut pecahan-pecahan tersebut. Suatu bentuk pecahan yang memuat bilangan

bentuk akar dikatakansederhana jika dipenuhi:

1. setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan

2. tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.

Pada bagian ini akan dipelajari mengenai cara merasionalkan berbagai bentuk

pecahan agar lebih sederhana.

1. Pecahan bentuk 𝑎

√𝑏

Bentuk akar dengan b ≠ 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara

mengalikan pecahan dengan √b sehingga:

𝑎

√𝑏 =

𝑎

√𝑏 X

√𝑏

√𝑏 =

𝑎√𝑏

𝑏

contoh :

2

√3 =

2

√3 x

√3

√3 =

2√3

√3√3

2

√3 =

2√3

3


2012 5



2. Pecahan bentuk 𝑎

𝑏−√𝑐

𝑎

𝑏−√𝑐 =

𝑎

𝑏−√𝑐 x

𝑏+√𝑐

𝑏+√𝑐 =

𝑎(𝑏+√𝑐 )

𝑏+𝑐

𝑎

𝑏+√𝑐 =

𝑎

𝑏+√𝑐 x

𝑏−√𝑐

𝑏−√𝑐 =

𝑎(𝑏−√𝑐 )

𝑏−𝑐

Contoh :

2

2−√5 =

2

2−√5 x

2+√5

2+√5

= 2(3−√5 )

4−5

=2(3−√5 )

−1= -2(3 − √5 )

Contoh :

2

3+√5 =

2

3+√5 x

3−√5

3−√5

= 2(3+√5 )

9−5 =

2(3+√5 )

4

=−(3 + √5 )

3. Pecahan bentuk

𝑎

√𝑏 ± √𝑐

Contoh :

2

3+√5 =

2

3+√5 x

3+√5

3−√5 =

2(3+√5 )

3−5

=2(3+√5 )

−2= -(3 + √5 )

4. Konsep Logaritma


2012 6



Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh matematikawan scotlandia,yaitu

John Napier pada 1614 dalam bukunya yang berjudul Mirifici ogarithmorumCanonis

Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi yang besar untuk emajuan ilmu

pengetahuan, salah satunya pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan

rumit menjadi mudah.

Pada pembahasan sebelumnya telah di pelajari mengenai bilangan berpangkat,

misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16

sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa

menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan

nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi

logartima, yang dapat ditulis:

24 = 16 ⇔ 2log 16 = 4

Secara umum:

Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an.

Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai

berikut:

alog x = n x = an

dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;

x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0

n = hasil logaritma.

(alog x dibaca"logaritma x dengan basis a")

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya,bentuk

pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Contoh :

1. 5log 1

125 =

5log1

125 =-3

5log1

125 =-3

1

125 = 5-3

2. 7−2 =1

49

7−2=7log1

49 = -2


2012 7



5. Operasi Logaritma

Sifat-sifat logaritma :

1. Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1

2. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

alog x + alog y = alog xy

3. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:

alog x - alog y = alog x/y

4. Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

alog xn = n alog x

5. Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

amlog 𝑥𝑛=𝑛

𝑚alog x

6. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

alog x ・ xlog y = alog y

7. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

𝑎𝑎log 𝑥 = x


2012 8



8. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:

𝑎𝑛𝑎log 𝑥 =𝑥𝑛

contoh :

2log 6 + 2log 18 – 2log 27 = 2log 6.18

27

= 2log 108

27

+ +

= 2log 4 = 2log 22

= 22log 2= 2.1 = 2

contoh :

3log9 +3log√3 - 2. 3log 27 =

3log9 +3log√3 - 2. 3log 27 = 3log 32+3log 31

2 – 3.2 3log 3

= 2.3log 3+1/2 3log 3 - 2 3log 3

= 2.1 +1/2-2.2

=-7/2

contoh :

Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka nilai dari log 75 = ....

log 75 = log 300/4

= log 300 – log 4

= log 100 + log 3 – 2 log 2

+= 2 + 0,4771 – 2(0,3010)

= 2,4771 – 0,6020


2012 9



= 1,8751

contoh :

log52 x 3log23 x 5log32

= 2. 2log5 x 33log23 x 2.5log3

= 2.3.2.2log5 x 5log 3 x 3log2

= 12 2log 2

= 12.1 = 12

Daftar Pustaka









2012 1



MODUL PERKULIAHAN

DIAGRAM VENN

o Pengertian dan berbagai macam

bentuk himpunan

o Operasi himpunan

o Pengertian dan Bentuk himpunan



03 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Diagram Venn merupakan bentuk lain dari penyajian suatu himpunan dengan cara menggunakan gambar. Adapun semua anggota dari himpunan semesta ditunjukan dengan noktah atau titik dalam suatu gambar persegi panjang.

Mahasiswa mampu memahami dan dapat membedakan berbagai macam bentuk himpunan dan menggambarkan nya dalam bentuk diagram venn


2012 2



Diagram Venn:

1. Pengertian dan berbagai macam bentuk himpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. George Cantor dianggap

sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat

tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan,

negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan

itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting

karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan

merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi

dengan baik (well-defined set)

Penyajian bentuk himpunan

Enumerasi

Contoh :

Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

C = {a, {a}, {{a}} }

K = { {} }

Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Simbol-simbol Baku

Contoh :

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }


2012 3



Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Notasi Pembentuk himpunan

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh :

A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau

A = { x | x P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}

Diagram Venn

Contoh :

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:


2012 4



Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Dan dinotasikan dengan n(A) atau A

Bentuk/ Jenis Himpunan

Himpunan Kosong

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : atau {}

Contoh

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}

himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}

{} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan

kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan

hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ϲ B


2012 5



Diagram Venn:

Contoh :

{ 1, 2, 3} ϲ {1, 2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3} ϲ {1, 2, 3}

Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B ϲ A.

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ϲ A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ({} ϲ A).

(c) Jika A ϲ B dan B ϲ C, maka A ϲ C

A dan A ϲ A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya

(improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.

A ϲ B berbeda dengan A ϲ B

A ϲ B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ϲ B, A adalah himpunan

bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}


2012 6



A ϲ B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian

(subset) dari B yang memungkinkan A = B.

Himpunan yang Sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan

sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan

bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A = B.

Notasi : A = B maka A ϲ B dan B ϲ A

Contoh

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka B ϲ A

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B menyatakan bahwa n(A) = n(B)

Contoh

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4


2012 7



Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya

tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn:

Contoh

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan

yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk

himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi : P(A) atau 2A

Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {{}, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa

dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.

Operasi Himpunan

Irisan

Notasi : A ∈ B = { x / x A dan x B }


2012 8



Contoh :

- Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∈ B = {4, 10}

- Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A ∈ B = {}.

Gabungan

Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh :

Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

A = A

Komplemen

Notasi : = { x x U, x A }


2012 9



Contoh :

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}

jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }

contoh :

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor

dari luar negeri” (E ∈ A) (E ∈ B) atau E ∈ (A B)

“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990

yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A ∈ C ∈D

“semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual

lebih dari Rp 100 juta”

Selisih


2012 10



Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A ∈

Contoh :

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3,

5, 7, 9 } dan B – A =

{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

Beda setangkup

Notasi: A B = (A B) – (A ∈ B) = (A – B) (B – A)

Contoh :

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh :

Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS

keduanya diatas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan

mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

“Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∈ Q


2012 11



“Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q

“Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)

Soal

Jika

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

Gambar diagram venn yang menunjukan

“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor

dari luar negeri”

“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990

yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”

Buktikan

(A B) B

Jawab :

Ambil t A B sebarang. Jelas bahwa t A. Dengan demikian setiap elemen di

A B pasti juga berada di A. Jadi (A B) A.

Buktikan

(A B) B

Daftar Pustaka


2012 12










2012 1



MODUL PERKULIAHAN

PERSAMAAN LINEAR

DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

o Pengertian persamaan linear

o Sistem Persamaan linier

o Persamaan linear dengan dua peubah

o Persamaan linear dengan tiga peubah

o Pengertian pertidaksamaan linear serta

penyelesaiannya



04 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi

Kalimat terbuka dalam istilah matematika adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Persamaan linier merupakan kalimat

Mahasiswa mampu memahami dalam mendiskripsikan penyelesaian persamaan linear dan pertidaksamaan linear


2012 2



matematika dengan pangkat teringgi variabel yang dimuatnya adalah satu.

1. Pengertian persamaan linier

Kalimat terbuka dalam istilah matematika adalah kalimat yang belum diketahui

nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Kalimat terbuka yang

memuat tanda “sama dengan“ atau “=” disebut persamaan. Persamaan linier merupakan

kalimat matematika dengan pangkat teringgi variabel yang dimuatnya adalah satu. Suatu

persamaan linear yang mengandung n variabel x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dimana

a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.

Dalam hal ini, variabl yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi

logaritma ataupun fungsi exponensial.

Persamaan linier yang paling sederhana, adalah persamaan linier satu variable ax +

b = 0, dimaan a,b adalah konstanta dan a ≠ 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan

dalam menyelesaikan persamaan linier satu variabel adalah sebagai berikut.

1. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambahkan atau

dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama.

2. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi

dengan bilangan positif yang sama.

Contoh :

1. 8x – 4 = 6x + 12

8x -4 –(6x+4) = 6x +12 –(6x+4) , masing-masing ruas dikurang (6x+4)

8x-4-6x+4 =6x +12-6x-4

2x =8

½ 2x = ½ 8

x = 4

2. ¼ x – 3 = -x +1

4(¼ x – 3)=4(-x +1)

x -12 = -4x +4

x-12 +(4x+12)= -4x +4 +(4x+12), , masing-masing ruas ditambah (4x+12)

5x = 16


2012 3



x = 16/5

Contoh :

Suatu perusahaan yang memproduksi barang tertentu dengan harga jual Rp900,00

tiap unit. Biaya tetap yang dikeluarkan Rp200.000,00 dan biaya variabel per unit

barang adalah Rp400,00.

a) Tentukan model persamaan untuk total hasil penjulan dan biaya total.

b) Tentukan banyaknya unit barang harus dijual ketika terjadi titik pulang pokok.

Jawab:

a. Misalkan banyaknya barang terjual adalah x unit

Total hasil penjualan x unit yang masing-masing unitnya Rp900,00 barang

adalah

R = 900x

Biaya tetap = Rp200.000,00

Biaya variabel = Rp400,00

Biaya total produksi Q = 200.000 + 400x

b. Syarat terjadi titik pulang pokok, yaitu R = Q

R = Q

900x = 200.000 + 400x

500x = 200.000

x = 400

Jadi, banyaknya barang yang harus terjual agar terjadi pulang pokok adalah 400

unit.

Definisi :

Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear.

Contoh :

a. 2x+y = 4 b. x + y + z = -1

x-3y = 1 -x +2y +3z =-3

2x -y +z =-1

Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian( solusi ).Sistem

persamaan linear yang memiliki tiga kemungkinan penyelesaian yaitu :


2012 4



a. tidak ada penyelesaian ( tidak konsisten )

b. ada satu penyelesaian

c. ada banyak penyelesaian

2. Persamaan linier dengan dua peubah

Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana

pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linier

dua variabel :

ax + by = c

x dan y disebut variabel dan c adalah konstanta

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang

mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum :

ax + by = c

px + qy = r

dengan x , y disebut variabel

a, b, p, q disebut keifisien

c , r disebut konstanta

Untuk mencari jawab dari suatu sistem persamaan linier dapat dilakukan dengan cara

b. Eliminasi

c. Subtitusi

d. Grafik

e. Operasi baris elementer

Contoh :

Tentukan jawab sistem persamaan x + 2y = 8 (I) dan 2x – y = 6 (II)

1. Eliminasi

x + 2y = 8 (x2)

2x – y = 6

-----------------------(-)

5y =10 (1/5)

y =2


2012 5



Subtitusi nilai y ke salah satu persamaan

x+2(2)=8 x=4

Jawab sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.

Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

2. Subtitusi

Ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8 (I)

Kemudian rubah persamaan tersebut menjadi x = 8 – 2y (III),

Subtitusi persamaan (III) ke (II)

2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)

16 – 4y – y = 6

16 – 5y = 6 -5y = 6 – 16

-5y = -10 5y = 10

y = 2

subtitusi nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8 x + 2. 2. = 8

x + 4 = 8 x = 8 – 4

x = 4

Jawab sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.

Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

3. Grafik

x + 2y = 8 y = - ½ x + 4

2x – y = 6 y = 2x -6

Tabel fungsi (I)

x 0 1 2 3 4 5 6

y 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1

Tabel fungsi (II)

x 0 1 2 3 4 5 6

y -6 -4 -2 0 2 4 6

Grafik fungsi


2012 6



3. Persamaan linier dengan tiga variabel

Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung tiga variabel,

dengan bentuk umum :

ax + by + cz = d

x dan y disebut variabel dan d adalah konstanta

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear tiga variable yang

mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum :

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan x , y disebut variabel

a, b, p, q disebut keifisien

c , r disebut konstanta

Pada sistem persamaan linear yang menggunakan banyak variabel, maka hal pertama

yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan

mengubah sistem persamaan linear yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan

linear biasanya juga tidak didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan

dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari – hari. Setelah diubah ke bentuk

matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris


2012 7



tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL. Prosedur untuk mendapatkan

matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada

proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris

elementer. Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan

, yaitu :

a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol

b. Mempertukarkan dua buah baris

c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Contoh :

Tentukan jawab sistem persamaan linier

x + 2y + 3z = 1

2x + 5y + 3z = 6

x + 8z = –6

Jawab :

Tulis sistem persamaan linier diatas ke bentuk matrik.

A b

⌊1 2 32 5 31 0 8

⌋ ⌈𝑥𝑦𝑧

⌉ = ⌈16

−5⌉

Rubah ke bentuk augmented matrik

[𝐴|𝑏]=[1 2 32 5 31 0 8

16

−5]

Lakukan operasi baris elementer untuk matrik A menjadi matrik segitiga bawah :

[𝐴|𝑏]=[1 2 30 1 −31 0 8

14

−5] b2-2b1 ( baris ke dua dikurangi 2x baris pertama )

[𝐴|𝑏]=[1 2 30 −1 −10 −2 5

14

−7] b3-b1 ( baris ke tiga dikurang baris pertama )

[𝐴|𝑏]=[1 2 30 1 −30 0 1

142

] b3+2b2 ( baris ke tiga dikurangi baris pertama )


2012 8



Dengan menulis kembali matrik diatas ke bentuk sistem persamaan

linier :

x + 2y + 3z = 1 ( 1 )

y - 3z = 4 ( 2 )

z = 2 ( 3)

Subtitusi nilai z = 2 ke persamaan (2)

Y – 3(2) = 4 y = 10

Subtitusi nilai z=2 dan y =10 ke persamaan (1)

x – 2(10) + 3(2) = 1 x -14 = 1

Solusi sistem persamaan linier diatas : x=15, y=10,z=2

4. Pengertian pertidaksamaan linier

Bentuk umum pertidaksamaan linier satu variabel dinyatakan dengan :

ax + b (R) 0;

a , b ∈ Riil dan (R) = salah satu relasi pertidaksamaan.

Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier hampir sama dengan

menyelesaikan persamaan linier satu variabel. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

biasanya juga dituliskan dalam bentuk interval atau selang. Beberapa bentuk atau jenis

interval disajikan sebagai berikut.

Notasi Interval Pertidaksamaan Grafik


2012 9



Tanda pada batas interval berarti batas tersebut termasuk dalam interval. Sedangkan

tanda pada batas interval berarti batas tersebut tidak termasuk dalam interval.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah

sebagai berikut.

1. Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan

ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang

sama (sifat 1).

2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah arah jika pada ruas kiri dan kanan dikalikan

atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (sifat 2).

3. Tanda pertidaksamaan berubah arah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan

dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama (sifat 3).

Contoh :

5x > 4x + 9

5x – 4x > 4x + 9 – 4x (sifat 1)

x > 9

Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x | x > 9}

dengan garis bilangan

Contoh :

15x + 2 ≤ 12x + 11

15x – 12x ≤ 11 – 2

3x < 9

(1/3) 3x ≤ (1/3) 9

x < 3 Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x ≤ 3}

dengan garis bilangannya

Contoh :

x + 4 ≤ 5x + 3 ≤ 2x + 10


2012 10



(untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas, pisahkan menjadi dua

pertidaksamaan. Setelah itu, cari irisannya dari HP kedua pertidaksamaan

tersebut).

x + 4 ≤ 5x + 3 ≤ 2x + 10 dipisahkan menjadi

x + 4 ≤ 5x + 3 dan 5x + 3 ≤ 2x + 10

x – 5x < 3 – 4 dan 5x – 2x < 10 – 3

- 4x ≤ -1 dan 3x ≤ 7

x≥1/4 x≤7/3

Grafik irisan himpunan

Jadi, himpunan penyelesaian adalah { x |1/4 ≤ x ≤ 7/3}

Contoh :

Suatu perusahaan mainan memproduksi mainan anak-anak dengan biaya

Rp3.500,00 tiap unit dan biaya operasional produksi Rp100.000,00. Jika mainan

akan dijual Rp5.000,00, tentukan banyaknya mainan yang harus diproduksi agar

untung paling sedikit Rp75.000,00.

Jawab:

Misalkan banyaknya mainan yang diproduksi sebanyak x

Biaya total yang dikeluarkan = 3.500x + 100.000

Pendapatan total yang diperoleh = 5.000x

Untung = Pendapatan total – Biaya total

= 5.000x – (3.500 x + 100.000)

= 5.000x – 3.500 x – 100.000

= 1.500x – 100.000

Untung paling sedikit Rp75.000,00

Jadi, untung > 75.000

1.500x – 100.000 > 75.000

1.500x > 75.000 + 100.000

1.500x > 175.000

x > 116,67


2012 11



Jadi, supaya untung lebih dari Rp75.000,00 harus terjual 117 buah

mainan anak-anak.

Soal :

1. Tentukan nilai x persamaan berikut

a) 2x + 1 = 27

b) 5x + 9 = 4x – 8

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini dan

lukis garis bilangannya.

a) 5(x – 2) ≤ 6x + 10

b) 2x -3 > x -5

c) 2x – 7 < 5x + 2 ≤ 2x + 20

3. Suatu perusahaan memproduksi kopiah dengan biaya Rp6.000,00 tiap unit,

dan biaya operasional produksi Rp500.000,00. Kopiah akan dijual

Rp10.000,00. Tentukan banyaknya kopiah yang diproduksi agar laba paling

sedikit Rp1.000.000,00

4. Tentukan solusi sistem persamaan linier berikut :

x + y - z = 7

2x -y + 2z = 4

x + y+ 8z = –6

Daftar Pustaka








2012 1



MODUL PERKULIAHAN

PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN

KUADRAT Pengertian persamaan dan

pertidaksamaan kuadrat.

Penyelesaiannya persaman dan

pertidaksamaan kuadrat.



05 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat dituliskan dalam

Mahasiswa mampu memahami

mendeskripsikan persamaan kuadrat

dan pertidaksamaan kuadrat.


2012 2



bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan.

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat 1. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variable

(peubah) adalah dua. Bentuk umum adalah

ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan a, b, c ∈ R

Bentuk-bentuk persamaan kuadrat

1. x2 + 5x – 3 = 0, dengan a = 1, b = 5, dan c = -3 (persamaan kuadrat

biasa)

2. 2x2 + 5x = 0 , dengan a = 2, b = 5, dan c = 0 (persamaan kuadrat tidak

lengkap)

3. x2 – 6 = 0, dengan a = 1, b = 0, dan c = -6 (persamaan kuadrat murni)

2. Pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari

variabel (peubah) adalah dua. Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan

dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan.

Jenis akar persamaan kuadrat

Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan

rumus, maka jenis-jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b2 – 4ac. Oleh

karena itu, b2 – 4ac disebut diskriminan atau pembeda dan biasanya disingkat dengan

D dimana D = b2 – 4ac. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat:

jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai

dua akar riil yang berbeda;

jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama

atau sering disebut mempunyai akar kembar;

jika D < 0, maka persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar riil (akar

imajiner);


2012 3



jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar

rasional yang berlainan.

Contoh :

Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini tanpa mencari akarnya

terlebih dahulu.

1. x2 + 4x + 4 = 0

2 . x2 + x + 2 = 0

Jawab:

1. x2 + 4x + 4 = 0

a= 1, b =4, c=4

D= b2 – 4ac

D= 42 -4.1.4 D = 0

Persamaan kuadrat mempunyai dua akar kembar

2. x2 + x + 2 = 0

a= 1, b =1, c=2

D= b2 – 4ac

D= 12 -4.1.2 D = -8

D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil

Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

a) Penyelesaian persamaan kuadrat

Mencari penyelesaian persamaan kuadrat berarti mencari nilai x sedemikian

sehingga jika nilai disubstitusikan akan memenuhi persamaan tersebut.

Penyelesaian persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat.

Beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat,

yaitu:

a. Faktorisasi

Dengan menggunakan sifat perkalian pada bilangan riil, yaitu jika dua

bilangan riil dikalikan hasilnya sama dengan nol. Dengan demikian, salah

satu dari bilanganbilangan tersebut sama dengan nol atau kedua-duanya

sama dengan nol.

Jika p × q = 0 maka p = 0 atau q = 0

Contoh :

Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini.

a. x2 + 2x – 8 = 0


2012 4



b. 2x2 + 3x = 0

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0, terlebih dahulu dicari

dua bilangan memenuhi syarat sebagai berikut.

a) Hasil kalinya adalah sama dengan a × c

b) Hasil jumlahnya adalah sama dengan b

Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah α dan β,

maka

α β = a × c dan α+ β = b

Dengan demikian, bentuk faktornya adalah

(ax + α)(ax + β) = 0

dengan membagi a pada ruas kiri dan kanan, maka akan didapat bentuk

asal atau mula-mula.

a. x2 + 2x – 8 = 0

Dari persamaan tersebut didapat a =1, b = 2, dan c = -8 .

Cari dua bilangan sehingga

Hasil kalinya = 1× (-8) = -8,

Hasil penjumlahannya = 2.

Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 4 dan -2,

sehingga

x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0

x + 4 = 0 atau x – 2 = 0

x = -4 x = 2

b. 2x2 + 3x = 0

Dari persamaan tersebut didapat a = 2, b = 3, dan c = 0 .

Carilah dua bilangan sehingga,

Hasil kalinya = 2× 0 = 0,

Hasil penjumlahannya = 3

Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 0 dan 3,

sehingga:

2x2 + 3x = 0

(2x + 0)(2x + 3) = 0

Membagi dengan 2 pada ruas kiri dan kanan didapat


2012 5



(x + 0)(2x + 3) = 0

x + 0 = 0 atau 2x + 3 = 0

x = 0 atau 2x = -3

Untuk mempersingkat dapat juga digunakan cara

memfaktorkan langsung (persamaan dengan nilai

c = 0).

2x2 + 3x = 0

x(2x + 3) = 0

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diubah menjadi bentuk kuadrat dengan

cara sebagai berikut.

a. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila tidak bagilah dengan

bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1.

b. ambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x

kemudian kuadratkan.

c. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan

dimanipulasi, sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Contoh :

Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akar-

akarnya.

1. x2 – 4x – 5= 0

2. 2x2 – x – 1 = 0

Jawab :

x2 – 4x – 5= 0

x2 – 4x + (-2)2 = 5 + (-2)2

x2 – 4x +(1/2 -4 )2 = 5+(1/2 -4)2

x2 – 4x +(-2 )2 = 5+(-2)2

(x − 2)2 = 9

x – 2 = ± 9

x – 2 = ± 3

x1 = 3 + 2 atau x2 = -3 + 2

= 5 = -1

Jawab :

2x2 – x – 1 = 0


2012 6



x2 -½ x = ½

x2 -½ x +(½ -½)2 = ½ + (½ -½)2

(x – ¼ )2 = ½ + 1/16

x - 1

4 = ± √

9

16

x - 1

4 = ±

3

4

x1 = -3/4 +1/4 atau x2 = ¾ +1/4

x1 = ½ x2 = 1

c. Rumus kuadrat (biasa dikenal dengan rumus abc).

Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang telah

dipelajari sebelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan persamaan

kuadrat.

ax2 + bx +c = 0

x2 + 𝑏

𝑎 x +

𝑐

𝑎 = 0 x2 +

𝑏

𝑎 x = -

𝑐

𝑎

x2 + 𝑏

𝑎 x + (

1

2 .

𝑏

𝑎)2 = -

𝑐

𝑎 + (

1

2 .

𝑏

𝑎)2

x2 + 𝑏

𝑎 x + (

𝑏

2𝑎)2 = -

𝑐

𝑎 +

𝑏2

4𝑎2

( x + 𝑏

2𝑎)2 =

𝑏2−4𝑎𝑐2

4𝑎2

( x + 𝑏

2𝑎) = ±√

𝑏2−4𝑎𝑐2

4𝑎2

x = - 𝑏

2𝑎 ± √

𝑏2−4𝑎𝑐2

4𝑎2

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 =−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 dan 𝑥2 =

−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Contoh :

Tentukan akar persamaan x2 – 6x + 9 = 0 dengan menggunakan rumus

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−6)±√(−6)2−4.1.9

2.1


2012 7



𝑥 =6 ± √36 − 36

2

𝑥 =6 ± √36 − 36

2

x1 = 3 atau x2 =3

d. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Dari rumus kuadrat, diperoleh akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut.

𝑥1 =−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 atau 𝑥2 =


2𝑎

Dengan menjumlahkan dan mengalikan kedua akar

x1 + x2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 +


2𝑎

x1 + x2 = −𝑏−𝑏

2𝑎 =

−𝑏

𝑎

x1 . x2 = −𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 .

–𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 . 𝑥2 = 𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)

4𝑎2 𝑥1 . 𝑥2 =𝑐

𝑎

Contoh :

Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan x2 + 2 x – 3 = 0, tentukanlah

a. x1 + x2 b. x12+x2

2

Jawab :

a. a = 1,b=2 dan c=3

x1 + x2 =−𝑏

𝑎 = -3/1 = -3

b. a = 1,b=2 dan c=3

x12+x2

2 = (x1 + x2)2 - 2 x1. x2

= (-3)2 – 2.(3/1)

= 9 – 6 = 3

e. Menyusun Persamaan Kuadrat

1. Rumus perkalian faktor

(x – x1)(x – x2) = 0

contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan 5.

(x – (-2))(x – 5) = 0


2012 8



(x +2) (x – 5) = 0

x2-3x-10 =0

2. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0

contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2/3 dan -2

x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0

x2 – (2/3 - 2)x + 2/3 . -2 = 0

x2 – (-4/3)x -4/3 = 0

3x2+4x-4 =0

b) Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

Langkah-langkah untuk mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

adalah sebagai berikut.

1. Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat (ruas kanan = 0).

2. Carilah akar-akar dari persamaan tersebut.

3. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut.

4. Tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara

menguji tanda pada masing-masing interval tersebut

5. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan

tersebut.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.

x2 – 2x – 8 > 0.

Jawab:

Nyatakan dalam bentuk persamaan.

x2 – 2x – 8 = 0

Carilah akar-akarnya

x2 – 2x – 8 = 0

(x – 4)(x + 2) = 0

x = 4 atau x = -2


2012 9



Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut

Daerah penyelesaian

x < -2 atau x > 4

HP = {x | x < -2 atau x > 4, x ∈ R }

Soal :

1. Selesaikan persaman kuadrat 4x2– 12x + 8 = 0 dengan cara

a. Faktor

b. Melengkapi kuadrat

c. Rumus ABC

2. Tentukan

Jika Salah satu akar persaman kuadrat x2 – 2x + c = 0 adalah 1, tentukan nilai c dan akar yang lainnya.

3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan 3

4. Himpunan penyelesaian dari -2 < 3(x – 1) < 2

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – x > 90

Daftar Pustaka








2012 1



MODUL PERKULIAHAN

Persamaan dan

Pertidaksamaan

linier Pengertian harga mutlak

Pertidakpersamaan pecahan

Pertidaksamaan bentuk harga mutlak

Pengertian pertidaksamaan harga

mutlak dan pecahan



06 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi


2012 2



Harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol |x| sebagai nilai positif dari nilai x dan -x..


mampu menyelesaikan model

matematika dari masalah yang

berkaitan dengan pertidaksamaan satu

variabel dan penafsirannya.

Persamaan dan Pertidaksamaan linier

Harga mutlak

Dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif

diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Harga

mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan

selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x

yang ditulis dengan simbol |x| sebagai nilai positif dari nilai x dan -x.

Definisi

Untuk setiap bilangan real x, harga mutlak dari x ditulis |x| dan

x, x>0

|x| =

-x, x<0

Dengan menggunakan garis bilangan definisi diatas dapat digambarkan seperti

terlihat pada garis bilangan berikut :

Contoh

a. |5|=5 c. |-1/3| = -(-1/3) = 1/3

b. | |-2| - |-3| | = |2 -3| =|1|=1 d. |0| = 0

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan “tidak

sama dengan”, “lebih dari” (lebih besar dari), “lebih dari atau sama dengan”, “kurang

dari” (lebih kecil dari), “kurang dari atau sama dengan”.


2012 3



Pertidaksamaan pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang penyebutnya mengandung

variabel.

Contoh :

a. (2𝑥−3)

(𝑥+1)≤ 4 b.

3(2𝑥−4)

(𝑥+1)> 2

Prosedure penyelesaian pertidaksamaan pecahan

1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri.

2. Tentukan pembuat nol ruas kiri

3. Samakan penyebut untuk menyederhanakan pecahan.

4. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan

5. Berikan tanda pada setiap interval

6. Arsir sesuai dengan tanda pertidaksamaan

7. Interval yang diarsir adalah jawab pertidaksamaan.

Contoh :

Tentukan jawab pertidaksamaan (2𝑥−3)

(𝑥+1)≤ 1

Jawab :

(2𝑥−3)

(𝑥+1)≤ 1

(2𝑥−3)

(𝑥+1)− 1.

(𝑥+1)

(𝑥+1) ≤ 0

(2𝑥−3−𝑥−1)

(𝑥+1) ≤ 0

(𝑥−4)

(𝑥+1) ≤ 0

Buat garis bilangan

Himpunan penyelesaian HP = -1 ≤ x ≤ 4

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan (2𝑥+2)

(𝑥−1)≥ 1


2012 4



Jawab :

(2𝑥+2)

(𝑥−1)≥ 1

(2𝑥+2)

(𝑥−1)−

(𝑥−1)

(𝑥−1)≥ 0

(𝑥+3)

(𝑥−1)≥ 0

Buat garis bilangan

Himpunan penyelesaian HP = x ≤ -3 atau x ≥1

Pertidaksamaan bentuk harga mutlak

Suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu

pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.

Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya

ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup. Dalam pertidaksamaan

berlaku ketentuan berikut :

A. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama,

maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang ekivalen dengan

pertidaksamaan semula.

Contoh :

2x+3 ≥7

2x+3 -3 ≥7-3

Contoh :

3x-4 ≤ 2x-1

3x-4 –(2x-1) ≤ 2x-1 –(2x-1)

x-3 ≤ 0 x -3 + 3 ≤ 0 +3

B. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah

bilangan positif yang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang

ekivalen dengan pertidaksamaan semula.


2012 5



Contoh :

4x – 3 ≥ 8

(1/4) (4x-3)≥(1/4).8

C. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan atau dibagi oleh sebuah

bilangan negatif yang sama, maka diperoleh sebuah pertidaksamaan baru yang

ekivalen dengan pertidaksamaan semula tetapi tanda pertidaksamaan yang baru

harus dibalik

Contoh :

-½ x – 3 ≥ 2

(-2)( -½ x – 3) ≤ 2(-2)

x+6 ≤-4

Penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak adalah dengan menggunakan sifat-sifat

berikut:

1. | x | < a ⇒ -a< x < a

2. | x | > a ; a > 0 ⇒ x < -a atau x > a

3. | x | = x2

4. | x | 2 = x 2

5. | x | < | y | ⇒ x 2 < y 2

6. |𝑥𝑦|=|𝑥||𝑦|

7. |𝑥

𝑦| =

|𝑥|

|𝑦|

dengan syarat x, y, a ∈ R dan a > 0

contoh :

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x +1| < 3.

Jawab :

| x | < a ⇒ -a< x < a

| x+1 | < 3 ⇒ -3< x+1 < 3

Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya { x / -4 < x < 2 }

Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan :

{ x / x > -4 } { x / x < 2 }.

Contoh :


2012 6



Cari himpunan penyelesaian dari |x+1|≥ 3.

Jawab :

Berdasarkan sifat 2

| x | > a ; a > 0 ⇒ x < -a atau x > a

|x+1|≥ 3; a > 0 ⇒ x+1 ≤ -3 atau x+1 ≥ 3

Dua pertidaksamaan ini menghasilkan

x ≤-4 atau x ≥- 2.

Jadi himpunan penyelesaiannya

{ x / x≤ -4 atau x≥- 2}.

Himpunan penyelesaiannya dapat pula distulis dengan menggunakan simbul

gabungan

{ x / x -4 }U {x / x 2}.

Contoh :

Selesaikanlah |x +3|< 2 – x

|x +3|<2 – x -(2 – x) <x +3 <(2 – x )

-(2 – x) <x +3 <(2 – x )

x - 2 < x + 3 < 2 - x

-2<3 dan 2x <-1

Himpunan penyelesaian HP= { x / x < -1/2 } Atau

|x +3|<2 – x √(𝑥 + 3)2 <2-x

(x+3)2 <(2-x)2

x2 + 6x + 9 < x2 - 21x + 4

10x < -5

x < -1/2

Himpunan penyelesaian HP= { x / x < -1/2 }

Contoh :


2012 7



Selesaikanlah |3x+7|>|4x+8|

Kuadratkan kedua ruas

(3x + 7)2 > (4x +8)2

9x2 + 42 x + 49 > 16x2 - 64x + 64 >0 -7x2 + 106x - 15> 0

7x2 - 106x + 15 < 0

(7x - 1)(x - 15) < 0 Kemungkinannya

(1). 7x - 1 > 0 dan x - 15 < 0

(2). 7x - 1 < 0 dan x - 15 > 0

(1). 7x - 1 > 0 dan x - 15 < 0

x>1/7 atau x <15

(2) 7x - 1 < 0 dan x - 15 > 0

x<1/7 dan x>15

Himpunan penyelesaiannya HP = { x /x, 1/7<x<15}

Pertidaksamaan harga mutlak dan pecahan

Pertidaksamaan harga mutlak dana pecahan adalah pertidaksamaan harga mutlak

yang penyebutnya mengandung variabel.

Contoh :

𝑎. |2𝑥−1

𝑥+2|<3 atau |

2𝑥−1

𝑥+2|>2

Penyelesain Penyelesaian persamaan harga mutlak pecahan dapat dilakukan

berdasarkan sifat | x | = x2 dan |𝑥

𝑦| =

|𝑥|

|𝑦|

1. |𝑥|

|𝑦| =

𝑥2

𝑦2


2012 8



2. Samakan ruas kiri = 0

3. Tentukan nilai-nilai x pembuat 0 persamaan

4. Tuliskan nilai-nilai tersebut pada garis bilangan

5. Berikan tanda pada setiap interval

6. Arsir sesuai dengan tanda pertidaksamaan

7. Interval yang diarsir adalah jawab pertidaksamaan

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian |2𝑥+7

𝑥−1|≥1

Untuk bentuk pecahan diatas perhatikan x-1≠ 0 atau x≠1

.Kuadratkan pembilang dan penyebut

(2𝑥+7)2

(𝑥−1)2 ≥ 1

4𝑥2 +28𝑥+49

(𝑥−1)2 ≥ 1 4𝑥2 +28𝑥+49−𝑥2−2𝑥+1

(𝑥−1)2 ≥ 0

3𝑥2 +30𝑥+48

(𝑥−1)2 ≥ 0

Perhatikan (x-1)2 selalu bertanda positip untuk x ≠ 1, sehingga (x-1) tidak

berpengaruh terhadap tanda pertidaksamaan.

(x+8)(x+2)>0

x = -8 atau x = -2

Buat garis bilangan dan berikan tanda untuk masing-masing interval .

Himpunan penyelesaian :

x≤-8 atau -2≤ x≤ 𝑥; atau x > 1

Soal :

1. Tentukan nilai dari | |-5| - |-2| | =


2012 9



2. Tentukan himpunan penyelesaian

a. |x-1|≥ 3.

b. |x+2|≤ 3.

3. Tentukan himpunan penyelesaian

a. |x -2|< 5 – x

b. |x -2|< |5 – x|

4. Tentukan

a. |2𝑥+3

𝑥−2|≥1

b. |𝑥−3

𝑥−1| ≤1

Daftar Pustaka







2012 1



MODUL PERKULIAHAN

FUNGSI

• Pengertian fungsi

• Jenis-jenis fungsi

• Fungsi linear dan grafiknya



07 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Konsep fungsi terdapat hampir dalam setiap cabang matematika dan merupakan bagian yang sangat penting untuk dipahami.Kata fungsi dalam matematika digunakan untuk

Mahasiswa mampu memahami Memahami fungsi dan berbagai jenis fungsi dan dapat membuat grafik fungsi linear. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.


2012 2



menyatakan suatu hubungan atau relasi yang khas antara dua himpunan. Suatu relasi(biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.

FUNGSI

• Pengertian Fungsi

Konsep fungsi terdapat hampir dalam setiap cabang matematika dan

merupakan bagian yang sangat penting untuk dipahami.Kata fungsi dalam

matematika digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau relasi yang khas

antara dua himpunan. Suatu relasi(biner) F dari himpunan A ke himpunan B

adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.

Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi didefinisikan sebagai berikut :

Definisi :

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang

memasangkan setiap elemen dari A dengan satu elemen pada B.

Ditulis f : A B dibaca “ fungsi f memetakan A ke B “

Apabila f memetakan x∈A ke y∈B dikatakan bahwa y adalah peta dari x oleh f

dan pemetaan ini dinyatakan dengan notasi f(x) dan dapat tulis sebagai f: x f(x).

Himpunan A disebut daerah asal( domain) sedangkan himpunan B disebut daerah

kawan( kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah

hasil(range) dari fungsi f tersebut.

Contoh :

Diagram di bawah bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang

dipasangkan dengan dua anggota B.


2012 3



Contoh :

Suatu fungsi f memetakan xy=x2+2x-3, Grafik fungsi f dimaksudkan adalah himpunan pasangan (x, y) pada bidang, sehingga (x,y) adalah pasangan terurut dalam f.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2

f(x) 5 0 -3 -4 -3 0 5

Contoh :

Tentukan daerah hasil f untuk fungsi f : R R dengan rumus f(x)= x2-2x-8, jika

ditentukan daerah asal Da={xεR | -5≤x≤3}.

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 27 16 7 0 -5 -8 -9 -8 -5

Contoh :

Tentukan daerah asal Df untuk fungsi

a. f(x)=1

𝑥−2 b. f(x) =

1

√𝑥2+2𝑥−3


2012 4



a. f(x) bernilai real jika penyebutnya ≠0. Hal dapat dipenuhi apabila x ≠ 2. Jadi daerah

asal fungsi adalah Da= {xεR x ≠ 2 }

b. f(x) bernilai real jika penyebutnya ≠0. Nilai pembuat nol penyebut.

(x2+2x-3) ( x + 1 )(x – 3 )

x = -1 atau x = 3

Jadi daerah asal fungsi adalah Da= {xεR x ≠ -1 dan x ≠ 3 }

Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing

himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga

sifat fungsi yakni sebagai berikut :

1. Injectife( satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-

satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan

pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat

dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠

f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’) maka akibatnya a = a’.

Contoh:

a. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi

satu-satu sebab f(-2) = f(2).

b. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = 2x, merupakan fungsi

satu-satu sebat setiap satu elemen A tepat dipasangkan dengan satu

elemen B.

2. Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka Da dari fungsi f

adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) B. Apabila f(A) = B, yang berarti

setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu

elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f

memetakan A Onto B”

Contoh:

a. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi yang


2012 5



onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi

tersebut.

b. Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A → B yang didefinisikan

dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif karena daerah

hasil f adalah sama dengan kodomain dari f (himpunan B).

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang

injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif”

atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh :

1. Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p,q, r} yang didefinisikan

sebagai diagram di dibawah adalah suatu fungsi yang bijektif.

2. Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota

negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi

bijektif), karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara

yang berlainan.


2012 6



• Jenis-jenis fungsi

1. Fungsi Konstan

Fungsi konstan f disebut fungsi konstan jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku

f(x)=c, dengan c bilangan konstan.

Contoh :

Diketahui fungsi f(x) = 3

Tentukan :

a. f(4) dan f(6)

Dari definisi fungsi f(4)=3 dan f(6)=3

b. Daerah hasil

Daerah hasil Dh={3}

c. Grafik fungsi

2. Fungsi Indentitas

Funsi f disebut fungsi indentitas jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku f(x)=x.

Fungsi indentitas umumnya disimbolkan dengan I.

Contoh :

Untuk fungsi indentitas I(x)=x, x ε R. Tentukan

a. I(1),I(3),I(5)

Dari definisi I , I(1)=1,I(3)=3,I(5)=5

b. Daerah hasil

Daerah hasil Df = R

c. Grafiknya


2012 7



3. Fungsi Mutlak atau Fungsi Modulus

Fungsi mutlak atau modulus adalah fungsi yang memuat nilai mutlak. Nilai mutlak

dari a dinotasikan |a|, dibaca mutlak a dan dedefinisikan sebagai :

a , untuk a ≥0

| a | =

-a , untuk a 0

Contoh :

Diketahui fungsi mutlak f(x) =|2x +1|. Tentukan

a. f(x) b. Grafik fungsi c. Daerah hasil

a. f(x)

2x + 1, untuk 2x+1 ≥0 2x + 1, untuk x ≥-1/2

f(x) = =

-(2x+1), untuk 2x+1 0 -2x-1, untuk x-1/2

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

f(x) 3 2 1 0 1 2 3

b. Grafik fungsi


2012 8



c. Daerah hasil

Dari grafik tampak daerah hasil Dh={y ε R | y≥ 0}

4. Fungsi Genap atau Fungsi Ganjil

Fungsi f dikatakan genap jika berlaku f(-x) = f(x). Fungsi dikatan fungsi ganjil jika

berlaku f(-x)=-f(x). Jika f(-x) ≠ f(x) dan f(-x) ≠ -f(x), maka fungsi f dikatakan tak genap

dan tak ganjil.

Contoh :

a. f(x) = x4 + x2 +3

f(-x) = (-x)4 + (-x)2 + 3 = x4 + x2 + 3 = f(x)

jadi f(x) fungsi genap

b. f(x) = x+5

f(-x) = -(x)+5= -x +5 ≠ f(x)

f(x) bukan fungsi genap dan fungsi ganjil.

• Fungsi Linier dan Grafiknya

Fungsi f disebut fungsi linier, jika f dapat dinyatakan sebagai f(x)=ax+b, untuk semua x

dalam daerah asal, a dan b konstanta dimana a ≠ 0. Grafik fungsi linier berbentuk garis

lurus dengan persamaan y = ax +b.

Contoh :

Diketahui fungsi f(x) = 2x +1. Tentukan

a. Grafik fungsi

b. Daerah hasil

Jawab :


2012 9



a. Grafik fungsi linier

Grafik fungsi linier adalah sebuah garis lurus. Untuk menggambar grafik dapat

dilakukan dengan cara mengambil titik potong fungsi dengan sumbu x dan sumbu

y. Titik potong fungsi dengan sumbu x y =0

f(x)=2x + 1 = 0 x= -1/2 ( -1/2,0)

Titik potong fungsi dengan sumbu y x =0

f(x) = 2.0 + 1 y = 1 ( 0,1)

atau dapat juga dibuat dengan mensubtitusi beberapa nilai x ke fungsi :

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

b. Daerah hasil

Dari grafik terlihat bahwa daerah hasil Dh = R

• Soal

1. Tentukan daerah hasil f untuk fungsi f : R R dengan rumus f(x)= x2-2x-8, jika ditentukan

daerah asal Da={xεR | -5≤x≤3}.

2. Tentukan daerah asal fungsi f(x) = (𝑥−1)

√𝑥2−3𝑥−10


2012 10



3. Diketahui fungsi f(x) = 2x +1 ,g(x)= -2x+2 dan h(x)=2x-3. Tentukan grafik fungsi dalam

satu gambar.

Daftar Pustaka






2012 1



MODUL PERKULIAHAN

FUNGSI DAN GRAFIK

FUNGSI KUADRAT Pengertian fungsi

Jenis fungsi

Grafik fungsi kuadrat

Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat

Menentukan fungsi kuadrat



09 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A

ke himpunan B adalah aturan yang

Mahasiswa mampu memahami masalah yang berkaitan dengan fungsi,


2012 2



mengawankan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B. Fungsi f dituliskan

dengan f : AB dibaca : fungsi f

memetakan dari A ke B.

persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT

A. Pengertian fungsi

Definis :

Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang

mengawankan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Fungsi f dituliskan dengan

f : AB dibaca : fungsi f memetakan dari A ke B.

Jika x ɛ A dan dipasangkan dengan y ɛ B, maka y di disebut peta dari x dan ditulis y=f(x).

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dan himpunan B disebut daerah

kawan(kodomain) dan semua anggota B yang merupakan peta dari anggota A disebut

daerah hasil atau disebut range fungsi.Diagram panah pada gambar 6.4 menunjukkan

relasi ukuran sepatunya dari himpunan mahasiswa(A) ke himpunan ukuran-ukuran sepatu

(B). Setiap mahasiswa hanya mempunyai tepat satu ukuran sepatu, sehingga setiap

anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B

Jenis fungsi :

Fungsi konstan

Fungsi f disebut fungsi konstan jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku

f (x) = c, dengan c bilangan konstan.


2012 3



Contoh :

Diketahui fungsi konstan f (x) = 3 untuk setiap x e R.Tentukan

a. f(0),f(3) dan f(4)

b. Tentukan daerah hasilnya

c. Gambar grafiknya

Jawab :

a. Dari definisi f,

f(0)=3,f(3)=3,f(4)=3

b. Daerah hasilnya Rf={3}

c. Grafiknya

Fungsi Indentitas

Fungsi f disebut fungsi indentitas jika untuk setiap x pada daerah asal berlaku

F(x)= x fungsi ini sering disimbolkan dengan I.

Contoh :

Untuk fungsi indentitas I(x)= x, x e R. Tentukan

a. I(0),i(3),i(5)

b. Daerah hasil

c. Grafik fungsinya

Jawab

a. F(0)=0,f(3)=3,f(5)=5

b. Daerah hasilnya adalah Rf= R

c. Grafik fungsi


2012 4



Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut

fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi initidak

genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap.

contoh .

1. f(x) = 2x3+x

f(–x) = 2(–x)3 + (–x)

= –2x3 – x

= –(2x3 + x)

= –f(x)

Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.

2. f(x) = x2 – 8x

f(–x) = (–x)2 – 8 (–x)

= x2 + 8x

Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x).

Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

Fungsi kuadrat

Fungsi f disebut fungsi kuadrat jika untuk

a,b,c ɛ R, a ≠ 0 f(x)=ax2 + bx +c

Contoh :

Diberikan fungsi f : R --> R dengan rumus f(x) = x 2+4 x + 5 , x ɛ R

a. Tentukan f (0), f (4), f (6)

b. Tentukan bilangan a, sehingga f (a) = 17


2012 5



c. Gambarkan grafik fungsi y = f (x) = x 2 − 4 x + 5 dalam bidang Cartesius.

d. Tentukan daerah hasilnya f, jika daerah asal f ditentukan sebagai

D f = {x e R| 1 ≤ x < 5} .

Jawab :

Dari rumus yang diketahui y = f(x) = x 2 + 4 x + 5 , x e R , maka setiap bilangan

real x

a. Untuk x = 0, maka f (0) = 0 2 + 4(0) + 5 = 5 ,

Untuk x = 4, maka f(4)=42+4.(4)+5 = 37

Untuk x =6, maka f(6) = 62+4.(6)+5 =55

b. Untuk x = a, maka f(a) = a2+4.(a)+4= a2+4a+5=17

= a2+4a-12

=(a-2)(a+6)

a= 2 atau a=-6

c. Garafik fungsi

Dari gambar diatas, untuk daerah asal Df= {x {x e R|1≤ x < 4} diperoleh daerah hasil Rf

={y e R |1≤ y< 10}.


2012 6



B. Grafik Fungsi kuadrat

Tahapan pembuatan grafik fungsi

1. Tentukan titik potong fungsi dengan sumbu x ( jika ada )

Titik potong fungsi dengan sumbu x f(x)=0 dengan cara memfaktorkan

persamaan atau dengan rumus. Titik potong dengan sumbu x merupakan akar-akar

persamaan kuadrat tersebut.

Contoh :

f(x) = x2-4x-5 => (x + 1) ( x-5)

titik potong fungsi dengan sumbu x => (-1,0) dan (5,0)

2. Tentukan beberapa pasang titik bantu lainnya, dengan cara mensubtitusi nilai

variabel bebas ke ke persamaan:

Contoh :

Untuk x=-2, f(-2)= (-2)2-4(-2)+5= 7 => (-2,7).

Lanjutkan untuk beberapa titik lainnya sehingga didapat beberapa pasangan titik

seperti terlihat pada tabel berikut :

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7

3. Tentukan sumbu simetri

x = (x1+x2)/2= −𝑏

2𝑎

Contoh :

f(x) = x2-4x-5

sumbu simetri x =- (-1+5)/2 =- (4)/2 = -2

4. Tentukan titik balik fungsi

Titik balik fungsi ( −𝑏

2𝑎 ,

𝐷

−4𝑎 )

Contoh :

Titik balik fungsi f(x) = x2-4x-5 a= 1, b=-4, c = -5

( −𝑏

2𝑎 ,

𝐷

−4𝑎 ) = (

−𝑏

2𝑎 ,

𝑏2−4𝑎𝑐

−4𝑎 )

= ( −(−4)

2.1 ,

(−4)2−4(1)(−5)

−4.1 )


2012 7



= (4

2 ,

36

−4 ) =(2,-9)

5. Grafik fungsi f(x) = x2-4x-5

C. Sifat grafik fungsi kuadrat

Ditinjau berdasarkan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax2 + bx + c terhadap

sumbu x secara keseluruhan ada enam kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan

itu ditentukan oleh tanda-tanda dari nilai a dan tanda-tanda dari nilai diskriminan D = b2

– 4ac. Keenam kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax2 + bx + c

terhadap sumbu x

1. Apabila nilai a>0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai

akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c terbuka ke atas

(mempunyai titik balik minimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu

x.

Contoh : f(x) = x 2 + 5 x + 8


2012 8



2. Apabila nilai a>0 dan D=0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-

akar real dan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas

(mempunyai titik balik minimum) dan menyinggung sumbu x.

Contoh : f(x) =x2+4x+4

3. Apabila nilai a>0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-

akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka

ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang

berlainan.


2012 9



4. Apabila nilai a<0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai

akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c terbuka ke bawah

(mempunyai titik balik maksimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu

x.

Contoh : f(x)=-x2-x+3

5. Apabila nilai a<0 dan D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai

akar-akar real dan sama (kembar), sehingga grafik fungsi kuadrat y=f(x)=ax2 +bx+c

terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan menyinggung sumbu x.

Contoh :

f(x) =-x2-4x-4


2012 10



6. Apabila nilai a<0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-

akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka

ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang

berlainan.

Contoh : f(x)=-x2+4x

D. Menentuka fungsi kuadrat

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah

sebagai berikut.

A. Dengan perkalian faktor

(x – x1)(x – x2) = 0

Contoh :

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1= 2 dan x2= -3 adalah

(x – x1)(x – x2) = (x-2)(x-(-3))

= (x-2)(x+3)

= X2 + x -6


2012 11



B. Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

contoh :

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1= 2 dan x2= -3 adalah

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = x2 – (2 -3)x + (2)(-3)

= x2 – (2 -3)x + (2)(-3)

= x2 +x -6

Contoh :

Fungsi kuadrat dari grafik

Jawab :

Fungsi diatas memotong sumbu x di titik (-4,0) dan (2,0) dengan x = -4 dan x=2

adalah akar-akar persamaan kuadrat. Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

:

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = x2 – (-4 + 2)x + (-4)(2)

= x2 – (-2)x + (-8)

= x2 +2x -8


2012 12



Soal Latihan

1. Buat grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 8x + 16

2. Tanpa harus menggambar, tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat:

f(x)= x2 + 2x + 5 terhadap sumbu x.

3. Tentukan persamaan fungsi gambar berikut

4. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Tentukan nilai

k positif fungsi tersebut.

5. Diketahui persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3.

6. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah dan .

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya

dan

.

7. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x2

2

= 4. Tentukan nilai q persamaan tersebut.

Daftar Pustaka

1. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi,

Indonesia

2. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur.

Erlangga. Jakarta

3. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.



2012 1



MODUL PERKULIAHAN

LINGKARAN - Persamaan fungsi

- Menentukan pusat lingkaran, jari-jari

lingkaran

- Menentukan kedudukan titik terhadap

lingkaran

- Menentukan persamaan elips, titik focus.



10 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Lingkaran tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap suatu titik

tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-

jari dan titik tetap itu disebut pusat

lingkaran.


masalah yang berkaitan dengan

persamaan lingkaran dan meng

gambarkannya dengan lengkap.


2012 2



Dan mampu menentukan persamaan

elips dan menggambarkannya dengan

lengkap .

A. Persamaan Lingkaran

Definsi :

Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap.

Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran.

Persamaan lingkaran bila pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:

a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25

b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼

c. r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21

d. r = √3 adalah x2 + y2 = 3

Contoh 1 :

Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari 12

Jawab :

r2=x2+y2

<=> x2+y2 = 122

<=> x2+y2 = 144

Contoh 2 :

Tentukan persamaan lingkaran melalui titik ( 7,-24) dengan pusat O(0,0)

Jawab :

Jari-jari lingkaran r = √72 + (−24)2

r = √625 = 25

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan melalui titik(7,-24) adalah

x2+y2 = 144

1. Persamaan lingkaran mellaui titik A(x,y)

Jika A(a,b) adalah pusat lingkaran dan B(x,y) titik yang terletak pada lingkaran,


2012 3



maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak A ke B.

r2 = (AB)2

=(xb-xa)2 + (yb-ya)2

=(x –a )2 + (y-b)2

Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r adalah :

(x –a )2 + (y-b)2 = r2

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :

Jawab :

Pusat (–2, 3), r = 5

Persamaan lingkaran: (x – (–2))2 + (y – 3)2 = 52

(x + 2)2 + (y – 3)2 = 25

x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25

x2 + y2 + 4x – 6y + 13 = 25

x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,2) dan melalui titik(-4,1)

Jawab :

Jari-jari lingkaran r2=(-4–5)2 + (1-2)2

r = √(−9)2 + (−1)2

= √82

Persamaan lingkaran (x-5)2 + (y-2)2 =( √82 )2

x2-10x +25+y2-4y+4 =( √82 )2

x2+y2-10x-4y +29 = 82


2012 4



x2+y2-10x-4y -53 = 0

B. Pusat dan Jari-jari Lingkaran

Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh :

Bentuk umum persamaan :

x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0, dimana pusat lingkaran (-A,-B)

Jari – jari lingkaran :

r = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶2 atau r = √𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶2

Contoh : 1

Tentukan pusat dan panjang jari lingkaran persamaan lingkaran

x2+y2 -2x-6y-15 =0

Jawab :

x2+y2 -2x-6y-15 =0 <=> x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0,

maka diperoleh

2A = –2 2B = –6 C = –15

A = –1 B = –3

r = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝑪 = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐 − (−𝟏𝟓)

r = √𝟏 + 𝟗 + 𝟏𝟓 = √𝟐𝟓 = 5

Sehingga pusat lingkaran (1,3) dan jari-jari lingkaran =5

Contoh : 2

Tentukan pusat dan panjang jari-jari lingkaran

3x2 + 3y2 + 30x + 72 = 0

Jawab :

3x2 + 3y2 + 30x + 72 =0 <=> x2 + y2 – 2Ax – 2By + C = 0,

Maka diperoleh:

2A = 10, 2B = 0 , C = 24 <=> A = 5 ,B = 0, C=24


2012 5



r = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝑪 = √(𝟓)𝟐 + (𝟎)𝟐 − (𝟐𝟒) =√𝟏 = 1

Sehingga pusat lingkaran (-5,0) dan jari-jari lingkaran =1

C. Kedudukan titik terhadap lingkaran

1. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2 dapat terjadi dalam tiga

keadaan :

1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x12 + y1

2 < r2.

2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x12 + y1

2 = r2..

3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x12 + y1

2 > r2.

Contoh :

Tentukan posisi titik(-3,4) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25

Jawab :

(-3,4) => x2 + y2 =( -3)2+42=9+16

=25=25

Jadi titik(-3,4) teletak pada lingkaran

Contoh :

Tentukan posisi titik B(-3,4) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25

Jawab :

B(–3, 4) --> x2 + y2 = (–3)2 + 42 = 9 + 16

= 25 = 25

Jadi B(–3, 4) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25

Contoh :

Tentukan posisi titik C(6,-5) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25

Jawab :

C(5, –6) --> x2 + y2 = 52 + (–6)2 = 25 + 36

= 61 > 25

Jadi C(5, –6) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25.

2. Posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dapat terjadi

dalam tiga keadaan :

1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x – a)2 + (y – b)2< r2

2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x – a)2 + (y – b)2 = r2

3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x – a)2 + (y – b)2 > r2


2012 6



Contoh :

Diketahui persamaan lingkaran x2 + y

2 – 6x – 4y – 3 = 0 dan 3 titik, P (7, 5); Q

(–1, 2); dan R (0, 4). Tentukan posisi titik tersebut terhadap lingkaran dan

gambarkan posisi titik tersebut.

Jawab :

Lingkaran :

Lingkaran x2 + y

2 – 6x – 4y – 3 = 0 ; A = –6, B = –4 dan C = –3

Pusat lingkaran (-1/2 A,-1/2B)=(-1/2( -6),-1/2(-4))=(3,2)

Jari – jari lingkaran R = √1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 + 𝐶 =

= √1

4(−6)2 +

1

4(−4)2 − (−3) =

=√9 + 4 + 3 = √16 = 4

Titik-titik.

Substitusi P (7, 5) pada lingkaran, maka didapat :

72 + 5

2 – 6.7 – 4.5 – 3 = 49 + 25 – 42 – 20 – 3 = 9 > 0

Substitusi Q (–1, 2) pada lingkaran, maka didapat :

(-1)2 + 2

2 – 6.(–1) – 4.2 – 3 = 1 + 4 + 6 – 8 – 3 = 0

Substitusi R (0, 4) pada lingkaran, maka didapat :

02 + 4

2 + 6.0 – 4.4. – 3 = 16 – 16 – 3 = –3 < 0

Gambar.


2012 7



D. Persamaan ellips

Definisi :

Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan

jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap.

( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.

Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D

adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :

1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu

mayor elips adalah AB.

2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor.

Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD.

Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.

Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :

- Pusat elips O(0,0) ;

- Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;

- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ;

- Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu

mayor = 2a

X O A ( a , 0 )

F1 ( - c , 0 )

F1 ( c , 0 )

Y

P ( x , y )

D ( 0 , - b )

C ( 0 , b )

B ( a , 0 )


2012 8



- Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu

minor = 2b

- Eksentrisitas : a

ce

- Direktriks : e

ax atau

c

ax

2

Panjang lactus rectum a

b22

Persamaan Elips

A. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik

fokusnya.

1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

bab

y

a

xataubayaxb ,1

2

2

2

2222222

Dengan :

- Pusat (0,0)

- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah

baa

y

b

xataubaybxa ,1

2

2

2

2222222

Dengan :

- Pusat (0,0)

- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)

Catatan : 22 bac

Contoh 1


2012 9



Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0)

dengan sumbu mayor 10 satuan.

Jawab :

Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )

Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5

39162522 cab

Persamaan elipsnya :

1925

135

122

2

2

2

2

2

2

2

2

yxyx

b

y

a

x

Jadi persamaan elipnya adalah 1925

22

yx

Contoh 2

Diketahui persamaan elips 1916

22

yx

, tentukan koordinat titik puncak,

koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas,

persamaan direktriks dan panjang lactus rectum !

Jawab :

Dari persamaan elips 1916

22

yx

, diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9,

maka b = 3.

c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c = 7 .

Dari data diatas diperoleh :

Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)

Titik focus ( -c,0) = (- ,0 ) dan ( c,0)=( 7 ,0 )

Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8

Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6

7


2012 10



Eksentrisitas: = 4

7

Persamaan direktriks : 7

7

16

7

16

4

7

4

e

ax

Panjang lactus rectum = 2

14

4

18

4

9.22 2

a

b

B. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

1. Elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada /

sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan :

Pusat (α,β)

Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β)

Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)

Panjang sumbu mayor=2a

Panjang sumbu minor=2b

Persamaan direktriks 2a

xc

2. Elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak (α,β)

Dengan :

Pusat (α,β)

Titik fokus di F1 (α,β-c) & F2(α,β+c)

Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)

a

ce

2 2

2 21

x y

b a

2 2

2 21

x y

a b


2012 11



Panjang sumbu mayor=2a

Panjang sumbu minor=2b

Persamaan direktriks 2a

yc

Contoh 1

Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu

minor dari persamaan elips 2 24 9 16 18 11 0x y x y

Jawab :

Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku

2 2

2 21

x y

a b

2 24 9 16 18 11 0x y x y

2 24 16 9 18 11x x y y

2 24 4 9 2 11x x y y

2 22 24 2 2 9 1 1 11x y

2 2

4 2 4 9 1 1 11x y

2 2

4 2 16 9 1 9 11x y

2 2

4 2 9 1 11 16 9x y

2 2

4 2 9 1 36x y

2 22 1

19 4

x y


2012 12



Dari persamaan diatas diperoleh : α=2, β=1, a2=9 maka a=3, b2=4 maka

a=2, 2 2 2 23 2 9 4 5c a b

Pusat ( α,β )= ( 2,1 )

Titik fokus di F1 ( α-c, β )= ( 2 - 5 ,1 ) & F2 ( α+c, β )=( 2+ 5 ,1 )

Titik puncak ( α-a, β )=( 2-3,1 ) =( -1,1 ) & ( α+a, β )= ( 2+3,1 )=( 5,1 )

Panjang sumbu mayor=2a=2.3=6

Panjang sumbu minor=2b=2.2=4

Soal :

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat(2,4) dan jari-jari=3

2. Tentukan pusat dan panjang jari-jari persamaan lingkaran

x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0

3. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y = 0, jika pusat lingkaran (2, a), maka

tentukan nilai a persamaan tersebut.

4. Tentukan posisi titik a(8,-2) terhadap lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 60 = 0

5. Tentuka nilai p persamaan lingkaran (x + 4)2 + (y – p)2 = 13 , jika diketahui titik A(–2,

–1) berada di dalam lingkaran.

6. Diketahui persamaan ellips 4x2 + 9y2 +16x - 18y - 11 = 0. Tentukan

a. Pusat ellips

b. Panjang sumbu mayor

c. Panjang sumbu minor.

Daftar pustaka :

1. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi, Indonesia

2. Idel, A dan Hariyono, R. Pintar Matematika SMU. Gitamedia Press, Surabaya


Erlangga. Jakarta




2012 13



Daftar Pustaka


Indonesia


Erlangga. Jakarta




2012 1



MODUL PERKULIAHAN

PARABOLA dan

HYPERBOLA 1. Persamaan hiperbola

2. Membedakan bentuk parabola dan

hiperbola

3. Menggambarkan persamaan hiperbola



11 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks.

Mahasiswa mampu memahami masalah yang berkaitan dengan persamaan hiperbola dan asimtot.


2012 2




2012 3



PARABOLA dan HYPERBOLA

A. PARABOLA.

Definsi

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik

tertentu dan garis tertentu. Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu

disebut direktriks.

Persamaan Parabola

A. Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F(p,0)

Dari gambar di atas, O(0,0) merupakan puncak parabola, garis g adalah direktriks

parabola dengan persamaan direktriks x = -p, F(p,0) merupakan fokus parabola,

Sumbu x merupakan sumbu simetri parabola dengan persamaan parabola y = 0

dan CC1 adalah panjang lactus rectum dari parabola.

Misalkan P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi

parabola maka berlaku :

Jarak PF = jarak PQ

2 2 2( ) ( 0) ( )x p y x p

P ( x,y )

Sumbu Simetri : y = 0

Direktriks : x = -p

X

Y

Q ( -p,y )

C1

C

O . F ( p,0 )


2012 4



2 2 2( ) ( )x p y x p

2 2 2 2 22 2x p x p y x p x p

2 2 2 2 22 2 0x x p p p x p x y

24 0p x y

2 4y p x

Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan fokus

F( p,0)adalah

2 4y p x

Catatan :

1. Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan

2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.

3. Dengan : - Puncak (0,0)

- Fokus F ( p,0 )

- Persamaan direktriks : x = -p

- Persamaan sumbu simetri : y = 0

B. Persamaan Parabola yang berpuncak di O(0,0) dan fokus F (0,p)

. F ( 0,p ) C1 C

X

Y

Sumbu Simetri : x

= 0

Direktriks : y =

- p .

Q ( x,-

p)

. P

( x,y )


2012 5



Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola, berdasarkan definisi

parabola berlaku :

Jarak PF = jarak PQ

2 2 2( 0) ( ) ( )x y p y p

2 2 2( ) ( )x y p y p

2 2 2 2 2 2 2 0x y y p p py py

24 0p y x

2 4x p y

Dengan demikian persamaan parabola yang berpuncak di O(0,0) dengan

fokus F(0,p)adalah

2 4x p y

Catatan :

1. Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.

2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.

3. Dengan : - Puncak (0,0)

- Fokus F ( 0, p )

- Persamaan direktriks : y = - p

- Persamaan sumbu simetri : x = 0

P ( x , y )

O

Sumbu Simetri :

y = b

Direktriks : x = -

X

Y

Q ( -

p+a ,y+b )

C

1

C

A

(a,b)

. F

( p+a ,b

)


2012 6



C. Persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b)

Persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) adalah :

I. 2( ) 4y b p x a

Catatan :

1. Jika p > 0 maka parabola terbuka kekanan

2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kekiri.

3. Dengan : - Puncak (a,b)

- Fokus F ( p+a , b )

- Persamaan direktriks : x = - p + a

- Persamaan sumbu simetri : y = b

II. 2( ) 4x a p y b

Catatan :

1. Jika p > 0 maka parabola terbuka keatas.

2. Jika p < 0 maka parabola terbuka kebawah.

3. Dengan : - Puncak (a,b)

- Fokus F ( a , p + b )

- Persamaan direktriks : y = - p + b

- Persamaan sumbu simetri : x = a

Contoh 1.

Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan

panjang lactus rectum dari persamaan parabola 2 8y x !

Jawab :


2012 7



Diketahui pers. Parabola 2 8y x , dimana persamaan umum parabola adalah

2 4y p x . Sehingga diperoleh 4 8p x x , maka p = - 2 < 0. Jadi

parabola terbuka ke kiri. Dari hasil yang didapat , diperoleh :

Fokus parabola di F ( p , 0 ) = ( -2 , 0 )

Persamaan direktriks : x = - p = - (-2 ) = 2

Persamaan sumbu simetri : y = 0

Dari fokus F ( - 2 , 0 ) , x = - 2 , diperoleh 2 8.( 2) 16y , sehingga

diperoleh 4y . Jadi koordinat titik-titik ujung lactus rectumnya adalah

( 2 , 4 ) dan ( -2 , - 4 ).Dengan demikian panjang lactus rectumnya adalah 2 . 4

= 8.

Contoh 2

Tentukan persamaanparabola jika titik puncaknya ( 2 , 3 ) dan titik fokusnya ( 6 , 3 ) !

Jawab :

Diketahui titik puncak ( 2 , 3, ) = ( a , b ), maka diperoleh a = 2, b = 3, Titik fokus

(6,3)

( , )

F

F p a b

Jadi persamaan parabolanya adalah

2

2

2

( ) 4

( 3) 4.4 2

( 3) 16 2

y b p x a

y x

y x

Contoh 3

Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, sumbu simetri danpersamaan direktriks dari

persamaan parabola 2 4 4 8 0y x y !

Jawab :

2

2

2 2

2

2

4 4 8 0

4 4 8

2 2 4 8

2 4 8 4

2 4 4

y x y

y y x

y x

y x

y x

p + a = 6 ,

p+ 2 =>

6 ,

p = 4


2012 8



2

2

2 4( 1)

4 ( )

y x

y b p x a

a = 1 , b = - 2, dengan demikian diperoleh :

titik puncak ( a, b ) = ( 1, -2 )

Titik fokus F ( p + a , b ) = ( 2, -2 )

Persamaan direktriks : x = - p = - 1

Persamaan sumbu simetri : y = b = -2

B. HYPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu

adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.

Unsur-Unsur Hiperbola.

4 p = 4, p = 1


2012 9



Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F1 & F2 adalah focus hiperbola, titik

puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.

1. Persamaan Hiperbola

Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )

1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :

2 22 2 2 2 2 2

2 21

x yb x a y a b atau

a b

Dengan :

- Pusat ( 0,0 )

- Titik fokus F1( -c,0 ) & F2 ( c,0 )

- Titik puncak ( -a,0 ) & ( a,0 )

- Panjang sumbu mayor = 2a

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan asimptot : b

y xa

- Persamaan direktriks : 2a

xc

- Eksentrisitas: c

ea

O

xa

by x

a

by

Y

( a,0 )

( 0, -b )

( 0,b

)

T (x,y)

.

F2 ( -c,0)

.

F1 ( c,0)

X

(- a,0 )


2012 10



- Panjang lactus rectum 22b

a

- 2 2 2c a b

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :

2 22 2 2 2 2 2

2 21

y xb y a x a b atau

a b

Dengan :

- Pusat ( 0,0 )

- Titik fokus F1( 0,-c ) & F2 ( 0,c )

- Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a )



- Persamaan asimptot : a

y xb


yc

Contoh 1 :

Diketahui persamaan hiperbola 2 2

136 25

x y , tentukan :

a. Koordinat titik puncak

b. Koordinat titik fokus

c. Persamaan asimptot

d. Persamaan direktriks

e. Eksentrisitas

f. Panjang lactus rectum

Jawab :

Dari persamaan hiperbola

2 2

116 9

x y , diperoleh a2=16, maka a=4 dan a2=9, maka

a=3

2 2 2 24 3 16 9 25 5c a b

a. koordinat titik puncak : ( - a,0 )=( - 4,0) & ( a,0 )=(4,0)


2012 11



b. koordinat titik fokus : ( - c, 0 )=( -5,0 ) & ( c,0 )=( 5,0 )

c. persamaan asimptot : 3

4

by x x

a

d. persamaan direktriks : 2 24 16 1

35 5 5

ax

c

e. eksentrisitas : 5

4

ce

a

f. panjang lactus rectum

2 22 2.3 9 14

4 2 2

b

a

Contoh 2 :

Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya (0,5) &

(0,-5).

Jawab :

Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5) diperoleh c=5.

2 2 2 25 3 25 9 16 4b c a

Jadi persamaan hiperbolanya adalah 2 2 2 2 2 2

2 2 2 21 1 1

3 4 9 16

y x y x y x

a b

Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β )

2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan

hiperbolanya adalah :

2 2

2 21

x y

a b

Dengan :

- Pusat ( α,β )

- Titik fokus F1( α - c, β ) & F2 ( α + c, β )

- Titik puncak ( α - a, β ) & ( α + a, β )



- Persamaan asimptot : b

y xa


2012 12




xc

3. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan

hiperbolanya adalah :

2 2

2 21

y x

a b

Dengan :

- Pusat ( α,β )

- Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α, β + c )

- Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β + a )



- Persamaan asimptot : a

y xb


yc

Contoh 3 :

Diketahui persamaan hiperbola 2 24 3 24 18 27 0x y x y . Tentukan:

a. koordinat titik pusat

b. koordinat titik puncak

c. koordinat titik fokus

d. persamaan asimptot

e. persamaan direktriks

Jawab :

Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku

2 2

2 21

x y

a b

2 24 3 24 18 27 0x y x y

2 24 24 3 18 27x x y y

2 24 6 3 6 27x x y y

2 22 24 3 3 3 3 3 27x y


2012 13



2 24 3 9 3 3 9 27x y

2 2

4 3 36 3 3 27 27x y

2 2

4 3 3 3 27 27 36x y

2 2

4 3 3 3 36x y

2 2

4 3 3 3 36x y

2 2

3 31

9 12

x y

Dari persamaan diatas, diperoleh 3 3dan , a2=9, maka a=3 dan b2=12, maka

b= 2 3 , 2 2 9 12 21c a b

a. Koordinat titik pusat ( α,β )=(-3,3)

b. Koordinat titik puncak ( α - a, β )=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-3 )=(0,-3)

c. Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3- 21 ,3 ) & F2 ( α + c, β )=( -3+ 21 , 3 )

d. Persamaan asimptot : 2 3

3 33

by x y x

a

e. Persamaan direktriks :

2 23 9 33 3 3 21

721 21

ax x x x

c

Soal :

1. Diketahui parabola y2-4y-6x+10 =0, tentukan

a) titik puncak

b) titik fokus

c) sumbu simetri

d) persamaan direktriks

2. Diketahui persamaan hiperbola 9x2 – 4y2 = 36 tentukan :

a) Koordinat titik puncak

b) Koordinat titik fokus

c) Persamaan asimptot

d) Persamaan direktriks


2012 14



e) Eksentrisitas

f) Panjang lactus rectum

Daftar Pustaka


Indonesia

2. Idel, A dan Hariyono, R. Pintar Matematika SMU. Gitamedia Press, Surabaya


Erlangga. Jakarta




2012 1



MODUL PERKULIAHAN

TRIGONOMETRI

- Definisi perbandingan trigonometri

- Rumus-rumus trigonometri

- Grafik fungsi trigonometri

- Grafik fungsi trigonometri



12 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Lingkaran tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap suatu titik

tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-

Mahasiswa mampu mendiskripsikan dan mengaplikasikan perbandingan trigonometri, memahami penggunaan


2012 2



jari dan titik tetap itu disebut pusat

lingkaran.

rumus-rumus trigonometri dan membuat grafik fungsi trigonometri

TRIGONOMETRI

Konsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan perbandingan trigonometri suatu

sudut pada segitiga sikusiku.

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar di atas adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di

hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di

hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap

sudut sebagai berikut:

1. c

a

hipotenusa panjang

Asudut depan di siku-siku sisi panjang sin

A

B

C

c a

b

Gb. 12.1 Perbandingan Trigonometri


2012 3



2. c

b

hipotenusa panjang

Asudut (berimpit) dekat di siku-siku sisi panjang osc

3. b

a

Asudut dekat di siku-siku sisi panjang

Asudut depan di siku-siku sisi panjang tan

4. a

c

Asudut depan di siku-siku sisi panjang

hipotenusa panjang csc

5. b

c

Asudut dekat di siku-siku sisi panjang

hipotenusa panjang sec

6. a

c

Asudut depan di siku-siku sisi panjang

Asudut dekat di siku-siku sisi panjang cot

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

cos

sin tan dan

sin

cos cot

cos

1 sec dan

sin

1 csc

Contoh:

Pada gambar di samping segitiga

sikusiku ABC dengan panjang a 24 dan

c 25.

Tentukan keenam perbandingan

trigonometri untuk .

Penyelesaian:

Nilai b dihitung dengan teorema

Pythagoras

22 2425b

576625

749

25

24 sin

c

a

24

25 csc

a

c

25

7 osc

c

b

7

25 sec

b

c

A

B

C

c a

b

Gb. 12.2. Perbandingan trigonometri


2012 4



7

24 tan

b

a

24

7 cot

a

c

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai

tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90.

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 60.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku

seperti gambar berikut ini.

Dari gambar 11.3a dapat ditentukan

22

1

2

145 sin 2

1

245csc

22

1

2

145 cos 2

1

245sec

11

145 tan 1

1

145 cot

Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan

2

103 sin 3

2

1

2

306 sin

32

1

2

303 cos

2

106 cos

33

1

3

130 tan 3

1

360 tan

21

230csc 3

3

2

3

260csc

Gb. 12.3b. sudut istimewa

3

60

30

1 2

Gb. 12.3.a. sudut istimewa

2

45

1

1


2012 5



33

2

3

230sec 2

1

260sec

31

330 cot 3

3

1

3

160 cot

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 30 45 60 90

sin 0 2

1 2

2

1 3

2

1 1

cos 1 32

1 2

2

1

2

1 0

tan 0 33

1 1 3

tak

terdefinisi

cot tak

terdefinisi 3 1 3

3

1 0

contoh:

1. 2

212

2

1

2

145 cos30 sin

2. 33

12

2

132

2

160 cot 45cos60 tan 45sin

63

26

6

46

6

16

2

1

C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran

P (Gb. 11.4) adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang

dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai :

0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa

y

x X

Y P(x,y)

r

1

Gb. 12.4

O


2012 6



ry 22xOP dan r 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam

absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

1. r

y

OP panjang

P ordinatα sin 4.

y

r

P ordinat

OP panjangαcsc

2. r

x

OP panjang

P absisα cos 5.

x

r

P absis

OP panjangα sec

3. x

y

P absis

P ordinatα tan 6.

y

x

P ordinat

P absisα cot

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III

atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

Gb. 12.5 titik di berbagai kuadran

y

x X

Y P(x,y)

r

1

O

y

x X

Y P(x,y)

r

2

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

3

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

4

O


2012 7



tan + - + -

csc + + - -

sec + - - +

cot + - + -

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360 ),

dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku

(komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut

dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis y x, sehingga diperoleh:

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a. cos90 sin1

1

r

x

r

y

b. sin90 cos1

1

r

y

r

x

c. cot90 tan1

1

y

x

x

y

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90

- ) dapat dituliskan sebagai berikut:

a. cos90 sin d. sec90csc

b. sin90 cos e. ec cos90sec

c. cot90 tan f. tan90 cot

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. 12.6 sudut yang berelasi

O


2012 8



2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a. sin180 sin1

1

r

y

r

y

b.

c.

tan180 tan1

1

x

y

x

y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

Dari gambar 12.8 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y x,

sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 +

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.

sin180 sin1

1

r

y

r

y

b.

cos180 cos1

1

r

x

r

x

cos180 cos1

1

r

x

r

x

a. sin180 sin d. csc180csc

b. cos180 cos e. sec 180sec

c. tan180 tan f. cot180 cot

y

x X

Y

P(x,y)

r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gb. 12.7 sudut yang berelasi

y

x X

Y

P(x,y)

r

(180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gb. 12.8. sudut yang berelasi


2012 9



c.

tan180 tan

1

1

x

y

x

y

x

y


4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan

dari P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a.

sin sin1

1

r

y

r

y

b. cos cos1

1

r

x

r

x

c.

tan tan1

1

x

y

x

y


a. sin180 sin d. csc 180csc

b. cos180 cos e. sec 180sec

c. tan180 tan f. cot180 cot

a. sin sin d. csc csc

b. cos cos e. sec sec

c. tan tan f. cot cot

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O -

Gb. 12.9. sudut yang berelasi


2012 10



Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya sin

(360 ) sin .

E. Identitas Trigonometri

Dari gambar di samping diperoleh r

xcos ,

r

ysin dan

22 yxr . Sehingga

2

2

2

222 cossin

r

x

r

y

12

2

2

22

r

r

r

yx

F. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu

sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.

Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi

persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.

1. Menyelesaikan persamaan sin x sin

Dengan mengingat rumus

sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh:

2. Menyelesaikan persamaan cos x cos


cos cos dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh

Jika sin x sin maka

x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B

Jika cos x cos maka

x + k. 360 atau x + k. 360, k B

y

x X

Y P(x, y)

r

O

Gb. 12.10 rumus identitas

sin2 +cos2 1

Jadi


2012 11



3. Menyelesaikan persamaan tan x tan


tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka diperoleh:

contoh:

Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360.

a) 2

1 sin x c) 3 tan x

b) 32

1 cos x

Penyelesaian:

a) 2

1 sin x sin x sin 30

x + k. 360 untuk k = 0 x 30

x (180 ) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150

b) 32

1 cos x cos x cos 30

x + k. 360 untuk k = 0 x 30

x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330

c) 3 tan x tan x tan 120

x + k. 180 untuk k = 0 x 120

untuk k = 1 x 120 + 180 300

Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya

sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

Jika tan x tan maka

x + k. 180 , k B

r r

O A

B


2012 12



360 = r

r2 rad

= 2 rad

180 = rad

pendekatan 1 rad = 57,3.

Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan

trigonometri dapat pula menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan

sin x sin A maka penyelesaiannya adalah:

x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B

di mana x dan A masing-masing satuannya radian.

G. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )

Pada gambar di samping diketahui garis

CD dan AF keduanya adalah garis tinggi

dari segitiga ABC. Akan dicari rumus

cos ( + ).

AC

AD cos

cos ACAD

Pada segitiga sikusiku CGF

CF

GF sin sin CFGF …………..(1)

Pada segitiga sikusiku AFC,

AC

CF sin sin ACCF …………..(2)

AC

AFβ cos cos ACAF …………..(3)

Pada segitiga sikusiku AEF,

AF

AE cos cos AFAE …………..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

A D E B

C

G F

Gb. 12.11


2012 13



GF AC sin sin

Karena DE GF maka DE AC sin sin

Dari (3) dan (4) diperoleh

AE AC cos cos

Sehingga AD AE DE

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

Jadi

Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke rumus cos

( + ).

cos ( ) cos ( + ())

cos cos () sin sin ()

cos cos sin (sin )

cos cos + sin sin

Jadi

2. Rumus sin ( + ) dan sin ( )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus sebelumnya,

yaitu: sin (90 ) cos dan

cos (90 ) sin

sin ( + ) cos (90 ( + ))

cos ((90 ) )

cos (90 ) cos + sin (90 ) sin

sin cos + cos sin

Jadi

Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah

dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin ( ) sin ( + ( ))

sin cos () + cos sin ()

sin cos + cos (sin )

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

sin ( + ) sin cos + cos sin


2012 14



sin cos cos sin

Jadi

3. Rumus tan ( + ) dan tan ( )

Dengan mengingat

cos

sin tan , maka

sin sin cos cos

sin cos cos sin

)( cos

)( sin)( tan

cos

sin

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

cos cos

sin sin cos cos

cos cos

sin cos cos sin

)( tan

tan tan1

tan tan

Jadi

Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ).

tan ( ) tan ( + ( ))

)(- tan tan1

)(- tan tan

) tan( tan1

)( tan tan

tan tan1

tan tan

Jadi

H. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus

trigonometri untuk sudut rangkap.

1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos

Jadi

sin ( ) sin cos cos sin

tan tan1

tan tan)( tan

sin 2 2 sin cos

tan tan1

tan tan)( tan


2012 15



2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2

Jadi

Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan

mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.

cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2

cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2

2cos2 1 1 2 sin2

Sehingga

3.

2tan1

tan 2

tan tan1

tan tan)( tan 2 tan

Jadi

I. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan

1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

Jadi



cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

Jadi

2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

Jadi

cos 2 cos2 sin2

1) cos 2 cos2 sin2

2) cos 2 2cos2 1

3) cos 2 1 2 sin2

2tan1

tan 2 2 tan

+

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

+



2012 16






Jadi

J. Soal Latihan

1. Carilah nilai dari

a. sin 120 b. tan 150 c. cot 330

Nilai dari sin 45 cos 135 + tan 210 sec 60 = …..

2. Jika cos = 5

4dan 0 90 maka nilai tan adalah ……

3. Jika dan sudut-sudut lancip dengan sin = 5

3 dan sin =

13

5, hitunglah sin ( + )

Daftar Pustaka


Indonesia


Erlangga. Jakarta



sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin


2012 1



MODUL PERKULIAHAN

FUNGSI EKSPONEN DAN

LOGARITMA o Operasi bilangan berpangkat

o Memahami fungsi eksponen

o Grafik fungsi eksponen

o Mengingat kembali sifat-sifat logaritma

o Memahami fungsi logaritma

o Grafik fungsi logaritma



13 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Fungsi atau pemetaan f dari himpunan A

ke himpunan B adalah aturan yang

mengawankan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B. Fungsi f dituliskan

Mahasiswa mampu memahami dan dapat menggunakan rumus-rumus eksponen dan logaritma Dapat menggambarkan fungsi eksponen dan fungsi logaritma


2012 2



dengan f : AB dibaca : fungsi f

memetakan dari A ke B.

.

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. Bilangan berpangkat

Ketentuan

aP = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor

(a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen)

Sifat-sifat

1. ap . aq = ap + q

2. a0 = 1

3. ap . aq = ap - q

4. a - p = 1/ap

5. (ap)q = apq

6. am/n = √𝑎𝑚𝑛

B. Fungsi eksponen

Bentuk umum fungsi eksponential dituliskan sebagai

f(x) = bx

dimana : b adalah bilangan dasar ( base)

: x pangkat ( eksponen)

Contoh: f(x) = 2x

Bentuk Fungsi

3. Bentuk dua suku af(x) = ag(x) f(x) = g(x)

Cara penyelesain :

Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disaman

Contoh :

√ (82x-3) = (32x+1)1/4

(23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4

2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4

(6x-9)/2 = (5x-5)/4

24x-36 = 10x+10


2012 3



14x = 46

x = 46/14 = 23/7

4. Bentuk tiga suku af(x) = ag(x) , f(x) = g(x)

Cara penyelesaian :

Gunakan permisalan

Contoh

22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0

22.22x - 22.2x + 1 = 0

Misalkan : 2x = p

22x = (2x)² = p²

4p² -4p + 1 = 0

(2p-1)² = 0

2p - 1 = 0

p =1/2

2x = 2-1

x = -1

5. Bentuk af(x) = bf(x) , f(x) = 0

Cara penyelesaian : f(x) = 0

Contoh :

3x²-x-2 = 7x²-x-2

x² - x -2 = 0

(x-2)(x+1) = 0

x1 = 2 ; x2 = -1

6. Bentuk af(x) = bf(x) f(x) log a = g(x) log b

Cara penyelesaian : dengan logaritma

Contoh :

4x-1 = 3x+1

(x-1)log4 = (x+1)log3

xlog4 - log4 = x log 3 + log 3

x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4

x (log4 - log3) = log 12


2012 4



x log 4/3 = log 12

x log 4/3 = log 12

x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12

C. Grafik fungsi eksponen

Menggambar grafik fungsi eksponen.

1. Buat table yang menghubungkan x dengan y = f(x)= ax, dengan cara memilih

beberapa nilai x.

2. Gambar titik-titik (x,y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang catesius, kemudian

hubungkan titik-titik tersebut hingga didapat grafik fungsi.

Gambar grafik fungsi

a. f(x) = 2 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

b. f(x) = 2 -x

-3 -2 -1 0 1 2 3

8 4 2 1 0,5 0,25 0,125

Grafik fungsi

0.125 0.250.5

1

2

4

88

4

2

10.5

0.25 0.1250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=2x


2012 5



c. f(x) = ½ x

-3 -2 -1 0 1 2 3

8 4 2 1 0,5 0,25 0,125

d. f(x) = ½ -x

-3 -2 -1 0 1 2 3

0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

Grafik Fungsi

Dari grafik diatas terlihat :

1. Grafik fungsi f(x) = ax dan grafik fungsi f(x) = (1

𝑎)𝑥 melalui titik (0,1).

2. Grafik fungsi f(x) = ax dan grafik fungsi f(x) = (1

𝑎)𝑥 selalu berada diatas

sumbu x.

3. Fungsi f(x) = a x merupakan fungsi naik untuk a >1 dan fungsi turun untuk

a < 1

4. Fungsi f(x) = ax tidak pernah memotong sumbu x, tetapi terus

mendekati.Sehingga sumbu x merupakan asymtot mendatar fungsi.

D. Sifat-sifat logaritma

8

4

2

10.5 0.25 0.1250.125 0.25 0.5

1

2

4

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) =1/2 x


2012 6



Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a

sehingga menjadi b.

𝑎log 𝑏=𝑐 𝑎𝑐 = 𝑏 mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ≠ 1)

b = numerus (b > 0)

c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n

SIFAT-SIFAT

1. alog bc = alogb + alogc

2. alog bc = c alog b

3. alog b/c = alog b -alog c -> Hubungan alog b/c = - a log b/c

4. alog b = (clog b)/(clog a) -> Hubungan alog b = 1 / blog a

5. alog b. blog c = a log c

6. a alog b = b

7. alog b = c -> aplog bp = c -> Hubungan : aqlog bp = alog bp/q

= p/q alog b

Keterangan:

1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma

tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya 10log 7 ]

2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n

Bedakan dengan log xn = n log x

Contoh :

1. Tentukan nilai 2log 25 x 3log 8 x5 log 9

2log 25 x 3log 8 x5 log 9 = 2log52 x 3log23 x 5log32

= 2. 2log5 x 33log23 x 2.5log3

= 2.3.2.2log5 x 5log 3 x 3log2


2012 7



= 12 2log 2

= 12.1 = 12

2. Diketahui fungsi logaritma f(x) = 4log (x2 - 8x + 16). Tentukan titik

potong kurva fungsi f(x) dengan sumbu x dan sumbu y .

a. Titik potong grafik dengan sumbu x y =0

4log (x2 - 8x + 16) = 0

4log (x2 - 8x + 16) = 4log 1

x2 - 8x + 16 = 1

x2 - 8x + 15 = 0

(x – 3 ) ( x – 5 ) = 0

Titik potong ( 3,0 ) dan (5,0 )

b. Titik potong dengan sumbu y x = 0

f(x) = 4log (x2 - 8x + 16)

f(x) =4log (02 - 8.0 + 16)

f(x) =4log 16

f(x) = 4log 42

f(x) = 2

titik potong dengan sumbu y ( 0,2)

E. Grafik Fungsi Logaritma

Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah

berikut.

Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x, yaitu

dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.

Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada

bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang

mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.

1. Grafik fungsi logaritma dengan basis a >1

Gambar grafik fungsi y =f(x)= 2log x

Tabel fungsi y =f(x)= 2log x


2012 8



0,01 0,05 0,1 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2

-6,65 -4,33 -

3,33 -2,33 -0,52 0,27 0,77 1,14 1,44 1,68

2. Grafik fungsi logaritma dengan basis 0<a<1

Gambar grafik fungsi y =f(x)= 1/2log x

Tabel fungsi y =f(x)= 1/2log x

0,1 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2 3,7 4,2

3,33 2,33 0,52 -0,27 -0,77 -1,14 -1,44 -1,68 -1,89 -2,08


2012 9



Grafik fungsi f(x)= 2log x dan 1/2log x dalam satu gambar

Tabel kedua fungsi

x 0,01 0,05 0,1 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2

f(x) -6,65 -4,33 -3,33 -2,33 -0,52 0,27 0,77 1,14 1,44 1,68

g(x) 6,65 4,33 3,33 2,33 0,52 -0,27 -0,77 -1,14 -1,44 -1,68


2012 10



Dari grafik di atas dapat di simpulkan:

1. fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini

berarti bahwa fungsi g(x) = 1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan

grafik f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.

2. Kedua grafik melalui titik (1,0)

3. Kedua grafik selalu berada di sebelah kanan sumbu Y

4. Grafik fungsi f(x) = alog x adalah fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x

5. Grafik fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog tidak pernah memotong sumbu Y, tapi

terus mendekati sumbu Y. Sehingga sumbu Y merupakan asymtot tegak dari kedua

grafik.


2012 11



Grafik fungsi eksponen dan logaritma

Grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 2log x dan grafik h(x)=y=x

Dengan memperhatikan grafik diatas, ada beberapa hal yang dapat disimpulkan.

1. Grafik fungsi eksponen f(x)= 2x dan grafik g(x)=2log x simetri terhadap garis y

=x , hal ini berarti grafik fungsi g(x) dapat diperoleh dengan cara

pencerminan fungsi f(x) terhadap garis y=x.

2. Fungsi eksponen f(x)= ax merupakan fungsi invers dari grafik g(x)=alog x

atau sebaliknya.

Soal :

1. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 3x dan g(x) =( 1/3) x dalam satu grafik.

2. Tentukan titik potong kurfa fungsi f(x) = 3log (x2 – 9x + 20) dengan

a) sumbu x

b) sumbu y

3. Gambal fungsi berikut dalam satu grafik

a) f(x) = 4x dan g(x) = ¼log x

b) f(x) = (1/4) x dan g(x) = 1/4log x

Daftar Pustaka

x f(x) g(x)

-5 0,04 -4,64

-4 0,07 -3,84

-3 0,13 -2,94

-2 0,25 -2

-1 0,5 -1

0 1 0

1 2 1

2 4 2

3 8 3

4 16 4

5 32 5


2012 12




Indonesia


Erlangga. Jakarta




2012 1



MODUL PERKULIAHAN

FUNGSI LIMIT o Pengertian limit fungsi

o Rumus-rumus limit fungsi

o Penyelesaian limit fungsi



14 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Limit suatu fungsi merupakan salah satu

konsep mendasar dalam kalkulus dan

analisis, tentang kelakuan suatu fungsi

mendekati titik masukan tertentu.

Mahasiswa mampu memahami limit

fungsi dan dapat menyelesaikan soal-

soal yang berkaitan dengan limit fungsi

dengan menggunakan rumus-rumus

limit .


2012 2



LIMIT FUNGSI

1. Pengertian Limit Fungsi

Diketahui fungsi f : R --> R ditentukan oleh f(x)= (x2-1)/(x-1) . Nilai fungsi untuk x

mendekati 1 dari kiri x dan kanan x diberikan pada tabel berikut.

x -1.00 -0.50 0.00 0.50 0.95 1.00 1.10 1.50 2.00 2.50 3.00

f(x) 0.00 0.50 1.00 1.50 1.95

2.10 2.50 3.00 3.50 4.00

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0.

Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1. Dalam masalah ini

untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang

merupakan limit (nilai batas) dari f(x) tersebut.

Dalam bentuk grafik dapat digambarkan sebagai berikut :

Pada grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi terputus pada saat x = 1.

Jika y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil dan misalkan f(x) dapat kita buat

sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a,maka


2012 3



dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L. Secara intuitif limit dapat

didefinisikan sebagai :

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

2. Limit Kiri dan Limit Kanan

1. Bila untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga untuk setiap x

Df dimana x0 - < x < x0 berlaku |f(x) – L| < , maka dikatakan limit kiri

dari f(x) untuk x mendekati x0 adalah L dan ditulis

.)(lim0

Lxfxx

2. Bila untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x

Df dimana x0 < x < x0 + berlaku |f(x) – L| < , maka dikatakan limit

kanan dari f(x) untuk x mendekati x0 adalah L dan ditulis

3.

.)(lim0

Lxfxx

3. Teorema Limit

1. Jika f(x) = c , maka lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑐

2. Jika lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐹 dan lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺

a. lim𝑥→𝑎

[ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐹 + 𝐺

b. lim𝑥→𝑎

[ 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐹 . 𝐺

c. lim𝑥→𝑎

𝑘. 𝑓(𝑥) = k. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = k.F

d. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)=

𝐹

𝐺

e. nax

n

axxfxf )(lim)(lim

4. Penyelesaian Limit Fungsi

A. Limit Fungsi Aljabar

1. Substitusi Langsung.

Contoh 1 :

lim𝑥→2

√2𝑥 + 5 = √2.2 + 5 = 3


2012 4



Contoh 2

lim𝑥→2

(3𝑥−2)

lim𝑥→2

(𝑥+1)=

4

3

2. Pemfactoran

Jika hasil dari limit lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) bentuk tak tentu

0

0, maka

lakukan pemfactoran terrlebih dahulu terhadap f(x) dan g(x)

.lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)=

(x−a) 𝑓(𝑥)

(x−a) 𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

Contoh

1. lim𝑥→6

𝑥−3

√𝑥+3

Subtitusi nilai x

lim𝑥→6

𝑥−3

√𝑥+3 =

6−3

√6+3 =

3

3 =1

2. lim𝑥→3

𝑥2−9

𝑥−3

Subtitusi nilai x

lim𝑥→3

𝑥2 − 9

𝑥 − 3=

9 − 9

3 − 3 =

0

0

Faktorkan

x2 – 9 => ( x- 3) (x+3 ), sehinggaa

lim𝑥→3

𝑥2−9

𝑥−3 dapat ditulis dalam bentuk

lim𝑥→3

𝑥2−9

𝑥−3 = lim

𝑥→3

(𝑥−3)(𝑥+3)

(𝑥−3)

lim𝑥→3

(𝑥−3)(𝑥+3)

(𝑥−3) = lim

𝑥→3(𝑥 + 3)

= 3+3 =6

3. lim𝑥→−3

𝑥−3

√𝑥+3

Subtitusi nilai x

lim𝑥→−3

𝑥−3

√𝑥−3 =

3−3

√3−3 =

0

0

Factorkan (x+3)

(x+3) =(√𝑥 + 3)(√𝑥 + 3)

lim𝑥→−3

𝑥+3

√𝑥+3 = lim

𝑥→3

(√𝑥+3)(√𝑥+3

√𝑥+3


2012 5



lim𝑥→−3

𝑥+3

√𝑥+3 = lim

𝑥→3√𝑥 + 3

= √6

4. lim𝑥→3

𝑥2−2𝑥

3𝑥2−4

Subtitusi nilai x

lim𝑥→3

𝑥2−2𝑥

3𝑥2−4𝑥 =

0

0

Factorkan

x2 – 2x menjadi x(x-2)

3x2 -4x menjadi x(3x-4)

Sehingga lim𝑥→3

𝑥2−2𝑥

3𝑥2−4𝑥 dapat ditulis menjadi

lim𝑥→3

𝑥2−2𝑥

3𝑥2−4𝑥 = lim

𝑥→3

𝑥(𝑥−2)

𝑥(3𝑥−4)

lim𝑥→3

𝑥(𝑥−2)

𝑥(3𝑥−4) =lim

𝑥→3

(𝑥−2)

(3𝑥−4)

= 3−2

3.3−4 =

1

5

5. lim𝑥→0

3−√9−9𝑥

3𝑥

Untuk limit bentuk lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) =

0

0 untuk x = a, dan fungsi

f(x) dan g(x) sulit difaktorkan, maka lakukan perkalian

factor sekawan.

Subtitusi nilai x

lim𝑥→0

3−√9−9𝑥

3𝑥 =

3−√9−9.0

3.0

=3−3

0 =

0

0

Karena hasil dalam bentuk tak tentu, maka lalukan

perkalian sekawan jaitu dengan mengalikan lim𝑥→0

3−√9−9𝑥

3𝑥

dengan 3+√9−9𝑥

3+√9−9𝑥 sehingga didapat bentuk baru dari

lim𝑥→0

3−√9−9𝑥

3𝑥 yaitu,

lim𝑥→0

3−√9−9𝑥

3𝑥 = lim

𝑥→0

3−√9−9𝑥

3𝑥 .

3+√9−9𝑥

3+√9−9𝑥


2012 6



= lim𝑥→0

9−(9−9𝑥)

3𝑥(3+√9−9𝑥

= lim𝑥→0

9𝑥

3𝑥(3+(√9−9𝑥))

= 3

(3+3) =

1

2

6. lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)

(√2𝑥−1)− √𝑥

Subtitusi langsung nilai x = 1 ke limit fungsi akan

menghasilkan bentuk tak tentu. Lakukan perkalian

sekawan lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥−1)

(√2𝑥−1)− √𝑥 dengan factor sekawannya

(√3𝑥 − 1) + (√𝑥 + 1) dan (√2𝑥 − 1) − √𝑥 sehinggal

lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)

(√2𝑥−1)− √𝑥 dapat ditulis dalam bentuk

lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)

(√2𝑥−1)− √𝑥 =

lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥−1)

(√2𝑥−1)− √𝑥 .

(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)

(√3𝑥−1)+(√𝑥+1) .

(√2𝑥−1)+√𝑥

(√2𝑥−1)+√𝑥

lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)

(√2𝑥−1)− √𝑥 =lim

𝑥→1

(3𝑥−1−𝑥−1)

(2𝑥−1+𝑥).

(√2𝑥−1)−√𝑥

(√3𝑥−1)+(√𝑥−1)

lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥−1)

(√2𝑥−1)− √𝑥 = lim

𝑥→1

(2𝑥−2)

(𝑥−1).

(√2𝑥−1)−√𝑥

(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)

lim𝑥→1

(√3𝑥−1)−(√𝑥+1)

(√2𝑥−1)− √𝑥 = lim

𝑥→1

2(𝑥−1)

(𝑥−1).

(√2𝑥−1)−√𝑥

(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)

= lim𝑥→1

2.(√2𝑥−1)+√𝑥

(√3𝑥−1)+(√𝑥+1)

=2. (√2.1−1)+(1)

(√3.1−1)+√2 = 2.

2

2√2 = √2

7. Diberikan fungsi

f(x) =

1;2

11;

1;12

2

2

xxx

xx

xx

Tentukan :

a) Gambar grafik f

1 0

1

2

-1

y

f(x) 3

-1

-2

x


2012 7



b) Tentukan )(lim1

xfx

, jika ada

Dengan menggunakan definisi limit, dapat ditunjukkan bahwa pada titik a = -1 maka:

Limit kiri :

1)1(2)1(2lim)(lim 22

11

xxxf

xx dan

Limit kanan :

1)1()(lim)(lim 22

11

xxf

xx

karena limit kiri sama dengan limit kanan maka

disimpulkan bahwa )(lim1

xfx

ada (nilai limit -1).

c) Tentukan )(lim1

xfx

, jika ada

Pada titik a = 1 , maka

Limit kiri : 1)1(lim)(lim 22

11

xxf

xx dan

Limit kanan : 3)12(lim)(lim11

xxfxx

karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka

disimpulkan bahwa

)(lim1

xfx

tidak ada.

B. Limit Fungsi Trigonometri


2012 8



Rumus limit fungsi trigonometri:

a. Limit fungsi sinus

1. 1

sinlim

0

x

x

x

2. 1

sinlim

0

x

x

x

3. 1

sinlim

0

ax

ax

x → b

a

bx

ax

x

sinlim

0

4. 1

sinlim

0

ax

ax

x → b

a

bx

ax

x

sinlim

0

b. Limit fungsi tangens

1. 1

tanlim

0

x

x

x

2. 1

tanlim

0

x

x

x

3. 1

tanlim

0

ax

ax

x → b

a

bx

ax

x

tanlim

0

4. 1

tanlim

0

ax

ax

x → b

a

bx

ax

x

tanlim

0

Contoh :

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!

a. x

x

x 2

3sinlim

0 b.

x

x

x 2sin

5sinlim

0

Penyelesaian:

a. x

x

x 2

3sinlim

0 =

x

x

x

x

x 2

3.

3

3sinlim

0

= x

x

x

x

xx 2

3lim.

3

3sinlim

00

= 1 . 2

3 =

2

3

b. x

x

x 2sin

5sinlim

0 =

x

x

x

x

x

x

x 2

5.

2sin

2.

5

5sinlim

0

= x

x

x

x

x

x

xxx 2

5lim.

2sin

2lim.

5

5sinlim

000


2012 9



= 1. 1 . 2

5=

2

5

Soal :

1. Tentukan nilai limit fungsi aljabar berikut ini

a. lim𝑥→2

𝑥2−2𝑥

𝑥2−4

b. lim𝑥→3

3−√36−9𝑥

3𝑥−9

2. Tentukan limit fungsi trigonometri berikut ini

a) x

x

x 2sin

5sinlim

0

b) x

x

x 3

4tanlim

0

3. Diketahui fungsi

𝑓(𝑥) = {

−3𝑥 + 2, 𝑥 ≤ 15, 𝑥 ≥ 1 < 𝑥 ≤ 3

𝑥2 − 1, 𝑥 > 3

Tentukan

a. Grafik fungsi

b. lim𝑥→1

𝑓(𝑥) jika ada

c. lim𝑥→3

𝑓(𝑥) jika ada

Daftar Pustaka


2012 10




Indonesia


Erlangga. Jakarta




2012 1



MODUL PERKULIAHAN

LIMIT TAK HINGGA

o Pengertian limit tak hingga

o Asimtot tegak

o Asimtot datar

o Asimtot miring



15 87005 Tim Dosen

Abstract Kompetensi Limit suatu fungsi merupakan salah satu

konsep mendasar dalam kalkulus dan

analisis, tentang kelakuan suatu fungsi

mendekati titik masukan tertentu.

Mahasiswa mampu memahami dan dapat menggunakan rumus-rumus limit tak hingga dan asimtot tegak, datar dan miring.

.


2012 2



LIMIT TAK HINGGA

A. Limit tak hingga

Perhatikan table nilai fungsi f(x)=1

𝑥2 dan grafik fungsi tersebut dibawah ini,

x f(x)=1

𝑥2 x f(x)=1

𝑥2

-0,1 100 0,00625 25600

-0,05 400 0,0125 6400

-0,025 1600 0,025 1600

-0,0125 6400 0,05 400

-0,00625 25600 0,1 100

Grafik fungsi

Dari Tabel dan grafik fungsi di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin

dekat dengan 0, maka nilai f(x)=1

𝑥2 menjadi semakin besar. Nilai f(x)=1

𝑥2 akan

menjadi besar tak terbatas ( tak hingga) apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri

maupun dari sisi kanan. Saat x terus mendekati 0, secara limit dapat dikatakan

bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

Grafik Fungsi f(x)

Series1 Series2


2012 3



lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = ∞

Definisi :

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = ∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x c , maka f(x)

menjadi besar tak terbatas arah positif.

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = − ∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x c , maka

f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.

Contoh :

Tentukan limit fungsi berikut.

a) f(x)= lim2−

2

𝑥−2

b) f(x)= lim2+

2

𝑥−2

Jawab :

a) f(x)= lim2−

2

𝑥2−4

f(x)= 2

0− = −∞

b) f(x)= lim2+

2

𝑥2−4

f(x)= 2

0+ = ∞

Secara grafik dapat dilihat seperti berikut

Type equation here.

B. Limit di tak hingga

Pada pertama telah dijelaskan limit fungsi untuk x0. Lalu bagaimana nilai jika

nilai x cukup besar dan menuju tak hingga. Untuk memahami permasalahan

tersebut perhatikan bagaimana nilai f(x)= 1

𝑥 apabila nilai x cukup besar.

Perhatikan tabel berikut!

x f(x)

1000 0,00100

5000 0,00020

10000 0,00010

20000 0,00005

30000 0,00003


2012 4



Pada tabel dan grafik di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah

positif) nilai f(x) semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

lim𝑥→∞

1

𝑥 = 0

Untuk x semakin besar tak terbatas (arah negatif).

Pada tabel dan grafik (warna merah) di atas terlihat jelas bahwa semakin besar

nilai x (arah negatif) nilaif(x) semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini

dikatakan:

lim𝑥−−∞

1

𝑥 = -∞

Dari penjelasan tersebut diperoleh pengertian limit menuju tak hingga sabagai

berikut.

a) lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 jika f(x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah

positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka f(x)

mendekati L.

b) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 jika f(x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar

(arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka

f(x) mendekati L.

Contoh :

1)

4 4lim 0

2x x

x f(x)

-1000 -0,001

-5000 -0,0002

-10000 -0,0001

-20000 -0,00005

-30000 -0,00003


2012 5



2) .

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari

pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:

3)


pembilang dan penyebutnya, yaitu sehingga diperoleh:

4)


pembilang dan penyebutnya, yaitu sehingga diperoleh:

5)


pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:

6)

6 1lim (tak tentu)

2 10x

x

x

16 6 0lim 3

10 2 02x

x

x

2

4lim (tak tentu)

2 2x

x

x x

2x

22

44 0lim lim 0

2 2 1 0 02 2 1x x

x x

x x x x

2

2

6lim (bentuk tak tentu)

2 3x

x

x x

2x

2

2

6 6 6lim lim 3

3 2 02 3 2x x

x

x xx

2lim (tak tentu)

1x

x

x x

2 2

2

22 2 2

1lim lim

1 1

1 1 lim lim

1 11 1

1 1

1 0 0

x x

x x

x

x x x xx

x xx xx x x

2lim 3 (tak tentu)x

x x x

22 2

2

3lim 3 lim 3

3x x

x x xx x x x x x

x x x


2012 6



C. Asimtot

Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu

kurva.

Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu :

1) Asymtot mendatar

2) Asymtot tegak

3) Asymtot miring

Misal diberikan kurva y=f(x), maka

1) garis y = b disebut asymtot mendatar dari y=(x) jika :

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 atau lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

2) Garis x = a disebut asymtot tegak dari y=f(x) jika ada salah satu

ketentuan berikut :

1) lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = ∞

2) lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = −∞

3) lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = ∞

4) lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = −∞

3) Asymtot Miring

Jika asymtot suatu grafik fungsi tidak sejajar dengan sumbu x atau

dengan sumbu y, maka asymtot f=grafik tersebut adalah asymtot miring.

Persamaan garis asymtot miring diberikan sebagai fungsi linier f(x)=

ax+b.

2 2

2

2

( 3)lim

3

3lim

3

x

x

x x x

x x x

x

x x x

2

31lim

311 1x

x

x x

1 0 1

2( 1 0 0 1)


2012 7



Persamaan garis f(x) ax+b dikatakan sebagai asymtot miring fungsi, jika

berlaku ketentuan :

1) lim𝑥→∞

[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)]= 0

Atau

2) lim𝑥→∞

[𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)]= 0

Contoh :

1) Tentukan asymtot tegak dan mendatar fungsi f(x) = −𝑥2

𝑥2−1

lim𝑥→−∞

−𝑥2

𝑥2−1 = -1 dan lim

𝑥→∞

−𝑥2

𝑥2−1 = -1

Sehingga y = -1 merupakan asymtot datar fungsi

lim𝑥→−1

−𝑥2

𝑥2−1 = - dan lim

𝑥→+1

−𝑥2

𝑥2−1 =

Sehingga garis x= -1 dan x= 1 merupakan asymtot tegak fungsi

2) Tentukan asymtot miring fungsi ƒ(x) = (2x2 + 3x + 1)/x

Jawab :

Persamaan garis asymtot miring suatu kurva adalah y =ax+b,

sehingga untuk menentukan asymtot miring suatu kurva harus dicari

lebih dahulu nilai a ( gradien garis ) dan nilai b. Nilai a didapat dari

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥 = lim

𝑥→∞

(2𝑥2 + 3𝑥 + 1)/x

𝑥

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥 = lim

𝑥→∞

(2𝑥2 + 3𝑥 + 1)

𝑥2 = 2, a = 2

b dicari dengan lim𝑥→∞

[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥]

lim𝑥→∞

[((2𝑥2 + 3𝑥 + 1) − 2x2] = lim𝑥→∞

[2x2 + 3𝑥 + 1)−2x2

𝑥2 ]

lim𝑥→∞

[2x2 + 3𝑥 + 1−2x2

𝑥2 ] = lim𝑥→∞

3𝑥

𝑥 = 3

Sehingga persamaan asymtot kurva y = 2x+3

Soal :

1) Tentukan limit fungsi berikut

a) lim𝑥−5

𝑥2 − 3𝑥 + 2


2012 8



b) lim𝑥→2

𝑥2−3𝑥+2

𝑥−2

2) Tentukan Limit fungsi berikut

a. lim𝑥∞

𝑥2 − 3𝑥 + 2

b. lim𝑥→∞

𝑥2−3𝑥+2

𝑥−2

3) Tentukan asymtot datar dan tegak fungsi

a. lim𝑥→∞

𝑥2−3𝑥+2

𝑥−2

Daftar Pustaka


Indonesia


Erlangga. Jakarta




MODUL PERKULIAHAN BILANGAN - …fasilkom.mercubuana.ac.id/wp-content/uploads/2017/10/Modul... ·...

Documents

Transcript of MODUL PERKULIAHAN BILANGAN - …fasilkom.mercubuana.ac.id/wp-content/uploads/2017/10/Modul... ·...