ModuL Fungsi-komposisi n Invers02

7/29/2019 ModuL Fungsi-komposisi n Invers02

1/26

6Bab

145

Fungsi Komposisi

dan Fungsi Invers

Sumb

er:L

etsLe

arn

aboutK

ore

a,

2002

Demikian pula halnya dengan domain, kodomain, danrange fungsi telah Anda pelajari juga. Akan tetapi, pada

pembahasan mengenai hal tersebut tidak dipelajari sifat-sifatfungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.Pada bab ini, konsep-konsep fungsi yang telah Anda pelajari

di SMP tersebut akan dikembangkan sampai pada sifat-sifat

fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, fungsi invers, daninvers dari fungsi komposisi. Salah satu manfaat belajar

materi ini ialah untuk menyelesaikan masalah berikut.Jumlah n mobil yang diproduksi suatu pabrik selama 1

hari setelah tjam operasi adalah n t) = 200 10 0 t < 10.

Jika biaya produksi n mobil (dalam dolar) adalah n)= 30.000 + 8.00 n, tentukan biaya se aga ungs arwaktu. Berapakah biaya memproduksi mobil selama 1bulan? Untuk menjawabnya, Anda harus mempelajari bab

ini dengan baik.

A. Fungsi dan Siatnya

B. Aljabar Fungsi

C. Fungsi Komposisi

D. Fungsi Invers

E. Invers dari Fungsi

Komposisi

Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakankonsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahanmasalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers

dalam pemecahan masalah.


2/26

146 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

Tes Kompetensi Awal

Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.

1. Coba jelaskan apa yang dimaksud dengan

relasi dan fungsi. Berikan 2 contoh relasi

yang merupakan fungsi dan yang bukan

fungsi.

2. Jika f(x) = 2x2 + 7x 15, tentukan nilai

fungsifpada

a. x =1

2 b. x

a

1

12

3. Diketahuif(x)=x

x

2

6.

a. Apakah titik (3,14) terletak pada

grafikf?

b. Jikax = 4, berapakahf(x)?

c. Tentukan domain, kodomain, dan

range darif.

Diagram Alur

ntuk mempermudah Anda dalam mempela ari bab ini, pela arilah diagram alur yang disa ikan

sebagai berikut.

f bijektif ff1(x) =x

(gf)1(x) = (f1 g

1)(x)

(f g)1(x) = (g1f

1)(x)

caramenentukannya

membahas

syarat sifat

f

g

f

f

g

(f g)(x) (gf)(x)

(f (g h))(x) = (f g) h)(x)

(fI)(x) = (If)(x) = f(x)

syarat memilikiinvers

Fungsi InversFungsi Komposisi

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers


3/26

147Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

A. Fungsi dan Siatnya

Sebelum membahas beberapa macam fungsi, mari awalibagian ini dengan mengulang pengertian relasi dan fungsi.

1. Pengertian RelasiDari himpunan dan yang tidak kosong dikatakan

bahwa ada suatu relasi dari ke jika ada anggota himpunanA yang berpasangan dengan anggota himpunanB

Amati diagram pada Gambar 6.1. Relasi yang ditunjukkandiagram tersebut dapat dituliskan dalam bentuk himpunanpasangan terurut berikut.a. {(3, 2), (3, 6), (4, 7), (5, 6)}b. {(Hasan, Rudi), (Hasan, Ani), (Tina, Rudi)}

c. {(a, ), (b,y), (c z), (p, ), (r, s)}Daerah asal (domain) dari relasi pada Gambar 6.1 (a)adalah {3, 4, 5}, daerah kawannya (kodomain) adalah {2, 6,

, 8}, dan daerah hasilnya (range) adalah {2, 6, 7}. Dapat-kah Anda menentukan domain, kodomain, dan range dariGambar 6.1 (b) dan (c)?

Misalkan antara x dan yang keduanya bilangan realterdapat hubungan (relasi) , yang dinyatakan sebagai = 2 .Grafik relasi ini berupa garis lurus seperti diperlihatkanpada Gambar 6.2. Domain relasi ini adalahD = ,

kodomainnya adalah { y } dan rangenya adalah =y }. Titik-titik ( ,y) yang memenuhi hubungan ini begitubanyak sehingga jika dirinci satu per satu tidak mungkindilakukan. Dalam matematika, hubungan ini ditulis dengan{( , )| y = 2x; , }.

Relasi {( , )|y = x ; , y R} jika disajikan dalamdiagram Cartesius terdiri atas semua titik yang terletakpa a kurva =x2, seperti diperlihatkan pada Gambar 6.3(a).Adapun relasi {( , )|x +y = 25; y } terdiri atas semuatitik yang terletak padax 2 = 25 seperti diperlihatkan pada

Gambar 6.3(b).Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk

umum relasi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengankalimat Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pela aritersebut memperjelas definisi berikut.

Defnisi .

Relasi dari himpunan A ke himpunanB ialah himpunan bagian

dari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan

bagian dari . Jadi, disebut relasi dari ke jika H

impunan bagian dari {(x, y |x , y }.

Gambar 6.1

Gambar 6.2

(c)

A

b

(b)

A

Hasan

Tina Ani

Ru i

(a)

A B

4

y

=

O


4/26


Domain dari suatu relasi adalah himpunan yangnggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama dari semua

pasangan berurutan yang merupakan anggota relasi tersebut.

Adapun range-nya adalah himpunan yang anggotanya terdiri

tas unsur-unsur kedua dari semua pasangan berurutan yangmerupakan anggota relasi itu.

2. Pengertian Fungsi

Amati kembali Gambar 6.2. Pada relasi {(x )| = 2x;

y }, setiap unsur pada daerah asal (domain) dihubungkanengan satu an hanya satu unsur pa a aera as range .

Misalnya, 2 dihubungkan dengan 4, 1 dengan 2, 0

dengan 0, 1 dengan 2, 2 dengan 4, dan seterusnya.

Sekarang amati Gambar 6.3(a). Pada relasi {(x,y)| =x ;x, R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengan

satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; 2 dihubungandengan 4, 1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan4, dan seterusnya. Relasi {(x y)|y = x;x, R dan relasi{( )|y = x2;x,yR} disebutfungsi.

Berbeda dengan Gambar 6.3 (b), yaitu relasi {( ,y)| 2 +y= 25; ,y . Pada relasi ini, untuk nilai yang sama misalnyax = 3, terdapat dua nilai yang berbeda, yaitu = 4 dany = .

Jadi, relasi {( y)|2

+y = 25;x, R) bukan fungsi.Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertianfungsi? Cobalah nyatakan pengertian fungsi dengan kata-kata

Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebutmemperjelas definisi berikut.

Defnisi .

Fungsi ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalnya

dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawannya.

Di antara grafik pada Gambar 6.4, manakah yang menyatakan suatu

fungsi dari lR, x, y R? Jelaskan jawaban Anda.

Jawa

a. ari Gambar 6.4(a) tampak bahwa untuk = u ung an

dengany R, misalnya 3 dengan 0, 3 dengan 1, 3 dengan 2,

dan seterusnya. Akibatnya, relasi {(x,y)| = 3;x, yR} ukan

merupakan fungsi.

Conto .1

Gambar 6.3

(a)

x

y

y =x2

O

(b)

O 5

5

x

yx2 +y2 = 25

5

(a)

x

y

O

x = 3


5/26


ari Gambar 6.4 b tampak bahwa setiap unsur pada omain

dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range

Misalnya, 4 dihubungkan dengan 2; 2 dihubungkan dengan 1;

0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengan

em an, re as ,y y

1

2 x;x y merupakan fungsi.Grafik pada Gambar 6.4(b), menyatakan fungsi.

Diketahui fungsi : l an x =x 1.a Hitunglah 3 , 1 , 0 , , an 3 .

ka a = 3, tentukan nilai yang memenu .

c. Gambarkan grafik fungsi tersebut.

d. Jika daerah asal fungsi tersebut adalah = { |3 x 3,x },

tentukan daerah hasilnya.

awa :

a. x =

3 = 3 1 = 1 =

1) = (1) 1 = 0

0) = (0)2 1 = 1

2) = (2)2 1 = 3

3) = (3) 1 =

. a =

=

a = +

a = 4

a2 = 4

a = 2

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 2 dan a = .

c. S etsa grafi tampa pada Gam ar .5.

aerah hasil dari fungsi y = x =x 1 a alah

= {y|1 y 8,yR}

Contoh .

Gambar 6.4

(b)

x

y

O

Gambar 6.5

. Siat-Siat Fungsi

a. Fungsi Injekti

Misalkan, himpunanA = {1, 2, 3} dan himpunan ={p, q, r }. Dari himpunan ke himpunan ditentukan

ungsi an ungs g yang dinyatakan dengan diagrampanah pada Gambar 6.6.

Pada Gambar 6.6(a), untuk setiap anggota himpunanA

yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di himpunan .Fungsi yang demikian dinamakan ungsi inje ti a au ungsi

satu-satu.

y

x3123

2345678

1Daerah asal

Daerahhasil

21

1

(a)

A

Fungsif:AB

B

f

1

2

3s

r

p

q

Gambar 6.6

(b)

Fungsi g :AB

A B

g

1

2

3s

r

p

q

y =x2 1


6/26


Pada Gambar 6.6(b), terdapat dua anggota himpunanyang berbeda, yaitu 2 dan 3 mempunyai peta yang sama,

yaitu r di himpunanB. Oleh karena itu, fungsi g bukan fungsiinjektif

Sekarang, amati kembali Gambar 6.2. Dari grafik fungsi) = 2 pada gambar tersebut, untuk setiap domainx dan

x2

(x1 ) maka x

1)

2). Misalkan untuk

1= 1,

2= 1

ma a x1

, x2

= 2, dan1 x

2. Jadi, untuk nilai

yang berbeda menghasilkan nilai = x) yang berbeda pula.Fungsi yang demikian disebut fungsi injekti a au ungsisatu-satu.

Amati pula grafik fungsi ) =x2 pada Gambar 6.3(a).ada fungsi ini, untuk setiap domain x

1an

1

2

terdapat hubungan ) = ), misalnya 1) = 1) = 1 dan

2) = 2) = 4. Jadi, untuk nilaix yang berbeda terdapat nilaiy = ) yang sama. Fungsi yang demikian bukan merupakanfungsi injektif.

Secara umum, jika fungsi dari himpunan ke himpunanB maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepatsuatu unsur tertentu yang khas di dalam . Jika dua unsuryang berbeda di dalam masing-masing dikawankan dengantepat satu unsur yang berbeda pula di dalam maka disebutfungsi injekti a aufungsi satu-satu.

b. Fungsi SurjektiMisalkan, himpunan = , , an mpunan = ,y, .

Dari himpunan ke himpunan ditentukan fungsi yangditentukan dengan diagram panah pada Gambar 6.7(a).

Pada Gambar 6.7(a), tampak bahwa daerah hasil dari fungsiyaitu

f{ , ,z} sehingga = , dalam hal ini adalah

daerah kawan. Suatu fungsi yang daerah hasilnya sama dengandaerah kawannya dinamakanfungsi surjekti ataufungsi ontoJadi, fungsi pa a am ar . a merupakan fungsi sur ektif.Coba Anda selidiki Gambar 6.7(b). Apakah fungsi g : l

merupakan fungsi surjektif? Jelaskan jawaban Anda.Sekarang, amatilah grafik ) = 2x (Gambar 6.2). Grafik

tersebut memiliki daerah hasil (range) sama dengan daerahkawannya (kodomainnya). Oleh karena itu, fungsi ) = 2disebutfungsi surjekti ataufungsi onto. Secara umum, jikapada suatu fungsi ar e daerah hasilnya

f= ma a

fungsi itu disebut fungsi surjekti a au ungsi onto. A antetapi, jika maka fungsi tersebut bukan merupakanfungsi surjektif

Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebutfungsi bijekti Jadi, fungsiy 2 merupakanfungsi bijektif

Gambar 6.7

(a)

(b)

Fungsif

Fungsi Q

f

ab 4

Soal Terbuka

Buatlah 5 buah fungsi yangsatu-satu dan fungsi yangtidak satu-satu.


7/26


Gambar 6.8

Selidikilah fungsi berikut, apakah merupakan fungsi injektif atau

bukan, jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektif?

a. y = x) =1

2 + 3, R,

. y =f x =x , R

Jawa :

a. Grafik fungsiy = x) = + 3, tampak pada Gambar

6.8 a). Amati untuk setiap domain dan (x1 )

ma a x ). Jadi, fungsi y = x = x + 3,

merupakan fungsi injekti f. Oleh karena range sama

engan daerah awannya (kodomainnya) maka fungsiy = x 1

2x + 3,x merupakan fungsi surjektif.

Dengan demikian, fungsiy = =1

2x + 3,x dalah fungsi

bijektif.

. Grafik dari fungsiy = x = ,xR diperlihatkan pada

ambar 6.8(b). Pada gambar tersebut, tampak bahwa terdapat

nilai-nilai , x enganx x tetapi x . Jadi,

ungsiy = x =x , R u an fungsi in ektif.

Contoh .

Mari, Cari TahuSelidikilah bersama 2 orang teman, sejarah penggunaan lambang

y = ). Anda dapat mencarinya di buku atau internet. Laporkan

hasilnya di depan kelas.

Tes Kompetensi Subbab A

Ker akanlah pada buku lat han nda.

1. Di ntara grafik berikut ini, manakah ang

menyatakansuatu fungsidariRlR, x, yJelaskan jawaban Anda.

a) (b)

. Dari sketsa grafik berikut ini, manakah

ang merupakan relasi? Tentukan pula

mana ang merupakan fungsi darix ly.Jika fungsi, tentukan sifatnya injektif,

sur ektif, tau bi ektif.

. .

(a)

x6

3

y

(b)

x

y

x2

x1

y =f(x) =x2 2

y

x

y=x3

1

1x


8/26


B. Aljabar Fungsi

nda telah mempela ari fungsi x =x2 mempunyaidaerah asalD = { | x R}. Demikian halnya dengan fungsi

x = dengan daerah asal = x telah n a

pelajari pula. Pada bab ini, Anda akan mempelajari caramembentuk fungsi baru dari hasil operasi aljabar dua fungsi

dan g yang diketahui tersebut, yaitu sebagai berikut.

( + g)( ) = x) + g x) = 2 2 + x

)(x) = x) ( ) =x 2 x

= = 2 2

g xg

=

)x)x

= - )xx ,2

Anda pun akan mempelajari cara menentukan daerah

sal ungsi hasil operasi. Untuk itu pelajari uraian berikut.Misalkan, x) dan g ) adalah fungsi-fungsi yang

diketahui, berlaku hal-hal berikut. Jumlah ari fungsi x) dan g x) adalah

+ g)( ) = x) + g x) denganf + g

=f

Dg

Selisih dari ungsi ) dan ) adalah x = x g ) dengan

f g=

f .

uatlah sketsa grafik relasi-relasi

berikut. Kemudian, tunjukkan mana yang

merupakan fungsi dariR lRa. ( ,y |y =x ;x,y R}

. ,y |y x x 3; x, y

c. ,y y = x; x, yRy x ; x, yR

e. ( ,y |y 5 ; x, y R}

f. ( ,y |y x5;x, y

4. Per iksa lah fungsi ber ikut , apakah

merupakan fungsi injektif atau bukan.

Jika in ektif, apakah merupakan fungsi

bi ektif

a y = x ; x y

b. y = ( + 1) ; x, y R

. y = ; , y dan 4

y = x3; , y

. entukan daerah asal fungsi-fungsi berikut

ini.. x) = 3x 2

.x

xx 2

. Gambarkan grafik fungsi berikut ini.

Kemudian, tentukan daerah asalnya agar

menjadi fungsi injektif.

. y = ) = 5x + 6

. y = ) = 4 cos , 0

elaskan cara yang Anda lakukan untuk

menentukan apakah suatu fungsi satu-satu

tau bukan.


9/26


Perkalian dari ungsi ) an ( ) dalah )(x) = x) g x) dengan

g f .

Pembagian ari ungsi x an g x dalah

g g

x

x, dengan D

f

an g x)

Diketahui fungsi x) = x 5 dan g ) = , tentukan operasi

fungsi-fungsi berikut. Tentukan pula daerah asalnya.

a. + g c. g x

. g x

Jawab:

= x x } dan = x x 0, x .

a. + )(x = + g x) =x2 5 + x

+g= = {x x R} {x x 0,xR}

| 0,

b. g) ( ) = x) x =x2 5

fg= { | 0, R}

c. g x = {x |x 0,x }

f

g g

x

x x

xx

2

xg

x

Contoh .4

Tes Kompetensi Subbab B

Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. entukan

g x g

x , dan g serta tentukan puladaerah asal fungsi hasil operasi tersebut

jika dike tahui fungs i- fungsi seper ti

berikut.

. gx xx

.x

gx x xa

Diketahui fungsi = x 1 an x =

. Tentu anlah:

+ g 3

g 2

. g) (5)


10/26


C. Fungsi Komposisi

1. Pengertian Fungsi Komposisi

Sebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebih

lanjut, pelajari uraian berikut ini.Misalkan ) =x2 + 1 dengan = x dan g ) =

x 2 dengan {x|x 2, }. Fungsi komposisi g fapat digambarkan pada Gambar 6.9.

Mula-mula unsur D dipetakan oleh ke bayanganyaitu x). Kemudian, ) dipetakan oleh g ke g x)). Denganemikian, fungsi komposisi g f dalah pemetaanx olehungsi emu an ayangannya peta an ag o e g. Uraian

tersebut memper elas definisi berikut.

Defnisi 6.

Diketahui,fdan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi

fdan ditulis g didefinisikan sebagai (g ( ) = g ))

untuk setiap D

Untukx = 1 Anda peroleh ) = 2 yang berada dalamaerah asal fungsi . Bayanganx yaitu x) = 2 dapat

ipetakan oleh g ke g )) sebab g 2) = 2 = 0.

Lain halnya jika = 1 . Untu = 1 diperoleh =

1 ang berada di luar daerah asal fungsi g Bayangan

yaitu x =1

4tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsi

komposisi x)) sebab g Nilai initidak terdefinisi ika nda membatasi daerah ker a padahimpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu dapat

ipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanika bayanganx jatuh ke dalam daerah asal fungsi . Denganemikian, diperoleh daerah asal fungsi komposisi g adalah

D gDx }.

Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f gdalah pemetaan oleh fungsi g, kemudian bayangannyaipetakan lagi oleh engan em an, aera asa ungs

omposisi g adalah f x ,x x } .

Misalkan diketahui ) =x2 + 2 dan g ) = x . Kedua

ungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 6.10.

Gambar 6.9

g

f

Gambar 6.10

f


11/26


Daerah hasil = x ,x tidak dapat dipetakan

oleh g ) = 1x sebab untuk 2, g ) tidak terdefinisi.Coba jelaskan mengapag( tidak terdefinisi untuk 2.

Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-hal

berikut.

Fungsi ) =x + 1 dan ) = 2 dapat dikomposisikanmen adi fungsi komposisi g se a r san antara aera

hasil fungsi dan daerah asal fungsi g bukan merupakanhimpunan kosong.

f = { | ,x } { | 2,x } = { 2,x .

Fungsi = 2 + 2 dan g = tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g sebab

irisan antara daerah hasil fungsi dan daerah asal fungsig merupakan himpunan kosong.

f = x x ,x ,x } = .

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi dan fungsig apat

ompos s an men a ungs ompos s g f adalah

r san antara daerah has l fungs an aera asa ungs

g bukan himpunan kosong, atauR .

m a asan Soa

Fungsi g: R R ditentukanoleh (x) =x2 x+ 3 dan

fungsi fR l R sehingga(f g)(x) = 3x2 3x+ 4maka f = ....

Jawab

( ) = +(f ) ( ) = 3 2 3 +f ( )) = 3( + 3) 5f( ) = 3 maka f x ) = 3(x ) 5= x 11

Soal Ebtanas 1999

1. Jika = 2 dan g ) =x 3, tentukan g x).

2. Jika g = + an x) =x + +5, tentukan ( ).

Jawa :

g x) = g )} = + = +

2. h (x) = h{g } {g )} + 2{g } + 5

= (2 + 4) + 2(2x + 4) + 5

= 4x2 + 16x + 16 + 4x + 8 + 5

= x + x +

Conto .

Diketahui = x + an x) = 3 . Tentu an:

1. ) (x) dan (g ( )

2. a. daerah asal ) (x) dan daerah hasil g) (

b. daerah asal (g (x) dan daerah hasil (g (

Jawab:

1. ) x = g x)) = (3 ) = 2(3 ) + 5 = 6x + 5

g x = g x)) = g + = +

3( x + + = x + +

Conto .

ugas

Anda telah mengetahui syarat

fungsifdan fungsi dapat

dikomposisikan menjadi fungsi

f Bagaimana dengan

yarat agar fungsif dapat

dikomposisikan? Selidikilah

bersama teman Anda kemudian

laporkan hasilnya kepada guru

Anda.


12/26


S tus atematikaAnda dapat mengetahuiin ormasi lain tentang FungsiKomposisi dan Fungsi Inversmelalui internet denganmengunjungi situs berikut.t IUUQXIZQFSNBEJ

XPSMEQSFTTDPN

t IUUQNBUFNBUJLBTNB

CMPHTQPUDPN

t IUUQNBUIXPSMEXPMGSBNDPN

2. Siat-Siat Komposisi Fungsi

Untuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi, pelajariuraian berikut. Diketahui,f =x + 5 dan g = x + 6.

= = + = + + = +g ( ) = g )) = g ( + 5) = 2( + 5) + 6 = 2 + 16

Amati lagi hasil contoh 6.5. Apakah nilai ( g)(x) samadengan (g x)? Coba selidiki untuk fungsi lainnya. Apa

yang Anda peroleh? Jika melakukannya dengan benar, akandiperoleh kesimpulan berikut.

( ) (g ( )

Amati fungsi ) = 2x + , ) =x2 dan h x) = 3x + 5.Misalkan, = ma as ) = (g h) ( ) = g h )) = g (3 + 5) = (3 + 5)2

= 9 + 30 + 25sehingga

x = x = + 3 x +2(9x2 + 30 + 25) + 1 = 18x2 + 60x + 50 + 1

18x2 + 60 + 51Jadi, g = 1 x

2 + 60 + 51.Kemudian, misalkan ( g) (x) = t ) maka

t( ) = ( g) ( ) =f g x)) = ( 2) = 2 + 1 sehingga g) ) (x) = (t h) (x) = ( )) = (3x + 5)

= 2 x + 5) + 1

= 2(9x2 + 30x + 25) + 1 = 18 + 60x + 51Jadi, h)) (x) = 18 2 + 60x + 51.

Amati lagi uraian tersebut. Apa yang Anda perolehmengenai nilai g x) jika dihubungkan dengan nilai

g) h x)? Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya? Untuk itu, bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi. Kemudian, hitung nilaif g h) dan ( g) .

Apakah hasil keduanya sama? Ulangi lagi untuk fungsilainnya. Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut?

( h ) (x) = ( g) h ( )

2. a. Daerah asal g (x =Df

{ xR} dan

daerah hasil( g ( ) =

= {y y }.

b. Daerah asal (g (x = {x|x } dan

daerah hasil(g ( ) =

= {y|y }.


13/26


Diketahuif(x) = 5x2 + 6 dan I(x) =x.

a. Carilah (fI)(x) dan (If) (x).

b. Apakah (fI)(x) = (I

f) (x)?

Jawab:

a. (fI)(x) =f(I(x)) =f(x) = 5x2 + 6

(If)(x) =I(f(x)) =I(5x2 + 6) = 5x2 + 6

b. Dari hasil (a) tampak bahwa (fI)(x) = (If) (x).

Dalam hal ini fungsiI(x) =x disebut fungsi identitas terhadap

operasi komposisi fungsi.

Contoh 6.7

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga sifat-sifat

komposisi fungsi? Cobalah nyatakan sifat-sifat komponen

fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.

Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya

tidak komutatif.

( ) ( ( )

Operasi komposisi ada fungsi-fungsi bersifat asosiatif

h )( ) = g) h)(

Dalam operas kompos s pada fungs -fungs terdapat

e uah fungs dent tas, ya tu I seh ngga I

I ( ) =f )

3. Menentukan Fungsi fataugjika

Diketahui Fungsi Komposisi darifa au

ada bagian sebelumnya, Anda telah bela ar menentukanfungsi komposisi f g atau g jika fungsi dan g

diketahui. Bagaimana jika terjadi sebaliknya? Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara

menentukan fungsi lainnya?Anda dapat menentukan fungsi g x) jika diketahui fungsikomposisi ( g x = 1 x 5 dan x x 5, yaitu sebagai

berikut.)(x) 10x 5

g x)) = 10x 5

)) 5 1 x 52 ( ( )) 10xg ) 5x

Soa Ter u a

Diketahui fungsi komposisi

(f )(x) = 3x + . Tentukanfungsi dan yangmungkin.Diketahui ungsi komposisi

(g f(x) =x. Tentukanfungsi dan yangmungkin. Sebutkan pulacara Anda memperoleh

jawaban ini.


14/26


Untuk menentukan fungsi ) jika diketahui fungsikomposisi ( g)(x) = 30x

2 15 dan g ) 10x2 3 caranyasebagai berikut.

g)( ) 30x2 15

g x)) = 30x2

1510 3) 30x2 15 = 3(10x2 3) 15 + 9

1 3 3 1 x 3 6) = 3x 6

Jika fungsi f an fungsi komposisif g atau diketahui

maka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika fungsig an fungsi komposisi a au g eta u ma a ungsfdapat ditentukan.

Diketahuif g (x) =1

xdanf(x) =

1

x. Tentukan g(x).

Jawab:

f g (x) =1

xf(g (x)) =

1

x

1 1

g x x( )=

x = g x( )

g(x) =x2

Contoh 6.8

Tes Kompetensi Subbab C

Kerjakanlah pada buku latihan Anda.

1. Tentukanf g x dan g (x) dari fungsi-

fungsi berikut ini.

a. = 3 dan g x = x +. x = 3x + 4 dan g = + x

c ntuk soal nomor 1a dan 1b, tentukan

f g 2) dan g 2).

2. Diketahuif ) = 5 dan g ) = 4.

Tentukan nilai x jika diketahui sebagai

berikut.

a. g x) = 16

. g = 21

3. Diketahui f (x) = x 1 , g(x) = x2 2,

dan h(x) = 1 2 x . Tentukanlah nilai x

dari fungsi-fungsi berikut ini.a. f g h (x) = 2

b. f g f(x) = 5

4. a. Jika f(x) = 2x2 + 7 dan f g (x) =

3(3 2x), tentukanlah g(x).

b. Jika g(x) = 2 (x 1) dan

g f(x) = 2x (x 5), tentukanlah f(3).


15/26


c. Jika ( =

dan g f ) =x

1,

tentukanlah g (2 1).

d. Jika g ( = 1 danf g ( =2 1,

tentukanlah f . D keta u = x 5, g x = 6 5,

carilah ilai a yang mungkin jika

a. f g a) = 285

. a =

. ungsi an g dinyatakan dalam pasangan

terurut berikut.

= , c , e , g , i

g = {(b 1), (d, 3), 5), (h, 7), (j, 9)}

Nyatakan fungsi- ungsi komposisi berikut

ini dalam pasangan terurut.

a. . g

. g . g

a Jika x =x , g = sin x, dan

g a)) = 4

, tentukan nilai a.

a x) = 3 g x =x

x, dan x)

3 + 1, tentukanf g (10).8. Harga sebuah produk yang terjual

sebanyakx me enuhi persamaan

p =1

x + 100, 0

Misalkan, adalah biaya membuatx ua

produk tersebut yang memenuhi persamaan

= + 600. Jika semua produk ter ual,

entukan biaya c se aga ungs ar arga9. Volume sebuah balon (dalam cm ) adalah

V(r) =3

Pr . Jika jari-jari bertambah

erhadap waktu t(dalam sekon) memenuhi

rumus t =1 3

, t 0. Tentukan volume

balon sebagai fungsi waktu.

. ebuah drum yang berbentuk tabung mem

punyai volume 500 cm3. Bagian alas dan

tasnya dibuat dari bahan yang berhargaRp6.000,00 per cm2. Adapun bagian sisa

dibuat dari bahan berharga Rp4.000,00 per

m .

. Ekspresikan biaya total

ahan sebagai fungsi

dari r (jari-jari tabung).

. erapa harga total bahan

untuk membuat drum

dengan jari-jari 4 cm

tau cm

D. Fungsi Invers

Di SMP, tentunya Anda telah belajar cara mengubahsatuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, yaitu dengan

mengguna an ersamaan 9

32 Bagaimana cara

mengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untukmengetahuinya, Anda harus belajar ungsi invers.

Apakah setiap fungsi selalu memiliki ungsi invers? untuk

mengetahuinya, lakukan aktivitas matematika berikut.


16/26


Lakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda.

Langkah ke-1

a. Melengkapi tabel fungsi y = f(x)

Misalkan fungsi ar ey e n s an se aga y = , sepert

Tabel 6.1. Salin dan lengkapilah Tabel 6.1 di buku tugas Anda.

Ta el . Fungsiy = x

(masukan) 0 3 4

(keluaran) ... ... ... ...

b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaranTukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut sepertiTabel 6.2, kemudian salin dan lengkapilah Tabel 6.2 di buku

tugas Anda.Ta el .

(masukan) 0 2 4 6 8 .. ... ... ...

(keluaran)

Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.2 merupakan fungsi

ari y ex? Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas

nda.

Lang ah e-2

a. Melengkapi tabel fungsi s = g r)Misalkan fungsi g dari ke s didefinisikan sebagai s = r , sepertiTabel 6.3. Salin dan lengkapilah Tabel 6.3 di buku tugas Anda.

Tabel 6.3 Fungsi = g r)

(masukan) 4 3 -2 -1 0 4

keluaran ... 4 1 0 1 4 9 ...

enukarkan nilai-nilai masukan an keluaran

Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel

6.2, lalu salin dan lengkapi Tabel 6.4 di buku tugas Anda.

Tabel 6.4

(masukan) ... 9 4 1 0 ...

(keluaran) 4 3 2 1 0 1 2 3 4

Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.4 merupakan fungsi dar s er

Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas Anda.

Langkah ke-3

Dapatkah Anda menduga, fungsi yang bagaimana yang memiliki

fungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisis Tabel 6.1 sampai

dengan Tabel 6.4.

Aktivitas Matematika

Lambang 1 di dalam f

bukan berupa pangkat.

Ingatla


17/26


Jika fungsi memeta an set ap e ma abalikan dari fungsi mengembalikanunsury terse ut e unsurx semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu meng-hasilkan fungsi baru. Jika fungsi bijektif maka pembalikantersebut menghasilkan fungsi baru. Akan tetapi, jika bukanfungsi bijektif pembalikan itu hanya menghasilkan suaturelasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.

elah diketahui fungsi y = x seperti Gambar 6.12merupakan fungsi bijektif.

Amati bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalamdomain dikawankan dengan dua unsur yang berbeda didalam daerah kawan Sebagai contoh,

1= 2 danx

2= 2

dikawankan berturut-turut dengan = 4 dan = 4. Balikandari fungsi ini akan menghubungkan dua unsur yang berbeda

tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu 4dengan 2 dan 4 dengan 2.Balikan dari fungsi tersebut jelas sesuai dengan aturan

fungsi, yang hanya membolehkan setiap unsur di dalamdaerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satuunsur di dalam daerah hasil. Jadi, balikan dari fungsi ) = 2merupakan fungsi. Lain halnya dengan fungsi = sepertiGambar 6.13. Fungsi ini bukan merupakan ungsi ije ti

Amati bahwa setiap unsur x dan di dalam domaindikawankan dengan unsur yang sama di dalam daerah

kawan Contohnya, unsur 2 dan 2 keduanya dipetakan keunsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, balikan dari fungsi inimenghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2dan 2. Balikan dari fungsi ini jelas menyalahi aturan fungsi.Jadi, balikan dari fungsi ) =x2 bukan merupakan fungsi,tetapi hanya relasi saja.

Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentukumum ungsi invers? Cobalah nyatakan bentuk tersebutdengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Defnisi 6.4

Misalkan, merupa an ungs bi ektif dengan daerah asal an

daerah hasil . Fungsi invers(fungsi balikan) adalahf jika dan

hanya jika ( 1 ( ) = untuk setiap di dalam dan1

x) =x untuk setiapx di dalam .

Dari Definisi 6.4 tampak bahwa setiapx dipetakan

oleh ke ) dan ) olehf dikembalikan ke Demikianalnya untuk setiapx peta an o e 1 e 1 x dan

Gambar 6.12

Gambar 6.13

x

y

O

y = 2x

x

y

O

y = x2


18/26


Tentukan invers dari fungsi berikut ini.

y = (x) = 5x

Kemudian, gambarkan grafik dan 1 x .

awa

y = x x =y +

=y

= y) =y

Jadi, fungsi invers dariy =f x = 5x 7 adalahf1 ( =x

ambar grafik x) = 5 7 dan ) =x

tampak pada

Gambar 6.14. Amati Gambar 6.14 dengan saksama, bagaimana

posisi grafik x) danf ) terhadapy = . Apakah simetris?

Jika Anda amati grafik x) dan x) dengan saksama, tampak

bahwa grafik x) simetris terhadap grafik ). Grafi x)

iperoleh dari grafik ) dengan mencerminkannya terhadap aris

y =x. Oleh karena itu, untuk mencari f ) jika diketahui (x)

dapat pula dikerjakan dari persamaanff1(x) =x.

Coba Anda selesaikan invers dari f(x) = 5x 7 dengan meng-

gunakan ff x) = .

Contoh .

Gambar 6.14

f1 x) oleh dikembalikan ke x. Dengan demikian, inverssuatu ungsi invers menghasilkan fungsi asalnya, dituliskan

1 1 = ar ura an terse ut, n a apat menentu an invers

suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut.

Diketahui,y = ). Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai

ungsiy a au 1 . Ganti ariabely denganx padaf1 ) sehingga diperoleh

f1( ) = sebagai ungsi invers dariy = x).

x

y

Oy

=x

f1(x) =

f(x) = 5x 7

Soal Ter uka

Bersama teman sebangku,buatlah 5 fungsi yangmempunyai invers. Berikanalasannya. Kemudian, berikanhasilnya pada teman yang lainuntuk dicek dan dikomentari.

1. Diketahuif(x) = 3x2 + 4 dan g(x) =x 4

3.

Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari f.

2. Tentukan fungsi invers darif(x) =3 4

2 1

x

x

.

Contoh 6.10


19/26


Diketahui f(x) = ax bcx d

.

Tentukan f1. Jika c 0, apakahsyarat a, b, c, dan dsehinggaf= f1.

Tantangan

untuk Anda

Tes Kompetensi Subbab D

Kerjakanlah pada buku latihan Anda.

1. entu an invers dari fungsi-fungsi berikut.

Kemudian, gambarkan grafik fungsi an

alam satu iagram.

a. ( ) = 2x 5

b. f ) = 3x2 4

c =

d. ( ) = 2 x

e =

f. f ) = 10 +

g. f ) =1

x w;

= x + ;

i. ( ) = x 9; 0

. un ukkan bahwa fungsi g merupa an

invers bagi fungsi

. f =x

dan g (x) =x

. f x = x dan g x)

. = dan g x =

2

. ( ) = 103 dan g (x) = logx

. (x = 2 dan ) = log

f = dan g (x =

Jawab:

1. Untuk menentukan apakah g fungsi invers f, periksalah

apakah fungsi komposisi (g f) (x) =x dan (f g) (x) =x.

(g f) (x) = g {f(x)} = g (3x2 + 4) =

3 4 4

3

22x

x

=x

(f g) (x) =f{g (x)} = fx x

4

33

4

3

2

= 3 43

4x -( ) +

=x 4 + 4 =x

Jadi, g merupakan balikanfsehinggafjuga balikan g. Dengan

kata lain, g =f1 danf= g1.

2. y =f(x) =3 4

2 1

x

x

y (2x1) = 3x + 4

2yx y = 3x + 4 2yx 3x =y + 4

x (2y 3) =y + 4 x =y

y

4

2 3

x = f1 (y) =y

y

4

2 3

Jadi, f1 (x) =x

x

4

2 3.


20/26


3. Diketahui ( = 4x + 8, g = ,

an x) = x2 . Tentukan nilai-nilai

fungsi berikut.

a. f1

(12)b. 15)

c. 6)

d. 1 )

e. f1 (24) + g1 18)

9) + g 3)

4. Tunjukkan bahwa fungsi invers dari

fungsi-fungsi berikut sama dengan fungsi

asalnya.

a. f ) =

. ) = 15 x

c. =x

d. f ) =

e. =

. ) =1

x

Misalkan, = x + ; a 0 dan g =

x + ; c 0. Apa syaratnya agar f

merupakan balikan g, demikian pula

sebaliknya g merupakan balikanf

. ntuk mengubah satuan dari derajat

elsius ke dera at Fahrenheit, digunakan

rumus y = x = . Sebaliknya,

untuk mengubah satuan dari derajat

Fahrenheit ke derajat Celsius, digunakan

rumus y = g x = 2 . Tun ukkan

bahwa dalah invers ari g

. ermintaan barang di suatu negara

memenuhi persamaan x) = 300 50x,denganp adalah harga barang (dalam dolar)

dan x banyak barang yang diproduksi

(dalam utaan). Ekspresikan banyak

barang se aga ungs ar

ari beberapa macam fungsi yang telah

dipelajari, fungsi manakah yang memiliki

invers?

E. Invers dari Fungsi Komposisi

Seperti halnya fungsi yang lain, fungsi komposisi dapatmemiliki invers, asalkan syarat ungsi invers dipenuhi. Amati

Gambar 6.15.Diketahui, fungsi dan g keduanya bijektif. Fungsi f

memeta an x e dan fungsi g memeta an y e Oleh

karena dan g bijektif maka balikan fungsi adalahf1 dan

balikan fungsi g adalah g1

. Amati bahwa ungsi komposisig memetakan kez sehingga balikan g yaitu (g 1

memeta an e . Dari Gambar 6.15 tampak bahwa g1

memetakanz key danf1 memetakan ke . Dengan demikian,pemetaan komposisif1 g

1 memetakanz kex. Jadi, inversfungsi komposisi (g adalah

(g 1( = 1 g1 (

Gambar 6.15

f

f1 1


21/26


Analog dengan cara tersebut, nvers ungsi komposisi

g) adalah

1( ) = (g1 f1)(

Diketahuif(x) = 3x2 6 dan g (x) = 3x 19. Tentukan

a. (f g)1 (x) b. (g f)

1 (x)

Jawab:

ff1 (x) =x g g

1 (x) =x

f(f1 (x)) =x g (g1 (x)) =x

3(f1 (x))2 6 =x 3(g1 (x)) 19 =x

(f1 (x))2 =x 63

g1 (x)=x 193

f1 (x)= ox 6

3

a. (f g)1 (x) = g1f

1 (x) = g1 (f1 (x))

= gx x x- + = + + = + +

1 63

63

193

13

63

19

b. (g f)1 (x) =f1 (g1(x)) =f1

x +( )193

= o

o

o

x

xx

19

36

3

37

9

1

337

Contoh 6.11

Jika =x

g 1 = , dan x = g x , tentu an

x .

Jawa :

ertama, hitung g x) sebagai berikut.

g =x

g x = 1 x

x g x +x

x g x + 1 =

x = 1g

-x +

Contoh .1 Ha Pentingt GVOHTJ

t EPNBJO

t LPEPNBJO

t SBOHF

t JOKFLUJG t TVSKFLUJG

t CJKFLUJG

t invers


22/26


Jadi, g x = .

Kemudian, hitung ) sebagai berikut.

x) =g } ) =

1xx

1

x

x

x

itung x sebagai berikut.

h x =x

xh x =x x h x) =

h 1) = 1

Jadi, h

x) = x)x =

-

= )x-

- ( )-

- = - = .

Tes Kompetensi Subbab E

erjakanlah pada buku latihan Anda.

. entu an , g , g1 , dan

g x) ika diketahui:

a. =x

xan g x = +

b. ( ) = 5 2 dan g ( =x

c. = an g =x

d. ( = 5 4 dan g ( =

. x) = dan g x) = 1 2x

x = an g x =

x

iketahui x

dan g x .

entukanlah:

. g1 2 . g

3

(2

+

. 1 ( )- g 1 1)

Fungsi atau pemetaan dariA keB didefinisikan sebagai suatu

relasi dari himpunanA keB, dengan setiapx A dipasangkan

pada satu dan hanya satuy B.

Himpunan unsur-unsur dalamA disebut daerah asal (domain).

Himpunan peta dariA keB disebut daerah hasil (range).

Sekarang tuliskan rangkuman materi yang telah dipelajari di buku

latihan Anda. Beberapa siswa membacakan hasilnya di depan

kelas.

Rangkuman


23/26


Setelah Anda mempelajari Bab 6,

1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yang

mudah,2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik dan

penting untuk dipelajari.

Reeksi

Tes Kompetensi Bab 6

A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.

1. Jika ) =x + 2 maka x2 + ( x))2

sama dengan ....a. x + . x + 5

. + e. + 5

c. x +

2. Jika f = dan f g x) =

2

xmaka 3) adalah ....

a. d. 12x

b. x e.

1

x

c.x

. Jika + = + x ma a = ....

a x + x x

b. x e. 2x

c. x2 + 2

4. Jika x = 3 2x maka 2) 2x

+ 2 = ....

a. 45x 50x +4 x + x

c 4 x + x +

d. 45 50x + 4

e. 45 + 50x + 4

5. Fungsi berikut ini yang dapat digolongkan

ke dalam fungsi satu-satu adalah ....

a. x = , konstanta sebarang

x =x +

c. x) =x 9x

. ) = 2 2x + 1

. ) = 2 + 2x + 1

. Jika x) = 2ax + , g ) = bx x

, dan

= + maka jumlah kedua fungsi ter-

sebut adalah ....

. ax . bx

. x . ax =

x

7. Jika x + y) = ) + y), untuk semua

bilangan rasional dany serta 1) = 10,

maka 2) adalah ....

.

.

. 0

. tidak dapat ditentukan

. D keta u g x = an g x =

maka nilai 0) adalah ....

. .

. .

9. ungsi f l dengan = 4 +

g l dengan g ) = 3x 10

Jikaf g ( ) = x) maka nilai n yang

memenuhi persamaan itu adalah ....


24/26


a 1 1

b. 10 e. 5

c.

10. Jika = 5 2 , g x =x 25, dan

h x = 4 g x) maka h1 ( ) = ....

a.4

. +

c

5 5

+

e.

11. Jika = {(2, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 2)

= {(2, 3), (3, 3), (4, 2), (5, 4), (1, 1)}

ma a g = ....

a 1, 1 , 2, 3 , 3, 1 , 4, 3 , 5, 4

b. (1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 5)}

c. (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (5, 2)}d. (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}

e. (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 5)}

12. Jika suatu fungsi ditentukan sebagai

impunan pasangan berurut = 1, 3 , 2,

, 4, 2 , 5, 0 maka 1 = ....

a. (3, 1), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}

b. (1, 3), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}

c. (1, 3), (2, 5), (2, 4), (5, 0)}

. (3, 1), (5, 2), (2, 4), (0, 5)}

e. (3, 1), (5, 2), (4, 2), (5, 0)}. Jika = , , , , , , , , g

= 1, 4 , 6, 0 , 7, 3 , 9,12 , 10, 6 ,

dan h =f

gmaka h sama dengan ....

a. { }( ( ( )

b. { }( ( - ( )

{ }, ,( , ( - ( )1, -

. { }( - ( - ( )-

. { }, ,( , - ( , ( )1,14. pabila g ) = 3 + 1 dan g x)) = 5 +

3 maka x) = . . . .

. x2x 4)

x x +

. x x 2)

. 5 + + 4)

. 5 +

ika = an g = x + ma a

g(x) = ....

. 4 . 6

. + 4 . 1

.

6 ernyataan-pernyataan berikut benar,ecuali ....

f = f

. g ( ) = g) ( )

. jikaf =x + 1 makaf1 ) = 1

. jikaf( ) = 2 1 makaf ( =1

2+ )

. jika ) = ma a (x = x3

. ka x =x q

rx s, ma a 1 x = ....

. sx

rx. x q

rx

. sx

rx. sx q

r

. x q

8. iketahui x) = logx, g x = 2 , dan

(x) = sin ,f h = 0, nilaix yang

memenuhi adalah ....


25/26


a. .

. e.

c.p

ungsi berikut ini yang memiliki invers

fungsi adalah ....

a. y = + 2x + 1 d. y = 5

b. y = + 5x e. y = 2 + 4x + 3

c. y = +

20. Jika ) = x + 1 dan g x = x,

ma a

1 = +

(2) f g x) = 1x

ff x =x

4 1 x =x

ernyataan yang benar adalah ....

a. , 2, dan 3 d. , 3, dan 4

b. dan 3 e. , 2, 3 dan 4

c. dan 4

Jika ) = x dan g x = + 1 ma a

g

x) = ....

a. 1 d.

+ 1 e 1

c.

Diketahui x = x + an g = .

Jikaf g a = 5 maka a = ....

a. 2 d.

b. 1 e.

c.

23. ungsi berikut ini yang ti a memilikiungsi invers adalah ....

a y = + y = ogx

b. y = + 4 e. y = 2 + 10

c. y = 10 150x

24. J ika f = 2 3, den gan

dan f adalah fungsi invers dari

x maka kedua kurva dan ) akan berpotongan pada titik ....

1, 3 3, 3

. 1, 3) . 3, 3)

. 3, 3)

5. Jika : l makaf adalah ..... log 2 . y =

. log x . log 5

. log 5

6. Invers dari y =x

mdengan m konstanta

sebarang adalah ....

. ym

x. y =

.m

. y = + m

. y = mx7. Diketahui = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 8)}

ma a 1 3 adalah ....

. .

. 4

8 Jika = 8 dan g( = 3x + 4 maka

f g x)) = ....

. og (3x + 4 . log 3 +

. log (3 4 . og (3x + 4

log 3 9. Diketahui x = 15 dan ) = x + 4

untuk setiap bilangan real, x 0 maka

f1 h x ) 4) = ....

. 15log ( 5 + 2 . 15log

. log ( 4 . log

. log + 4

Jikay = x =

1

+ ,z = y = y + ,

z z +

maka ungsi komposisi darix ke w adalah ....

. + 42) . 4x + 16)

x + 6x +

. 3x +

x Reservoir

A

Reservoir Reservoir

C

y = x) z =fy) w = z)


26/26

. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.

1. Dari fungsi-fungsi berikut, tentukan

2), 1), 0), 1), dan 2). Kemudian,

gambarkan grafiknya. Jika daerah asalnya

= < < ,x , tentukan aerahasilnya.

a f = x

b. f ) = 3 2x

c. f ) = 2

d. f ) = 4 2 2

e. f = x+

f. f = 3

. Diketahui fungsi xx

an

g x 4 . Tentukanlah:a. + g 2

b.f

g ( )-

c. g) (2

. g) (10

e. 4 g 1

7 : 2

3. Tentukanf g h x) dan h g dari

fungsi-fungsi berikut ini.a. f x) =x 3, g(x) = 2x + 1, dan (x) =

. x = 3 , g =x + 1, dan

x + x +

. (x = 2 1, g x) = + 2, dan h =

2

. ) = , g ) =x , dan x) =

. umlah mobil yang diproduksi suatu pabrik

selama 1 hari setelah tjam operasi adalah

t = 20 t, 0 t < 10. Jika biaya

produksi mobil dalam dolar adalah

n = 30.000 + 8.000 n tentukan biaya

sebagai fungsi dari waktu. Berapakah

biaya memproduksi mobil selama 1

bulan?

. engan menggunakan sifatf f ) =x,

entukan f 1 ) untuk fungsi-fungsi

berikut.

. ) = 3

. ) =

) = + x

. f =2

. f x =x

=x3

ModuL Fungsi-komposisi n Invers02

Documents

Transcript of ModuL Fungsi-komposisi n Invers02