Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers Fungsi

Oleh:1.Ksanti Devi Ratnaningtyas

2.Teuku Aulia R.3. Yasin Haikal B.S4. Yufana J debby

Peta Konsep

FUNGSI, KOMPOSISI

FUNGSI, DAN INVERS

FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI

FUNGSI KHUSUS

JENIS FUNGSI

ALJABAR FUNGSI

CARA MENYATAKAN FUNGSI

INVERS FUNGSI

KOMPOSISI FUNGSI

DIAGRAM PANAH

HIMP. PASANGAN TERURUT

GRAFIK FUNGSI

FUNGSI SURJEKTIF

FUNGSI INJEKTIF

INVERS DARI KOMPOSISI FUNGSI

FUNGSI BIJEKTIF

PENGERTIAN FUNGSI

Fungsi = pemetaan semua elemen pada daerah asal (domain) ke daerah hasil (kodomain)

CARA MENYATAKAN FUNGSI

• DIAGRAM PANAH

Domain Kodomain

Fungsi

x f(x)

A B

yz

f(y)f(z)

• Himpunan pasangan terurut

{(0, 6), (1, 7),( 2, 8),( 3, 9)}

• Grafik fungsi

Jenis Fungsi

• Fungsi Surjektif (Onto dan Into)Definisi:1. fungsi f : A B disebut fungsi surjektif/ fungsi onto/fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. (a)2. fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himp. Bagian murni dari himp. B (b)

A B A B

(a) (b)

ABCD

XYZ

ABCD

XYZ

• Fungsi Injektif (satu-satu)Definisi :banyak himpunan A ≠ banyak himpunan B

A B

123

ABC

• Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu) definisi :

1. banyak himp. A = banyak himp. B2. range = himp. B

123

ABC

Aljabar Fungsi

Definisi aljabar: Operasi aljabar pada dua fungsi, yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian denganskalar, perkalian dan pembagian didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan fungsi f dan g terdefinisi himpunan D.1. jumlah f dan g, ditulis f + g, adalah suatu fungsi didefinisikan oleh (f + g)= f(x) + g(x) x D2. selisih f dan g ditulis f-g, adalah fungsi didefinisikan oleh (f – g) (x) = f(x) – g(x) x D3. hasil kali f dengan skalar C ditulis cf, adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh (cf)(x) = cf(x) x D4. hasil kali f dan g ditulis f . g adalah suatu fungsi yang terdefinisikan oleh (f . g) (x) = f(x) . g (x) x D5. hasil bagi f dan g ditulis f/g adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh x D dan g(x) 0

g(x)

f(x)(x)

g

f

Fungsi Komposisi

Definisi : misalkan fungsi g : A B dan f : B C

komposisi fungsi f dan g dinotasikan dengan fog di definisikan sebagai (fog)(a) = f(g(a)).

Dengan perkataan lain: sifat: (fog) (x) ≠ (g o f)(x)

A C B

Fog(a) = c

G(a) = bF(b) = c

H(a) = c

Contoh

Diberikan f(x)= x2 dan tentukanlah :

• (f o g)(x) • (g o f)(x)• (f o g)(-2)• (g o f)(-2)

13)( xxg

Penyelesaian

• f(g(x)) = (3x + 1) 2

= 9x2 + 6x + 1• g(f(x)) =3(x) 2 + 1

= 3x2 + 1• f(g(x)) = (3(-2) +1) 2

= 25• g(f(x)) = 3(-2) 2 + 1

= 13

Fungsi InversDefinisi:

A

a b

f(a)=b

a(b)f 1

Misalkan f koresponden satu-satu dari himpunan A ke himpunan B. f memetakan a ke b; dan memetakan b ke a.Karena b=f(a) dan a= (b), maka:

1f1f

b)(fabf(a) -1 dimana

x f(x) ofx)(f o f

D R

R

1-1-

ff

f

1-

1-

fD

x f(x) ofx)(f o f

D R

R

1-1-

ff

f

1-

1-

fD

Lankgah-langkah menentukan invers suatu fungsi f(x)1. Misalkan y=f(x)2. Nyatakan x dalam y3. Ganti x menjadi (x) dan y ganti dengan x-1f

Fungsi Invers dari Komposisi

Dalam membahas invers suatu fungsi kita lebih memperhatikan fungsi-fungsi bijektif (domain dan kodomainya bekorespondensi satu-satu.),sehingga fungsi itu mempunyai fungsi invers atau fungsi terdefinisi.

Jika fungsi g : a b, f : b c, dan h=f o g: a C, sehingga h memetakan setiap a ke c, maka fungsi invers dari h(dilambangkan dengan ) memetakan setiap c tepat sekali ke a.

-1h

-1h

a b c

a(b)g -1 b(c)f -1

g(a)=b

h(a)=(fog)(a)

f(b)=c

(c) )f o )(g(c) (fog)(c)h -1-1-1-1 (c) )f o )(g(c) (fog)(c)h -1-1-1-1

Untuk memperoleh rumus fungsi invers dai hasil komposisi dua fungsi dapat digunakan cara:1. Langsung dari fungsi komposisinya,atau2. Memngomposisikan invers masing-masing

fungsi penyusunan dengan membalik urutanya, yaitu:

(x))of(g(x)(fog) -1-1-1

Jika dalam fungsi h = f o fungsi g dikerjakan baru kemudian f ( arah anak panah ke kanan maka dalam fungsi fungsi dikerjakan lebih dulu, baru kemudian (arah anak panah ke kiri).

-1g

-1-1 g) o f(h -1f-1g

CONTOH SOAL

• Tentukan invers dari fungsi • Tentukan invers dari fungsi• Dik:

53x

24xxf

15x

2xf(x)

....)8()(

:

42)(

1

1

gof

dit

xxg

x2

1f(x)

penyelesaian

43

25)(

43

25

25)43(

2543

245353

245

1

x

xxf

y

yx

yyx

yxxy

xyxyx

xy

3x

24xf(x)

25)(

25

)25(

25

2515

215

1

x

xxf

y

yx

yyx

yxxy

xyxyx

xy

x

2xf(x)

6

28

2)8(

..

2)(

2

2

2

4)1

1

x(gof)

xgof

yx

xy

x(gof)

2x

42x

x212(g(f(x))

1

1