Fungsi Komposisi

Irvan Dedy, S.Pd

Oleh : Irvan Dedy, S.Pd

22

Setelah

menyaksikantayangan

ini

anda

dapat

Menentukan:•fungsi

komposisi

•salah

satu

fungsijika

fungsi

komposisi

dan

fungsi

yang laindiketahui

Irvan

Dedy, S.Pd

33

FungsiSuatu

relasi

dari

A ke

B

yang memasangkansetiap anggota

A ke

tepat satu anggota

Bdisebut

fungsi

atau

pemetaan

dari

A ke

B

Irvan

Dedy, S.Pd

44

Notasi

FungsiSuatu

fungsi

atau

pemetaan

umumnya

dinotasikan

denganhuruf

kecil.

Misal, f adalah

fungsi

dari

A ke

Bditulis

f: A → B

A disebut

domainB disebut

kodomain

Irvan

Dedy, S.Pd

55

Range atau

Daerah

HasilJika

f memetakan

x

A ke

y

Bdikatakan

y adalah

peta

dari

x

ditulis

f: x → y atau

y = f(x).Himpunan

y

B

yang merupakan

peta

dari

x

Adisebut

range atau daerah hasil

Irvan

Dedy, S.Pd

66

contoh

1Perhatikan

gambar

pemetaan

f : A → B a

b

c

d

1

2

3

4

5

f

AB

domain adalah

A = {a, b, c, d}kodomain

adalah

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Irvan

Dedy, S.Pd

77

Perhatikan

gambar

pemetaanf : A → B

a

b

c

d

1

2

3

4

5

f

AB

f(a) = 1, f(b) = 2

f(c) = 3, f(d) =

4range adalah

R = {1, 2, 3, 4}

Irvan

Dedy, S.Pd

88

contoh

2

Misal

f: R → R

dengan

f(x) = √1 -

x2

Tentukan

domain dari

fungsi

f.

Irvan

Dedy, S.Pd

99

JawabSupaya

f: R→R dengan

f(x)=√1-x2

maka

haruslah

1 –

x2

≥

0.1 –

x2

≥

0 → x2

– 1 ≤

0 atau

(x -

1)(x + 1) ≤

0 atau

-1 ≤

x ≤

1.Jadi, domain fungsi

tersebut

adalah

-1 ≤

x ≤

1.

Irvan

Dedy, S.Pd

1010

contoh

3

Misal

f: R → R

dengan

f(x

–

1) = x2

+ 5x

Tentukan

: a. f(x)

b. f(-3)

Irvan

Dedy, S.Pd

1111

Jawab

a.Misal

y = x –

1 maka

x = y + 1karena

f(x

–

1) = x2

+ 5x

maka

f(y) = (y + 1)2

+ 5(y + 1)f(y) = y2

+ 2y + 1 + 5y + 5

f(y) = y2

+ 7y + 6

Irvan

Dedy, S.Pd

1212

f(y) = y2

+ 7y + 6

a. f(x) = x2

+ 7x + 6

b. f(-3) = (-3)2

+ 7(-3) + 6

= 9 –

21 + 6

= -6

Irvan

Dedy, S.Pd

1313

Komposisi

FungsiPenggabungan

operasi

dua

fungsi

secara

berurutan

akanmenghasilkan

sebuah

fungsi

baru.

Penggabungan

tersebut

disebutkomposisi fungsi dan

hasilnya

disebut

fungsi

komposisi.

Irvan

Dedy, S.Pd

1414

x

A dipetakan

oleh

f ke

y

Bditulis

f : x → y atau

y = f(x)

y

B dipetakan

oleh

g ke

z

Cditulis

g : y → z atau

z = g(y)

atau

z = g(f(x))

A

x

C

z

B

yf g

Irvan

Dedy, S.Pd

1515

maka

fungsi

yang memetakanx

A ke

z

C

adalah

komposisi

fungsi

f dan

gditulis

(g o f)(x) = g(f(x))

A B C

x zyf g

g o f

Irvan

Dedy, S.Pd

1616

contoh 1

f : A → B dan g: B → Cdidefinisikan seperti pada gambar

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)

A B Ca

b

p

q

123

f g

Irvan

Dedy, S.Pd

1717

Jawab:

A B Ca

b

p

q

123

f g

f(a) = 1 dan

g(1) = q

Jadi

(g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

(g o f)(a) = ?

Irvan

Dedy, S.Pd

1818

A B Ca

b

p

q

123

f g

f(b) = 3 dan

g(3) = p

Jadi

(g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

(g o f)(b) = ?

Irvan

Dedy, S.Pd

1919

contoh

2

Ditentukan

g(f(x)) = f(g(x)).

Jika

f(x) = 2x + p dan

g(x) = 3x + 120

maka

nilai

p = …

.

Irvan

Dedy, S.Pd

2020

Jawab:f(x) = 2x + p dan

g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p3p –

p = 360 –

120

2p = 240 p = 120Irvan

Dedy, S.Pd

2121

Sifat

Komposisi

Fungsi1.Tidak

komutatif:

f o g ≠

g o f2. Bersifat

assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h3. Memiliki

fungsi

identitas: I(x) = x

f o I = I o f = f

Irvan

Dedy, S.Pd

2222

contoh 1f : R → R dan

g : R → R

f(x) = 3x –

1 dan

g(x) = 2x2

+ 5

Tentukan: a. (g o f)(x)

b. (f o g)(x)

Irvan

Dedy, S.Pd

2323

Jawab:f(x) = 3x –

1 dan

g(x) = 2x2

+ 5

a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x

–

1)= 2(3x

–

1)2

+ 5

= 2(9x2

–

6x + 1) + 5 = 18x2

–

12x + 2 + 5

= 18x2

–

12x + 7

Irvan

Dedy, S.Pd

2424

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2

+ 5)

= 3(2x2

+ 5) –

1= 6x2

+ 15 –

1

(f o g)(x) = 6x2

+ 14 (g o f)(x) = 18x2

–

12x + 7

(g o f)(x) ≠

(f o g )(x)tidak

bersifat

komutatif

Irvan

Dedy, S.Pd

2525

contoh 2f(x) = x –

1, g(x) = x2

– 1 dan

h(x) = 1/x

Tentukan: a. (f o g) o h

b. f o (g o h)

Irvan

Dedy, S.Pd

2626

Jawab:f(x) = x –

1, g(x) = x2 – 1

dan

h(x) = 1/x((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))

(f o g)(x) = (x2

– 1) – 1 = x2 – 2

(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x) = (1/x)2 – 2

Irvan

Dedy, S.Pd

2727

f(x) = x –

1, g(x) = x2 – 1dan

h(x) = 1/x

(f o (g o h))(x) = (f(g

oh)(x))(g o h)(x)= g(1/x)

= (1/x)2 – 1= 1/x2 - 1

f(g

o h)(x)= f(1/x2

– 1)= (1/x2

– 1) – 1

=(1/x)2

–

2 Irvan

Dedy, S.Pd

2828

contoh 3I(x) = x, f(x) = x2

dan

g(x) = x + 1

Tentukan:

a.(f o I)(x) dan

(g o I)

b.(I o f) dan

(I o g)

Irvan

Dedy, S.Pd

2929

Jawab:I(x) = x, f(x) = x2

dan

g(x) = x + 1

(f o I)(x) = x2

(g o I)(x) = x + 1(I o f)(x) = x2

(I o g)(x) = x + 1(I o f)(x) = (f o I) = f

Irvan

Dedy, S.Pd

3030

MenentukanSuatu

Fungsi

Jika

Fungsi

Komposisidan

Fungsi

Yang Lain Diketahui

Irvan

Dedy, S.Pd

3131

Contoh

1

Diketahui

f(x) = 3x –

1dan

(f o g)(x) = x2

+ 5

Tentukan

g(x).

Irvan

Dedy, S.Pd

3232

Jawabf(x) = 3x –

1dan (f o g)(x) = x2

+ 5

fg(x)]

= x2

+ 53.g(x) –

1 = x2

+ 5

3.g(x) = x2

+ 5 + 1 = x2

+ 6Jadi

g(x) = ⅓(x2

+ 6)

Irvan

Dedy, S.Pd

3333

contoh

2

Diketahui

g(x) = x + 9 dan

(f o g)(x) = ⅓x2

– 6

maka

f(x) = …

.

Irvan

Dedy, S.Pd

3434

Jawab:g(x) = x + 9

(f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2

– 6f(x

+ 9) = ⅓x2

– 6

Misal: x + 9 = y x = y –

9f(y) = ⅓(y –

9)2

– 6

Irvan

Dedy, S.Pd

3535

f(y) = ⅓(y –

9)2

– 6= ⅓(y2

–

18y + 81) –

6

= ⅓y2

– 6y + 27 – 6Jadi

f(x) = ⅓x2

– 6x + 21

Irvan

Dedy, S.Pd

3636

contoh

3

Diketahui

f(x) = x –

3 dan

(g of)(x) = x2

+ 6x + 9

maka

g(x

–

1) = …

.

Irvan

Dedy, S.Pd

3737

Jawab:f(x) = x – 3;

(g o f)(x) = g (f(x)) = x2

+ 6x + 9

g(x

–

3) = x2

+ 6x + 9

Misal: x –

3 = y x = y + 3

g(y) = (y + 3)2

+ 6(y + 3) + 9

= y2

+ 6y + 9 + 6y + 18 + 9Irvan

Dedy, S.Pd

3838

g(y) = y2

+ 6y + 9 + 6y + 18 + 9

= y2

+ 12y + 36

g(x

–

1) = (x –

1)2

+ 12(x –

1) + 36

= x2

–

2x + 1 + 12x –

12 + 36

= x2

+ 10x + 25

Jadi

g(x

–

1) = x2

+ 10x + 25

Irvan

Dedy, S.Pd

3939

Contoh

4

Diketahui

f(x) = 2x + 1dan

(f o g)(x

+ 1)= -2x2

–

4x + 1

Nilai

g(-2) =….

Irvan

Dedy, S.Pd

4040

Jawaban:f(g(x

+ 1))= -2x2

–

4x + 1

f(x) = 2x + 1

→ f(g(x))= 2g(x) + 1f(g(x

+ 1)) = 2g (x + 1) + 1

2g(x + 1) + 1 = -2x2

– 4x – 12g(x + 1) = -2x2

– 4x – 2

g(x

+ 1) = -x2

– 2x – 1

Irvan

Dedy, S.Pd

4141

g(x

+ 1) = -x2

– 2x – 1g(x) = -(x –

1)2

–

2(x –

1) –

1

g(2) = -(2 –

1)2

– 2(2 – 1) – 1= -1 – 2 – 1 = -4

Jadi

g(2) = -

4

Irvan

Dedy, S.Pd

4242

SELAMAT BELAJARdan

SUKSES SELALU

Irvan

Dedy, S.Pd