4

BAB IVL I M I T F U N G S I

Limit merupakan konsep yang mendasari semua pembahasan konsep kalkulus, seperti kekontinuan, turunan dan integral. Pada bab sebelumnya telah dibahas secara komprehensif tentang limit dari barisan bilangan real. Pada bab ini akan dikembangkan konsep limit barisan untuk fungsi secara umum.4.1 Limit Fungsi

Di dalam bab ini, kita akan membahas bahwa definisi limit fungsi akan mirip dengan limit dari barisan bilangan. Secara intuitif fungsi f dikatakan mempunyai limit L di titik c adalah bahwa nilai sangat dekat kepada L untuk x dekat kepada c. Alat ukur kedekatan ini digunakan persekitaran suatu titik. Jadi, fungsi f dikatakan mempunyai limit L di titik c berarti bahwa nilai akan terletak di dalam sebarang persekitaran dari L apabila x terletak di dalam persekitaran yang cukup kecil dari c dengan . Pemilihan akan sangat bergantung kepada yang diberikan. Perlu dicatat di sini bahwa fungsi f tidak perlu terdefinisi di c, tetapi cukup terdefinisi disektar c. Hal inilah yang mendorong munculnya definisi berikut.Definisi 4.1.1 Misalkan A ( (, titik c ( ( dikatakan titik limit (cluster point) dari A jika untuk setiap persekitaran dari c memuat sedikitnya satu titik anggota A yang berbeda dengan c.

Dengan kata lain, c titik limit dari A jika dan hanya jika untuk setiap ,

.

Perlu dicatat di sini bahwa titik c dapat anggota atau bukan anggota dari A.Teorema 4.1.2 Bilangan c ( ( adalah titik limit dari jika dan hanya jika terdapat barisan di dalam A dengan untuk semua n ( N sehingga .Bukti: Jika c titik limit dari A maka untuk sebarang n ( N, persekitaran memuat sedikitnya satu titik dari A yang berbeda dengan c. Jika adalah titik-titik yang demikian maka dan .

Sebaliknya, jika terdapat barisan di dalam dengan , maka untuk sebarang terdapat bilangan asli sehingga untuk berlaku Jadi, untuk persekitaran memuat titik-titik anggota dari A dan berbeda dengan c.

(Berikut ini akan diberikan contoh yang nenunjukkan bahwa titik c dapat merupakan anggota atau bukan anggota dari A.Contoh 4.1.3 (a) Misalkan maka setiap titik dari merupakan titik limit dari . Dalam hal ini jelas bahwa 0 dan 1 bukan anggota dari . Kenyataannya, jika c sebarang anggota dari maka untuk setiap

.(b) Himpunan berhingga tidak mempunyai titik limit.

Misalkan himpunan dengan m anggota. Setiap bukan titik limit dari , karena dapat dipilih sehingga

.

Demikian juga, bukan titik limit , karena

dengan .(c) Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit.

Setiap n ( N bukan titik limit N, karena untuk ,

V((N {n} = {n} {n} = (.Hal yang sama dapat dibuktikan untuk c ( N.

(d) Himpunan A4 = {1/n : n ( N } hanya mempunyai 0 sebagai titik limit.

Jika diberikan sebarang , maka menurut Akibat Sifat Archimides 2.5.3 (b) terdapat K ( N sehingga . Akibatnya

.

Karena sebarang, maka 0 titik limit dari . Tetapi hal ini tidak dapat dilakukan untuk sebarang .

Sekarang akan didefinisikan limit dari fungsi di suatu titik.Definisi 4.1.4 Misalkan A ( (, f : A ( ( dan c titik limit dari A. Bilangan real L dikatakan limit dari f di titik c jika diberikan sebarang terdapat sehingga untuk setiap dengan berlaku

.

Perlu diperhatikan disini bahwa eksistensi sangat bergantung kepada c dan yang diberikan. Jika L adalah limit dari f di titik c, maka juga dapat dikatakan bahwa f konvergen ke L di titik c, dan biasa ditulis

dapat juga dikatakan bahwa mendekati L pada saat x cenderung ke c, atau mendekati L pada saat x mendekati c. Sehingga simbol

digunakan untuk menyatakan bahwa f mempunyai limit L di titik c. Jika f tidak mempunyai limit di c, maka dikatakan f divergen di c. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa bilangan L sebagai limit adalah tunggal, jika limitnya ada.

Teorema 4.1.5 Jika f : A ( ( dan c adalah titik limit dari A, maka f hanya dapat mempunyai satu limit di c.

Bukti: Misalkan limit dari f di c. Cukup dibuktikan bahwa . Diberikan sebarang . Dari definisi limit maka terdapat sehingga untuk dengan berlaku

.

Juga terdapat sehingga untuk dengan berlaku

.

Dengan memilih , maka untuk dengan berlaku

.

Karena sebarang, maka menurut Teorema 2.2.9, .

(Contoh 4.1.6 (a) .Misalkan untuk semua x ( (. Untuk sebarang ambil , sehingga untuk diperoleh . Karena sebarang maka dari Definisi 4.1.4 disimpulkan bahwa

(b)

Misalkan untuk semua x ( (. Untuk sebarang ambil , sehingga untuk diperoleh Karena sebarang maka menurut Definisi 4.1.4 disimpulkan bahwa .(c) .Misalkan untuk x ( (. Dengan sedikit manipulasi aljabar, diperoleh

= Untuk memperoleh batas koefisien maka dibatasi x untuk atau, Untuk x yang demikian, diperoleh 5x2 + 6x + 12 5.32 + 6. 3 + 12 =75 dan .

Oleh karena itu,

.Jika diberikan sebarang , dapat dipilih sehingga untuk berlaku

.

Karena sebarang maka disimpulkan bahwa .(d) jika .

Misalkan untuk . Perhatikan bahwa untuk ,

Untuk memperoleh batas koefisien , ambil atau, . Sehingga

untuk .Oleh karena itu untuk berlaku

.

Untuk sebarang , pilih , sehingga untuk diperoleh

.

Karena sebarang maka disimpulkan bahwa .

Kriteria Barisan untuk Limit

Berikut ini akan disajikan formulasi limit fungsi sebagai limit barisan. Oleh karena itu hasil-hasil pada BAB III dapat diaplikasikan untuk penyelidikan limit fungsi ini.Teorema 4.1.7 Misalkan f : A ( ( dan c adalah titik limit dari A, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:(a)

(b) untuk setiap barisan di dalam A yang konvergen ke c dengan untuk semua n ( N, maka barisan konvergen ke L.

Bukti: (a)((b) Diasumsikan bahwa f mempunyai limit L di c, dan misalkan sebarang barisan di dalam A dengan dan untuk semua n ( N. Akan dibuktikan bahwa barisan konvergen ke L. Diberikan sebarang . Dari definisi limit fungsi, terdapat sehingga jika memenuhi maka

Dari definisi barisan konvergen, maka untuk di atas terdapat bilangan asli sehingga untuk semua berlaku Tetapi untuk setiap yang demikian diperoleh Jadi, jika berlaku Dengan kata lain, barisan konvergen ke L.

Sebaliknya, akan dibuktikan bentuk kontrapositifnya. Misalkan (a) tidak benar, maka terdapat sehingga untuk setiap akan terdapat sedikitnya satu titik dengan sehingga . Oleh karena itu, untuk setiap n ( N, terdapat sehingga

tetapi

|f(xn) L| ( (0 untuk semua n ( N. Jadi, terdapat barisan di dalam , untuk semua n ( N, yang konvergen ke c tetapi barisan tidak konvergen ke L. Akibatnya (b) tidak dipenuhi. Jadi terbukti bahwa jika (b) dipenuhi maka akan dipenuhi (a).

(Kriteria Divergen

Dengan mengambil negasi dari Teorema 4.1.7, diperoleh teorema berikut ini. Dalam aplikasinya hasil ini sangat memudahkan kita untuk menunjukkan bahwa fungsi tidak mempunyai limit di suatu titik.Teorema 4.1.8 (Kriteria Kedivergenan) Misalkan A ( ( dan f : A ( ( serta c titik limit dari A.

(a) Jika L ( R maka f tidak mempunyai limit L di c jika dan hanya jika terdapat barisan di dalam A dengan untuk semua n ( N sehingga barisan konvergen ke c tetapi barisan tidak konvergen ke L.

(b) Fungsi f tidak mempunyai limit di c jika dan hanya jika terdapat barisan di dalam A dengan untuk semua n ( N sehingga barisan konvergen ke c tetapi barisan tidak konvergen di (.Contoh 4.1.9 (a) tidak ada di (.Ambil fungsi Pilih barisan dengan . Jelas bahwa dan barisan konvergen ke 0, tetapi barisan tidak konvergen di dalam (. Menurut Kriteria Kedivergenan 4.1.8, tidak ada.(b) tidak ada.

Fungsi signum sgn didefinisikan sebagai

Pilih barisan dengan , sehingga dan konvergen ke 0, tetapi barisan tidak konvergen di dalam (. Dengan Kriteria Kedivergenan 4.1.8, disimpulkan bahwa tidak ada.

(c) tidak ada di (.Misalkan Pilih barisan dengan , maka dan barisan konvergen ke 0. Tetapi untuk semua n ( N. Jelas bahwa barisan tidak konvergen. Jadi, tidak ada.

Latihan 4.1

1. Tentukan syarat agar :

(a) ,

(b) ,(c) untuk suatu n ( N,(d) untuk suatu n ( N.2. Misalkan c titik limit dari A ( ( dan f : A ( (. Buktikan bahwa jika dan hanya jika

3. Misalkan f : ( ( ( dan c ( ( tunjukkan bahwa jika dan hanya jika

4. Misalkan f : ( ( (, I interval terbuka, dan . Jika fungsi pembatasan dari f pada I, tunjukkan bahwa mempunyai limit di c jika dan hanya jika f mempunyai limit di c, dan .5. Misalkan f : ( ( (, J interval tertutup, dan . Jika fungsi pembatasan dari f pada J, tunjukkan bahwa f mempunyai limit di c, maka mempunyai limit di c. Tunjukkan jika mempunyai limit di c, maka f tidak perlu limit di c..

6. Misalkan dan Untuk tunjukkan bahwa Selanjutnya gunakan ketaksamaan ini untuk membuktikan bahwa

7. Misalkan I ( (, f : I ( (, dan Jika terdapat bilangan real K dan L sehingga tunjukkan bahwa .

8. Tunjukkan bahwa untuk sebarang c ( (.

9. Tunjukkan bahwa untuk sebarang .10. Gunakan definisi limit fungsi untuk membuktikan untuk limit berikut :

(a) ,

(b) ,

(c) ,

(d) .11. Tunjukkan bahwa limit berikut tidak ada dalam ( :

(a) ,

(b) ,

(c) ,

(d) .

12. Misalkan f : ( ( ( mempunyai limit L di 0, dan . Jika g : ( ( ( didefinisikan dengan untuk x ( (, tunjukkan bahwa .

13. Misalkan c titik limit dari A ( R dan f : A ( ( sehingga . Tunjukkan bahwa jika , maka . Tunjukkan dengan contoh bahwa jika , maka f tidak mempunyai limit di c.

14. Misalkan f : ( ( (, didefinisikan dengan jika x rasional, dan jika x irrasional. Tunjukkan bahwa f mempunyai limit di c jika dan hanya jika .4.2 Teorema Limit

Di dalam subbab ini akan dibahas beberapa teorema untuk menghitung limit fungsi. Teorema-teorema yang diperoleh di dalam subbab ini serupa dengan teorema limit untuk barisan. Kenyataannya, beberapa teorema dapat digunakan pendekatan barisan.

Definisi 4.2.1 Misalkan A ( ( dan f : A ( ( serta c titik limit dari A. Fungsi f dikatakan terbatas pada persekitaran dari c jika terdapat persekitaran dan konstanta sehingga untuk setiap

Teorema 4.2.2 Misalkan A ( ( dan f : A ( ( mempunyai limit di c, maka f terbatas pada suatu persekitaran dari c.

Bukti: Jika maka menurut Definisi 4.1.4 dengan terdapat sehingga untuk , , maka Akibatnya

.

Jadi, jika , maka Jika ambil sedangkan jika maka ambil . Hal ini menunjukkan bahwa f terbatas pada persekitaran dari c.

(Definisi 4.2.3 Misalkan A ( (, dan f, g fungsi yang terdefinisi pada A ke (. Penjumlahan , selisih dan perkalian pada A ke ( didefinisikan sebagai fungsi dengan

untuk semua Lebih lanjut, jika b ( (, didefinisikan perkalian sebagai

Jika didefinisikan pembagian dengan

Teorema 4.2.4 Misalkan A ( (, dan f, g fungsi yang terdefinisi pada A ke (, dan misalkan c ( ( adalah titik limit dari A. Lebih lanjut, misalkan b ( (,(a) Jika dan maka :

.(b) Jika h : A ( (, h(x) ( 0 untuk semua dan jika maka

Bukti: Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Kriteria Barisan 3.2.3. Akan dibuktikan salah satu saja, yang lain diserahkan pembaca sebagai latihan. Ambil sebarang barisan di dalam A dengan sehingga konvergen ke c. Menurut Teorema 4.1.7 berlaku

dan .

Di pihak lain, menurut Definisi 4.2.3,

untuk n ( N.Dengan Teorema 3.2.4 diperoleh

.

(Contoh 4.2.5 (a) .Menurut Teorema 4.2.4 (a),

.

(b) .Dengan menerapkan Teorema 4.2.4 (b),

.(c) Jika p fungsi polinomial, maka .

Misalkan untuk semua x ( (. Dari Teorema 4.2.4 dan kenyataan bahwa , maka

.Jadi untuk sebarang fungsi polynomial p.

Teorema 4.2.6 Misalkan A ( (, f, g fungsi yang terdefinisi pada A ke (, dan misalkan c ( ( adalah titik limit dari A. Jika untuk semua dan jika ada, maka .Bukti: Jika , maka menurut Teorema 4.1.7, jika adalah sebarang barisan bilangan real di dalam A dengan untuk semua n ( N, maka barisan konvergen ke L. Karena untuk semua maka .(

Sebagai akibat Teorema Apit 3.2.6 untuk barisan, maka diperoleh teorema serupa untuk limit fungsi. Buktinya ditinggalkan sebagai latihan.Teorema 4.2.7 (Teorema Apit) Misalkan A ( (, dan f, h, g fungsi yang terdefinisi pada A ke (, serta c ( ( adalah titik limit dari A. Jika

dan jika maka .Contoh 4.2.8 (a) .Misalkan untuk . Karena ketaksaman dipenuhi untuk , maka . Karena dan , maka dengan Teorema Apit 4.2.7 disimpulkan bahwa .(b)

Karena untuk semua dan , maka dengan Teorema Apit 4.2.7 disimpulkan bahwa

(c) .

Dapat ditunjukkan bahwa untuk dan untuk . Oleh karena itu,

untuk semua .Karena , maka dengan Teorema Apit 4.2.7 diperoleh .

(d) .Misalkan Karena untuk semua z ( ( maka

untuk x ( ( ,. Karena maka dengan Teorema Apit 4.2.7 diperoleh

Limit Tak HinggaFungsi untuk (lihat Gambar 4.2.1) tidak terbatas pada persekitaran dari 0, dengan Definisi 4.1.4, fungsi ini tidak mempunyai limit di 0. Meskipun simbol dan tidak merepresentasikan bilangan real, namun hal ini sering sangat bermanfaat untuk mengatakan bahwa menuju ke apabila . Berikut ini definisi formalnya.

Definisi 4.2.9 Misalkan A ( (, f : A ( (, dan c titik limit dari A.

(a) Fungsi f dikatakan menuju ke untuk , dan ditulis , jika untuk setiap ( ( ( terdapat sehingga untuk dengan berlaku .

(b) Fungsi f dikatakan menuju ke untuk , dan ditulis , jika untuk setiap ( ( ( terdapat sehingga untuk dengan berlaku .

Gambar 4.2.1 Grafik dari ,

Contoh 4.2.10 (a) .

Jika diberikan , ambil . Akibatnya untuk berlaku atau .(b) Misalkan untuk . (lihat Gambar 4.2.2).Fungsi g tidak menuju ke atau apabila . Karena, jika maka untuk , sehingga g tidak menuju ke apabila . Dengan cara yang sama, jika , maka untuk semua , yaitu g tidak menuju ke apabila .

Gambar 4.2.2 Grafik dari ,

Hasil berikut sejalan dengan Teorema Apit 4.2.7Teorema 4.2.11 Misalkan A ( (, f, g : A ( (, dan c ( ( adalah titik limit dari A. Jika untuk semua .

(a) Jika , maka .

(b) Jika , maka .Bukti: (a) Jika dan ( ( ( sebarang, maka terdapat untuk dengan berlaku . Tetapi karena untuk semua , maka untuk dengan berlaku . Jadi, .

Bukti dari (b) serupa.

(

Limit di Tak Hingga

Definisi 4.2.12 Misalkan A ( (, f : A ( (.(a) Misalkan untuk suatu ( ( ( . Fungsi f dikatakan mempunyai limit L apabila , dan ditulis , jika untuk setiap terdapat sehingga untuk semua memenuhi .(b) Misalkan untuk suatu a ( (. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L apabila , dan ditulis , jika untuk setiap terdapat sehingga untuk semua berlaku .

Sebagaimana limit fungsi di bilangan real, limit di tak hingga juga berlaku pendekatan barisan.

Teorema 4.2.13 Misalkan A ( (, f : A ( (, dan untuk suatu a ( (. Kedua pernyataan berikut ekuivalen :(a)

(b) untuk setiap barisan di dalam sehingga berakibat konvergen ke L.

Bukti: Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

(Contoh 4.2.14 (a) Misalkan untuk .

Mudah ditunjukkan bahwa . (Lihat Gambar 4.2.1).

(b) Misalkan untuk .

Mudah diperlihatkan bahwa . (Lihat Gambar 4.2.2).

Latihan 4.21. Gunakan Teorema 4.2.4 untuk menghitung limit dari

(a) , x ( (,

(b)

(c) ,

(d)

2. Carilah limit dari

3. Buktikan bahwa tetapi .

4. Misalkan f,g fungsi yang terdefinisi pada A ( ( dan c adalah titik limit dari A. Jika f terbatas pada persekitaran dari c dan maka buktikan bahwa

5. Gunakan formulasi untuk membuktikan Teorema 4.2.4.6. Untuk n ( N, , tunjukkan bahwa untuk . Kemudian gunakan kenyataan bahwa untuk menunjukkan bahwa .7. Misalkan f dan g terdefinisi pada A ke ( dan c titik limit dari A. (a) Tunjukkan jika dan ada, maka ada.

(b) Jika dan ada, apakah ada.

8. Berikan contoh fungsi f dan g sehingga f dan g tidak mempunyai limit di titik c tetapi dan mempunyai limit di c.

9. Selidiki eksistensi limit berikut di dalam (.

(a) , ,

(b) , ,

(c) , ,

(d) , .10. Seilidiki eksistensi limit berikut di titik yang diberikan.

(a) di ,(b) di .11. Misalkan f terdefinisi pada A ( (, c adalah titik limit dari A dan . Jika tunjukkan bahwa terdapat sehingga untuk semua . Apakah masih benar apabila .12. Misalkan f : ( ( (, sehingga untuk x ( (, dan ada. Buktikan bahwa , dan kemudian buktikan bahwa f mempunyai limit di setiap titik c ( (.

13. Misalkan f terdefinisi pada A ( (, c adalah titik limit dari A. Jika ada, dan didefinisikan dengan untuk , buktikan bahwa .

14. Misalkan c ( (. dan terdefinisi pada dengan untuk semua . Tunjukkan bahwa jika dan hanya jika .15. Hitung limit berikut atau tunjukkan bahwa limitnya tidak ada.

(a) , ,

(b) ,

(c) ,

(d) ,

16. Misalkan f : (0,() ( (. Buktikan jika dan hanya jika .

17. Jika f : (0,() ( ( sehingga dengan L ( (, maka .

PAGE 74________________________________________________________________Analisis Real

_1217307136.unknown

_1217312296.unknown

_1217355672.unknown

_1217387231.unknown

_1217388625.unknown

_1217393819.unknown

_1217402153.unknown

_1217421885.unknown

_1217422688.unknown

_1217422814.unknown

_1217422901.unknown

_1217423157.unknown

_1220814400.unknown

_1220814898.unknown

_1217423315.unknown

_1217423069.unknown

_1217422980.unknown

_1217422870.unknown

_1217422892.unknown

_1217422763.unknown

_1217422781.unknown

_1217422733.unknown

_1217422420.unknown

_1217422506.unknown

_1217422548.unknown

_1217422445.unknown

_1217422238.unknown

_1217422396.unknown

_1217422026.unknown

_1217402890.unknown

_1217403125.unknown

_1217403574.unknown

_1217403607.unknown

_1217403209.unknown

_1217403546.unknown

_1217403208.unknown

_1217403065.unknown

_1217403115.unknown

_1217403009.unknown

_1217402765.unknown

_1217402854.unknown

_1217402820.unknown

_1217402791.unknown

_1217402266.unknown

_1217402464.unknown

_1217402682.unknown

_1217402170.unknown

_1217399491.unknown

_1217401345.unknown

_1217401470.unknown

_1217401995.unknown

_1217402131.unknown

_1217401811.unknown

_1217401778.unknown

_1217401425.unknown

_1217401448.unknown

_1217401365.unknown

_1217401271.unknown

_1217401282.unknown

_1217401302.unknown

_1217401157.unknown

_1217399369.unknown

_1217399415.unknown

_1217399443.unknown

_1217393823.unknown

_1217399277.unknown

_1217399341.unknown

_1217393820.unknown

_1217393822.unknown

_1217389176.unknown

_1217393579.unknown

_1217393686.unknown

_1217393607.unknown

_1217390706.unknown

_1217392767.unknown

_1217393020.unknown

_1217393495.unknown

_1217393514.unknown

_1217393178.unknown

_1217393002.unknown

_1217390943.unknown

_1217391825.unknown

_1217392096.unknown

_1217392233.unknown

_1217392448.unknown

_1217392517.unknown

_1217392549.unknown

_1217392488.unknown

_1217392278.unknown

_1217392174.unknown

_1217391992.unknown

_1217392025.unknown

_1217391004.unknown

_1217391489.unknown

_1217391553.unknown

_1217391612.unknown

_1217391535.unknown

_1217391286.unknown

_1217391460.unknown

_1217391025.unknown

_1217390976.unknown

_1217390886.unknown

_1217390916.unknown

_1217390929.unknown

_1217390730.unknown

_1217390022.unknown

_1217390650.unknown

_1217390667.unknown

_1217390704.unknown

_1217390658.unknown

_1217390117.unknown

_1217390118.unknown

_1217390032.unknown

_1217389692.unknown

_1217389931.unknown

_1217389952.unknown

_1217389979.unknown

_1217389734.unknown

_1217389469.unknown

_1217389562.unknown

_1217389658.unknown

_1217389432.unknown

_1217388739.unknown

_1217388829.unknown

_1217388874.unknown

_1217388789.unknown

_1217388668.unknown

_1217388711.unknown

_1217388091.unknown

_1217388260.unknown

_1217388345.unknown

_1217388477.unknown

_1217388558.unknown

_1217388314.unknown

_1217388204.unknown

_1217388237.unknown

_1217388118.unknown

_1217387604.unknown

_1217388058.unknown

_1217387620.unknown

_1217387940.unknown

_1217387308.unknown

_1217387368.unknown

_1217387280.unknown

_1217385753.unknown

_1217386727.unknown

_1217387038.unknown

_1217387084.unknown

_1217387092.unknown

_1217387073.unknown

_1217386875.unknown

_1217386901.unknown

_1217386817.unknown

_1217386345.unknown

_1217386554.unknown

_1217386686.unknown

_1217386508.unknown

_1217386223.unknown

_1217386270.unknown

_1217386053.unknown

_1217384683.unknown

_1217385008.unknown

_1217385170.unknown

_1217385251.unknown

_1217385151.unknown

_1217384713.unknown

_1217384728.unknown

_1217384694.unknown

_1217355999.unknown

_1217384654.unknown

_1217384671.unknown

_1217356230.unknown

_1217355816.unknown

_1217355894.unknown

_1217355774.unknown

_1217345872.unknown

_1217346600.unknown

_1217355069.unknown

_1217355184.unknown

_1217355579.unknown

_1217355120.unknown

_1217346667.unknown

_1217346763.unknown

_1217346646.unknown

_1217346215.unknown

_1217346406.unknown

_1217346474.unknown

_1217346355.unknown

_1217346083.unknown

_1217346137.unknown

_1217346042.unknown

_1217345181.unknown

_1217345518.unknown

_1217345709.unknown

_1217345736.unknown

_1217345647.unknown

_1217345276.unknown

_1217345310.unknown

_1217345261.unknown

_1217312701.unknown

_1217344594.unknown

_1217344959.unknown

_1217312702.unknown

_1217312562.unknown

_1217312596.unknown

_1217312456.unknown

_1217309618.unknown

_1217310059.unknown

_1217310329.unknown

_1217310955.unknown

_1217311067.unknown

_1217311239.unknown

_1217311640.unknown

_1217311763.unknown

_1217311529.unknown

_1217311033.unknown

_1217310869.unknown

_1217310913.unknown

_1217310206.unknown

_1217310244.unknown

_1217310108.unknown

_1217309815.unknown

_1217309976.unknown

_1217310031.unknown

_1217309944.unknown

_1217309752.unknown

_1217309780.unknown

_1217309679.unknown

_1217307777.unknown

_1217309275.unknown

_1217309369.unknown

_1217309380.unknown

_1217309292.unknown

_1217309324.unknown

_1217307972.unknown

_1217308210.unknown

_1217307890.unknown

_1217307458.unknown

_1217307554.unknown

_1217307620.unknown

_1217307377.unknown

_1217307423.unknown

_1217307433.unknown

_1217307239.unknown

_1217304588.unknown

_1217306006.unknown

_1217306501.unknown

_1217306927.unknown

_1217307047.unknown

_1217307108.unknown

_1217306995.unknown

_1217306599.unknown

_1217306853.unknown

_1217306544.unknown

_1217306158.unknown

_1217306194.unknown

_1217306297.unknown

_1217306463.unknown

_1217306186.unknown

_1217306106.unknown

_1217306143.unknown

_1217306083.unknown

_1217305371.unknown

_1217305514.unknown

_1217305896.unknown

_1217305932.unknown

_1217305862.unknown

_1217305417.unknown

_1217305439.unknown

_1217305381.unknown

_1217305203.unknown

_1217305352.unknown

_1217305361.unknown

_1217305285.unknown

_1217305329.unknown

_1217304683.unknown

_1217304931.unknown

_1217304981.unknown

_1217304616.unknown

_1217302556.unknown

_1217303928.unknown

_1217304415.unknown

_1217304469.unknown

_1217304487.unknown

_1217304098.unknown

_1217304326.unknown

_1217304381.unknown

_1217304038.unknown

_1217303121.unknown

_1217303460.unknown

_1217303851.unknown

_1217303372.unknown

_1217302771.unknown

_1217302836.unknown

_1217302961.unknown

_1061194448.unknown

_1217253870.unknown

_1217254689.unknown

_1217302356.unknown

_1217302472.unknown

_1217302509.unknown

_1217301855.unknown

_1217301181.unknown

_1217301824.unknown

_1217254493.unknown

_1217254565.unknown

_1217254618.unknown

_1217254526.unknown

_1217254460.unknown

_1217254423.unknown

_1217254435.unknown

_1093067654.unknown

_1217253738.unknown

_1217253790.unknown

_1217253852.unknown

_1217253670.unknown

_1093068157.unknown

_1093068479.unknown

_1093069077.unknown

_1217253464.unknown

_1093068797.unknown

_1093069076.unknown

_1093068405.unknown

_1093067991.unknown

_1093068091.unknown

_1093067818.unknown

_1093067840.unknown

_1061195333.unknown

_1061195830.unknown

_1061198163.unknown

_1061198437.unknown

_1093067653.unknown

_1061198381.unknown

_1061196186.unknown

_1061195447.unknown

_1061195501.unknown

_1061195357.unknown

_1061194791.unknown

_1061195136.unknown

_1061195248.unknown

_1061195134.unknown

_1061195135.unknown

_1061194811.unknown

_1061194529.unknown

_1061194761.unknown

_1061194493.unknown

_1061031380.unknown

_1061191029.unknown

_1061193887.unknown

_1061194208.unknown

_1061194360.unknown

_1061194397.unknown

_1061194345.unknown

_1061194126.unknown

_1061194150.unknown

_1061194101.unknown

_1061193457.unknown

_1061193786.unknown

_1061193886.unknown

_1061193739.unknown

_1061191308.unknown

_1061193456.unknown

_1061191159.unknown

_1061188222.unknown

_1061190487.unknown

_1061190767.unknown

_1061190906.unknown

_1061190500.unknown

_1061189844.unknown

_1061190036.unknown

_1061189796.unknown

_1061118636.unknown

_1061186514.unknown

_1061186984.unknown

_1061185907.unknown

_1061031791.unknown

_1061118524.unknown

_1061118617.unknown

_1061031734.unknown

_1061021333.unknown

_1061022292.unknown

_1061029770.unknown

_1061030479.unknown

_1061030546.unknown

_1061029804.unknown

_1061024611.unknown

_1061029452.unknown

_1061029639.unknown

_1061029424.unknown

_1061023135.unknown

_1061024511.unknown

_1061024167.unknown

_1061022612.unknown

_1061021567.unknown

_1061021602.unknown

_1061021370.unknown

_1061021168.unknown

_1061021205.unknown

_1061021239.unknown

_1061021308.unknown

_1061020884.unknown

_1061021125.unknown

_1061021126.unknown

_1061020963.unknown

_1061020571.unknown