1. MODUL MATERI KULIAH B-3PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKSTujuan Pembelajaran UmumMahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa StrukturMetode Matriks (ASMM)3.1 Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)Tujuan Pembelajaran KhususMahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumuskekakuan, deformasi, dan derajat kebebasanANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM) Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisastruktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan,matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :{ P } = [ K ] { U }dimana :{ P } = matriks gaya[ K ] = matriks kekakuan{ U } = matriks perpindahanSalah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitudengan menggunakan Metode Kekakuan. Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah :perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti.Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuankinematis struktur. Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yangditulis dalam : Koefisien Kekakuan dan Perpindahan titik simpul yang tidakdiketahui .

2. 3.2 Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)Tujuan Pembelajaran KhususMahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matrikskekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktifMETODE KEKAKUAN LANGSUNGmatriks kekakuanU1, P1 U2, P2{ P } = [ K ] { U }11 2U3, P3 U4, P4 gaya perpindahanP1 K11 K12 K13 K14 U1P2 K21 K22 K23 K24 U2P3 =K31 K32 K33 K34 U3P4 K41 K42 K43 K44 U4P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gayadi arah U1P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gayadi arah U2P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gayadi arah U3P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gayadi arah U4 Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a) Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b) Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c) Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d) 3. U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41U1 = 1 P1 = K11P2 = K21P3 = K31P4 = K41K31 = -12EIL2EIK42 = L-6EIU'3 = 1K44 = 4EI6EILK11 K12 K13 K14K21 K22 K23 K24K31 K32 K33 K34K41 K42 K43 K446 EI- 12 EI6 EI12 EI3 L2 L3 L2 L2 EIL- 6 EI2 2L4 EIL6 EIL- 6 EI12 EI6 EI 12 EI -3 L2 L3 L2L6EIK21 = LK11 = 12EIU'2 = 1Gb. A 23LK22 = 4EIGb. B LK12 =-6EIMatriks Kekakuan4 EIL- 6 EI2 2L2 EIL6 EILGambar (a) (b) (c) (d)K =K =U'4 = 16EI K34 =L 2Gb. D K24 = 2EILK14 = 2LL , EI6EI L2K32 =23Gb. C K23 = LK13 = -12EILU'1 = 1223K43 = LK33 = 12EIL-6EIL236EIK41 = L 4. Jika pada batang bekerja gaya aksial :U1,P1 U2,P2L, EAK11 =EA K21 =L EALU1= 1EA U2= 1U1, P1 U2, P2U3, P3 U4, P4EAMatriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :6 x 6K12 = -LK22 =L11 2K =6 EI0 0 - EA0 - 12 EI6 EIEA0 12 EI3 2 3 L2LLL2 EIL0 - 6 EI0 6 EI 2 2L4 EILL- 6 EI0 0 - EA0 12 EI6 EI EA0 12 EI -3 2 3 L2LLL4 EIL0 6 EI 2 20 - 6 EIL2 EILL0 0LL0 0LL 5. Kinematis tidak tentu orde 1Kinematis tertentuStruktur primer(Restrained structure)Sistem sekunderKondisi awal : M2 = 0M2 = M2q + M22 = 0qL 4 EI12 2 + = 0L123 qL48 EI2 =qL124 EIL122 =11 212 12M12 = M124 EI + 2 EIq + 1 2 LLq L3= 48 EI1 2 + 2= qL1231q L80 + 2 EI q L=48 EILM12 = M214 EI + 2 EIq + 2 1 LLq L4 EI 1 2 + 0 0= qL1248 EIL3+ =14 EILqq24 EIL1 q L21qq L2L, EI1q2 6. q3.3 Elemen Balok 2 DimensiTujuan Pembelajaran KhususMahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsungContoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan LangsungDengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar1 1 2 2 3L, EI L, EIMenentukan keaktifan ujung-ujung elemen01 2 3Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasiMatriks kekakuan struktur[ Ks ] 2 x 20 0 00Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]Elemen 10 0 0 112 EI 6 EI0- 12 EI6 EI3 L2 L3 L2 L2 EI2 2 0L- 6 EIL4 EIL6 EIL 12 EI - 6 EI12 EI- 6 EI03 L2 L3 L2L4 EI2 2 1L- 6 EIL2 EIL6 EIL01 2001 212 31 20 1 1 2K1 = 7. [ K1 ] =4 EI12 EI 06 EI2 2 1 12 EI - 06 EI2 2 22 EI4 EI4 EI2 EI0 4 EI4 EI= +0 0- 12 EI12 EI=Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 0 1 }T0L2 x 2 0 0Elemen 20 1 0 26 EI6 EI3 2 3 L2LLL2 EIL- 6 EIL4 EILL- 6 EI6 EI3 L2 L3 L2L4 EIL- 6 EIL2 EILLMatriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T2 x 2Matriks Kekakuan Global Struktur[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ][ Ks ]2 x 2K2 =[ K2 ] =LLLL2 EI4 EIL2 EILLLL2 EI4 EIL8 EI2 EILLL 8. Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }Us = deformasi ujung-ujung aktifKs = kekakuan strukturPs = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)qhubungan :dimana :Untuk contoh di atas, maka :0 0Ps = 1 q L2q L2121Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1[ Ks ] =[ Ks ]-1 =2 EI4 EI4 - 2- 2 8LEI8 EI2 EI18 . 4 - 2 . 2=4 - 2- 2 8L28 EIJadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }Us =4 - 2- 2 8L28 EIq L212112LLLL 1q L212 1q L2121q L212 9. 1q L - 132 q L261 +q L 462 q L263 3q LEI1685 q L3EI168Deformasi untuk masing-masing elemenU11U12U1Elemen 1 : U1 = =3U14Rotasi di joint 2Rotasi di joint 3000U21U22U2Elemen 2 : U2 = =3U243 303 30qUs =L28 EIUs =Reaksi akibat beban luar :0 00000q L2 112q LPR1 = PR2 =q LEI168q LEI1685 3q LEI168q L21212q L2q L21q L212q L2 1q L212 10. 00000003 q L32 2 EI16803 30Gaya akhir elemen :Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }6 EI- 12 EI6 EI12 EI3 L2 L3 L2L2 EIL- 6 EI2 2L4 EIL6 EILP1 = +- 6 EI12 EI6 EI 12 EI -3 L2 3 L2L2 EIL6 EIL 6q L56 2q L256P1 = =L- 6 EIL6q L56 4q L256 3q L28 1q L2283q L28 2q L228Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }4 EIL6 EI- 12 EI6 EI12 EI3 L2 L3 L2L2 EIL- 6 EI2 2L4 EIL6 EILq LP2 = +- 6 EI12 EI6 EI 12 EI -3 L2 L3 L2L4 EI5 32 2 EIL- 6 EIL2 EIL6 EILq L168EI168q L21q L212q L2 1q L212 11. 32564q Lq L256P2 = =q L245616282q Lq L22812280 0q 03 q Lq L 162816q L28+Free Body Diagram :q L2 228q L2281q L28Menggambar gaya-gaya dalam :Bidang D :q L2- -3 q L-Bidang M :32+ +3q L228q L281228q L282812q L28q L2281q L228 12. Contoh 2 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan LangsungDengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambarq1 1 2 2 3Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen001 2 3Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi[ K1 ] =L, EI L, EI4 EI2 EI04 EI0 0Matriks kekakuan struktur[ Ks ] 2 x 2[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja :Elemen 10 102 EI4 EI2 x 2 1Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T2 x 21 2001 212 1 2 30 1 1 2K1 =LLLLL 13. 4 EI2 EI2 EIL4 EI0Elemen 2[ K2 ] =L4 EIL2 EIL4 EI= +=q0 00 01 212 EI4 EI2 x 2 2Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T2 x 2Matriks Kekakuan Global Struktur[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ][ Ks ]2 x 22 EI4 EI4 EI2 EI2 EI4 EI8 EI2 EIUntuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakanhubungan :{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }dimana :Us = deformasi ujung-ujung aktifKs = kekakuan strukturPs = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)Untuk contoh di atas, maka :LLLLLLLL 1 q L2q L212112K2 =LLLLL 14. Ps =q L2121Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1[ Ks ] =[ Ks ]-1 =2 EI4 EI4 - 2- 2 8LEI8 EI2 EI18 . 4 - 2 . 2=4 - 2- 2 8L28 EIJadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }Us =4 - 2- 2 8L28 EIUs =L28 EIUs =LLLL 1q L212 1q L2121q L212q L - 132 q L26 1q L 462 q L261 +3 q L3EI1685 q L3EI168Rotasi di joint 2Rotasi di joint 3 15. U11U120U21U22q0 00q L2 112PR1 = PR2 =00003 q L33 q L35 q L31q L212 12 EI4 EIP1 = +2 EI 2q L2564 EIP1 = =Hasil perhitunganhanya momen sajaDeformasi untuk masing-masing elemenElemen 1 : U1 = =Elemen 2 : U2 = =Reaksi akibat beban luar :Gaya akhir elemen :Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }EI168EI168EI168q L2121q L2123 q L3EI168 4q L256 1q L228 2q L228LLLL 16. 1q L212 1q L212Hasil perhitunganhanya momen sajaq 0Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }3 q L32 EI4 EIP2 = +5 q L3EI1684 EI2 EI4 2q L2 0 0Free Body Diagram :q L2 228q L22823 q Lq L 1628Dihitung lagi Dihitung lagi16q L28+P2 = =3Menggambar gaya-gaya dalam :Bidang D :- -1q L28q L228q L2812283 q Lq L2832812q L28EI168LLLLq L25628 17. 2q L228-+ +qBidang M :1q L228Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung,dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untukkekakuan balok yang tidak sama.Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar1 1 2 2 3L, EI L, 2EIMenentukan keaktifan ujung-ujung elemen001 2 31 2Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasiMatriks kekakuan struktur[ Ks ] 2 x 2[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.001 212 3 1 20 1 1 2 18. [ K1 ] =4 EI2 EI08 EI4 EI4 EI8 EI04 EI8 EI4 EI4 EI= +=0 00 0Elemen 10 102 EI4 EI2 x 2 1Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T2 x 2Elemen 21 214 EI8 EI2 x 2 2Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T2 x 2Matriks Kekakuan Global Struktur[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ][ Ks ]2 x 2K1 =[ K2 ] =LLLL4 EI8 EIL8 EI4 EILLL4 EI8 EIL12 EI4 EILLLLLLLLK2 =LLLLL 19. Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }Us = deformasi ujung-ujung aktifKs = kekakuan strukturPs = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)qhubungan :dimana :Untuk contoh di atas, maka :0 0Ps = 1 q L2q L2121Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1[ Ks ] =[ Ks ]-1 =4 EI8 EI8 - 4- 4 12LEI12 EI4 EI112 . 8 - 4 . 4=8 - 4- 4 12L80 EIJadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }Us =8 - 4- 4 12L80 EIq L212112LLLL 1q L212 1q L2121q L212 20. q L - 13q L 33U11U120U21U22qL1 3q L1 q L30 001 31 3q L2 112PR1 = PR2 =0Us =80 EIUs =Deformasi untuk masing-masing elemenElemen 1 : U1 = =Elemen 2 : U2 = =Reaksi akibat beban luar :2 q L23 22 q L231 +EI80EI60Rotasi di joint 2Rotasi di joint 3q LEI80q LEI801 q L3EI60q L21211q L212 1q L212 21. Gaya akhir elemen :Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }000Hasil perhitunganhanya momen saja1q L212 1q L212Hasil perhitunganhanya momen sajaq 02 EI4 EIP1 = +2 EI 2q L2804 EIP1 = =1 3q LEI80 4q L280 1q L240 2q L240Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }1 3q L4 EI8 EIP2 = +8 EI4 EI2 q L2P2 = =1 q L3EI6010 0Free Body Diagram :q L2 240q L24023 q Lq L 2240Dihitung lagi Dihitung lagi13q L40q L240q L401840LLLLEI80LLLLq L24020 22. 22q L40+Menggambar gaya-gaya dalam :Bidang D :- -3 3q L40-q L402+ +q = 1 t/m P = 2 tBidang M :181Contoh 4 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan LangsungDengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar1 1 2 2 3L = 4 m, EI L = 2 m, EIMenentukan keaktifan ujung-ujung elemenq L40q L240q L240001 2 31 3021 2 23. Menentukan matriks tujuan DOF : 3 2 rotasi100 1 1 3K1 =[ K1 ] =1 24 EI2 EI04 EI40 01 dilatasiMatriks kekakuan struktur[ Ks ] 2 x 2[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]0 22 3Membuat matrik kekakuan elemen :Elemen 10 102 EI444 EI2 x 2 14Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T2 x 2Elemen 240 1 2 36 EI- 12 EI6 EI12 EI 03 2 3 2 22222 EI2- 6 EI24 EI26 EI22 2 1- 6 EI12 EI6 EI 12 EI - 23 2 3 222224 EI2- 6 EI22 EI26 EI22 2 3K2 =Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T 24. [ K2 ] =- 6 EI412 EI84 EI2 6 EI4- 6 EI02 EI24 EIL4= +0 02 EI2- 6 EI44 EI2- 6 EI412 EI4 EI2 6 EI4- 6 EI2 EI22 EI2- 6 EI- 6 EI412 EI6 EI2 6 EI= = EI2 EI2- 6 EI44 EI23 -1,5 1-1,5 1,5 -1,51 -1,5 23 x 3Matriks Kekakuan Global Struktur[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ][ Ks ]2 x 2844844 EI2- 6 EI42 EI2Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakanhubungan :{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }dimana :Us = deformasi ujung-ujung aktifKs = kekakuan strukturPs = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi) 25. q =1 t/m0 0P = 2 t 1 q L210Ps == EI1=3 -1,5 1-1,5 1,5 -1,51 -1,5 2[ Ks ]1 2 12 6,67 41 4 31 2 12 6,67 41 4 3=-2,67-10,67-6,67Untuk contoh di atas, maka :Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1[ Ks ]-1 =1EIJadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }Us =1EIq L21212q L212- P1,33-201,33-20Rotasi di joint 2Translasi di joint 3Rotasi di joint 3 26. Deformasi untuk masing-masing elemenU11Elemen 1 : U1 = =U120U21U22U2Elemen 2 : U2 = =3U240- 2,67-10,67- 6,67Reaksi akibat beban luar :1 2 = 1 q L 2 =- 1,331,33q L 1,331212PR1 = PR2 =-1,33-2,670 0q =1 t/mP = 2 t20020Gaya akhir elemen :Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }01,33-1,33EI EIP1 = + 2,672EIEI2 27. 0- 2,67-10,67- 6,670P1 = Hasil perhitungan- 412 EI6 EI 12 EI -6 EI2400hanya momen saja6 EI- 12 EI6 EI2 EI- 6 EI4 EI- 6 EI12 EI6 EI4 EI- 6 EI2 EIq =1 t/m P = 2 t0020Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }P2 = +P2 =Free Body Diagram :0 4 41 3 24848242448482424 28. Menggambar gaya-gaya dalam :Bidang D :1 2 2++-+-3Bidang M :4