Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a

MODUL MATERI KULIAH B-3 PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

Tujuan Pembelajaran Umum

Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa Struktur

Metode Matriks (ASMM)

3.1 Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus

kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan

ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)

Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan,

matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :

{ P } = [ K ] { U }

dimana :

{ P } = matriks gaya

[ K ] = matriks kekakuan

{ U } = matriks perpindahan

Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu

dengan menggunakan Metode Kekakuan.

Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti.

Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan

kinematis struktur.

Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : Koefisien Kekakuan dan Perpindahan titik simpul yang tidak

diketahui .

3.2 Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method) Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks

kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif

METODE KEKAKUAN LANGSUNG matriks kekakuan

U1, P1 U2, P2

{ P } = [ K ] { U }

U3, P3 U4, P4 gaya perpindahan

P1 K11 K12 K13 K14 U1

P2 K21 K22 K23 K24 U2

P3 K31 K32 K33 K34 U3

P4 K41 K42 K43 K44 U4

P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gaya

di arah U1 P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya



di arah U4 Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :

P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a)

Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b)

Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c)

Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d)

1 1 2

=

U1 = 1 P1 = K11

P2 = K21

P3 = K31

P4 = K41

U1 = 1 P1 = K11

P2 = K21

P3 = K31

P4 = K41

U1 = 1 P1 = K11

P2 = K21

P3 = K31

P4 = K41

U1 = 1 P1 = K11

P2 = K21

P3 = K31

P4 = K41

K11 K12 K13 K14

K21 K22 K23 K24

K31 K32 K33 K34

K41 K42 K43 K44

2323 LEI 6

LEI 12-

LEI 6

LEI 12

LEI 2

LEI 6-

LEI 4

LEI 6

22

2323 LEI 6 -

LEI 12

LEI 6

LEI 12 -

Matriks Kekakuan LEI 4

LEI 6-

LEI 2

LEI 6

22

Gambar (a) (b) (c) (d)

K =

K =

U'4 = 1

K34 = 6EI L 2

Gb. D K24 = 2EI L

K14 = 26EI L

K44 = 4EI L

L , EI

K32 = 6EI L

U'2 = 1

2

2

3

-6EI LK23 = Gb. C

K13 = -12EI L

K12 =

K22 = 4EI LGb. B

3

2Gb. A

K11 = 12EI L

6EI LK21 =

U'1 = 1

2

2

3

U'3 = 1

-6EI L K43 =

K33 = 12EI L

2EI L K42 =

-6EI L

2

3

6EI L K41 =

K31 = -12EI L

Jika pada batang bekerja gaya aksial :

L, EA

K11 = L

EA K21 = L

EA

U1, P1 U2, P2

U3, P3 U4, P4

Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :

6 x 6

U1,P1 U2,P2

U1= 1

K12 = - LEA U2= 1

K22 = LEA

1 1 2

K =

2323 LEI 6

LEI 12- 0

LEI 6

LEI 12 0

LEI 2

LEI 6- 0

LEI 4

LEI 6 0 22

2323 LEI 6 -

LEI 12 0

LEI 6

LEI 12 0 -

LEI 4

LEI 6- 0

LEI 2

LEI 6 0 22

0 0 L

EA- 0 0 L

EA

0 0 L

EA- 0 0 L

EA

Kinematis tidak tentu orde 1

Kinematis tertentu

Struktur primer

(Restrained structure)

Sistem sekunder

Kondisi awal : M2 = 0

M2 = M2q + M22 = 0

LEI 4 qL

121

22 + = 0

EI48qL

3

2 =

LEI 4

qL121

2

2 =

M12 = M12q + 21 LEI 2

LEI 4 +

= qL121 2 + 2

3

L q 81

EI48L q

LEI 2 0 =+

M12 = M21q + 12 LEI 2

LEI 4 +

= qL121 2 + 0 0

EI 48L q

LEI 4

3

=+

1212

= 48 EIq L3

1

4 EIL

q

q

2

4 EIL

q L1 2

1

1

q

q L2

1 2

L, EI

1

q

2

q

3.3 Elemen Balok 2 Dimensi

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2 dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsung

Contoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung

Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3 L, EI L, EI

Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi

Matriks kekakuan struktur

[ Ks ] 2 x 2

Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Elemen 1

0 0 0 1

2323 LEI 6

LEI 12-

LEI 6

LEI 12 0

LEI 2

LEI 6-

LEI 4

LEI 6

22 0

2323 LEI 6 -

LEI 12

LEI 6

LEI 12 - 0

LEI 4

LEI 6-

LEI 2

LEI 6

22 1

1 2 3

0

1 2

0

0

0

1 2

1 2 3

0 0 0

1 2 0 1 1 2

0

K1 =

[ K1 ] =

= +

0 0 =

Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 0 1 }T

0 LEI 4

2 x 2 0 0

Elemen 2

0 1 0 2

2323 LEI 6

LEI 12-

LEI 6

LEI 12 0

LEI 2

LEI 6-

LEI 4

LEI 6

22 1

2323 LEI 6 -

LEI 12

LEI 6

LEI 12 - 0

LEI 4

LEI 6-

LEI 2

LEI 6

22 2


2 x 2

Matriks Kekakuan Global Struktur

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2

K2 =

[ K2 ] =

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 40

LEI 4

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 8

q

0 0

Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :

Us = deformasi ujung-ujung aktif

Ks = kekakuan struktur

Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

Untuk contoh di atas, maka :

Ps =

Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1

[ Ks ] =

[ Ks ]-1 = 8 2-2- 4

EIL

2 . 2 - 4 . 81

=

8 2-2- 4

EI 28

L

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Us = 8 2-2- 4

EI 28

L

2L q 121 2L q

121

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 8

2L q 121

2L q 121

2L q 121

2L q 121

U11U12 U13 U14

0 0 0

U21 U22 U23 U24

0 0

q

0 0

0 0 0 0

PR2 = PR1 =

Us = EI 28

L

Us =

Deformasi untuk masing-masing elemen

Elemen 1 : U1 = =

Elemen 2 : U2 = =

Reaksi akibat beban luar :

22 L q 61 - L q

31

22 L q 64 L q

61 +

EIL q

1683 3

EIL q

1685 3

Rotasi di joint 2

Rotasi di joint 3

EIL q

1683 3

EIL q

1683 3

EIL q

1685 3

2L q 1212L q

121

2L q

2L q

2L q 121

2L q 121

2L q

2L q

0 0 0

0

0 0 0

0 0

Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

P1 = +

P1 = =

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

P2 = +

2323 LEI 6

LEI 12-

LEI 6

LEI 12

LEI 2

LEI 6-

LEI 4

LEI 6

22

2323 LEI 6 -

LEI 12

LEI 6

LEI 12 -

LEI 4

LEI 6-

LEI 2

LEI 6

22 EIL q

1683 3

2L q 564

2L q 562

L q 56

6

L q 56

6

2L q 282

2L q 281

L q 28

3

L q 28

3

2323 LEI 6

LEI 12-

LEI 6

LEI 12

LEI 2

LEI 6-

LEI 4

LEI 6

22

2323 LEI 6 -

LEI 12

LEI 6

LEI 12 -

LEI 4

LEI 6-

LEI 2

LEI 6

22 EIL q

1685 3

EIL q

1683 3

2L q 121

2L q 121

2L q

2L q

0 0

q 0

- -+

-

+ +

P2 = =

Free Body Diagram :

Menggambar gaya-gaya dalam :

Bidang D :

Bidang M :

2L q 564

L q 56

32

L q 56

24

2L q 282

L q 28

16

L q 28

12

2L q 2822L q

281

L q 283

2L q 282

L q 2816 L q

283 L q

2812

L q 283 L q

283

L q 2816

L q 2812

2L q 282

2L q 281

q

[ K1 ] = 0 0

0


Dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.

Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3 L, EI L, EI




[ Ks ] 2 x 2

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja :

Elemen 1

0 1

0

2 x 2 1

Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T

2 x 2

1 2 3

0

1 2

0

0

0

1 2

1 2 3 1 2

0 1 1 2

K1 =LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

LEI 4

= +

0

=

q

0 0

0 0

Elemen 2

1 2

1

2 x 2 2


2 x 2


[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2


hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :





[ K2 ] =

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 8

2L q 121 2L q

121

K2 =LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

LEI 4

Ps =


[ Ks ] =

[ Ks ]-1 = 8 2-2- 4

EIL

2 . 2 - 4 . 81

=

8 2-2- 4

EI 28

L

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Us = 8 2-2- 4

EI 28

L

Us = EI 28

L

Us =

LEI 4

LEI 2

LEI 2

LEI 8

2L q 121

2L q 121

2L q 121

2L q 121

22 L q 61 - L q

31

22 L q 64 L q

61 +

EIL q

1683 3

EIL q

1685 3

Rotasi di joint 2

Rotasi di joint 3

U11 U12

0

U21 U22

q

0 0

0 0

PR2 = PR1 =

0

0

0

P1 = +

P1 = = Hasil perhitungan hanya momen saja


Elemen 1 : U1 = =

Elemen 2 : U2 = =


Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

EIL q

1683 3

EIL q

1683 3

EIL q

1685 3

2L q 1212L q

121

2L q 121

2L q 121

EIL q

1683 3

2L q 564

2L q 562

2L q 282

2L q 281

LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

q 0

- -+

P2 = +

P2 = =

0 0

Dihitung lagi Dihitung lagi

Hasil perhitungan hanya momen saja

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

Free Body Diagram :


Bidang D :

EIL q

1685 3 2L q

121

2L q 121

2L q 2822L q

281

L q 283

2L q 282

L q 2816 L q

283 L q

2812

L q 283 L q

283

L q 2816

L q 2812

EIL q

1683 3

LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

2L q 564 2L q

282

-+ +

q

Bidang M :

Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung,

dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untuk

kekakuan balok yang tidak sama.

Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3 L, EI L, 2EI




[ Ks ] 2 x 2

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.

2L q 282

2L q 281

1 2 3

0

1 2

0

0

0

1 2

1 2 3 1 2

0 1 1 2

[ K1 ] =

= +

0

=

0 0

0

0 0

Elemen 1

0 1

0

2 x 2 1


2 x 2

Elemen 2

1 2

1

2 x 2 2


2 x 2


[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2

K1 =

[ K2 ] =

LEI 8

LEI 4

LEI 4

LEI 8

LEI 8

LEI 4

LEI 4

LEI 8

LEI 8

LEI 4

LEI 4

LEI 12

LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

LEI 4

K2 =LEI 4

LEI 8

LEI 8

LEI 4

LEI 4

q

0 0


hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :





Ps =


[ Ks ] =

[ Ks ]-1 = 12 4-4- 8

EIL

4 . 4 - 8 . 121

=

12 4-4- 8

EI 80

L

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Us = 12 4-4- 8

EI 80

L

2L q 121 2L q

121

LEI 8

LEI 4

LEI 4

LEI 12

2L q 121

2L q 121

2L q 121

2L q 121

U11 U12

0

U21 U22

q

0 0

0 0

PR2 = PR1 =

Us = EI 80

L

Us =


Elemen 1 : U1 = =

Elemen 2 : U2 = =


22 L q 31 - L q

32

22 L q 33 L q

31 +

EIL q

801 3

EIL q

601 3

Rotasi di joint 2

Rotasi di joint 3

EIL q

801 3

EIL q

801 3

EIL q

601 3

2L q 1212L q

121

2L q 121

2L q 121

0

0

0

q 0

P1 = +

P1 = =

P2 = +

P2 = =

0 0

Dihitung lagi Dihitung lagi



Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

Free Body Diagram :

EIL q

801 3

2L q 804

2L q 802

2L q 402

2L q 401

EIL q

601 3 2L q

121

2L q 121

2L q 4022L q

401

L q 403

2L q 402

L q 4022 L q

403 L q

4018

LEI 2

LEI 4

LEI 4

LEI 2

EIL q

801 3

LEI 4

LEI 8

LEI 8

LEI 4

2L q 402 2L q

201

- -+

-

+ +

q = 1 t/m P = 2 t


Bidang D :

Bidang M :


Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

1 1 2 2 3 L = 4 m, EI L = 2 m, EI


L q 403 L q

403

L q 4022

L q 4018

2L q 402

2L q 401

1 2 3

0

1 3

0

0

2

1 2

[ K1 ] = 0 0

0


1 dilatasi


[ Ks ] 2 x 2

[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

Membuat matrik kekakuan elemen :

Elemen 1

0 1

0

2 x 2 1


2 x 2

Elemen 2

0 1 2 3

2323 2EI 6

2EI 12-

2EI 6

2EI 12 0

2EI 2

2EI 6-

2EI 4

2EI 6

22 1

2323 2EI 6 -

2EI 12

2EI 6

2EI 12 - 2

2EI 4

2EI 6-

2EI 2

2EI 6

22 3


1 2 3

0 2

1 2 0 1 1 3

0

K2 =

K1 =4EI 2

4EI 4

4EI 4

4EI 2

4EI 4

= +

0 0

= = EI

3 -1,5 1 -1,5 1,5 -1,5 1 -1,5 2

3 x 3


[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

[ Ks ] 2 x 2


hubungan :

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

dimana :




[ K2 ] =

4EI 6-

8EI 12

4EI 6

2EI 2

4EI 6-

2EI 4

0 LEI 4

2EI 4

4EI 6-

2EI 2

4EI 6-

8EI 12

4EI 6

2EI 2

4EI 6-

2EI 4

2EI 4

4EI 6-

2EI 2

4EI 6-

8EI 12

4EI 6

2EI 2

4EI 6-

2EI 6

2EI 4

4EI 6-

2EI 2

q =1 t/m

0 0

P = 2 t

0

Ps =

= EI

3 -1,5 1 -1,5 1,5 -1,5 1 -1,5 2

[ Ks ]

1 2 1 2 6,67 4 1 4 3

=

1 2 1 2 6,67 4 1 4 3

=

-2,67 -10,67 -6,67



[ Ks ]-1 = EI1

Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

Us = EI1

2L q 121 2L q

121

2L q 121

P -

1,33 -2 0

1,33 -2 0

Rotasi di joint 2

Translasi di joint 3

Rotasi di joint 3

U11 U12

0

U21 U22 U23 U24

0

- 2,67

-10,67

- 6,67

1,33 -1,33

PR2 = PR1 =

-2,67

0 0

q =1 t/m P = 2 t

2

0 0 2 0

0

1,33

-1,33

P1 = +


Elemen 1 : U1 = =

Elemen 2 : U2 = =


Gaya akhir elemen :

Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }

1,33 L q 121 2 = 1,33 - L q

121 2 =

67,22EI EI

EI 2EI

0 - 2,67 -10,67 - 6,67

2 4 0 0

q =1 t/m P = 2 t

P1 = Hasil perhitungan hanya momen saja

0 - 4

0 0 2 0

Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }

P2 = +

P2 =

Free Body Diagram :

0 4 4

1 3 2

4EI 6

8EI 12-

4EI 6

8EI 12

2EI 2

4EI 6-

2EI 4

4EI 6

4EI 6 -

8EI 12

4EI 6

8EI 12 -

2EI 4

4EI 6-

2EI 2

4EI 6

+ +

-+

-


Bidang D :

1 2 2

3

Bidang M :

4

Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a

Documents

Transcript of Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a