Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a

download Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a

of 29

  • date post

    25-Nov-2015
  • Category

    Documents

  • view

    19
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a

  • MODUL MATERI KULIAH B-3 PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

    Tujuan Pembelajaran Umum

    Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa Struktur

    Metode Matriks (ASMM)

    3.1 Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)

    Tujuan Pembelajaran Khusus

    Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus

    kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan

    ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)

    Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan,

    matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :

    { P } = [ K ] { U }

    dimana :

    { P } = matriks gaya

    [ K ] = matriks kekakuan

    { U } = matriks perpindahan

    Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu

    dengan menggunakan Metode Kekakuan.

    Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti.

    Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan

    kinematis struktur.

    Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : Koefisien Kekakuan dan Perpindahan titik simpul yang tidak

    diketahui .

  • 3.2 Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method) Tujuan Pembelajaran Khusus

    Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks

    kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif

    METODE KEKAKUAN LANGSUNG matriks kekakuan

    U1, P1 U2, P2

    { P } = [ K ] { U }

    U3, P3 U4, P4 gaya perpindahan

    P1 K11 K12 K13 K14 U1

    P2 K21 K22 K23 K24 U2

    P3 K31 K32 K33 K34 U3

    P4 K41 K42 K43 K44 U4

    P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gaya

    di arah U1 P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya

    di arah U2 P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya

    di arah U3 P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gaya

    di arah U4 Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :

    P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a)

    Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b)

    Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c)

    Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d)

    1 1 2

    =

  • U1 = 1 P1 = K11

    P2 = K21

    P3 = K31

    P4 = K41

    U1 = 1 P1 = K11

    P2 = K21

    P3 = K31

    P4 = K41

    U1 = 1 P1 = K11

    P2 = K21

    P3 = K31

    P4 = K41

    U1 = 1 P1 = K11

    P2 = K21

    P3 = K31

    P4 = K41

    K11 K12 K13 K14

    K21 K22 K23 K24

    K31 K32 K33 K34

    K41 K42 K43 K44

    2323 LEI 6

    LEI 12-

    LEI 6

    LEI 12

    LEI 2

    LEI 6-

    LEI 4

    LEI 6

    22

    2323 LEI 6 -

    LEI 12

    LEI 6

    LEI 12 -

    Matriks Kekakuan LEI 4

    LEI 6-

    LEI 2

    LEI 6

    22

    Gambar (a) (b) (c) (d)

    K =

    K =

    U'4 = 1

    K34 = 6EI L 2

    Gb. D K24 = 2EI L

    K14 = 26EI L

    K44 = 4EI L

    L , EI

    K32 = 6EI L

    U'2 = 1

    2

    2

    3

    -6EI LK23 = Gb. C

    K13 = -12EI L

    K12 =

    K22 = 4EI LGb. B

    3

    2Gb. A

    K11 = 12EI L

    6EI LK21 =

    U'1 = 1

    2

    2

    3

    U'3 = 1

    -6EI L K43 =

    K33 = 12EI L

    2EI L K42 =

    -6EI L

    2

    3

    6EI L K41 =

    K31 = -12EI L

  • Jika pada batang bekerja gaya aksial :

    L, EA

    K11 = L

    EA K21 = L

    EA

    U1, P1 U2, P2

    U3, P3 U4, P4

    Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :

    6 x 6

    U1,P1 U2,P2

    U1= 1

    K12 = - LEA U2= 1

    K22 = LEA

    1 1 2

    K =

    2323 LEI 6

    LEI 12- 0

    LEI 6

    LEI 12 0

    LEI 2

    LEI 6- 0

    LEI 4

    LEI 6 0 22

    2323 LEI 6 -

    LEI 12 0

    LEI 6

    LEI 12 0 -

    LEI 4

    LEI 6- 0

    LEI 2

    LEI 6 0 22

    0 0 L

    EA- 0 0 L

    EA

    0 0 L

    EA- 0 0 L

    EA

  • Kinematis tidak tentu orde 1

    Kinematis tertentu

    Struktur primer

    (Restrained structure)

    Sistem sekunder

    Kondisi awal : M2 = 0

    M2 = M2q + M22 = 0

    LEI 4 qL

    121

    22 + = 0

    EI48qL

    3

    2 =

    LEI 4

    qL121

    2

    2 =

    M12 = M12q + 21 LEI 2

    LEI 4 +

    = qL121 2 + 2

    3

    L q 81

    EI48L q

    LEI 2 0 =+

    M12 = M21q + 12 LEI 2

    LEI 4 +

    = qL121 2 + 0 0

    EI 48L q

    LEI 4

    3

    =+

    1212

    = 48 EIq L3

    1

    4 EIL

    q

    q

    2

    4 EIL

    q L1 2

    1

    1

    q

    q L2

    1 2

    L, EI

    1

    q

    2

  • q

    3.3 Elemen Balok 2 Dimensi

    Tujuan Pembelajaran Khusus

    Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2 dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsung

    Contoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung

    Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar

    1 1 2 2 3 L, EI L, EI

    Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen

    Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi

    Matriks kekakuan struktur

    [ Ks ] 2 x 2

    Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

    Elemen 1

    0 0 0 1

    2323 LEI 6

    LEI 12-

    LEI 6

    LEI 12 0

    LEI 2

    LEI 6-

    LEI 4

    LEI 6

    22 0

    2323 LEI 6 -

    LEI 12

    LEI 6

    LEI 12 - 0

    LEI 4

    LEI 6-

    LEI 2

    LEI 6

    22 1

    1 2 3

    0

    1 2

    0

    0

    0

    1 2

    1 2 3

    0 0 0

    1 2 0 1 1 2

    0

    K1 =

  • [ K1 ] =

    = +

    0 0 =

    Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 0 1 }T

    0 LEI 4

    2 x 2 0 0

    Elemen 2

    0 1 0 2

    2323 LEI 6

    LEI 12-

    LEI 6

    LEI 12 0

    LEI 2

    LEI 6-

    LEI 4

    LEI 6

    22 1

    2323 LEI 6 -

    LEI 12

    LEI 6

    LEI 12 - 0

    LEI 4

    LEI 6-

    LEI 2

    LEI 6

    22 2

    Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T

    2 x 2

    Matriks Kekakuan Global Struktur

    [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]

    [ Ks ] 2 x 2

    K2 =

    [ K2 ] =

    LEI 4

    LEI 2

    LEI 2

    LEI 4

    LEI 4

    LEI 2

    LEI 2

    LEI 40

    LEI 4

    LEI 4

    LEI 2

    LEI 2

    LEI 8

  • q

    0 0

    Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan

    hubungan :

    { Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

    dimana :

    Us = deformasi ujung-ujung aktif

    Ks = kekakuan struktur

    Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

    Untuk contoh di atas, maka :

    Ps =

    Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1

    [ Ks ] =

    [ Ks ]-1 = 8 2-2- 4

    EIL

    2 . 2 - 4 . 81

    =

    8 2-2- 4

    EI 28

    L

    Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }

    Us = 8 2-2- 4

    EI 28

    L

    2L q 121 2L q

    121

    LEI 4

    LEI 2

    LEI 2

    LEI 8

    2L q 121

    2L q 121

    2L q 121