Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a
of 29
/29
Embed Size (px)
Transcript of Modul Materi Kuliah B-3 Modul 8a
-
MODUL MATERI KULIAH B-3 PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS
Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa Struktur
Metode Matriks (ASMM)
3.1 Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus
kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)
Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan,
matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan :
{ P } = [ K ] { U }
dimana :
{ P } = matriks gaya
[ K ] = matriks kekakuan
{ U } = matriks perpindahan
Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu
dengan menggunakan Metode Kekakuan.
Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi) sudah tertentu/pasti.
Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan
kinematis struktur.
Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : Koefisien Kekakuan dan Perpindahan titik simpul yang tidak
diketahui .
-
3.2 Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method) Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks
kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif
METODE KEKAKUAN LANGSUNG matriks kekakuan
U1, P1 U2, P2
{ P } = [ K ] { U }
U3, P3 U4, P4 gaya perpindahan
P1 K11 K12 K13 K14 U1
P2 K21 K22 K23 K24 U2
P3 K31 K32 K33 K34 U3
P4 K41 K42 K43 K44 U4
P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U1 P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U2 P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U3 P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4 Kesetimbangan gaya
di arah U4 Jika U1 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
P1 = K11 ; P2 = K21 ; P3 = K31 ; P4 = K41 Lihat Gambar (a)
Jika U2 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K12 ; P2 = K22 ; P3 = K32 ; P4 = K42 Lihat Gambar (b)
Jika U3 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K13 ; P2 = K23 ; P3 = K33 ; P4 = K43 Lihat Gambar (c)
Jika U4 = 1 dan U2 = U3 = U4 = 0 , maka : P1 = K14 ; P2 = K24 ; P3 = K34 ; P4 = K44 Lihat Gambar (d)
1 1 2
=
-
U1 = 1 P1 = K11
P2 = K21
P3 = K31
P4 = K41
U1 = 1 P1 = K11
P2 = K21
P3 = K31
P4 = K41
U1 = 1 P1 = K11
P2 = K21
P3 = K31
P4 = K41
U1 = 1 P1 = K11
P2 = K21
P3 = K31
P4 = K41
K11 K12 K13 K14
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -
Matriks Kekakuan LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22
Gambar (a) (b) (c) (d)
K =
K =
U'4 = 1
K34 = 6EI L 2
Gb. D K24 = 2EI L
K14 = 26EI L
K44 = 4EI L
L , EI
K32 = 6EI L
U'2 = 1
2
2
3
-6EI LK23 = Gb. C
K13 = -12EI L
K12 =
K22 = 4EI LGb. B
3
2Gb. A
K11 = 12EI L
6EI LK21 =
U'1 = 1
2
2
3
U'3 = 1
-6EI L K43 =
K33 = 12EI L
2EI L K42 =
-6EI L
2
3
6EI L K41 =
K31 = -12EI L
-
Jika pada batang bekerja gaya aksial :
L, EA
K11 = L
EA K21 = L
EA
U1, P1 U2, P2
U3, P3 U4, P4
Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :
6 x 6
U1,P1 U2,P2
U1= 1
K12 = - LEA U2= 1
K22 = LEA
1 1 2
K =
2323 LEI 6
LEI 12- 0
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6- 0
LEI 4
LEI 6 0 22
2323 LEI 6 -
LEI 12 0
LEI 6
LEI 12 0 -
LEI 4
LEI 6- 0
LEI 2
LEI 6 0 22
0 0 L
EA- 0 0 L
EA
0 0 L
EA- 0 0 L
EA
-
Kinematis tidak tentu orde 1
Kinematis tertentu
Struktur primer
(Restrained structure)
Sistem sekunder
Kondisi awal : M2 = 0
M2 = M2q + M22 = 0
LEI 4 qL
121
22 + = 0
EI48qL
3
2 =
LEI 4
qL121
2
2 =
M12 = M12q + 21 LEI 2
LEI 4 +
= qL121 2 + 2
3
L q 81
EI48L q
LEI 2 0 =+
M12 = M21q + 12 LEI 2
LEI 4 +
= qL121 2 + 0 0
EI 48L q
LEI 4
3
=+
1212
= 48 EIq L3
1
4 EIL
q
q
2
4 EIL
q L1 2
1
1
q
q L2
1 2
L, EI
1
q
2
-
q
3.3 Elemen Balok 2 Dimensi
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2 dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsung
Contoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3 L, EI L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Elemen 1
0 0 0 1
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22 0
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 - 0
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 1
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
1 2 3
0 0 0
1 2 0 1 1 2
0
K1 =
-
[ K1 ] =
= +
0 0 =
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 0 0 1 }T
0 LEI 4
2 x 2 0 0
Elemen 2
0 1 0 2
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12 0
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22 1
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 - 0
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
K2 =
[ K2 ] =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 40
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
-
q
0 0
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = 8 2-2- 4
EIL
2 . 2 - 4 . 81
=
8 2-2- 4
EI 28
L
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = 8 2-2- 4
EI 28
L
2L q 121 2L q
121
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
2L q 121
2L q 121
2L q 121
2L q 121
-
U11U12 U13 U14
0 0 0
U21 U22 U23 U24
0 0
q
0 0
0 0 0 0
PR2 = PR1 =
Us = EI 28
L
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
22 L q 61 - L q
31
22 L q 64 L q
61 +
EIL q
1683 3
EIL q
1685 3
Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
EIL q
1683 3
EIL q
1683 3
EIL q
1685 3
2L q 1212L q
121
2L q
2L q
2L q 121
2L q 121
2L q
2L q
-
0 0 0
0
0 0 0
0 0
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
P1 = +
P1 = =
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
P2 = +
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 EIL q
1683 3
2L q 564
2L q 562
L q 56
6
L q 56
6
2L q 282
2L q 281
L q 28
3
L q 28
3
2323 LEI 6
LEI 12-
LEI 6
LEI 12
LEI 2
LEI 6-
LEI 4
LEI 6
22
2323 LEI 6 -
LEI 12
LEI 6
LEI 12 -
LEI 4
LEI 6-
LEI 2
LEI 6
22 EIL q
1685 3
EIL q
1683 3
2L q 121
2L q 121
2L q
2L q
-
0 0
q 0
- -+
-
+ +
P2 = =
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
Bidang M :
2L q 564
L q 56
32
L q 56
24
2L q 282
L q 28
16
L q 28
12
2L q 2822L q
281
L q 283
2L q 282
L q 2816 L q
283 L q
2812
L q 283 L q
283
L q 2816
L q 2812
2L q 282
2L q 281
-
q
[ K1 ] = 0 0
0
Contoh 2 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3 L, EI L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja :
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
1 2 3 1 2
0 1 1 2
K1 =LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 4
-
= +
0
=
q
0 0
0 0
Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
[ K2 ] =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
2L q 121 2L q
121
K2 =LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 4
-
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = 8 2-2- 4
EIL
2 . 2 - 4 . 81
=
8 2-2- 4
EI 28
L
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = 8 2-2- 4
EI 28
L
Us = EI 28
L
Us =
LEI 4
LEI 2
LEI 2
LEI 8
2L q 121
2L q 121
2L q 121
2L q 121
22 L q 61 - L q
31
22 L q 64 L q
61 +
EIL q
1683 3
EIL q
1685 3
Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
-
U11 U12
0
U21 U22
q
0 0
0 0
PR2 = PR1 =
0
0
0
P1 = +
P1 = = Hasil perhitungan hanya momen saja
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
EIL q
1683 3
EIL q
1683 3
EIL q
1685 3
2L q 1212L q
121
2L q 121
2L q 121
EIL q
1683 3
2L q 564
2L q 562
2L q 282
2L q 281
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
-
q 0
- -+
P2 = +
P2 = =
0 0
Dihitung lagi Dihitung lagi
Hasil perhitungan hanya momen saja
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
Free Body Diagram :
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
EIL q
1685 3 2L q
121
2L q 121
2L q 2822L q
281
L q 283
2L q 282
L q 2816 L q
283 L q
2812
L q 283 L q
283
L q 2816
L q 2812
EIL q
1683 3
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
2L q 564 2L q
282
-
-+ +
q
Bidang M :
Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung,
dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untuk
kekakuan balok yang tidak sama.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3 L, EI L, 2EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
Menentukan matriks tujuan DOF : 2 2 rotasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.
2L q 282
2L q 281
1 2 3
0
1 2
0
0
0
1 2
1 2 3 1 2
0 1 1 2
-
[ K1 ] =
= +
0
=
0 0
0
0 0
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
1 2
1
2 x 2 2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1 2 }T
2 x 2
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
K1 =
[ K2 ] =
LEI 8
LEI 4
LEI 4
LEI 8
LEI 8
LEI 4
LEI 4
LEI 8
LEI 8
LEI 4
LEI 4
LEI 12
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
LEI 4
K2 =LEI 4
LEI 8
LEI 8
LEI 4
LEI 4
-
q
0 0
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka :
Ps =
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 = 12 4-4- 8
EIL
4 . 4 - 8 . 121
=
12 4-4- 8
EI 80
L
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = 12 4-4- 8
EI 80
L
2L q 121 2L q
121
LEI 8
LEI 4
LEI 4
LEI 12
2L q 121
2L q 121
2L q 121
2L q 121
-
U11 U12
0
U21 U22
q
0 0
0 0
PR2 = PR1 =
Us = EI 80
L
Us =
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
22 L q 31 - L q
32
22 L q 33 L q
31 +
EIL q
801 3
EIL q
601 3
Rotasi di joint 2
Rotasi di joint 3
EIL q
801 3
EIL q
801 3
EIL q
601 3
2L q 1212L q
121
2L q 121
2L q 121
-
0
0
0
q 0
P1 = +
P1 = =
P2 = +
P2 = =
0 0
Dihitung lagi Dihitung lagi
Hasil perhitungan hanya momen saja
Hasil perhitungan hanya momen saja
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
Free Body Diagram :
EIL q
801 3
2L q 804
2L q 802
2L q 402
2L q 401
EIL q
601 3 2L q
121
2L q 121
2L q 4022L q
401
L q 403
2L q 402
L q 4022 L q
403 L q
4018
LEI 2
LEI 4
LEI 4
LEI 2
EIL q
801 3
LEI 4
LEI 8
LEI 8
LEI 4
2L q 402 2L q
201
-
- -+
-
+ +
q = 1 t/m P = 2 t
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
Bidang M :
Contoh 4 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung
Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi. Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar
1 1 2 2 3 L = 4 m, EI L = 2 m, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen
L q 403 L q
403
L q 4022
L q 4018
2L q 402
2L q 401
1 2 3
0
1 3
0
0
2
1 2
-
[ K1 ] = 0 0
0
Menentukan matriks tujuan DOF : 3 2 rotasi
1 dilatasi
Matriks kekakuan struktur
[ Ks ] 2 x 2
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen :
Elemen 1
0 1
0
2 x 2 1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0 1 }T
2 x 2
Elemen 2
0 1 2 3
2323 2EI 6
2EI 12-
2EI 6
2EI 12 0
2EI 2
2EI 6-
2EI 4
2EI 6
22 1
2323 2EI 6 -
2EI 12
2EI 6
2EI 12 - 2
2EI 4
2EI 6-
2EI 2
2EI 6
22 3
Matriks Tujuan { T2 } = { 0 1 0 2 }T
1 2 3
0 2
1 2 0 1 1 3
0
K2 =
K1 =4EI 2
4EI 4
4EI 4
4EI 2
4EI 4
-
= +
0 0
= = EI
3 -1,5 1 -1,5 1,5 -1,5 1 -1,5 2
3 x 3
Matriks Kekakuan Global Struktur
[ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] 2 x 2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan
hubungan :
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana :
Us = deformasi ujung-ujung aktif
Ks = kekakuan struktur
Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
[ K2 ] =
4EI 6-
8EI 12
4EI 6
2EI 2
4EI 6-
2EI 4
0 LEI 4
2EI 4
4EI 6-
2EI 2
4EI 6-
8EI 12
4EI 6
2EI 2
4EI 6-
2EI 4
2EI 4
4EI 6-
2EI 2
4EI 6-
8EI 12
4EI 6
2EI 2
4EI 6-
2EI 6
2EI 4
4EI 6-
2EI 2
-
q =1 t/m
0 0
P = 2 t
0
Ps =
= EI
3 -1,5 1 -1,5 1,5 -1,5 1 -1,5 2
[ Ks ]
1 2 1 2 6,67 4 1 4 3
=
1 2 1 2 6,67 4 1 4 3
=
-2,67 -10,67 -6,67
Untuk contoh di atas, maka :
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ]-1 = EI1
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us = EI1
2L q 121 2L q
121
2L q 121
P -
1,33 -2 0
1,33 -2 0
Rotasi di joint 2
Translasi di joint 3
Rotasi di joint 3
-
U11 U12
0
U21 U22 U23 U24
0
- 2,67
-10,67
- 6,67
1,33 -1,33
PR2 = PR1 =
-2,67
0 0
q =1 t/m P = 2 t
2
0 0 2 0
0
1,33
-1,33
P1 = +
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1 : U1 = =
Elemen 2 : U2 = =
Reaksi akibat beban luar :
Gaya akhir elemen :
Elemen 1 : { P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
1,33 L q 121 2 = 1,33 - L q
121 2 =
67,22EI EI
EI 2EI
-
0 - 2,67 -10,67 - 6,67
2 4 0 0
q =1 t/m P = 2 t
P1 = Hasil perhitungan hanya momen saja
0 - 4
0 0 2 0
Elemen 2 : { P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
P2 = +
P2 =
Free Body Diagram :
0 4 4
1 3 2
4EI 6
8EI 12-
4EI 6
8EI 12
2EI 2
4EI 6-
2EI 4
4EI 6
4EI 6 -
8EI 12
4EI 6
8EI 12 -
2EI 4
4EI 6-
2EI 2
4EI 6
-
+ +
-+
-
Menggambar gaya-gaya dalam :
Bidang D :
1 2 2
3
Bidang M :
4
![[8a] pengantar lines plan](https://static.fdokumen.com/doc/165x107/556bda63d8b42ab2138b4d2a/8a-pengantar-lines-plan.jpg?t=1696091572)
