Teorema Dasar Anreal Lengkap 2

7/27/2019 Teorema Dasar Anreal Lengkap 2

1/19

1

TEOREMA DASAR KALKULUS UNTUK INTEGRAL

Disini kita akan menyelidiki hubungan antara turunan dan integral. Sepanjang yang

kami ketahui, ada dua teorema yang berkaitan dengan masalah ini: yang pertama yaitu

dengan mengintegralkan sebuah turunan, dan yang lainnya dengan menurunkan suatu

integral. Teorema ini, biasa disebut Teorema Fundamental Kalkulus. Pada makalah ini akan

dibahas Teorema Dasar Kalkulus Bentuk Pertama, Bentuk Kedua, dan Kriteria Integral

Lebesgue.

A. Teorema Dasar (Bentuk Pertama)Bentuk pertama dari Teorema Fundamental memberikan sebuah dasar teoritis untuk

metode penghitungan suatu integral, dimana pembaca telah mempelajari dalam kalkulus. Hal

ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi adalah turunan dari suatu fungsi F, dan jika anggota dari

, -, maka integral

dapat dihitung dengan cara menunjukkan nilai F

:=F(b)F(a) . Suatu fungsiFsedemikian sehingga untuk semua , -disebut antiturunan atau primitive dari pada , -. Jadi, jika memiliki suatu antiturunan,itu adalah suatu persoalan yang sederhana untuk menghitung integral.

Dalam prakteknya, akan lebih mudah untuk memberikan berapa nilai c dimana

tidak berada di

, atau dimana itu tidak sama dengan persamaan

. Itu diluar

ketentuan bahwa kita dapat mengizinkan suatu bilangan terbatas seperti hal yang khusus.

7.3.1 Teorema Dasar Kalkulus (Bentuk Pertama) Misalkan terdapat sebuah himpunan

berhingga E di , - dan fungsi , - memenuhi:


2/19

2

(a) , -(b) , - ,(c)

, -Maka diperoleh(1) Bukti. Kita akan membuktikan teorema ini, dimana E *+. Secara umum dapatdiperoleh dengan mengubah interval ke dalam gabungan dari suatu interval bilangan terbatas.

Diberikan , karena , - diasumsikan ada sedemikian sehingga jika adalah suatu tag partisi dengan , maka(2) ( ) .

Dimana titik di atas menunjukkan bahwa tag telah dipilih untuk setiap sub interval.

*, - + dan

, merupakan jumlah Riemann dari fungsi , - Jika subinterval dalam adalah , -, maka dengan menggunakan Teorema NilaiRata-Rata 6.2.4 untuk pada , - menyatakan bahwa ada sedemikiansehingga

untuk i= 1, , n.Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4 Jika kita menambahkan bentuk ini, dilihat dari jumlah dan bukti yang ada bahwa

, maka kita peroleh

( )


3/19

3

Sekarang, misalkan *, - + , jadi jumlah pada persamaan kanan () .Jika kita substitusi () pada persamaan (2), dapat disimpulkan bahwa

Namun, karena berubah-ubah, maka kita dapat mengambil kesimpulan bahwapersamaan (1) berlaku.

Keterangan Jika suatuF terdiferensial pada setiap interval dari , - maka (denganTeorema 6.1.2) hipotesis (a) secara otomatis memenuhi. Jika f tidak terdefinisi untuk

beberapa titik , kita mengambil . Namun jika F terdiferensial pada setiapinterval dari , -, kondisi (c) tidak secara otomatis memenuhi, karena ada fungsi Fsedemikian sehingga Fbukan terintegral secara Riemann. (Lihat contoh 7.3.2(e).)

Teorema 6.1.2 Jika mempunyai sebuah turunan di , maka f kontinu di c.

7.3.2 Contoh

(a) Jika untuk semua , -, maka untuk semua , -.Selanjutnya, adalah kontinu di , -. Oleh karena itu, TeoremaFundamental (dengan ) menyatakan bahwa

.

(b) Jika , -, maka untuk semua , -; begitupula G kontinu pada , -. Oleh karena itu Teori Fundamental(dengan ) menyatakan bahwa

.


4/19

4

(c) Jika || ,-, maka , dan -. Mengingat defenisi dari fungsi signum (pada4.1.10(b)), kita dapatkan

untuk semua

,- *+.

Karena fungsi signum adalah fungsi tangga, maka itu anggota dari ,-. Olehkarena itu Teorema Fundamental (denganE= {0}) menyatakan bahwa

.Fungsi Signum didefinisikan sebagai

(d) Jika , -, maka H kontinu pada , - dan untuk -. Oleh sebab itu tidak dibatasi pada (0,b],maka itu bukan anggota di ,- tidak peduli bagaimana kita mendefinisikan h(0).Oleh karena itu, Teorema Fundamental 7.3.1 tidak berlaku.

(e) Misalkan - dan misalkan . Itumengikuti Aturan Produk 6.1.3(c) dan Aturan Rantai 6.1.6, bahwa

, untuk -Aturan Produk 6.1.3 (c) Fungsif g terdiferensialkan di c dan

Aturan Rantai 6.1.6 Diberikan I, J interval di , adalahfungsi sedemikian sehingga dan . Jikaf terdiferensialkan di c dan jikag terdiferensialkan dif (c) , maka fungsi komposit terdiferensialkan di c dan

()


5/19

5

Turunan K pada x = 0, diperoleh dengan menggunakan defenisi dari turunan.

Diperoleh

. / . / Sehingga turunan K dari K ada untuk ,-. Jadi Kkontinu dan terdiferensial

pada [0,1]. Karena itu dapat dilihat bahwa fungsi K tidak terbatas pada [0,1] sehingga bukan

bagian/anggota ,-dan Teorema Fundamental 7.3.1 tidak berlaku untuk K.B. Teorema Dasar (Bentuk kedua)

Sekarang dengan Teorema Dasar (Bentuk kedua) kita ingin membedakan integral

yang melibatkan batas atas variabelnya.

7.3.3 Defenisi Jika , - maka fungsi yang didefenisikan sebagai(3) untuk , -,ini disebut integral tak tentu dari f dengan nilai awal a. (Kadang nilai selain a dapat pula

digunakan sebagai nilai awal)

Exercise 7.3.6

Jika , - dan jika , -, fungsi yang didefenisikan oleh ,- dikatakan Integral tak tentu dari f dengan nilai awal c. Tentukan hubungan antara Fadan Fc !

Dengan menggunakan teorema Aditivitas 7.2.8

, - dan

, - maka

sehingga


6/19

6

Kita akan menunjukkan bahwa jika , - maka integral tak tentu F memenuhi kondisiLipshictz maka F kontinu pada [a,b]

Defenisi F ungsi L ipschitz .

Misalkan dan . Jika terdapat konstanta K > 0 sedemikian hingga| | | |

untuk setiap , maka f dikatakan fungsi Lipschitz

Teorema 7.3.4 Integral tak tentu F yang didefenisikan (3) adalah kontinu pada [a,b].

Faktanya jika || , - | | | | , -Bukti :Dari teorema Adi tivitas 7.2.8

Misalkan f: [a,b] dan misalkan . Maka , - jika dan hanya jika fterbatas pada [a,c] dan [c,b] yang merupakan integral Riemann. Pada kasus ini

menyatakan jika , - , maka

Sehingga diperoleh

sekarang jika untuk semua , -, maka


7/19

7

Teorema 7.1.4 (c)

Misalkan f dan g adalah di dalam

,-

Jika untuk semua , -, maka

Dari Teorema 7.1.4 (c) di atas diperoleh:

menyatakan bahwa

sehingga diperoleh

| | | |Terbukti,

Selanjutnya kita akan menunjukkan integral tak tentu F adalah terdiferensial pada sembarang

titik dimana f kontinu.

7.3.5 Teorema dasar Kalkulus (bentuk kedua). Misalkan , - dan f kontinu padatitik , -. Maka integral tak tentu yang didefenisikan dari (3), adalah terdiferensial di cdan ,


8/19

8

Bukti . Kita akan mengandaikan , dan mengingat turuan dari kanan F pada c. Karenaf kontinu pada c, diberikan sedemikian hingga jika ,maka

(4) Ambil h yang memenuhi . Teorema Aditivitas 7.2.8 menunjukkan bahwa f adalahterintegralkan pada interval [a,c], [a,c+h] dan [c,c+h] dan

|

|

Sekarang pada interval [c,c+h] fungsi f memenuhi pertidaksamaan (4), sehingga (dari

teorema 7.1.4.(c)) kita peroleh

Jika kita membaginya dengan h > 0 dan mengurangkannya dengan f(c), kita peroleh


9/19

9

tetapi, berubah ubah, kita simpulkan limit kanan diberikan oleh

dengan cara sama dibuktikan untuk limit kirinya juga sama dengan f(c) dimana -,sehingga pernyataan terpenuhi.

Teorema 7.3.6 Jika f kontinu pada [a,b] maka integral tak tentu F, yang didefiniskan oleh (3)

adalah terdiferensial di [a,b] dan F(x)=f(x) untuk semua , -.Teorema 7.3.6 dapat diringkas: Jika f kontinu pada [a, b], maka integral tak tentu dari f

adalah anti turunannya. Kita akan meninjau bahwa, secara umum, integral tak tentu tidak

harus menjadi antiturunan (baik karena turunan dari integral tak tentu tidak ada atau tidak

samaf(x)

Contoh :

Jika pada [-1,1], maka ,- dan integral tak tentu || dengan nilai awal -1. Tetapi, F(0) tidak ada, F bukan anti turunan dari f pada [-1,1]

Teorema Substitusi 7.3.8

Misalkan , - dan misalkan memiliki turunan di J. Jika adalahkontinu pada interval I yang terdapat pada maka

() Hipotesis bahwa f dan adalah kontinu yang membatasi, tetapi digunakan untuk memastikanadanya integral Riemann pada sisi kiri (5)

Bukti : Misalkan F(x) adalah primitive (anti turunan) dari f(x) dan maka ()merupakan primitive dari() . dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh


10/19

10

() () () sehingga

( ) ( )

Contoh 7.3.9

a. Anggap . Disini kita subtitusikan untuk ,- sehingga adalah kontinu pada [1,4]. Jika kita misalkan f(x)=2sin x, maka integrandnyamemiliki bentuk dan teorema 7.3.8 menyatakan bahwa persamaan integral |

b. Anggap integral . Karena tidak memiliki turunan kontinu pada[0,4] , teorema Subtitusi 7.3.8 tidak dapat digunakan, paling tidak pada subtitusi ini.


11/19

11

Exercise 7.3.18 (b)

Gunakan teorema Subtitusi untuk menyelesaikan integral

subtitusikan ,- sehingga adalah kontinu pada[1,3]. Dengan memisalkan dan sebagai batas

bawah dan atas , diperoleh

dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional

dengan A= -1/2 dan B=1/2, sehingga

[ ]

[ ]

, -|( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Exercise 7.3.19

Jelaskan mengapa Teorema 7.3.8 dan atau exercise 7.3.17 tidak dapat digunakan untuk

menyelesaikan integral berikut

pada (a) dan (c), tidak mempunyai turunan yang kontinu pada [0,4], dimana yang hanya kontinu pada (0,4] sehingga teorema 7.3.8 tidak dapat digunakan.


12/19

12

C. Kriteria Integral LebesguesSekarang kita akan menyajikan sebuah pernyataan dari teorema Definitif Henri

Lebesgue (1875-1941) yang memberikan syarat perlu dan cukup untuk fungsi yang

terintegral Riemann dan memberikan beberapa aplikasi dari teorema ini.

Defenisi 7.3.10

a. Himpunan dikatakan himpunan null setjika untuk setiap terdapat berhinggahimpunan * + dari interval buka sedemikian hingga

b. Jika Q(x) merupakan pernyataan tentang titik , kita dapat mengatakan bahwa Q(x)

dapat diperoleh hampir setiap anggota pada I (atau untuk hampir setiap ), jikaterdapat suatu himpunan null set sedemikian hingga Q(x) berlaku untuk semua . Pada kasus ini kita dapat menuliskannya

Hal ini menunjukkan bahwa sembarang subset dari suatu himpunan null set adalah himpunan

null set juga, dan itu adalah dengan mudah untuk memeriksa bahwa Union (Gabungan) dari

dua himpunan null setadalah himpunan null set.

Contoh 7.3.11

Bilangan rasional pada ,- adalah himpunan null setDiketahui * +. Diberikan . Perhatikan bahwa interval terbuka yang memuat r1 dengan panjang , begitu pula terdapat interval buka

yang memuat dan memiliki panjang . Secara umum, interval terbuka


13/19

13

{ }

Terdapat titik dan memiliki panjang . Oleh karena itu, dari interval terbuka dari setiaptitik : selain itu jumlah dari panjang adalah () karena berubahubah, adalah himpunan null set.

Argumen yang diberikan hanya dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa setiap

himpunan yang dapat dihitung adalah himpunan null set. Namun, dapat pula ditunjukkan bahwa ada

himpunan null setyang tidak dapat dihitung di , sebagai contoh himpunan Cantor.Sekarang kita akan menyatakan kriteria integritas Lebesgue. Yang akan menegaskan bahwa

himpunan yang terbatas pada sebuah interval dapat diintegralkan secara integral Riemann jika dan

hanya jika titik-titik diskontinunya membentuk himpunan null set.

7.3.12 Kriteria keintegralan Lebesgue. Sebuah himpunan terbatas , - dapatdiintegralkan secara integral Riemann jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu di hampir semua

titik pada , -.Bukti. Misalkan , - adalah himpunan terbatas. Maka poin-poin berikut saling ekuivalen :

a) , -b) Untuk setiap terdapat partisi sedemikian sehingga jika , merupakan partisi

bertanda yang mempunyai subinterval yang sama , maka(1)

c) Untuk setiap terdapat sebuah partisi *+ *, -+ sedemikiansehingga jika * + dan * + maka(2)

Jawab.

(a)(b) diberikan , misalkan seperti dalam kriteria cauchy 7.2.1 dan misalkan adalahsebarang partisi dengan . Maka jika adalah sebarang partisi bertanda dengan


14/19

14

subinterval yang sama , maka dan . Sehingga kondisi (1)terpenuhi.

(b)

(c) diberikan

misalkan

*+adalah partisi pada (b) dan misalkan

dan

seperti pernyataan di (c). Karena adalah infimum dan adalah suprimum, makaterdapat titik dan di dengan

Dan

Maka diperoleh

Jika kita mengalikan pertidaksamaan ini dengan dan menjumlahkannya, diperoleh

Misalkan , sehingga partisi bertanda ini

memiliki subinterval yang sama . Dan juga, jumlah. sisi kanan sama denganSehingga dari bentuk (1), kondisi (2) terpenuhi.

(c) (a) didefinisikan fungsi tangga dan , pada , - olehDan untuk ,

Dan untuk maka untuk , -. Karena dan adalah fungsi tangga, maka keduanya dapat diintegralkan secara integralRiemann dan


15/19

15

Oleh karena itu,

Jika kita gunakan (2),maka diperoleh

Karena dapat dipilih sebarang, maka Teorema Squeeze mengakibatkan , -.

7.3.13 contoh.

(a) Fungsi tangga g pada contoh dalam contoh 7.1.3(b) ( ,- ) kontinu di setiap titik kecuali .Sehingga berdasarkan dari kriteria integrasi Lebesgue yang terintegralkan secara Riemann.Faktanya, karena setiap fungsi tangga memiliki himpunan berhingga titik-titik tak kontinu, maka

setiap fungsi tangga padan [a,b] terintegralkan secara Riemann.

(b) dari teorema 5.5.4 bahwa setiap himpunan titik-titik diskontinu dari fungsi monoton dapat

dihitung, kita menyimpulkan bahwa : setiap himpunan monoton pada , - dapat diintegralkansecara Riemann.

(c) Fungsi G seperti pada contoh 7.1.3 (e) ( ,- )diskontinu tepat pada titik-titik di . Karena fungsi ini


16/19

16

adalah himpunan yang dapat dihitung, maka fungsi tersebut adalah himpunan null set dan kriteria

Lebesgue mengakibatkan G dapat diintegralkan secara Riemann.

(d) fungsi Dirichlet yang ditunjukkan oleh contoh 7.2.2 (b) tidak dapat diintegralkan secara Riemann.

Catat bahwa fungsi ini diskontinu di setiap titik pada ,-. Karena dapat ditunjukkan bahwa fungsitersebut bukanlah himpunan null set di ,-, kriteria Lebesgue juga menyimpulkan hal yang sama.(e) Misalkan ,- adalah fungsi Thomae, didefinisikan pada contoh 5.1.6(h) dan 7.1.6.Pada contoh 5.1.6(h), terlihat bahwa h kontinu pada setiap bilangan irrasional dan diskontinu pada

setiap bilangan rasional di ,-. Dari contoh 7.3.11, fungsi tersebut diskontinu pada himpunan nullset, sehingga kriteria Lebesgue mengakibatkan fungsi Thomae terintegralkan secara Riemann pada

,-, seperti yang kita lihat pada contoh 7.1.6.Kita sekarang memperoleh sebuah hasil yang membolehkan kita untuk membuat kombinasi lain dari

fungsi terintegral Riemann.

7.3.14 Teorema komposisi Misalkan , - denganDan misalkan , - kontinu. Maka komposisi elemen , -.Bukti. Jika kontinu di sebuah titik , -, dan juga kontinu di . Karena himpunan D darititik-titik diskontinu adalah himpunan null set, himpunan dimana adalah himpunan titik titik diskontinu yang juga merupakan himpunan null set. Oleh karena itu komposisi juga berada di , -.7.3.15 Akibat. Misalkan , - maka nilai absolut || berada di , - dan

Dimana || untuk semua , -.Bukti. Kita telah melihat pada teorema 7.1.5


17/19

17

bahwa jika f terintegralkan, maka terdapat M sedemikian sehingga || untuk semua , -. MisalkanMaka teorema komposisi mengakibatkan Pertidaksamaan pertama

berasal dari fakta bahwa || || dan 7.1.4(c), dan pertidaksamaan kedua berasal dari|| .7.3.16 Teorema Hasil kali. Jika dan berada di , -, maka hasil kali berada di , -Bukti. Jika , untuk ,-, dari teorema komposisi, berada di , -.Dengan cara yang sama,

dan

berada di

, -tetapi, karena kita dapat menuliskan

perkalian sebagai

Maka , -.D. Integral dengan PartisiKita akan menutup bab ini dengan sebuah bentuk umum integrasi dengan partisi pada integral

Riemann, dan Teorema sisa Taylor.

Teorema 7.3.17 Misalkan dan terdiferensialkan di , -, dan misalkan dan berada , -. Maka(7)

Bukti. Dari teorema 6.1.3 (c), turunan ada di , -, dan

Karena kontinu dan berada di , -, Teorema hasil kali 7.3.16 mengakibatkan dan terintegralkan. Teorema Fundamental 7.3.1 mengakibatkan


18/19

18

Sehingga (7) terpenuhi.

Yang khusus, tapi sangat berguna, contoh dari teorema ini adalah jika dan kontinu di , - dan dan merupakan integral tak wajar dan .Teorema 7.3.18 Sisa Taylor misalkan ada di , - dan , -. Maka(8)

Dimana sisanya berbentuk

(9)

Bukti. Gunakan integrasi dengan partisi pada persamaan (9), dengan dan , sehingga untuk mendapatkan

Jika kita melanjutkan integral ini dengan integrasi partisi maka kita akan mendapatkan (8).


19/19

19

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, Robert Gardner. 1927. Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons, Inc. USA.

http://www.fperri.net/teaching/notes/lecture_notes_897.pdf

Teorema Dasar Anreal Lengkap 2

Documents

Transcript of Teorema Dasar Anreal Lengkap 2