Translate Bab 1 Anreal

TRANSLATE BAB 1 ANREAL

Bagian 1.1 Set dan Fungsi

Untuk pembaca: Pada bagian ini kita memberikan review singkat dari terminologi dan notasi yang

akan digunakan dalam teks ini. Kami sarankan Anda melihat melalui cepat dan kembali lagi nanti

ketika Anda perlu mengingat arti dari istilah atau simbol.

Jika elemen x dalam himpunan A, kita menulis

xEA

dan mengatakan bahwa x adalah anggota A, atau yang x milik A. Jika x tidak dalam A, kita menulis

x ~ A.

Jika setiap elemen dari himpunan A juga milik satu set B, kita mengatakan bahwa A adalah himpunan bagian dari B dan menulis

ACB atau B:) A

Kami mengatakan bahwa himpunan A adalah himpunan bagian yang tepat dari himpunan B jika AS; B, tapi ada setidaknya satu elemen

B yang tidak A. Dalam hal ini kita kadang-kadang menulis

A C B.

- - -

2 BAB 1 PENDAHULUAN

1.1.1 Definisi Dua set A dan B dikatakan sama, dan kita menulis A = B, jika mereka

mengandung unsur-unsur yang sama.

Dengan demikian, untuk membuktikan bahwa set A dan B sama, kita harus menunjukkan bahwa

ACB dan B CA.

Himpunan A nonnally didefinisikan dengan baik daftar unsur-unsurnya secara eksplisit, atau dengan menentukan

properti yang menentukan elemen dari himpunan. Jika P menunjukkan properti yang bermakna

dan tidak ambigu untuk elemen dari himpunan S, maka kita menulis

{x E S: P (x)}

untuk himpunan semua elemen x di S yang properti P benar. Jika set S dipahami

dari konteks, maka sering diabaikan dalam notasi ini.

Beberapa set khusus digunakan di seluruh buku ini, dan mereka dilambangkan dengan standar

simbol. (Kami akan menggunakan simbol: = berarti bahwa simbol di sebelah kiri sedang didefinisikan

dengan simbol di sebelah kanan.)

· Himpunan bilangan ~: = {I, 2, 3, ...}, · Himpunan bilangan bulat Z: = {. O, 1, -1,2, -2, ..},

Himpunan bilangan rasional Q: = {m / n: m, n EZ dan n = 1 = OJ,

· Himpunan bilangan real JR.

Set IRof bilangan real adalah dari pentingnya bagi kita dan akan dibahas

panjang lebar dalam Bab 2.

1.1.2 Contoh (a) Set

{x EN: x2 - 3x + 2 = O}

terdiri dari angka-angka alam yang memenuhi persamaan dinyatakan. Karena satu-satunya solusi dari

persamaan kuadrat ini x = 1 dan x = 2, kita dapat menunjukkan set ini lebih sederhana dengan {I, 2}.

(b) Sejumlah n alami bahkan jika memiliki fonn n = 2k untuk beberapa KEN. Himpunan bahkan

bilangan dapat ditulis

{2k: ken},

yang kurang rumit daripada {n EN: n = 2k, ken}. Demikian pula, set aneh alam

nomor dapat ditulis

{2k - 1: ken}. o

Operasi Set

Kita sekarang mendefinisikan metode untuk memperoleh set baru dari yang diberikan. Perhatikan bahwa ini ditetapkan

operasi didasarkan pada arti kata-kata "atau", "dan", dan "tidak". Untuk serikat,

penting untuk menyadari fakta bahwa kata "atau" digunakan dalam arti inklusif,

memungkinkan kemungkinan bahwa x mungkin milik kedua set. Dalam terminologi hukum, ini termasuk

rasa kadang-kadang ditandai dengan "dan / atau".

1.1.3 Definisi (a) Persatuan set A dan B adalah himpunan

A U B: = {x: x E A atau x E B}.

- -----

.

1.1 SETS DAN FUNGSI 3

(b) Perpotongan set A dan B adalah himpunan.

A n B: = {x: x E A dan E x B}.

(c) komplemen dari B ke A adalah relatif set

A \ B: = {x: x E A dan x B ~}.

AUB! TIID A \ B ~

Gambar 1.1.1 (a) A U B (b) A n B (c) A \ B

Set yang tidak memiliki unsur-unsur yang disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan simbol 0.

Dua set A dan B dikatakan saling lepas jika mereka tidak memiliki unsur kesamaan; ini bisa menjadi

dinyatakan dengan menulis A n B = 0.

Untuk menggambarkan metode pembuktian set kesamaan-kesamaan, kita selanjutnya akan membentuk salah satu

Hukum DeMorgan selama tiga set. Bukti yang lain yang tersisa sebagai latihan.

1.1.4 Teorema Jika A, B, C adalah set, maka

(a) A \ (B U C) = (A \ B) n (A \ C),

(b) A \ (B n C) = (A \ B) U (A C \).

Bukti. Untuk membuktikan (a), kita akan menunjukkan bahwa setiap elemen di A \ (BUC) yang terkandung dalam kedua

(A \ B) dan (A \ C), dan sebaliknya.

Jika x adalah A \ (BUC), maka x adalah A, tapi x tidak di BU C. Oleh karena x adalah A, tapi x

yang tidak di B atau di C. Oleh karena itu, x adalah A tapi tidak B, dan x adalah A tetapi tidak C. Dengan demikian,

x EA \ B dan x EA \ C, yang menunjukkan bahwa x E (A \ B) n (A \ C).

Sebaliknya, jika x E (A \ B) n (A \ C), maka x E (A \ B) dan x E (A \ C). Oleh karena itu x E A

andbothx ~ B ~ andx C. Oleh karena itu, x EA dan x ~ (B UC), sehingga x EA \ (B UC).

Sejak set (A \ B) n (A \ C) dan A \ (B UC) mengandung unsur-unsur yang sama, mereka

equalby Definition1.1.1. Q.E.D.

Ada kalanya diinginkan untuk membentuk serikat pekerja dan persimpangan lebih dari dua

set. Untuk koleksi terbatas set {A2 AI ',. . . , Sebuah} 'serikat mereka adalah himpunan A yang terdiri dari

semua elemen yang termasuk setidaknya satu set Ak, dan persimpangan mereka terdiri dari semua

elemen yang milik semua set Ak '.

Ini diperpanjang untuk koleksi terbatas dari set {A2 AI ',. . . , Sebuah '. . .} mengikuti. Mereka

serikat adalah himpunan elemen yang milik setidaknya satu set Sebuah 'Dalam hal ini kita

menulis

00

Uan: = {x: x E Sebuah untuk Somen EN}.

n = 1

--- - -

4 BAB 1 PENDAHULUAN

Demikian pula, persimpangan mereka adalah himpunan elemen yang milik semua set ini Sebuah 'Dalam hal ini

kasus kita menulis

00 Nan: = {x: x E Sebuah untuk semua n EN}.

n = l

Produk Cartesian

Untuk membahas fungsi, kita mendefinisikan produk Cartesian dari dua set.

1.1.5 Definisi Jika A dan B adalah set tidak kosong, maka Cartesian produk A x B A

dan B adalah himpunan semua pasangan memerintahkan (a, b) witha EA dan b E B. Artinya,

A x B: = {(a, b): a E A, b E B}.

Jadi jika A = {I, 2, 3} dan B = {I, 5}, maka set A x B adalah himpunan yang elemen

pasangan memerintahkan

(1, 1), (1,5), (2, 1), (2,5), (3, 1), (3,5).

Kami dapat memvisualisasikan set A x B sebagai set enam poin dalam pesawat dengan koordinat

yang baru saja kita terdaftar.

Kita sering menggambar diagram (seperti Gambar 1.1.2) untuk menunjukkan produk Cartesian

dua set A dan B. Namun, harus disadari bahwa diagram ini mungkin penyederhanaan.

Sebagai contoh, jika A: = {x E JR: 1 ::: ::: x 2} dan B: = {y E JR: 0 <y ::: 1 atau 2 ::: ::: y 3},

maka bukan persegi panjang, kita harus memiliki gambar seperti Gambar 1.1.3.

Sekarang kita akan membahas pengertian dasar afunction atau pemetaan.

Untuk matematikawan dari awal abad kesembilan belas, kata "fungsi" berarti

pasti rumus, seperti f (x): = x2 + 3x - 5, yang rekan untuk setiap bilangan real x

nomor lain f (x). (Di sini, f (O) = -5, f (1) = -1, f (5) = 35.) Pemahaman ini

dikecualikan kasus differentintervals formulason yang berbeda, sehingga fungsi tidak bisa

didefinisikan "di potong".

3

B

b ~ 1 (a, b)

IIIII

BJ ..

Sebuah

1

AxB

AxB

2

A 1 2

Gambar 1.1.2 Gambar 1.1.3

- - - - - - - - - -

~


Matematika dikembangkan, menjadi jelas bahwa definisi yang lebih umum "fungsi"

akan berguna. Hal ini juga menjadi jelas bahwa penting untuk membuat perbedaan yang jelas

antara fungsi itu sendiri dan nilai-nilai dari fungsi. Definisi direvisi mungkin:

Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan korespondensi yang memberikan ke

setiap x elemen dalam A elemen f unik ditentukan (x) di B.

Tapi bagaimanapun sugestif definisi revisi ini mungkin, ada kesulitan menafsirkan

frase "aturan korespondensi". Untuk memperjelas hal ini, kami akan mengungkapkan definisi

seluruhnya dalam hal set; pada dasarnya, kita akan mendefinisikan fungsi menjadi grafiknya. Sementara ini memiliki

kelemahan yang agak buatan, ia memiliki keuntungan menjadi ambigu

dan lebih jelas.

1.1.6 Definisi Misalkan A dan B akan sets.Then fungsi dari A ke B adalah satu set f dari memerintahkan

pasang di A x B sehingga untuk masing-masing EA terdapat unik b EB dengan (a, b) E f. (Dalam

Dengan kata lain, jika (a, b) E f dan (a, b ') E f, maka b = b'.)

Set A dari elemen pertama dari fungsi f disebut domain dari f dan sering

dilambangkan dengan D (f). Himpunan semua elemen kedua di f disebut kisaran f dan

oftendenotedby R (f). Notethat, althoughD (f) = A, kita onlyhave R (f) C B. (Lihat

Gambar 1.1.4.)

Kondisi penting bahwa:

(a, b) E f dan (a, b ') E f menyiratkan bahwa b = b'

kadang-kadang disebut tes garis vertikal. Dalam hal geometris itu mengatakan setiap garis vertikal

x = dengan EA memotong grafik f tepat sekali.

Notasi

f: A- + B

sering digunakan untuk menunjukkan bahwa f adalah fungsi dari A ke B. Kami juga akan mengatakan bahwa f adalah

pemetaan A ke B, atau yang f memetakan A ke B. Jika (a, b) adalah elemen di f, adalah kebiasaan

untuk menulis

b = f (a) atau kadang-kadang ~ b.

, B

Sebuah

A = D (f)

Gambar 1.1.4 Fungsi sebagai grafik

-

~

- - - - -

- +. ---

6 chapter1 PENDAHULUAN

Jika b = f (a), kita sering menyebut b sebagai nilai f pada, atau sebagai gambar di bawah f.

Transformasi dan Mesin

Selain menggunakan grafik, kita dapat memvisualisasikan fungsi sebagai transformasi set D (f) =

A ke himpunan R (f) C B. Dalam ungkapan ini, ketika (a, b) E f, kita berpikir tentang f sebagai mengambil

yang elemen dari A dan "transformasi" atau "pemetaan" menjadi sebuah b elemen = f (a) di

R (f) C B. Kita sering menggambar diagram, seperti Gambar 1.1.5, bahkan ketika set A dan B

tidak himpunan bagian dari pesawat.

RCF)

f

~

b = f (a)

Gambar 1.1.5 Fungsi sebagai sebuah transfonnation

Ada cara lain untuk memvisualisasikan fungsi: yaitu, sebagai mesin yang menerima

unsur D (f) = A sebagai input dan menghasilkan unsur-unsur yang sesuai R (f) CB sebagai

output. Jika kita mengambil elemen yang tetap (f) dan memasukkannya ke dalam f, kemudian keluar datang sesuai

valuef (x). Jika weput sebuah differentelementy ED (f) ke f, kemudian keluar comesf (y) whichmay

atau mungkin tidak berbeda dari f (x). Jika kita mencoba untuk memasukkan sesuatu yang bukan milik D (f)

ke f, kita menemukan bahwa itu tidak diterima, untuk f dapat beroperasi hanya pada unsur-unsur dari D (f). (Lihat

Gambar 1.1.6.)

Visualisasi terakhir ini membuat jelas perbedaan antara f dan f (x): yang pertama adalah

mesin itu sendiri, dan yang kedua adalah output dari mesin f ketika x adalah input. Sedangkan

tidak ada kemungkinan untuk membingungkan penggiling daging dengan daging tanah, cukup banyak orang bingung

fungsi dengan nilai-nilai mereka bahwa itu adalah layak membedakan antara mereka notationally.

xt

f

f (x)

Gambar 1.1.6 Fungsi sebagai mesin

- ---

--- -

~


Langsung dan Inverse Images

Biarkan f: A - B + menjadi fungsi dengan domain D (f) = A dan rentang R (f) C B ..

1.1.7 Definisi Jika E adalah himpunan bagian dari A, maka gambar langsung dari E di bawah f adalah subset

f (E) dari B diberikan oleh

f (E): = {f (x): x E E}.

Jika H adalah bagian dari B, maka citra kebalikan dari H bawah f adalah himpunan bagian fl (H) dari A

diberikan oleh

f-l (H): = {x E A: f (x) E H}.

Ucapan Notasi fl (H) digunakan dalam hubungan ini memiliki kelemahan. Namun,

kita akan menggunakannya karena merupakan notasi standar.

Jadi, jika kita diberi satu set ECA, maka titik Yl EB adalah gambar langsung f (E)

jika dan <:> nlyif terdapat setidaknya satu titik xl EE sehingga y1 = f (x 1). Demikian pula, diberikan

set jika CB, maka titik Xz adalah di fl gambar terbalik (H) jika dan hanya jika yz: = f (xz)

milik H. (Lihat Gambar 1.1.7.)

1.1.8 Contoh (a) Misalkan f: IR - + IR menjadi definedby f (x): = xz. Kemudian gambar langsung

set E: = {x: 0 :::: :::: x 2} adalah himpunan f (E) = {y: 0 :::: y <4}.

Jika G: = {y: 0 :::: :::: y 4}, maka citra kebalikan dari G adalah fl set (G) = {x: -2 <

x :::: 2}. Dengan demikian, dalam kasus ini, kita melihat bahwa f-l (f (E »- = 1 = E.

Di sisi lain, kita memiliki f (fl (G ») = G. Tetapi jika H: = {y: -1 :::: y :::: Aku}, maka

kita memiliki f (f-l (H ») = {y: 0 :::: :::: y I} - = 1 = H.

Sebuah sketchof yang graphof f mayhelp untuk visualizethese set.

(b) Misalkan f: A - B +, dan membiarkan G, H akan subsetsof B. Wewill menunjukkan bahwa

f-l (G n H) C f-l (G) n f-l (H).

Sebab, jika x E fl (G n H), maka f (x) EG n H, sehingga f (x) EG dan f (x) E H. Tapi ini

menyiratkan bahwa x E fl (G) dan x E fl (H), whencex E fl (G) nf-l (H) .Thusthestated

Implikasi terbukti. [Dimasukkannya sebaliknya juga benar, sehingga kita benar-benar telah menetapkan

kesetaraan antara set ini; lihat Latihan 13.] 0

Fakta lebih lanjut tentang gambar langsung dan terbalik diberikan dalam latihan.

f

~

E

H

Gambar 1.1.7 gambar langsung dan terbalik

-

8 chapter1 PENDAHULUAN

Jenis khusus dari Fungsi

Definisi berikut mengidentifikasi beberapa jenis yang sangat penting dari fungsi.

1.1.9 Definisi Biarkan saya: A - B + menjadi fungsi dari A ke B.

(a) Fungsi saya dikatakan injective (atau menjadi salah-salah) jika setiap kali xl = I x2 'kemudian

Saya (xl) = Il (x2) .1f saya adalah fungsi injektif. kami juga mengatakan bahwa saya adalah suntikan.

(b) Fungsi saya dikatakan surjective (atau untuk memetakan A ke B) jika saya (A) = B; yaitu, jika -

kisaran R (I) = B. Jika saya adalah fungsi surjective, kami juga mengatakan bahwa saya adalah seorang surjection.

(c) Jika saya adalah baik surjective injectiveand, maka saya dikatakan bijektif. Jika saya adalah bijektif, kami

juga mengatakan bahwa saya adalah seorang bijection.

Untuk membuktikan bahwa fungsi saya adalah injective, kita harus menetapkan bahwa:

untuk x2 semua Xl 'A, jika saya (xl) = l (x2), maka Xl = x2.

Untuk melakukan ini kita assumethat I (x 1) = I (x2) dan menunjukkan bahwa Xl = X2.

[Dengan kata lain, grafik saya memenuhi tes pertama garis horizontal: Setiap horisontal

garis y = b dengan b EB memotong grafik saya di paling banyak satu titik.] · Untuk membuktikan bahwa fungsi saya adalah surjective, kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap b EB terdapat di

Setidaknya satu X E A seperti yang saya (x) = b.

[Dengan kata lain, grafik saya memenuhi kedua uji garis horizontal: Setiap horisontal

garis y = b dengan b EB memotong grafik saya dalam setidaknya satu titik.]

1.1.10 Contoh Misalkan A: = {x E IR: X = II} dan menentukan I (x): = 2x / (x - 1) untuk semua x E A. -

Untuk menunjukkan bahwa saya adalah injective, kita mengambil xl dan x2 A dan berasumsi bahwa saya (xl) = l (x2). Demikian

kita punya

-2-X-, 1 _ 2x2 x 1 -1 x-2I

yang menyiratkan bahwa xl (X2 - 1) = x2 (xi - 1), dan karenanya xl = x2. Oleh karena itu saya adalah injektif.

Untuk menentukan kisaran I.We menyelesaikan persamaan y = 2x / (x - 1) untuk x dalam hal 0:

y. Weobtainx = y / (y - 2), yang berarti untuk y = I 2. Dengan demikian kisaran saya adalah se

B: = {y E IR: y = I2}. Jadi, saya adalah bijection A ke B. C

Fungsi Inverse

Jika saya adalah fungsi dari A ke B. maka saya adalah bagian khusus Ax B (yaitu. Satu passin ~

tes garis vertikal.) Himpunan pasangan terurut di B x A diperoleh dengan interchanging tht

anggota pasangan memerintahkan dalam I umumnya tidak fungsi. (Artinya, set saya mungkin tidak pas

kedua tes garis horizontal.) Namun, jika saya adalah bijection, maka ini interchange doe

menyebabkan fungsi. disebut "fungsi invers" dari I.

1.1.11 Definisi Jika saya: A - B + adalah bijection A ke B. maka

g: = {(b, a) E B x A: (a, b) E f}

adalah fungsi dari B ke A. Fungsi ini disebut fungsi kebalikan dari I.and yang masing menunjukkan

oleh 1-1. Function1-1 ini juga calledthe kebalikan dari I.


Kami juga dapat mengungkapkan hubungan antara f dan kebalikannya II dengan mencatat bahwa

D (/) = R (/ - I) dan R (/) = D (/ - I) dan yang

b = I (a) jika dan hanya jika a = I-I (b).

Sebagai contoh, kita melihat dalam Contoh 1.1.10 bahwa fungsi

2x

I (x): = -x-I

adalah bijection A: = {x E JR: x = 1 = I} ke himpunan B: = {y E JR: y = 1 = 2}. Fungsi

terbalik dengan saya diberikan oleh

untuk y E B.

Berkomentar notasi Weintroducedthe II (H) di 1.1.7.It Definition masuk akal bahkan jika

Saya tidak memiliki fungsi invers. Namun, jika fungsi invers II tidak ada, maka

II (H) adalah imageof langsung set HCB underI-I.

. Komposisi Fungsi

Sering terjadi bahwa kita ingin "menulis" dua fungsi saya, g oleh findingI pertama (x) dan

kemudian applyingg untuk mendapatkan g (/ (x », namun ini hanya mungkin ketika saya (x) milik

domainof g. Untuk dapat melakukan ini untuk semua I (x), kita harus assumethat kisaran

Saya terkandung dalam domain g. (Lihat Gambar 1.1.8.)

1.1.12 Definisi Jika saya: A - B + dan g: B - + C, dan jika R (/) CD (g) = B, maka

fungsi komposit pergi saya (perhatikan urutan!) adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh

(g 0 I) (x): = g (/ (x »untuk semua x EA.

1.1.13 Contoh (a) Urutan komposisi harus mencatat secara hati-hati. Sebab, biarkan saya

dan g menjadi fungsi yang nilai-nilainya pada x E JRare diberikan oleh

I (x): = 2x dan g (x): = 3x2 - 1.

Sejak D (g) = JR dan R (/) C JR = D (g), maka domain D (g 0 I) juga sama dengan JR, dan

fungsi komposit g 0 Saya diberikan oleh

(g 0 I) (x) = 3 (2x) 2 - 1 = 12x2 - 1.

B

A c

g - '.

gof

Gambar 1.1.8 Komposisi off andg

- - - ------

10 BAB 1 PENDAHULUAN

Di sisi lain, domain fungsi kabut komposit juga JR, tapi

(f 0 g) (x) = 2 (3x2 - 1) = 6x2 - 2.

Dengan demikian, dalam kasus ini, kita memiliki g 0 f 1 = kabut.

(b) Dalam mempertimbangkan g 0 f, beberapa perawatan harus dilakukan untuk memastikan bahwa berbagai f adalah

terkandung dalam domain g. Sebagai contoh, jika

f (x): = 1-x2 dan g (x): = ~,

kemudian, karena D (g) = {x: x 2: O}, komposit fungsi go f diberikan oleh rumus

(g 0 f) (x) = ~ 2

hanya untuk x E D (f) yang memenuhi f (x) 2: 0; yaitu, untuk x memuaskan -1 ~ x ~ 1.

Wenote bahwa jika kita membalik urutan, maka kabut komposisi diberikan oleh rumus

(f 0 g) (x) = 1 - x,

tapi hanya untuk mereka x dalam domain D (g) = {x: x 2: O}. o

.

Kami sekarang memberikan hubungan antara fungsi komposit dan gambar terbalik. The

bukti yang tersisa sebagai latihan instruktif.

1.1.14 Teorema Misalkan f: A ~ B dan g: B ~ C menjadi fungsi dan membiarkan H menjadi bagian dari

C. Kemudian kita memiliki

Catatan pembalikan dalam urutan fungsi.

Pembatasan Fungsi

Jika f: A ~ B adalah fungsi dan jika Ai CA, kita dapat mendefinisikan fungsi fi: Ai ~ B oleh

fi (x): = f (x) untuk x E Ai.

Fungsi fi disebut pembatasan f ke Ai. Kadang-kadang dilambangkan dengan fi = FLAI.

Ini mungkin tampak aneh bagi pembaca yang satu akan pernah memilih untuk sekali pakai bagian dari

fungsi, tetapi ada beberapa goodreasonsfor melakukannya. Sebagai contoh, jika f: JR ~ JRis yang

fungsi mengkuadratkan:

f (x): = x2 untuk x E JR,

maka f tidak injektif, sehingga tidak dapat memiliki fungsi invers. Namun, jika kita membatasi f untuk

set Ai: = {x: x 2: O}, maka pembatasan FLAI adalah bijection dari Ai ke Ai. Oleh karena itu,

pembatasan ini memiliki fungsi invers, yang merupakan fungsi positif akar kuadrat. (Sketch

grafik.)

Demikian pula, fungsi trigonometri S (x): = sin x dan C (x): = cos x tidak injektif

pada semua R. Namun, dengan membuat pembatasan sesuai fungsi-fungsi ini, satu dapat memperoleh

sinus terbalik dan fungsi invers cosinus bahwa pembaca memiliki pasti sudah

dihadapi.

- - - - ----


Latihan untuk Bagian 1.1

1. Jika A dan B adalah set, menunjukkan bahwa A ~ B jika dan hanya jika An B = A.

2. Buktikan kedua De Morgan Hukum [Teorema 1.1.4 (b)].

3. Buktikan Hukum Distributif:

(a) A n (B U C) = (A n B) U (A n C),

(b) AU (B n C) = (A U B) n (A U C).

4. Thesymmetric differenceof twosetsA dan B adalah setD semua elementsthatbelongto baik

A atau B tetapi tidak both.RepresentD dengan diagram.

(a) ShowthatD = (A \ B) U (B \ A).

(b) Tunjukkan bahwa D juga diberikan oleh D = (AUB) \ (A n B).

5. Untuk setiap n EN, biarkan An = {(n + l) k: ken}.

(a) Apa Al n A2?

(b) Tentukan set Ulan: n EN} dan n {An: n EN}.

6. diagram Menggambar di bidang produk Cartesian A x B untuk diberikan set A dan B.

(a) A = {x E IR: 1 ::: ::: x 2 atau 3 x ::: ::: 4}, B = {x E IR: x = 1 atau x = 2}.

(b) A = {I, 2, 3}, B = {x E IR: 1 ::: ::: x 3}.

7. Biarkan A: = B: = {x EIR: -1 ::: x ::: I} dan considerthe bagian C: = {(x, y): x2 + l = I} dari

A x B. Apakah ini mengatur fungsi? Jelaskan.

8. Biarkan saya (x): = l / x2, x; 6 0, x E R

(a) Tentukan gambar langsung saya (E) di mana E: = {x E IR: 1 ::: ::: x 2}.

(b) menentukan harga inverseimageI-I (G) whereG: = {x E IR: 1 ::: ::: x 4}.

9. Misalkan g (x): = x2 dan saya (x): = x + 2 untuk x ER dan membiarkan h menjadi komposit fungsi h: = g 0 I.

(a) Carilah h gambar langsung (E) dari E: = {x E IR: 0 ::: x ::: I}.

(b) Cari gambar terbalik hI (G) dari G: = {x E IR: 0 ::: ::: x 4}.

10. Misalkan I (x): = x2 untuk x E IR, andlet E: = {x E IR: -1 ::: x ::: O} dan F: = {x EIR: 0 ::: x :: : Aku}.

Menunjukkan bahwa En F = (OJ dan saya (E n F) = (OJ, sementara aku (E) = I (F) = {y E IR: 0 ::: y ::: Aku}.

HenceI (E n F) isapropersubsetof f (E) n I (F). Whathappensif 0 adalah deletedfromthe set

E dan F?

11. Misalkan I dan E, F sebagai di Exercise10.Find set E \ F dan I (E) \ 1 (F) andshowthat tidak

benar bahwa saya (E \ F) ~ I (E) \ / (F).

12. Tunjukkan bahwa jika saya: A - B + dan E, F adalah himpunan bagian dari A, maka saya (EUF) = I (E) UI (F) dan

Saya (E n F) ~ I (E) n I (F).

13. Tunjukkan bahwa jika saya: A - + Band G, H adalah himpunan bagian dari B, maka II (GUH) = ll (G) U 1-1 (H)

dan aku-aku (G n H) = I-I (G) n I-I (H).

14. Tunjukkan bahwa fungsi saya definedby I (x): = x / Jx2 + 1, x E IR, adalah bijection dari IR ke

{y: -1 <y <I}.

15. Untuk a, b E IRwitha <b, findan explicitbijectionof A: = {x: a <x <b} ontoB: = {y: 0 <

y <I}.

16. Berikan contoh dua fungsi saya, g pada IRto IRsuch bahwa saya: f: g, tapi log suchthat = g 0 I.

17. (a) Tunjukkan bahwa jika saya: A - B + adalah injective dan E ~ A, kemudian 1-1 (f (E »= E. Givean contoh

untuk menunjukkan kesetaraan yang tidak perlu terus jika saya tidak injektif.

(b) Tunjukkan bahwa jika saya: A - B + adalah surjective dan H £ B, maka saya (fl (H »= H. Givean contoh

untuk showthat equalityneednot holdif saya adalah notsurjective.

18. (a) Misalkan saya adalah suntikan. Tunjukkan bahwa I-I 0 I (x) = x untuk semua x E D (f) dan yang

01-01 Oktober (y) = y untuk semua y E R (f).

(b) Jika saya adalah bijectionof A ke B, showthat 1-1 adalah bijectionof B ke A.

- - ---- -

.


19. Provethat jika /: A ~ B adalah bijective dan g .: B ~ C adalah bijektif, maka compositego yang / adalah

peta bijective A ke C.

20. Misalkan /: A ~ B dan g: B ~ C menjadi fungsi.

(a) Tunjukkan bahwa jika pergi / yang injective, maka / adalah injektif.

(b) Tunjukkan bahwa jika pergi / adalah surjective, maka g yaitu surjective.

21. Buktikan Teorema 1.1.14.

22. Let /, g menjadi fungsi seperti itu (g 0 f) (x) = x untuk semua xe D (f) dan (f 0 g) (y) = y untuk semua

y e D (g). Buktikan bahwa g = I-i.

Bagian 1.2 Matematika Induksi

Induksi matematika adalah metode yang kuat bukti yang sering digunakan untuk membangun

validitas pernyataan yang diberikan dalam hal jumlah alami. Meskipun utilitas

dibatasi untuk konteks agak khusus ini, Matematika Induksi adalah alat yang sangat diperlukan

di semua cabang matematika. Karena banyak bukti induksi mengikuti garis resmi yang sama

argumen, kita sering akan menyatakan hanya itu it.result berikut dari Matematika Induksi

dan menyerahkan kepada pembaca untuk memberikan rincian yang diperlukan. Pada bagian ini, kita akan menyatakan

Prinsip dan memberikan beberapa contoh untuk menggambarkan bagaimana induktif bukti melanjutkan.

Kita akan menganggap keakraban dengan himpunan bilangan:

N: = {I, 2, 3, ...},

dengan operasi aritmatika biasa penjumlahan dan perkalian, dan yang artinya

dari nomor alam yang kurang dari satu sama lain. Kami juga akan menganggap berikut

Properti fundamental dari N.

1.2.1 Terletak Memesan Properti N Setiap bagian tak kosong dari N memiliki elemen setidaknya.

Sebuah pernyataan yang lebih rinci dari properti ini adalah sebagai berikut: Jika S adalah bagian dari N dan jika

S - = 1 = 0, maka ada existsm ES thatm seperti: sk untuk semua k E S.

Atas dasar Sumur-Pengurutan Properti, kita akan memperoleh versi Prinsip

Matematika Induksi yang dinyatakan dalam himpunan bagian dari N.

1.2.2 Prinsip Matematika Induksi Misalkan S subset dari N yang memiliki satu

dua sifat:

(1) Nomor 1 E S.

(2) Untuk setiap ken, jika k E S, maka k + 1 E S.

Lalu kami memiliki S = N.

Bukti. Misalkan yang bertentangan bahwa S - = 1 = N. Kemudian set N \ S tidak kosong, sehingga dengan

Baik Memesan Prinsip itu telah elemen m setidaknya. Sejak 1 E S oleh hipotesis (1), kita tahu

m yang> 1. Tapi ini menyiratkan bahwa m - 1 juga sejumlah alami. Sejak m - 1 <m dan

karena m adalah unsur paling tidak dalam N sehingga m fj S, kami menyimpulkan bahwa m - 1 E S.

Kami sekarang menerapkan hipotesis (2) ke elemen k: = m - 1 di S, untuk menyimpulkan bahwa k + 1 =

(m - 1) + 1 = m belongsTo S. Tapi statementcontradictsthe ini sebenarnya thatm fj S. Sincem

adalah obtainedfromthe assumptionthatN \ S tidak kosong, wehaveobtaineda kontradiksi.

Oleh karena itu kita harus memiliki S = N. Q.E.D.

- - -

-

1.2 MATHEMATICALINDUCTION 13

Prinsip Matematika Induksi sering ditetapkan dalam kerangka sifat

atau pernyataan tentang bilangan. Jika pen) adalah pernyataan yang berarti tentang n E N,

maka P (n) mungkin benar untuk beberapa nilai n sebuah ~ palsu untuk orang lain. Sebagai contoh, jika PI (n) adalah

pernyataan: "nz = n", maka PI (1) adalah benar sedangkan PI (n) adalah palsu untuk semua n> 1, n E N. Pada

Sebaliknya, jika Pz (n) adalah pernyataan: "nz> Aku", maka Pz (1) adalah palsu, sementara Pz (n) benar

untuk semua n> 1, n E N.

Dalam konteks ini, Prinsip Matematika Induksi dapat dirumuskan sebagai berikut.

Foreachn E N, biarkan pena) menjadi pernyataan tentang n. Misalkan:

(1 ') P (1) benar.

(2 ') Untuk setiap ken, jika P (k) benar, maka P (k + 1) benar.

Kemudian pen) ini berlaku untuk semua n EN.

Koneksi dengan versi sebelumnya dari Matematika Induksi, diberikan dalam 1.2.2,

dibuat dengan membiarkan S: = {n EN: pen) adalah true}. Kemudian kondisi (1) dan (2) dari 1.2.2

sesuai persis dengan kondisi (1 ') dan (2'), masing-masing. Kesimpulan bahwa S = N

di 1.2.2 sesuai dengan kesimpulan bahwa pen) benar untuk semua n E N.

Dalam (2 ') asumsi "jika P (k) benar" disebut hipotesis induksi. Dalam menetapkan

(2 '), kita tidak peduli dengan kebenaran yang sebenarnya atau kesalahan P (k), tetapi hanya dengan

validitas implikasi "jika P (k), maka P (k + I)". Sebagai contoh, jika kita mempertimbangkan

pernyataan pen): "n = n + 5", kemudian (2 ') adalah logis benar, karena kita bisa menambahkan 1 ke

kedua sisi P (k) untuk mendapatkan P (k + 1). Namun, karena pernyataan P (1): "1 = 6" adalah palsu,

kita tidak bisa menggunakan Matematika Induksi untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk semua n E N.

Ini mungkin terjadi bahwa pernyataan P (n) adalah palsu untuk numbersbut alam tertentu maka yang

berlaku untuk semua n :::: ada beberapa ada tertentu 'Prinsip Matematika Induksi dapat

dimodifikasi untuk menghadapi situasi ini. Kami akan merumuskan prinsip dimodifikasi, tetapi meninggalkan nya

verifikasi sebagai latihan. (Lihat Latihan 12.)

1.2.3 Prinsip Matematika Induksi (versi kedua) Janganlah EN dan membiarkan P (n)

menjadi eachnaturalnumbern statementfor :::: ada 'Misalkan:

(1) Pernyataan P (tidak ada) adalah benar.

(2) Untuk allk :::: ada 'kebenaran P (k) menyiratkan kebenaran P (k + 1).

Kemudian pen) ini berlaku untuk semua n :::: ada '

Kadang-kadang jumlah tidak di (1) disebut dasar, karena berfungsi sebagai titik awal,

dan implikasi dalam (2), yang dapat ditulis P (k) :::} P (k + 1), disebut jembatan,

karena menghubungkan kasus k untuk kasus ini k + 1.

Contoh berikut menggambarkan bagaimana Matematika Induksi digunakan untuk membuktikan pernyataan

tentang bilangan.

1.2.4 Contoh (a) Untuk setiap n EN, jumlah dari angka pertama n alami diberikan oleh

1+ 2 + ... + n =! N (n + 1).

Untuk membuktikan rumus ini, kita membiarkan S adalah himpunan semua n EN yang formula benar.

Kita harus memastikan bahwa kondisi (1) dan (2) dari 1.2.2 puas. Jika n = 1, maka kita memiliki

1 =! . 1. (1 + 1) sehingga 1 E S, dan (1) puas. Berikutnya, kita mengasumsikan bahwa k E S dan keinginan

untuk menyimpulkan dari asumsi bahwa k + 1 E S. Memang, jika k ES, maka

1+ 2 +. . . + K =! K (k + 1).

-, ~ "": "" '-' .. - - ~ ...

-----


Jika kita menambahkan k + 1 untuk kedua sisi persamaan diasumsikan, kita memperoleh

1 + 2 +. . . + K + (k + 1) = ~ k (k + 1) + (k + 1)

= ~ (k + 1) (k + 2).

Karena ini adalah rumus dinyatakan untuk n = k + 1, kita menyimpulkan bahwa k + 1 E S. Oleh karena itu,

Kondisi (2) dari 1.2.2 puas. Akibatnya, dengan Prinsip Matematika Induksi,

kami menyimpulkan bahwa S = N, sehingga rumus berlaku untuk semua n EN.

(b) Untuk setiap n EN, jumlah dari squaresof yang numbersis givenby alami firstn

12 + 22 + ... + n2 = 1n (n + 1) (2n + 1).

Untuk membangun formula ini, kami mencatat bahwa itu adalah benar untuk n = 1, sejak 12 = 1. 1. 2. 3. Jika

kita asumsikan itu benar untuk k, kemudian menambahkan (k + 1) 2to kedua sisi rumus diasumsikan memberikan

12 + 22 +. . . + K2 + (k + 1) 2 = 1k (k + 1) (2 k + 1) + (k + 1) 2

= 1 (k + 1) (2k2 + k + 6K + 6)

= ~ (k + l) (k + 2) (2k + 3).

Akibatnya, rumus ini berlaku untuk semua n E N.

(c) Mengingat dua bilangan real a dan b, kita akan membuktikan bahwa a - b adalah faktor dari - bn untuk

semua n E N.

Pertama kita melihat bahwa pernyataan ini jelas benar untuk n = 1. Jika kita sekarang assumethat a - b

adalah faktor ak - bk, maka

ak + 1_ bk + 1 = ak + 1 _ ABK + ABK _ bk + l

= a (ak - bk) + bk (a - b).

Dengan hipotesis induksi, a - b adalah faktor dari (ak - bk) dan itu adalah jelas faktor

bk (a - b). Oleh karena itu, - b adalah faktor ak + l - bk + l, dan maka dari Matematika

Induksi bahwa - b adalah faktor dari - miliar untuk semua n EN.

Berbagai dibagi. Hasil dapat diturunkan dari fakta ini. Sebagai contoh, karena

11 -7 = 4, kita melihat bahwa _7n ILN habis dibagi 4 untuk semua n EN.

(d) ketidaksetaraan The 2n> 2n + 1 adalah palsu untuk n = 1,2, tapi itu benar untuk n = 3. Jika kita mengasumsikan

bahwa 2k> 2k + 1, maka perkalian dengan 2 memberikan, ketika 2k + 2> 3, ketidaksamaan

2k + 1> 2 (2k + 1) = 4k + 2 = 2k + (2k + 2)> 2k + 3 = 2. (k + 1) + 1.

Sejak 2k + 2> 3 untuk semua k> 1, jembatan ini berlaku untuk semua k> 1 (meskipun pernyataan

adalah palsu untuk k = 1, 2). Oleh karena itu, dengan dasar tidak ada = 3, kita dapat menerapkan Matematika Induksi

untuk menyimpulkan bahwa ketidaksetaraan berlaku untuk semua n 2: 3.

(e) ketidaksetaraan 2n ~ (n + I)! dapat dibentuk oleh Matematika Induksi.

Kami pertama kali mengamati bahwa itu adalah benar untuk n = 1, karena 21 = 2 = 1 + 1. Jika kita berasumsi bahwa

2k ~ (k + I) !, mengikuti dari kenyataan bahwa 2 ~ k + 2 yang

2k + 1 = 2. 2k ~ 2 (k + I)! ~ (K + 2) (k + I)! = (K + 2) 1.

Dengan demikian, jika ketidaksetaraan berlaku untuk k, maka itu juga berlaku untuk k + 1. Oleh karena itu, Matematika

Inductionimplies bahwa inequalityis benar untuk semua n EN.

(1) Jika, E JR ,,: f: 1, dan n E N, maka

1+, +, 2 + ... +, n = 1 -, n + 1.

1-,

- - - - - -

-

1.2 MATHEMATICALINDUCTION 15

Ini adalah fonnula untuk jumlah dari Tenns dalam "deret ukur". Bisa

dibentuk menggunakan induksi matematika sebagai berikut. Pertama, jika n = 1, maka 1 + r =

(1 - r2) f (1 - r). Jika kita mengasumsikan kebenaran fonnula untuk n = k dan menambahkan rk Tenn + l untuk

kedua belah pihak, kita mendapatkan (setelah sedikit ilmu aljabar).

1 - rk + 1 1_ rk + 2

1+ r + rk +. . . + Rk + 1 = + rk + l =, l-r l-r

yang merupakan fonnula untuk n = k + 1.Therefore, validitas MathematicalInductionimpliesthe

dari fonnula untuk semua n EN.

[Hasil ini juga dapat dibuktikan tanpa menggunakan MathematicalInduction. Jika kita membiarkan

sn: = 1 + r + r2 + ... + rn, maka RSN = r + r2 + ... + rn + l, sehingga

(1 - r) sn = sn - RSN = 1 - rn + 1.

Jika kita membagi dengan 1 - r, kita mendapatkan fonnula menyatakan].

(g) penggunaan ceroboh dari Prinsip Matematika Induksi dapat menyebabkan jelas tidak masuk akal

kesimpulan. Pembaca diajak untuk menemukan kesalahan dalam "bukti" dari pernyataan berikut.

. Klaim: Jika n E Nandif themaximumof thenaturalnumbersp andq adalah n, thenp: - q.

"Bukti." Misalkan S adalah bagian dari N yang klaim itu benar. Terbukti, 1 E S karena jika

p, q EN dan maksimal adalah 1, maka kedua sama dengan 1 dan p = q. Sekarang asumsikan bahwa k E S

dan bahwa maksimum p dan q adalah k + 1. Kemudian maksimum p - 1 dan q - 1is k. Tapi

sejak k ES, maka p - 1 = q - 1 dan karena p = q. Dengan demikian, k + 1 E S, dan kami menyimpulkan

bahwa pernyataan ini berlaku untuk semua n EN.

(h) Ada pernyataan yang benar bagi banyak bilangan tapi yang tidak benar untuk

mereka semua.

Sebagai contoh, fonnulap (n):. = N2 - n + 41 givesaprimenumberforn = 1,2, ",

40. Namun, p (41) jelas habis dibagi 41, jadi itu bukan bilangan prima. 0

Versi lain dari Prinsip Matematika Induksi kadang-kadang sangat berguna.

Hal ini disebut "Prinsip Induksi Kuat", meskipun itu sebenarnya setara dengan 1.2.2.

1.2.5 Prinsip Induksi Kuat Misalkan S subset OLN sehingga

(I ") 1 E S.

(2 ") Untuk setiap ken, jika {l, 2,. .., K} CS, maka k + 1 E S.

Kemudian S = N.

Kami akan menyerahkan kepada pembaca untuk menetapkan kesetaraan 1.2.2 dan 1.2.5.

Latihan untuk Bagian 1.2

1. Provethat 1/1 .2+ 1 / 2.3 + ... + l / n (n + 1) = n / (n + 1) untuk semua n EN.

2. Provethat 13+ 23 + ... + 3 = [4n (n + 1)] 2for semua n EN.

3. Provethat 3 + 11 +. . . + (8N - 5) = 4n2 - n untuk semua n E N.

4. Provethat12 + 32 + ... + (2n- 1) 2 = (4n3- n) / 3 untuk alln EN.

5. Provethat 12- 22 + 32 + ... + (_L) n + 1N2 = (_1) n + 1n (n + 1) / 2 untuk alln EN.

-

- - ---

- _.- _.- - ---


6. Buktikan bahwa n3 + 5n habis dibagi 6 untuk semua n EN.

7. Buktikan bahwa 52n- 1 habis dibagi 8 untuk illn EN.

8. Buktikan bahwa 5n - 4n - 1 habis dibagi 16 untuk semua n EN.

9. Buktikan bahwa n3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 habis dibagi 9 untuk semua n E N.

10. Dugaan sebuah fonnula untuk jumlah III .3+ 1/3 .5+. . . + 1 / (2n - 1) (2n + I), dan membuktikan Anda

dugaan dengan menggunakan Matematika Induksi.

11. Dugaan sebuah fonnula untuk jumlah pertama n ganjil bilangan 1 + 3 +. . . + (2n- I),

dan membuktikan fonnula Anda dengan menggunakan induksi matematika.

12. Buktikan Prinsip Matematika Induksi 1.2.3 (versi kedua).

13. Buktikan bahwa n <2n untuk semua n EN.

14.

15.

16.

17.

Buktikan bahwa 2n <n! untuk semua n 2: 4, n E N.

Membuktikan bahwa 2n - 3 ::: 2n-2 untuk semua n 2: 5, n EN.

Cari semua bilangan n sehingga n2 <2n. Buktikan pernyataan Anda.

Cari terbesar nomor alam m sehingga n3 - n habis dibagi m untuk semua n EN. Buktikan Anda

pernyataan.

18. Buktikan bahwa IIV '! + 1 /../ 2 + + 1 / .., 1n> .., Infor semua n EN.

19. Misalkan S subset dari N sehingga (a) 2k ES untuk semua ken, dan (b) jika k ES dan k 2: 2, maka

k - 1 E S. Buktikan bahwa S = N.

20. Biarkan nomor xn didefinisikan sebagai berikut: xl: = 1, x2: = 2, dan xn + 2: = ~ (xn + 1 + xn) untuk semua

n EN. Gunakan Prinsip Induksi Kuat (1.2.5) untuk menunjukkan bahwa 1 ::: ::: xn 2 untuk semua n EN.

Wrong?

Translate Bab 1 Anreal

Documents

Transcript of Translate Bab 1 Anreal