Translate Memenk
description
Transcript of Translate Memenk
1.9 Turunan dari sebuah Vector
Sampai saat ini kami telah khawatir terutama dengan vektor aljabar. Kami sekarang mulai mempelajari kalkulus vektor dan penggunaannya dalam deskripsi gerakan partikel. Pertimbangkan vektor A, yang komponennya adalah fungsi dari variabel tunggal u. vektor dapat mewakili posisi, kecepatan, dan sebagainya. Parameter u biasanya waktu t, tetapi bisa saja kuantitas yang menentukan komponen A:
(1.9.1)Turunan dari A terhadap u didefinisikan, cukup analog dengan turunan biasa dari fungsi skalar, oleh batas
(1.9.2)Turunan dari vektor adalah vektor yang komponen Cartesian adalah turunan biasa.
Ini mengikuti dari Persamaan 1.9.2 bahwa turunan dari jumlah dari dua vektor adalah sama dengan jumlah dari turunan, yaitu,
aturan untuk membedakan produk vektor mematuhi aturan serupa dari vektor kalkulus. Untuk
contoh,
Perhatikan bahwa perlu untuk melestarikan urutan istilah dalam turunan dari produk silang. Bukti yang tersisa sebagai latihan bagi siswa.
1.10 Posisi Vector Partikel a: Velocity dan Percepatan di Koordinat Rectangular
Dalam sistem referensi yang diberikan, posisi partikel dapat ditentukan oleh vektor tunggal, yaitu, perpindahan partikel relatif terhadap asal sistem koordinat.
vektor ini disebut vektor posisi partikel. Koordinat persegi
(Gambar 1.10.1), vektor posisi hanya
Komponen dari vektor posisi partikel bergerak adalah fungsi dari waktu,
yaitu,
Dalam Persamaan 1.9.2 kami memberi definisi formal dari turunan dari vektor apapun dengan hormat tc beberapa parameter. Secara khusus, jika vektor adalah r vektor posisi bergerak a
partikel dan parameter adalah t kapur, turunan dari r terhadap t disebut kecepatan, yang akan kita dilambangkan dengan v
di mana titik menunjukkan diferensiasi terhadap t. (Konvensi ini adalah standar dan digunakan di seluruh buku.) Mari kita periksa arti geometris dari vektor kecepatan. Misalkan sebuah partikel berada pada posisi tertentu pada waktu t. Pada waktu di kemudian, partikel akan pindah dari posisi r (t) ke posisi r (t + delta t). vektorperpindahan selama delta t selang kapur
sehingga hasil bagi delta r / delta t adalah vektor yang sejajar dengan perpindahan. Seperti yang kita pertimbangkanlebih kecil dan interval waktu yang lebih kecil, hasil bagi delta r / delta t mendekati batas dr / dt, yang kita sebut kecepatan. Vektor dr / dt mengungkapkan kedua arah gerak dan tingkat. Hal ini ditunjukkan secara grafis pada Gambar 1.10.2. Dalam interval waktu delta t, bergerak partikel sepanjang jalan dari P ke P '. Sebagai 1\delta t mendekati nol, titik P 'pendekatan P, dan singa dire- dari vektor delta r / delta t mendekati arah tangen ke jalan di P. The vektor kecepatan, oleh karena itu, selalu bersinggungan dengan jalur gerak.Besarnya kecepatan disebut kecepatan. Dalam komponen persegi panjang kecepatan hanya
jika kita menyumbangkan jarak skalar kumulatif sepanjang jalan dengan s, maka kita dapat mengekspresikan kecepatan alternatif sebagai
yang mengurangi untuk ekspresi di sebelah kanan Persamaan 1.10.5. Waktu turunan dari kecepatan disebut percepatan. Yang menunjukkan akselerasi dengan, kita memiliki
dalam komponen persegi panjang
Dengan demikian, percepatan adalah besaran vektor yang komponen, di koordinat persegi, adalah turunan kedua dari koordinat posisi dari partikel yang bergerak.
Contoh 1.10.1
Proyektil Gerak
Mari kita periksa gerak diwakili oleh persamaan
Ini merupakan gerak pada bidang xy, karena komponen z konstan dan sama dengan nol. Kecepatan v diperoleh dengan membedakan sehubungan dengan t, yaitu,
akselerasi, juga, diberikan oleh
Dengan demikian, adalah dalam arah y negatif dan memiliki konstanta besarnya g. Jalur gerak adalah parabola, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.10.3. Kecepatan v bervariasi dengan t menurut persamaan
contoh 1.10.2
Gerakan melingkar
Misalkan vektor posisi partikel diberikan oleh
Mari kita menganalisis gerak. Jarak dari asal tetap konstan:
Jadi jalan adalah lingkaran dengan jari-jari b berpusat pada titik asal. Membedakan r, kita menemukan vektor kecepatan
partikel melintasi jalan dengan kecepatan konstan:
percepatan ini
Dalam hal ini percepatan tegak lurus terhadap kecepatan, karena produk titik v dan lenyap:
Membandingkan dua ekspresi untuk dan n, kita melihat bahwa kita dapat menulis
jadi dan r yang malah diarahkan: yang. selalu mengarah ke pusat ol jalan melingkar (Gambar. 1.10.4).
contoh 1.10.3
bergulir WheelMari kita mempertimbangkan vektor posisi sebagai berikut dari partikel P:
r = r1 + r2
di mana
Sekarang r1 dengan sendirinya merupakan titik bergerak sepanjang garis y = b pada kecepatan konstan, tersedia o konstan; yaitu,
Bagian kedua, r2, hanya vektor posisi untuk gerak melingkar, seperti yang dibahas di
Contoh 1.10.2. Oleh karena itu, jumlah vektor r1 + r2 merupakan titik yang menggambarkan lingkaran dengan jari-jari b tentang pusat bergerak. Inilah apa yang terjadi untuk sebuah partikel di tepi roda bergulir, r1 menjadi vektor posisi pusat roda dan r2 makhluk
ia vektor posisi partikel P relatif terhadap pusat bergerak. Jalan yang sebenarnya adalah cycloid, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.10.5. Kecepatan dari F adalah
Secara khusus, untuk wt = 0, 2phi, 4phi, ... , Kami menemukan bahwa v = i2bw, yang hanya dua kali veloc- yang
ity dari pusat C. Pada titik ini partikel adalah di bagian paling atas dari jalan. Selanjutnya, untuk di = ir, 3, r, 5, r,. . . , Kita memperoleh v = 0. Pada titik ini partikel berada pada titik terendah dan seketika dalam kontak dengan tanah. Lihat Gambar 1.10.6.
1.11 Kecepatan dan Percepatan dalam Plane Polar Coordinates
Hal ini sering nyaman untuk menggunakan polar koordinat r, 6 untuk mengekspresikan posisi sebuah partikel yang bergerak di pesawat. Secara vektor, posisi partikel dapat ditulis sebagai komoditasnya dari jarak r radial oleh er vektor satuan radial:
Sebagai partikel bergerak, baik r dan er bervariasi; dengan demikian, mereka berdua fungsi dari waktu. Oleh karena itu, jika kita membedakan sehubungan dengan t, kita memiliki
Untuk menghitung de derivatif, / dt, mari kita perhatikan diagram vektor yang ditunjukkan pada Gambar 1.11.1. Sebuah studi dari angka menunjukkan bahwa ketika arah perubahan r dengan jumlah yang A0, yang sesuai perubahan Ae, dari vektor satuan radial adalah sebagai berikut: Besarnya adalah | Ae, | kira-kira sama AO dan arah Ae, sangat hampir tegak lurus e,. Mari kita memperkenalkan vektor unit lain, E9, yang arah tegak lurus terhadap er. Maka kita harus
Jika kita bagi dengan int dan mengambil batas, kita mendapatkan
untuk waktu turunan dari vektor satuan radial. Dalam cara yang tepat sama, kita dapat menyatakan bahwa perubahan dalam E9 vektor satuan diberikan oleh pendekatan yang
Berikut tanda minus dimasukkan untuk menunjukkan bahwa arah perubahan yang berlawanan dengan arah er, seperti dapat dilihat dari Gambar 1.11.1. Akibatnya, saat turunan diberikan oleh
Dengan menggunakan Persamaan 1.11.4 untuk turunan dari vektor satuan radial, kami akhirnya dapat menulis persamaan untuk kecepatan sebagai
Jadi, r adalah komponen radial dari vektor kecepatan, dan Ro adalah komponen melintang. Untuk menemukan vektor percepatan, kita mengambil turunan dari kecepatan terhadap waktu. Hal ini memberikan
Nilai-nilai der / dt dan de9 / dt diberikan oleh Persamaan 1.11.4 dan 1.11.6 dan menghasilkan persamaan berikut untuk vektor percepatan di bidang koordinat polar:
Dengan demikian, komponen radial dari vektor percepatan
dan komponen transversal
Hasil di atas menunjukkan, misalnya, bahwa jika partikel bergerak pada lingkaran konstan jari-jari b, sehingga r bahwa = 0, maka komponen radial dari percepatan adalah besarnya B02 dan diarahkan ke dalam menuju pusat jalur melingkar. Komponen melintang dalam hal ini adalah B0. Di sisi lain, jika partikel bergerak sepanjang radial line-yang tetap adalah, jika 0 konstan-maka komponen radial hanya r dan komponen transversal adalah nol. Jika r dan 0 kedua bervariasi, maka ekspresi umum (1.11.9) memberikan percepatan.
Contoh 1.11.1
Sebuah lebah madu Hones di atas sarang di jalur spiral sedemikian rupa sehingga jarak radial menurun dengan laju yang konstan, r = b - Ct, sedangkan peningkatan kecepatan sudut dengan laju yang konstan, 9 = kt, Cari kecepatan sebagai fungsi waktu.
yang berlaku untuk t <? b / c. Perhatikan bahwa v = c baik untuk t = 0, r = b dan t = b / c, r = 0.
Contoh 1.11.2
Pada turntable horisontal yang berputar dengan kecepatan sudut konstan, bug merangkak keluar dari garis radial seperti yang jaraknya dari pusat meningkatkan kuadratik dengan waktu: r = BT2, 0 = wt, di mana konstanta b dan ware. Cari percepatan bug.
Perhatikan bahwa komponen radial dari akselerasi menjadi negatif untuk t besar dalam contoh ini, meskipun radius selalu meningkat secara monoton dengan waktu.
1.12 Kecepatan dan Percepatan dalam silinder dan Spherical Koordinat
Koordinat silinder
Dalam kasus gerakan tiga dimensi, posisi partikel dapat digambarkan dalam silinder koordinat R, 0, z. Vektor posisi tersebut kemudian ditulis sebagai
mana eR adalah vektor radial satuan dalam bidang xy dan merupakan vektor satuan dalam arah z. Sebuah e0 vektor satuan ketiga diperlukan agar ketiga vektor e / ee merupakan triad tangan kanan, seperti digambarkan pada Gambar 1.12.1. Kami mencatat bahwa k = e,
Kecepatan dan percepatan vektor ditemukan dengan membedakan, seperti sebelumnya. Ini lagi-lagi melibatkan turunan dari vektor satuan. Argumen yang sama dengan yang digunakan untuk kasus pesawat menunjukkan bahwa der / dt = e, 9 dan de, idt = -er0. Unit vektor e tidak berubah arah, sehingga waktu turunannya adalah nol.
Mengingat fakta ini, kecepatan dan percepatan vektor mudah dilihat untuk diberikan oleh persamaan berikut:
Ini memberikan nilai-nilai v dan dalam hal komponen mereka di eaeø triad diputar
Cara alternatif untuk memperoleh turunan dari vektor satuan adalah untuk membedakan persamaan berikut, yang merupakan hubungan antara unit tetap ijk triad dan triad diputar:
The steps are left as an exercise. The result can also be found by use of the rotation matrix, as given in Example 1.8.2.
Koordinat bola
Ketika koordinat bola r, 9, 0 yang digunakan untuk menggambarkan posisi sebuah partikel, vektor posisi ditulis sebagai produk dari jarak r radial dan unit radial vektor er, seperti dengan pesawat koordinat polar. Demikian,
Arah er sekarang ditentukan oleh dua sudut 0 dan 0. Kami memperkenalkan dua vektor satuan yang lebih, e0 dan E9, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.12.2. kecepatannya
Masalah berikutnya adalah bagaimana mengekspresikan delft derivatif dalam hal vektor satuan dalam triad diputar.Mengacu pada Gambar 1.12.2, kita dapat memperoleh hubungan antara ijk dan triad ereoeø. Misalnya, karena vektor apapun dapat dinyatakan dalam proyeksi pada ke x, y, z, sumbu koordinat
er • i adalah proyeksi dari vektor satuan e langsung ke unit vektor i. Menurut Persamaan 1.4.lla, itu adalah sama dengan cos a, cosinus dari sudut antara dua vektor satuan. Kita perlu untuk mengekspresikan produk dot ini dalam hal 0 dan 0, tidak. Kita bisa mendapatkan
hubungan yang diinginkan dengan membuat dua proyeksi berturut-turut untuk mendapatkan ke x-axis. Pertama er proyek ke bidang xy, dan kemudian proyek dari sana ke sumbu x. Proyeksi pertama memberi kita faktor dosa 0, sedangkan yang kedua menghasilkan faktor cos 0. Besarnya proyeksi yang diperoleh dengan cara ini adalah titik produk yang diinginkan:
Sisanya dot produk dapat dievaluasi dengan cara yang sama,
Hubungan untuk E9 dan er dapat diperoleh seperti di atas, menghasilkan hubungan yang diinginkan
yang mengungkapkan vektor satuan dari triad diputar dalam hal ijk triad tetap. Kami mencatat kesamaan antara transformasi ini dan itu dari bagian kedua dari Contoh 1.8.2. Kedua, pada kenyataannya, identik jika identifikasi yang benar dari rotasi dibuat. Mari kita membedakan persamaan pertama terhadap waktu. Hasilnya adalah
Selanjutnya, dengan menggunakan ekspresi untuk e0 dan E9 di Persamaan 1.12.9, kami menemukan bahwa persamaan di atas tereduksi menjadi
Dua turunan lainnya yang ditemukan melalui prosedur yang sama. Hasilnya
Langkah-langkah yang tersisa sebagai latihan. Kembali sekarang untuk masalah menemukan v, kita memasukkan ekspresi untuk der Idt diberikan oleh Persamaan 1.12.lla ke Persamaan 1.12.6. Hasil akhir adalah
memberikan vektor kecepatan dalam hal komponen dalam triad diputar. Untuk menemukan percepatan, kita membedakan ekspresi di atas terhadap waktu. Hal ini memberikan
Setelah menggunakan rumus sebelumnya untuk turunan dari vektor satuan, ungkapan di atas untuk percepatan mengurangi ke
giving the acceleration vector in terms of its components in the triad ererer
contoh 1.12.1
Sebuah slide manik-manik pada kawat membungkuk ke dalam bentuk heliks, gerakan manik yang diberikan dalam koordinat silinder dengan R = b, 0 = wt, z = Ct. Menemukan kecepatan dan vektor percepatan sebagai fungsi waktu.
dengan demikian, dalam hal ini kedua kecepatan dan percepatan konstan besarnya, tetapi mereka berbeda dalam arah karena kedua dan perubahan er dengan waktu sebagai bergerak manik.
Contoh 1.12.2
Sebuah roda jari-jari b ditempatkan di gunung gimbal dan dibuat untuk memutar sebagai berikut. roda berputar dengan konstan sudut kecepatan o1 tentang porosnya sendiri, yang pada gilirannya berputar dengan konstan sudut kecepatan w2 pada sumbu vertikal sedemikian rupa sehingga sumbu roda tetap dalam bidang horizontal dan pusat roda adalah bergerak. Gunakan koordinat bola untuk menemukan percepatan setiap titik di tepi roda. Secara khusus, menemukan percepatan titik tertinggi pada roda.
titik di atas memiliki koordinat 0 = 0, sehingga pada saat itu
Istilah pertama di sebelah kanan adalah percepatan sentripetal, dan istilah yang terakhir adalah ayat percepatan transformasi normal terhadap bidang roda.