Model Penyakit Tuberculosis

5/17/2018 Model Penyakit Tuberculosis - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/model-penyakit-tuberculosis 1/11

1

Syarat Cukup untuk Meminimalkan

Penyebaran Penyakit Tuberkulosis pada Suatu Komunitas

Eminugroho Ratna Sari

Program Studi Matematika, Universitas Negeri Yogyakarta

[email protected]

ABSTRAK. Pengobataan penyakit Tuberkulosis (TB) selalu diupayakan dan dikembangkan,

begitu juga usaha-usaha untuk mencegah terkena penyakit TB. Dalam paper ini dibahasmengenai formulasi model matematika mengenai penyebaran penyakit TB. Secara umum,

model matematika mengenai penyakit TB ini mempunyai dua jenis titik ekuilibrium yaitu titik

ekuilibrium bebas penyakit TB dan titik ekuilibrium endemik. Karena terdapat kemungkinan

terjadi endemik, maka dalam paper ini dibahas mengenai salah satu cara meminimalkan

menyebarnya penyakit TB pada suatu komunitas.

Kata kunci: Model Matematika, Titik Ekuilibrium, Tuberkulosis.

(dipresentasikan pada Seminar Nasional Pendidikan Matematika UNY, 27 November

2010)

PENDAHULUAN

Tuberkulosis (TB) merupakan salah satu penyakit penyebab kematian penduduk di

negara-negara berkembang yang disebabkan oleh bakteri mycobacterium [1]. Gejala-

gejala penderita TB diantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu

makan, berat badan turun, demam, kedinginan, dan kelelahan [2]. Objek TB biasanya

anak-anak dan orang yang lemah sistem kekebalan tubuhnya. Transmisi bakteri

tuberkulosis melalui inhalasi, yaitu perantaraan ludah atau dahak penderita yang

mengandung basil tuberkulosis. Pada waktu penderita batuk, butir-butir air ludah

beterbangan di udara dan terhisap oleh orang yang sehat dan masuk kedalam parunya

yang kemudian menyebabkan penyakit tuberkulosis [4].

Di Indonesia, TB merupakan masalah utama kesehatan masyarakat. Jumlah pasien

TB di Indonesia merupakan ke-3 terbanyak di dunia setelah India dan Cina dengan

jumlah pasien sekitar 10% dari total jumlah pasien TB didunia [5]. Resiko penularan

setiap tahun ( Annual Risk of Tuberculosis Infection = ARTI) di Indonesia cukup tinggi

dan bervariasi antara 1-3%. Pada daerah dengan ARTI sebesar 1%, berarti setiap tahun

diantara 1000 penduduk, 10 orang akan terinfeksi. Sebagian besar dari orang yang



2

terinfeksi tidak akan menjadi penderita tuberkulosis, hanya sekitar 10% dari yang

terinfeksi yang akan menjadi penderita tuberkulosis (Depkes, 2004). Kejadian kasus

tuberkulosis paling banyak terjadi pada kelompok masyarakat dengan sosio ekonomi

lemah. Terjadinya peningkatan kasus ini disebabkan oleh daya tahan tubuh yang lemah,

status gizi dan kebersihan diri individu dan kepadatan hunian lingkungan tempat

tinggal.

Meskipun menular, tetapi orang tertular tuberkulosis tidak semudah tertular flu.

Penularan penyakit ini memerlukan waktu pemaparan yang cukup lama dan intensif

dengan sumber penyakit (penular). Seseorang yang kesehatan fisiknya baik,

memerlukan kontak dengan penderita TB aktif setidaknya 8 jam sehari selama 6 bulan,

untuk dapat terinfeksi. Sementara masa inkubasi TB sendiri, yaitu waktu yang

diperlukan dari mula terinfeksi sampai menjadi sakit, diperkirakan sekitar 6 bulan.

Waaler et al. (1962) merupakan matematikawan pertama yang memodelkan

penyakit TB menggunakan sistem persamaan diferensial diskrit. Penelitian

dikembangkan oleh Adetune (2007) dengan membahas perilaku dinamik penyakit TB.

Dalam paper ini, akan dibahas formulasi Model Matematika tuberkulosis dengan lebih

detail selanjutnya ditentukan titik ekuilibrium model. Berikutnya, dibahas mengenai

syarat cukup yang sebaiknya dipenuhi untuk meminimalkan penyebaran penyakit TB.

FORMULASI MODEL

Dalam model ini, populasi total ( N ) dibagi menjadi 4 kelas yaitu : kelas

Susceptible ( ( )S t ) menyatakan jumlah individu yang rentan terhadap TB, kelas Latent (

L t ) menyatakan jumlah individu yang terdeteksi TB, kelas Infectious ( I t )

menyatakan jumlah individu yang terinfeksi (telah menjadi TB aktif) dan menularkan

TB dan kelas Recovered ( R t ) menyatakan jumlah individu yang telah sembuh. Untuk

selanjutnya hanya ditulis S, L, I dan R.

Populasi kelas rentan akan bertambah karena adanya kelahiran dan imigrasi ( ),

serta populasi akan berkurang karena kematian alami ( ). Kontak langsung antara

individu ini dengan individu yang terinfeksi (dinotasikan dengan c) akan mengakibatkan

individu ini ikut terinfeksi dan berdampak berkurangnya jumlah populasi. Kemungkinan

individu yang kemudian terdeteksi TB sebesar 1 .



3

Kelas L menyatakan individu yang telah terdeteksi TB tetapi belum menginfeksi,

artinya secara medis gejala penyakit TB belum berkembang. Populasi ini bertambah

oleh masuknya individu dari kelas susceptible yang telah terinfeksi. Sedangkan

berkurangnya populasi ini disebabkan oleh kematian alami ( ), perawatan medis

hingga sembuh ( 1r ) dan berkembangnya mycobacterium di dalam tubuh sehingga

individu ini dapat menularkan kepada orang lain (k ).

Individu yang terinfeksi dan dapat menularkan TB kepada orang lain berada pada

kelas I . Hal ini terjadi pada individu yang semula telah terdeteksi TB kemudian

mempunyai sistem imun yang rendah sehingga bakteri berkembang di dalam tubuh.

Individu ini dapat menginfeksi individu lain pada saat bersin, batuk atau saat bercakap-

cakap secara langsung. Berkurangnya kelas I karena kematian alami ( ) dan

penyembuhan penyakit ( 2r ).

Populasi pada kelas yang individunya telah sembuh dari penyakit TB diasumsikan

dapat terjangkit TB lagi sehingga masuk kembali ke kelas L sebesar 2 . Populasi dari

kelas ini ada oleh individu terinfeksi ( I ) yang sembuh dari penyakit sebesar 2r . Populasi

ini akan berkurang karena kematian alami sebesar .

Dari asumsi-asumsi diperoleh diagram alur mengenai Model Matematika

Tuberkulosis sebagai berikut

Gambar 1. Diagram transfer Model Matematika Tuberkulosis

Dari Gambar 1 diperoleh Model Matematika Tuberkulosis sebagai berikut

1

dS I S cS

dt A (1.a)

S L I R

2

1r

2r k

1



4

1 1 2

dL I I cS k r L cR

dt A A (1.b)

2

dI kL d r I

dt

(1.c)

1 2 2

dR I r L r I R cR

dt A (1.d)

dengan A menyatakan total area yang ditempati populasi tertentu dan N S L I R

menyatakan jumlah total populasi.

TITIK EKUILIBRIUM

Berdasarkan Sistem (1) diperoleh 2 jenis titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium

bebas penyakit dan endemik. Kedua jenis titik ekuilibrium tersebut dibahas dalam

lemma-lemma berikut.

Lemma 1

Jika 0 I (artinya tidak ada individu yang terinfeksi dan menularkan TB kepada

individu yang lain), maka Sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit,

0 ,0,0,0 E

.

Bukti:

Diperhatikan Sistem (1).

Jika ruas kanan dari masing-masing persamaan pada Sistem (1) dibuat sama dengan nol

serta diasumsikan tidak ada individu yang terinfeksi ( 0 I ), maka diperoleh 0 L R

dan S

. Dalam hal ini ditulis 0 ,0,0,0 E

. Artinya populasi bebas dari

penyakit TB. □

Lemma 2

Jika 0 I (artinya terdapat individu yang terinfeksi dan menularkan TB kepada

individu yang lain), maka Sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium endemik,

* * * *

1, , , E S L I R .

Bukti:

Diperhatikan Sistem (1).



5

Jika ruas kanan dari masing-masing persamaan pada Sistem (1) dibuat sama dengan nol

serta diasumsikan terdapat individu yang terinfeksi ( 0 I ), maka dari Persamaan (1.b)

diperoleh

1d r I L

k

. (2)

Dari Persamaan (1.a) diperoleh

1

S I

c A

. (3)

Dari Persamaan (1.d) diperoleh

11 2

2

d r r r I k

R I

c A

. (4)

Selanjutnya, jika Persamaan (2), (3) dan (4) disubstitusi ke 0dL

dt , maka diperoleh

11 2

1

1 2 2

1 2

0

d r r r I

d r k I I c c k r I

I I A A k c c A A

Nilai I memenuhi persamaan kuadrat

2

0 1 2 0a I a I a (5)

dengan

0 1 2 2 1 2 1 1 2a cr c d r k r d r c c

1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2

2 1 1

a c k c cr ck cr d r A k r d r A c

k r d r c A

2 1 2 1 2 1a c k A cr k A A k r d r .

Jadi diperoleh titik ekuilibrium endemik, katakan * * * *

1 , , , E S L I R , dengan

*

1

S I

c A

, 1* d r I

Lk

,

11 2

*

2

d r r r I

k R

I c A

dan*

I memenuhi

Persamaan (5). □



6

KONDISI MEMINIMALKAN PENYEBARAN PENYAKIT TB

Selanjutnya, akan diselidiki kestabilan titik ekuilibrium 0 ,0,0,0 E

. Namun

sebelumnya akan diberikan Kriteria Routh Hurwitz dan lemma yang diturunkan dari

Kriteria Routh Hurwitz sebagai berikut.

Teorema Kriteria Routh-Hurwitz (Hahn, 1967)

Semua akar Polinomial Matriks A, 3

1

2

1

1

00

nnnn

A babaP ,

mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika memenuhi

010a , 02 , 030

a , . . . , 00

na , untuk n ganjil dan 0

n ,

untuk n genap,

dengan 01 b ; 2 det

10

10

aa

bb; 3 det

10

210

210

0 bb

aaa

bbb

dan seterusnya.

Lemma 3

Diberikan matriks22 x

A .

Bagian real semua nilai eigen matrik A bernilai negatif jika dan hanya

(i) trace 0 A dan (ii) det 0 A .

Bukti:

Misalkan

2221

1211

aa

aa A , sehinggga diperoleh polinomial karakteristik:

122122112211

2

2221

2111aaaaaa

aa

aa I A

. (6)

Dengan demikian dari Polinomial Karakteristik (6) diperoleh 221100 ,1 aaba

Atrace , 122122111 aaaaa det A dan 01 b .

Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema (Kriteria Routh Hurwitz) diperoleh:

(i) 00010 baa

000 022110 Atrace Atracebaab .

(ii) 02 10

10

2aa

bb A

Atrace

det1

0 Atrace det 0 A

det 0 A , karena dari (i) 0 Atrace . □



7

Berdasarkan lemma di atas, berikut akan dibahas mengenai kestabilan titik

ekuilibrium 0 E dalam lemma berikut.

Lemma 4

Jika 1 2 1k r d r k c A

, maka titik ekuilibrium0

E stabil asimtotik

global.

Bukti:

Matrik Jacobian Sistem (1) adalah

1

1 1 1 2 2

2

1 2 2 2

0 0

0 0

0

I Sc c

A A I S R I

c k r c c c J A A A A

k d r

R I r r c c

A A

.

Matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium 0 E adalah

0

1

1 1

2

1 2

0 0

0 0

0 0

0

E

c A

J k r c

A

k d r

r r

(7)

Polinomial karakteristik dari Matriks (7) adalah

00 E J I

1

1 1

2

1 2

0 0

00 0

0 0

0

c A

k r c A

k d r

r r



8

2 1 1

2

0k r c

A

k d r

. (8)

Misal

1 1

2

k r c A M

k d r

.

Dari Matriks M diperoleh

1 2( ) 0trace M k r d r

dan 1 2 1det M k r d r k c A

.

Karena diketahui 1 2 1k r d r k c A

, maka diperoleh det 0 M .

Jadi, menurut Lemma 3, nilai eigen Matriks M bernilai negatif. Dengan demikian,

semua nilai eigen Matriks 0 E J bernilai negatif. Akibatnya, titik ekuilibrium 0 E stabil

asimtotik global. Artinya, jika pada awalnya jumlah individu yang rentan terhadap TB

cukup dekat dengan

, jumlah individu yang terdeteksi, jumlah individu yang

terinfekasi dan jumlah individu yang sembuh cukup sedikit, maka seiring berjalannya

waktu jumlah idividu yang rentan akan dekat dengan

, jumlah individu yang

terdeteksi, jumlah individu yang terinfeksi dan jumlah individu yang sembuh akansangat sedikit sehingga mendekati nol dan tidak ada lagi pada komunitas. □

Oleh karena terdapat kemungkinan terjadi endemik untuk penyakit TB, maka

berikut diberikan suatu cara untuk meminimalisir terjadinya penyebaran TB tersebut.

Dalam hal ini, populasi kelas L dan kelas I berkurang, yaitu pada saat 0dL

dt dan

0

dI

dt . Jadi,



9

1 1 2 0 I I

cS k r L cR A A

(9)

dan 2 0kL d r I (10)

Dari Pertidaksamaan (10) diperoleh

2

k I L

d r

. (11)

Dari Pertidaksamaan (9) diperoleh

1 2

1

cS cR I A

k r L

. (12)

Jadi, berdasarkan Pertidaksamaan (11) mengakibatkan Pertidaksamaan (12) menjadi

1 2 1 2

1 1 2

cS cR I cS cR k A

k r L k r d r

atau

1 2

1 2

cS cRk A

k r d r

.

Artinya, untuk meminimalisir terjadinya endemik penyakit TB, total area yang dihuni

oleh populasi tertentu ( A) harus lebih besar dari kemungkinan hidup individu dari kelas

terdeteksi ke kelas terinfeksi 1

k

k r

serta jumlah individu yang terinfeksi selama

individu tersebut berada dalam masa inkubasi

1 2

2

cS cR

d r

.

STUDI KASUS

Berikut diberikan simulasi dari Sistem 1 menggunakan program Maple. Nilai-

nilai parameter diberikan sebagai berikut: 0,015 , 1 2 1,5r r , 1 2 2 ,

0,00396k , 3,805 .

Akibatnya diperoleh



10

Gambar 2. Simulasi dari Sistem 1 jika diberikan 90 I dengan syarat awal 0 5000S dan

perubahan area hunian, A.

Diperhatikan bahwa pada saat area hunian 20, jumlah populasi yang rentan terhadap TB

sangat cepat berkurang karena pengaruh penyakit sehingga mereka dengan mudah

terinfeksi. Ketika area hunian ditambah, jumlah populasi yang rentan terhadap TB akan

berkurang lebih lambat. Artinya kemungkinan terinfeksi TB lebih sedikit, sehingga

kemungkinan terjadi endemic juga berkurang. Apabila jumlah populasi yang rentan

terhadap TB lebih lambat berkurang (populasi kelas rentan meningkat), maka populasi

yang terinfeksi maupun terdeteksi TB aktif akan berkurang, sehingga penyakit TB dapat

diminimalisir.

KESIMPULAN

Diberikan model penyebaran penyakit TB seperti pada Sistem (1). Dari uraian di

atas, dapat diketahui bahwa terdapat dua jenis titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium

bebas penyakit, 0 ,0,0,0 E

, dan titik ekuilibrium endemik, * * * *

1 , , , E S L I R .

Apabila terjadi endemik, dapat diminimalkan penyebarannya yaitu total area yang

dihuni harus lebih besar dari kemungkinan hidup individu dari kelas terdeteksi ke kelas

terinfeksi serta jumlah individu yang terinfeksi selama individu tersebut berada dalam

masa inkubasi.

untuk A = 20untuk A = 200

untuk A = 2000

P o p u l a s i S u s c e p t i b l e



11

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anonim, Tuberculosis, http://en.wikipedia.org/wiki/Tuberculosis

[2] Anonim, Seminar Hari Tuberculosis, http://www.itb.ac.id/news/2100.xhtml

[3] Adetune, I. A., 2007, The Mathematical Models Of The Dynamical Behaviour Of

Tuberculosis Disease In The Upper East Region Of The Northen Part Of Ghana: A

Case Study Of Bawku, Research Journal of Applied Sciences 2 (9): 943 – 946.

[4] Anonim, Survei Prevalensi Tuberkulosis (SPTBC),

http://www.litbang.depkes.go.id/~surkesnas2/index2.php?option=com_content&do_

pdf=1&id=6

[5] Retno Asti Werdhani, Patofisiologi, Diagnosis, Dan Klafisikasi Tuberkulosis,

Departemen Ilmu Kedokteran Komunitas, Okupasi, dan Keluarga, FKUI

[6] Drh. Hiswani, M.Kes, Tuberkulosis Merupakan Penyakit Infeksi Yang Masih

Menjadi Masalah Kesehatan Masyarakat,

http://library.usu.ac.id/download/fkm/fkm-hiswani6.pdf

[7] Hahn, W, 1967, Stability of Motion, Springer-Verlag, New York.

[8] Waaler, H., A. Geser and S. Anderson, 1962, The Use Of Mathematical Models In

The Study Of Epidemiology Of Tuberculosis. Am. J. Public Health, 52: 1002 –

1012.

Model Penyakit Tuberculosis

Documents

Transcript of Model Penyakit Tuberculosis