MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

CORONAVIRUS DISEASE 2019 (COVID-19) DENGAN

VAKSINASI, ISOLASI MANDIRI, DAN KARANTINA DI

RUMAH SAKIT

SKRIPSI

Maghvirotul Azizah

11170940000022

Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

2021 M / 1442 H

i

MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

CORONAVIRUS DISEASE 2019 (COVID-19) DENGAN

VAKSINASI, ISOLASI MANDIRI, DAN KARANTINA DI

RUMAH SAKIT

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negeri Syarif Hidaytaullah Jakarta

Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh

Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Maghvirotul Azizah

(11170940000022)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2021 M/ 1442 H

ii

PERNYATAAN

iii

LEMBAR PENGESAHAN

iv

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

v

PERSEMBAHAN

“ untuk diriku sendiri yang sudah berjuang sampai tahap ini dan orang –

orang yang selalu selalu setia mendukungku ”

MOTTO

“ sainganku bukanlah kamu, dia atau siapapun. Saingan yang harus kuperjuangkan dan harus kukalahkan adalah umur ibuku. Aku telah kalah pada umur ayah dan untuk ibu, aku tidak boleh

gagal ”

vi

KATA PENGANTAR

Assalamua’alaikum Wr.Wb

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “Model Matematika Penyebaran Penyakit Coronavirus Disease 2019

(Covid-19) dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina Di Rumah

Sakit”.

Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

Matematika (S.Mat) di Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penyusunan skripsi ini dapat

terselesaikan atas kerjasama dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis

ingin menyampaikan terimakasih kepada:

1. Bapak Nasrul Hakiem, S.Si., M.T., Ph., selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi. Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika dan Ibu

Irma Fauziah, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Matematika.

3. Bapak Muhammad Manaqib, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Irma

Fauziah, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing II yang selalu memberikan waktu,

saran, bimbingan dan masukan dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Ibu Yanne Irene, M.Si selaku penguji I dan Bapak Muhaza Liebenlito, M.Si

selaku penguji II yang senantiasa memberikan kritik dan saran dalam

penyelesaian skripsi ini.

5. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah

memberikan ilmu-ilmu yang bermanfaat.

6. Kedua orang tua penulis, Alm. Bapak Zainuri dan Ibu Khomsatun, serta kakak

penulis Vivin Nur Zainab dan kedua adik penulis Rikha Puspita dan Khoirul

Rizal serta keluarga besar yang tidak pernah bosan memberikan doa, kasih

sayang, semangat dan dukungan baik moril maupun materil.

vii

7. Teman diskusi Ka Maisy, Ka Eti, Ka Nadhila, dan Ka Wulan yang selalu

membantu dalam pengerjaan penelitian ini.

8. Eny, Nadya, Fany, Tazki, Maya, Mesi, Adel, Rani, Aenun, Andi, Bita, Fira,

Anggre, Pija, Dina, Maysun, Naya, Pitri, Rista, Siti Ae, Uti, dan Yulis teman

sekelas yang selalu memberikan semangat kepada penulis hingga skripsi ini

dapat diselesaikan

9. Teman-teman Matematika Angkatan 2017 yang telah menemani perjalanan

kuliah dari awal hingga akhir.

10. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu tanpa mengurangi

rasa hormat, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini

terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini jauh dari kata sempurna. Oleh

karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun

agar skripsi ini menjadi lebih baik. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

Jakarta, 31 Maret 2021

Penulis

viii

ABSTRAK

Maghvirotul Azizah, Model Matematika Penyebaran Penyakit Coronavirus

Disease 2019 (Covid-19) dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina Di

Rumah Sakit. Dibawah Bimbingan Muhammad Manaqib, M.Sc dan Irma

Fauziah, M.Sc

Penelitian ini mengembangkan model SVEIQR untuk memodelkan

penyebaran penyakit Covid-19 dengan menambahkan faktor penggunaan

vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit. Populasi dibagi menjadi

tujuh subpopulasi yaitu subpopulasi rentan, subpopulasi yang telah melakukan

vaksinasi dua tahap, subpopulasi laten, subpopulasi terinfeksi, subpopulasi

karantina yaitu isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit, dan subpopulasi

sembuh. Dari model matematika yang dibentuk diperoleh dua titik ekuilibrium

yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik dan bilangan

reproduksi dasar (𝑅0). Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal

ketika (𝑅0 < 1). Simulasi numerik titik ekuilibrium bebas penyakit dilakukan

untuk memberikan gambaran geometris terkait hasil yang telah dianalisis dengan

nilai parameter yang diambil dari beberapa sumber. Hasil simulasi numerik sejalan

dengan analisis yang dilakukan bahwa penyakit akan menghilang jika 𝑅0 < 1 dan

menetap dalam populasi jika 𝑅0 > 1. Dari analisis model diperoleh bahwa upaya

yang dapat dilakukan agar penyakit tidak mewabah yaitu mengurangi kontak

langsung dengan individu terinfeksi, selalu menjaga kebersihan, melakukan isolasi

mandiri atau karantina di rumah sakit dan selalu menjaga jarak.

Kata Kunci: Covid-19, Vaksinasi, Model SVEIQR, Titik Ekuilibrium dan

Bilangan Reproduksi Dasar.

ix

ABSTRACT

Maghvirotul Azizah, Mathematical Model for the Transmission of Coronavirus

Disease 2019 (Covid-19) with Vaccinate, Self Isolation, and Quarantined in

Hospital. Under guidance of Muhammad Manaqib, M.Sc and Irma Fauziah,

M.Sc

This research was developed SVEIQR model for transmission of the Covid-

19 disease model by adding factors there are vaccinations, self-isolation, and

hospital quarantine. Population was divided into seven part of subpopulations, there

are suspect subpopulation, the subpopulation that had two stages of vaccination, the

latent subpopulation, the infected subpopulation, the quarantine subpopulation

which is self-isolation and quarantined in hospital, and recovered subpopulation.

From the mathematical model formed, it is obtained two equilibrium points, namely

the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point and the basic

reproduction number (𝑅0). The disease-free equilibrium point is locally

asymptotically stable when (𝑅0 < 1). Numerical simulations of disease-free of

equilibrium points are performed to provide a geometric picture of the analyzed

results with parameter values taken from several sources. The numerical simulation

results are in line with the analysis conducted that the disease will disappear if 𝑅0 <

1 and remain in the population if 𝑅0 > 1. From the model analysis, it is found that

the efforts that can be made so that the disease does not endemic are reducing direct

contact with infected individuals, always maintaining cleanliness, conducting

independent isolation or quarantine in the hospital and always maintaining distance.

Keywords: Covid-19, Vaccinate, SVEIQR model, Equilibrium Point and Basic

Reproduction Number

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...............................................................................................i

PERNYATAAN ..................................................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. iii

LEMBAR PERNYATAAN ..................................................................................iv

PERSEMBAHAN .................................................................................................. v

KATA PENGANTAR ...........................................................................................vi

ABSTRAK .......................................................................................................... viii

ABSTRACT ...........................................................................................................ix

DAFTAR ISI ........................................................................................................... x

DAFTAR LAMBANG ........................................................................................ xii

DAFTAR TABEL ...............................................................................................xiv

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv

BAB I ....................................................................................................................... 1

PENDAHULUAN .................................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang .......................................................................................... 1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................................... 6

1.3 Batasan Masalah ........................................................................................ 6

1.4 Tujuan Penelitian ....................................................................................... 6

1.5 Manfaat Penelitian ..................................................................................... 7

BAB II ..................................................................................................................... 8

DASAR TEORI ...................................................................................................... 8

2.1 Coronavirus Disease 2019 (Covid – 19) ................................................... 8

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................................... 9

2.3 Persamaan Diferensial ............................................................................. 10

2.4 Sistem Persamaan Diferensial ................................................................. 12

2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear .................................................. 13

2.4.2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinear ........................................... 15

2.5 Titik Ekuilibrium ..................................................................................... 15

2.6 Kestabilan Titik Ekuilibrium ................................................................... 17

2.6.1 Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear ................................ 17

2.6.2 Kestabilan Sistem Persamaan Differensial NonLinear........................ 18

xi

2.7 Kriteria Routh – Hurwitz ......................................................................... 23

2.8 Matriks Generasi Selanjutnya ................................................................. 24

2.9 Bilangan Reproduksi Dasar ..................................................................... 25

BAB III .................................................................................................................. 28

Model Matematika Penyebaran Penyakit CoronavirusDisease 2019 (Covid-

19) Dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit ....... 28

3.1 Alur Penelitian ......................................................................................... 28

3.2 Asumsi Model ......................................................................................... 31

3.3 Variabel dan Parameter ........................................................................... 32

3.4 Penyebaran Penyakit Covid-19 ............................................................... 36

3.5 Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar ................................. 44

3.5.1 Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ....................................................... 44

3.5.2 Bilangan Reproduksi Dasar ................................................................. 45

3.5.3 Titik Ekuilibrium Endemik .................................................................. 50

3.6 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ........................... 55

BAB IV .................................................................................................................. 67

SIMULASI MODEL ............................................................................................ 67

4.1 Nilai – nilai Parameter ............................................................................. 67

4.2 Perhitungan Numerik dan Simulasi ......................................................... 71

4.3 Analisis Sensitivitas ................................................................................ 84

BAB V ................................................................................................................... 88

KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................ 88

5.1 Kesimpulan .............................................................................................. 88

5.2 Saran ........................................................................................................ 89

REFERENSI ......................................................................................................... 90

LAMPIRAN I ....................................................................................................... 95

LAMPIRAN II ..................................................................................................... 97

xii

DAFTAR LAMBANG

𝑁(𝑡) : Jumlah Populasi individu pada waktu ke-t.

𝑆(𝑡) : Jumlah Individu rentan terinfeksi pada waktu ke-t.

𝑉(𝑡) : Jumlah Individu yang telah melakukan vaksinasi sebanyak dua kali pada

waktu ke-t.

𝐸(𝑡) : Jumlah individu laten pada waktu ke-t.

𝐼(𝑡) : Jumlah individu terinfeksi pada waktu ke-t.

𝑄1(𝑡) : Jumlah individu yang melakukan karantina di rumah atau isolasi mandiri

pada waktu ke-t.

𝑄2(𝑡) : Jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit pada waktu ke-t.

𝑅(𝑡) : Jumlah individu sembuh pada waktu ke-t.

𝜇 : Laju kelahiran dan kematian alami.

𝜌 : Laju Perpindahan dari individu rentan menjadi individu yang telah

melakukan vaksinasi.

𝑘 : Proporsi dari individu rentan menjadi individu yang telah melakukan

vaksinasi.

𝜔 : Laju Perpindahan dari individu yang telah melakukan vaksinasi menjadi

individu laten.

𝛽 : Laju Perpindahan dari individu rentan menjadi individu laten setelah

terinfeksi dengan individu terinfeksi.

𝛼 : Laju Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang

melakukan karantina di rumah sakit.

xiii

𝑚 : Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan

karantina di rumah sakit.

𝜃 : Laju Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang

melakukan isolasi mandiri.

𝑛 : Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan isolasi

mandiri.

𝜎 : Laju Perpindahan dari individu laten menjadi individu terinfeksi.

𝛿1 : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu yang


𝛿2 : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu yang

melakukan karantina di rumah sakit.

𝛿3 : Laju Kematian yang diakibatkan oleh penyakit dari individu terinfeksi.

𝛾1 : Laju Kesembuhan dari individu yang melakukan isolasi mandiri.

𝛾2 : Laju Kesembuhan dari individu yang melakukan karantina di rumah sakit.

𝛾3 : Laju Kesembuhan dari individu terinfeksi.

𝜖 : Laju kesembuhan individu yang telah melakukan vaksinasi dan tidak

terinfeksi.

∎ : Akhir suatu bukti

xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3. 1 Daftar variabel model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi,

isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit ................................. 32

Tabel 3. 2 Daftar parameter model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi,

isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit ................................. 33

Tabel 4. 1 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium bebas penyakit sistem (3.12)

............................................................................................................... 70

Tabel 4. 2 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium endemik sistem (3.12).... 75

Tabel 4. 3 efektivitas penggunaan vaksin .......................................................... 82

Tabel 4. 4 Indeks Sensitivitas Parameter ........................................................... 85

xv

DAFTAR GAMBAR

3. 1 Diagram Alur Penelitian .............................................................................. 30

3. 2 Diagram Transfer Model Penyebaran Covid-19 Dengan Vaksinasi, Isolasi

Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit ................................................... 36

4. 1 Simulasi sistem (3.12) menuju titik ekuilibrium bebas penyakit ......................... 72

4. 2 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik

i, (e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium

bebas penyakit .............................................................................................. 73

4. 3 simulasi sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik ....................................... 78

4. 4 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik

i, (e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium

endemik ......................................................................................................... 79

4. 5 (a) simulasi titik i ketika u=0, (b) simulasi titik i ketika u=0.2, (c) simulasi

titik i ketika u=0.4, (d) simulasi titik i ketika u=0.6, (e) simulasi titik i

ketika u=0.8, dan (f) simulasi titik i ketika u=1 ......................................... 83

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Penyakit menular adalah masalah yang dihadapi hampir disemua negara tanpa

memandang status. Penyakit menular diantaranya adalah campak, gondok, rubella,

HIV, SARS, flu burung dan lainnya yang merupakan penyakit infeksi yang sangat

berbahaya. Penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui

kontak langsung maupun tidak langsung dengan penderita seperti melalui udara, batuk,

atau bersin, dan kotoran manusia [1]. Salah satu virus yang menyebabkan penyakit

menular adalah virus corona [2]. Akhir tahun 2019 dunia sedang diguncangkan oleh

ancaman pandemik virus corona yang berawal dari daerah Wuhan propinsi Hubei,

Cina. Saat ini kasus Covid – 19 (per 26 Februari 2020) telah menginfeksi lebih dari

70.000 kasus dan paling sedikitnya 2.000 orang yang telah meninggal dunia. Virus ini

juga telah menyebar ke-3 negara dan World Health Organization (WHO) sudah

mengumumkan kasus penularan antara manusia (human to human transmission) di

beberapa negara [3] . Virus corona jenis baru yaitu SARS-CoV-2 pada akhir tahun

2019 di temukan pertama kali di Wuhan. SARS-CoV-2 ini menyebabkan penyakit

yang disebut Covid-19 (Corona Virus Disease-2019) yang menyerang jaringan

pernapasan, sehingga pada fase awal penderita dapat mengalami flu dan batuk hingga

mengakibatkan sesak nafas pada fase kronis [2].

Virus corona sudah pernah menyebabkan epidemik sebelumnya dengan

morbiditas dan mortalitas cukup tinggi yaitu Severe Acute Respiratory Syndrome

(SARS-CoV) dan Middle East Respiratory Syndrome (MERS-Cov) pada beberapa

tahun yang lalu. Total akumulatif kasus MERS-CoV dan SARS sekitar 10.000 yang

terdiri dari 1000-an kasus MERS dan 8000-an kasus SARS. Rerata mortalitas akibat

SARS sekitar 10% sedangkan MERS lebih tinggi yaitu sekitar 40%[3]. Kasus Covid –

19 di Indonesia pertama kali terkonfirmasi pada 2 Maret 2020, Pemerintah Indonesia

2

segera menindak lanjuti SOP pandemik tersebut dengan membatasi pergerakan ke

dalam dan luar negeri hingga pergerakan antar pulau dan menerapkan pola bekerja dari

rumah (work from home) [4].

Penyebaran penyakit Covid-19 yang semakin meningkat dilihat dari [5], pada

31 Oktober 2020 pemerintah mengumumkan jumlah yang positif sebanyak 410.008

jiwa, yang sudah sembuh sebanyak 337.801 jiwa, dan yang meninggal akibat Covid-

19 sebanyak 13.689 jiwa. Jumlahnya yang semakin hari semakin meningkat setiap

harinya dan terjadi peningkatan tinggi ketika liburan akhir tahun menjelang tahun baru

pada bulan januari 2021 jumlah yang positif perharinya bisa mencapai 12.001 jiwa

yang positif covid-19. Pada 31 Januari 2021 di umumkan kasus positif sudah mencapai

1.078.314 jiwa, yang sudah sembuh mencapai 873.221 jiwa, dan meninggal akibat

Covid-19 mencapai 29.998 jiwa.

Melihat jumlah kasus penyebaran yang semakin bertambah banyak setiap

harinya maka dilakukan pencegahan untuk mengurangi penyebaran wabah penyakit

yaitu dengan tetap berada di rumah jika memang mengharuskan keluar rumah maka

tetap menjaga kebersihan dan tetap mengikuti protokol kesehatan yaitu menggunakan

masker saat berpergian dan sering mencuci tangan, karena virus corona ini dapat

menyebar karena berkontak dengan individu yang terinfeksi. Rasulullah Shallallahu

‘alaihi wasallam bersabda:

بن عامر بن ربيعة أنه عمر خ ا جاء سرغ عن عبد الله لغه ب رج إلى الشهام فلمه

ح أنه الوباء قد وقع بالشهام فأخبره عبد الره صلهى الله عليه من بن عوف أنه رسول الله

فل تخرجوا ليه وإذا وقع بأرض وأنتم بهاال إذا سمعتم به بأرض فل تقدموا ع وسلهم ق

فرارا منه فرجع عمر بن الخطهاب من سرغ

“Dari Abdullah bin Amir bin Rabi‘ah, Umar bin Khattab RA menempuh

perjalanan menuju Syam. Ketika sampai di Sargh, Umar mendapat kabar bahwa wabah

sedang menimpa wilayah Syam. Abdurrahman bin Auf mengatakan kepada Umar

3

bahwa Rasulullah SAW pernah bersabda, jika kalian mendengar ada wabah disuatu

daerah maka jangan memasuki daerah tersebut. Dan jika wabah terjadi disuatu daerah

sedangkan kalian sedang berada di dalamnya, janganlah keluar dari daerah

tersebut.”(HR. Bukhari dan Muslim).

Berdasarkan hadist diatas kita dilarang untuk memasuki daerah yang sedang

terjangkit wabah penyakit, seperti saat ini sedang mewabah penyakit covid – 19 maka

seharusnya kita menghindari wabah tersebut dengan tetap di rumah jika tidak ada

keperluan yang mendesak, tidak berkontak dengan orang yang sedang di karantina dan

selalu menjaga kebersihan. Selain menjaga kebersihan, kesehatan, kita juga harus

senantiasa berikhtiar kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala karena hanya kepada – Nya

lah kita dapat memohon perlindungan dan kesehatan, serta memohon kesembuhan

kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala karena hanya Allah Subhanahu Wa Ta’ala yang

dapat menyembuhkan segala penyakit. Seperti Firman Allah Subhanahu Wa Ta’ala di

dalam surat Al – Anbiya ayat 83 – 84 yang berbunyi:

Artinya : “dan (ingatlah kisah) Ayyub, ketika dia berdoa kepada Tuhannya, (Ya

Tuhanku), sungguh, aku telah ditimpa penyakit, padahal Engkau Tuhan Yang Maha

Penyayang dari semua yang penyayang Maka Kami kabulkan (doa)nya lalu Kami

lenyapkan penyakit yang ada padanya dan Kami kembalikan keluarganya kepadanya,

dan (Kami lipat gandakan jumlah mereka) sebagai suatu rahmat dari Kami, dan untuk

menjadi peringatan bagi semua yang menyembah Kami."(QS. Al-Anbiya 21: Ayat 83

– 84).

Melihat penyebaran Covid-19 yang semakin mewabah dan sangat fatal, bahkan

di Indonesia jumlah kematian sudah mencapai 29.998 jiwa yang melebihi jumlah

kematian di kota Wuhan, China yang merupakan tempat asal virus tersebut muncul.

4

Jumlah terinfeksi dan jumlah kematian akibat Covid-19 di Indonesia yang tinggi akibat

dari banyaknya penduduk Indonesia yang tidak patuh terhadap perintah pemerintah.

Memperhatikan penyebaran virus yang menular secara meluas pemerintah Indonesia

membuat peraturan yaitu dengan melakukan pelaksanaan karantina di rumah atau

isolasi mandiri, karantina wilayah, karantina di rumah sakit, menjaga kesehatan serta

penggunaan vaksin [6]. Vaksin yang digunakan untuk covid-19 saat ini bukanlah obat.

Vaksin mendorong pembentukan kekebalan spesifik pada penyakit Covid-19 agar

terhindar dari tertular ataupun kemungkinan sakit berat atau mengurangi gejala berat

yang muncul. Selama vaksin yang aman untuk mencegah dan efektif belum ditemukan,

upaya perlindungan yang bisa kita lakukan adalah disiplin 3M: Memakai masker

dengan benar, Menjaga jarak dan jauhi kerumunan, serta Mencuci tangan pakai air

yang mengalir dan sabun [7].

Covid-19 merupakan penyakit yang muncul di akhir tahun 2019 yang

menggemparkan dunia karena penyebarannya yang begitu cepat. Sudah banyak yang

penelitian terkait model penyebaran penyakit Covid-19, seperti yang dilakukan Bitla

Hari Prasad dkk[8] yang melakukan penelitian model matematika Covid-19 dengan

model sederhana SIR (Substible Infected Recovered). Lalu ada penelitian [9] yang

mengembangkan model SEQIR yaitu manusia rentan 𝑆(𝑡), populasi yang sedang

melakukan imigran 𝐸(𝑡), manusia terinfeksi disertasi gejala klinis 𝐼(𝑡), manusia yang

dikarantina 𝑄(𝑡), dan manusia yang pulih 𝑅(𝑡) dengan membagi kompartemen

quarantine menjadi dua kompartemen yaitu karantina di rumah atau isolasi mandiri

dan karantina di rumah sakit dan terdapat parameter kematian akibat penyakit.

Selanjutnya penelitian yang dilakukan [10] pada penelitian ini mengembangkan model

SEIR dengan menambahkan kompartemen 𝐼𝑐 , 𝐼𝑎, 𝐼ℎ dan 𝑄 dimana kompartemen 𝐼ℎ

merupakan individu yang sudah terinfeksi yang dirawat di rumah sakit, 𝐼𝑎adalah

individu yang terinfeksi secara asimtotik, 𝐼𝑐 adalah individu terinfeksi yang sudah

sangat kritis dan kompartemen 𝑄 adalah karantina. Kemudian ada penelitian [11] yang

membahas penyakit sejenis dengan covid – 19 yaitu MERS – CoV yang

5

mengembangkan model SEIR dengan penggunaan masker kesehatan dan vaksinasi

dimana kompartmen 𝑆 dan 𝐼 dibagi menjadi dua kompartmen yaitu pengguna masker

kesehatan dan tidak menggunakan masker kesehatan. Selanjutnya penelitian [12]

pemodelan penyakit covid – 19 yang menggunakan model SEIR dengan menambahkan

kompartemen V (vaksinasi), Q (karantina), dan D (kematian akibat penyakit),

penelitian tersebut mengasumsikan individu yang sudah sembuh dari penyakit dapat

kembali menjadi individu rentan dan mendapatkan vaksinasi.

Salah satu pendekatan untuk menjelaskan solusi dari permasalahan yang terjadi

dalam dunia nyata adalah memodelkan atau merumuskan permasalahan nyata dalam

bahasa matematika. Setelah model matematika diperoleh maka dapat diselesaikan

secara sistematis, dan dapat diaplikasikan kembali dalam masalah nyata. Dalam

penelitian ini, akan dibentuk model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan

pemberian vaksin, isolasi mandiri dan melakukan karantina di rumah sakit. Model ini

mengasumsikan individu yang diberikan vaksin sampai 2 kali tahap, individu yang

telah melakukan vaksinasi sebanyak 2 kali masih dapat tertular Covid-19 namun

gejalanya tidak seberat individu yang belum melakukan vaksinasi sehingga pasien

tidak akan mengalami kesakitan yang parah dan meminimalisir risiko kematian [13]

individu yang telah melakukan vaksinasi akan kebal terhadap penyakit dengan syarat

tetap menjaga kebersihan dan mematuhi protokol kesehatan. Dari model tersebut akan

dicari titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik untuk masing-

masing kompartemen serta bilangan reproduksi dasar untuk melihat apakah terjadi

endemik atau tidak, dan melihat parameter mana saja yang paling berpengaruh secara

signifikan terhadap nilai reproduksi dasar. Kemudian akan dilakukan simulasi model

untuk melihat visualisasi model dan untuk mendukung teorema sebelumnya dan

melihat efektivitas penggunaan vaksin terhadap model, dengan nilai-nilai parameter

yang digunakan diambil dari jurnal – jurnal sebelumnya. Kemudian dilakukan analisis

sensitivitas untuk melihat parameter mana saja yang berpengaruh secara signifikan

terhadap nilai reproduksi dasar.

6

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, maka permasalahan

pada penelitian ini antara lain:

1. Bagaimana model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan

vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit?

2. Bagaimana titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta kestabilan titik

ekuilibrium bebas penyakit?

3. Bagaimana bilangan reproduksi dasar pada model matematika penyebaran

penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah

sakit?

4. Bagaimana simulasi numerik model matematika penyebaran peyakit Covid-19

dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit?

5. Bagaimana hasil simulasi numerik efektivitas pada penggunaan vaksin dan

hasil analisis sensitivitas?

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, agar pembahasan lebih terarah maka penulis membatasi

objek kajian pada:

1. Model yang digunakan adalah model SVEIQR dengan membagi kompartemen

Quarantine menjadi 2 kompartemen yaitu isolasi mandiri dan karantina di

rumah sakit.

2. Penyakit yang di bahas hanya penyakit Covid-19, tidak membahas penyakit

lain meskipun memiliki ciri yang sama dengan penyakit Covid-19.

3. Individu yang melakukan isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit tidak

dapat menularkan penyakit.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, antara lain:

7

1. Mengetahui model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan

vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.

2. Mengetahui titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta kestabilan titik

ekuilibrium bebas penyakit.

3. Mengetahui bilangan reproduksi dasar pada model matematika penyebaran

penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah

sakit.

4. Mengetahui simulasi numerik model matematika penyebaran peyakit Covid-19

dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit.

5. mengetahui simulasi numerik efektivitas pada penggunaan vaksin dan hasil

analisis senstivitas.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini diharapkan dapat membantu pemerintah maupun

pihak-pihak terkait untuk mencegah penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi,

isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit. Model matematika yang dihasilkan dapat

menjadi pilihan yang tepat untuk memahami dinamika penyakit. Dan penulis berharap

penelitian ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan baru mengenai model

matematika penyebaran penyakit, serta dapat membawa masalah-masalah baru dalam

bidang pemodelan, sehingga akan muncul penelitian-penelitian yang lain.

8

BAB II

DASAR TEORI

2.1 Coronavirus Disease 2019 (Covid – 19)

Coronavirus Disease 2019 atau Covid-19 adalah penyakit menular yang

disebabkan oleh salah satu jenis corona virus SARS-CoV-2. Infeksi virus Corona

disebut Covid-19 (Corona Virus Disease 2019) dan pertama kali ditemukan di kota

Wuhan, China pada akhir Desember 2019. Virus ini menular dengan sangat cepat dan

telah menyebar ke hampir semua negara, termasuk Indonesia. Hal tersebut membuat

beberapa negara menerapkan kebijakan untuk memberlakukan lockdown dalam rangka

mencegah penyebaran virus Corona. Di Indonesia sendiri, diberlakukan kebijakan

Pembatasan Sosial Berskala Besar (PSBB) untuk menekan penyebaran virus tersebut

[14].

Covid-19 di Indonesia, telah menyebar ke seluruh provinsi. Menurut data yang

disampaikan oleh Gugus Tugas Percepatan Penanganan Covid-19 pada tanggal 10 Juni

2020 tercatat kasus positif terkonfirmasi sebanyak 1.241 orang, sehingga total jumlah

kumulatif kasus terkonfirmasi positif sebanyak 34.316 kasus di Indonesia.

Pertambahan kasus tertinggi selama data terkonfirmasi sejak Maret 2020. Pemerintah

juga mencatat ada penambahan 715 pasien yang telah dinyatakan sembuh, dengan

demikian total pasien sembuh 12.129 orang. Sedangkan penambahan pasien meninggal

berjumlah 36 orang atau totalnya menjadi 1.959 orang [14].

Infeksi Covid-19 dapat menimbulkan gejala ringan, sedang atau berat. Gejala

klinis utama yang muncul [15] yaitu :

1. Demam (Suhu > 38℃)

2. Batuk

9

3. Kesulitan Bernapas

4. Nyeri Tenggorokan

5. Sesak Memberat

6. Fatigue (Kelelahan)

7. Myalgia (Nyeri Otot)

Pada kasus berat perburukan secara cepat dan progresif, seperti ARDS, syok

septik, asidosis metabolik yang sulit dikoreksi dan perdarahan atau disfungsi sistem

koagulasi dalam beberapa hari. Pada beberapa pasien, gejala yang muncul ringan,

bahkan tidak disertai dengan demam. Kebanyakan pasien memiliki prognosis baik,

dengan sebagian kecil dalam kondisi kritis bahkan meninggal. Berikut sindrom klinis

yang dapat muncul jika terinfeksi. (PDPI, 2020). Berikut sindrom klinis yang dapat

muncul jika terinfeksi [15].

Salah satu kewaspadaan yang penting dalam hal penanganan pasien dalam

pengawasan atau terkonfirmasi virus corona ini adalah pencegahan kontak yaitu [3] :

1. Membatasi kunjungan keluarga dengan pasien

2. Menghindari menyentuh mata, hidung dan mulut dengan tangan yang

berpotensi terkontaminasi

3. Membatasi gerak pasien, hindari perpindahan pasien keluar ruangan,

apabila sangat dibutuhkan maka pasien menggunakan masker dan gunakan

transport yang sudah ditentukan untuk menghindari paparan pasien dengan

orang lain

4. Membersihkan dan desinfeksi semua permukaan yang terpapar dengan

pasien secara rutin

5. Mencatat semua orang yang keluar dan masuk dalam ruangan dan

berkontak dengan pasien

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.2.1

10

Jika A adalah sebuah Matriks n x n, maka sebuah vektor tak nol x pada ℝ𝑛 disebut

vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x, maka

persamaannya dapat ditulis ,

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 (2.1)

Untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen (eigen value) dari A, dan x

disebut sebgai vektor eigen dari A yang terkait dengan 𝜆.

Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks A, maka persamaan (2.1) dapat

kita tuliskan kembali 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 sebagai

(𝜆𝐼 − 𝐴)𝑥 = 0 (2.2)

Dimana I adalah matriks identitas, supaya mendapatkan nilai eigen dari 𝜆, maka

haruslah terdapat satu solusi tak nol dari persamaan (2.2) jika dan hanya jika

𝑑𝑒𝑡( 𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 (2.3)

Sehingga persamaan (2.3) ini disebut persamaan karakteristik (characteritic

equation) matriks A [16].

2.3 Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan dari satu

atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas sebuah fungsi [17].

Persamaan Diferensial diklasifikasikan bergantung jumlah variabel bebasnya, yaitu:

1. Persamaan Diferensial Biasa, merupakan persamaan yang memuat turunan dari

satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Contoh 2.3.1

𝑥2𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 3

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

11

2. Persamaan Diferensial Parsial, merupakan persamaan yang memuat turunan

dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.3.2

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 6𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕3𝑢

𝜕𝑥3= 0

Berdasarkan [18] menjelaskan Orde adalah turunan tertinggi pada suatu

persamaan. Hal terpenting dalam suatu persamaan diferensial yaitu klasifikasi

persamaan diferensial berdasarkan kelinearannya, yaitu:

1. Persamaan Diferensial Linear.

𝐹(𝑡, 𝑦, 𝑦′, … 𝑦𝑛) = 0

Persamaan Diferensial merupakan linear jika F adalah fungsi linear dari

variabel 𝑦, 𝑦′, … 𝑦𝑛 [18]. Definisi persamaan differensial biasa linear adalah

persamaan diferensial biasa orde 𝑛 dengan variabel bebas 𝑥 dan variabel tak

bebas 𝑦 yang dapat dinyatakan dalam bentuk [17] :

𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) (2.4)

Suatu Persamaan Diferensial dikatakan linear jika variabel – variabel tak bebas

dan semua turunan dari persamaan diferensial tersebut muncul dalam bentuk

linear dalam arti ciri – cirinya :

(a) Variabel – variabel tak bebas dan semua turunannya hanya muncul

berderajat satu

(b) Tidak terdapat perkalian antara variabel – variabel tak bebas dan

turunannya.

(c) Tidak terdapat fungsi transenden dari variabel – variabel tak bebas dan

turunannya.

12

Contoh 2.3.3

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 6

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 10𝑦 = 0

3𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4𝑥 − 8

2. Persamaan Diferensial NonLinear.

Merupakan persamaan diferensial yang tak linear. Suatu persamaan diferensial

dikatakan nonlinear jika minimal salah satu dari ke tiga ciri – ciri dari

persamaan diferensial linear.

Contoh 2.3.4

𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 10𝑦 = sin 𝑦

𝑥𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 10𝑦 = 0

2.4 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan

diferensial [18]. Secara matematis dari sistem persamaan diferensial dapat ditulis

dalam bentuk

��(𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡) (2.5)

dengan

��(𝑡) =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

(

𝑑𝑥1

𝑑𝑡𝑑𝑥2

𝑑𝑡⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡 )

, 𝑓(𝑡, 𝑥) = (

𝑓1(𝑡, 𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)𝑓2(𝑡, 𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)

⋮𝑓𝑛(𝑡, 𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)

) (2.6)

dengan 𝑥1,𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛 adalah variabel tak bebas dan 𝑡 adalah variabel bebas. Jika pada

𝑓(𝑡, 𝑥) variabel 𝑡 tidak dinyatakan secara eksplisit, maka persamaan (2.5) disebut

sistem otonomus dapat ditulis secara matematis

13

��(𝑡) = 𝑓(𝑥) (2.7)

dengan

��(𝑡) =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

(

𝑑𝑥1

𝑑𝑡𝑑𝑥2

𝑑𝑡⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡 )

, 𝑓(𝑥) = (

𝑓1(𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)𝑓2(𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)

⋮𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, ⋯ . 𝑥𝑛)

) (2.8)

Berdasarkan kelinearanya, sistem persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua

yaitu sistem diferensial linear dan sistem diferensial nonlinear.

2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear

Berdasarkan [18] menyatakan secara umum bentuk persamaan diferensial

biasa sebagai berikut:

𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑥′, … 𝑥𝑛) = 0 (2.9)

Persamaan (2.9) dikatakan linear jika F adalah fungsi linear terhadap 𝑥, 𝑥′, … 𝑥𝑛

dengan bentuk umumnya yaitu:

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑥2′ + ⋯+ 𝑎1(𝑛−1)𝑥

𝑛−1 + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑓1(𝑡)

𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑥2′ + ⋯+ 𝑎2(𝑛−1)𝑥

𝑛−1 + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑓2(𝑡) (2.10)

⋮

𝑎𝑛1𝑥 + 𝑎𝑛2𝑥2′ + ⋯+ 𝑎𝑛(𝑛−1)𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑓𝑛(𝑡)

Maka sistem persamaan diferensial linear dengan variabel tak bebas 𝑥(𝑡) dan variabel

bebas 𝑡 dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

��1(𝑡) = 𝑥1′ (𝑡) = 𝑎11(𝑡)𝑥1(𝑡) + 𝑎12(𝑡)𝑥2(𝑡) + ⋯+ 𝑎1𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑓1(𝑡)

��2(𝑡) = 𝑥2′ (𝑡) = 𝑎21(𝑡)𝑥1(𝑡) + 𝑎22(𝑡)𝑥2(𝑡) + ⋯+ 𝑎2𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑓2(𝑡) (2.11)

14

⋮

��𝑛(𝑡) = 𝑥𝑛′ (𝑡) = 𝑎𝑛1(𝑡)𝑥1(𝑡) + 𝑎𝑛2(𝑡)𝑥2(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + 𝑓𝑛(𝑡)

Sehingga dapat dituliskan dalam bentuk matriks seperti berikut:

��(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝑓(𝑡) (2.12)

Dengan

(

��1(𝑡)��2(𝑡)

⋮��𝑛(𝑡)

) = (

𝑎11(𝑡) 𝑎12(𝑡) … 𝑎1𝑛(𝑡)𝑎21(𝑡) 𝑎22(𝑡) … 𝑎2𝑛(𝑡)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1(𝑡) 𝑎𝑛2(𝑡) … 𝑎𝑛𝑛(𝑡)

)(

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)

⋮𝑥𝑛(𝑡)

) + (

𝑓1(𝑡)𝑓2(𝑡)

⋮𝑓𝑛(𝑡)

) (2.13)

Jika 𝑓𝑘(𝑡) dengan 𝑘 = 1, 2, …𝑛 sama dengan nol, maka sistem persamaan (2.12)

merupakan sistem persamaan diferensial linear homogen yang dapat ditulis dalam

bentuk matematis

��(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) (2.14)

Maka dalam bentuk matriks

(

��1(𝑡)��2(𝑡)

⋮��𝑛(𝑡)

) = (

𝑎11(𝑡) 𝑎12(𝑡) … 𝑎1𝑛(𝑡)𝑎21(𝑡) 𝑎22(𝑡) … 𝑎2𝑛(𝑡)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1(𝑡) 𝑎𝑛2(𝑡) … 𝑎𝑛𝑛(𝑡)

)(

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)

⋮𝑥𝑛(𝑡)

) (2.15)

Contoh 2.4.1 (Persamaan Diferensial Linear Homogen)

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 2𝑥1 + 10𝑥2

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑥2 − 3𝑥2 + 9

Contoh 2.4.2 (Persamaan Diferensial Linear Non Homogen)

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 2𝑥1 + 10𝑥2 − 3𝑡 + 7

15

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑥1 + 3𝑥2 − 7𝑡 + 5

Pada contoh 2.4.2 dikatakan sistem persamaan diferensial non homogen karena ada

nilai −3𝑡 dan −7𝑡 yang menyatakan bahwa fungsi 𝑓(𝑡) bernilai tak nol.

2.4.2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinear

Pada persamaan (2.13) jika fungsi F terdapat 𝑥, 𝑥′, … 𝑥𝑛 yang bukan merupakan

fungsi linear maka sistem persamaan diferensial tersebut menjadi non linear [17]. Maka

Sistem otonomus yang berisikan persamaan differensial nonlinear orde satu dapat

ditulis dalam bentuk

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

(2.16)

Contoh 2.4.3 (Sistem Persamaan Diferensian NonLinear)

��1 = 𝑥12 − 𝑥1𝑥2 − 3𝑥1

��2 = −5𝑥2 + 𝑥2𝑥1

Contoh 2.4.3 merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear karena:

1. Terdapat variabel tak bebas 𝑥1 berderajat dua.

2. Terdapat perkalian variabel tak bebas 𝑥1 dengan 𝑥2.

2.5 Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan titik yang pada saat 𝑡 = 1,2, …𝑛 stabil atau tetap

disebut juga dengan titik kesetimbangan. Artinya titik ekuilibrium tidak berpengaruh

terhadap waktu.

16

Definisi 2.5.1

Diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde satu �� = 𝑓(𝑥), yang mempunyai

solusi, dengan kondisi awal x(0) = 𝑥0. Suatu vektor �� yang memenuhi 𝑓(x) = 0

disebut titik ekuilibrium [19].

Yang berarti nilai titik ekuilibrium dapat diperoleh dengan melakukan subtitusi ke titik

– titik lainnya.

Contoh 2.5.2

Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial nonlinear berikut

�� = −𝑥

�� = 1 − (𝑥2 + 𝑦2) (2.17)

Berdasarkan Definisi 2.5.1 maka �� = �� = 0

−𝑥 = 0

1 − (𝑥2 + 𝑦2) = 0

Sehingga diperoleh

−𝑥 = 0

𝑥 = 0

Subtitusi 𝑥 = 0 ke persamaan �� = 0, maka

1 − (𝑥2 + 𝑦2) = 0

1 − (0 + 𝑦2) = 0

𝑦 = ± 1

Maka diperoleh titik ekuilibrium (0,1)dan (0, −1).

17

2.6 Kestabilan Titik Ekuilibrium

Penyelesaian sistem persamaan diferensial dapat diketahui dengan cara

menganalisis kestabilan titik ekuilibrium. Kestabilan pada suatu sistem berarti

perubahan kecil pada sistem hanya sedikit mengubah penyelesaian untuk waktu yang

akan datang. Akan tetapi, apabila perubahan kecil pada sistem mengakibatkan

perubahan besar pada perilaku penyelesaian untuk waktu yang akan datang, maka

sistem dikatakan tidak stabil. Penyelesaian kestabilan titik ekuilibrium dapat

diselesaikan secara analitik maupun numerik.

Definisi 2.6.1 [19]

Diberikan suatu persamaan diferensial order satu x = 𝑓(x) yang memiliki solusi

x(𝑡, x0) dengan kondisi awal x(0) = x0. Titik ekuilibrium �� dikatakan

1. Stabil, jika ∀∈> 0, ∃𝛿 > 0 sedemikian sehingga, jika ‖x0 − x‖ < 𝛿, maka

‖x(𝑡, 𝑥0) − x‖ <∈ ∀𝑡 ≥ 0.

2. Stabil asimtotik, jika stabil dan terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga jika

‖x0 − x‖ < 𝛿1, maka 𝑙𝑖𝑚𝑡→∞‖x(𝑡, 𝑥0) − x‖ = 0

3. Tidak stabil jika definisi 1 tidak terpenuhi

2.6.1 Kestabilan Sistem Persamaan Diferensial Linear

Definisi 2.6.2 [19]

Misalkan A adalah matriks berukuran n x n, nilai eigen dari matriks A adalah akar-

akar karkteristik dari polinomial 𝑑𝑒𝑡( 𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, maka dapat ditulis dalam bentuk

𝑎𝑛𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0 (2.18)

dengan 𝑎0 = 1

Selanjutnya akan ditunjukkan teorema yang menyatakan hubungan nilai eigen

dengan kestabilan titik ekuilibrium dari definisi 2.6.2 seperti berikut:

Teorema 2.6.3 [19]

18

Diberikan sistem persamaan differensial x = Ax, dengan A suatu matriks n x n dengan

nilai eigen 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑗 dimana 𝑗 ≤ 𝑛

1. Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan stabil asimtotik jika 𝜆𝑖 < 0 ∀𝑖 = 1,2, … 𝑛.

2. Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan stabil jika 𝜆𝑖 < 0 dan terdapat 𝜆𝑖=0 dengan

𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dan

3. Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan tidak stabil jika ∃ 𝜆𝑖 > 0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Contoh 2.6.1. Diberikan sistem persamaan diferensial linear otonomus

�� = 4𝑥 + 2𝑦

�� = −3𝑥 − 𝑦 (2.19)

Untuk mencari kestabilan titik ekuilibrium dari sistem persamaan differensial linear

sistem (2.19) dapat dibentuk menjadi matriks

(4 2

−3 −1) (

𝑥𝑦) = (

��)

Berdasarkan Definisi 2.6.2 maka diperoleh nilai eigen dari sistem (2.19)

𝑑𝑒𝑡 |4 − 𝜆 2−3 −1 − 𝜆

| = 0

𝜆2 − 3𝜆 + 2 = 0

(𝜆 − 2)(𝜆 − 1) (2.20)

Maka diperoleh nilai 𝜆1 = 2 dan 𝜆2 = 1. berdasarkan Teorema 2.6.3 maka titik

ekuilibrium dari sistem (2.19) dikatakan tidak stabil karena nilai 𝜆1,2 > 0.

2.6.2 Kestabilan Sistem Persamaan Differensial NonLinear

Pada persamaan (2.16). Jika 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗) adalah titik ekuilibrium dari

persamaan tersebut, maka

19

𝑓1(𝑥∗) = 𝑓2(𝑥

∗) = ⋯ = 𝑓𝑛(𝑥∗) = 0

Merupakan penyelesaian persamaan nonlinear pada (2.16) kestabilan persamaan

nonlinear dapat dibentuk melalui linearisasi untuk mengetahui perilaku sistem disekitar

titik ekuilibrium. Linearisasi pada sistem nonlinear dimaksud untuk memperoleh

aproksimasi yang baik. Pada proses linearisasi dapat dilakukan dengan menggunakan

ekspansi Deret Taylor disekitar titik ekuilibrium 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗), yaitu

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥

∗) +𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1

∗) + ⋯+𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛

∗) +1

2![𝜕2𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥12 (𝑥1 − 𝑥1

∗)2 +

⋯+𝜕2𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥𝑛2 (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛

∗)2] + ⋯ +1

𝑘![𝜕𝑘𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥1𝑘 (𝑥1 − 𝑥1

∗)k + ⋯+𝜕𝑘𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥𝑛𝑘 (𝑥𝑛 −

𝑥𝑛∗)𝑘] + ⋯

𝑑𝑥2


∗) +𝜕𝑓2(𝑥∗)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1

∗) + ⋯+𝜕𝑓2(𝑥∗)


∗) +1

2![𝜕2𝑓2(𝑥∗)

𝜕𝑥12 (𝑥1 − 𝑥1

∗)2 +

⋯+𝜕2𝑓2(𝑥∗)


∗)2] + ⋯ +1

𝑘![𝜕𝑘𝑓2(𝑥∗)

𝜕𝑥1𝑘 (𝑥1 − 𝑥1

∗)k + ⋯+𝜕𝑘𝑓2(𝑥∗)


𝑥𝑛∗)𝑘] + ⋯

⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥∗) +

𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1

∗) + ⋯+𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)


∗) +1

2![𝜕2𝑓𝑛(𝑥∗)

𝜕𝑥12 (𝑥1 − 𝑥1

∗)2 +

⋯+𝜕2𝑓𝑛(𝑥∗)


∗)2] + ⋯+1

𝑘![𝜕𝑘𝑓𝑛(𝑥∗)

𝜕𝑥1𝑘 (𝑥1 − 𝑥1

∗)k + ⋯+𝜕𝑘𝑓𝑛(𝑥∗)


𝑥𝑛∗)𝑘] + ⋯

Linearisasi sistem (2.16) di sekitar titik ekuilibrium 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗), dilakukan

dengan cara mengabaikan suku-suku yang pangkatnya lebih dari satu pada hasil

ekspansi dari Deret Taylor di sekitar suku tersebut. Suku-suku yang mempunyai

pangkat lebih dari satu pada sistem diabaikan, maka diperoleh

20

𝑑𝑥1


∗) +𝜕𝑓1(𝑥

∗)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1

∗) + ⋯+𝜕𝑓1(𝑥

∗)


∗)

𝑑𝑥2


∗) +𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1

∗) + ⋯+𝜕𝑓2(𝑥

∗)


∗)

⋮

𝑑𝑥𝑛


𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥1(𝑥1 − 𝑥1

∗) + ⋯+𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)


∗)

(2.21)

Persamaan (2.21) dapat ditulis dalam bentuk

(

𝑑𝑥1

𝑑𝑡𝑑𝑥2

𝑑𝑡⋮

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡 )

=

(

𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝑑𝑥1

𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝑑𝑥2⋯

𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝑑𝑥𝑛

𝜕𝑓2(𝑥∗)

𝑑𝑥1

𝜕𝑓2(𝑥∗)

𝑑𝑥2⋯


𝑑𝑥𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)

𝑑𝑥1


𝑑𝑥2⋯


𝑑𝑥𝑛 )

(

(𝑥1 − 𝑥1∗)

(𝑥2 − 𝑥2∗)

⋮(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛

∗)

) (2.22)

Misalkan

𝑤1 = 𝑥1 − 𝑥1∗, 𝑤2 = 𝑥2 − 𝑥2

∗, …𝑤𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛∗ (2.23)

Sehingga diperoleh

𝑑𝑤1

𝑑𝑡=

𝑑𝑥1

𝑑𝑡,𝑑𝑤2

𝑑𝑡=

𝑑𝑥2

𝑑𝑡, … ,

𝑑𝑤𝑛

𝑑𝑡=

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡 (2.24)

Substitusi persamaan (2.23) dan (2.24) ke persamaan (2.21), sehingga persamaan

(2.21) dapat ditulis

𝑑𝑤1


∗) +𝜕𝑓1(𝑥

∗)

𝜕𝑥1𝑤1 + ⋯+

𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥𝑛𝑤𝑛

𝑑𝑤2


∗) +𝜕𝑓𝑛(𝑥∗)

𝜕𝑥1𝑤1 + ⋯+

𝜕𝑓2(𝑥∗)


⋮

(2.25)

21

𝑑𝑤𝑛


𝜕𝑓1(𝑥∗)

𝜕𝑥1𝑤1 + ⋯+



atau

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐽(𝑥1

∗ ,𝑥2∗ ,… 𝑥𝑛

∗ )𝑤 (2.26)

Dengan 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2

∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) merupakan matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium 𝑥∗ =

(𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗). Sehingga persamaan (2.25) merupakan hasil linearisasi dari persamaan

diferensial nonlinear. Selanjutnya akan dibahas teorema kriteria kestabilan titik

ekuilibrium pada persamaan diferensial nonlinear.

Teorema 2.6.4 [20]

Diberikan matriks Jacobian 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2

∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) dari persamaan (2.25)

1. Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2

∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) bernilai negatif,

maka titik ekuilibrium dari 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … 𝑥𝑛∗) dari sistem nonlinear (2.16)

stabil asimtotik lokal.

2. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dari matriks 𝐽(𝑥1∗ , 𝑥2

∗ ,… 𝑥𝑛∗ ) bernilai

positif maka titik ekuilibrium 𝑥∗ = (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … 𝑥𝑛∗) dari sistem nonlinear (2.16)

tidak stabil.

Contoh 2.6.2

Berikut akan dicari kestabilan titik ekuilibrium persamaan (2.17) , berdasarkan Contoh

2.5.2 diperoleh titik ekuilibrium yaitu (0,1) dan (0, −1). Selanjutkan akan dilakukan

linearisasi di sekitar titik ekuilibrium untuk melihat kelinearannya dengan Matriks

Jacobian.

𝐽(𝑥∗,𝑦∗) = (

𝜕

𝜕𝑥

𝑑��

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑦

𝑑��

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑥

𝑑��

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑦

𝑑��

𝑑𝑡

)

22

= (

𝜕

𝜕𝑥(−𝑥)

𝜕

𝜕𝑦(−𝑥)

𝜕

𝜕𝑥(1 − (𝑥2 + 𝑦2))

𝜕

𝜕𝑦(1 − (𝑥2 + 𝑦2))

)

= (−1 0−2𝑥 −2𝑦

)

1. Linearisasi untuk titik ekuilibrium(0, −1)

(

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑑𝑦

𝑑𝑡

) = 𝐽(0,−1) (��)

Dengan 𝐽(0,−1)matriks jacobian di sekitar titik ekuilibrium (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,1) yaitu

(−1 0

−2(0) −2(1)) = (

1 00 −2

)

Persamaan karakteristik 𝐽(0,1)

|𝐽(0,0) − 𝜆𝐼| = 0

|−1 − 𝜆 0

0 2 − 𝜆| = 0

Maka diperoleh nilai 𝜆1 = 2 dan 𝜆2 = −1, karena salah satu 𝜆 > 0. Berdasarkan

Teorema 2.6.4 maka titik ekuilibrium (0,1) tidak stabil.

2. Linearisasi untuk titik ekuilibrium (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,−1)

(

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑑𝑦

𝑑𝑡

) = 𝐽(0,−1) (𝑥𝑦)

Dengan 𝐽(3,0) matriks jacobian di sekitar titik ekuilibrium (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,−1) yaitu

23

(−1 0

−2(0) −2(−1)) = (

1 00 2

)

Persamaan karakteristik 𝐽(0,−1)

|𝜆𝐼 − 𝐽(0,−1)| = 0

|−1 − 𝜆 0

0 2 − 𝜆| = 0

Diperoleh nilai 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −2, karena 𝜆1 > 0 dan 𝜆2 < 0. Berdasarkan

Teorema 2.6.4 maka titik ekuilibrium (3,0) tidak stabil.

2.7 Kriteria Routh – Hurwitz

Perhitungan nilai eigen dapat dihitung dengan menentukan akar persamaan

karakteristik det(𝜆𝐼 − 𝐴). Namun sering kali nilai akar – akar persamaan karakteristik

sulit untuk didapatkan. Sehingga perlu suatu aturan yang menjamin nilai akar – kar

persamaan karakteristik bernilai negatif atau ada persamaan karakterisik yang bernilai

positif. Dengan metode Routh-Hurwitz ini dapat digunakan jika nilai eigen pada

matriks A adalah akar-akar persamaan karakteristik polinomial [19].

𝑑𝑒𝑡( 𝜆𝐼 − 𝐴) = 𝑎𝑛𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝜆

1 + 𝑎0

dengan 𝑎0 = 1.

Definisi 2.7.1 [22]

Diberikan suatu sistem persamaan karakteristik dalam bentuk polinomial sebagai

berikut:

𝑃(𝜆) = 𝜆𝑗 + 𝑎1𝜆𝑗−1 + ⋯+ 𝑎𝑗−1𝜆 + 𝑎𝑗 = 0 (2.27)

Dimana 𝑎0 = 1 dan 𝑎𝑗 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 adalah bilangan real. Maka

didefinisikan matriks j sebagai berikut

24

𝐻1 = [𝑎1], 𝐻2 = [𝑎1 𝑎0

𝑎3 𝑎2] , 𝐻3 = [

𝑎1 𝑎0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1

𝑎5 𝑎4 𝑎3

]….

𝐻𝑗 =

[

𝑎1 𝑎0 0 0 ⋯ 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 ⋯ 0𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2 ⋯ 0𝑎7 𝑎6 𝑎5 𝑎4 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎2𝑗−1 𝑎2𝑗−2 𝑎2𝑗−3 𝑎2𝑗−4 ⋯ 𝑎𝑗 ]

(2.28)

Determinan matriks Routh – Hurwitz tingkat ke – j dinotasikan dengan ∆𝑗, dengan 𝑗 =

1, 2, … , 𝑛 yang diperoleh dari persamaan (2.28). jika setiap ∆𝑗 bernilai positif maka

semua akar – akar persamaan karakteristik persamaan (2.27) mempunyai nilai real

negatif.

2.8 Matriks Generasi Selanjutnya

Pendekatan generasi selanjutnya bergantung pada pengamatan karakteristik

bilangan reproduksi dasar yang dilakukan dengan menganggap transmisi penyakit

terjadi dalam keturunan, yaitu melahirkan individu baru yang juga terinfeksi. Yang

berarti proses infeksi berkaitan dengan proses demograsi dalam generasi yang

terinfeksi secara berurutan. Jika jumlah generasi selanjutnya bertambah pesat, maka

dapat terjadi epidemi.

Untuk Model kompartemen persamaan diferensial biasa, dimana sifat – sifatnya

diperhitungkan pada kategori terpisah, seseorang dapat menentukan matriks yang

berhubungan jumlah individu yang baru terinfeksi dalam kategori generasi yang

berurutan. Maka matriks tersebut disebut matriks generasi selanjutnya [22]. Bilangan

reproduksi dasar kemudian ditetapkan sebagai radius spektral dari matriks generasi

selanjutnya. Misalkan 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)𝑇 menjadi vektor dari variabel tak bebas dalam

kompartemen yang terinfeksi, dan misalkan y menjadi vektor dari variabel di

kompartemen yang tidak terinfeksi. Maka 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 dan 𝑦 ∈ 𝑅𝑚.

25

1. Persamaan dibuat sedemikian sehingga 𝑛 kompartemen pertama dari sistem

persamaan diferensial biasa sesuai dengan kompartemen terinfeksi. Sistem

persamaan dferensial biasa dapat ditulis seperti berikut:

𝑥𝑘′ = 𝑓𝑘(𝑥, 𝑦)

𝑦𝑗′ = 𝑔𝑗(𝑥, 𝑦) (2.29)

2. Persamaan pada ruas kanan dapat dipisah menjadi

𝑥𝑘′ = 𝐹𝑘(𝑥, 𝑦) − 𝑉𝑘(𝑥, 𝑦), 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛

𝑦𝑗′ = 𝑔𝑗(𝑥, 𝑦), 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (2.30)

Dengan 𝐹𝑘(𝑥, 𝑦) merupakan tingkat kemunculan infeksi pada kompartemen 𝑘 dan

𝑉𝑘(𝑥, 𝑦) merupakan transisi lainnya yaitu kelahiran, perkembangan, kematian,

penyakit, dan kesembuhan.

Asumsikan 𝑦′ = 𝑔(0, 𝑦) mempunyai titik ekulibrium 휀0,𝑗 = (0, 𝑦0) sehingga semua

keadaan dengan kondisi awal dalam bentuk (0, 𝑦) mendekati (0, 𝑦0) maka didapatkan

𝐹 =𝜕𝐹𝑘(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥𝑗 dan 𝑉 =

𝜕𝑉𝑘(𝑥,𝑦)𝜕𝑥𝑗

Dimana 𝐹𝑘(𝑥, 𝑦) dan 𝑉𝑘(𝑥, 𝑦) merupakan linearisasi dari bentuk persamaan (2.30) di

sekitar titik ekulibrium, sehingga matriks 𝑘 didefinisikan sebagai [22].

𝑘 = 𝐹𝑉−1 (2.31)

2.9 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan Reproduksi dasar merupakan suatu ambang batas terjadinya

penularan atau wabah penyakit yang disebabkan oleh individu terinfeksi, bilangan

reproduksi dasar disebut juga dengan rasio atau angka reproduksi dasar. Namun pada

dasarnya reproduksi dasar merupakan ukuran infeksi sekunder yang terjadi karena

suatu infeksi primer pada populasi yang seluruhnya rentan. Bilangan reproduksi dasar

26

biasanya dinotasikan dengan 𝑅0. Jika 𝑅0 < 1, maka rata-rata individu terinfeksi akan

kurang dari satu individu terinfeksi baru di area tersebut pada periode infeksi, maka

infeksinya tidak akan tumbuh. Sebaliknya jika 𝑅0 > 1, maka setiap individu terinfeksi

akan menimbulkan lebih dari satu infeksi baru, dan penyakit akan mewabah atau

menular pada area tersebut. Penentuan bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan

mencari nilai eigen terbesar dari matriks generasi selanjutnya [23]. Kondisi yang akan

timbul adalah sebagai berikut [25]

1. Jika 𝑅0 < 1 maka penyakit akan menghilang

2. Jika 𝑅0 > 1 maka penyakit akan meningkat dan menjadi wabah

3. Jika 𝑅0 = 1 maka penyakit akan menetap

Bilangan reproduksi dasar adalah radius spektral dari matriks generasi selanjutnya,

yang dijelaskan dalam definisi berikut.

Definisi 2.9.1 [22] Radius spektral dari matriks A ditentukan sebagai maksimum dari

nilai mutlak dari nilai eigen matriks A:

𝜌(𝐴) = 𝑠𝑢𝑝|𝜆| ∶ 𝜆 ∈ 𝜎(𝐴) (2.32)

dimana σ(A) adalah himpunan nilai eigen dari A.

Sehingga bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai eigen positif terbesar

dari matriks generasi selanjutnya, yang dapat ditulis

𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1) (2.33)

Teorema selanjutnya akan membahas kondisi yang diperoleh dari penentuan bilangan

reproduksi dasar.

Teorema 2.9.2 [22] Jika R0 < 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit adalah satu-

satunya titik ekuilibrium, dan bersifat stabil asimtotik lokal. Dan jika R0 > 1 maka ada

dua titik ekuilibrium: titik ekuilibrium bebas penyakit, dan titik ekuilibrium endemik,

dimana titik ekuilibrium endemik bersifat stabil asimtotik lokal.

Analisis untuk menentukan parameter apa saja yang berpengaruh terhadap bilangan

reprodusi dasar supaya tidak terjadi endemik. Maka langkah – langkahnya menurut

[26] yaitu:

27

1. Mengambil nilai – nilai persamaan yang menggambarkan kasus infeksi baru

dan perubahan dalam kompartemen infeksi dari sistem. Maka sistem ini dapat

disebut subsistem.

2. Lakukan linearisasi pada subsistem terinfeksi di sekitar titik ekuilibrium bebas

penyakit. Sistem linear ini direpresentasikan dengan matriks Jacobian (J).

3. Dekomposisi matriks Jacobi (J) menjadi matriks Transmisi (F) dan matriks

Transisi (V). Matriks Transisi adalah matriks dengan entri-entri yang

menggambarkan munculnya infeksi baru, sedangkan matriks Transisi adalah

matriks dengan entri-entri yang menggambarkan perubahan populasi

terinfeksi.

4. Hitung 𝑅0 dengan 𝑅𝑜 = 𝜌(FV-1). 𝑅𝑜 adalah radius spektral atau nilai eigen

berbesar dari matriks (FV-1)

28

BAB III

Model Matematika Penyebaran Penyakit CoronavirusDisease 2019

(Covid-19) Dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, dan Karantina di

Rumah Sakit

3.1 Alur Penelitian

Berikut akan dijelaskan langkah – langkah alur penelitian :

1. Studi Literature

Pada tahap ini peneliti akan melakukan kajian atau mengumpulkan informasi dari

beberapa sumber referensi mengenai penelitian yang serupa yang pernah

dilakukan sebelumnya seperti dari buku-buku dan jurnal yang berkaitan dengan

penyakit Covid-19. Selain itu peneliti akan mengumpulkan informasi dari

kementerian kesehatan RI berkaitan dengan penyebaran penyakit Covid-19.

2. Membuat Diagram Kompartemen dan Model

Di tahap ini, peneliti membuat diagram kompartemen model matematika

penyebaran penyakit Covid – 19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina

di rumah sakit, kemudian membentuk persamaan diferensial dari model tersebut

3. Mencari Bilangan Reproduksi Dasar dan Titik Ekuilibrium

Kemudian pada tahap ini peneliti akan mencari bilangan reproduksi dasar dan

titik ekuilibrium dari sistem.

4. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

Pada tahap ini, peneliti akan memeriksa kestabilan titik ekuilibrium bebas

penyakit yang telah didapat dari langkah sebelumnya.

29

5. Memasukkan Nilai Parameter

Untuk melakukan simulasi numerik dimana kurva kestabilan titik ekuilibrium

dapat ditinjau, nilai – nilai parameter yang digunakan didapatkan dari berbagai

sumber referensi, namun ada beberapa nilai parameter yang besarnya

diasumsikan oleh peneliti.

6. Simulasi Numerik, efektivitas penggunaan vaksin, dan analisis sensitivitas

Simulasi numerik dilakukan untuk membuktikan teorema eksitensi titik

ekuilibrium dan kestabilannya. Nilai – nilai parameter yang sudah didapatkan

disubtitusi ke dalam simulasi untuk memeriksa kestabilan titik ekuilibrium dan

efektivitas penggunaan vaksin. Analisis sensitivitas digunakan untuk melihat

nilai parameter mana saja yang berpengaruh secara signifikan terhadap bilangan

reproduksi dasar.

7. Kesimpulan

Selanjutnya akan didapatkan kesimpulan dari penelitian ini berdasarkan nilai

reproduksi dasar yang telah didapatkan.

30

3. 1 Diagram Alur Penelitian

Start

Membangun Asumsi dan

Membuat Model

Input Nilai

Parameter

Mencari Bilangan Reproduksi

Dasar dan Titik Ekuilibrium

Endemik

Mencari Titik Ekuilibrium

Bebas Penyakit

Analisis Kestabilan Titik

Ekuilibrium Bebas Penyakit

Simulasi Numerik, efektivitas penggunaan

vaksin, dan analisis sensitivitas

Kesimpulan

End

31

3.2 Asumsi Model

Model yang digunakan dalam penyebaran penyakit Covid-19 adalah model

SVEIQR (Susceptible Vaccine Exposed Infected Quarantine Recovered) yang

dikembangkan dengan membagi populasi individu kedalam tujuh kompartemen:

Susceptible (S) yaitu individu yang rentan terkena penyakit, Vaccine (V) yaitu individu

yang sudah melakukan vaksinasi Covid-19 sebanyak dua kali. Exposed (E) yaitu

individu yang tertular penyakit tetapi belum menunjukan tanda-tanda mengidap

penyakit dan belum dapat menularkan penyakit (individu laten), Infected (I) yaitu

individu yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit, Quarantine (𝑄) yaitu

individu yang melakukan karantina, dimana di kompartemen ini dibagi menjadi dua

subpopulasi yaitu individu yang melakukan karantina di rumah atau Isolasi mandiri

(𝑄1) dan individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑄2), dan Removed (R)

yaitu individu yang telah sembuh dari penyakit, individu yang kebal setelah

divaksinasi, dan individu yang sembuh setelah diisolasi. Asumsi pembentukan model

matematika dari penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi mandiri dan

karantina di rumah sakit dapat disusun sebagai berikut:

1. Penyakit dapat menyebabkan kematian.

2. Populasi diasumsikan Homogen, artinya setiap individu mempunyai peluang

yang sama untuk melakukan kontak dengan individu lainnya.

3. Populasi diasumsikan tertutup, artinya tidak ada individu yang masuk ke dalam

populasi atau keluar dari populasi (tidak ada migrasi) total populasi

diasumsikan konstan.

4. Vaksinasi dilakukan sebanyak dua kali.

5. Individu yang telah melakukan vaksinasi sebanyak dua kali dapat terinfeksi

Covid-19 karena berinteraksi dengan individu terinfeksi, namun gejalanya

tidak seberat individu yang tidak melakukan vaksinasi, akibatnya ada

perpindahan dari kompartemen V ke kompartemen E.

32

6. Individu yang telah melakukan vaksinasi dan tidak terinteraksi dengan individu

terinfeksi dapat kebal terhadap penyakit, akibatnya ada perpindahan dari

kompartemen V ke kompartemen R.

7. Laju kelahiran dan kematian alami setiap satuan waktu diasumsikan sama.

8. Infeksi virus terjadi ketika individu rentan berinteraksi dengan individu yang

terinfeksi baik secara langsung maupun tidak langsung.

9. Individu yang terinfeksi akan melakukan isolasi mandiri atau karantina di

rumah sakit.

10. Individu yang terinfeksi, individu yang melakukan isolasi mandiri dan individu

yang melakukan karantina di rumah sakit dapat meninggal akibat penyakit.

11. Individu yang terinfeksi, individu yang melakukan isolasi mandiri atau individu

yang melakukan karantina di rumah sakit dapat sembuh dari penyakit.

12. Individu yang telah sembuh mempunyai kekebalan terhadap penyakit atau tidak

kembali menjadi individu laten dengan syarat mematuhi protokol kesehatan.

3.3 Variabel dan Parameter

Variabel dan parameter yang digunakan dalam model penyebaran penyakit

Covid-19 dengan dengan vaksinasi dan karantina disajikan dalam tabel 3.1.

Tabel 3. 1 Daftar variabel model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi, isolasi

mandiri, dan karantina di rumah sakit

No. Variabel Definisi Syarat Satuan

1. 𝑁(𝑡) Jumlah Populasi individu

pada waktu ke-t. 𝑁(𝑡) ≥ 0 Individu

2. 𝑆(𝑡) Jumlah Individu rentan

terinfeksi pada waktu ke-t. 𝑆(𝑡) ≥ 0 Individu

3. 𝑉(𝑡) Jumlah Individu yang telah

melakukan vaksinasi 𝑉(𝑡) ≥ 0 Individu

33

sebanyak dua kali pada

waktu ke-t.

4. 𝐸(𝑡) Jumlah individu laten pada

waktu ke-t. 𝐸(𝑡) ≥ 0 Individu

5. 𝐼(𝑡) Jumlah individu terinfeksi

pada waktu ke-t. 𝐼(𝑡) ≥ 0 Individu

6. 𝑄1(𝑡)

Jumlah individu yang

melakukan karantina di

rumah atau isolasi mandiri

pada waktu ke-t.

𝑄1(𝑡) ≥ 0 Individu

7. 𝑄2(𝑡)



rumah sakit pada waktu ke-

t.

𝑄2(𝑡) ≥ 0 Individu

8. 𝑅(𝑡)


removed (sembuh/kebal

setelah di

vaksinasi/diisolasi sampai

sembuh) pada waktu ke-t.

𝑅(𝑡) ≥ 0 Individu

Tabel 3. 2 Daftar parameter model penyebaran Covid-19 dengan vaksinasi,

isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit

No. Parameter Definisi Syarat Satuan

1. 𝜇 Laju kelahiran dan kematian

alami. 0 ≤ 𝜇 ≤ 1

1

𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

2. 𝜌 Laju Perpindahan dari

individu rentan menjadi 0 ≤ 𝜌 ≤ 1

1

ℎ𝑎𝑟𝑖

34

individu yang telah


3. 𝑘

Proporsi dari individu rentan

menjadi individu yang telah


0 ≤ 𝑘 ≤ 1

4. 𝜔

Laju Perpindahan dari

individu yang telah

melakukan vaksinasi

menjadi individu laten.

0 ≤ 𝜔 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

5. 𝛽


individu rentan menjadi

individu laten setelah

terinfeksi dengan individu

terinfeksi.

0 ≤ 𝛽 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

6. 𝛼


individu terinfeksi menjadi

individu yang melakukan

karantina di rumah sakit.

0 ≤ 𝛼 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

7. 𝑚

Proporsi dari individu

terinfeksi menjadi individu

yang melakukan karantina di

rumah sakit.

0 ≤ 𝑚 ≤ 1

8. 𝜃


individu terinfeksi menjadi


isolasi mandiri.

0 ≤ 𝜃 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

9. 𝑛 Proporsi dari individu

terinfeksi menjadi individu 0 ≤ 𝑛 ≤ 1

35

yang melakukan isolasi

mandiri.

10. 𝜎


individu laten menjadi

individu terinfeksi.

0 ≤ 𝜎 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

11. 𝛿1

Laju Kematian yang

diakibatkan oleh penyakit

dari individu yang


0 ≤ 𝛿1 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

12. 𝛿2

Laju Kematian yang


dari individu yang


rumah sakit.

0 ≤ 𝛿2 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

13. 𝛿3

Laju Kematian yang


dari individu terinfeksi.

0 ≤ 𝛿3 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

14. 𝛾1

Laju perpindahan dari


isolasi mandiri ke individu

Removed.

0 ≤ 𝛾1 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

15. 𝛾2



karantina di rumah sakit ke

individu Removed.

0 ≤ 𝛾2 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

16. 𝛾3


individu terinfeksi ke

individu Removed.

0 ≤ 𝛾3 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

36

17. 𝜖

Laju perpindahan individu

yang telah melakukan

vaksinasi dan tidak

terinfeksi ke individu

Removed.

0 ≤ 𝜖 ≤ 1 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

3.4 Penyebaran Penyakit Covid-19

Secara skematis proses penyebaran penyakit Covid-19 dengan vaksinasi,

isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit dalam suatu populasi dapat disajikan

dalam diagram transfer pada gambar 3.2

3. 2 Diagram Transfer Model Penyebaran Covid-19 dengan Vaksinasi, Isolasi

Mandiri, dan Karantina di Rumah Sakit

Berdasarkan diagram transfer Gambar 3.1. populasi individu dibagi menjadi

delapan kompartemen, yaitu: kompartemen individu rentan (𝑆), kompartemen individu

37

yang telah di vaksinasi (𝑉), kompartemen individu laten (𝐸), kompartemen individu

terinfeksi (𝐼), kompartemen individu yang melakukan karantina di rumah atau isolasi

mandiri (𝑄1), kompartemen individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑄2),

dan kompartemen individu Removed (𝑅). Setiap individu yang lahir (𝜇) akan masuk

ke dalam kompartemen (𝑆), Individu rentan yang akan melakukan vaksinasi (𝑉)

dengan laju 𝜌 dan proporsi sebesar 𝑘. Individu yang telah di vaksinasi akan terinfeksi

dan menjadi individu laten (𝐸) dengan laju 𝜔. individu rentan berpeluang terinfeksi

oleh virus jika berinteraksi dengan individu terinfeksi dan akan menjadi individu laten

dengan laju 𝛽 dengan proporsi sebesar 1 − 𝑘. Individu laten akan menjadi individu

terinfeksi (𝐼) dengan laju σ. Individu terinfeksi yang akan melakukan isolasi mandiri

(𝑄1) dengan laju 𝜃 dan proporsi sebesar 𝑛, serta yang akan melakukan karantina di

rumah sakit (𝑄2) dengan laju 𝛼 dan proporsi sebesar 𝑚. Individu terinfeksi akan

sembuh dengan laju 𝛾3 dan proporsi kesembuhan individu terinfeksi sebesar 1 − 𝑚 −

𝑛. Individu yang melakukan isolasi mandiri akan sembuh dengan laju 𝛾1. Individu

yang melakukan karantina di rumah sakit akan sembuh dengan laju 𝛾2. Individu

terinfeksi yang tidak sembuh akan meninggal karena penyakit dengan laju 𝛿3. Individu

yang melakukan isolasi mandiri yang tidak sembuh akan meninggal karena penyakit

dengan laju 𝛿1. Individu yang melakukan karantina di rumah yang tidak sembuh akan

meninggal karena penyakit dengan laju 𝛿2. Individu rentan yang divaksinasi tidak

terkena virus akan langsung masuk ke kompartemen (𝑅) dengan laju 𝜖. Di setiap

kompartemen akan ada kematian alami yang lajunya disamakan dengan kelahiran

alami dengan laju 𝜇.

Perubahan jumlah individu di dalam populasi di setiap kompartemen

dipengaruhi oleh faktor-faktor sebagai berikut:

1. Perubahan jumlah individu rentan (𝑆).

1) Penambahan jumlah individu rentan dipengaruhi oleh Laju kelahiran alami

manusia sebesar 𝜇.

2) Pengurangan jumlah individu rentan dipengaruhi oleh

38

Laju kematian manusia alami sebesar 𝜇.

Dilakukan vaksinasi sebesar 𝜌 dengan proporsi sebesar 𝑘.

Rata – rata Kontak dengan individu terinfeksi yang menjadi individu

laten dengan laju 𝛽 dan proporsi sebesar 1 − 𝑘.

Dengan demikian diperoleh laju individu rentan terhadap waktu yaitu:

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (𝜇 + 𝑘𝜌 +

(1−𝑘)𝛽𝐼

𝑁) 𝑆 (3.1)

2. Perubahan jumlah individu yang melakukan vaksinasi (𝑉).

1) Penambahan jumlah individu yang melakukan vaksinasi dipengaruhi oleh

tingkat yang individu rentan dengan laju sebesar 𝜌 dan proporsi sebesar 𝑘.

2) Pengurangan jumlah individu yang telah melakukan vaksinasi dipengaruhi

oleh



laten dengan laju 𝜔.

Individu yang telah melakukan vaksinasi dan tidak terinfeksi masuk ke

individu Removed dengan laju 𝜖.

Dengan demikian diperoleh laju individu laten terhadap waktu yaitu:

𝑑𝑉

𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑆 − (𝜇 +

𝜔𝐼

𝑁+ 𝜖)𝑉 (3.2)

3. Perubahan jumlah individu laten (𝐸).

1) Penambahan jumlah individu laten dipengaruhi oleh

Rata – rata Kontak individu rentan dengan individu terinfeksi yang

menjadi individu laten dengan laju perpindahan sebesar 𝛽 dan proporsi

sebesar 1 − 𝑘.


laten dengan laju 𝜔.

39

2) Pengurangan jumlah individu laten dipengaruhi oleh


Individu laten yang menjadi individu terinfeksi dengan laju

perpindahan sebesar 𝜎.

Dengan demikian diperoleh laju individu laten terhadap waktu yaitu:

𝑑𝐸

𝑑𝑡 =

(1−𝑘)𝛽𝑆𝐼

𝑁+

𝜔𝐼𝑉

𝑁− (𝜇 + 𝜎)𝐸 (3.3)

4. Perubahan jumlah individu terinfeksi (𝐼).

1) Penambahan jumlah individu terinfeksi dipengaruhi oleh kontak individu laten

dengan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝜎.

2) Pengurangan jumlah individu terinfeksi dipengaruhi oleh


Individu terinfeksi yang melakukan isolasi mandiri dengan laju

perpindahan 𝜃 dan proporsi sebesar 𝑛.

Individu terinfeksi yang melakukan karantina di rumah sakit dengan

laju perpindahan 𝛼 dan proporsi sebesar 𝑚.

Laju kematian karena penyakit individu terinfeksi sebesar 𝛿3.

Individu terinfeksi yang menjadi individu Removed dengan laju sebesar

𝛾3 dengan proporsi sebesar 1 − 𝑚 − 𝑛.

Dengan demikian diperoleh laju individu terinfeksi terhadap waktu yaitu:

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = σ𝐸 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + 𝛿3 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝐼 (3.4)

5. Perubahan jumlah individu yang melakukan isolasi mandiri (𝑄1).

1) Penambahan jumlah individu yang melakukan isolasi mandiri dipengaruhi oleh

perpindahan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝜃 dan proporsi sebesar 𝑛.

40

2) Pengurangan jumlah individu yang melakukan isolasi mandiri dipengaruhi oleh

Laju tingkat kematian alami sebesar 𝜇.

Laju kematian karena penyakit individu yang melakukan isolasi mandiri

sebesar 𝛿1.

Individu yang melakukan isolasi mandiri menjadi individu Removed

dengan laju sebesar 𝛾1.

Dengan demikian diperoleh laju individu yang melakukan isolasi mandiri terhadap

waktu yaitu:

𝑑𝑄1

𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝐼 − (𝜇 + 𝛿1 + 𝛾1)𝑄1 (3.5)

6. Perubahan jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑄2).

1) Penambahan jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit

dipengaruhi oleh perpindahan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝛼 dan

proporsi sebesar 𝑚.

2) Pengurangan jumlah individu yang melakukan karantina di rumah sakit

dipengaruhi oleh


Laju kematian karena penyakit individu yang melakukan karantina di

rumah sakit sebesar 𝛿2.

Individu yang melakukan karantina di rumah sakit yang menjadi

individu Removed dengan laju sebesar 𝛾2.

Dengan demikian diperoleh laju individu yang melakukan karantina di rumah sakit

terhadap waktu yaitu:

𝑑𝑄2

𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿2 + 𝛾2)𝑄2 (3.6)

7. Perubahan jumlah individu sembuh (𝑅).

1) Penambahan jumlah individu sembuh dipengaruhi oleh

41

Perpindahan individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝛾3 dengan proporsi

sebesar 1 − 𝑚 − 𝑛.

Individu yang melakukan isolasi mandiri dengan laju sebesar 𝛾1.

Individu yang melakukan karantina di rumah sakit dengan laju sebesar

𝛾2.

Individu rentan yang telah melakukan vaksinasi yang tidak tertular

individu terinfeksi dengan laju sebesar 𝜖.

2) Pengurangan jumlah individu Removed dipengaruhi oleh tingkat kematian

manusia alami sebesar 𝜇.

Dengan demikian diperoleh laju individu sembuh terhadap waktu yaitu:

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝛾1𝑄1 + 𝛾2𝑄2 + 𝛾3𝐼 + 𝜖𝑉 − 𝜇𝑅 (3.7)

Berdasarkan (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), dan (3.7) diperoleh model

penyebaran penyakit Covid-19 dengan melakukan vaksinasi, isolasi mandiri dan

karantina di rumah sakit adalah sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (𝜇 + 𝑘𝜌 +

(1−𝑘)𝛽𝐼

𝑁) 𝑆

𝑑𝑉


𝜔𝐼

𝑁+ 𝜖)𝑉

𝑑𝐸

𝑑𝑡 =


𝑁+

𝜔𝑉𝐼

𝑁− (𝜇 + 𝜎)𝐸

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = σ𝐸 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + 𝛿3 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝐼 (3.8)

𝑑𝑄1

𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝐼 − (𝜇 + 𝛿1 + 𝛾1)𝑄1

𝑑𝑄2

𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿2 + 𝛾2)𝑄2

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝛾1𝑄1 + 𝛾2𝑄2 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3𝐼 + 𝜖𝑉 − 𝜇𝑅

42

Untuk menganalisis nilai titik ekuilibrium dan nilai reproduksi dasar laju kematian

akibat penyakit diabaikan dengan mengasumsikan laju kematian akibat penyakit 𝛿1 =

𝛿2 = 𝛿3 = 0 maka diperoleh persamaan berikut

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (𝜇 + 𝑘𝜌 +

(1−𝑘)𝛽𝐼

𝑁) 𝑆

𝑑𝑉


𝜔𝐼

𝑁+ 𝜖)𝑉

𝑑𝐸

𝑑𝑡 =


𝑁+

𝜔𝑉𝐼

𝑁− (𝜇 + 𝜎)𝐸

𝑑𝐼

𝑑𝑡 = σ𝐸 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝐼 (3.9)

𝑑𝑄1

𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝐼 − (𝜇 + 𝛾1)𝑄1

𝑑𝑄2

𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛾2)𝑄2

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝛾1𝑄1 + 𝛾2𝑄2 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3𝐼 + 𝜖𝑉 − 𝜇𝑅

Maka diperoleh nilai 𝑁 = 𝑆 + 𝑉 + 𝐸 + 𝐼 + 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑅 maka 𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 0,

sehingga 𝑁(𝑡) = 𝑎 untuk a bilangan bulat positif, karena 𝑁(𝑡) konstan. Sistem (3.9)

dapat dibentuk dalam model non-dimensional, untuk menyederhanakan sistem (3.9)

proporsi banyaknya individu masing-masing kompartemen dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝑠 =𝑑𝑆

𝑑𝑡,𝑣 =

𝑑𝑉

𝑑𝑡, 𝑒 =

𝑑𝐸

𝑑𝑡, 𝑖 =

𝑑𝐼

𝑑𝑡,𝑞1 =

𝑑𝑄1

𝑑𝑡,𝑞2 =

𝑑𝑄2

𝑑𝑡, 𝑟 =

𝑑𝑅

𝑑𝑡 (3.10)

Dari persamaan (3.10) diperoleh:

𝑠 + 𝑣 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑟 =𝑑𝑆

𝑑𝑡+

𝑑𝑉

𝑑𝑡+

𝑑𝐸

𝑑𝑡+

𝑑𝐼

𝑑𝑡+

𝑑𝑄1

𝑑𝑡+

𝑑𝑄2

𝑑𝑡+

𝑑𝑅

𝑑𝑡= 1

Dari persamaan (3.10) maka sistem persamaan (3.9) dapat dibentuk dalam model non-

dimensional menjadi:

𝑑𝑠

𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠

43

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣

𝑑𝑒

𝑑𝑡 = ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒

𝑑𝑖

𝑑𝑡 = σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖 (3.11)

𝑑𝑞1

𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1

𝑑𝑞2

𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2

𝑑𝑟

𝑑𝑡 = 𝛾1𝑞1 + 𝛾2𝑞2 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3𝑖 + 𝜖𝑣 − 𝜇𝑟

Selanjutnya, pada sistem persamaan (3.11) karena variabel 𝑟 tidak muncul pada

persamaan lain. hal ini menunjukan bahwa jumlah individu pada kompartemen 𝑟 tidak

mempengaruhi laju perubahan jumlah individu pada kompartemen yang lain, maka

persamaan 𝑟 untuk sementara dapat diabaikan dari sistem. Sehingga sistem (3.11) dapat

ditulis:

𝑑𝑠

𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣

𝑑𝑒

𝑑𝑡 = ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 (3.12)

𝑑𝑖

𝑑𝑡 = σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖

𝑑𝑞1

𝑑𝑡 = 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1

𝑑𝑞2

𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2

Sistem (3.12) merupakan sistem persamaan differensial nonlinear yang lebih

sederhana dari sistem (3.9) yang mempresentasikan model penyebaran penyakit Covid-

19 dengan melakukan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit.

44

3.5 Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar

Model penyebaran penyakit Covid-19 dengan melakukan vaksinasi, isolasi

mandiri, dan karantina di rumah sakit berupa Sistem (3.12). Sistem (3.12) tersebut

memiliki persamaan dua titik ekuilibrium yaitu, titik ekuilibrium bebas penyakit dan

titik ekuilibrium endemik. Berdasarkan Definisi 2.5.1 tentang titik ekuilibrium , maka

titik ekuilibrium untuk model penyebaran penyakit Covid-19 dengan melakukan

vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah sakit pada Sistem (3.12) diperoleh

jika:

𝑠 = 𝑒 = 𝑣 = 𝑖 = 𝑞1 = 𝑞2 = 0

𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠 = 0 (3.13)

𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣 = 0 (3.14)

((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0 (3.15)

σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖 = 0 (3.16)

𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1 = 0 (3.17)

𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0 (3.18)

3.5.1 Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

Titik ekuilibrium bebas penyakit didapat ketika tidak ada penyakit dalam

populasi. Agar memenuhi titik ekuilibrium bebas penyakit, maka tidak ada satupun

individu yang terinfeksi sehingga 𝑖 = 0. Subtitusikan 𝑖 = 0 ke persamaan (3.13).

⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠 = 0

⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽(0))𝑠 = 0

⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌)𝑠 = 0

⇔ 𝑠 = 𝜇

𝜇+𝑘𝜌 (3.19)

45

Selanjutnya subtitusi persamaan (3.19) ke persamaan (3.14), diperoleh

⇔ 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣 = 0

⇔ 𝑘𝜌 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) − (𝜇 + 𝜔(0) + 𝜖)𝑣 = 0

⇔ 𝑣 =𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖) (3.20)

Selanjutnya subtitusi 𝑖 = 0 dan persamaan (3.20) ke persamaan (3.15), diperoleh

⇔ ((1 − 𝑘)𝛽 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0

⇔ ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)(0) − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0

⇔ 𝑒 = 0 (3.21)

Selanjutnya subtitusi 𝑖 = 0 ke persamaan (3.17), diperoleh

⇔ 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1 = 0

⇔ 𝑛𝜃(0) − (𝜇 + 𝛾1)𝑞1 = 0

⇔ 𝑞1 = 0 (3.22)

Selanjutnya subtitusi 𝑖 = 0 ke persamaan (3.18), diperoleh

⇔ 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0

⇔ 𝑚𝛼(0) − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0

⇔ 𝑞2 = 0 (3.23)

Jadi diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit sistem (3.12) yaitu:

𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇

𝜇+𝑘𝜌,

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0) (3.24)

3.5.2 Bilangan Reproduksi Dasar (𝑹𝟎)

46

Selanjutnya, menentukan bilangan reproduksi dasar (𝑅0) dari sistem (3.12)

dengan mencari nilai eigen maksimum yang diperoleh dari Matriks Generasi

Selanjutnya. Matriks Generasi Selanjutnya dapat diperoleh dari model persamaan

subsistem terinfeksi. Langkah-langkah penentuan bilangan reproduksi dasar sistem

(3.12), yaitu:

1. Mengambil persamaan-persamaan yang menggambarkan kasus terinfeksi baru

dan perubahan dalam kompartemen infeksi dari sistem. Selanjutnya sistem ini

disebut subsistem terinfeksi. Pada sistem (3.12), subsistem yang terinfeksi

adalah 𝑒, 𝑖, 𝑞1, dan 𝑞2.

2. Melakukan pelinearan terhadap subsistem terinfeksi pada titik ekuilibrium

bebas penyakit. Sistem linear ini direpresentasikan dengan Matriks Jacobi (J)

sebagai berikut:

𝐽(𝐸) =

[

𝑑𝑒

𝑑𝑒

𝑑𝑒

𝑑𝑖

𝑑𝑒

𝑑𝑞1

𝑑𝑒

𝑑𝑞2

𝑑𝑖

𝑑𝑒

𝑑𝑖

𝑑𝑖

𝑑𝑖

𝑑𝑞1

𝑑𝑖

𝑑𝑞2

𝑑𝑞1

𝑑𝑒

𝑑𝑞1

𝑑𝑖

𝑑𝑞1

𝑑𝑞1

𝑑𝑞1

𝑑𝑞2

𝑑𝑞2

𝑑𝑒

𝑑𝑞2

𝑑𝑖

𝑑𝑞2

𝑑𝑞1

𝑑𝑞2

𝑑𝑞2]

=

[ −(𝜇 + 𝜎) (1 − 𝑘)𝛽 + 𝜔𝑣 0 0

𝜎 −(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0

0 𝑛𝜃 −(𝜇 + 𝛾1) 0

0 𝑚𝛼 0 −(𝜇 + 𝛾2)]

𝐽(𝑠,𝑒,𝑖,𝑞1,𝑞2) =

[ −(𝜇 + 𝜎) (1 − 𝑘)𝛽 (

𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) 0 0

𝜎 −(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0

0 𝑛𝜃 −(𝜇 + 𝛾1) 0

0 𝑚𝛼 0 −(𝜇 + 𝛾2)]

47

[ −(𝜇 + 𝜎)

(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)0 0

𝜎 −(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0

0 𝑛𝜃 −(𝜇 + 𝛾1) 0

0 𝑚𝛼 0 −(𝜇 + 𝛾2)]

(3.26)

3. Dekomposisi matriks Jacobi (J) menjadi 𝐽 = 𝐹 − 𝑉, dengan 𝐹 adalah matriks

Transmisi dan 𝑉 adalah matriks Transisi.

𝐹 =

[ 0


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]

(3.27)

𝑉 =

[ (𝜇 + 𝜎) 0 0 0

−𝜎 (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) 0 0

0 −𝑛𝜃 (𝜇 + 𝛾1) 0

0 −𝑚𝛼 0 (𝜇 + 𝛾2)]

𝑉 = [

𝑢 0 0 0−𝜎 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ

] (3.28)

Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑡 = (𝜇 + 𝛾1) dan

ℎ = (𝜇 + 𝛾2)

Hitung 𝑉−1

= [

𝑢 0 0 0−𝜎 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ

|

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]

=

[ 1 0 0 0−𝜎 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ

||

1

𝑢0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1]

𝑅2 + 𝜎𝑅1

𝑅1

1

𝑢

48

=

[ 1 0 0 00 𝑔 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ

||

1

𝑢0 0 0

𝜎

𝑢1 0 0

0 0 1 00 0 0 1]

=

[ 1 0 0 00 1 0 00 −𝑛𝜃 𝑡 00 −𝑚𝛼 0 ℎ

||

1

𝑢0 0 0

𝜎

𝑢𝑔

1

𝑔0 0

0 0 1 00 0 0 1]

=

[ 1 0 0 00 1 0 00 0 𝑡 00 0 0 ℎ|

|

1

𝑢0 0 0

𝜎

𝑢𝑔

1

𝑔0 0

𝑛𝜃𝜎

𝑚𝑔

𝑛𝜃

𝑔1 0

𝑚𝛼𝜎

𝑢𝑔

𝑚𝛼

𝑔0 1]

=

[ 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1|

|

1

𝑢0 0 0

𝜎

𝑢𝑔

1

𝑔0 0

𝑛𝜃𝜎

𝑢𝑔𝑡

𝑛𝜃

𝑔𝑡

1

𝑡0

𝑚𝛼𝜎

𝑢𝑔ℎ

𝑚𝛼

𝑔ℎ0

1

ℎ]

𝑉−1 =

[

1

𝑢0 0 0

𝜎

𝑢𝑔

1

𝑔0 0

𝑛𝜃𝜎

𝑢𝑔𝑡

𝑛𝜃

𝑔𝑡

1

𝑡0

𝑚𝛼𝜎

𝑢𝑔ℎ

𝑚𝛼

𝑔ℎ0

1

ℎ]

(3.29)

4. Hitung 𝑅0 dengan 𝑅0 = 𝜌(𝐹𝑉−1)

𝐹𝑉−1 =

[ 0


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]

[

1

𝑢0 0 0

𝜎

𝑢𝑔

1

𝑔0 0

𝑛𝜃𝜎

𝑢𝑔𝑡

𝑛𝜃

𝑔𝑡

1

𝑡0

𝑚𝛼𝜎

𝑢𝑔ℎ

𝑚𝛼

𝑔ℎ0

1

ℎ]

𝑅3

1

𝑡

𝑅4

1

ℎ

𝑅4 + 𝑚𝛼𝑅1

𝑅3 + 𝑛𝜃𝑅1

𝑅2

1

𝑔

49

=

[ (1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)𝑢𝑔


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)𝑔0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]

=

[ (1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

𝑥𝑦𝑢𝑔

(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽+𝑘𝜌𝜇𝜔

𝑥𝑦𝑔0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]

(3.30)

Dengan 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑢 = (𝜇 + 𝜎), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌),

𝑦 = (𝜇 + 𝜖)

Nilai eigen matriks (𝐹𝑉−1) diperoleh dari persamaan berikut

det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑉−1) = 0

⇔ ||[

𝜆 0 0 00 𝜆 0 00 0 𝜆 00 0 0 𝜆

] −

[ (1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

𝑥𝑦𝑢𝑔


𝑥𝑦𝑔0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0]

||

⇔ ||

𝜆 −(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

𝑥𝑦𝑢𝑔


𝑥𝑦𝑔0 0

0 𝜆 0 00 0 𝜆 00 0 0 𝜆

|| = 0

⇔ (𝜆 −(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

𝑥𝑦𝑢𝑔) 𝜆3 = 0 (3.31)

Sehingga diperoleh 𝜆1,2,3 = 0 dan 𝜆4 =(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

𝑥𝑦𝑢𝑔

Karena bilangan reproduksi dasar diperoleh dari radius spektral atau nilai terbesar dari

nilai eigen, maka didapatkan:

𝑅0 =(1−𝑘)𝑦𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

𝑥𝑦𝑢𝑔

50

𝑅0 =(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝜇𝛽𝜎+𝜎𝑘𝜌𝜇𝜔

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)

𝑅0 = 𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3) (3.32)

3.5.3 Titik Ekuilibrium Endemik

Titik ekuilibrium endemik adalah titik ekuilibrium saat kelas terinfeksi tidak

nol atau saat penyakit menyebar atau mewabah dalam populasi. Titik ekuilibrium

Endemik artinya di dalam populasi selalu terdapat individu yang terserang penyakit,

sehingga diperoleh 𝐼 pada titik ekuilibrium endemik penyakit 𝐼∗ > 0.

Dari persamaan (3.13) diperoleh

⇔ 𝜇 − (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠 = 0

⇔ 𝜇 = (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)𝑠

⇔ 𝑠 =𝜇

𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖 (3.33)


⇔ 𝑘𝜌𝑠 − (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣 = 0

⇔ 𝑘𝜌 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖) = (𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)𝑣

⇔ 𝑣 =𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖) (3.34)


⇔ ((1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)𝑖 − (𝜇 + 𝜎)𝑒 = 0

51

⇔ ((1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖))) 𝑖 = (𝜇 + 𝜎)𝑒

⇔ 𝑒 = ((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)

(3.35)


⇔ 𝑛𝜃𝑖 − (𝜇 + 𝛾1)𝑞10

⇔ 𝑛𝜃𝑖 = (𝜇 + 𝛾1)𝑞1

⇔ 𝑞1 =𝑛𝜃𝑖

(𝜇+𝛾1) (3.36)


⇔ 𝑚𝛼𝑖 − (𝜇 + 𝛾2)𝑞2 = 0

⇔ 𝑚𝛼𝑖 = (𝜇 + 𝛾2)𝑞2

⇔ 𝑞2 =𝑚𝛼𝑖

(𝜇+𝛾2) (3.37)

Selanjutnya subtitusi (3.35) ke persamaan (3.16) sehingga diperoleh

⇔ σ𝑒 − (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖 = 0

⇔ σ (((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖

(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)) = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖

⇔ 𝜎𝑖((1 − 𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇) = (𝜇 + 𝑘𝜌 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖)(𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖)(𝜇 +

𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝑖

⇔ [(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔]𝑖3 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 +

𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +

(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎]𝑖2 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +

𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 − 𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎]𝑖 = 0

52

⇔ 𝑖{[(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔]𝑖2 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 +

𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +

(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎]𝑖 + [(𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +

𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 − 𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜔 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎]} = 0

(3.38)

Dari bentuk polynomial persamaan (3.38) berderajat dua diatas maka didapatkan

persamaan seperti berikut:

𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔

𝑏 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)𝜔 + (𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 +

𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎

𝑐 = (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − ((1 −

𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎 (3.39)

Dari persamaan (3.39) maka didapatkan 𝑖 dengan:

𝑖1 = 0

𝑖2,3 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Dengan memisalkan 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑢 = (𝜇 + 𝜎), 𝑦 =

(𝜇 + 𝜖), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌) maka diperoleh bentuk polynomial seperti berikut:

𝑎 = 𝑢𝑔(1 − 𝑘)𝛽𝜔

𝑏 = 𝑥𝑢𝑔𝜔 + 𝑦𝑢𝑔(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎

𝑐 = 𝑥𝑦𝑢𝑔 − [(1 − 𝑘)𝛽𝜇𝑦 + 𝜔𝑘𝜌𝜇]𝜎

Sehingga diperoleh nilai i :

𝑖2,3 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

53

Teorema 3.5.3 diasumsikan 𝐸2 = (𝑠∗, 𝑣∗, 𝑒∗, 𝑖∗, 𝑞1∗, 𝑞2

∗) adalah titik ekuilibrium

endemik dari sistem (3.12). Jika 𝑅0 > 1, maka titik ekuilibrium 𝐸2 ada, dengan

𝑠∗ =𝜇

𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗

𝑣∗ =𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖∗)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)

𝑒∗ =((1−𝑘)𝛽𝜇(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)+𝜔𝑘𝜌𝜇)𝑖

(𝜇+𝑘𝜌+(1−𝑘)𝛽𝑖)(𝜇+𝜔𝑖+𝜖)(𝜇+𝜎)

𝑖∗ =−𝑏+√𝑏

2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑞1∗ =

𝑛𝜃𝑖∗

(𝜇+𝛾1)

𝑞2∗ =

𝑚𝛼𝑖∗

(𝜇+𝛾2)

dengan

𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔


𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎


𝑘)𝛽𝜇(𝜇 + 𝜖) + 𝜔𝑘𝜌𝜇)𝜎

Bukti. Titik ekuilibrium Endemik artinya di dalam populasi selalu terdapat individu

yang terserang penyakit, sehingga 𝐼 pada titik ekuilibrium endemik penyakit 𝐼∗ > 0.

Titik ekuilibrium endemik Jika dan hanya jika 𝑅0 > 1

⇔ 𝑅0 > 1

⇔ 𝜇𝜎[(1−𝑘)𝑦𝛽+𝑘𝜌𝜔]

𝑥𝑦𝑢𝑔> 1

54

⇔ 𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)> 1

⇔ 𝜇𝜎[(1 − 𝑘)(𝜇 + 𝜖)𝛽 + 𝑘𝜌𝜔] > (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +

(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)

⇔ (𝜇 + 𝑘𝜌)(𝜇 + 𝜖)(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) − 𝜇𝜎[(1 −

𝑘)(𝜇 + 𝜖)𝛽 + 𝑘𝜌𝜔] < 0 (3.40)

Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1 maka 𝑅0 > 1 jika dan hanya jika nilai 𝑐 < 0.

Berdasarkan [27], jika 𝑅0 > 1 maka 𝑐 < 0 dengan 𝑎 > 0. Berdasarkan persamaan

(3.39) jelas terlihat bahwa 𝑎 > 0 dan pada persamaan (3.40) jelas 𝑐 < 0, maka 𝑖

positif ketika

𝑖 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 (3.41)

Dengan

𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔


𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎



Berdasarkan persamaan (3.33), (3.34), (3.35), (3.41), dan (3.36), (3.37), berturut-turut

Sehingga diperoleh nilai 𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2 Misalkan 𝐸2 = (𝑠∗, 𝑣∗, 𝑒∗, 𝑖∗, 𝑞1∗, 𝑞2

∗) adalah

titik ekuilibrium endemik dari sistem (3.12). Jika 𝑅0 > 1, maka titik ekuilibrium 𝐸2

ada.

𝑠∗ =𝜇




55



𝑖∗ =−𝑏+√𝑏

2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑞1∗ =

𝑛𝜃𝑖∗

(𝜇+𝛾1)

𝑞2∗ =

𝑚𝛼𝑖∗

(𝜇+𝛾2)

dengan

𝑎 = (𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽𝜔


𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)(1 − 𝑘)𝛽 − (1 − 𝑘)𝛽𝜇𝜎



Sehingga terbukti Teorema 3.5.3 benar. ∎

3.6 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

Sistem (3.12) merupakan sistem nonlinear. Analisis kestabilan ditentukan

berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian yang diperoleh melalui metode linearisasi

sistem di sekitar titik-titik ekuilibrium dari sistem (3.12). Matriks Jacobian sistem

(3.12) hasil linearitas dari model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan

vaksinasi, isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit di sekitar titik ekuilibrium 𝐸1 =

(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇

𝜇+𝑘𝜌,

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0) adalah

56

𝐽(𝐸) =

[ 𝑑𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑣

𝑑𝑠

𝑑𝑒

𝑑𝑠

𝑑𝑖

𝑑𝑠

𝑑𝑞1

𝑑𝑠

𝑑𝑞2

𝑑𝑣

𝑑𝑠

𝑑𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑒

𝑑𝑣

𝑑𝑖

𝑑𝑣

𝑑𝑞1

𝑑𝑣

𝑑𝑞2

𝑑𝑒

𝑑𝑠

𝑑𝑒

𝑑𝑣

𝑑𝑒

𝑑𝑒

𝑑𝑒

𝑑𝑖

𝑑𝑒

𝑑𝑞1

𝑑𝑒

𝑑𝑞2

𝑑𝑖

𝑑𝑠

𝑑𝑖

𝑑𝑣

𝑑𝑖

𝑑𝑒

𝑑𝑖

𝑑𝑖

𝑑𝑖

𝑑𝑞1

𝑑𝑖

𝑑𝑞2

𝑑𝑞1

𝑑𝑠

𝑑𝑞1

𝑑𝑣

𝑑𝑞1

𝑑𝑒

𝑑𝑞1

𝑑𝑖

𝑑𝑞1

𝑑𝑞1

𝑑𝑞1

𝑑𝑞2

𝑑𝑞2

𝑑𝑠

𝑑𝑞2

𝑑𝑣

𝑑𝑞2

𝑑𝑒

𝑑𝑞2

𝑑𝑖

𝑑𝑞2

𝑑𝑞1

𝑑𝑞2

𝑑𝑞2]

(3.42)

Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑡 = (𝜇 + 𝛾1), ℎ =

(𝜇 + 𝛾2), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌).

𝐽(𝐸) =

[ −(𝑥 + (1 − 𝑘)𝛽𝑖) 0 0 −(1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0

𝑘𝜌 −(𝜇 + 𝜔𝑖 + 𝜖) 0 𝜔𝑣 0 0

𝛽𝑖 𝜔𝑖 −𝑢 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣 0 0

0 0 𝜎 −𝑔 0 0

0 0 0 𝑛𝜃 −𝑡 0

0 0 0 𝑚𝛼 0 −ℎ]

(3.43)

Selanjutnya akan dicari kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit sistem

(3.12). subtitusi titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇

𝜇+𝑘𝜌,

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0, 0) ke persamaan (3.43) sehingga diperoleh matriks Jacobi

sebagai berikut:

𝐽(𝐸1) =

[ −𝑥 0 0 −(1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0

𝑘𝜌 −𝑦 0 𝜔𝑣 0 0

0 0 −𝑢 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣 0 0

0 0 𝜎 −𝑔 0 0

0 0 0 𝑛𝜃 −𝑡 0

0 0 0 𝑚𝛼 0 −ℎ]

(3.44)

57

Nilai eigen matriks 𝐽(𝐸1) diperoleh dari persamaan berikut

det(𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸1)) = 0

⇔ |

|

[ 𝜆 0 0 0 0 00 𝜆 0 0 0 00 0 𝜆 0 0 00 0 0 𝜆 0 00 0 0 0 𝜆 00 0 0 0 0 𝜆]

−

[

[ −𝑥 0 0 −(1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0

𝑘𝜌 −𝑦 0 𝜔𝑣 0 0

0 0 −𝑢 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣 0 0

0 0 𝜎 −𝑔 0 0

0 0 0 𝑛𝜃 −𝑡 0

0 0 0 𝑚𝛼 0 −ℎ]

]

|

|= 0

⇔ |

|

𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0

−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣 0 0

0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] 0 0

0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔 0 0

0 0 0 −𝑛𝜃 𝜆 + 𝑡 0

0 0 0 −𝑚𝛼 0 𝜆 + ℎ

|

|= 0

Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑡 = (𝜇 + 𝛾1), ℎ =

(𝜇 + 𝛾2), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 = (𝜇 + 𝑘𝜌).

⇔ |

|

𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 0 0

−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣 0 0

0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] 0 0

0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔 0 0

0 0 0 −𝑛𝜃 𝜆 + 𝑡 0

0 0 0 −𝑚𝛼 0 𝜆 + ℎ

|

|= 0

⇔ (𝜆 + ℎ) ||

𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠 0

−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣 0

0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] 0

0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔 0

0 0 0 −𝑛𝜃 𝜆 + 𝑡

|| = 0

⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡) |

𝜆 + 𝑥 0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠

−𝑘𝜌 𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣

0 0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]

0 0 −𝜎 𝜆 + 𝑔

| = 0

58

⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡) [(𝜆 + 𝑥) |𝜆 + 𝑦 0 𝜔𝑣

0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]

0 −𝜎 𝜆 + 𝑔

| +

𝑘𝜌 |

0 0 (1 − 𝑘)𝛽𝑠

0 𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]

0 −𝜎 𝜆 + 𝑔

|] = 0

⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡) [(𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦) |𝜆 + 𝑢 −[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]

−𝜎 𝜆 + 𝑔| + 0] = 0

penjabaran

⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡)[(𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦){(𝜆 + 𝑢)(𝜆 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]}] = 0

Misalkan 𝑃 = (𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦){(𝜆 + 𝑢)(𝜆 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]} sehingga

diperoleh persamaan karakteristik untuk 𝐽(𝐸1) adalah

⇔ (𝜆 + ℎ)(𝜆 + 𝑡)𝑃 = 0

⇔ (𝜆 + 𝜇 + 𝛾2)(𝜆 + 𝜇 + 𝛾1)𝑃 = 0 (3.45)

Diperoleh 𝜆1 = −(𝜇 + 𝛾1) dan 𝜆2 = −(𝜇 + 𝛾1), karena 𝜇, 𝛾1, dan 𝛾2 bernilai positif

maka bagian real dari kedua nilai eigen tersebut adalah negatif. Dari persamaan (3.45)

dapat dilihat bahwa persamaan karakteristik untuk keempat nilai eigen yang lainnya

sebagai berikut:

𝑃 = (𝜆 + 𝑥)(𝜆 + 𝑦){(𝜆 + 𝑢)(𝜆 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]}

⇔ 𝜆4 + (𝑥 + 𝑦 + 𝑚 + 𝑔)𝜆3 + (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 +

𝜔𝑣])𝜆2 + ((𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] + (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦)𝜆 + 𝑢𝑔𝑥𝑦 −

𝑥𝑦𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] = 0 (3.46)

Diperoleh

𝑎0 = 1

59

𝑎1 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑚 + 𝑔

𝑎2 = 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]

𝑎3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] + (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦

𝑎4 = 𝑢𝑔𝑥𝑦 − 𝑥𝑦𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣].

Dengan 𝑢 = (𝜇 + 𝜎) , 𝑔 = (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3), 𝑦 = (𝜇 + 𝜖), 𝑥 =

(𝜇 + 𝑘𝜌).

Untuk mengetahui tanda bagian real nilai eigen yang lainnya akan digunakan kriteria

Routh-Hurwitz, sehingga diperoleh:

𝑎1

𝑎0= 𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔 (3.47)

𝑎2

𝑎0= 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣] (3.48)

𝑎3

𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]) (3.49)

𝑎4

𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]) (3.50)

Syarat pertama kriteria Routh-Hurwitz adalah 𝑎1

𝑎0> 0 ,

𝑎2

𝑎0> 0,

𝑎3

𝑎0> 0, dan

𝑎4

𝑎0> 0.

Akan ditunjukan 𝑎1

𝑎0> 0, perhatikan :

𝑎1

𝑎0 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔

⇔ (𝜇 + 𝑘𝜌) + (𝜇 + 𝜖) + (𝜇 + 𝜎) + (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3)

⇔ 𝑎1

𝑎0= 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3 + 4𝜇 + 𝜎 + 𝜖 + 𝑘𝜌 (3.51)

Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1 maka jelas 𝑎1

𝑎0> 0.

Selanjutnya akan ditunjukan 𝑎2

𝑎0> 0, perhatikan:

60

𝑎2

𝑎0 = 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]

𝑎2

𝑎0 = 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (

𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]

⇔ 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]

⇔ 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)

⇔ 𝑢𝑔

𝑢𝑔[𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −

𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)]

⇔ 𝑢𝑔 [𝑥𝑦+𝑢𝑔+(𝑥+𝑦)(𝑚+𝑔)

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)]


𝑢𝑔− 𝑅0]


𝑢𝑔+ (1 − 𝑅0)] (3.52)


(𝜇 + 𝑘𝜌).

Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1, berdasarkan persamaan (3.52) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1

maka jelas 𝑎2

𝑎0> 0.


𝑎0> 0.

𝑎3

𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])

𝑎3

𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (

𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])

⇔ (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])

⇔ (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))

61

⇔ 𝑢𝑔

𝑢𝑔[(𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) ]

⇔ 𝑢𝑔 [(𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦) (

𝑢𝑔

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]

⇔ 𝑢𝑔 [(𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑅0)] (3.53)


(𝜇 + 𝑘𝜌).

Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1 berdasarkan persamaan (3.53) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1

maka jelas 𝑎3

𝑎0> 0.


𝑎0> 0.

𝑎4

𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])

𝑎4

𝑎0= 𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (

𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])

⇔ 𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])

⇔ 𝑢𝑔

𝑢𝑔[𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]

⇔ 𝑢𝑔 [𝑥𝑦 (𝑢𝑔

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]

⇔ 𝑢𝑔[𝑥𝑦(1 − 𝑅0)] (3.54)


(𝜇 + 𝑘𝜌).

Diketahui 0 ≤ 𝑚 + 𝑛 ≤ 1, berdasarkan persamaan (3.54) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1

maka jelas 𝑎4

𝑎0> 0.

62

𝑎4

𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]) > 0

Menurut kriteria Routh-Hurwitz semua nilai eigen (3.46) akan bernilai negatif jika

∆1> 0, ∆2> 0, ∆3> 0 dan ∆4> 0, didefinisikan matriks Routh-Hurwitz sebagai

berikut:

𝐻 = [

𝑎1 𝑎0 0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0

𝑎5 𝑎4 𝑎3 𝑎2

𝑎6 𝑎6 𝑎5 𝑎4

]

𝐻4 = [

𝑎1 1 0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 10 𝑎4 𝑎3 𝑎2

0 0 0 𝑎4

]

Dengan:

𝑎1

𝑎0= 𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔

𝑎2

𝑎0= 𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]

𝑎3

𝑎0= (𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])

𝑎4

𝑎0= 𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])


(𝜇 + 𝑘𝜌).

Berdasarkan matriks H diperoleh determinan matriks Routh-Hurwitz sebagai berikut:

∆1= |𝑎1| = (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) = (𝜇 + 𝑘𝜌) + (𝜇 + 𝜖) + (𝜇 + 𝜎) + (𝜇 + 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 +

(1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3) = 𝑚𝛼 + 𝑛𝜃 + (1 − 𝑚 − 𝑛)𝛾3 + 4𝜇 + 𝜎 + 𝜖 + 𝑘𝜌 (3.55)

Berdasarkan persamaan (3.51) jelas diperoleh bahwa 𝑎1 > 0 sehingga ∆1> 0,

selanjutnya akan dibuktikan ∆2> 0

63

∆2= |𝑎1 𝑎0

𝑎3 𝑎2| = 𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0

= (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣)] − ((𝑢 +

𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣])) (3.56)

= (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) +

𝜔 (𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]) − ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (

𝜇

𝜇+𝑘𝜌) +

𝜔 (𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]))

= (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) − ((𝑢 +

𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))

=𝑢𝑔

𝑢𝑔[(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦 + 𝑢𝑔 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) −


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) −

((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))]

= 𝑢𝑔 [(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦+𝑢𝑔+(𝑥+𝑦)(𝑢+𝑔)

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)) − (

(𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+

(𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))]

= 𝑢𝑔 [(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦+(𝑥+𝑦)(𝑢+𝑔)

𝑢𝑔+ (1 − 𝑅0)) − (

(𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 −

𝑅0)]

= 𝑢𝑔 [(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔) (𝑥𝑦+(𝑥+𝑦)(𝑢+𝑔)

𝑢𝑔+ (1 − 𝑅0)) − (

(𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 −

𝑅0)]

64

= 𝑢𝑔 [1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] (3.57)

Berdasarkan persamaan (3.57) jika dan hanya jika 𝑅0 < 1 maka jelas diperoleh 𝑎1𝑎2 −

𝑎3𝑎0 > 0 sehingga ∆2= |𝑎1 𝑎0

𝑎3 𝑎2| = 𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0 > 0. Selanjutnya akan dibuktikan

∆3> 0

∆3= |𝑎1 𝑎0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1

0 𝑎4 𝑎3

| = 𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00) = 𝑎3(∆2) − 𝑎12𝑎4

= ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦)(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]))𝑢𝑔 [1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 +

𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2(𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 +

𝜔𝑣])) (3.58)

= ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) +

𝜔 (𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))])) 𝑢𝑔 [

1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 −

𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]))

= ((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −𝜎𝜇[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))) 𝑢𝑔 [

1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 +

𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))

65

=𝑢𝑔

𝑢𝑔[((𝑢 + 𝑔)𝑥𝑦 + (𝑥 + 𝑦) (𝑢𝑔 −


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))) 𝑢𝑔 [

1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 +

𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − (𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))]

= 𝑢𝑔 ((𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦) (

𝑢𝑔

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))𝑢𝑔 [

1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 +

𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − 𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2 (𝑥𝑦 (𝑢𝑔

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)))

= 𝑢𝑔 ((𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑅0))𝑢𝑔 [

1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) +

(𝑢 + 𝑔)(1 − 𝑅0)] − 𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2(𝑥𝑦(1 − 𝑅0))

= 𝑢𝑔2 ((𝑢+𝑔)𝑥𝑦

𝑢𝑔+ (𝑥 + 𝑦)(1 − 𝑅0)) (

1

𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)(𝑥 + 𝑦)(𝑢 + 𝑔) + (𝑢 +

𝑔)(1 − 𝑅0)) − 𝑢𝑔(𝑥 + 𝑦 + 𝑢 + 𝑔)2(𝑥𝑦(1 − 𝑅0)) (3.59)

Persamaan (3.55) dan (3.57) telah terpenuhi dengan detail perhitungan yang telah

dijabarkan. Dengan demikian analisis kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1

stabil asimtotil lokal jika memenuhi kriteria persamaan (3.57) yang ditunjukkan secara

numerik dengan menggunakan maple 2020.

Selanjutnya akan dibuktikan ∆4> 0

∆4= |

𝑎1 𝑎0 0 0𝑎3 𝑎2 𝑎1 10 𝑎4 𝑎3 𝑎2

0 0 0 𝑎4

| = 𝑎4[𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00)] = 𝑎4(∆3)

66

= (𝑥𝑦(𝑢𝑔 − 𝜎[(1 − 𝑘)𝛽𝑠 + 𝜔𝑣]))(∆3) (3.60)

= 𝑥𝑦 (𝑢𝑔 − 𝜎 [(1 − 𝑘)𝛽 (𝜇

𝜇+𝑘𝜌) + 𝜔 (

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))]) (∆3)

=𝑢𝑔

𝑢𝑔[𝑥𝑦 (𝑢𝑔 −


(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))] (∆3)

= 𝑢𝑔 [𝑥𝑦 (𝑢𝑔

𝑢𝑔−


𝑢𝑔(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖))] (∆3)

= 𝑢𝑔[𝑥𝑦(1 − 𝑅0)](∆3) (3.61)

Berdasarkan persamaan (3.61) yang bergantungan dengan persamaan (3.59) maka

persamaan ∆4= 𝑎4[𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00)] = 𝑎4(∆3) > 0 jika dan

hanya jika 𝑅0 < 1 dan persamaan (3.59) yang ditunjukkan secara numerik dengan

menggunakan maple 2020.

Determinan matriks Routh-Hurwitz ∆1, ∆2, ∆3dan ∆4 bernilai positif jika ∆3

terpenuhi dan 𝑅0 < 1. Dengan demikian persamaan (3.46) mempunyai akar-akar yang

bagian realnya negatif. Sehingga berdasarkan Teorema 2.6.4 dapat disimpulkan bahwa

titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1 merupakan stabil asimtotik lokal.

67

BAB IV

SIMULASI MODEL

Bab ini berisi simulasi numerik dari model matematika penyebaran penyakit

coronavirus disease 2019 (covid-19) dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina

di rumah sakit. Simulasi dilakukan untuk membuktikan Teorema 3.6.1 dan Teorema

3.5.3, serta untuk melihat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik

ekuilibrium endemik. Simulasi menggunakan bantuan Maple 2020 dengan parameter

– parameter yang digunakan diperoleh dari penelitian – penelitian sebelumnya serta

asumsi terkait penyakit Covid – 19.

4.1 Nilai – nilai Parameter

Adapun nilai – nilai parameter yang digunakan dalam penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Diasumsikan total populasi adalah 270.200.000 individu [32].

2. Laju kelahiran dan kematian alami yang diasumsikan sama,dengan tingkat

kelahiran dan kematian alami sebesar [32].

𝜇 = 1.25% = 0.0125

3. Laju penularan Covid-19 adalah 0.2 [8]

𝛽 = 0.2 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

4. Masa inkubasi penyakit Covid-19 adalah 2 – 14 hari [28]. Misalkan masa

inkubasi penyakit Covid-19 diasumsikan 14 hari, maka laju individu laten

menjadi individu terinfeksi sebesar

𝜎 =1

14

1

ℎ𝑎𝑟𝑖

= 0.071428557143

68

5. Laju perpindahan individu rentan yang divaksinasi, Indonesia memprediksi

akan memvaksin sebanyak 181.554.465 jiwa dari total penduduk yang ada

dan diperkirakan selesai dalam waktu 15 bulan [33]. sehingga Laju

perpindahan individu rentan yang divaksinasi sebesar

𝜌 =1

15

1

𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛

=1

455

1

ℎ𝑎𝑟𝑖

= 0.002197802198

6. Proporsi individu rentan yang divaksinasi, penerima tahap kedua vaksi di

Indonesia sudah sebanyak 20.810 jiwa dengan total penduduk 270.200.000

[31] maka proporsi individu rentan yang divaksinasi sebesar

𝑘 =20.810

270.200.000 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

= 0.00007701702443

≈ 0.000077

7. Laju individu yang telah melakukan vaksinasi tetap dapat tertular Covid –

19 karena berinteraksi dengan individu terinfeksi, tubuh manusia yang

sudah divaksinasi sampai tahap kedua mempunyai kekebalan terhadap virus

corona selama 3 bulan [34]. maka lajunya sebesar

𝜔 =1

3

1

𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛

=1

90

1

ℎ𝑎𝑟𝑖

≈ 0.0111111

8. Laju individu yang telah melakukan vaksinasi dan kebal terhadap penyakit,

rata – rata manusia membutuhkan waktu 10 – 14 hari untuk membangun

sejumlah antibodi pelindung [35]. maka lajunya individu yang telah

melakukan vaksinasi dan kebal terhadap penyakit sebesar

𝜖 =1

14

1

ℎ𝑎𝑟𝑖

69

= 0.071428557143

9. Laju perpindahan individu terinfeksi Covid-19 untuk melakukan isolasi

mandiri adalah 4.6 hari [11], maka laju perpindahannya sebesar

𝜃 =1

4.6

1

ℎ𝑎𝑟𝑖

= 0.2173913043

10. Laju perpindahan individu terinfeksi Covid-19 untuk melakukan karantina

di rumah sakit adalah 1.06 hari [29], maka laju perpindahannya sebesar

𝛼 =1

1.063

1

ℎ𝑎𝑟𝑖

≈ 0.94

11. Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan

karantina di rumah sakit diasumsikan lajunya lebih kecil dibandingkan

proporsi individu yang melakukan isolasi mandiri maka besar proporsi

individu yang melakukan karantina di rumah sakit dan individu yang

melakukan isolasi mandiri sebesar

𝑚 = 25% = 0.25

𝑛 = 45% = 0.45

12. Individu terinfeksi Covid-19 menjadi individu Removed dengan laju

sebesar [29]

𝛾3 = 0.27 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

13. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang melakukan isolasi mandiri

menjadi individu Removed dengan laju sebesar [30]

𝛾1 = 0.6 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

14. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang karantina di rumah sakit menjadi

individu Removed dengan laju sebesar [30]

𝛾2 = 0.8 1

ℎ𝑎𝑟𝑖

70

15. Individu terinfeksi Covid-19 dapat meninggal akibat penyakit yang

diasumsikan sebesar 𝛿3 = 01

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8].

16. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang melakukan isolasi mandiri dapat

meninggal akibat penyakit yang diasumsikan sebesar 𝛿1 = 0 1


17. Individu terinfeksi Covid-19 yang sedang karantina di rumah sakit dapat

meninggal akibat penyakit yang diasumsikan sebesar 𝛿2 = 0 1


Dengan demikian diperoleh nilai – nilai parameter seperti berikut

Tabel 4. 1 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium bebas penyakit sistem (3.12)

Parameter Nilai Satuan Referensi

𝜇 0.0125 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [32]

𝛽 0.2 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝜎 0.071428571 1


𝜌 0.002197802198 1


𝑘 0.000077 1


𝜔 0.0111111 1


𝜖 0.071428557143 1


𝜃 0.2173913043 1


𝛼 0.94 1


𝑚 0.2 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖

𝑛 0.45 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖

71

𝛾1 08 1


𝛾2 0.6 1


𝛾3 0.27 1


𝛿1 0 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝛿2 0 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝛿3 0 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝑁 270.200.000 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 [32]

4.2 Perhitungan Numerik dan Simulasi

Berdasarkan nilai – nilai parameter diatas maka diperoleh bilangan reproduksi

dasar dari sistem (3.12) adalah 𝑅0 = 0.3992187663 < 1. Karena 𝑅0 < 1 maka

penyakit tidak akan menyebar, dengan kata lain untuk menjaga waktu tertentu populasi

akan bebas penyakit. Titik ekuilibrium bebas penyakit adalah 𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) =

(0.9999864618, 0.000002016339313, 0, 0, 0,0). Serta diperoleh hasil simulasi dari

∆3= 𝑎3(𝑎1𝑎2 − 𝑎3𝑎0) − 𝑎1(𝑎1𝑎4 − 𝑎00) = 𝑎3(∆2) − 𝑎12𝑎4 = 0.00009842838438

sehingga kriteria Routh – Hurwitz terpenuhi. Maka titik ekuilibrium bebas penyakit

akan stabil asimtotik lokal.

Hasil simulasi di titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸1 menggunakan program

Maple 2020 berdasarkan parameter pada tabel 4.1 dan dengan sebarang nilai awal

𝑠(0) = 0.58, 𝑣(0) = 0.06 𝑒(0) = 0.17, 𝑖(0) = 0.15, 𝑞1(0) = 0.01, 𝑞2(0) = 0.02

yang ditampilkan dalam gambar berikut:

72

4. 1 Simulasi sistem (3.12) menuju titik ekuilibrium bebas penyakit

(a) simulasi titik s (b) simulasi titik v

73

(c) simulasi titik e (d) simulasi titik i

(e) simulasi titik 𝒒𝟏 (f) simulasi titik 𝒒𝟐

4. 2 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik i,

(e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium bebas

penyakit

Berdasarkan gambar 4.2 (a) populasi individu rentan naik, hingga hari ke-500

populasi individu rentan mencapai titik 0.9999864618 dan stabil pada titik tersebut.

Pada gambar 4.2 (b) individu yang telah divaksinasi menurun, hingga hari ke-130

74

populasi individu yang telah divaksinasi mencapai titik 0.000002016339313 dan

stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.2 (c) individu laten menurun, hingga hari ke-

100 menuju 0 dan stabil pada titik tersebut. . Pada gambar 4.2 (d) individu terinfeksi

menurun, hingga hari ke-100 menuju 0 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.2

(e) individu yang melakukan isolasi mandiri menurun, hingga hari ke-80 menuju 0 dan

stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.2 (f) individu yang melakukan karantina di

rumah sakit awalnya menurun, hingga pada hari ke-80 menuju 0 dan stabil pada titik

tersebut.

Jumlah populasi untuk menyebaran penyakit Covid-19 dari masing – masing

kompartemen akan stabil pada saat yang bersamaan di titik ekuilibrium bebas penyakit

setelah hari ke-500 dengan:

1. Jumlah populasi rentan

𝑆 = 𝑠 . 𝑁

= (0.9999864618)(270.200.000)

= 270.196.342 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

2. Jumlah populasi yang telah divaksinasi

𝑉 = 𝑣 . 𝑁

= (0.000002016339313)(270.200.000)

= 544.8148824 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

≈ 545 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

Sedangkan untuk proporsi populasi individu sembuh dapat dihitung dengan :

1 = 𝑠 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑑 + 𝑟

𝑟 = 1 − (𝑠 + 𝑣 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞1 + 𝑞2)

𝑟 = 1 − (0.9999864618 + 0.000002016339313 + 0 + 0 + 0 + 0)

𝑟 = 1 − 0.999988478

𝑟 = 0.00001152186069

75

Sehingga jumlah populasi yang sembuh adalah

𝑅 = 𝑟 . 𝑁

= (0.00001152186069 )(270.200.000)

= 3.113,206758 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

≈ 3.113 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

Selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk 𝑅0 > 1. Jika nilai

parameter 𝛽 diperbesar dari nilai sebelumnya menjadi 𝛽 = 0.85 dan nilai parameter 𝜎

diperbesar dari nilai sebelumnya menjadi 𝜎 = 0.5, Dengan demikian diperoleh nilai –

nilai parameter seperti berikut

Tabel 4. 2 Nilai – nilai Parameter titik ekuilibrium endemik sistem (3.12)

Parameter Nilai Satuan Referensi

𝜇 0.0125 1


𝛽 0.85 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝜎 0.2 1


𝜌 0.002197802198 1


K 0.000077 1


𝜔 0.0111111 1


𝜖 0.071428557143 1


𝜃 0.2173913043 1


𝛼 0.94 1


𝑚 0.2 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖

76

𝑛 0.45 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖

𝛾1 08 1


𝛾2 0.6 1


𝛾3 0.27 1


𝛿1 0 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝛿2 0 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝛿3 0 1

ℎ𝑎𝑟𝑖 [8]

𝑁 270.200.000 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 [32]

Berdasarkan nilai – nilai parameter diatas maka diperoleh bilangan reproduksi

dasar dari sistem (3.12) adalah 𝑅0 = 1.944974188 > 1. Karena 𝑅0 > 1 maka

berdasarkan Teorema 3.5.3 penyakit akan menyebar atau dengan kata lain akan terjadi

endemik. Perhitungan titik ekuilibriumnya didapatkan sebagai berikut:

1. Titik ekuilibrium individu terinfeksi (𝑖∗)

𝑖∗ =−𝑏+√𝑏

2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑖∗ =−0.01030412713 + 0.01039051688

0.004126755584

𝑖∗ = 0.02093406024

2. Titik ekuilibrium individu rentan (𝑠∗)

𝑠∗ =𝜇


𝑠∗ = 0.4126399840

77

3. Titik ekuilibrium individu terinfeksi (𝑣∗)



𝑣∗ = 0.0000008297339516

4. Titik ekuilibrium individu laten (𝑒∗)



𝑒∗ = 0.01432571817

5. Titik ekuilibrium individu yang melakukan isolasi mandiri (𝑞1∗)

𝑞1∗ =

𝑛𝜃𝑖∗

(𝜇+𝛾1)

𝑞1∗ = 0.003343505628

6. Titik ekuilibrium individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝑞2∗)

𝑞2∗ =

𝑚𝛼𝑖∗

(𝜇+𝛾2)

𝑞2∗ = 0.006054774346

Maka diperoleh nilai titik ekuilibrium endemik sistem persamaan (3.12) yaitu

𝐸2 = (𝑠∗, 𝑣∗, 𝑖∗, 𝑒∗, 𝑞1∗, 𝑞2

∗) = (0.4126399840, 0.0000008297339516 ,

0.01432571817, 0.02093406024, 0.003343505628, 0.006054774346)

Dengan tabel 4.2 nilai – nilai parameter dan nilai awal 𝑠(0) = 0.4, 𝑣(0) =

0 𝑒(0) = 0.15, 𝑖(0) = 0.2, 𝑞1(0) = 0.09, 𝑞2(0) = 0.13 maka diperoleh hasil

simulasi seperti berikut:

78

4. 3 simulasi sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik

(a) simulasi titik s (b) simulasi titik v

79

(c) simulasi titik e (d) simulasi titik i

(e) simulasi titik 𝒒𝟏 (f) simulasi titik 𝒒𝟐

4. 4 (a) simulasi titik s, (b) simulasi titik v, (c) simulasi titik e, (d) simulasi titik i,

(e) simulasi titik 𝒒𝟏, (f) simulasi titik 𝒒𝟐 Sistem (3.12) titik ekuilibrium endemik

Berdasarkan gambar 4.4 (a) populasi individu rentan naik dan menurun, hingga

hari ke-700 populasi individu rentan mencapai titik 0.4126399840 dan stabil pada

titik tersebut. Pada gambar 4.4 (b) individu yang telah divaksinasi naik dan menurun,

hingga hari ke-800 populasi individu yang telah divaksinasi mencapai titik

0.0000008297339516 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.4 (c) individu

laten menurun dan naik kembali, hingga hari ke-600 populasi individu laten mencapai

80

titik 0.01432571817 dan stabil pada titik tersebut. . Pada gambar 4.4 (d) individu

terinfeksi menurun dan naik kembali, hingga hari ke-600 populasi individu terinfeksi

mencapai titik 0.02093406024 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.4 (e)

individu yang melakukan isolasi mandiri menurun dan naik kembali, hingga hari ke-

550 populasi individu yang sedang melakukan isolasi mandiri mencapai titik

0.003343505628 dan stabil pada titik tersebut. Pada gambar 4.4 (f) individu yang

melakukan karantina di rumah sakit awalnya menurun dan naik kembali, hingga pada

hari ke-550 populasi individu yang sedang melakukan karantina di rumah sakit

mencapai titik 0.006054774346 dan stabil pada titik tersebut.

Berdasarkan kesimpulan diatas, maka jumlah populasi untuk penyebaran

penyakit Covid-19 dari masing – masing kompartemen akan stabil pada saat yang

bersamaan di titik ekuilibrium endemik setelah hari ke-800 dengan:

1. Jumlah populasi individu rentan

𝑆 = 𝑠∗. 𝑁

= (0.4126399840 )(270.200.000)

≈ 111.495.324 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

2. Jumlah populasi individu laten

𝑉 = 𝑣∗. 𝑁

= (0.0000008297339516)(270.200.000)

≈ 224 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

3. Jumlah populasi individu laten

𝐸 = 𝑒∗. 𝑁

= (0.01432571817)(270.200.000)

≈ 3,870,809 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

4. Jumlah populasi individu terinfeksi

𝐼 = 𝑖∗. 𝑁

= ( 0.02093406024)(270.200.000)

81

≈ 5,656.383 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

5. Jumlah populasi individu yang melakukan isolasi mandiri

𝑄1 = 𝑞1∗. 𝑁

= (0.003343505628)(270.200.000)

≈ 903.415 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

6. Jumlah populasi individu yang melakukan karantina di rumah sakit

𝑄2 = 𝑞2∗. 𝑁

= (0.006054774346)(270.200.000)

≈ 1.117.381 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

Sedangkan untuk proporsi populasi individu sembuh dapat dihitung dengan :

1 = 𝑠∗ + 𝑒∗ + 𝑖∗ + 𝑞1∗ + 𝑞2

∗ + 𝑑∗ + 𝑟∗

𝑟∗ = 1 − (𝑠∗ + 𝑒∗ + 𝑖∗ + 𝑞1∗ + 𝑞2

∗ + 𝑑∗)

𝑟∗ = 1 − (0.4126399840 + 0.0000008297339516 +

0.01432571817 + 0.02093406024 + 0.003343505628 +

0.006054774346)

𝑟∗ = 1 − (0.457298872)

𝑟∗ = 0.542701127

Sehingga jumlah populasi yang sembuh adalah

𝑅 = 𝑟∗ . 𝑁

= (0.542701127)(270.200.000)

= 146.637.845 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢

Selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk melihat efektivitas pada

penggunaan vaksin dengan mengubah nilai parameter proporsi vaksin (𝑘) disajikan

dalam tabel berikut:

82

Tabel 4. 3 efektivitas penggunaan vaksin

𝒌 𝑹𝟎 Penyakit menghilang

hari ke -

0 0.3992548689 85

0.2 0.3086658783 80

0.4 0.2240293471 75

0.6 0.1447772474 70

0.8 0.07041159698 65

1 0.0004939853880 62

Berikut adalah grafik untuk simulasi efektivitas penggunaan vaksin:

(a) simulasi titik i ketika k=0 (b) simulasi titik i ketika k=0.2

83

(c) simulasi titik i ketika k=0.4 (d) simulasi titik i ketika k=0.6

(e) simulasi titik i ketika k=0.8 (f) simulasi titik i ketika k=1

4. 5 (a) simulasi titik i ketika u=0, (b) simulasi titik i ketika u=0.2, (c) simulasi

titik i ketika u=0.4, (d) simulasi titik i ketika u=0.6, (e) simulasi titik i ketika

u=0.8, dan (f) simulasi titik i ketika u=1

Berdasarkan gambar 4.5 (a) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 = 0

diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 = 0.3992548689 < 1 yang artinya

bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun hingga hari ke-85 menuju ke titik 0

84

dan stabil pada titik tersebut. Berdasarkan gambar 4.5 (b) ketika nilai parameter

proporsi vaksin 𝑘 = 0.2 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 =

0.3086658783 < 1 yang artinya bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun

hingga hari ke-80 menuju ke titik 0 dan stabil pada titik tersebut. Berdasarkan gambar

4.5 (c) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 = 0.4 diperoleh nilai bilangan

reproduksi dasar 𝑅0 = 0.2240293471 < 1 yang artinya bebas penyakit, dan individu

terinfeksi menurun hingga hari ke-70 menuju ke titik 0 dan stabil pada titik tersebut.

Berdasarkan gambar 4.5 (d) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 = 0.6 diperoleh

nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 = 0.1447772474 < 1 yang artinya bebas penyakit,

dan individu terinfeksi menurun hingga hari ke-70 menuju ke titik 0 dan stabil pada

titik tersebut. Berdasarkan gambar 4.5 (e) ketika nilai parameter proporsi vaksin 𝑘 =

0.8 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 = 0.07041159698 < 1 yang artinya

bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun hingga hari ke-65 menuju ke titik 0

dan stabil pada titik tersebut. Berdasarkan gambar 4.5 (f) ketika nilai parameter

proporsi vaksin 𝑘 = 1 diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar 𝑅0 =

0.0004939853880 < 1 yang artinya bebas penyakit, dan individu terinfeksi menurun

hingga hari ke-62 menuju ke titik 0 dan stabil pada titik tersebut.

4.3 Analisis Sensitivitas

Analisis sensitivitas digunakan untuk mengidentifikasi parameter mana yang

memiliki pengaruh paling signifikan pada nilai 𝑅0 yang kemudian dijadikan intervensi.

Parameter yang berdampak paling tinggi pada 𝑅0 menunjukkan bahwa parameter

tersebut memiliki pengaruh yang paling dominan terhadap epidemi atau dalam

penyebaran penyakit covid – 19. Analisis sensitivitas dihitung dengan menurunkan

persamaan 𝑅0 terhadap parameter 𝑝 [24].

𝐶𝑝𝑅0 =

𝜕𝑅0

𝜕𝑝 𝑥

𝑝

𝑅0 (4.1)

Dengan menggunakan rumus pada persamaan (4.1) dan nilai parameter pada

tabel (4.1) dihasilkan indeks sensitivitas setiap parameter dalam bilangan reproduksi

85

dasar 𝑅0 yang ditampilkan pada tabel (4.3) berikut sebagai contoh mencari nilai indeks

sensitivitas 𝑅0 terhaap parameter 𝛽 sebagai berikut.

𝐶𝛽𝑅0 =

𝜕𝑅0

𝜕𝛽 𝑥

𝛽

𝑅0

=𝜇𝜎(1−𝑘)(𝜇+𝜖)

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3) 𝑥 𝛽

𝑅0

= 𝛽𝜇𝜎(1−𝑘)(𝜇+𝜖)

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖)(𝜇+𝜎)(𝜇+𝑚𝛼+𝑛𝜃+(1−𝑚−𝑛)𝛾3)𝑅0

= 0.9999998981

Tabel 4. 4 Indeks Sensitivitas Parameter

Parameter Indeks Sensitivitas

𝛽 + 0.9999998981

𝛼 − 0.5512212536

𝑚 − 0.3928917446

𝜃 − 0.2294630566

𝛾3 − 0.1899954108

𝜇 −0.1782441574

𝜎 + 0.1489361705

𝑛 + 0.05553005977

𝑘 − 0.00008221059025

𝜌 −0.00001220569702

𝜔 + 1.018438163 𝑥 10−7

𝜖 − 8.802834744 𝑥 10−8

Indeks sensitivitas pada tabel 4.3 secara berurutan menunjukkan parameter dari

yang tertinggi sensitivitas ke terendah sensitivitas. Parameter – parameter diatas

mempunyai pengaruh terhadap nilai bilangan reproduksi dasar, contohnya 𝛽 (Laju

Perpindahan dari individu rentan menjadi individu laten setelah terinfeksi dengan

86

individu terinfeksi) dan 𝜎 (Laju Perpindahan dari individu laten menjadi individu

terinfeksi) memiliki nilai indeks sensitivitas positif tertinggi yang artinya dengan

meningkatkan nilai parameter tersebut dan nilai parameter yang lain tetap sama akan

berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan meningkat dan

sebaliknya ketika nilai tersebut menurun dan nilai parameter yang lain tetap sama akan

berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan menurun, dan begitu

pula sebaliknya untuk indeks sensitifitas bernilai negatif contohnya 𝛼 (Laju

Perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan karantina di

rumah sakit) dan 𝑚 (Proporsi dari individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan

karantina di rumah sakit) memiliki nilai indeks sensitivitas negatif tertinggi yang

artinya dengan meningkatkan nilai parameter tersebut dan nilai parameter yang lain

tetap sama akan berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan

menurun dan sebaliknya ketika nilai tersebut menurun dan nilai parameter yang lain

tetap sama akan berpengaruh dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang akan

meningkat.

Indeks sensitivitas menunjukan bahwa 𝛽 (Laju Perpindahan dari individu

rentan menjadi individu laten setelah terinfeksi dengan individu terinfeksi) adalah

parameter yang paling berpengaruh (positif) secara signifikan terhadap penularan

Covid – 19, ketika nilai indeks sensitivitas dari laju 𝛽 sebesar 0.9999 ketika parameter

𝛽 diperbesar (atau diperkecil) sebesar 10% maka nilai 𝑅0 akan meningkat (atau

menurun) sebesar 9.99%. Indeks sensitivitas 𝛼 (Laju Perpindahan dari individu

terinfeksi menjadi individu yang melakukan karantina di rumah sakit) adalah parameter

yang paling berpengaruh (negatif) secara signifikan terhadap penularan Covid – 19,

ketika nilai indeks sensitivitas dari laju 𝛼 sebesar 0.5512 ketika parameter 𝛼 diperbesar

(atau diperkecil) sebesar 10% maka nilai 𝑅0 akan menurun (atau meningkat) sebesar

5.512%.

87

Berdasarkan nilai parameter yang digunakan untuk simulasi numerik

didapatkan nilai 𝑅0 < 1 sehingga penyakit dapat menghilang. Namun penyakit ini akan

menjadi mewabah apabila 𝑅0 > 1.

𝑅0 =𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]


Dengan nilai parameter 𝜇 merupakan laju kelahiran dan kematian alami setiap

individu yang diasumsikan sama. Berasarkan hasil analisis sensitivitas tindakan

selanjutnya untuk mencegah terjadinya wabah dapat dilakukan dengan cara membuat

nilai 𝑅0 < 1 yaitu dengan cara sebagai berikut:

1. Mengurangi kontak individu rentan dengan individu terinfeksi (𝛽). Misalkan

ketika sedang flu dan demam usahakan tidak keluar rumah dan tidak

berinteraksi dengan orang lain, hindari penggunaan barang bersamaan dengan

penderita penyakit Covid-19, dan jagalah kebersihan diri dengan rajin mencuci

tangan atau menggunakan handsanitizer.

2. Meningkatkan laju individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝛼) dan

isolasi mandiri (𝜃). Misalkan ketika tubuh sudah merasa kurang sehat dan

menampakkan gejala – gejala terinfeksi Covid – 19 segera isolasi mandiri di

rumah dan tidak berinteraksi dengan orang lain atau jika gejala yang muncul

sudah parah segera periksa ke rumah sakit.

3. Meningkatkan proporsi individu yang divaksinasi (𝑘) dan laju individu yang

melakukan vaksinasi (𝜌) di suatu wilayah yang terjadi wabah covid – 19,

dengan mempercepat proses vaksinasi supaya semakin banyak jumlah individu

yang tervaksinasi.

88

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan asumsi – asumsi dan pembahasan pada bab – bab sebelumnya,

dapat diperoleh kesimpulan model matematika penyeberan penyakit coronavirus

disease 2019 (covid – 19) dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina di rumah

sakit yaitu:

1. Berdasarkan diagram transfer penyebaran penyakit Covid – 19 yang telah

disusun pada penelitian ini, diperoleh model SVEIQR dimana kompartemen Q

terbagi menjadi karantina di rumah atau isolasi mandiri dan karantina di rumah

sakit. Model yang diperoleh berupa sistem persamaan diferensial biasa.

2. Memiliki dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit

𝐸1(𝑠, 𝑣, 𝑒, 𝑖, 𝑞1, 𝑞2) = (𝜇

𝜇+𝑘𝜌,

𝑘𝜌𝜇

(𝜇+𝑘𝜌)(𝜇+𝜖), 0, 0, 0, 0) yang memiliki

kestabilan titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal saat 𝑅0 < 1 dan titik

ekuilibrium endemik 𝐸2(𝑠∗, 𝑣∗, 𝑒∗, 𝑖∗, 𝑞1

∗, 𝑞2∗) yang eksistensinya bergantung

pada 𝑅0 yaitu ad ajika 𝑅0 > 1.

3. Diperoleh bilangan reproduksi dasar dari model yaitu

𝑅0 = 𝜇𝜎[(1−𝑘)(𝜇+𝜖)𝛽+𝑘𝜌𝜔]


4. Berdasarkan hasil simulasi efektivitas pada penggunaan vaksin, penyakit akan

semakin cepat menghilang ketika proporsi penggunaan vaksin di perbesar, yang

artinya penggunaan vaksin cukup efektiv.

5. Berdasarkan hasil analisis kestabilan titik ekuilibrium dan simulasi numerik

disimpulkan penyakit akan hilang jika 𝑅0 < 1 dan akan menetap pada populasi

atau mewabah jika 𝑅0 > 1. Berdasarkan hal tersebut langkah yang dapat

89

dilakukan supaya penyakit tidak menjadi wabah adalah dengan mengurangi

kontak antara individu terinfeksi dengan individu rentan (𝛽), Meningkatkan

laju individu yang melakukan karantina di rumah sakit (𝛼) dan isolasi mandiri

(𝜃), Meningkatkan proporsi individu yang divaksinasi (𝑘) dan laju individu

yang melakukan vaksinasi (𝜌) di wilayah yang sedang terjangkit Covid – 19.

5.2 Saran

Pada penelititian ini telah membahas model matematika penyebaran penyakit

coronavirus disease 2019 (covid – 19) dengan vaksinasi, isolasi mandiri, dan karantina

di rumah sakit, untuk penelitian selanjutnya disarankan untuk:

1. Menambahkan asumsi individu yang sudah sembuh dari penyakit dapat

kembali menjadi individu rentan.

2. Dalam penelitian ini peneliti mengasumsikan laju kematian akibat penyakit

sama dengan nol, maka disarankan untuk tidak mengasumsikan laju

kematian sama dengan nol.

90

REFERENSI

[1] N. Anggriani, A. K. Supriatna, B. Subartini, and R. Wulantini, “Kontrol

Optimum pada Model Epidemik SIR dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor

Imigrasi,” J. Mat. Integr., 2016, doi: 10.24198/jmi.v11.n2.9422.111-118.

[2] Phan L.T., Nguyen T.V. et al. (2020). Importation and Human-to-Human

Transmission of a Novel Coronavirus in Vietnam, the New England Journal of

Medicine, 382(1), 1-3.

[3] F. Isbaniah and A. D. Susanto, “Pneumonia Corona Virus Infection Disease -19

( COVID-19 ),” J Indon Med Assoc, vol. 70, no. 4, pp. 87–94, 2020.

[4] Y. Yulida and M. A. Karim, “Pemodelan Matematika Penyebaran COVID-19

di Provinsi Kalimantan Selatan,” J. Binawakya, vol. 14, no. 10, pp. 3257–3264,

2020, [Online]. Available:

http://ejurnal.binawakya.or.id/index.php/MBI/article/view/572.

[5] "Gugus Tugas Percepatan Penanganan COVID-19," 07 02 2021. [Online].

Available: http: //covid19.go.id/. [Accessed 07 02 2021].

[6] D. Telaumbanua, “Urgensi Pembentukan Aturan Terkait Pencegahan Covid-19

di Indonesia,” QALAMUNA J. Pendidikan, Sos. dan Agama, vol. 12, no. 01, pp.

59–70, 2020, doi: 10.37680/qalamuna.v12i01.290.

[7] "VAKSIN COVID-19," 07 02 2021. [Online]. Available: http:

//covid19.go.id/. [Accessed 07 02 2021].

[8] B. H. Prasad, “MATHEMATICAL STUDY ON COVID - 19 WITH SIR

EPIDEMIC,” vol. IX, no. V, pp. 177–184.

http://ejurnal.binawakya.or.id/index.php/MBI/article/view/572

91

[9] B. K. Mishra et al., “COVID-19 created chaos across the globe: Three novel

quarantine epidemic models,” Chaos, Solitons and Fractals, 2020, doi:

10.1016/j.chaos.2020.109928.

[10] A. Ali, F. S. Alshammari, S. Islam, M. A. Khan, and S. Ullah, “Modeling and

analysis of the dynamics of novel coronavirus (COVID-19) with Caputo

fractional derivative,” Results Phys., vol. 20, no. September 2020, p. 103669,

2021, doi: 10.1016/j.rinp.2020.103669.

[11] M. Manaqib, I. Fauziah, and M. Mujiyanti, “Mathematical Model for MERS-

COV Disease Transmission with Medical Mask Usage and Vaccination,” Inpr.

Indones. J. Pure Appl. Math., vol. 1, no. 2, pp. 97–109, 2019, doi:

10.15408/inprime.v1i2.13553.

[11] B. H. Foy, B. Wahl, K. Mehta, A. Shet, G. I. Menon, and C. Britto, “International

Journal of Infectious Diseases Comparing COVID-19 vaccine allocation

strategies in India : A mathematical modelling study,” Int. J. Infect. Dis., vol.

103, pp. 431–438, 2021, doi: 10.1016/j.ijid.2020.12.075.

[13] Ellyvon Pranita. 2021. “Jika Sudah Vaksinasi, Masih Bisakah Terinfeksi Covid

– 19? Ini kata ahli” 27 02 2021. [Online]. https://www.kompas.com/ [Accessed

27 02 2021]

[14] S. Sifriyani and U. Mulawarman, “Pemodelan Susceptible Infected Recovered

( Sir ) Untuk Estimasi Angka Reproduksi Covid-19 Di Kalimantan Timur Dan

Samarinda,” no. July, pp. 1–13, 2020.

[15] M. M. C. Otálora, “Yuliana,” Corona viru disease (Covid – 19): sebuah

tinjauan literature, vol. 2, no. February, pp. 124–137, 2020, doi:

10.2307/j.ctvzxxb18.12.

[16] H. Anton and C. Rorres, Aljabar Linear Elementer, Erlangga, 2004.

https://www.kompas.com/sains/read/2021/01/13/073100123/jika-sudah-vaksinasi-masih-bisakah-terinfeksi-covid-19-ini-kata-ahli?page=1

92

[17] S. L. Ross, Introduction to Ordinary Differential Equations, 3th ed. New Jersey:

Wiley, 1989.

[18] W. E. Boyce, R. C. DiPrima, dan D.B. Meade, Elementary Differential

Equations and Boundary Value Problems, 11th ed. New Jersey: Wiley, 2017.

[19] G. J. Olsder dan J. W. van der Woude, Mathematical Systems Theory, 2nd ed.

Netherlands: Delft University of Technology, 2003.

[20] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems 3rd Edition Vol. 7,

New York: Springer, 2000.

[21] O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, and M. G. Roberts, “The construction of

next-generation matrices for compartmental epidemic models,” J. R. Soc.

Interface, vol. 7, no. 47, pp. 873–885, 2010, doi: 10.1098/rsif.2009.0386.

[22] M. Martcheva, An Introduction to Mathematical Epidemology, New York:

2015.

[23] P. van den Driessche dan J. Watmough, ”Reproduction numbers and sub-

threshold endemic equilibria for compartmental models of disease

transmission”, Mathematical Biosciences vol. 180, pp. 29-48, 2002.

[24] R. Resmawan and L. Yahya, “Sensitifity Analysis of Mathematical Model of

Coronavirus Disease (COVID-19) Transmission,” Cauchy, vol. 6, no. 2, p. 91,

2020, doi: 10.18860/ca.v6i2.9165.

[25] K. B. Blyuss and Y. N. Kyrychko, "On a basic model of a two-disease

epidemic," ELSEVIER, pp. 177-187, 2005.

[26] O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, and M. G. Roberts, “compartmental

epidemic models The contruction of next-generation matrices for Subject

collections The contruction of next-generation matrices for compartmental

93

epidemic models,” J, R. Soc. Interface, vol. 7, no. November 2009, pp. 873 –

885, 2010.

[27] H. Lv, L. Fei, Z. Yuan, and F. Zhang, “Global Dynamic Analysis of a Vector-

Borne Plant Disease Model with Discontinuous Treatment,” Appl. Math., vol.

09, no. 05, pp. 496–511, 2018, doi: 10.4236/am.2018.95036.

[28] A. B. Gumel, E. A. Iboi, C. N. Ngonghala, and E. H. Elbasha, “A primer on

using mathematics to understand COVID-19 dynamics : Modeling , analysis

and simulations,” Infect. Dis. Model., vol. 6, no. August 2020, pp. 148–168,

2021, doi: 10.1016/j.idm.2020.11.005.

[29] F. Ndaïrou, I. Area, J. J. Nieto, and D. F. M. Torres, “Mathematical modeling

of COVID-19 transmission dynamics with a case study of Wuhan,” Chaos,

Solitons and Fractals, vol. 135, 2020, doi: 10.1016/j.chaos.2020.109846.

[30] C. C. Zhu and J. Zhu, “Dynamic analysis of a delayed COVID-19 epidemic

with home quarantine in temporal-spatial heterogeneous via global exponential

attractor method,” Chaos, Solitons and Fractals, vol. 143, 2021, doi:

10.1016/j.chaos.2020.110546.

[31] Emin Yanwardhana. 2021. “Orang RI yang Sudah Divaksin Covid Belum

Sampai Setengah Juta” 15 02 2021. [Online].

https://www.cnbcindonesia.com/news/ [Accessed 15 02 2021].

[32] “DATA SENSUS PENDUDUK 2020” 07 02 2021. [Online].

https://www.bps.go.id/ [Accessed 07 02 2021].

[33] Uyung Pramudiarja. 2021. “VAKSINASI COVID-19 RI Selesai 15 Bulan,

Target 181,5 Juta Orang” 25 02 2021. [Online]. https://health.detik.com/

[Accessed 25 02 2021].

https://www.cnbcindonesia.com/news/

https://www.bps.go.id/

https://health.detik.com/

94

[34] “Berapa lama tubuh akan kebal dari virus corona setelah suntik vaksin?” 25 02

2021. [Online]. https://www.google.com/amp/amp.kontan.co.id/ [Accessed 25

02 2021].

[35] Ayunda Septiani. “Tak Langsung Kebal, Butuh Waktu Bangun Antibodi

Setelah Suntik Vaksin COVID-19” 25 02 2021. [Online].

https://health.detik.com/ [Accessed 25 02 2021].

https://www.google.com/amp/amp.kontan.co.id/

https://health.detik.com/

95

LAMPIRAN I

PROGRAM MAPLE GAMBAR 4.1

> restart;

> with(LinearAlgebra); with(DEtools); with(plots); with(linalg);

> ds := mu - (mu + k*rho + (1 - k)*beta*i)*s;

> dv := k*rho*s - (i*omega + epsilon + mu)*v;

> de := ((1 - k)*beta*s + omega*v)*i - (mu + sigma)*e;

> di := sigma*e - (m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu)*i;

> dq[1] := n*theta*i - (gamma[1] + mu)*q[1];

> dq[2] := m*alpha*i - (gamma[2] + mu)*q[2];

> dr := epsilon*v + gamma[1]*q[1] + gamma[2]*q[2] + (1 - m - n)*gamma[3]*i - mu*r;

> beta := 0.2; mu := evalf(0.0125); rho := evalf(1/455); k := 0.00007; omega :=

evalf(1/90); epsilon := evalf(1/14); sigma := evalf(1/14); alpha := 0.94; theta :=

evalf(1/4.6); gamma[1] := 0.6; gamma[2] := 0.8; gamma[3] := 0.27; m := 0.25; n :=

0.45;

> R0:=mu*sigma*[k*rho*omega+(1-k)*(mu + epsilon)*beta]/((mu + epsilon)*(k*rho

+ mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu))

> s = mu/(k*rho + mu)

> v = k*rho*mu/((k*rho + mu)*(mu + epsilon))

> de1 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(ds));

> de2 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dv));

96

> de3 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(de));

> de4 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(di));

> de5 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dq[1]));


> sa := {e(0) = 0.17, i(0) = 0.15, s(0) = 0.58, v(0) = 0.06, q[1](0) = 0.01, q[2](0) =

0.02};

> sistem := {diff(e(t), t) = de3, diff(i(t), t) = de4, diff(s(t), t) = de1, diff(v(t), t) = de2,

diff(q[1](t), t) = de5, diff(q[2](t), t) = de6};

> b := dsolve(sistem union sa, {e(t), i(t), s(t), v(t), q[1](t), q[2](t)}, numeric, output =

listprocedure, range = 0 .. 100);

> plot([subs(b, s(t)), subs(b, v(t)), subs(b, e(t)), subs(b, i(t)), subs(b, q[1](t)), subs(b,

q[2](t))], 0 .. 200, linestyle = [solid, dot, dash, longdash, spacedash], legend = ["s",

"v", "e", "i", "q[1]", "q[2]"], legendstyle = [font = ["roman", 12], location = bottom],

labels = ["t(hari)", "kompartemen"], labelfont = ["roman", 10]);

97

LAMPIRAN II

PROGRAM MAPLE GAMBAR 4.3

> restart;

> with(LinearAlgebra); with(DEtools); with(plots); with(linalg);

> ds := mu - (mu + k*rho + (1 - k)*beta*i)*s;

> dv := k*rho*s - (i*omega + epsilon + mu)*v;

> de := ((1 - k)*beta*s + omega*v)*i - (mu + sigma)*e;

> di := sigma*e - (m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu)*i;

> dq[1] := n*theta*i - (gamma[1] + mu)*q[1];

> dq[2] := m*alpha*i - (gamma[2] + mu)*q[2];

> dr := epsilon*v + gamma[1]*q[1] + gamma[2]*q[2] + (1 - m - n)*gamma[3]*i - mu*r;

> beta := 0.85; mu := evalf(0.0125); rho := evalf(1/455); k := 0.00007; omega :=

evalf(1/90); epsilon := evalf(1/14); sigma := evalf(1/2); alpha := 0.94; theta :=

evalf(1/4.6); gamma[1] := 0.6; gamma[2] := 0.8; gamma[3] := 0.27; m := 0.25; n :=

0.45;

> R0:=mu*sigma*[k*rho*omega+(1-k)*(mu + epsilon)*beta]/((mu + epsilon)*(k*rho

+ mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu))

> a = (mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] + mu)*(1 -

k)*beta*omega;

> b = (k*rho + mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m - n)*gamma[3] +

mu)*omega + (epsilon + mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m -

n)*gamma[3] + mu)*(1 - k)*beta - (1 - k)*beta*mu*sigma;

98

> c = (epsilon + mu)*(k*rho + mu)*(mu + sigma)*(m*alpha + n*theta + (1 - m -

n)*gamma[3] + mu) - [(1 - k)*beta*(epsilon + mu) + omega*k*rho]*mu*sigma;

> i := (- b + (b^2 – 4ac)1/2)/2a

> s = mu/(mu + k*rho + i*(1 - k)*beta);

> v = k*rho*mu/((mu + k*rho + i*(1 - k)*beta)*(mu + i*omega + epsilon));

> e =((1 – k )*beta*mu* (mu+i*omega+epsilon)+ omega*k*rho*mu)*i/((mu + k*rho

+ i*(1 - k)*beta)*(mu + i*omega + epsilon)*(mu + sigma));

> q[1] = i*n*theta/(gamma[1] + mu);

> q[2] = i*m*alpha/(gamma[2] + mu);

> de1 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(ds));

> de2 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(dv));

> de3 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(de));

> de4 := subs(s = s(t), v = v(t), e = e(t), i = i(t), q[1] = q[1](t), q[2] = q[2](t), eval(di));



> sa := {e(0) = 0.15, i(0) = 0.2, s(0) = 0.4, v(0) = 0, q[1](0) = 0.09, q[2](0) = 0.13};

> sistem := {diff(e(t), t) = de3, diff(i(t), t) = de4, diff(s(t), t) = de1, diff(v(t), t) = de2,

diff(q[1](t), t) = de5, diff(q[2](t), t) = de6};

> b := dsolve(sistem union sa, {e(t), i(t), s(t), v(t), q[1](t), q[2](t)}, numeric, output =

listprocedure, range = 0 .. 100);

> plot([subs(b, s(t)), subs(b, v(t)), subs(b, e(t)), subs(b, i(t)), subs(b, q[1](t)), subs(b,

q[2](t))], 0 .. 500, linestyle = [solid, dot, dash, longdash, spacedash], legend = ["s",

99

"v", "e", "i", "q[1]", "q[2]"], legendstyle = [font = ["roman", 12], location = bottom],

labels = ["t(hari)", "kompartemen"], labelfont = ["roman", 10]);

MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT

Documents

Transcript of MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT