PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN PENYAKIT ...digilib.unila.ac.id/54327/2/SKRIPSI FULL...

PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN

PENYAKIT INFLUENZA DENGAN PENGARUH VAKSINASI

DAN FAKTOR IMIGRASI

Oleh

YOLA WIDYA UTAMI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

ABSTRAK

PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN PENYAKIT

INFLUENZA DENGAN PENGARUH VAKSINASI DAN FAKTOR

IMIGRASI

oleh

YOLA WIDYA UTAMI

Penyakit influenza atau yang biasa disebut sebagai penyakit flu pertama kali

dikemukakan dengan jelas oleh Hippocrates kurang lebih 2400 tahun yang lalu.

Penyakit ini sangat umum di kalangan masyarakat. Penyebab penyakit ini

biasanya disebabkan oleh interaksi manusia terhadap udara berdebu atau

disebabkan oleh perubahan iklim. Penyebaran penyakit ini dapat melalui udara.

Model matematika yang cocok untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah

penyebaran penyakit adalah model SIR yaitu Suspectible (S), Infected (I),

Recovered (R). Langkah awal yang dilakukan untuk mencari kesetimbangan pada

model penyebaran penyakit ini yaitu dengan membuat model matematika dari

penyebaran penyakit lalu melakukan pencarian nilai titik kesetimbangan dan

kestabilan. Dari simulasi yang dilakukan maka dapat disimpulkan bahwa

penyebaran penyakit akan semakin berkurang apabila proporsi vaksinasi pada

populasi semakin besar.

Kata kunci : penyebaran penyakit, pemodelan matematika, SIR, simulasi

numerik.

ABSTRACT

MODELLING AND NUMERIC SIMULATION OF THE SPREAD OF

INFLUENZA WITH INFLUENCE OF VACCINE AND IMIGRATION

FACTOR

By

YOLA WIDYA UTAMI

Influenza or what is commonly referred to as flu was first stated clearly by

Hippocrates about 2400 years ago. This disease is very common among the

community. The cause of this disease is usually caused by human interaction with

dusty air or caused by climate change. The spread of this disease can be by air.

Mathematical models that are suitable to use in solving this problem SIR models

that is Suspectible (S), Infected (I), Recovered (R). The first step taken to find

equilibrium in the model of the spread of this disease is to create a mathematical

model of the spread of the disease and then search for equilibrium point and

stability. From the simulations carried out, it can be concluded that the spread of

the disease will decrease if the proportion of vaccination in the population gets

bigger.

Keyword : disease spread, mathematic models, SIR, numeric simulation.

PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN

PENYAKIT INFLUENZA DENGAN PENGARUH VAKSINASI

DAN FAKTOR IMIGRASI

Oleh

YOLA WIDYA UTAMI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Yola Widya Utami, anak kedua dari 4 bersaudara yang

dilahirkan di Bandarlampung pada tanggal 26 Juni 1997 oleh pasangan Bapak

Sugiyanto dan Ibu Dian Agusriana.

Penulis menempuh pendidikan Taman Kanak-Kanak (TK) di TK Kartika II-7

pada tahun 2002-2003, Sekolah Dasar (SD) di SD Kartika II-5 Bandarlampung

pada tahun 2003-2009, SMP Negeri 2 Bandarlampung pada tahun 2009-2011, dan

bersekolah di SMA Negeri 2 Bandarlampung pada tahun 2011-2014.

Pada tahun 2014 penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar

sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Mandiri. Selama menjadi

mahasiswi, penulis ikut serta dalam organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan

Matematika (HIMATIKA) FMIPA Unila sebagai anggota aktif bidang Minat dan

Bakat.

Pada tahun 2017 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Perusahaan Daerah Air

Minum Way Rilau Bandarlampung dan pada tahun yang sama penulis

melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Sumur Kumbang, Kecamatan

Kalianda, kabupaten Lampung Selatan, Provinsi Lampung.

Kata Inspirasi

” To a great mind, nothing is little” (Sherlock Holmes)

“Do not lose hope, nor be sad ” (QS. Ali Imron/3:139)

“I’m selfish, Impatient and a little insecure. I make mistakes, I am out of control and at times hard to handle. But if you can’t handle me at my worst,

then you sure don’t deserve me at my best.” (Marilyn Monroe)

PERSEMBAHAN

Untuk sahabat-sahabat terbaikku, terimakasih untuk semua Alhamdulillah, puji

syukur kehadirat Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang. Dengan

segala kerendahan hati penulis persembahkan skripsi ini kepada:

Kedua orangtuaku yang selalu tulus berkorban, membimbing, selalu memberikan

semangat, rela menjadi pendengar yang baik dan mendoakan setiap waktu untuk

keberhasilan penulis.

Untuk kakak dan adikku tersayang yang selalu memberikan semangat dan

dukungan serta do’a yang tak pernah henti untukku. Terimakasih sudah menjadi

motivator di setiap hariku.

Untuk sahabat-sahabatku selama di kampus kebahagian dan keceriaan yang telah

kalian berikan untukku, kalian adalah sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada,

terimakasih atas semua cerita indah yang selalu mengisi hari-hariku.

SANWACANA

Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan atas kehadiran Allah SWT. yang

telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga dapat terselesaikan skripsi

dengan judul “Pemodelan dan Simulasi Numerik Penyebaran Penyakit

Influenza Dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi” .

Terselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan, kerjasama, dan dukungan

berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1. Bapak Subian Saidi, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang telah

memberikan arahan, bimbingan, ide, kritik dan saran kepada penulis

selama proses pembuatan skripsi ini.

2. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si., selaku pembimbing II yang telah

memberikan arahan, bimbingan, ide, kritik, semangat kepada penulis.

3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku penguji yang telah

memberikan ide, dukungan, kritik dan saran kepada penulis sehingga

terselesaikan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik

yang telah membimbing penulis dalam menyelesaikan permasalahan

seputar akademik.

5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

7. Seluruh Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Lampung.

8. Bapak Sugiyanto, Bunda Erika Agustina, Kakak dan Adik-adikku Yogi,

Ica, Kia dan keluarga besar.

9. Ibu Dian Agusriana dan keluarga.

10. Sahabat-sahabat penulis Caroline, Amoy, Ananda, Adinda, Naya, Elina,

Rima, Kiki, Margaretha, Anin, Putri, Dea, Ecy, Syafa, Maget, Lena, Wika,

Dandi, Zulfi, Fajar, Arif, Raka, Dracjat, Novi, Rama, Abror, Rahmad.

11. Teman-teman Matematika 2014, Teman-teman KKN 2017 Desa Sumur

Kumbang, Abang dan Yunda Matematika 2013.

12. Semua pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi ini.

Tentunya, Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan

tetapi besar harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Sekian

dan terima kasih.

Bandarlampung, Oktober 2018

Penulis

Yola Widya Utami

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR .......................................................................... xiv

DAFTAR TABEL ............................................................................... xv

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................... 3

1.3 Manfaat Penelitian...................................................................... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial ............................................................. 4

2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa dan Parsial ........................ 5

2.1.2 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear ................ 6

2.2 Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama ........................... 7

2.3 Sistem Persamaan Diferensial ................................................. 8

2.4 Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama ........................... 9

2.5 Model Epidemi SIR ................................................................ 11

2.6 Metode Runge-Kutta ............................................................... 13

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 16

3.2 Metode Penelitian ................................................................... 16

ii

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pemodelan Matematika ............................................................ 18

4.2 Titik Kesetimbangan ............................................................... 25

4.3 Angka Reproduksi Vaksinasi .................................................. 27

4.4 Kestabilan ............................................................................... 28

4.5 Simulasi Numerik ................................................................... 31

V. PENUTUP

5.1 Simpulan ................................................................................. 62

5.2 Saran ....................................................................................... 63

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1 Parameter yang Mempengaruhi Pembentukkan Model Epidemik SIR

dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi .............................. 22

2 Nilai untuk setiap kondisi yang berbeda ........................................... 60

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1 Skema Penyebaran Penyakit Influenza ............................................. 21

2 Grafik SIR dengan , dan ............................ 33

3 Grafik SIR dengan , dan .............................. 34

4 Grafik SIR dengan .3, dan ......................... 36

5 Grafik SIR dengan , dan ........................... 37

6 Grafik SIR dengan , dan ......................... 38

7 Grafik SIR dengan , dan ........................... 40

8 Grafik SIR dengan , dan ...................... 41

9 Grafik SIR dengan , dan ........................ 42













22 Grafik Proporsi sistem SIR untuk dan dan sistem SIR

untuk dan ...................................................................... 58

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Penyakit influenza atau yang biasa disebut sebagai penyakit flu pertama kali

dikemukakan dengan jelas oleh Hippocrates kurang lebih 2.400 tahun yang lalu.

Penyakit influenza disebabkan oleh virus RNA dari familia Orthomyxoviridae (virus

influenza).Virus influenza menyerang Unggas dan mamalia sebagai penyakit

menular. Penyakit yang banyak ditemukan di masyarakat luas ini tak luput dari

perhatian para ilmuwan tidak hanya dari bidang medis tetapi juga dari bidang sains.

Penyakit influenza adalah penyakit yang mewabah di kalangan masyarakat dan

sangat umum untuk diketahui. Penyebab penyakit ini biasanya disebabkan oleh

interaksi manusia terhadap udara berdebu atau disebabkan oleh perubahan iklim

sekitar. Virus Influenza terdiri dari 3 jenis yaitu Virus influenza A, Virus influenza B,

Virus influenza C. Ketiga virus influenza tersebut memiliki struktur yang sama secara

keseluruhannya. Beberapa jenis influenza hanya terdapat pada wilayah spesifik saja

seperti flu spanyol pada tahun 1918 dan flu hongkong pada tahun 1968.

https://id.wikipedia.org/wiki/Virus#Virus_RNA

https://id.wikipedia.org/wiki/Familia

https://id.wikipedia.org/wiki/Orthomyxoviridae

2

Model matematika yang merupakan representasi sederhana dari aspek tertentu dalam

kehidupan nyata semakin banyak digunakan untuk menganalisis dinamika

penyebaran virus terutama mengestimasi parameter kunci dalam epidemiologi seperti

periode inkubasi, durasi terjangkitnya penyakit, bilangan reproduksi dasar. Salah satu

bentuk Model matematika yang cocok untuk digunakan dalam menyelesaikan

masalah penyebaran penyakit adalah model SIR. Model epidemi SIR sendiri

merupakan singkatan dari Suspectible (S), Infected (I), Recovered (R). Model epidemi

SIR memiliki tiga bagian populasi yaitu kelompok yang sehat tetapi memiliki

kemungkinan terjangkit penyakit. Selain itu, kelompok populasi yang kedua adalah

kelompok yang terjangkit penyakit dan memiliki kemungkinan untuk menularkan

penyakit tersebut. Kelompok populasi terakhir yang dimaksud adalah kelompok yang

telah sembuh dan kebal dari penyakit. Kajian mengenai pemodelan penyebaran

penyakit influenza yang dibatasi oleh faktor vaksinasi telah banyak dibahas

sebelumnya, salah satu jurnal yang mengkaji penyebaran penyakit influenza adalah

Simulasi Level Sanitasi Pada Model Sir Dengan Imigrasi dan Vaksinasi oleh Anita

Kesuma Arum dan Sri Kuntari (2011).

3

Penyebaran penyakit influenza dapat dipengaruhi berbagai macam faktor luar, salah

satunya adalah vaksinasi. Adanya vaksinasi dapat membuat seseorang menjadi kebal

terhadap sebuah penyakit. Selain adanya faktor vaksinasi, faktor imigran juga akan

ditambahkan sebagai variabel tambahan dalam model yang dibuat. Masalah

matematika yang didapatkan dari model ini dapat diselesaikan dengan metode Runge-

Kutta. Metode Runge-Kutta dianggap cocok untuk menyelesaikan permasalahan non-

linier seperti penyebaran penyakit.

1.2 Tujuan Penilitian

Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan model dan simulasi numerik mengenai

penyebaran penyakit influenza dengan pengaruh vaksinasi dan faktor imigrasi dengan

metode Runge-Kutta.

1.3 Manfaat Penilitan

Penelitian ini bermanfaat untuk mengetahui model dan simulasi numerik mengenai

penyebaran penyakit influenza dengan pengaruh vaksinasi dan faktor imigrasi. Selain

itu penelitian ini bermanfaat untuk mempelajari lebih lanjut pengaplikasian metode

Runge-Kutta.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial

Terbentuknya persamaan diferensial sebagai suatu model matematika berasal dari

ketertarikan dan keingintahuan seseorang tentang perilaku atau fenomena perubahan

sesuatu didunia nyata. Dengan mengamati suatu fenomena pertumbuhan, seseorang

ingin mengetahui bagaimana model pertumbuhannya, kapan tumbuhan tersebut

dipanen atau bahkan punah.

Dari fenomena penularan virus, seseorang ingin mengetahui bagaimana dinamika

penyebaran virus, sehingga dapat disusun strategi perencanaan dan pengendalian

penyebaran virus. Perencanaan dan pengendalian ini merupakan tugas penting bagi

para pengelola kesehatan masyarakat.

Sebagian besar kajian dalam kalkulus berisi tentang bagaimana seseorang dapat

mengekspresikan fenomena perubahan secara matematis, dengan mengambil rasio

perubahan dalam satu besaran terhadap perubahan besaran yang lain yang

mempunyai hubungan fungsional akan menghasilkan laju perubahan. Fungsi

5

mendeskripsikan bahwa nilai variabel ditentukan oleh nilai variabel ,

sehingga nilai bergantung pada nilai dalam kalkulus didefinisikan sebagai

Jika limitnya ada (Kartono, 2012).

2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial

Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dinamakan Persamaan

Diferensial Biasa. Selanjutnya persamaan diferensial yang memuat turunan parsial

disebut Persamaan Diferensial Parsial. Dua contoh persamaan diferensial biasa

dituliskan sebagai berikut ini

Dengan Q, L, R, C dan E berturut-turut menyatakan muatan induktansi, resistansi,

kapasitansi dan voltase dan

Persamaan diatas merupakan persamaan yang merepresentasikan peluruhan suatu

radioaktif untuk suatu waktu tertentu dengan konstanta peluruhan k.

Selanjutnya, contoh untuk persamaan diferensial parsial adalah persamaan potensial

(Laplace), sebagai berikut

6

Persamaan difusi

Dan persamaan gelombang

Dengan dan adalah suatu konstanta sembarang. Persamaan potensial, persamaan

difusi dan persamaan gelombang berturut-turut merupakan permasalahan dalam

bidang elektrik dan magnetic, elasticitas dan mekanika fluida. Ketiga contoh di atas

merupakan contoh persamaan diferensial parsial yang sering dijumpai dalam berbagai

fenomena fisik (Marwan dan Said Munzir, 2009)

2.1.2 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear

Persamaan diferensial biasa

dikatakan linear jika F adalah linear dalam variabel-variabel .

Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian. Jadi secara umum

persamaan diferensial biasa linear order n diberikan dengan

7

Persamaan yang tidak dalam bentuk diatas merupakan persamaan tak linear. Contoh

persamaan tak linear, persamaan pendulum

Persamaan tersebut tak linear karena suku sin . Persamaan diferensial

,

juga tak linear karena suku dan . (Waluya, 2006)

2.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama

Tidak semua persamaan diferensial dapat dipisahkan. Misalnya, dalam persamaan

diferensial

Tidak terdapat cara untuk memisahkan variabel sedemikian rupa sehingga

mempunyai dan semua ekpresi yang melibatkan pada satu ruas serta dan

semua ekpresi yang melibatkan pada ruas lainnya. Namun persamaan diferensial ini

dapat diletakkan dalam bentuk

Dengan dan hanya merupakan fungsi saja. Persamaan diferensial

berbentuk ini disebut persamaan diferensial linear orde-pertama. Orde-pertama

8

mengacu pada fakta bahwa turunan hanyalah berupa turunan pertama. Linear

mengacu pada fakta bawha persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

, dengan adalah operator turunan, dan I adalah operator

identitas (yakni ). dan I adalah operator linear (Varberg, Purcell & Rigdon,

2007)

2.3 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah persamaan

diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n merupakan bilangan

bulat positif lebih besar sama dengan dua. Antara persamaan diferensial yang satu

dengan yang lain saling keterkaitan dan konsisten.

Bentuk umum dari suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk

sebagai berikut:

9

Dengan adalah variabel bebas dan t adalah variabel terikat, sehingga

, dimana

merupakan derivatif fungsi

terhadap t , dan g, adalah fungsi yang tergantung pada variabel dan t

(Neuhauser, 2004).

2.4 Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama

Sistem persamaan diferensial biasa muncul secara alamiah dalam masalah yang

melibatkan beberapa variabel tak bebas (misalnya ), yang mana masing-

masing darinya merupakan sebuah fungsi dari satu variabel tak bebas (misalnya t).

Dalam proses penyempurnaan model, seringkali kita perlu memperhatikan lebih dari

satu variabel tak bebas yang bergantung pada satu variabel bebas agar mendapatkan

deskripsi yang memadai dari suatu perilaku yang sedang dipelajari.

Secara umum, sistem persamaan diferensial linier orde pertama dinyatakan dalam

bentuk

Sistem diatas dikatakan mempunyai solusi pada interval jika terdapat

himpunan n fungsi

10

Yang dapat didiferensialkan pada semua titik dalam interval dan memenuhi sistem

persamaan pada semua titik pada interval ini.

Solusi ini dapat dipandang sebagai himpunan persamaan parametrik dalam ruang

berdimensi n untuk suatu niali tertentu dari t, solusi ini akan memberikan nilai untuk

koordinat-koordinat dari sebuah titik dalam ruang itu. Bila t berubah

maka koordinat itu pada umumnya juga berubah. Kumpulan titik-titik yang

bersesuaian dengan membentuk sebuah kurva dalam ruang. Kurva ini

dinamakan trayektori atau lintasan dari sebuah partikel yang bergerak sesuai dengan

sistem persamaan diferensial itu. Jika sistem ini dilengkapi dengan kondisi awal

dimana adalah niali tertentu dari t dalam I, dan

adalah nilai yang

tekah ditentukan maka membentuk masalah niali awal. Kondisi-kondisi awal ini

menentukan titik mulainya pergerakan partikel tersebut. Teorema eksistensi dan

keunikan solusi masalah nilai awal ini analog dengan teorema eksistensi dan

keunikan solusi untuk satu buah persamaan diferensial orde pertama.

Jika variabel t tidak tampak secara eksplisit dalam fungsi-fungsi maka

sistem itu disebut sistem otonom. Jika tidak maka sistem itu disebut tidak otonom.

Jika variabel t menyatakan variabel waktu maka sistem otonom adalah bebas waktu

dalam pengertian bahwa turunan-turunan yang berhubungan dengan pendefinisian

sistem tidak berubah atas perubahan waktu.

11

Oleh karena itu, bentuk umum sistem dari n persamaan diferensial linier orde pertama

dapat dituliskan sebagai berikut:

Jika setiap fungsi adalah nol untuk semua t dalam interval I,

maka sistem tersebut dinamakan homogen, jika tidak maka dinamakan sistem tak

homogen (Kartono, 2012).

2.5 Model Epidemi SIR

Model SIR pertama kali diperkenalkan oleh W.O. Kermack dan Mc. Kendrick dalam

makalahnya yang berjudul “A Contribution to the Mathematical Theory of

Epidemic”, yang kemudian muncul dalam Proceeding Royal Society London

halaman 700-721 tahun 1927, dan kemudian menjadi peranan penting dalam

perkembangan matematika epidemi. Mengenai rangkuman tersebut telah dituliskan

secara lengkap oleh Murray.

12

Di dalam modelnya, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu suspek

dengan symbol S, terinfeksi dengan symbol I dan sembuh atau recovery dengan

symbol R, yang masing-masing diberikan dalam bentuk s, I dan r.

Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah

S atau suspectable dalam pemodelan SIR merupakan individu yang tidak terinfeksi

tetapi golongan ini dapat tertular penyakit. Oleh karena itu golongan ini juga

memiliki kemungkinan untuk menjadi terinfeksi.

I atau infected merupakan individu yang dapat menyebarkan penyakit pada individu

yang rentan. Waktu yang diperlukan oleh penderita infeksi penyakit dinamakan

periode penyakit. Setelah mengalami periode penyakit kemudian individu ini pindah

dan menjadi individu yang sembuh atau recovered.

R atau recovered merupakan individu yang telah sembuh atau kebal dalam

kehidupannya.

Model SIR umumnya ditulis dalam bentuk persamaan diferensial biasa (ODE), yang

merupakan salah satu bagian model deterministik (bukan pemilihan random, hal ini

disebabkan karena kesamaan kondisi awal yang diberikan untuk mendapatkan

output), dengan waktu yang kontinu. Kita dapat mengasumsikan perubahan individu

terinfeksi dan susceptible terjadi dengan laju proporsional terhadap jumlah populasi.

Laju perubahan individu terinfeksi baru didefinisikan sebagai , dengan

13

merupakan nilai transmisivitas sedangkan merupakan nilai laju penyembuhan.

Individu yang terinfeksi diasumsikan dapat kembali sembuh dengan probabilitas

konstan sepanjang waktu.

Maka persamaan diferensial yang didapat dari penjabaran tersebut adalah sebagai

berikut:

Persamaan ini menggambarkan mengenai transisi masing-masing individu dari S ke I

lalu ke R. dengan menambahkan ketiga persamaan tersebut kita dapat menunjukkan

dengan mudah bahwa total populasi adalah konstan (Iswanto, 2012).

2.6 Metode Runge-Kutta

Rumus Euler ysng diperbaiki sebagai suatu cara untuk menyelesaikan masalah nilai

awal secara numeric. Galat pemotongan lokal untuk metode-metode ini sebanding

dengan masing-masing dan . Kita melihat bahwa Euler yang diperbaiki lebih

14

akurat dari pada metode Euler namun mereka masih belum cukup akurat untuk

pekerjaan numeric yang serius.

Sebuah metode yang relatife sederhana dan juga cukup akurat yang sering digunakan

dinamakan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta ini mempunyai galat

pemotongan local yang sebanding dengan . Metode yang sangat terkenal untuk

mengaproksimasi solusi masalah nilai awal orde pertama adalah metode Runge-Kutta

orde ke empat. Prosedur metode Rung-Kutta orde ke empat untuk menyelesaikan

masalah nilai awal tersebut sebagai berikut:

Tahap 1. Bagilah interval menjadi subinterval dengan menggunakan

titik-titik yang berspasi sama:

,

,

Tahap 2. Untuk , dapatkan barisan aproksimasi berikut:

Dimana

15

.

(Kartono,) 2012

16

III. METODOLOGI PENELITIAN

1.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini akan dilakukan di Jurusan Matematik Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian dilaksanakan pada

semester ganjil tahun ajaran 2017/2018.

1.2 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengkaji karakteristik model penyakit influenza SIR.

2. Memodelkan penyebaran penyakit influenza terkontrol vaksinasi dengan adanya

faktor imigrasi.

3. Melakukan simulasi numerik dengan metode Runge-Kutta untuk melihat perilaku

sistem penyebaran penyakit influenza SIR. Langkah-langkah yang dilakukan dalam

melakukan simulasi numerik dengan metode Runge-Kutta adalah sebagai berikut:

17

- Bagi interval [a,b] menjadi n subinterval dengan panjang sama yaitu

sehingga dimana

- Dari dan maka untuk metode runge-kutta didapatkan

- Sehingga didapatkan

4. Mengkaji hasil dari simulasi numerik dan model matematik amengenai analisis

kestabilan yang didapatkan.

5. Menginterpretasikan hasil dari solusi dinamik yang didapatkan.

18

IV. PEMBAHASAN

4.1Pemodelan Matematika

Asumsikan:

1. Populasi manusia yang akan dimodelkan dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:

a. Populasi Rentan (S) adalah populasi dari manusia yang sehat tetapi rentan

untuk terinfeksi penyakit.

b. Populasi Terinfeksi (I) adalah populasi dari manusia yang terinfeksi

penyakit.

c. Populasi Sembuh (R) adalah populasi dari manusia yang sudah sembuh

dari penyakit yang di derita.

2. Terdapat dua indeks utama yang dimodelkan yaitu

Indeks 1 mengarah kepada manusia yang lahir dan berasal dari wilayah

yang diasumsikan

Indeks 2 mengarah kepada manusia yang masuk ke dalam wilayah yang

diasumsikan (imigran).

19

3. Terjadi pada populasi konstan. Jumlah dari laju kelahiran ditambah dengan

laju imigrasi sama dengan laju kematian. Setiap individu dari indeks 1

maupun indeks 2 dinyatakan dalam keadaan sehat tetapi rentan terhadap

penyakit.

4. Seluruh populasi baik imigran ataupun tidak ditempatkan pada posisi yang

sama dan tidak dipisahkan dimana populasi imigran berinteraksi dengan

populasi asli sehingga tidak ada perbedaan.

5. Tingkat keberhasilan vaksinasi 100%. Hal ini berarti setiap individu yang

telah divaksin akan kebal terhadap penyakit.

6. Semua kelahiran dan imigrasi menambah jumlah subpopulasi individu yang

rentan.

7. Tidak ada individu terinfeksi yang akan menjadi individu yang rentan

kembali.

8. Tidak ada Emigrasi atau individu yang keluar dari populasi.

Dengan mempelajari jurnal Kontrol Optimum pada model Epidemik SIR dengan

Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi yang ditulis oleh N. Anggraini, A. Supriatna,

B Subartini, R. Wulantini (2015) maka asumsi-asumsi mengenai penyebaran penyakit

influenza dengan pengaruh vaksinasi dan faktor imigrasi dapat dinotasikan menjadi

sebuah pemodelan matematika.

Jumlah individu yang lahir atau Individu imigran dalam polulasi tiap satuan waktu

selalu konstan. N merupakan total populasi dan merupakan laju pertumbuhan

20

populasi. Dengan adanya indeks 1 dan indeks 2, dimana indeks 1 mengarah ke

individu yang lahir dan indeks 2 mengarah ke individu imigran. Setiap individu yang

lahir atau berimigrasi langsung dikelompokan pada populasi rentan atau S. Laju

kelahiran dan laju imigrasi berturut-turut sebagai berikut, dan . Nilai diukur

dari jumlah populasi yang lahir/imigrasi tiap satuan waktu dibagi N.

Laju kematian pada populasi sama dengan laju kelahiran, maka didapatkan laju

kematian alami yaitu yang kemudian dinotasikan sebagai . Sehingga,

besarnya jumlah kematian pada populasi dapat dituliskan sebagai berikut

Rasio jumlah individu yang divaksinasi dinyatakan dengan notasi . Setiap

individu yang telah menerima vaksinasi baik individu yang lahir ataupin yang

imigrasi langsung dinyatakan sebagai individu yang kebal dari penyakit. Individu

yang dinyatakan kebal dari penyakit masuk kedalam golongan sembuh atau

recovered. Perbandingan jumlah individu yang divaksinasi proporsi dengan jumlah

populasi yang lahir dan imigrasi yaitu . Jumlah individu yang tidak divaksin

adalah

21

Dari asumsi-asumsi yang telah dijelaskan di atas maka dapat dibentuk diagram

skematik sebagai berikut.

Gambar 4.1 Skema penyebaran penyakit dengan pengaruh vaksinasi dan faktor

imigrasi

Laju perubahan individu pada kelompok S tiap satuan waktu dapat dimodelkan

dengan Jumlah kelahiran dikurangi dengan jumlah individu yang kebal dari penyakit

karena sudah menerima vaksinasi ditambahkan dengan jumlah imigran dikurangi

dengan jumlah individu yang kebal dari penyakit karena sudah divaksinasi.

Kemudian jumlah tersebut dikurangi dengan jumlah individu rentan (suspectible)

yang terinfeksi dan memaksuki kelompok individu terinfeksi (infected) dan dikurangi

dengan jumlah kematian individu yang ada di kelompok rentan (suspectible).

S (suspectible)

I (Infected)

R (Recovered)

22

(4.2)

(4.1)

Penjelasan mengenai peubah dan parameter dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Parameter yang Mempengaruhi Pembentukkan Model Epidemik SIR

dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi

Notasi Keterangan

N Jumlah populasi

Proporsi kelahiran warga negara (konstan)

Proporsi imigran yang masuk ke dalam populasi

Laju kematian alami.

Proporsiwarga Negara yang divaksinasi saat lahir per tahun.

Proporsi imigran yang mendapatkan vaksinasi

Laju perubahan populasi dari rentan (S) menjadi terinfeksi (I)

Laju perubahan populasi dari terinfeksi (I) menjadi sembuh (R)

Asumsi ini dapat dinotasikan sebagai berikut.

Laju perubahan individu pada kelompok I tiap satuan waktu dapat dimodelkan

dengan jumlah individu rentan (suspectible) yang terinfeksi oleh penyakit dan

memasuki kelompok individu terinfeksi (infected). Kemudian dikurangi dengan

jumlah individu yang telah sembuh dari infeksi dan menjadi kelompok sembuh

(recovered)dan dikurangi dengan jumlah kematian pada kelompok terinfeksi

(infected). Hal ini dapat dinotasikan sebagai berikut:

23

(4.3)

Selain laju perubahan individu pada kelompok S dan I dinotasikan, laju perubahan

individu pada kelompok R tiap satuan waktu juga dapat dimodelkan yaitu dengan

jumlahkelahiran yang telah kebal dari penyakit karena menerima vaksinasi

ditambahkan jumlah imigran yang telah kebal dari penyakit karena menerima

vaksinasi ditambah dengan jumlah individu yang sembuh dari infeksi dan menjadi

kelompok sembuh (recovered), lalu dikurangi dengan jumlah kematian pada

kelompok sembuh (recovered). Hal ini dapat dinotasikan sebagai berikut:

Dengan memperhatikan grafik skematik pada Gambar 4.1 serta memperhatikan

persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) diperoleh model persamaan diferensial untuk

menggambarkan model epidemic SIR dengan mempertimbangkan pengaruh vaksinasi

dan factor imigrasi. Model yang didapatkan dapat dinotasikan sebagai berikut.

Persamaan (4.4) merupakan system autonomus yang menggambarkan model

epidemic SIR dengan mempertimbangkan pengaruh vaksinasi dan faktor imigrasi

dengan syarat awal yaitu N > 0,S (0) > 0, I (0) > 0, dan R (0) = 0.

(4.4)

24

Dengan jumlah populasi yang merupakan N, maka sistem persamaan (4.4) dapat

disederhanakan. Untuk menyederhanakan sistem persamaan (4.4) dapat dilakukan

dengan normalisasi dimana proporsi banyaknya individu pada masing-masing

kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut

Dari persamaan (4.5), dan definisi SIR, maka diperoleh

Dengan memperhatikan persamaan (4.5) dan persamaan (4.6) maka didapatkan

sistem persamaan yang baru sebagai berikut

Sistem persamaan (4.7) masih dapat disederhanakan kembali dengan mengalikan

persamaan diatas dengan

didapatkan hasil, yaitu

(4.7)

(4.5)

(4.6)

25

(4.9)

Sistem persamaan (4.8) adalah bentuk sederhana dari persamaan (4.4) yang

memungkinkan untuk memudahkan analisis yang dilakukan.

4.2 Titik kesetimbangan

Pada sistem persamaan (4.8), variabel r tidak muncul pada persamaan baris pertama

dan kedua. Hal ini menunjukkan bahwa jumlah individu pada kelompok r tidak akan

mempengaruhi laju perubahan jumpah individu pada kelompok s ataupun i.

Berdasarkan persamaan (4.6) maka

Dengan memperhatikan kondisi tersebut maka sistem persamaan (4.8) dapat

dinyatakan hanya dengan persamaan s dan persamaan i. Bentuk baru dari sistem

persamaan (4.8) yaitu sebagai berikut

(4.8)

26

(4.10.1)

(4.10.2)

Menurut definisi sistem autonomus, kondisi setimbang dapat dipenuhi ketika

Penyelesaian dari persamaan (4.10.2) adalah sebagai berikut

Maka didapatkan atau yang menghasilkan

Untuk

Untuk

27

(4.11)

(4.12)

Dengan demikian, diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu

1. Titik kesetimbangan bebas penyakit.

Nilai , yang berarti bahwa tidak ada individu dalam kelompok I yang

dapat menularkan penyakit ke kelompok S. Titik kesetimbangan ini

dinotasikan dengan .

2. Titik kesetimbangan epidemi.

Titik kesetimbangan ini dinotasikan dengan . Nilai i yang didapatkan

pada titik kesetimbangan epidemi adalah tidak samadengan 0, . Hal ini

menunjukan bahwa pada kelompok I terdapat individu yang dapat menularkan

penyakit dan menyebabpak epidemi.

4.3 Angka Reproduksi Vaksinasi

Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter

tertentu. Parameter yang digunakan adalah rasio reproduksi vaksinasi. Menurut

28

(4.13)

(4.14)

Hethcote, Rasio reproduksi merupakan rasio yang menunjukkan jumlah individu

rentan (suspectible) yang dapat menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu

individu terinfeksi (infected). Sedangkan rasio reproduksi vaksinasi adalah rasio yang

menunjukkan jumlah individu yang perlu divaksinasi untuk mencegah terjadinya

epidemi. Rasio reproduksi vaksinasi dinotasikan sebagai .

Menurut penjelasan Anindya Yolanda Triastari pada jurnalnya yang berjudul

Pengaruh Vaksinasi Pada Model SIR Dengan Imigran, nilai didapatkan dari

pada titik kesetimbangan . Sehingga dapat dinotasikan sebagai berikut

4.4 Kestabilan

Untuk mendapatkan analisis kestabilan maka dilakukan pencarian nilai eigen dari

matriks Jacobian yang diperoleh melalui metode linearisasi. Matriks Jacobian dari

sistem (4.8) adalah sebagai berikut

29

(4.14)

Setelah mendapatkan nilai kestabilan dari sistem persamaan (4.8) maka dapat

ditentukan pula kestabilan dari titik kesetimbangan dan . Kestabilan dari titik

kesetimbangan dan dapat ditentukan berdasarkan nilai eigen yang kemudian

dinotasikan dengan lambang .

Matriks Jacobian di titik adalah

Nilai dari

Dapat dimasukan ke matriks untuk menyederhanakan matriks tersebut.

Sehingga didaptakan bentuk matriks yang baru yaitu sebagai berikut.

Dengan

Nilai eigen dari matriks Jacobian (4.15) dapat dicari menggunakan aplikasi maple,

sehingga didapatkan hasil sebagai berikut.

30

Maka didapatkannilai eigen dari matriks Jacobian (4.15) yaitu , , dan sebagai

berikut.

Setelah mendapatkan hasil nilai eigen dari matriks Jacobian untuk , maka

dilakukan pencarian terhadap nilai eigen dari matriks Jacobian di titik .

Nilai dari

Dapat dimasukan ke matriks untuk menyederhanakan matriks tersebut.

Sehingga didaptakn bentuk matriks yang baru yaitu sebagai berikut.

31

(4.16)

(4.17)

Dari titik kesetimbangan dalam adalah sebagai berikut

Dengan

Nilai eigen dari matriks Jacobian (4.16) dapat dicari dengan menggunakan aplikasi

maple, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut.

Maka didapatkannilai , , dan dari matriks Jacobian (4.16) yaitu

4.5 Simulasi numerik

Dalam mengerjakan simulasi numerik ini akan dibentuk dengan menggunakan

program matlab dengan mengaplikasikan metode Runge-Kutta. Berdasar pada kasus

32

(4.18)

penyebaran penyakit yang ada pada Anindya (2013) dengan dilakukannya perubahan

pada nilai parameter yang tidak jauh dari yang sudah ada, diberikan laju infeksi

dan laju kesembuhan yaitu . Besarnya laju kelahiran, laju

datangnya imigran dan laju kematian berturut-turut adalah , ,

dan . Kondisi awal rasio jumlah penduduk pada kelompok s (suspectible)

adalah 0.75, kelompok i (infected) adalah 0.25, kelompok r (recovered) adalah 0.

Dengan menggunakan simulasi yang telah ditetapkan, maka model matematika

penyebaran penyakit dapat dinotasikan sebagai berikut.

Untuk membuktikan bahwa simulasi yang telah dilakukan mendapatkan hasil yang

stabil, maka dapat dilakukan pengujian terhadap nilai yang didapatkan dari nilai

eigen.

I. , Sistem stabil.

II. , Sistem tidak stabil.

Apabila populasi kelahiran maupun populasi imigrasi tidak diberikan vaksinasi

sehingga penyebaran penyakit yang terjadi tidak dicegah sama sekali. Hal ini dapat

33

dinotasikan dengan dan . Maka proporsi individu rentan atau s

(suspectible), terinfeksi atau i (infected), dan sembuh atau r (recovered) dengan

dan dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Proporsi individu rentan (susceptible)(garis biru), terinfeksi

(infected)(garis hijau) dan sembuh (recovered)(garis merah) pada saat ,

dan

Pada Gambar 4.2 dapat dilihat rasio individu rentan yang bermula pada titik 0.75

sedikit mengalami penurunan yang kemudian mengalami penaikan. Hal ini

menandakan bahwa populasi rentan atau s (suspectible) semakin lama semakin

banyak.

34

Pada Gambar 4.2 juga dapat dilihat pula bahwa rasio individu terinfeksi(infected)

mengalami penurunan. Berbeda dengan rasio individu terinfeksi(infected), rasio

individu yang kebal terhadap penyakit (recovered) mengalami kenaikan sebelum

akhirnya mengalami penurunan.

Sebagai perbandingan maka dilakukan simulasi kembali dengan nilai laju imigran

yang berbeda yaitu atau dapat dikatakan juga sebagai kondisi dimana laju

imigran lebih kecil daripada laju warga yang lahir.


(infected)(garis hijau) dan sembuh (recovered)(garis merah) pada saat ,

dan

35

Jika dibandingkan, Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 tidak memiliki begitu banyak

perbedaan. Kondisi garis biru, garis merah, dan garis hijau pada kedua gambar sama.

Akan tetapi angka yang didapatkan berbeda. Pada gambar 4.2, tingkat populasi S

meningkat hingga 1. Sedangkan pada Gambar 4.3, tingkat populasi S meningkat

hanya sampai 0.9.

Selanjutnya disimulasikan apabila populasi dalam keadaan sedikit dari warga asli

yang melakukan vaksinasi, sedangkan warga imigran tidak melakukan vaksinasi

sama sekali. Kondisi ini dinotasikan dengan dan .

36


(infected)(garis hijau) dan sembuh (recovered)(garis merah) pada saat saat ,

dan

Dari Gambar 4.4 dapat dilihat bahwa rasio individu rentan(suspectible) akan

mengalami pasang surut. Individu rentan(suspected) akan terus bertambah hingga di

titik 0.9. Sedangkan rasio individu terinfeksi(infected) mengalami penurunan terus

menerus tetapi akan membutuhkan waktu yang sangat lama untuk hilang. Individu

terinfeksi(infected) yang semakin menurun dapat diartikan bahwa individu

terinfeksi(infected) mengalami kesembuhan dan kekebalan terhadap penyakit. Hal ini

mengakibatkan kenaikan pada rasio individu sembuh(recovered).

37





(infected)(garis hijau) dan sembuh (recovered)(garis merah) pada saat saat ,

dan

Jika dibandingkan, gambar 4.4 dan 4.5 memiliki sedikit perbedaan. Pada gambar 4.5

dalam kurun waktu 100 tahun, populasi kebal mencapai angka 0.2 yaitu lebih besar

dibandingkan dengan keadaan pada gambar 4.4.

38

Berbeda dengan sebelumnya, pada kondisi ini disimulasikan warga asli tidak

melakukan vaksinasi sama sekali sedangkan beberapa warga imigran melakukan

vaksinasi. Kondisi ini dapat dinotasikan dengan dan .

Gambar 4.6 Proporsi individu rentan (susceptible) (garis biru), terinfeksi (infected)

(garis hijau) dan sembuh (recovered) (garis merah) pada saat saat , .3

dan

Gambar 4.6 menunjukan bahwa rasio individu rentan(suspectible) mengalami

kenaikan tapi lebih kecil dibandingkan keadaan pada Gambar 4.3. Sedangkan rasio

individu terinfeksi(infected) mengalami penurunan terus menerus tetapi akan

39

membutuhkan waktu yang sangat lama untuk hilang. Individu terinfeksi(infected)

yang semakin menurun dapat diartikan bahwa individu terinfeksi(infected)

mengalami kesembuhan dan kekebalan terhadap penyakit. Hal ini mengakibatkan

kenaikan pada rasio individu sembuh(recovered). Rasio individu sembuh(recovered)

mengalami kenaikan yang cukup besar berada di antara titik 0.2 dan 0.3.




40



dan

Pada gambar 4.6 dan gambar 4.7 dapat dilihat bahwa nilai akhir populasi r atau kebal

berbeda di kedua gambar. Gambar 4.7 memiliki nilai yang lebih kecil daripada

Gambar 4.6.

Apabila populasi mengalami kondisi dimana beberapa warga dari kelompok warga

asli dan kelompok warga imigran melakukan vaksinasi maka grafik akan berbeda

dengan sebelumnya. Kondisi ini dapat dinotasikan dengan .3 dan

41


(garis hijau) dan sembuh (recovered) (garis merah) pada saat saat .3, .3

dan .

Berbeda dengan kondisi-kondisi sebelumnya, pada Gambar 4.8 terlihat bahwa rasio

individu rentan(suspectible) mengalami penurunan walau sempat mengalami pasang

surut. Kemudian rasio individu menjadi monoton pada titik 0.7, hal ini menandakan

bahwa sistem berada pada titik setimbang. Sedangkan itu kelompok sembuh atau

rentan (recovered) mengalami kenaikan yang lebih tinggi dari kondisi-kondisi

sebelumnya yaitu berada di titik 0.3.

42






dan .

Dapat dilihat pada kedua gambar diatas bahwa nilai populasi S atau rentan menurun

hingga 0.7 pada Gambar 4.8 dan menurun hingga 0.65 pada Gambar 4.9. Hal ini

dapat diartikan bahwa lebih banyak populasi yang rentan apabila laju warga imigran

lebih besar dari laju warga yang lahir. Selain populasi rentan, perbedaan juga terlihat

43

pada populasi kebal atau r. Pada gambar 4.8, populasi kebal meningkat hingga 0.3,

sedangkan pada gambar 4.9 populasi kebal meningkat hingga 0.35.

Jika rasio vaksinasi yang diberikan sebesar dan , maka hasil yang

didapatkan adalah sebagai berikut.

Gambar 4.10Proporsi individu rentan (susceptible) (garis biru), terinfeksi (infected)


dan .

44

Pada Gambar 4.10 dapat dilihat bahwa dengan rasio vaksinasi yang diberikan,

individu rentan mengalami penurunan yang cukup besar dalam kurun waktu selama

30 tahun. Proporsi individu rentan akan stabil di titik 0.5, hal ini dapat dilihat dari

Gambar 4.10 bahwa garis biru tidak mengalami kenaikan ataupun penurunan setelah

di angka 0.5.

Selain itu, dapat dilihat pula pada Gambar 4.10 bahwa proporsi individu kebal

mengalami kenaikan yang cukup besar dalam kurun waktu selama 30 sampai 40

tahun. Tidak jauh berbeda dengan proporsi individu rentan, proporsi individu kebal

juga akan setimbang di titik 0.5, hal ini dibuktikan dengan garis merah yang tidak

naik ataupun turun setelah mencapai titik 0.5.




45



dan .



Akan tetapi angka yang didapatkan berbeda. Jika pada Gambar 4.10 populasi rentan

dan populasi terinfeksi sama-sama berakhir pada angka 0.5 sedangkan pada Gambar

4.11 populasi rentan berakhir di atas angka 0.5 dan populasi terinfeksi berakhir di

bawah angka 0.5.

46





dan .

Pada Gambar 4.12 dapat dilihat bahwa proporsi individu rentan mengalami lebih

banyak penurunan dalam kurun waktu yang sama. Penurunan terjadi hingga hamper

di titik 0.3 dalam kurun waktu 30 tahun dan kemudian proporsi individu rentan akan

setimbang pada titik 0.3.

47

Selain perbedaan itu, terdapat juga perbedaan yang terjadi terhadap proporsi individu

kebal yaitu, proporsi individu kebal mengalami kenaikan hingga 0.6 dalam kurun

waktu selama 20 tahun yang kemudian akan stabil di titik 0.7 dalam kurun waktu 100

tahun.






dan

48

Tidak begitu besar perubahan yang terjadi diantara Gambar 4.11 dan 4.12. Pada

kedua gambar tersebut, nilai proporsi populasi rentan berakhir di antara 0.6 hingga

0.7.





dan .

49

Pada Gambar 4.14 dapat dilihat bahwa kenaikan dan penurunan yang dialami oleh

proporsi individu kebal dan proporsi individu rentan tidak sebanyak yang terjadi pada

kondisi sebelumnya. Pada Gambar 4.14 proporsi individu rentan hanya mengalami

penurunan hingga di titik 0.4 dalam kurun waktu 30 tahun. Sedangkan proporsi

individu kebal hanya mengalami kenaikan hingga 0.6 dalam kurun waktu 30 tahun.




50



dan



Akan tetapi angka yang didapatkan berbeda. Pada Gambar 4.11 proporsi populasi

kebal atau sembuh mencapai angka 0.6 sedangkan hal ini tidak terjadi pada Gambar

4.15.

Apabila rasio vaksinasi yang diberikan sebesar dan , maka hasil

yang didapatkan adalah sebagai berikut.

51



dan

Pada gambar 4.16 dapat dilihat bahwa dengan rasio vaksinasi yang diberikan,

proporsi individu rentan mengalami penurunan hingga di titik 0.45 dalam kurun

waktu 30 tahun. Penurunan yang di alami oleh proporsi individu rentan lebih sedikit

dibandingkan dengan gambar 4.14. Selain itu, Proporsi individu kebal mengalami

kenaikan hingga 0.5 dalam kurun waktu 30 tahun. Hal ini juga lebih sedikit

dibandingkan dengan gambar 4.14.

52






dan

Pada Gambar 4.16 dan Gambar 4.17 terlihat perbedaan yang cukup drastic pada garis

merah. Nilai proporsi populasi kebal pada Gambar 4.16 yaitu sebesar 0.55 dan

53

populasi rentan sebesar 0.44. Sedangkan pada Gambar 4.17, nilai proporsi populasi

kebal yaitu sebesar 0.59 dan populasi rentan sebesar 0.39.

Berikut adalah perbandingan dari Gambar 4.16 dan Gambar 4.17.

Jika warga imigran diwajibkan untuk melakukan vaksinasi sedangkan warga asli

tidak melakukan vaksinasi maka dinotasikan dengan dan

54



dan .

Gambar 4.18 menunjukkan keadaan pada saat warga imigran diwajibkan melakukan

vaksinasi sedangkan warga asli tidak ada yang melakukan vaksinasi. Pada saat

kondisi ini, rasio individu rentan (suspected) menurun jauh hingga di titik 0.3 dan

rasio individu sembuh (recovered) meningkat hingga di atas 0.7.




55



dan .

Jika dibandingkan, kedua gambar di atas menunjukan hal yang sangat berbeda. Pada

Gambar 4.18 ketika laju pertumbuhan warga imigrasi lebih tinggi daripada laju

pertumbuhan populasi asli, Grafik menunjukan bahwa garis merah mengalami

kenaikan drastic hingga 0.71. Sedangkan pada Gambar 4.19, kondisi ketika laju

pertumbuhan warga imigrasi lebih rendah dibandingkan laju pertumbuhan populasi

asli menunjukan hasil bahwa garis merah atau populasi kebal hanya mencapai angka

0.45.

56

Apabila dan maka hasil yang didapatkan terlihat pada gambar 4.12

sebagai berikut

.Gambar 4.20Proporsi individu rentan (susceptible) (garis biru), terinfeksi (infected)

(garis hijau) dan sembuh (recovered) (garis merah) pada saat saat , dan

.

Pada Gambar 4.20 terlihat bahwa rasio individu rentan (suspectible) menurun drastis

dan bahkan akan hilang. Hal ini dikarenakan oleh pemberian vaksin yang tinggi.

Vaksinasi yang diberikan dapat membuat populasi rentan (suspectible)menjadi kebal

dan populasi terinfeksi (infected) menjadi sembuh dari penyakit. Maka, rasio individu

sembuh (recovered) meningkat hingga 1.

57





(garis hijau) dan sembuh (recovered) (garis merah) pada saat saat , ,

dan .

58

Perbedaan yang terlihat pada Gambar 4.20 dan Gambar 4.21 yaitu garis hijau atau

terinfeksi akan menghilang lebih cepat pada Gambar 4.20 dibandingkan Gambar

4.21.

Dengan melihat kondisi kondisi yang disimulasikan sebelumnya, kondisi ini

menunjukan hasil yang paling baik diantara kondisi lainnya. Gambar 4.13 akan

menunjukan perbandingan ketika populasi tidak diberikan vaksinasi dan ketika

populasi diberikan vaksinasi.

.Gambar 4.22 Proporsi sistem SIR untuk dan dan sistem SIR

untuk dan (garis putus-putus)

59

Pada Gambar 4.22 terlihat perbedaan yang cukup drastis antara sistem SIR untuk

dan dan SIR untuk dan . Pada proporsi individu rentan

(suspectible), ketika populasi tidak melakukan vaksinasi terjadi peningkatan hingga

di titik 1. Namun ketika populasi diwajibkan melakukan vaksinasi, maka proporsi

individu rentan (suspectible) mengalami penurunan hingga menghilang yang artinya

populasi yang sebelumnya rentan berpindah menjadi populasi terinfeksi dan populasi

sembuh.

Dengan meningkatkan pemberian vaksinasi kepada populasi maka proporsi individu

sembuh (recovered) mengalami peningkatan pesat hingga di titik 1. Hal ini

dikarenakan populasi yang sebelumnya berada di kelompok rentan (suspectible)

ataupun kelompok terinfeksi (infected) menjadi sembuh dan kebal terhadap penyakit

setelah diberikan vaksinasi.

Untuk melihat stabil atau tidaknya sebuah sistem, dapat di uji menggunakan nilai

yang didapatkan dari nilai eigen. Berikut adalah tabel nilai untuk setiap kondisi

yang disimulasikan.

Tabel 4.2 Nilai untuk setiap kondisi yang berbeda.

No Gambar Ket.

1 Gambar 4.2 0 0 0.036 0.1 -0.5 -0.5 Tdk Stabil


60

3 Gambar 4.4 0.3 0 0.036 0.0916 -0.5 -0.5 Tdk Stabil

4 Gambar 4.5 0.3 0 0.01 0.0825 -0.5 -0.5 Tdk Stabil

5 Gambar 4.6 0 0.3 0.036 0.0784 -0.5 -0.5 Tdk Stabil

6 Gambar 4.7 0 0.3 0.01 0.0875 -0.5 -0.5 Tdk Stabil

7 Gambar 4.8 0.3 0.3 0.036 0.07 -0.5 -0.5 Tdk Stabil












19 Gambar 4.20 1 1 0.036 0 -0.5 -0.5 Stabil

20 Gambar 4.21 1 1 0.01 0 -0.5 -0.5 Stabil

62

V. PENUTUP

5.1 Simpulan

Adapun simpulan yang dapat diambil dari hasil pembahasan yang telah dilakukan

adalah model epidemi SIR untuk penyebaran penyakit influenza dengan pengaruh

vaksinasi dan faktor imigrasi dapat dinotasikan sebagai

Model tersebut memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu

1. Titik kesetimbangan bebas penyakit.

2. Titik kesetimbangan epidemi.

63

Model tersebut memiliki nilai atau Nilai reproduksi vaksinasi yaitu

Setelah dilakukan beberapa simulasi numerik terhadap model yang didapatkan,

dapat dilihat bahwa sistem akan menjadi stabil saat tingkat vaksinasi yang

diberikan yaitu .

Nilai dapat mempengaruhi simulasi yang dilakukan. Apabila , maka

tingkat vaksinasi yang dibutuhkan agar penyakit lebih cepat menghilang adalah

. Dengan berlakunya hal ini maka sistem akan lebih cepat menuju stabil.

5.2 Saran

Disarankan untuk pembaca yang tertarik masalah ini dapat mengembangkan

model epidemic SIR dengan menambahkan peubah yang belum disebutkan pada

penelitian ini.

DAFTAR PUSTAKA

Hethcote, H.W. 2000. The Mathematics of Infectious Disease. SIAM Review 42

Number 4, 599-653.

Iswanto, R.J. 2012. Pemodelan Matematika: Aplikasi dan Terapannya. Graha

Ilmu, Yogyakarta.

Kartono, 2012, Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika Fenomena

Perubahan, Graha Ilmu, Yogyakarta

Marwan. & Said, M. 2009. Persamaan Diferensial. Graha Ilmu, Yogyakarta.

Neuhauser, C. 2004. Calculus for Biology and Medicine. Pearson Education,

New Jersey.

N. Anggriani, A., Supriatna, B. & Subartini, R. W. 2015. Kontrol Optimum pada

Model Epidemik SIR dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi.

Bandung: Jurnal Matematika Integratif. Vol. 11, No. 2 : 111-118.

Varberg, D., Purcell, E.J. & Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9th edition. Pearson,

New York.

Waluya, B. 2006. Buku Ajar: Persamaan Diferensial. Universitas Negeri

Semarang. Semarang.

PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN PENYAKIT ...digilib.unila.ac.id/54327/2/SKRIPSI FULL...

Documents

Transcript of PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN PENYAKIT ...digilib.unila.ac.id/54327/2/SKRIPSI FULL...