perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL SUSCEPTIBLE .../Model... · penyakit dengan individu...

MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)

DENGAN IMIGRASI DAN SANITASI

oleh

EVY DWI ASTUTI

M0108087

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

i

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Evy Dwi Astuti. 2012. MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVE-RED (SIR) DENGAN IMIGRASI DAN SANITASI. Fakultas Matematika danIlmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Salah satu model matematika yang dapat digunakan untuk menggambarkan fe-nomena penyebaran penyakit yaitu model SIR. Penyakit yang berkarakteristikSIR yaitu, apabila individu telah terinfeksi penyakit kemudian sembuh, individutersebut tidak terinfeksi lagi. Penyebaran penyakit infeksi dapat dipengaruhi olehfaktor imigrasi. Upaya pencegahan penyebaran penyakit infeksi dapat dilakukandengan cara perbaikan sanitasi. Sanitasi merupakan program kebersihan ling-kungan yang diharapkan dapat menurunkan kontak antara individu yang rentanpenyakit dengan individu yang terinfeksi penyakit. Dengan demikian, penyebar-an penyakit dapat dikurangi dengan program sanitasi.

Tujuan dari penelitian adalah mengkonstruksi model SIR dengan imigrasidan sanitasi, menganalisis model dan menginterpretasi model. Model SIR de-ngan imigrasi dan sanitasi memiliki dua jenis titik kesetimbangan yaitu, titikkesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Simulasi dila-kukan untuk mengetahui pengaruh sanitasi terhadap jumlah individu terinfeksi.Semakin tinggi tingkat sanitasi, jumlah individu terinfeksi semakin berkurang.

iii


commit to user

ABSTRACT

Evy Dwi Astuti. 2012. SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)MODEL WITH IMMIGRATION AND SANITATION. Faculty of Mathematicsand Natural Sciences, Sebelas Maret University.

One of the mathematical models that can be used to describe the phenomenondisease spread is SIR model. The characterized SIR’s diseases is if an individualhas been infected and then recovered, the individual will not be infected again.The infectious diseases’s spread can be affected by immigration factor. The effortsprevent infectious diseases’s spread can be done by improved sanitation. Thesanitation is a environmental hygiene can be expected to reduce the contactbetween susceptible individuals with the infected individuals. Thus, the spreadof disease can be reduced by sanitation program.

The purposes of the research are to construct the SIR model with immigra-tion and sanitation, to analize the model and to interpret the model. The SIRmodel with immigration and sanitation have two kinds equilibrium point. Theyare disease free equilibrium point and endemic equilibrium point. The sanitationwas done to know the affect of sanitation toward a number of infected individuals.When the sanitation increase, the number of infected individuals decreases.

iv


commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan

skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada

1. Ibu Sri Kuntari, M.Si. sebagai pembimbing I dan Bapak Bowo Winarno,

S.Si, M.Kom. sebagai pembimbing II yang telah memberi bimbingan dan

arahan dalam penulisan skripsi.

2. Ibu Dra.Purnami Widyaningsih, M.App.Sc, Ibu Dra. Respatiwulan M.Si.

yang telah memberikan saran dan masukan dalam penulisan skripsi ini.

3. Seluruh pihak yang telah memberikan semangat, motivasi dan kerja sama-

nya.

Penulis berharap semoga laporan ini bermanfaat.

Surakarta, Juli 2012

Penulis

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk

Bapak, Ibu, kakak serta adik sebagai wujud atas doa, semangat, dan

pengorbanan yang diberikan kepada saya.

vi


commit to user

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Pemodelan Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Sistem Autonomous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3 Model SIR Klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.4 Kesetimbangan dan Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Kerangka Berpikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

IIIMETODE PENELITIAN 12

IVPEMBAHASAN 14

4.1 Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Kesetimbangan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

vii


commit to user

4.2.1 Titik Kesetimbangan Tanpa Sanitasi . . . . . . . . . . . . 17

4.2.2 Titik Kesetimbangan Sanitasi Maksimal . . . . . . . . . . 18

4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1 Kestabilan Titik Kesetimbangan E00 dan Ee0 . . . . . . . 19

4.3.2 Kestabilan Titik Kesetimbangan E01 dan Ee1 . . . . . . . 20

4.4 Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

V PENUTUP 26

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

DAFTAR PUSTAKA 28

viii


commit to user

Daftar Gambar

2.1 Perubahan jumlah individu pada model epidemi SIR . . . . . . . . 6

2.2 Perubahan jumlah individu pada model endemik SIR . . . . . . . . 6

2.3 Trayektori pada bidang fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1 Perubahan jumlah individu model SIR dengan imigrasi . . . . . . . 16

4.2 Perubahan jumlah individu model SIR dengan imigrasi dan sanitasi 17

4.3 (a) Jumlah individu susceptible (b) Jumlah individu infected (garis

putus-putus), dan jumlah individu recovered (garis putus-putus

renggang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 (a) Trayektori di titik kesetimbangan (1500,0) ketika H = 0 (b)

Trayektori di titik kesetimbangan (1500,0) ketika H = 1 . . . . . . 24

4.5 Penurunan jumlah individu kelompok I ketika H = 0 (garis tebal

putus-putus), H = 0.25 (garis tipis), H = 0.5 (garis tipis putus-

putus), H = 0.75 (garis tebal) dan H = 1 (garis tebal putus-putus

renggang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ix


commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Menurut CDC [3], penyakit kolera pertama kali muncul di Peru pada bulan

Januari 1991 kemudian menyebar ke Ecuador, Colombia, Chile, Brazil, Mexico,

dan Guatemala. Penyakit kolera dapat menjadi parah, dan mengancam jiwa te-

tapi dapat dicegah dan diobati. Penyakit kolera disebabkan oleh bakteri vibrio

cholerae yang berkembang biak dan menyebar melalui kotoran manusia. Apabila

kotoran yang mengandung bakteri ini mengkontaminasi air mengalir seperti air

sungai, mengakibatkan individu lain yang melakukan kontak dengan air tersebut

beresiko terinfeksi. Misalnya cuci tangan yang tidak bersih lalu makan, mencuci

sayuran atau makanan dengan air yang telah terkontaminasi. Bahkan penyakit

tersebut dapat bersifat endemik, yaitu penyakit menyerang suatu wilayah terten-

tu dalam kurun waktu lebih dari satu tahun.

Kolera merupakan penyakit yang telah lama menyerang manusia, dan terus

menjadi masalah bagi kesehatan masyarakat dunia (Johnson [9]). Lebih dari

100.000 orang di dunia meninggal akibat penyakit kolera setiap tahunnya.

Perpindahan individu dari satu wilayah ke wilayah lain sangat mempenga-

ruhi penyebaran penyakit. Seseorang yang telah terinfeksi membawa penyakit

ketika masuk ke wilayah tertentu, orang tersebut berpotensi menularkan penya-

kit ke orang lain. Imigrasi dapat berpengaruh terhadap penyebaran penyakit

infeksi. Menurut Picollo dan Billings [13], faktor imigrasi sangat mempengaruhi

laju penyebaran penyakit infeksi.

Menurut Claudia [4], penyakit kolera berkembang di daerah dengan ling-

kungan yang kotor atau kebersihan lingkungan yang rendah. Untuk mengurangi

penyebaran penyakit infeksi dibutuhkan upaya pencegahan. Upaya yang da-

1


commit to user

pat dilakukan yaitu dengan perbaikan sanitasi. Hetchcote [7], Guimaraens dan

Codeco [6] menyebutkan bahwa adanya keefektifan sanitasi dapat mengurangi

penyebaran penyakit infeksi. Faktor-faktor yang termasuk dalam sanitasi da-

pat berupa kebersihan saluran air, pengelolaan air bersih, kebersihan air minum,

kebersihan makanan.

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di segala bidang mempu-

nyai peranan yang penting dalam kehidupan manusia khususnya dalam masalah

penyebaran penyakit infeksi. Fenomena penyebaran penyakit dapat digambar-

kan melalui pemodelan matematika. Menurut Hetchcote [7], model SIR dapat

digunakan untuk menggambarkan fenomena penyebaran penyakit infeksi. Un-

tuk mengkonstruksi model dibutuhkan asumsi, batasan dan parameter-parameter

yang berpengaruh. Kemudian dari model tersebut dapat diketahui perilaku pe-

nyebaran penyakit infeksi pada suatu populasi.

Model SIR dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu rentan

terinfeksi penyakit Susceptible (S), kelompok individu terinfeksi penyakit Infected

(I) dan kelompok telah sembuh dari penyakit Recovered (R). Pada model SIR,

individu yang telah sembuh dari penyakit tidak terinfeksi lagi dikarenakan telah

memiliki kekebalan tubuh.

Pada tahun 2005, Picollo dan Billings [13] telah meneliti tentang model

SIR dengan memperhatikan faktor imigrasi. Pada tahun yang sama Guimaraens

dan Codeco [6] telah meneliti tentang model SIR dengan memperhatikan faktor

sanitasi. Selanjutnya, penulis meneliti tentang model SIR dengan imigrasi dan

sanitasi. Penelitian meliputi konstruksi model, menganalisis model dan mengin-

tepretasi model.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah dapat diambil tiga perumusan masalah

yaitu

1. bagaimana mengkonstruksi model SIR dengan imigrasi dan sanitasi?

2


commit to user

2. bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan titik kesetim-

bangan tersebut?

3. bagaimana mengintepretasikan model SIR dengan imigrasi dan sanitasi?

1.3 Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah

1. dapat mengkonstruksi model SIR dengan imigrasi dan sanitasi,

2. dapat menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan titik kesetimbangan

tersebut, dan

3. dapat mengintepretasikan model SIR dengan imigrasi dan sanitasi.

1.4 Manfaat

Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang penga-

ruh imigrasi serta sanitasi terhadap penyebaran penyakit infeksi sehingga dapat

menurunkan jumlah individu terinfeksi.

3


commit to user

Bab II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Kermak dan McKendrick [10] pada tahun 1929 menyatakan bahwa feno-

mena penyebaran penyakit dapat dijelaskan melalui model epidemi SIR. Tetapi

model tersebut hanya dapat digunakan untuk mempelajari penyebaran penya-

kit infeksi yang terjadi dalam kurun waktu kurang dari satu tahun. Menurut

Hetchcote [7], penyebaran penyakit infeksi yang terjadi dalam kurun waktu le-

bih dari satu tahun digunakan model endemik SIR. Pada penelitian sebelumnya,

Picollo dan Billings [13] telah meneliti tentang fenomena penyebaran penyakit

infeksi yang mempertimbangkan faktor imigrasi.

Faktor imigrasi memiliki pengaruh cukup tinggi dalam penyebaran penya-

kit, untuk mengurangi penyebarannya dibutuhkan upaya pencegahan yaitu sa-

nitasi pada wilayah tertentu. Pada artikel Guimaraens dan Codeco [6] meneliti

tentang model SIR dengan pengaruh sanitasi, untuk mengetahui seberapa besar

pengaruh sanitasi terhadap penurunan individu infected. Dalam penelitian ini

ingin mengetahui pengaruh dari sanitasi terhadap model SIR dengan imigrasi.

Berikut ini, diberikan landasan teori untuk mendukung tujuan penelitian.

Landasan teori tersebut meliputi pemodelan matematika, sistem autonomous,

model SIR, kesetimbangan dan kestabilan.

2.1.1 Pemodelan Matematika

Menurut Meyer [11], pemodelan matematika merupakan suatu alat yang

digunakan untuk mendeskripsikan permasalahan yang terjadi dalam kehidupan

sehari-hari ke dalam bentuk matematis. Sehingga permasalahan tersebut dapat

lebih mudah untuk diselesaikan.

4


commit to user

2.1.2 Sistem Autonomous

Sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu yang terdiri dari tiga

persamaan, mempunyai bentuk umum

dS

dt= f1(S, I, R),

dI

dt= f2(S, I, R),

dR

dt= f3(S, I, R),

(2.1)

dengan f1, f2, f3 adalah persamaan nonlinier. Menurut Ross [14], sistem (2.1)

akan memiliki penyelesaian jika fungsi f1, f2, f3 merupakan fungsi kontinu. Me-

nurut Boyce [2], jika variabel t tidak muncul secara eksplisit untuk setiap f1, f2, f3

maka sistem (2.1) disebut sistem autonomous.

Nilai (S, I, R) yang memenuhi sistem (2.1) secara simultan disebut penye-

lesaian dari sistem. Jika penyelesaian sistem persamaan (2.1) disajikan dalam

bidang fase, maka akan terbentuk kurva penyelesaian di bidang fase yang disebut

dengan trajektori.

2.1.3 Model SIR Klasik

Menurut Hetchcote [7], dalam model SIR populasi terbagi menjadi 3 ke-

lompok yaitu kelompok individu susceptible (S ), kelompok individu infected (I )

dan kelompok individu recovered (R). Dalam model ini diasumsikan populasi

konstan dengan populasi bercampur secara homogen. Hanya terdapat satu ma-

cam penyebaran penyakit infeksi sehingga hanya terdapat satu macam kontak

penularan penyakit infeksi, yaitu kontak dengan penderita penyakit infeksi yang

sama dengan masa inkubasi diabaikan. Individu yang telah sembuh dari penyakit

infeksi tidak akan tertular lagi.

Pada penyebaran penyakit infeksi terdapat dua macam model SIR klasik

yang dapat dipelajari yaitu model epidemi SIR dan model endemik SIR. Model

epidemi SIR digunakan untuk mempelajari fenomena penyebaran penyakit infeksi

dalam kurun waktu kurang dari satu tahun. Perubahan jumlah individu pada

model epidemi SIR dapat dilihat pada Gambar 2.1.

5


commit to user

S I RN

SIb

Ig

Gambar 2.1. Perubahan jumlah individu pada model epidemi SIR

Sehingga model epidemi SIR dapat disajikan pada sistem (2.2)

dS

dt= −β

SI

N,

dI

dt= β

SI

N− γI,

dR

dt= γI,

(2.2)

dengan β merupakan laju kontak dan γ merupakan laju kesembuhan. Sedangkan

S, I, dan R berturut-turut merupakan banyaknya individu susceptible, infected,

dan recovered. Jumlah populasi sistem (2.2) adalah konstan sehingga mengaki-

batkan S(t) + I(t) +R(t) = N .

Sedangkan model endemik SIR digunakan untuk mempelajari fenomena pe-

nyebaran penyakit yang terjadi dalam kurun waktu lebih dari satu tahun. Dalam

model endemik SIR terdapat faktor yang harus dipertimbangkan yaitu laju kela-

hiran dan laju kematian. Perubahan jumlah individu pada model endemik SIR

dapat dilihat pada Gambar 2.2.

S I RN

SIb

IgNm

RmImSm

Gambar 2.2. Perubahan jumlah individu pada model endemik SIR

Sehingga model endemik SIR dapat disajikan pada sistem (2.3)

dS

dt= µN − β

SI

N− µS,

dI

dt= β

SI

N− γI − µI,

dR

dt= γI − µR,

(2.3)

6


commit to user

dengan µmerupakan laju kelahiran, laju kematian pada sistem (2.3) sama dengan

laju kelahiran. Sehingga mengakibatkan jumlah populasi konstan, S(t) + I(t) +

R(t) = N .

2.1.4 Kesetimbangan dan Kestabilan

Menurut Panfilov [12], jika penyelesaian dari sistem merupakan titik se-

timbang maka sistem tidak berubah sepanjang waktu. Menurut Bellomo dan

Preziosi [1], definisi titik kesetimbangan dapat diartikan secara matematis, yang

disajikan pada Definisi 2.1.1.

Definisi 2.1.1. Titik (S∗, I∗, R∗) yang berada pada bidang fase merupakan titik

kesetimbangan apabila

f1(S∗, I∗, R∗) = 0, f2(S

∗, I∗, R∗) = 0, f3(S∗, I∗, R∗) = 0.

Menurut Bellomo dan Preziosi [1], untuk mengetahui perilaku sistem di

sekitar titik kesetimbangan digunakan kestabilan titik kesetimbangan. Titik ke-

setimbangan yang stabil berarti jika terdapat perubahan kecil pada sistem maka

akan berpengaruh kecil terhadap penyelesaiannya. Sedangkan, titik kesetimbang-

an yang stabil asimtotis memiliki arti jika terdapat perubahan pada sistem, maka

perubahan tersebut cenderung menghilang. Sedangkan titik kesetimbangan yang

tidak stabil berarti bahwa jika terdapat perubahan kecil pada sistem maka akan

terjadi perubahan yang besar pada penyelesaiannya (Finizio dan Ladas [5]).

Titik (S∗, I∗, R∗) merupakan titik kesetimbangan dari (2.1). Dengan demi-

kian untuk titik (S, I, R) di sekitar titik kesetimbangan, fungsi f dapat didekati

7


commit to user

dengan deret Taylor.

f1(S, I, R) ≈f1(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂S+ (I − I∗)

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂I+

(R−R∗)∂f1(S

∗, I∗, R∗)

∂R

f2(S, I, R) ≈f2(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)

∂f2(S∗, I∗, R∗)

∂S+ (I − I∗)

∂f2(S∗, I∗, R∗)

∂I+

(R−R∗)∂f2(S

∗, I∗, R∗)

∂R

f3(S, I, R) ≈f3(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)

∂f3(S∗, I∗, R∗)

∂S+ (I − I∗)

∂f3(S∗, I∗, R∗)

∂I+

(R−R∗)∂f3(S

∗, I∗, R∗)

∂R

Karena titik (S∗, I∗, R∗) merupakan titik kesetimbangan, sehingga

f1(S∗, I∗, R∗) = 0, f2(S

∗, I∗, R∗) = 0, f3(S∗, I∗, R∗) = 0.

Suku yang memuat (S − S∗), (I − I∗), (R − R∗) bernilai kecil, karena (S, I, R)

terlalu dekat dengan titik kesetimbangan (S∗, I∗, R∗). Dengan demikian, sistem

(2.1) dapat didekati dengan,

dS

dt=

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂S∆S +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂I∆I +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂R∆R

dI

dt=

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂S∆S +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂I∆I +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂R∆R

dR

dt=

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂S∆S +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂I∆I +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂R∆R

(2.4)

dengan ∆S = (S − S∗), ∆I = (I − I∗) dan ∆R = (R − R∗). Sistem linier (2.4)

dapat disajikan dalam bentuk matriksdSdt

dIdt

dRdt

=

∂f1(S∗,I∗,R∗)

∂S∂f1(S∗,I∗,R∗)

∂I∂f1(S∗,I∗,R∗)

∂R

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂S

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂I

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂R

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂S

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂I

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂R

∆S

∆I

∆R

= J(x)

∆S

∆I

∆R

dengan J(x) =

∂f1(S∗,I∗,R∗)

∂S∂f1(S∗,I∗,R∗)

∂I∂f1(S∗,I∗,R∗)

∂R

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂S

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂I

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂R

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂S

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂I

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂R

merupakan matriks

Jacobian. Masih menurut Bellomo dan Preziosi [1], Haberman [8], kestabilan

8


commit to user

dari sistem linear (2.4) dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen dari J(x).

Hal tersebut akan disajikan dalam Teorema 2.1.1

Teorema 2.1.1. Misal λi merupakan nilai eigen dari matriks Jacobian J(x) yang

dievaluasi pada titik kesetimbangan (S∗, I∗, R∗) dan Re(λi) adalah bagian real dari

λi maka

1. untuk setiap i berlaku Re(λi) < 0, maka (S∗, I∗, R∗) stabil asimtotis,

2. untuk setiap i berlaku Re(λi) > 0, maka (S∗, I∗, R∗) tidak stabil.

Selanjutnya, tipe kestabilan dari sistem berdasarkan nilai eigen matriks Ja-

cobian disajikan pada Tabel 2.1 dan trajektori pada bidang fase disajikan pada

Gambar 2.3.

Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen

Nilai eigen Titik Kestabilan

real, tidak sama, simpul stabil asimtotis : semuanya negatif

bertanda sama tidak stabil : semuanya positif

real, tidak sama, sadel tidak stabil

berlawanan tanda

real, sama simpul stabil asimtotis : semuanya negatif

tidak stabil : jika semuanya positif

kompleks konjugate spiral stabil asimtotis : bagian real negatif

bukan imajiner murni tidak stabil : bagian real positif

imajiner murni pusat stabil

9


commit to user

Gambar 2.3. Trajektori pada bidang fase

2.2 Kerangka Berpikir

Berdasarkan landasan teori yang telah diuraikan dapat disusun kerangka

pemikiran sebagai berikut. Penyakit kolera dapat menjadi parah, dan meng-

ancam jiwa tetapi dapat dicegah dan diobati. Penyakit kolera disebabkan oleh

bakteri vibrio cholerae yang berkembang biak dan menyebar melalui kotoran ma-

nusia. Penyakit tersebut dapat bersifat endemik, yaitu penyakit menyerang suatu

wilayah tertentu dalam kurun waktu lebih dari satu tahun.

Perpindahan individu dari satu wilayah ke wilayah lain sangat mempenga-

ruhi penyebaran penyakit. Seseorang yang telah terinfeksi membawa penyakit

10


commit to user

ketika masuk ke wilayah tertentu, orang tersebut berpotensi menularkan penya-

kit ke orang lain. Imigrasi dapat berpengaruh terhadap penyebaran penyakit

infeksi. Menurut Picollo dan Billings [13], faktor imigrasi sangat mempengaruhi

laju penyebaran penyakit infeksi.

Upaya pencegahan penyebaran penyakit infeksi dapat dilakukan dengan ca-

ra perbaikan sanitasi. Faktor-faktor yang termasuk dalam sanitasi dapat berupa

kebersihan saluran air, pengelolaan air bersih, kebersihan air minum, kebersihan

makanan.

Model SIR dengan imigrasi dan sanitasi dapat digunakan untuk memodel-

kan fenomena penyebaran penyakit infeksi. Model SIR merupakan sistem persa-

maan differensial nonlinier orde satu. Pada model ini, variabel t tidak muncul

secara eksplisit sehingga model dapat disebut sebagai sistem autonomous.

Perilaku sistem dari model endemik SIR dapat dilihat dari kestabilan titik

kesetimbangannya. Tipe kestabilan dapat ditentukan melalui nilai eigen dari

matriks Jacobian atau melihat perilaku sistem dari trayektori pada bidang fase.

11


commit to user

Bab III

METODE PENELITIAN

Metode yang diterapkan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkah-

langkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan dalam penelitian.

1. Mengidentifikasi keadaan, perilaku, interaksi, dan kejadian dalam populasi

tetap dengan adanya imigrasi dan perlakuan sanitasi.

2. Menentukan batasan, asumsi, dan parameter yang dibutuhkan untuk mem-

bentuk model.

3. Membentuk model SIR dengan imigrasi dan sanitasi berdasarkan langkah

1 dan 2.

Langkah 1-3 dilakukan untuk membentuk model SIR dengan imigrasi dan

sanitasi.

4. Menentukan titik kesetimbangan dari model SIR dengan imigrasi dan sa-

nitasi menggunakan Definisi 2.1.1.

5. Menentukan tipe kestabilan dari titik kesetimbangan menggunakan Teore-

ma 2.1.1 dan Tabel 2.1.

Langkah 4-5 dilakukan untuk menentukan tipe kestabilan dari titik kese-

timbangan.

6. Menerapkan model yang didapat pada suatu kasus.

7. Menggambarkan grafik penyelesaian fungsi S dan I untuk membantu men-

deskripsikan perilaku model SIR.

8. Melakukan simulasi numerik menggunakan parameter yang bervariasi untuk

mengetahui perubahan puncak endemik.

12


commit to user

9. Membandingkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah (8).

10. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh.

Langkah 6-10 dilakukan untuk mengintepretasikan model SIR dengan imi-

grasi dan sanitasi.

13


commit to user

Bab IV

PEMBAHASAN

4.1 Konstruksi Model

Pada bagian ini, dibahas tentang penurunan model SIR dengan imigrasi

dan sanitasi. Penurunan model ini mengacu pada Hetchcote [7] dan Guimaraens

dan Codeco [6].

Menurut Hetchcote [7], penyebaran penyakit infeksi dapat dimodelkan de-

ngan mengelompokkan jumlah individu pada populasinya menjadi 3 kelompok,

yaitu susceptible, infected, dan recovered. Pada kelompok susceptible yaitu S(t)

merupakan kelompok yang sehat tetapi rawan terinfeksi penyakit dalam waktu t.

Kelompok infected yaitu I(t) merupakan kelompok yang telah terinfeksi penyakit

dalam waktu t, sedangkan kelompok recovered yaitu R(t) merupakan kelompok

yang telah memiliki kekebalan tubuh dalam waktu t.

Untuk penurunan model SIR diperlukan asumsi-asumsi. Berikut ini asumsi-

asumsi menurut Hetchcote [7],

1. populasi konstan,

2. individu lahir dan imigrasi merupakan individu sehat tetapi rentan terin-

feksi penyakit,

3. jumlah individu dalam populasi bercampur secara homogen, sehingga bisa

terjadi kontak langsung dengan individu terinfeksi atau melalui perantara

lainnya dalam penularan penyakit. Laju kontak atau penularannya adalah

konstan,

4. masa inkubasi penyakit diabaikan,

5. hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi, dan

14


commit to user

6. individu yang sembuh dari penyakit infeksi tidak akan terinfeksi lagi.

Seperti yang telah diasumsikan bahwa hanya terdapat satu macam jenis pe-

nyakit sehingga setiap individu pada kelompok S dan R memiliki kemungkinan

yang sama dapat melakukan kontak dengan kelompok I. Terdapat sebanyak I

individu yang terinfeksi yang mengakibatkan kelompok S mempunyai kemung-

kinan terinfeksi sebesar proporsi kelompok I yaitu IN

dengan laju kontak β, yang

mengakibatkan berkurangnya jumlah individu pada kelompok S sebesar β SIN

pa-

da waktu t. Adanya kelahiran yang merupakan individu yang sehat tetapi rentan

terserang penyakit mengakibatkan bertambahnya jumlah individu pada kelom-

pok S. Dimisalkan µ1 dan µ2 merupakan laju kelahiran dan laju imigrasi, oleh

karena itu individu pada kelompok S bertambah sebesar (µ1 + µ2)N . Adanya

kematian alami karena kerentanan individu pada kelompok S terhadap penya-

kit mengakibatkan berkurangnya individu pada kelompok S sebesar (µ1 + µ2)S.

Sehingga didapat laju perubahan individu pada kelompok S pada waktu t adalah

dS

dt= (µ1 + µ2)N − β

SI

N− (µ1 + µ2)S. (4.1)

Berkurangnya individu pada kelompok S karena terinfeksi penyakit meng-

akibatkan bertambahnya individu pada kelompok I sebesar individu pada ke-

lompok S yang terinfeksi yaitu β SIN. Pada kelompok individu I terjadi kematian

alami mengakibatkan berkurangnya individu pada kelompok I sebesar (µ1+µ2)I.

Individu pada kelompok I yang sembuh dari penyakit tidak akan terinfeksi lagi

mengakibatkan berkurangnya jumlah individu infected dengan laju kesembuhan

γ sebanyak γI. Sehingga didapat laju perubahan individu pada kelompok I pada

waktu t adalahdI

dt= β

SI

N− γI − (µ1 + µ2)I. (4.2)

Individu infected yang telah sembuh dan memiliki kekebalan permanen

mengakibatkan bertambahnya jumlah individu pada kelompok R sebesar γI.

Individu pada kelompok R yang tidak dapat bertahan karena daya tahan tu-

buh individu yang cenderung lemah sehingga menyebabkan terjadinya kematian

sehingga mengakibatkan berkurangnya individu recovered sebesar (µ1+µ2)R. Se-

15


commit to user

hingga didapat laju perubahan individu pada kelompok R pada waktu t adalah

dR

dt= γI − (µ1 + µ2)R. (4.3)

Perubahan jumlah individu pada model SIR dengan imigrasi dapat dilihat

pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Perubahan jumlah individu pada model SIR dengan imigrasi

Memperhatikan persamaan (4.1), (4.2) dan (4.3) diperoleh sistem autonomous

model SIR dengan imigrasi sebagai berikut.

dS

dt= (µ1 + µ2)N − β

SI

N− (µ1 + µ2)S,

dI

dt= β

SI

N− γI − (µ1 + µ2)I,

dR

dt= γI − (µ1 + µ2)R.

(4.4)

Menurut Guimaraens dan Codeco [6], faktor sanitasi dapat menurunkan la-

ju kontak. Faktor sanitasi merupakan fungsi c(H) yang berpengaruh terhadap

laju kontak individu pada kelompok S dengan individu pada kelompok I. Fungsi

c(H) = (β − αH) merupakan sebuah fungsi kontinu yang mendeskripsikan efek

sanitasi pada laju kontak, dengan α merupakan sebuah konstanta dan H me-

rupakan tingkat sanitasi yang bernilai 0 sampai 1. Penambahan faktor sanitasi

pada laju kontak penyebaran pada sistem persamaan (4.20) dapat dilihat pada

Gambar 4.2.

Mempertimbangkan faktor sanitasi pada model SIR dengan imigrasi dan

sanitasi maka model dapat dimodifikasi menjadi

dS

dt= (µ1 + µ2)N − c(H)

SI

N− (µ1 + µ2)S,

dI

dt= c(H)

SI

N− γI − (µ1 + µ2)I,

dR

dt= γI − (µ1 + µ2)R,

(4.5)

16


commit to user

Gambar 4.2. Perubahan jumlah individu pada model SIR dengan imigrasi dan

sanitasi

dengan S(0), I(0), µ1, µ2, β, γ > 0 dan R(0) ≥ 0. Sistem (4.5) bukan merupakan

sistem yang autonomous, selanjutnya diselidiki ketika sistem (4.5) tanpa sanitasi

(H = 0) dan ketika sistem (4.5) dengan sanitasi maksimal (H = 1).

4.2 Kesetimbangan Model

Kesetimbangan model dilihat ketika tanpa sanitasi dan sanitasi maksimal.

Hal ini dikarenakan akan dilihat perbedaan titik kesetimbangan ketika model

tanpa sanitasi dengan sanitasi maksimal.

4.2.1 Titik Kesetimbangan Tanpa Sanitasi

Individu yang telah sembuh memiliki kekebalan tubuh, sehingga tidak men-

jadi pertimbangan yang serius. Oleh karena itu, individu yang menjadi pertim-

bangan adalah individu susceptible dan individu infected. Pada sistem persa-

maan (4.5) baris pertama dan kedua tidak mengandung R, sehingga baris keti-

ga dapat ditentukan melalui baris pertama dan kedua yang telah dihitung, dan

S+I+R = N . Oleh karena itu, sistem persamaan (4.5) dapat dituliskan sebagai

sistemdS

dt= (µ1 + µ2)N − β

SI

N− (µ1 + µ2)S,

dI

dt= β

SI

N− γI − (µ1 + µ2)I.

(4.6)

Menurut Bellomo dan Preziosi [1], sistem persamaan (4.6) dalam keadaan

17


commit to user

setimbang jika

0 = (µ1 + µ2)N − βSI

N− (µ1 + µ2)S,

0 = βSI

N− γI − (µ1 + µ2)I.

(4.7)

Dari sistem persamaan (4.7), diperoleh dua jenis titik kesetimbangan sebagai

berikut.

1. Titik kesetimbangan E00 = (S00, I00, R00).

Titik kesetimbangan E00 merupakan titik kesetimbangan yang bebas pe-

nyakit dengan S00 = N , I00 = 0 dan R00 = 0. Nilai I00 = 0 berarti tidak

terdapat individu infected yang menyebarkan penyakit.

2. Titik kesetimbangan Ee0 = (Se0, Ie0, Re0).

Titik kesetimbangan Ee0 merupakan titik kesetimbangan endemik dengan

Se0 =N(µ1+µ2+γ)

β,

Ie0 =N(µ1+µ2)−Nµ1(µ1+µ2+γ)

β−Nµ2(µ1+µ2+γ)

β

µ1+µ2+γdan Re0 =

Nγ(β−γ−µ1−µ2)β(γ+µ1+µ2)

. Selanjut-

nya dilihat kesetimbangan model ketika sanitasi mencapai maksimal.

4.2.2 Titik Kesetimbangan Sanitasi Maksimal

Sistem persamaan (4.5) dapat dituliskan sebagai sistem

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (β − α)

SI

N− (µ1 + µ2)S,

dI

dt= (β − α)

SI

N− γI − (µ1 + µ2)I.

(4.8)

Menurut Bellomo dan Preziosi [1], sistem persamaan (4.8) dalam keadaan setim-

bang jika

0 = (µ1 + µ2)N − (β − α)SI

N− (µ1 + µ2)S,

0 = (β − α)SI

N− γI − (µ1 + µ2)I.

(4.9)

Dari sistem persamaan (4.9), diperoleh dua jenis titik kesetimbangan sebagai

berikut.

1. Titik kesetimbangan E01 = (S01, I01, R01).

Titik kesetimbangan E01 merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit

18


commit to user

dengan S01 = N , I01 = 0 dan R01 = 0. Nilai I01 = 0 berarti tidak terdapat

individu infected yang menyebarkan penyakit.

2. Titik kesetimbangan Ee1 = (Se1, Ie1, Re1).

Titik kesetimbangan Ee1 merupakan titik kesetimbangan endemik dengan

Se1 = −N(µ1+µ2+γ)(α−β)

,

Ie1 =Nµ1(α−β+γ+µ1)+Nµ2(α−β+γ+µ2)+2Nµ1µ2

(α−β)(γ+µ1+µ2)dan Re1 = N −Se1 − Ie1. Dilihat

dari Ee0 dan Ee1, individu terinfeksi mengalami penurunan ketika memper-

hatikan faktor sanitasi.

4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan

Menurut Bellomo dan Presziosi [1], kriteria kestabilan sistem persamaan

diferensial dapat ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobian.

4.3.1 Kestabilan Titik Kesetimbangan E00 dan Ee0

1. Kestabilan Titik Kesetimbangan E00.

Berdasarkan (4.6) didapat matriks Jacobian sebagai berikut.

J =

−β IN− µ1 − µ2 −β S

N

β IN

β SN− γ − µ1 − µ2

(4.10)

Dengan mengevaluasi matriks Jacobian (4.10) di titik kesetimbangan E00,

diperoleh

J(E00) =

−µ1 − µ2 −β

0 β − γ − µ1 − µ2

. (4.11)

Persamaan karakteristik dari (4.11) sebagai berikut

P (λ) = λ2 + λ(2µ1 + 2µ2 − β + γ) + ((−µ1 − µ2)(β − γ − µ1 − µ2)) (4.12)

Nilai eigen matriks Jacobian (4.11) merupakan akar persamaan karakteris-

tik (4.12). Nilai eigen (4.12) yaitu λ1 = −µ1−µ2 dan λ2 = β−γ−µ1−µ2.

Sistem (4.6) stabil asimtotis ketika β − γ − µ1 − µ2 < 0.

19


commit to user

2. Kestabilan Titik Kesetimbangan Ee0.

Mengevaluasi matriks Jacobian (4.10) di titik kesetimbangan Ee0, diperoleh

J(Ee0) =

−µ1 − µ2 − β IeN

−γ − µ1 − µ2

β IeN

0

(4.13)

dengan

Ie =N(µ1 + µ2)− Nµ1(µ1+µ2+γ)

β− Nµ2(µ1+µ2+γ)

β

(µ1 + µ2 + γ).

Persamaan karakteristik dari (4.13) adalah

P (λ) = λ2 + Aλ+B (4.14)

dengan

A =(µ1 + µ2) +µ1(β − γ − µ1)

(γ + µ1 + µ2)+

µ2(β − γ − µ1)

(γ + µ1 + µ2)− 2µ1µ2

(γ + µ1 + µ2)

B =µ1(βγ − γ2 + βµ1 − 2γµ1 − µ2

1) + µ2(βγ − γ2 + βµ2 − 2γµ2 − µ22)

(γ + µ1 + µ2)+

µ1µ2(2β − 4γ − 3µ1 − 3µ2)

(γ + µ1 + µ2).


tik (4.14). Nilai eigen (4.14) yaitu

λ1 =1

2(γ + µ1 + µ2)(−β(µ1 + µ2)−

√(β(µ1 + µ2))2 − 4(γ + µ1 + µ2)C,

λ2 =1

2(γ + µ1 + µ2)(−β(µ1 + µ2) +

√(β(µ1 + µ2))2 − 4(γ + µ1 + µ2)C

dengan

C = (µ1+µ2)(βγ−γ2)−µ21(β+µ1+3µ2)−µ2

2(2γ+µ2+3µ1)+2µ1µ2(β−2γ).

Sistem (4.6) stabil asimtotis ketika pada λ1 nilai dari (β(µ1+µ2))2 ≥ 4(γ+

µ1 + µ2)C dan pada λ2 nilai dari√(β(µ1 + µ2))2 − 4(γ + µ1 + µ2)C ≤ 0.

4.3.2 Kestabilan Titik Kesetimbangan E01 dan Ee1

1. Kestabilan Titik Kesetimbangan E01.

Berdasarkan (4.6) didapat matriks Jacobian sebagai berikut.

J =

−(β − α) IN− µ1 − µ2 −(β − α) S

N

(β − α) IN

(β − α) SN− γ − µ1 − µ2

(4.15)

20


commit to user

Dengan mengevaluasi matriks Jacobian (4.15) di titik kesetimbangan E01,

diperoleh

J(E01) =

−µ1 − µ2 α− β

0 β − α− γ − µ1 − µ2

. (4.16)

Persamaan karakteristik dari (4.16) sebagai berikut.

P (λ) =λ2 + λ(2µ1 + 2µ2 − β + α + γ) + ((−µ1 − µ2)

(β − α− γ − µ1 − µ2))(4.17)


tik (4.17). Nilai eigen (4.17) yaitu λ1 = −µ1−µ2 dan λ2 = β−α−γ−µ1−µ2.

Sistem (4.8) stabil asimtotis ketika β < 0.

2. Kestabilan Titik Kesetimbangan Ee1.

Mengevaluasi matriks Jacobian (4.15) di titik kesetimbangan Ee1, diperoleh

J(Ee1) =

−µ1 − µ2 − (β − α) IeN

−(β−α)(γ−µ1−µ2)β

(β − α) IeN

(−γ − µ1 − µ2) +(β−α)(γ−µ1−µ2)

β

(4.18)

dengan

Ie =N(µ1 + µ2)− Nµ1(µ1+µ2+γ)

β− Nµ2(µ1+µ2+γ)

β

(µ1 + µ2 + γ).

Persamaan karakteristik dari (4.18) adalah

P (λ) = λ2+λ((γ+2µ1+2µ2)+(β−α)IeN−(β − α)(γ − µ1 − µ2)

β)+A (4.19)

dengan A = α−β+(β−α)−γ+ 2(β−α)(γ+µ1+µ2)β

. Nilai eigen matriks Jacobian

(4.18) merupakan akar persamaan karakteristik (4.19). Nilai eigen (4.19)

yaitu

λ1 =1

2β(γ + µ1 + µ2)B −

√((−B)2 − 4β(γ + µ1 + µ2)C)),

λ2 =1

2β(γ + µ1 + µ2)B +

√((−B)2 − 4β(γ + µ1 + µ2)C))

21


commit to user

dengan

B =− αγ2 + (µ1 + µ2)(αβ − 3αγ) + β2µ1 − 2α(µ21 + µ2

2)− 4αµ1µ2,

C =(µ1 + µ2)(−αβγ + β2γ + 2αγ2 − βγ2) + β2µ21 − (µ2

1 + µ22)

(αβ − 4αγ + 2βγ)− µ1µ2(2αβ − 2β2 − 8αγ + 4βγ)+

(µ21µ2 + µ1µ

22)(6α− 3β) + 2α(µ3

1 + µ32)− βµ3

2.

Sistem (4.8) stabil asimtotis ketika pada λ1 nilai dari√((−B)2 − 4β(γ + µ1 + µ2)C) > 1

2β(γ+µ1+µ2)B dan pada λ2 nilai dari

12β(γ+µ1+µ2)

B +√((−B)2 − 4β(γ + µ1 + µ2)C)) ≤ 0.

4.4 Penerapan

Diberikan data penyebaran penyakit kolera menurut Claudia [4] dan Leah

[9]. Diberikan nilai parameter yaitu laju kontak β = 0.8, laju kesembuhan γ =

0.4, laju kelahiran µ1 = 0.15875, laju imigrasi µ2 = 0.15. Jumlah populasi

yaitu N = 1500 individu, dengan banyaknya individu awal terinfeksi I(0) = 100

individu, sedangkan banyaknya individu awal yang sehat tetapi rawan terinfeksi

S(0) = 1400 individu. Berdasarkan sistem (4.1) dan data yang telah diberikan

diperoleh,dS

dt= 463.125− IS(0.8− αH)

1500− 0.30875S,

dI

dt=

IS(0.8− αH)

1500− 0.70875I,

dR

dt= 0.4I − 0.30875R.

(4.20)

Sistem (4.20) bukan merupakan sistem autonomous. Terlebih dahulu sistem

(4.20) dilihat tanpa sanitasi dengan nilai α = 0.75. Menggunakan metode Runge-

Kutta orde empat dan bantuan software Mathematicha 8.0, penyelesaian sistem

(4.20) dalam waktu 50 hari dapat dilihat pada Gambar 4.3.

22


commit to user

Gambar 4.3. (a) Jumlah individu susceptible (b) Jumlah individu infected (biru),

dan jumlah individu recovered (hijau)

Dari Gambar 4.3(a) tampak bahwa pada kelompok S keadaan yang setim-

bang diperoleh ketika jumlah individu sebesar 1329 individu pada hari ke 48. Ber-

dasarkan Gambar 4.3(b), keadaan setimbang pada kelompok I diperoleh ketika

jumlah individu sebesar 74 individu pada hari ke 48. Sedangkan pada kelompok

R, keadaan setimbang diperoleh ketika jumlah individu sebesar 97 individu pada

hari ke 48.

Untuk mengetahui perilaku penyebaran penyakit kolera akan ditentukan

kestabilan disekitar titik kesetimbangan. Untuk mengetahui tipe kestabilan ter-

sebut dapat digunakan nilai eigen dari matriks Jacobian atau trayektori di se-

kitar titik kesetimbangannya. Berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian, ketika

H < 0.1217 jenis titik kesetimbangan bebas penyakit adalah simpul dengan tipe

kestabilan tidak stabil. Ketika H ≥ 0.1217 jenis titik kesetimbangan bebas pe-

nyakit adalah simpul dengan tipe kestabilan stabil asimtotis. Tipe kestabilan di

titik kesetimbangan dapat dilihat dari trayektori di sekitar titik kesetimbangan.

Trayektori di titik kesetimbangan bebas penyakit ketika H = 0 dan H = 1 dapat

dilihat pada Gambar 4.4.

23


commit to user

Gambar 4.4. (a) Trajektori di titik kesetimbangan (1500, 0) ketika H = 0

(b) Trayektori di titik kesetimbangan (1500, 0) ketika H = 1

Berdasarkan Gambar 4.4(a), tampak bahwa arah trajektori tidak menuju

titik kesetimbangan bebas penyakit (1500, 0). Melainkan arahnya berhenti di

titik kesetimbangan endemik (1329, 74). Artinya tipe kestabilan titik kesetim-

bangan bebas penyakit adalah tidak stabil. Berdasarkan Gambar 4.4(b), tampak

bahwa arah trajektori menuju titik kesetimbangan (1500, 0). Dengan demikian

tipe kestabilan di titik kesetimbangan bebas penyakit ketika H = 1 adalah stabil

asimtotis.

Ketika dilakukan simulasi terhadap faktor imigrasi, didapat hasil bahwa

semakin tinggi laju imigrasi maka jumlah individu terinfeksi juga semakin ber-

tambah. Hal ini dikarenakan pada perubahan jumlah individu infected (dIdt

=

c(H)SIN

− γI − (µ1 + µ2))I. Hal ini mengakibatkan jumlah individu terinfeksi

semakin berkurang.

Puncak endemik pada kelompok I dapat berubah sewaktu-waktu dengan

nilai parameter yang berubah-ubah pula. Untuk menurunkan puncak endemik

24


commit to user

dibutuhkan suatu upaya pencegahan. Upaya pencegahan dapat dilakukan de-

ngan cara memperbaiki sanitasi untuk menurunkan jumlah individu terinfeksi.

Menurut Guimaraens dan Codeco [6], tingkat sanitasi bernilai dari 0 sampai 1.

Simulasi dilakukan pada nilai H = 0, H = 0.25, H = 0.5, H = 0.75 dan H = 1.

Penurunan jumlah individu pada kelompok I dapat dilihat dari Gambar 4.5.

H = 0

H = 0.25H = 0.5

H = 0.75

H = 1

0 2 50t0

100104

150I

Gambar 4.5. Penurunan jumlah individu kelompok I

Dari Gambar 4.5 tampak bahwa adanya sanitasi dapat menurunkan jumlah

individu terinfeksi.

25


commit to user

Bab V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan dapat disimpulkan bahwa

1. Model SIR dengan imigrasi dan sanitasi dapat di tuliskan sebagai

dS

dt= (µ1 + µ2)N − c(H)

SI

N− (µ1 + µ2)S,

dI

dt= c(H)

SI

N− γI − (µ1 + µ2)I,

dR

dt= γI − (µ1 + µ2)R,

dengan c(H) = β − αH. Sedangkan S(0), I(0), µ1, µ2, β, γ > 0, R(0) ≥ 0, α

merupakan konstanta, dan 0 ≤ H ≤ 1.

2. Ada dua jenis titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigrasi dan

sanitasi yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik.

(a) Titik Kesetimbangan ketika H = 0, yaitu titik kesetimbangan bebas

penyakit E00 = (S00, I00, R00) = (N, 0, 0) dan titik kesetimbangan en-

demik Ee0 = (Se0, Ie0, Re0) dengan Se0 =N(µ1+µ2+γ)

β,

Ie0 =N(µ1+µ2)−Nµ1(µ1+µ2+γ)

β−Nµ2(µ1+µ2+γ)

β

µ1+µ2+γdan Re0 =

Nγ(β−γ−µ1−µ2)β(γ+µ1+µ2)

.

(b) Titik Kesetimbangan ketika H = 1, yaitu titik kesetimbangan bebas

penyakit E01 = (S01, I01, R01) = (N, 0, 0) dan titik kesetimbangan en-

demik Ee1 = (Se1, Ie1, Re1) dengan Se1 = −N(µ1+µ2+γ)(α−β)

,

Ie1 =Nµ1(α−β+γ+µ1)+Nµ2(α−β+γ+µ2)+2Nµ1µ2

(α−β)(γ+µ1+µ2)dan Re1 = N − Se1 − Ie1.

3. Adanya faktor sanitasi dapat mempengaruhi jumlah individu terinfeksi. Se-

makin tinggi tingkat sanitasi mampu menurunkan jumlah individu terinfek-

si menuju kondisi bebas penyakit.

26


commit to user

5.2 Saran

Dalam penulisan skripsi ini, untuk mengetahui perubahan jumlah individu

terinfeksi melalui grafik penyelesaian. Bagi pembaca yang tertarik, dapat menen-

tukan besarnya rasio reproduksi untuk mengetahui terjadinya perubahan jumlah

individu terinfeksi.

27


commit to user

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bellomo, N., and L. Preziosi, Modelling Mathematical Methods and Scientific

Computation, CRC Press, Florida, 1995.

[2] Boyce, W. E., and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equation and

Boundary Value Problem, John Wiley and Son,Inc, New York, 1986.

[3] CDC, Cholera–western hemisphere, and recommendations for treatment of

cholera, 1991.

[4] Codeco, C. T., Endemic and Epidemic Dynamics of Cholera: The Role of

The Aquatic Reservoir, Rio de Janeiro, 2001.

[5] Finizio, N., and G. Ladas, Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan

Modern, Proceedings of the Royal Society of London Series A 2ed (1988).

[6] Guimaraens, M. A. and C. T. Codeco, Experiments with Mathematical Mo-

dels to Simulate Hepatitis A Population Dynamics Under Different Levels of

Endemicity, Cad. Saude Publica, Rio de Janeiro, 2005.

[7] Hetchcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review

42 (2000), no. 4, 599–653.

[8] Haberman, R., Mathematical Models (Mechanical Vibrations, Population

Dynamic, and Traffic Flow), Prentice-Hall, Inc, New Jersey, 1971.

[9] Johnson, L., Modeling Cholera, University of California Santa Cruz, 2004.

28


commit to user

[10] Kermack W. O., and A. G. McKendrick, . A Contribution to The Mathe-

matical Theory of Epidemics, Proceedings of the Royal Society of London

Series A 115 (1927), 700–721.

[11] Meyer, W. J., Concepts of mathematical modeling, McGraw-Hill, Inc, New

York, 1984.

[12] Panvilov, A., Qualitive Analysis of Differential Equations, Utrecht Universi-

ty, Utrecht, 2004.

[13] Picollo, C. III, and L. Billings, The Effect of Vaccinations in an Immigrant

Model, Mathematical and Computer Modelling 42 (2005), 291–299.

[14] Ross, S. L., Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc, New York,

1984.

29


commit to user

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL SUSCEPTIBLE .../Model... · penyakit dengan individu...

Documents

Transcript of perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL SUSCEPTIBLE .../Model... · penyakit dengan individu...