METODE NUMERIK

Fika Hastarita RachmanSemester Genap 2011/2012

Pembahasan Definisi Umum Metode Analitik vs Metode Numerik Pendekatan dan Kesalahan Sumber Kesalahan

Mengapa Metode Numerik Seringkali beberapa persoalan matematika yang

tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi.

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya.

Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

Ilustrasi Persoalan Matematik

Metode Analitik metode penyelesaian model matematika

dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).

Metode analitik metode sebenarnya dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) solusi yang memiliki galat/error = 0.

Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas

Metode Numerik Metode numerik = teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan / aritmatika biasa.

Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya / solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan.

Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat / error.

Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik

Prinsip Metode Numerik Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma – algoritma

yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan

pendekatan analisis matematis, dengan tambah angrafis dan teknik perhitungan yang mudah.

Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhtungan.

Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

Tahap Pemecahan Persoalan Pemodelan Penyederhanaan model Formulasi Numerik Pemrograman Operasional (uji coba) Evaluasi

Sumber kesalahan Kesalahan pemodelan

contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel

Kesalahan bawaancontoh: kekeliruan dlm menyalin data

salah membaca skala Ketidak tepatan data Kesalahan pemotongan (truncation error) Kesalahan pembulatan (round-off error)

Pengantar Setiap Manusia ↓ Kesalahan Kesalahan ↑ ↑ Biaya

↑ ↑ Korban, dll Kesempurnaan tujuan yang terpuji

Masalah? (sangat jarang terjadi) Contoh Kasus:

Aproksimasi “best” Hk. Newtons IIKecepatan benda jatuh = v2g.h BAGAIMANA KALAU ADAAngin? Perubahan tekanan Udara? Dimensi Benda?

Deviasi (Penyimpangan)

Pendekatan dan Kesalahan

Angka Signifikan (Penting) Akurasi dan Presisi Definisi Kesalahan Kesalahan Pembulatan Kesalahan Pemotongan Kesalahan Numerik Total

(Kekeliruan, Kesalahan Formulasi, dan Ketidakpastian Data)

Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir?

Angka Signifikan (AS) Komputasi thd suatu bilangan Bilangan hrs meyakinkan ? Konsep angka signifikan keandalan sebuah nilai numerik Banyak angka signifikan banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan

meyakinkan Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why? Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiah

How?0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)12.300 Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu berarti atau tidak…!1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Dua arti penting angka signifikan

“AS akan memberikan kriteria untuk merinci

seberapa keyakinan kita mengenai hasil

pendekatan dalam metode numerik”

“AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang

spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak

krn jumlah digit yang terbatas” (kesalahan pembulatan/round-off-

error)

Angka Signifikan (AS)

Akurasi dan PresisiPresisi Jumlah angka signifikan

yg menyatakan suatu besaran

Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alatyg mengukur suatu perilaku fisik tertentu

Akurasi Dekatnya sebuah angka

pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakan

Inakurasi (Tdk akurat) Simpangan sistematis dari

kebenaran

Kesalahan “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari

ramalan yang dilakukan”

Definisi Kesalahan Kesalahan Numerik Adanya aproksimasiMeliputi: Kesalahan pemotongan (truncation error) saat aproksimasi

digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.

Kesalahan pembulatan (round-off error) ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

Sehingga, bisa dihubungkan:Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan

Bisa dikatakan: “Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi”

Et = Harga sebenarnya – aproksimasi; Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan “sebenarnya”

Definisi Kesalahan Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi

kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:

εa = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan

thd sebuah harga aproksimasi. Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num

“menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya”

Kesalahan / Galat

Terima Kasih