Metode Numerik

LOGOMETODE KOMPUTASI & ANALISIS NUMERIK

Tri Istanto, ST. MT

Contents…

Bab I. Pendahuluan

Bab II. Akar - Akar Persamaan

Bab III. Sistem Persamaan Linear

Bab IV. Analisis Regresi

Bab V. Interpolasi

• Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmetic).

• Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketaklinearan, dan geometri yang rumit yang lazim dalam praktek rekayasa yang tidak mungkin dipecahkan secara analitis.

[Konsep Metode Numerik]

BAB I PENDAHULUAN

[Aplikasi]• Ilmu metode numerik adalah milik

semua ahli dari berbagai bidang, seperti bidang teknik (sipil, mesin, elektro, kimia, dsb), kedokteran, ekonomi, sosial dan bidang ilmu lainnya.

• Berbagai masalah dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan dapat digambarkan dalam bentuk matematika dari berbagai fenomena yang berpengaruh.

[1.1. Kesalahan / Galat / Error]

•Penyelesaian analitis mampu menghitung galat dengan tepat, dengan kata

lain penyelesaian analitis menghasilkan nilai eksak (yang benar).•Penyelesaian numeris dari suatu penyelesaian matematik hanya

memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dari penyelesaian

analitis.

Berarti dalam penyelesaian numerik terdapat kesalahan (galat) terhadap nilai

eksak dari penyelesaian analitis.

Tiga bentuk

galat utama

dalam metode

numerik

Galat bawaan (Kecerobohan data)

Galat pembulatan (round off error)

Galat pemotongan (truncation error)

[1.2. Kesalahan Absolut dan Relatif ]

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan :

P = P* + Ee

Dimana :

P = nilai eksak

P* = nilai perkiraan

Ee = kesalahan terhadap nilai eksak

Kesalahan Absolut adalah perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan

atau :

Ee = P – P*

Kesalahan absolut ini tidak menunjukkan tingkat kesalahan.

[1.2. Kesalahan Absolut dan Relatif …]

Kesalahan Relatif menyatakan besarnya tingkat kesalahan, yaitu

dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.

εe =

dimana εe adalah kesalahan terhadap nilai eksak

Karena nilai eksak hanya dapat diketahui dari penyelesaian analitis

(biasanya tidak diketahui), maka kesalahan relatif biasanya berdasarkan

nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak, sehingga :

%100xP

Ee

Kesalahan Relatif terhadap nilai perkiraan terbaik (εa):

εa =

dimana :

Ea = kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik

P* = nilai perkiraan terbaik

%100*

xP

Ea


Dalam kasus metode numerik dengan penyelesaian secara iterasi,

kesalahan relatif dinyatakan dalam bentuk :

dimana :

P*n = nilai perkiraan pada iterasi ke – n

P*n+1 = nilai perkiraan pada iterasi ke – n+1

%1001

*

*

1

* xP

PPn

nn

a +

+−

=ε

Contoh :

Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai ex dengan x = 0,5 apabila hanya

diperhitungkan beberapa suku pertama saja. Nilai eksak dari e0,5 =

1,648721271

Jawab :

Nilai ex dapat dihitung berdasarkan deret sebagai berikut :


Jawab :


BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN

Mencari akar dari suatu fungsi persamaan f(x) = 0

Metode Grafis (Grafical Method)

Metode ini paling sederhana dalam

memperoleh taksiran akar persamaan

f(x) = 0. Nilai x dimana f(x) = 0

memberikan aproksimasi (pendekatan)

kasar dari akar.

Nilai praktis dari metode grafis ini sangat terbatas karena kurang

tepat, namun dapat dimanfaatkan untuk memperoleh taksiran kasar

dari akar.


2.1. Metode Pengurung (Bracketing Method)

• Suatu fungsi f(x) akan berganti tanda di sekitar suatu akar.

• Diperlukan dua terkaan awal untuk akar, dimana terkaan ini harus “mengurung” atau

berada pada kedua sisi akar.

2.1.1. Metode Bagi Dua / Setengah Interval (Bisection Method)

Langkah 1. Pilih xa bawah dan xb puncak taksiran untuk akar, dimana harus dipastikan bahwa f(xa).f(xb) < 0.

Langkah 2. Taksiran akar xc ditentukan oleh :

Langkah 3. a) Jika f(xa).f(xc) < 0, akar berada pada bagian interval bawah, maka xb = xc dan kembali ke langkah 2.

b) Jika f(xa).f(xc) > 0, akar berada pada bagian interval atas, maka xa = xc dan kembali ke langkah 2

c) Jika f(xa).f(xb) = 0 , akar setara xc, hentikan komputasi

2

bac

xxx

+=

Contoh metode bisection :


Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat 3 berikut ini

f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

Jawab :

Diambil 2 titik, misalnya x = 1 dan x = 2.

Untuk x = 1, f(x =1) =(1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = - 4

Untuk x = 2, f(x =2) =(2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3

Karena f(1).f(2) < 0, maka pemisalan 2 titik valid.

Menghitung taksiran akar (xt)

Cek f(1,5) = (1,5)3 + (1,5)2 – 3(1,5) – 3 = -1,875

Oleh karena fungsi berubah tanda antara x = 1,5 dan x =2,

akar persamaan terletak diantara 2 nilai tersebut.

5,12

21

2

21 =+

=+

=xx

xt

Tabulasi komputasi contoh soal bisection


2.1.2 Metode Interpolasi Linear / Posisi Palsu (False Position)

• Sebagai metode yang dikembangkan akibat metode bisection yang relatif kurang efisien.

• Metode ini menghubungkan 2 titik-titik awal dalam sebuah garis lurus. Perpotongan garis ini dengan sumbu-x merupakan taksiran akar.

Memisalkan 2 titik awal xa dan xb dimana dipastikan bahwa f(xa).f(xb) < 0

Menggunakan segitiga sebangun

Taksiran akar x1 menjadi :

11 xx

f

xx

f

b

b

a

a

−=

−

)(1 ab

ab

bb xx

ff

fxx −

−−=


Contoh metode interpolasi linear

Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat 3 berikut ini

f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

Jawab :

Diambil 2 titik, misalnya x = 1 dan x = 2.

Untuk x = 1, f(x =1) =(1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = - 4

Untuk x = 2, f(x =2) =(2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3

Karena f(1).f(2) < 0, maka pemisalan 2 titik valid.

Menghitung taksiran akar (xt)

Nilai f(xt) = -1,36449, karena f(xt) bertanda negatif, maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x = 2, selanjutnya taksiran akar

Nilai f(xt) = -0,24784, dan seterusnya….(lihat tabel)

[ ]57142,1)12(

)4(3

32 =−

−−−=tx

[ ]70540,1)57142,12(

)36449,1(3

32 =−

−−−=tx

Tabulasi hasil contoh metode interpolasi linear

www.themegallery.com


2.2. Metode Terbuka (Open Method)

• Memerlukan satu atau dua nilai x yang tidak perlu mengurung akar.

• Metode ini kadang divergen (menjauhi akar), tetapi kalau konvergen metode ini akan lebih cepat

daripada metode pengurung

2.2.1 Metode Newton Raphson

Metode ini paling banyak dipakai untuk mencari akar suatu persamaan.

Diperlukan satu titik awal, x0 kemudian dibuat garis singgung lewat (x0,f0), dimana garis singgung ini memotong sumbu-x di x1 yang merupakan perkiraan nilai akar.

Dimana nilai x1

)('

)(

0

001

xf

xfxx −=



Contoh metode newton raphsonHitung salah satu akar dari persamaan pangkat 3 berikut ini

f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

Jawab :

Turunan pertama dari persamaan tersebut

f’(x) = 3x2 + 2x -3

Ditentukan nilai x0 sembarang, misalkan x0 = 1

Didapat : f(1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4

f’(1) = 3(1)2 + 2(1) – 3 = 2

Taksiran akar

Hitungan berikutnya :

f(3) = (3)3 + (3)2 – 3(3) – 3 = 24

f’(3) = 3(3)2 + 2(3) – 3 = 30

Taksiran akar

32

411 =

−−=x

2,230

2432 =−=x dan seterusnya (lihat tabel)

Tabel hasil perhitungan dengan newtonraphson



2.2.2 Metode Secant

Metode ini pada dasarnya sama dengan metode newton raphson, hanya saja turunan pertama dalam newton raphson didekati dengan beda hingga (kadang-kadang sulit mencari turunan pertama dari persamaan yang diselesaikan) :

Sehingga rumus taksiran akar menjadi :

1

1)()()('

−

−

−

−=

nn

nnn

xx

xfxfxf

)()()(

)(

1

11 n

nn

nnnn xf

xfxf

xxxx

−

−

+−

−−=

Metode ini memerlukan 2 nilai awal x0 dan x1



Contoh metode secantHitung salah satu akar dari persamaan pangkat 3 berikut ini

f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

Jawab :

Iterasi pertama diambil dua nilai awal x1 = 1 dan x2 = 2

Didapat : x1 =1 , f(1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4

x2 =2 , f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3

Taksiran akar

Hitungan berikutnya, berdasar x2 = 2 dan x3 = 1,57142

Didapat x2 = 2 , f(2) = 3

x3 = 1,57142 , f(1,57142) = -1,36449

Taksiran akar

dst lihat tabel

57142,13)4(3

)12(2)(

)()(2

12

1223 =

−−

−−=

−

−−= xf

xfxf

xxxx

70540,1)36449,1(336449,1

)257142,1(57142,14 =−

−−

−−=x

Tabel hasil komputasi metode secant



2.2.3 Metode Iterasi

• Menggunakan suatu persamaan yang dikembangkan dari fungsi f(x) = 0 sehingga parameter x

berada di sisi kiri dari persamaan.

• Nilai x merupakan fungsi dari x, diberikan nilai perkiraan awal dari akar xi dapat dihitung

perkiraan akar baru xi+1 dengan rumus iteratif sebagai berikut :

• Besarnya kesalahan dihitung dengan rumus :

•Transformasi ini dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar atau dengan menambahkan parameter x pada kedua sisi persamaan aslinya.

• Dalam proses transformasi harus hati-hati bisa terjadi divergensi (menjauhi akar)

)(1 ii xgx =+

%1001

1 xx

xx

i

iia

+

+−

=ε

)(xgx =



Contoh metode iteratifHitung salah satu akar dari persamaan pangkat 3 berikut ini

f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

Jawab :

a) Penyelesaian yang konvergen

Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk :

x3 = -x2 + 3x + 3, atau x = (-x2 + 3x + 3)1/3

Sehingga :

xi+1 = (-xi2 + 3xi + 3)1/3

Jika ditentukan perkiraan awal x1 = 2 didapatkan

x2 = (-x12 + 3x1 + 3)1/3 = (-22 + 3.2 + 3)1/3 = 1,70998

Besar kesalahan :

%9607,16%10070998,1

270998,1%100

2

12 =−

=−

= xxx

xxaε

Iterasi berikutnya x2 = 1,70998 digunakan untuk menghitung x3

x3 = (-1,709982 + 3.1,70998 + 3)1/3 1,73313

%34,1%10073313,1

70998,173313,1=

−= xaε



b) Penyelesaian yang divergen

Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk :

Sehingga dalam bentuk iterasi :

Jika ditentukan perkiraan awal x1 = 2 didapatkan

Besar kesalahan :

3

323−+

=xx

x

3

323

1

−+=

+

iii

xxx

33

322

3

3 232

1

3

12 =

−+=

−+=

xxx

%3333,33%1003

23%100

2

12 =−

=−

= xxx

xxaε

Dari tabel diatas terlihat bahwa pada iterasi yang lebih tinggi ternyata hasil komputasi malah menjauhi nilai akar persamaan yang benar.

Ada syarat supaya persamaan iteratif yang dibentuk menghasilkan penyelesaian yang konvergen (mendekati akar persamaan)



Konvergensi dan Divergensi dalam Metode Iterasi

Persamaan x = g(x) dapat ditulis dalam sepasang persamaan y1= x dan y2 = g(x), dimana keduanya digambarkan dalam satu bidang koordinat (lihat gambar a-d).

Akar persamaan adalah sama dengan nilai absis dari titik potong antara kedua kurva. Sehingga penyelesaian akan konvergen jika perkiraan x bergerak mendekati perpotongan kedua kurva.

Disimpulkan bahwa konvergensi akan terjadi jika nilai absolut kemiringan (gradien) y2 = g(x) adalah lebih kecil dari kemiringan y1 = x, atau : jadi gambar a,b konvergen, sedang c dan d divergen.

1)(' <xg


BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Bentuk umum sistem persamaan linear

a11x1 + a12x2 + …..+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …..+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + …..+ a3nxn = b3

.

.

an1x1 + an2x2 + …..+ annxn = bn

dengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan , dan x1,

x2, …..,xn adalah bilangan yang tak diketahui

Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks.

Dalam bentuk matriks

=

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

..

...

......

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

atau

AX = B

dengan :

A = matriks koefisien n x n

X = kolom vektor n x 1 dari bilangan tak

diketahui

B = kolom vektor n x 1 dari konstanta



Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

3.1 Metode Langsung

3.1.1. Metode Eliminasi Gauss

• Metode paling awal yang dikembangkan dalam

penyelesaian sistem persamaan linear

• Terdiri dari dua tahap/langkah pokok, yaitu :

a. Eliminasi maju ( forward elimination)

b. Substitusi mundur (Back substitution)

• Prosedur dalam metode ini adalah mengubah matrik koefisien menjadi matrik segitiga atas

Dua tahap eliminasi gauss

( )( ) 1131321221

'

223

'

23

'

22

''

33

''

33

''

3

''

33

'

2

'

23

'

22

1131211

3333231

2232221

1131211

/

/

/

I

I

I

I

I

I

axaxabx

axabx

abx

ba

baa

baaa

baaa

baaa

baaa

−−=

−=

=

⇓

⇓

}Eliminasi maju (Forward Elimination)

}Substitusi mundur (Back Substitution)



Prosedur Eliminasi Maju

Sebagai contoh suatu sistem persamaan linear 3 persamaan.

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (1)

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 (2)

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 (3)

Pers. (1) disebut sebagai persamaan tumpuan(pivoting equation), sedangkan konstanta a11

disebut koefisien tumpuan.

Langkah 1. Menghilangkan komponen a21x1

• Kalikan pers. (1) dengan a21/a11, sehingga menghasilkan :

• Kurangkan pers. (2) dengan pers.(4), sehingga didapatkan :

)4(11

1213

11

13212

11

1221121

a

bax

a

aax

a

aaxa =++

)5(11

12123

11

1321232

11

122122

−=

−+

−

a

babx

a

aaax

a

aaa

Atau : a’22x2 + a’23x3 = b’2

Langkah 2. Menghilangkan komponen a31x1

• Analogi seperti pada langkah 1., kalikan pers. (1) dengan a31/a11

• Hasilnya kurangkan ke pers.(3), didapat :

Atau : a’32x2 + a’33x3 = b’3

Sehingga didapat persamaan baru sbb :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (7)

a’22x2 + a’23x3 = b’2 (8)

a’32x2 + a’33x3 = b’3 (9)

)6(11

13133

11

1331332

11

123132

−=

−+

−

a

babx

a

aaax

a

aaa



Prosedur Eliminasi Maju…

Langkah 3. Menghilangkan komponen a’32x2

• Ambil pers.(8) sebagai persamaan tumpuan dan konstanta a’22 sebagai koefisien tumpuan

• Kalikan pers.(8) dengan a’32/a’22, hasilnya kurangkan ke pers.(9), sehingga didapatkan :

Atau : a”33x3 = b”3

Dengan demikian persamaan akhir menjadi :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (11)

a’22x2 + a’23x3 = b’2 (12)

a”33x3 = b”3 (13)

)10('

22

'

2'

32

'

33'

22

'

23'

32

'

33

−=

−

a

babx

a

aaa

"

33

"

33

a

bx =

'

22

3

'

23

'

22

a

xabx

−=

Prosedur Substitusi Mundur

Setelah tahap eliminasi maju selesai, dimana menghasilkan pers.(11-13), maka tahap berikutnya adalah substitusi mundur, artinya nilai x diketahui dari x3 terlebih dahulu baru x2 dan x1

• Mencari x3

• Mencari x2

• Mencari x1

11

31321211

a

xaxabx

−−=



Contoh metode Eliminasi Gauss

Selesaikan sistem persamaan berikut ini :

3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3

0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4

Jawab

Proses eliminasi maju

(i) 3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

7,00333x2 – 0,293333x3 = -19,5617

-0,190000x2 + 10,0200x3 = 70,6150

(ii) 3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

7,00333x2 – 0,293333x3 = -19,5617

10,0120x3 = 70,0843

Proses substitusi balik

Dari persamaan (ii) didapatkan nilai-nilai x1, x2, dan x3 dengan substitusi balik

x3 = 7,00003

x2 = -2,50000

x1 = 3,00000



Proses Pivoting

• Apabila koefisien tumpuan (elemen pivot) berharga nol, maka langkah penormalan/pembagian menyebabkan pembagian dengan nol, ini akan menimbulkan masalah.

• Masalah juga akan timbul jika elemen pivot mendekati nol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan elemen yang lain, maka galat pembulatan dapat muncul.

• Diusahakan elemen pivot merupakan koefisien terbesar. Ini dapat dilakukan dengan menukarkan baris-baris dalam sistem persamaan linear yang disebut dengan pivoting sebagian (partial pivoting).

• Disamping menukarkan baris-baris, kolom juga dapat dipertukarkan untuk mencari elemen terbesar, ini disebut dengan pivoting lengkap (completing pivoting),tetapi jarang dilakukan.

Contoh proses pivoting

Misal suatu sistem persamaan liear yang akan diselesaikan sebagai berikut :

2x2 + 3x3 = 8 (i)

4x1 + 6x2 + 7x3 = -3 (ii)

2x1 + x2 + 6x3 = 5 (iii)

Karena koefisien pivot dari pers.(i) berharga nol, maka dapat dilakukan proses pivoting sebagian, misalkan dengan menukarkan pers.(i) dengan pers.(ii), sehingga pers menjadi :

4x1 + 6x2 + 7x3 = -3 (i)

2x2 + 3x3 = 8 (ii)

2x1 + x2 + 6x3 = 5 (iii)



3.1.2. Metode Gauss Jordan

• Mirip metode Eliminasi Gauss

• Dapat digunakan untuk menghitung matrik invers

• Prosedur dalam metode ini adalah mengubah matrik koefisien menjadi matrik identitas

• Nilai x1, x2, x3, …..xn dapat diketahui secara bersamaan (tidak ada proses substitusi)

Algoritma metode Gauss Jordan

=

=

=

⇒

⇒

*

33

*

22

*

11

*

3

*

2

*

1

3333231

2232221

1131211

I100

I010

I001

I

I

I

bx

bx

bx

b

b

b

baaa

baaa

baaa

Jadi nilai x yang dicari dapat diketahui secara bersamaan yaitu ; x1 = b1*, x2 = b2

*, x3 = b3*



Transformasi Matrik Koefisien ke Matrik Identitas

Continued ...



Transformasi Matrik Koefisien ke Matrik Identitas….

Continued ...



Transformasi Matrik Koefisien ke Matrik Identitas….



Contoh metode Gauss Jordan

Selesaikan sistem persamaan berikut :

3x + y – z = 5

4x + 7y – 3z = 20

2x – 2y + 5z = 10

Jawab

Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matrik ;

)2(

10

20

5

522

374

113

3

2

1

=

−

−

−

x

x

x

Continued …..



Continued Answer …..

Continued ….



Continued Answer …..



3.1.3. Metode Invers Matrik

• Dalam sebuah matrik bujursangkar A terdapat

matrik lain yaitu A-1 yang disebut matrik inversA.

• Berlaku sifat bahwa :

A.A-1 = A-1.A = I

dimana I adalah matrik identitas.

• Dari sifat diatas, matrik invers dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

A.X = C

A-1.A.X = A-1.C

I.X = A-1.C

X = A-1.C

• Matrik invers A-1 dapat diketahui salah satunya dengan menggunakan metode Gauss Jordan

Mencari matrik invers dgn Gauss Jordan

Prinsipnya adalah meningkatkan matrik koefisien dengan matrik indentitas.

1-

1

33

1

32

1

31

1

23

1

22

1

21

1

13

1

12

1

11

333231

232221

131211

A I

I100

I010

I001

I A

100I

010I

001I

⇓

−−−

−−−

−−−

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa



Contoh Mencari Invers Matrik

Cari matrik invers dari matrik :

−

−

−

=

522

374

113

A

−−

−−

−

⇓

−

−

−

106667,0I6667,56667,20

013333,1I6667,16667,50

000,3333I3333,00,33331

100I522

010I374

001I113

⇓

−

−

0,20480,09640,2651-I100

0,06020,20480,3133-I010

0,04820,0361-0,3494I001

10,47061,2941-I8824,400

00,17650,2353-I2941,010

00,0588-0,4118I2353,001

Jawab

Jadi matrik inversnya A-1, adalah :

−

−

−

=−

2048,00964,02651,0

0602,02048,03133,0

0482,00361,03494,01A



3.1.4. Metode LU Dekomposisi

• Sistem persamaan linear dengan 4 persamaan dengan 4 bilangan yang tak diketahui :

Persamaan dapat ditulis dalam bentuk matrik

• Persamaan diatas dapat juga ditulis sebagai :

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

cxaxaxaxa

cxaxaxaxa

cxaxaxaxa

cxaxaxaxa

=+++

=+++

=+++

=+++

[ ]{ } { } )1(CXA =

[ ]{ } { } )2(0=− CXA

• Andaikan pers.(1) dapat dinyatakan ulang sebagai sistem segitiga atas dengan angka 1 pada diagonal

• Dalam notasi matrik juga dapat ditulis ulang sebagai

• Andaikan terdapat matrik diagonal bawah :

)3(

1000

100

10

1

4

3

2

1

4

3

2

1

34

2423

141312

=

d

d

d

d

x

x

x

x

u

uu

uuu

[ ]{ } { } )4(0=− DXU

[ ] )5(0

00

000

44434241

333231

2221

11

=

llll

lll

ll

l

L



3.1.4. Metode LU Dekomposisi …

• Matrik L mempunyai sifat bilamana dikalikan dari depan dengan persamaan (4), maka hasilnya adalah pers. (2), sehingga :

• Jika persamaan ini berlaku, maka :

• Pers.(7) disebut sebagai LU dekomposisi

dari [A].

• Proses LU dekomposisi ini dapat menggunakan metode Eliminasi Gauss atau dengan menggunakan Dekomposisi Crout

[ ] [ ]{ } { }{ } [ ]{ } { } )6(CXADXUL −=−

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] { } )8(

)7(

CDL

dan

AUL

=

=

Langkah-langkah dekomposisi LU



a. Dekomposisi LU menggunakan Eliminasi Gauss

• Eliminasi Gauss dapat dipakai untuk memecah (dekomposisi) [A] menjadi [L] dan [U]

• Ilustrasi untuk sistem 3 persamaan :

• Matrik [U] merupakan hasil dari tahap eliminasi maju pada metode Eliminasi Gauss, sehingga :

=

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

c

c

c

x

x

x

aaa

aaa

aaa

[ ]

="

33

'

23

'

22

131211

00

0

a

aa

aaa

U

[ ]

=

1

01

001

3231

21

ff

fL

• Sedangkan matrik [L] mempunyai elemen-

elemen :

• Dimana nilai-nilai f21, f31 dan f32

'

22

'

3232

11

3131

11

2121

a

af

a

af

a

af

=

=

=



Contoh Dekomposisi LU by Eliminasi Gauss

Turunkan dekomposisi LU dari matrik [A] berikut ini

[ ]

−

−

−−

=

102,03,0

3,071,0

2,01,03

A

[ ]

−

−−

=

0120,1000

293333,000333,70

2,01,03

U

02713,000333,7

19,01,0

3

3,00333333,0

3

1,0323121 −=

−===== fff

Jawab

1.Setelah di eliminasi maju, diperoleh matrik segitiga atas, matrik [U]

2. Menghitung elemen-elemen matrik [L]

3. Jadi matrik [L]

4. Dekomposisi LU adalah :

5. Cek hasil dekomposisi LU :

[ ]

−

=

10271300,01,0

010333333,0

001

L

[ ] [ ][ ]

−

−

−

==

0120,1000

293333,000333,70

2,01,03

102713,01,0

010333333,0

001

ULA

[ ][ ]

−

−

−−

=

99996,92,03,0

3,070999999,0

2,01,03

UL

Terjadi penyimpangan karena pembulatan



b. Dekomposisi LU menggunakan Dekomposisi Crout

• Dekomposisi Crout merupakan suatu algoritma yang efisien untuk memecah [A] menjadi [L] dan [U]

• Dalam dekomposisi Crout :

[L] [U] = [A]

Untuk sistem persamaan dengan n = 4, dituliskan

• Mencari elemen-elemen matrik [L] dan matrik [U]

a. Mengalikan baris 1-4 matrik [L] dengan kolom 1 matrik [U], didapatkan :

Dalam bentuk umum : li1 = ai1 untuk I = 1, 2, ……n

=

44434241

34333231

24232221

14131211

34

2423

141312

44434241

333231

2221

11

1000

100

10

1

0

00

000

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

u

uu

uuu

llll

lll

ll

l

4141313121211111 alalalal ====



b. Mengalikan baris 1 matrik [L] dengan kolom matrik [U], menghasilkan :

l11 = a11 l11u12 = a12 l11u13 = a13 l11u14=a14

Sehingga :

Secara umum dinyatakan sebagai :

c. Mengalikan baris 2-4 matrik [L] dengan kolom 2 matrik [U], menghasilkan

l21u12 + l22 = a22 l31u12 + l32 = a32

l41u12 + l42 = a42

Secara umum :

11

1414

11

1313

11

1212

l

au

l

au

l

au ===

n ..., 3, 2, juntuk 11

1 ==l

au i

ij

2,3,..n iuntuk 12122 =−= ulal iii

d. Mengalikan baris ke 2 matrik [L] dengan kolom

ke 3 dan 4 matrik [U], menghasikan :

l21u13 + l22u23 = a23 l21u14 + l22u24 = a24

Sehingga :

Secara umum dinyatakan :

e. Proses diulang untuk menghitung elemen yang lain, dihasilkan rumus umum :

22

14212424

22

13212323

l

ulau

l

ulau

−=

−=

3,4,..n juntuk 22

1212

2 =−

=l

ulau

jj

j

4,5,...n iuntuk

4,5,...n juntuk

3,4,...n iuntuk

34324214144

33

2321313

3

23213133

=−−−=

=−−

=

=−−=

ulululal

l

ululau

ululal

iiiii

jjj

j

iiii



Contoh Dekomposisi LU

Selesaikan sistem persamaan ini dengan metode dekomposisi LU menggunakan dekomposisi Crout

2x1 – 5x2 + x3 = 12

-x1 + 3x2 – x3 = -8

3x1 – 4x2 + 2x3 = 16

Jawab

Dalam bentuk matrik :

Memecah matrik [A] menjadi matrik [L] dan [U].

Elemen kolom pertama matrik [L] sama dengan

kolom pertama matrik [A]

−=

−

−−

−

16

8

12

243

131

152

3

2

1

x

x

x

L11 = 2 l21 = -1 l31 = 3

Menghitung baris 1 matrik [U].

Menghitung kolom 2 matrik [L]

l22 = a22 – l21u12 = 3 – (-1)(-2,5) = 0,5

l32 = a32 – l31u12 = -4 – (3)(-2,5) = 3,5

5,02

1

5,22

5

11

1313

11

1212

===

−=−

==

l

au

l

au

Continued ….



Jawab …

Menghitung elemen terakhir dari matrik [U] :

Menghitung elemen terakhir dari matrik [L] :

L33 = a33 – l31u13 – l32u23

= 2 – 3(0,5) – 3,5(-1) = 4

Jadi dekomposisi LU adalah :

Dari persamaan (8), diketahui bahwa :

[L] [D] = [C]

15,0

)5,0)(1(1

22

13212323 −=

−−−=

−=

l

ulau

[ ] [ ]

−

−

=

−=

100

110

5,05,21

45,33

05,01

002

UL

−=

−

16

8

12

45,33

05,01

002

3

2

1

d

d

d

[L] [D] = [C]

Dengan substitusi maju dipecahkan untuk mencari d1-d3

Dari persamaan (4), didapat :

[U][X] - [D] = 0 atau [U][X] = [D]

34

)4(5,3)6(316

45,0

6)1(8

62

12

33

23213133

22

12122

1

=−−−

=−−

=

−=−−−

=−

=

==

l

dldlcd

l

dlcd

d

Continued ….



Jawab …

Karena [U][X] = [D], maka :

Untuk memecahkan nilai x, dilakukan prosedur substitusi mundur

x3 = d3 = 3

x2 = d2 – u23x3 = - 4 – (-1)3 = -1

x3 = d1 – u12x2 – u13x3 = 6 – (- 2,5) (-1) – 0,5 (3) = 2

−=

−

−

3

4

6

100

110

5,05,21

3

2

1

x

x

x

The end of computation



3.2 Metode Iteratif

3.2.1. Metode Jacobi

• Pandang sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

• Untuk menghitung x1, x2 dan x3 persamaan diatas diubah menjadi :

( )

( )

( )33

1

232

1

13133

22

1

323

1

12122

11

1

313

1

21211

a

xaxabx

a

xaxabx

a

xaxabx

nnn

nnn

nnn

−−

−−

−−

−−=

−−=

−−=

nnnnnnxxxxxx 3

1

32

1

21

1

1 dan ,, ≈≈≈−−−

• Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal biasanya semua variabel diambil sama dengan nol.

• Hasil perhitungan dengan nilai perkiraan awal, dipakai lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua.

• Iterasi berakhir setelah :

atau telah dipenuhi kriteria yang dikehendaki (εs)

sn

i

in

i

n

ia x

x

xxεε <

−=

−

%100



Contoh Metode Jacobi

Jawab


3x + y – z = 5

4x + 7y – 3z = 20 (1)

2x – 2y + 5z = 10

Diambil nilai x = y = z = 0, dihitung nilai x’, y’, dan z’ Continued ….

Ingat dalam soal ini :

x1 = x

x2 = y

x3 = z



Jawab …

Continued …



Jawab …

Iterasi hitungan metode Jacobi

x y z εx εy εz



3.2.2. Metode Gauss Seidel

• Pandang sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

• Untuk menghitung x1, x2 dan x3 persamaan diatas diubah menjadi :

( )

( )

( ))3(

)2(

)1(

33

1

232

1

13131

3

22

0

323

1

12121

2

11

0

313

0

21211

1

a

xaxabx

a

xaxabx

a

xaxabx

−−=

−−=

−−=

• Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal biasanya variabel diambil sama dengan nol.

• Nilai x1 yang dihasilkan dari perhitungan pertama digunakan untuk menghitung nilai x2 dari persamaan kedua, demikian juga nilai x1 dan x2 dari hasil perhitungan pertama digunakan untuk menghitung nilai x3 dari persamaan ketiga.

• Iterasi berakhir setelah dipenuhi kriteria yang dikehendaki (εs)

sn

i

in

i

n

ia x

x

xxεε <

−=

−

%100



Contoh Metode Gauss Seidel


3x + y – z = 5

4x + 7y – 3z = 20 (1)

2x – 2y + 5z = 10

Jawab

( )

( )

( ))29.3(

)29.3(

)29.3(

33

1

232

1

13131

3

22

0

323

1

12121

2

11

0

313

0

21211

1

ca

xaxabx

ba

xaxabx

aa

xaxabx

−−=

−−=

−−=

Diambil y = z = 0, untuk menghitung x’menggunakan pers. 3.29a

Ingat dalam soal ini :

x1 = x

x2 = y

x3 = z

Continued …



Jawab …

Continued …



Jawab …Iterasi hitungan metode gauss seidel

x y z εx εy εz

BAB IV. ANALISIS REGRESI

Pendahuluan

• Dalam analisis regresi akan dibuat kurva atau fungsi berdasarkan sebaran titik-titik data, dimana diharapkan mewakili titik-titik data tersebut.

• Penetapan bentuk kurva, apakah kurva linear (garis lurus) atau lengkung (logaritmik atau berpangkat) tergantung dari kecenderungan (trend) penyebaran titik data (lihat gambar).

• Metode yang digunakan untuk membuat kurva tersebut adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method).

• Metode ini memungkinkan untuk membuat kurva yang paling mendekati titik-titik data.

Jika ditemui data yang mempunyai kesalahan yang besar, misal data A dan B dalam sebaran data, maka data tersebut bisa dihilangkan, disebut dengan error data.


Metode Kuadrat Terkecil

• Dalam analisis regresi, diinginkan membuat kurva yang meminimalkan selisih antara titik-titik data dengan kurva yang dibuat.

• Teknik yang dapat membuat kurva dengan selisih minimal antara titik-titik data dengan kurva adalah metode kuadrat terkecil.

Prosedur metode kuadrat terkecil

1. Titik-titik data digambarkan pada sistem koordinat, untuk mengetahui trend sebaran data (linear atau garis lengkung).

2. Dipilih suatu fungsi g(x) yang dianggap bisa mewakili f(x). Bentuk umum g(x) :

g(x) = a0 + a1x + a2x2 + …+ arx

r

dimana a0, a1, a2, …ar adalah konstanta.

3.Dipilih g(x) yang mempunyai kesalahan ordinat Ei terkecil. Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah terkecil (D2).

Ei = Mi – g(xi) = yi – g(xi)

4. Dicari konstanta a0, a1, ..ar dengan cara menurunkan D2 tersebut terhadap konstanta tersebut adalah minimum. Jika konstanta sudah diketahui maka fungsi g(x) diketahui.

{ }2

11

22 )(∑∑==

−==n

i

ii

n

i

i xgyED


4.1 Regresi Linear

• Kurva yang mewakili titik-titik data merupakan garis lurus.

• Persamaan fungsi umum :

dalam hal ini a0 = a dan a1 = b

• Jumlah kuadrat dari kesalahan D2

• Dengan menurunkan D2 terhadap a dan b, maka dapat diketahui nilai a dan b, dimana :

{ }∑∑ −−==n

i

ii

n

i

i bxayED222

( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−=

−=

22

ii

iiii

xxn

yxyxnb

xbya

bxaxg +=)(

dimana : n = jumlah data

• Untuk mengetahui derajad kesusaian dari persamaan yang didapat, dihitung nilai koefisien korelasi ( r ) yang berbentuk :

• Nilai r bervariasi antara 0 dan 1. Untuk r = 1 perkiraan fungsi sempurna, sedangkan r=0 perkiraan fungsi jelek.

y nilai rata-rata y

xnilai rata-rata

==

==

∑

∑

n

y

n

xx

i

i

( )

( )∑

∑

=

=

−−=

−=

−=

n

i

i

n

i

it

t

t

xaayD

yyD

D

DDr

1

2

10

2

2

1

2

2

22

: dimana


Contoh Regresi Linear

Tentukan persamaan garis yang mewakili data berikut :

26242220161410864y

10987654321x

Jawab

Persamaan garis yang mewakili titik-titik data :

y = a + bx

Continued …


Jawab …

Dari hasil hitungan ditabel dapat dihitung nilai rata-rata x dan y :

Menghitung konstanta a dan b :

6,1810

186

2,1510

152

===

===

∑

∑

n

yy

n

xx

( )

5849,282,156569,06,18

6569,06016

3952

)152(291210

1861522432102

22

=+=−=

−=−=−

−=

−

−=

∑ ∑∑ ∑ ∑

xxbya

x

xxb

xxn

yxyxnb

ii

iiii

Jadi persamaan garisnya :

y = 28,5849 – 0,6569x

Jika dihitung nilai koefisien korelasi ( r ), maka nilainya adalah :

r = 0,7232


4.2. Terapan Regresi Linear – Pelinearan Hubungan Taklinear

• Jika sebaran titik-titik data menunjukkan trend berupa kurva lengkung, maka pendekatan kurva lengkung memberikan hasil yang lebih baik.

• Regresi linear dapat digunakan untuk mempresentasikan kurva lengkung dengan cara memtransformasi koordinatsedemikian rupa sehingga sebaran titik dapat dinyatakan dinyatakan dalam kurva linear.

• Ada 2 fungsi yang biasa ditransformasikan datanya sehingga dapat dinyatakan dalam kurva linear, yaitu :

a. Fungsi berpangkat :

b. Fungsi eksponensial :

2

2

bxay =

xbeay 1

1=

Pendekatan sebaran data dengan kurva lengkung (b) lebih baik dari kurva linear (a)


4.2. Terapan Regresi Linear – Pelinearan Hubungan Taklinear

a. Fungsi berpangkat

• Persamaan dilinearkan dengan menggunakan fungsi logaritmik :

log y = b2 log x + log a2

⇓

b. Fungsi eksponensial :

• Persamaan dilinearkan dengan fungsi logaritmik natural :

ln y = ln a1 + b1x

⇓

2

2

bxay =

xbeay 1

1=


Contoh Linearisasi Kurva Tak Linear

Tentukan persamaan lengkung yang mewakili data berikut :

8,45,73,41,70,5y

54321x

Jawab

Akan dicoba menggunakan 2 bentuk transformasi :

a.Transformasi log.

Misalkan persamaan kurva y = axb

Transformasi menggunakan fungsi log, didapat :

log y = log a xb → log y = log a + b log x

Dilakukan transformasi berikut :

p = log y B = b A = log a q = log x

Sehingga pers menjadi : p = A + Bq


Jawab …

Dari hitungan di tabel didapat :

Koefisien A dan B dihitung :

42822,05

1411,2log

4158,05

0791,2log

===

===

∑

∑

n

yp

n

xq

i

i

( )

3024,0

4158,07572,142822,0

7572,10791,20791,21692,15

)1411,2)(0791,2()4240,1(5

22

−=

−=−=

=−

−=

−

−=

∑ ∑∑ ∑ ∑

A

xqBpA

xxB

qqn

pqpqnB

ii

iiii

Dengan demikian persamaan transformasi :

p = -0,3024 + 1,7572q

Karena :

A = log a → -0,3024 = log a → a = 0,4984

B = b → b = 1,7572

Maka persamaan yang dicari dengan transformasi log :

y = 0,4984x1,7572

b. Transformasi ln.

Misalkan persamaan kurva mempunyai bentuk :

y = aebx

Transformasi dengan fungsi ln, didapat :

ln y = ln a ebx = ln a + ln ebx

ln y = ln a + bx


Jawab …

Dilakukan transformasi :

p = ln y A = ln a q = x B = b

Sehingga persamaan dalam bentuk :

p = A + Bq

Dari hitungan tabel didapat :

986,05

93,4

35

15

===

===

∑

∑

n

pp

n

qq

i

i

Menghitung koefisien A dan B :

Dengan demikian pers. Menjadi :

p = -1.06975 + 0,68525q

Karena :

A = ln a → -1,06575 = ln a → a = 0,3431

B = b → b = 0,68525

Maka persamaan yang dicari adalah :

y = 0,3431e0,68525x

( )

06975,1

0,368525,0986,0

68525,0)15(555

93,4156425,2152

22

−=

−=−=

=−

−=

−

−=

∑ ∑∑ ∑ ∑

A

xqBpA

x

xxB

qqn

pqpqnB

ii

iiii


Jawab …

Untuk menentukan pendekatan transformasi mana yang terbaik, dapat dilihat dari nilai koefisien korelasi ( r ) :

Nilai r untuk masing-masing transformasi :

92751,0132,40

60746,5132,40

99997,0132,40

00238,0132,40

2

22

ln

2

22

log

=−

=−

=

=−

=−

=

t

t

t

t

D

DDr

D

DDr

Karena nilai koefisien korelasi untuk transformasi log lebih besar dari transformasi ln, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan yang didapat dari transformasi log lebih baik.


4.3 Regresi Polinomial

• Digunakan untuk menurunkan persamaan kurva lengkung.

• Penurunan menggunakan metode kuadrat terkecil

• Persamaan polinomial orde r mempunyai bentuk :

y = a0 + a1x + a2x2 + ………+arx

r

• Jumlah kuadrat kesalahan D2 :

• Persamaan D2 diatas diturunkan terhadap tiap koefisien dari persamaan polinomial dan disamakan nol.

• Dari hasil penurunan ini persamaan-persamaan yang dihasilkan dapat disusun ulang yang nantinya digunakan untuk mencari konstanta a0, a1, a2 ….ar.

( )∑=

++++−=n

i

r

r xaxaxaayD1

2

2101

2...(

• Hasil susunan persamaan-persamaan dapat ditulis dalam bentuk matrik.

• Pemecahan persamaan matrik diatas dapat dilakukan dengan berbagai metode yang telah dibahas pada bab III (sistem persamaan linear)


Contoh Regresi Polinomial

Tentukan persamaan kurva polinomial orde 2 yang mewakili data berikut :

40,9

4

61,127,213,67,72,1yi

53210xi

Jawab

• Persamaan polinomial orde 2 mempunyai bentuk

g(x) = a0 + a1x + a2x2

• Untuk polinomial orde 2, persamaan dalam bentuk matrik :

=

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

ii

ii

i

iii

iii

ii

yx

yx

y

a

a

a

xxx

xxx

xxn

2

2

1

0

432

32

2

• Dari hasil perhitungan di tabel, persamaan menjadi:

6a0 + 15a1 + 55a2 = 152,6

15a0 + 55a1 + 225a2 = 585,6

55a0 + 225a1 + 275a2 = 2488,8

• Dari penyelesaian persamaan diatas, didapatkan :

a2 = 1,860714 a1 = 2,359286 a0 = 2,478571

• Sehingga persamaan polinomial orde 2 :

y = 2,478571 + 2,359286x + 1,860714x2


4.4 Regresi Linear Multi Variabel

• Kasus dimana y adalah fungsi linear dari 2 atau lebih variabel. Misal y merupakan fungsi linear terhadap x1 dan x2.

• Secara umum persamaan regresi linear dengan m variabel mempunyai bentuk :

y = a0 + a1x + a2x2 + ………+amxm

• Jumlah kuadrat kesalahan D2 :

• Persamaan D2 diatas diturunkan terhadap tiap koefisien dari persamaan regresi linear dan disamakan nol.

• Dari hasil penurunan ini persamaan-persamaan yang dihasilkan dapat disusun ulang yang nantinya digunakan untuk mencari konstanta a0, a1, a2 ….am.

( )∑=

++++−=n

i

mm xaxaxaayD1

221101

2 ...(

• Koefisien-koefisien a0, a1. a2, ….am dihitung dari sistem persamaan berikut :

• Pemecahan persamaan matrik diatas dapat dilakukan dengan berbagai metode yang telah dibahas pada bab III (sistem persamaan linear)


Contoh Regresi Linear Multi Variabel

Tentukan persamaan kurva yang mewakili data berikut :

263210x2

3

4

2709105y

712,520xi

=

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

ii

ii

i

iiii

iiii

ii

yx

yx

y

a

a

a

xxxx

xxxx

xxn

,2

,1

2

1

0

2

,2,2,1,2

,2,1

2

,1,1

,2,1

Jawab

Hasil perhitungan ditabelkan :

Dalam bentuk matrik :

Dari hasil di tabel diperoleh :

=

101

5,243

54

544814

4825,765,16

145,166

2

1

0

a

a

a

Persamaan diatas diselesaikan didapatkan a0 = 5, a1 = 4 dan a2 = -3

Sehingga persamaan kurva yang dihasilkan :

y = 5 + 4x1 – 3x2

BAB V. INTERPOLASI

Pendahuluan

Perbedaan Analisis Regresi dan Interpolasi

• Analisis Regresi : membuat kurva atau fungsi yang mempresentasikan suatu rangkaian titik data dalam koordinat x-y, dimana kurva yang terbentuk tidak melalui semua titik data tetapi hanya mengikuti trend/kecenderungan dari sebaran data. Lihat gambar (a)

• Interpolasi : mencari suatu nilai yang berada diantara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya. Lihat gambar (b) dan (c).

Dalam interpolasi untuk memperkirakan nilai tersebut pertama kali harus dibuat suatu fungsi atau persamaan yang melewati titik-titik data, kemudian nilai perkiraan dihitung berdasarkan persamaan garis atau kurva yang terbentuk.

Pada gambar (b) titik-titik data dihubungkan dengan garis lurus, disebut dengan interpolasi linear, sedangkan pada gambar (c), titik-titik data dihubungkan dengan kurva.

BAB V. INTERPOLASI

Metode Interpolasi

• Dalam interpolasi metode yang paling banyak digunakan adalah interpolasi polinomial.

• Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer).

• Bentuk umum persamaan polinomial :

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ….+ anxn

dimana :

a0, a1, a2,…an adalah konstanta yang akan dicari

n adalah derajad (order) dari persamaan polinomial

x adalah variabel bebas

• Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial order n atau kurang yang melalui semuai titik data (lihat gambar a,b,c)

• Setelah ditentukan suatu persamaan polinomial order n dari n+1 titik data, kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data tersebut.

BAB V. INTERPOLASI

5.1. Interpolasi Linear

• Adalah interpolasi polinomial order satu. Menghubungkan dua buah titik data dengan garis lurus.

• Mempunyai bentuk yang sederhana dan mudah dipahami

• Memberikan hasil yang kurang teliti.

• Lihat gambar, akan dicari nilai fungsi di titik x, yaitu f1(x), dimana diketahui nilai di titik x0 dan x1, yaitu f(x0) dan f(x1).

• Dari gambar dengan menggunakan segitiga sebangun AB dan ADE, didapat hubungan :

• Sehingga :

• Perhatikan bahwa suku [f(x1) – f(x0)] / (x1 – x0) adalah gradien garis yang menghubungkan dua titik data.

• Semakin kecil interval antara titik data, ilai perkiraan akan semakin baik.

01

01

0

01 )()()()(

xx

xfxf

xx

xfxf

AD

DE

AB

BC

−

−=

−

−

=

)()()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf −

−

−+=

BAB V. INTERPOLASI

Contoh Interpolasi Linear

Cari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linear, jika ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut jika data awal adalah ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Bandingkan hasil yang diperoleh jika nilai eksak ln 2 = 0,69314718

Jawab

Menghitung nilai ln 2 berdasar data ln 1 dan ln 6 :

Menghitung nilai ln 2 berdasar data ln 1 dan ln 4 :

Dari contoh ini, terlihat bahwa dengan menggunakan interval data yang lebih kecil diperoleh hasil yang lebih baik. Gambar dibawah menunjukkan perhitungan secara grafis.

BAB V. INTERPOLASI

5.2. Interpolasi Kuadrat

• Adalah interpolasi polinomial order dua. Menghubungkan tiga buah titik data dengan garis lengkung.

• Persamaan polinomial order dua ditulis dalam bentuk :

f2(x) = b0 + b1(x –x0) + b2(x –x0)(x – x1)..(i)

• Apabila persamaan diatas dijabarkan, maka :

f2(x) = b0 + b1x - b1x0 + b2x2 + b2x0x1 - b2xx0 - b2xx1

Atau jika dibandingkan dengan persamaan :

f2(x) = a0 + a1x + a2x2

Maka didapatkan kesamaan, dimana :

a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1

a1 = b1 – b2x0 – b2x1

a2 = b2

• Selanjutnya menentukan nilai b0, b1 dan b2 :

• Menentukan nilai b0, dengan cara memasukkan nilai x = x0 pada persamaan (i), sehingga didapatkan :

b0 = f (x0) (ii)

• Menentukan nilai b1 dengan cara seperti diatas, dengan memasukkan x = x1 pada pers. (i), menghasilkan :

• Menentukan b2 dengan cara memasukkan nilai x = x2 pada persamaan (i), sehingga diperoleh :

)()()(

01

011 iii

xx

xfxfb

−

−=

( )ivxx

xx

xfxf

xx

xfxf

b02

01

01

12

12

2

)()()()(

−

−

−−

−

−

=

BAB V. INTERPOLASI

Contoh Interpolasi Kuadrat

Carilah nilai ln 2 dengan menggunakan interpolasi kuadrat, jika diberikan data sebagai berikut :

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1,3862944

x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

Jawab

Dengan menggunakan persamaan (ii), diperoleh b0:

b0 = 0

Koefisien b1 dihitung dengan menggunakan pers.(iii)

Pers.(iv) digunakan untuk menghitung b2 :

46209813,014

03862944,11 =

−

−=b

051873116,0

16

46209813,046

3862944,17917595,1

2

2

−=

−

−−

−

=

b

b

Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke pers.(i)

f2(x) = 0 + 0,46209813(x-1) -0,051873116(x-1)(x-4)

Untuk nilai x = 2, diperoleh :

f2(x) = 0,56584436

Besar kesalahan adalah :

Jadi dengan interpolasi kuadrat didapat hasil yang lebih baik.

%4,18%10069314718.0

56584436,069314718,0=

−= xEt

BAB V. INTERPOLASI

5.3. Bentuk umum Interpolasi Polinomial

• Bentuk umum polinomial order n dari n+1 data :

fn(x) = b0 + b1(x-x0) +…+ bn(x-x0)(x-x1)…..(x-xn-1)

• Untuk polinomial order n, diperlukan n+1 titik data x0, x1, x2,x3,….xn)

• Menentukan koefisien b0, b1, b2, …., bn

b0 = f(x0)

b1 = f[x1,x0]

b2 = f[x2,x1,x0]

.

.

bn = f[xn,xn-1,……,x1,x0]

dengan definisi fungsi berkurung [(…….)] adalah

pembagian beda hingga.

Misalkan pembagian beda hingga pertama :

Pembagian beda hingga kedua adalah :

Pembagian beda hingga ke-n :

Secara skematis pembagian beda hingga dari yang rendah ke tinggi diberikan dalam tabel berikut :

BAB V. INTERPOLASI

Contoh Interpolasi Polinomial Order 3

Hitunglah nilai ln 2 dengan menggunakan pendekatan interpolasi polinomial order 3, jika diketahui data sebagai berikut :

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1,3862944

x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

x3 = 5 f(x3) = 1,6094379

Jawab

Persamaan interpolasi polinomial order 3 :

Pembagian beda hingga pertama :

Pembagian beda hingga kedua :

Pembagian beda hingga ketiga dihitung sbb:

BAB V. INTERPOLASI

Nilai f[x1,x0], f[x2,x1,x0] dan f[x3,x2,x1,x0] berturut-turut adalah nilai-nilai koefisien b1, b2, dan b3.

Sedangkan nilai b0 adalah nilai f(x0) = 0

Dengan memasukkan nilai-nilai koefisien b0, b1, b2, b3 dan nilai-nilai x0, x1, x2, x3 persamaan interpolasi polinomial order 3 menjadi

Hasil interpolasi polinomial order 3 di titik x = 2, didapat dengan memasukkan nilai x = 2 ke persamaan diatas :

f3(2) = 0,62876869

Besar kesalahan dengan menggunakan interpolasi polinomial order 3 :

BAB V. INTERPOLASI

5.4. Interpolasi Polinomial Lagrange

• Hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga.

• Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Bentuk polinomial Newton order satu :

f1(x) = f(x0) + (x1-x0)f[x1,x0] ……..(i)

• Pembagian beda hingga pada persamaan diatas

• Substitusi pers.(ii) ke pers.(i), menghasilkan :

………….(ii)

• Persamaan ditata ulang dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan, menghasilkan :

atau :

Persamaan diatas adalah persamaan interpolasi polinomial Lagrange order satu.

• Dengan cara yang sama, diperoleh persamaan interpolasi polinomial Lagrange order dua, sbb :

BAB V. INTERPOLASI

• Secara umum bentuk interpolasi polinomial Lagrange order n adalah :

dimana :

dimana simbol π merupakan perkalian

• Untuk interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut menjadi :

f3(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)

Dimana L0, L1, L2 dan L3 adalah sebagai berikut :

• Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah :

BAB V. INTERPOLASI

Contoh Interpolasi Polinomial Lagrange

Gunakan interpolasi polinomial Lagrange order satu dan dua untuk menghitung ln 2 dengan menggunakan data sebagai berikut :

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1,3862944

x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

Jawab

Penyelesaian interpolasi polinomial Lagrange order satu :

Penyelesaian interpolasi polinomial Lagrange orde dua :

Terlihat bahwa kedua hasil di atas memberikan hasil yang hampir sama dengan contoh sebelumnya.

Metode Numerik

Documents

Transcript of Metode Numerik