Metnum Metode Sapuan Ganda
5
M E T O D E S A P U A N G A N D A Oleh : Abdul Muiz., S.Pd., M.Pd., KONSEP UMUM: Perhatikan sistem persamaan berikut ! b 1 x 1 + c 1 x 2 = d 1 .................................. (persamaan 01) a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 ............................................................ = d 2 (persamaan 02) + a 3 x 2 + b 3 x 3 + c 3 x 4................................................... = d 3 (persamaan 03) + a 4 x 3 + b 4 x 4 = d 4............................................................ (persamaan 04) Jika kita perhatikan matriks diatas, maka terlihat matriks tersebut berbentu tridiagonal. Salah satu cara untuk menyelesaikan matriks tridiagonal adalah dengan menggunakan metode sapuan ganda. Berikut adalah konsep umum tentang metode sapuan ganda : 1. Tentukan nilai x 1 dengan menggunakan persamaan 01 x 1 =− c 1 b 1 x 2 + d 1 b 1 ........................(persamaan 05) Selanjutnya persamaan 05, disederhanakan sebagai berikut : x 1 = P 1 x 2 + Q 1 , dengan P 1 =− c 1 b 1 dan Q 1 = d 1 b 1 ......................... (persamaan 06) 2. Hitunglah nilai x 2 dengan mensubstitusikan x 1 (persamaan 05) terhadap persamaan 02 a 2 ( − c 1 b 1 x 2 + d 1 b 1 ) + b 2 x 2 + c 2 x 3 ...................................................... = d 2 ( − a 2 c 1 b 1 x 2 + a 2 d 1 b 1 ) + b 2 x 2 + c 2 x 3 ...................................................... = d 2 ( − a 2 c 1 b 1 x 2 + b 2 x 2 ) + a 2 d 1 b 1 + c 2 x 3 ...................................................... = d 2 ( − a 2 c 1 b 1 + b 2 ) x 2 + a 2 d 1 b 1 + c 2 x 3 ...................................................... = d 2 x 2 = ( − c 2 − a 2 c 1 b 1 + b 2 ) x 3 + d 2 − a 2 d 1 b 1 − a 2 c 1 b 1 + b 2 ............(persamaan 07) Selanjutnya persamaan 07, disederhanakan sebagai berikut :
-
Upload
wahyu-septriandi-sakty -
Category
Documents
-
view
153 -
download
11
description
sistem persamaan linear
Transcript of Metnum Metode Sapuan Ganda
M E T O D E S A P U A N G A N D AOleh : Abdul Muiz., S.Pd., M.Pd.,
KONSEP UMUM:
Perhatikan sistem persamaan berikut !
b1x1 + c1x2 = d1 ............................................................................(persamaan 01)a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2 ....................................................................................................................................(persamaan 02)
+ a3x2 + b3x3 + c3x4 = d3 ....................................................................................................................................(persamaan 03)+ a4x3 + b4x4 = d4 ....................................................................................................................................(persamaan 04)
Jika kita perhatikan matriks diatas, maka terlihat matriks tersebut berbentu tridiagonal. Salah satu cara untuk menyelesaikan matriks tridiagonal adalah dengan menggunakan metode sapuan ganda. Berikut adalah konsep umum tentang metode sapuan ganda :1. Tentukan nilai x1 dengan menggunakan persamaan 01
x1 =−c1b1x2 +
d1b1 ............................................................................(persamaan 05)
Selanjutnya persamaan 05, disederhanakan sebagai berikut :
x1 = P1x2 + Q1, dengan P1 =−
c1b1 dan
Q1=d1b1 .............................................(persamaan 06)
2. Hitunglah nilai x2 dengan mensubstitusikan x1 (persamaan 05) terhadap persamaan 02
a2(− c1b1 x2 +
d1b1 ) + b2x2 + c2x3 = d2
(−a2c1b1 x2 +a2d1b1 )
+ b2x2 + c2x3 = d2
(−a2c1b1 x2 + b2 x2) +
a2d1b1 + c2x3 = d2
(−a2c1b1 + b2)x2 +
a2d1b1 + c2x3 = d2
x2 = (− c2
−a2c1b1
+ b2 )x3 +
d2 −a2d1b1
−a2c1b1
+ b2.............................................(persamaan 07)
Selanjutnya persamaan 07, disederhanakan sebagai berikut :
x2 = P2x3 +Q2, dengan P2 =
−c2
−a2c1b1
+ b2 dan Q2 =
d2 −a2d1b1
−a2c1b1
+ b2......................(persamaan 08)
Apabila kita lanjutkan perhitungan di atas, maka akan diperoleh pola sebagai berikut !
xi 1 = Pi 1 xi + Qi 1 ....................................................................................(persamaan 9)
3. Hitunglah nilai xi dengan mensubstitusikan persamaan 9 ke persamaan ke-i, yaitu: aixi 1 + bixi + cixi + 1 = di
aixi 1 + bixi + cixi + 1 = di
ai (Pi 1 xi + Qi 1) + bixi + cixi + 1 = di
(aiPi 1 + bi) xi = ci xi + 1 +(di – aiQi 1)
x i=−c i
a iP i− 1 + bix i + 1 +
di − aiQi − 1ai Pi− 1 + bi .......................................................................................(persamaan 10)
Selanjutnya persamaan 10 disederhanakan sebagai berikut !
x i= Pi xi + 1 + Qi , dengan Pi =−
ciai Pi− 1 + bi dan
Qi=d i − aiQi −1
ai Pi− 1 + bi ........................................(persamaan 11)
4. Simpulan :Jika terdapat suatu sistem persamaan berbentuk Matriks Tridiagonal, maka salah satu penyelesaiaannya dengan menggunakan Metode Sapuan Ganda. Adapun bentuk umum penyelesaiaanya adalah sebagai berikut:b1x1 + c1x2 = d1 ..............................................................................................(persamaan 01)a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2 ....................................................................................................................................................................(persamaan 02)
+ a3x2 + b3x3 + c3x4 = d3 ....................................................................................................................................................................(persamaan 03)+ a4x3 + b4x4 = d4 ....................................................................................................................................................................(persamaan 04)
Himpunan penyelesaiaanya adalah :
x i= Pi xi + 1 + Qi , dengan Pi =−
ciai Pi− 1 + bi dan
Qi=d i − aiQi −1
ai Pi− 1 + bi ........................................(persamaan 11)
CONTOH SOAL
Selesaikanlah sistem persamaan berikut dengan menggunakan Metode Sapuan Ganda !
2x1 + 3x2 = 18 ..............................................................................................(persamaan 01)
5x1 2x2 + 3x3 = 22 ..................................................................................................................................................................(persamaan 02)
+ 3x2 2x3 + 3x4 = 20 ..................................................................................................................................................................(persamaan 03)
+ 4x3 2x4 = 8 ......................................................................................................................................................................(persamaan 04)
Penyelesaian:
a. Menghitung koefisien Pi dan Qi (i = 1, 2, 3,4)
1) Untuk i = 1, maka P0 = 0; Q0 = 0 dan d1 = 18a1 = 0; b1 = 2 dan c1 = 3
Sehingga diperoleh:
P1 =−
ciai Pi −1 + b i
P1 =−
c1a1P0 + b1
P1 =− 30 (0 ) + 2
P1 = 1,5
Q1 =
d i − aiQi − 1
ai Pi −1 + b i
Q1 =
d1 − a1Q0a1P0 + b1
Q1 =
18 −0 (0 )0 (0 ) + 2
Q1 = 9
2) Untuk i = 2, maka P1 = 1,5; Q1 = 9 dan d2 = 22a2 = 5; b2 = 2 dan c2 = 3
Sehingga diperoleh:
P2 =−
ciai Pi −1 + b i
P2 =−
c2a2P1 + b2
P2 =− 35 (−1,5 ) + (−2 )
P2 = 0,3158
Q2 =
d i − aiQi − 1
ai Pi −1 + b i
Q2 =
d2 − a2Q1a2P1 + b2
Q2 =
22 −5 (9 )5 (−1,5 ) + (−2 )
Q2 = 2,4211
3) Untuk i = 3, maka P2 = 0,3158; Q2 = 2,4211 dan d3 = 20a3 = 3, b3 = 2 dan c3 = 3
Sehingga diperoleh:
P3 =−
ciai Pi −1 + b i
P3 =−
c3a3P2 + b3
P3 =− 33 (0 ,3158 ) + (−2 )
P3 = 2,8501
Q3 =
d i − aiQi − 1
ai Pi −1 + b i
Q3 =
d3 − a3Q2a3P2 + b3
Q3 =
20 −3 (2 ,4211)3 (0 ,3158 ) + (−2 )
Q3 = 12,1002
4) Untuk i = 4, maka P3 = 2,8501; Q3 = 12,1002 dan d4 = 8a4 = 4, b4 = 2 dan c4 = 0
Sehingga diperoleh:
P4 =−
ciai Pi −1 + b i
P4 =−
c4a4P3 + b4
P4 =− 04 (2 ,8501 ) + (−2 )
P4 = 0
Q4 =
d i − aiQi − 1
ai Pi −1 + b i
Q4 =
d 4 − a4Q3a4P3 + b4
Q4 =
8 −4 (−12 ,1002 )4 (2 ,8501 ) + (−2 )
Q4 = 5,9998
b. Menghitung nilai xi (i = 1, 2, 3, 4)
1) Untuk i = 4, maka P4 = 0; Q4 = 5,9998 dan x5 = 0
Sehingga diperoleh:
xi = Pi xi+1 + Qi
x4 = P4x5 + Q4
x4 = 0 (0) + 5,9998x4 = 5,9998
2) Untuk i = 3, maka P3 = 2,8501; Q3 = 12,1002
Sehingga diperoleh:
xi = Pi xi+1 + Qi
x3 = P3x4 + Q3
x3 = 2,8501 (5,9998) + (12,1002)x3 = 4,9998
3) Untuk i = 2, maka P2 = 0,3158; Q2 = 2,4211
Sehingga diperoleh:
xi = Pi xi+1 + Qi
x2 = P2x4 + Q2
x2 = 0,3158 (4,9998) + (2,4211)x2 = 4,0000
4) Untuk i = 1, maka P1 = 1,5; Q1 = 9
Sehingga diperoleh:
xi = Pi xi+1 + Qi
x1 = P1x2 + Q1
x1 = 1,5 (4,0000) + (9)x1 = 3,0000
c. Simpulan
Jadi, Nilai x1, x2, x3 dan x4 yang memenuhi sistem persamaan berikut dengan menggunakan Metode Sapuan Ganda
adalah 3, 4, 5, dan 6.
2x1 + 3x2 = 18 ..............................................................................................(persamaan 01)
5x1 2x2 + 3x3 = 22 ..................................................................................................................................................................(persamaan 02)
+ 3x2 2x3 + 3x4 = 20 ..................................................................................................................................................................(persamaan 03)
+ 4x3 2x4 = 8 ......................................................................................................................................................................(persamaan 04)
