BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam

berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,

ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia,

Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model

matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk

dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact

solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode

penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah

baku atau lazim digunakan.

Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan

dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah

persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan

akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang

muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana

tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit.

Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila

metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat

digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik

yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga

dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah,

kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).

Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi,

perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut

dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan

kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri

juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-

linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode

Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka

di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu

membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi

proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat

dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3).

Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat

dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa

parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat

ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy,

2006 : 9).

Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah

penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error).

Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil

mungkin.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam

makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non-linear

menggunakan berbagai metode dengan program komputer.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam makalah ini adalah persamaan non-linear dalam

bentuk polinomial satu variabel.

1.4 Tujuan

Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari makalah

ini adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam

menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari berbagai metode yang

digunakan.

1.5 Manfaat

Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya

adalah memberikan wawasan tambahan mengenai cara-cara menyelesaikan

persamaan non linear menggunakan Metode Numerik yang paling efektif dan

efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan

apa yang diinginkan. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu

memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran

BAB II

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR

DENGAN METODE NUMERIK

Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan

model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai

variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang

digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat

diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit

telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik.

Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x)

= 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong

sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x,

maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b)

mempunyai tanda berbeda.

Gambar 2.1 Grafik non linier

Dengan pembatasan interval ini, secara cermat dapat dicari x = λ yang

memberikan nilai f (λ ) = 0 sebagai berikut :

1. bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.

2. Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah

berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa

perbedaan tanda :

jika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti λ di [a,m]

jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti λ

di [n,b] proses

pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai λ

yang

memberikan f(λ

) = 0.

Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai

dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding

roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan

terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode

Successive Substitution, metode Secant, metode Newton Raphson, dan metode

Regula Falsi beserta cara menangani berbagai kasus yang disertakan.

2. 1 Successive Substitution

Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik

tetap dan metode Gauss-Seidel. Masing-masing persamaan tak linier diselesaikan

untuk memperoleh sebuah nilai x yang tak diketahui. Sistem persamaan ini

selanjutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai-nilai x yang baru, yang

diharapkan akan konvergen.

Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk

f(x) = 0

Dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara iterasi subtitusi berurut, dengan cara

sebagai berikut:

1. Mengubah persamaan menjadi bentuk

X = g(x)

2. Dimulai dengan menebak nilai x0 awal untuk mengevaluasi nilai g(x0) dan

menentukan nilai x1, kemudian lakukan iterasi.

X(i+1) = g(xi) dimana i =1,2,3,…

Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana

|x i+1−xi|≤ ϵ

Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successive

substitution, karena ada iterasi yang divergen. Syarat agar iterasi dijamin

konvergen, adalah:

nilai dari 1

)(

dx

xdg

, pada nilai tebakan awal xo.

Ketika lereng dg (x)/dx < 1, maka metode tersebut konvergen seperti yang

ditunjukkan pada gambar.

Ketika lereng dg (x) / dx> 1, maka metode tersebut divergen seperti yang

ditunjukkan pada gambar.

Contoh:

1. Tentukan nilai x dari persamaan berikut:

x3+2 x+2=10 e−2 x2

Jawab:

Ubah persamaan menjadi bentuk X = g(x)

X = g(x) = √−12

ln( x3+2x+210

¿)¿

Misalkan x0 = -0.5

Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel.

X g(x)

-0.5

1.10365

7

1.10365

7

0.54244

5

0.54244

5

0.75020

8

0.75020

8

0.68403

9

0.68403

9

0.70620

8

0.70620

8

0.69890

5

0.69890

5

0.70132

5

0.70132

5

0.70052

5

0.70052

5

0.70078

9

0.70078

9

0.70070

2

0.70070

2

0.70073

1

0.70073

1

0.70072

1

0.70072

1

0.70072

4

0.70072

4

0.70072

3

0.70072

3

0.70072

4

2. Temukan penyelesaian dari:

f(x)= x (tan x) - 1, Untuk 0 < x < π/2

Jawab:

Pilih tebakan awal dalam range yg dipersyaratkan, missal π/8

Cari g(x)

X=g(x)

X=1/tan x

Cek konvergensi, ternyata dx

xdg )(

>1 maka tidak dijamin

konvergen.

Di coba subtitusi x0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan

awal

Maka menghasilkan

x1=2,4142 atau 0,7 π, sehingga berada di luar range 0 < x < π/2 atau

divergen

untuk g(x) yg lain:

x=tan-1(1/x)

Cek konvergensi, ternyata dx

xdg )(

<1 maka dijamin konvergen.

Di coba subtitusi x0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan

awal.

Maka menghasilkan table iterasi

X g(x)

0.3927 1.196599

1.196599 0.696135

0.696135 0.962669

0.962669 0.804416

0.804416 0.893368

0.893368 0.841657

0.841657 0.871166

0.871166 0.854142

0.854142 0.863902

0.863902 0.858286

0.858286 0.861511

0.861511 0.859657

0.859657 0.860722

0.860722 0.86011

0.86011 0.860462

0.860462 0.86026

0.86026 0.860376

0.860376 0.860309

0.860309 0.860348

0.860348 0.860326

2.2 Metode Newton – Raphson

Metode Newton Rapshon adalah salah satu metode untuk menemukan

solusi numerik dari persamaan non linier. Metode pendekatan yang

menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope

atau gradien pada titik tersebut. Dengan konsep menggunakan iterasi

(pengulangan) mencari nilai x dengan rumus :

Xn+1=Xn−f ( Xn )f ' (Xn )

Sedangkan penentuan x awal harus memenuhi syarat sebagai berikut:

Jadi sebelum kita melakukan iterasi pencarian nilai x, terlebih dahulu

harus mencari turunan pertama dan turunan kedua sebagai syarat dengan

rumus di atas.

Gambar 2.2 Grafik metode Newton-Raphson

2.2.1 Alogaritma metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan nilai pendekatan awal x0

4. Hitung f(x0) dan f’(x0)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xn)|> e

Hitung f(xn) dan f1(xn)

X n+1=Xn−f ( Xn )f ' (Xn )

Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

Contoh soal :

1) Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0

Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:

f(x) = x - e-x à f’(x)=1+e-x

f(x0) = 0 - e-0 = -1

f’(x0) = 1 + e-0 = 2

f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653 

x2 =

f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762

x3 =

f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.

Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

x - e-x = 0 à x0 =0, e = 0.00001

2) Selesaikan persamaan x + e-x cos x -2 = 0 à x0=1

Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:

f(x) = x + e-x cos x - 2

f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x

x1=x0−f (x0)f 1( x0)

=0−−12

=0,5

x1−f (x1 )f 1 (x1)

=0,5−−0 ,1065311 ,60653

=0 ,566311

x2−f (x2 )f 1 (x2)

=0 ,566311−−0 ,001304511 ,56762

=0 , 567143

Gambar 2.3 Grafik pers. x + e-x cos x -2 = 0

3) Carilah penyelesaian persamaan di bawah ini dengan menggunakan

metode Newton Rapshon

Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Mencari turunan pertama dan kedua dari f(x), yaitu:

o

o

2. Menentukan titik awal atau X1. Misalkan X1 = 0.5, maka didapat:

o

o

o

3. Langkah selanjutnya adalah mengecek persyaratan dengan rumus:

4. Kemudian dilanjutkan dengan melakukan interasi dengan rumus :

X n+1=Xn−f ( Xn )f ' (Xn )

Dan, iterasinya adalah sebagai berikut:

Iterasi dihentikan saat nilai Xn yang didapat tidak berubah secara

signifikan atau nilai f(x) kurang dari 0.0000001. Jadi dari data di atas

didapatkan nilai x = 0.360421703.

2.2.2 Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada

pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0

sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat

dilihat sebagai berikut:

F (x )F1 ( x )

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya

akan berada di tak berhingga.

Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika

titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.

Gambar 2.4 GrafikPendekatan Newton Raphson, dg. Titik pendekatan

berada diantara 2 titik puncak

Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat

mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini

disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau

arah pendekatannya berbeda.

Gambar 2.5 Grafik hasil tidak konvergen

2.2.3 Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan

tersebut harus di geser sedikit, xi = xi dimana adalah konstanta

yang ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson

tetap dapat berjalan.

2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya

pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel,

sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

2.2.4 Contoh Penyelesaian Permasalahan Metode Newton Raphson

Selesaikan persamaan : x . e-x+ cos(2x) = 0

Jawab :

Bila menggunakan titik pendekatan awal x0 = 0,176281

f(x) = x . e-x+ cos(2x)

f1(x) = (1-x) e-x–2 sin (2x)

Sehinggaf(x0) = 1,086282 dan f1(x0) = -0,000015

δ±δ

F1 (x i )≠0

2.3 Metode Secant

Masalah potensial dalam implementasi metode Newton adalah evaluasi

pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara

menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi. Bila turunan fungsi f’(x)

sulit ditemukan, metode newton tidak dapat dipakai. Solusinya, bahwa sebetulnya

f’(x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.

Jika diambil persamaan backward untuk disubstitusikan pada persamaan

forward iteratifnya menjadi

Atau bisa dituliskan dalam bentuk

Secara geometri, dalam metode Newton xi+1 merupakan perpotongan

sumbu x dengan garis singgung di xi, sedangkan dalam metode Secant xi+1

adalah perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan

terhadap xn+1 dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi–1 dan xi,

tetapi tanpa perhitungan turunan.

Dapat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode

Newton Raphson, tetapi menjadi pilihan bilamana kerja penghitungan suatu nilai

f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja penghitungan nilai f(x). Algoritmanya

serupa dengan metode Newton.

Sebuah peluru bermassa 2 gram ditembakkan vertikal ke udara dan

bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. Batas kecepatan ditentukan oleh

mg=Ftarik, dimana m=massa dan g = percepatan gravitas i. Persamaan lengkap

adalah sebagai berikut:

dimana v adalah kecepatan batas, m/det. Suku pertama pada ruas kanan

menyatakangesekan tarik (friction drag), dan suku kedua menyatakan tekanan

tarik (pressure drag). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. Nilai coba

awal v @ 30 m/det

Solusi:

Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari

diset vo=30 dan v1=30,1 didasarkan pada nilai coba awal, dimana y0 dan y1

dihitung dengan persamaan (2.12). Iterasi penyelesaian dengan persamaan (2. 11)

sebagai berikut:

Jadi batas kecepatannya adalah v=37,7 m/det

2.4 Regula Falsi

Sesi metode numerik ini membahas salah satu metode  penyelesaian

sistem persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan

dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari

akar interpolasi linier, dikenal dengan metode False Position atau metode

regula falsi.

Gambar 2.6 Grafik metode Regula Falsi

f (b )−f (a )b−a

=f (b )−0

b−x

x=b−f (b )(b−a )f (b )− f (a )

x=af (b )−bf (a )

f (b )− f (a )

2.4.1 Algoritma Metode Regula Falsi

2.4.2 Contoh Soal

Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]

Akar persamaan diperoleh di x=-0.56741 dengan kesalahan =0,00074

DAFTAR PUSTAKA

Alifis.2008. bab-ii-solusi-persamaan-non-linear.pdf (di akses tanggal 8 oktober

2011))

Anonim.2010.http://www.pustakaskripsi.com/penyelesaian-persamaan-non-

linear-metode-biseksi-dan-metode-regula-falsi-menggunakan-cara-

komputasi-skripsi-373.html (diakses tanggal 5 oktober 2011)

El said, fairus. 2008.http://fairuzelsaid.wordpress.com/ (diakses tanggal 8 oktober

2011)

Riggs, James B.An introduction to numerical methods for chemical engineer 2nd

edition.Texas Tech University Press : USA