Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
Transcript of Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 1/12
TUGAS II
MATA KULIAH METODE NUMERIK
OLEH :
Evalia Nova Rianti (1213021023)
Fiti!anti (121302102")
Lin#a N$%iti!ani (1213021033)
Rini Ha&'in ala (121302103)
ENDIDIKAN MATEMATIKA
ENDIDIKAN MATEMATIKA * ILMU ENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU ENDIDIKAN
UNI+ERSITAS LAMUNG
201"
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 2/12
1, -aila. &ol$&i .a/ian #ai &i&t/ &a/aan i$t :
f 1 (x,y) = x2 + xy – 10 = 0
f 2 (x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0
dengan menggunakan lelaran titik tetap :
x2 + xy – 10 = 0
x = y−57
3 y2
−¿)
y + 3xy2 – 57 = 0
y = x
2−10
x
−¿
)
iterasi selesai apaila !451 6 4 !" ε dan !!51 7 !!" ε dengan
ε=0,000001 . #an x0 = 1,5 y0 = 3,5$
#engan memanfaatkan aplikasi mi%r&s&ft ex%el didapat seagai erikut :
' xr+1xr yr+1yr
1,5 3,51,*5572 5,17 0,0**21 1,70,*72*2 5,*13377 0,05* 0,2*710,575 1*,02-2 0,00*57 -,3-5*20,0*1- 1,*5522 0,5225- 1,522--0,0*--12 155,723 0,01*27 13-,2*0,0013 200,302 0,0512- **,57370,0011- 73-,01 0,0001 75-,311*,5.05 3--,23 0,00123 1030,222*.05 21-373,* 5,3.0 227772,1,5.0 25027,5 *,15.05 30-05,051,3.0 52-13 1,.07 331-1
5,0.0 75100* 1,3.0 -27151,5*,**.0 1,-7.+0 ,25.0- 2,05.+01,7.0- 2,25.+0 *,1.0 271*5*51,5.0- 5,-.+0- 2,0.10 ,15.+0-5,3.11 ,.+0- 1,5*.0- ,3*.+0*,-3.11 1,7.+11 ,-5.12 1,*.+111,-.12 2,03.+11 5,12.11 2,5.+101,.12 5,3.+12 2,32.13 5,53.+12,25.1* ,1.+12 1,71.12 7,51.+115,*.1* 1,.+1* 7,72.15 1,.+1*
2,1.15 1,2.+1* 5,-.1* 2,25.+13
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 3/12
1,.15 *,.+15 2,57.1 *,-.+15,-5.17 5,5.+15 1,-.15 ,7.+1*,0-.17 1,**.+17 ,5.1 1,*-.+172,3.1 1,*.+17 ,32.17 2,03.+12.1 *,3.+1 2,.1- *,*.+17,72.20 *,-.+1 2,11.1 ,0.+17
/erliat dari tael di atas aa nilai x dan y diergen, seingga tidak dapat
ditemukan s&lusi ampirandari sistem persamaan di atas$
2$ #engan menggunakan met&de lelaran titik tetap, %arila ampiran s&lusi dari
sistem persamaan diaa ini
f 1 (x,y) = x2 + xy – 10 = 0
f 2 (x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0
4et&de elaran titik tetap
a, Llaan 8a9oi
x2 + xy – 10 = 0
x= 10
x+ y y + 3xy2 – 57 = 0
y= 57
1+3 xy
iterasi selesai apaila !451 6 4 !" ε dan !!51 7 !!" ε dengan
ε=0,000001 . #an x0 = 1,5 y0 = 3,5$
#engan memanfaatkan aplikasi mi%r&s&ft ex%el didapat seagai erikut :
R ; 451 6 4 !51 7 !
0 1,5 3,5 0 01 2 3,*02-5 0,5 0,0-70152 1,502- 2,132* 0,1*-171 0,7*113 2,21237 3,122 0,35*0 0,-5153* 1,715531 2,270- 0,50070 1,33*755 2,503- *,*7-5 0,7*5 2,201*7 1,*31-35 1,*500* 1,072053 2,3*5*7 3,2*--3 7,0157 1,10*7 5,*21153
0,--355 0,15513 2,202 ,250**
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 4/12
- 5,025 1,-01 *,33301 1,0-05-10 0,***272 0,1--- 5,153* 1,702111 15,52*0 *5,00-1 15,07-7- **,0-0212 0,151-- 0,0271 15,35 **,-17313 51,-07 5,2*2*1 51,155 5,21523
#ari tael di atas terliat aa nilai x r dan yr tidak k&nergen$ 6eingga nilai xr
dan yr tidak dapat ditemukan$
, Llaan Si#l
#ari fungsi di atas dapat diuat seagai erikut :
xr+1= 10
xr+ yr
yr+1= 57
1+3 xr+1 yr
xr+1 disustitusikan pada yr+1 seingga :
yr+1= 57
1+3 10
xr+ yr
yr
iterasi selesai apaila !451 6 4
!"ε
dan !!51 7 !
!" ε
denganε=0,000001 . #an x0 = 1,5 y0 = 3,5$
#engan memanfaatkan aplikasi mi%r&s&ft ex%el didapat seagai erikut :
R 4 ; 451 6 4 !51 6 !
0 1,5 3,5 0 01 2 2,5-0-0- 0,5 0,-0-0-12 2,1721 3,17-07 0,1721 0,57--3 1,73 3,03102 0,3115*5 0,1*730** 2,0*1535 2,-1301* 0,17*2 0,115-5 2,013*7 3,051-- 0,02317 0,1*51 1,--*3 2,-5-3 0,0*50* 0,0-07 2,0175 2,-712- 0,0*-22 0,001*5 1,--*** 3,01**5 0,01321 0,027337- 1,--*5 2,--3* 0,0035-* 0,0200110 2,00*05 2,---*72 0,00-75 0,0050-11 1,--37 3,0021 0,00235 0,0033*12 1,---525 2,--00 0,001155 0,00*113 2,000- 3,000*5 0,001*3 0,002*71* 1,---*11 3,000377 0,00157 0,00010
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 5/12
15 2,00005 2,---522 0,0007* 0,000551 2,000157 3,00022- 7,2.05 0,00070717 1,---*5 3,000003 0,000312 0,0002271 2,00001 2,----11 0,000215 -,1*.051- 2,000011 3,0000 *,-.05 0,00015720 1,---- 2,----1 *,3.05 ,77.0521 2,000021 2,----- 5,23.05 ,1.022 1,----- 3,00001 2,**.05 2,*.0523 1,-----5 2,-----2 7,77.07 2,3-.052* 2,000005 3 -,.0 ,1.025 1,----- 3,000003 7,3-.0 2,3*.02 2 2,----- 2,02.0 5,0-.027 2,000001 3,000001 1,23.0 3,0.02 1,------ 3 1,72.0 *,7.072- 2 2,------ ,75.07 ,01.0730 2 3 2,-.0 ,01.0731 2 3 3,0-.07 3,2.0732 2 3 2,52.07 5,*.033 2 3 7,-1.0 1,*.073* 2 3 3,3.0 1,07.0735 2 3 5,3.0 2,13.0
#ai tael di atas terliat aa nilai x dan y diergen ke nilai ε , akan tetapi
451 6 4 dan !51 7 ! k&nergen ke ε . seingga nilai ampiran x dan y didapatseperti yang terliat pada tael di atas (tinta mera)$
4emuktikan kek&nergenan menggunakan %ara manual
a, Ita&i Titi Tta
6yarat &nergen
|∂ g1
∂ x |+|∂ g
1
∂ y | " 1
#an
|∂ g2
∂ x |+|∂ g
2
∂ y | " 1
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 6/12
8kan diuktikan apaka persamaan g1 (x,y) =10
x+ y dan g2 (x,y) =
57
1+3 xy
k&nergen
9enyelesaian :
g1 (x,y) =10
x+ y
|∂ g1
∂ x | =10
( x+ y)2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
|∂ g1
∂ x | =10
(1,5+3,5)2 =
10
(5)2 =
10
25
6elanutnya akan di%ari turunan g1 teradap y, diper&le:
|∂ g1
∂ y | =10
( x+ y)2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
|∂ g1
∂ y | =10
(1,5+3,5)2 =
10
(5)2 =
10
25
4aka
|∂ g1
∂ x | + |∂ g2
∂ y | =10
25+10
25=
20
25 = 0, " 1
dan
g2 (x,y) =57
1+3 xy
8kan di%ari turunan g2 teradap x, diper&le:
|
∂ g2
∂ x
| =
171 y
(1+3 xy)2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
|∂ g2
∂ x | =171(3,5)
(1+3(1,5)(3,5))2 =
598,5
(1+15,75)2 =
598,5
280,562 = 2,13
6elanutnya, 8kan di%ari turunan g2 teradap x, diper&le:
|∂ g2
∂ y | =171 x
(1+3 xy)2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 7/12
|∂ g2
∂ x | =171(1,5)
(1+3(1,5)(3,5))2 =
256,5
(1+15,75)2 =
256,5
280,562 = 0,-1
|∂ g
1
∂ x
| + |∂ g
2
∂ y
| = 2,13
+0,91
=3,04
; 1arena tidak memenui syarat kek&nergenan yang menyatakan aa:
|∂ g1
∂ x |+|∂ g
1
∂ y | " 1
#an
|∂ g2
∂ x |+|∂ g
2
∂ y | " 1
4aka persamaan diatas tidak k&nergen$
, Llaan Si#l
6yarat &nergen
|∂ g1
∂ x |+|∂ g
1
∂ y | " 1
#an
|∂ g2
∂ x |+|∂ g
2
∂ y | " 1
8kan diuktikan apaka persamaan g1 (x,y) =10
x+ y dan g2 (x,y) =
57
1+3 xy
k&nergen
9enyelesaian :
g1 (x,y) =10
x+ y
|∂ g1
∂ x | =10
( x+ y)2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
|∂ g1
∂ x | =10
(1,5+3,5)2 =
10
(5)2 = 10
25
6elanutnya akan di%ari turunan g1 teradap y, diper&le:
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 8/12
|∂ g1
∂ y | =10
( x+ y)2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
|∂ g1
∂ y | =10
(1,5+3,5)2 =
10
(5)2 = 10
25
4aka
|∂ g1
∂ x | + |∂ g2
∂ y | =10
25+10
25=
20
25 = 0, " 1
dan
g2 (x,y) =
57
1+3 xy
g2 (x,y) =57
1+3 ( 10
x+ y ) y =
57
1+ 30 y
x+ y
=57 ( x+ y)
x+ y+30 y =
57 x+57 y
x+31 y
6elanutnya, 8kan di%ari turunan g2 teradap x, diper&le:
|∂ g2
∂ x | =57 ( x+31 y )−1(57 x+57 y)
( x+31 y )2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
|∂ g2
∂ x | =
3,5
1,5+31(¿)−1(57 (1,5)+57 (3,5))¿
57¿¿
= 0,*-*
6elanutnya, 8kan di%ari turunan g2 teradap y, diper&le:
|∂ g2
∂ y | =57 ( x+31 y )−31(57 x+57 y)
( x+31 y )2
6ustitusi nilai x = 1,5 dan nilai y = 3,5, seingga diper&le:
|∂ g2
∂ x | =
3,5
1,5+31(¿)−31(57 (1,5)+57 (3,5))¿
57¿¿
= 0,211-3*7
|∂ g2
∂ x | + |∂ g2
∂ y | = 0,4946+0,21198347=0,7065<1
arena memenui syarat kek&nergenan yang menyatakan aa:
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 9/12
|∂ g1
∂ x |+|∂ g
1
∂ y | " 1
#an
|∂ g2
∂ x |+|∂ g
2
∂ y | " 1
4aka persamaan diatas k&nergen$
3$ <et&n aps&n
akukan pr&sedur <et&n aps&n untuk men%ari akar f 1( x, y) = u = x2 + xy 10 = 0
f 2( x, y) = v = y + 3 xy2 57 = 0
dengan teakan aal x0=1$5 dan y0=3$5
n!l&aian:
∂ur
∂ x = 2 x + y maka
∂u0
∂ x = 2(1.5) + 3.5 = 6.5
∂ur
∂ y = x maka ∂u
0
∂ y = 1.5
∂ vr
∂ x = 3 y 2 maka
∂ v0
∂ x = 3(3.5)2 = 36.75
∂ vr
∂ y = 1+ 6 xy maka
∂ v0
∂ y = 1 + 6(1.5) = 32.5
#eterminan >a%&i untuk lelaran pertama adala∂ur
∂ x .
∂ vr
∂ y
∂ur
∂ y .
∂ vr
∂ x = $5(32$5) 1$5(3$75) = 15$125
<ilainilai fungsi dapat diitung dari teakan aal seagai
u0 = (1$5)2 + 1$5(3$5) 10 = 2$5
v0 = (3$5) + 3(1$5)(3$5)2 57 = 1$25
#engan <et&n aps&n,
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 10/12
xr+1 = xr -ur .
∂ vr
∂ y + vr .
∂ ur
∂ y
∂ ur
∂ x .
∂ v r
∂ y −
∂ ur
∂ y .
∂ vr
∂ x
Untuk r=0 maka
x1 = x
0 -u0.
∂ v0
∂ y +v
0.
∂u0
∂ y
∂ u0
∂ x .
∂ v0
∂ y −
∂u0
∂ y .
∂ v0
∂ x
x1 = 1.5 -
(−2.5) (32.5)+(1.625)(1.5)156.125
= 1.5 – 0.504 = 2.04 , dan
y1 = y
0 +u0.
∂ v0
∂ x −v
0.
∂ u0
∂ x
∂ u0
∂ x .
∂ v0
∂ y −
∂u0
∂ y .
∂ v0
∂ x
y1 = 3.5 +
(−2.5) (36.75)−(1.625)(6.5)156.125
= 3.5 - 0.656 = 2.844
8paila iterasinyan diteruskan, ia k&nergen ke akar seati x = 2 dan y = 3$#apat diliat dari tael erikut (tael dari asil &perasi pada ms$ex%el)
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 11/12
r Xr Xr+1 |Xr+1-Xr| Yr Yr+1 |Yr+1-Yr| ur vr
0
1.50000
00
2.00480
38
0.50480
38
3.50000
00
2.84387
51
0.65612
4
-
2.50000
00
1.625000
0
6.
00
1
2.00480
38
2.11323
21
0.10842
82
2.84387
51
3.00483
8
0.1606
38
-
0.2734
8
-
5.513816
3
6.
28
2
2.11323
21
1.4137
5
0.17185
26
3.00483
8
2.871
53
0.00612
35
0.81567
16
3.246315
3
7.
30
3
1.4137
5
2.03308
85
0.0170
0
2.871
53
2.56
21
0.00084
67
-
0.4040
12
-
1.62820
6.
43
4
2.03308
85
1.8327
40
0.0481
46
2.56
21
2.85
2
0.0002
08
0.23182
43
0.87627
7
7.
2
5
1.8327
40
2.0002
00
0.02574
61
2.85
2
2.6
38
0.00011
0
-
0.1170
43
-
0.457001
1
6.
08
6
2.0002
00
1.530
34
0.01371
66
2.6
38
2.8
2
0.00002
54
0.06314
8
0.24216
7
7.
3
7
1.530
34
2.0024
01
0.00718
67
2.8
2
2.
71
0.00000
7
-
0.03287
57
-
0.127206
8
6.
60
8
2.0024
01
1.86
25
0.0037
76
2.
71
2.
2
0.00000
21
0.01743
11
0.067125
5
7.
73
1.86
25
2.0006
01
0.001
76
2.
2
2.
8
0.00000
06
-
0.0015
26
-
0.035333
5
6.
411
0
2.0006
01
1.63
68
0.00105
33
2.
8
2.
0.00000
02
0.00483
04
0.018623
1
7.
1
1
1.63
68
2.0001
14
0.00055
46
2.
3.00000
00
0.00000
00
-
0.00254
24
-
0.00808
6.
351 2.0001 1.8 0.0002 3.00000 3.00000 0.00000 0.00134 0.005168 7.
7/25/2019 Tugas 2 Metnum Kelompok Eva Fitri Linda Rini.docx
http://slidepdf.com/reader/full/tugas-2-metnum-kelompok-eva-fitri-linda-rinidocx 12/12
2 14 2 23 00 00 00 01 3 2
1
3
1.8
2
2.00005
31
0.00015
40
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
-
0.00070
58
-
0.002722
6
6.
831
4
2.00005
31
1.7
20
0.00008
11
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
0.00037
1
0.001434
4
7.
63
1
5
1.7
20
2.00001
47
0.00004
27
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
-
0.0001
5
-
0.000755
7
6.
401
6
2.00001
47
1.
22
0.00002
25
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
0.00010
32
0.00038
1
7.
5
1
7
1.
22
2.00000
41
0.00001
1
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
-
0.00005
44
-
0.00020
7
6.
451
8
2.00000
41
1.
78
0.00000
62
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
0.00002
86
0.000110
5
7.
82
1
1.
78
2.00000
11
0.00000
33
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
-
0.00001
51
-
0.000058
2
6.
572
0
2.00000
11
1.
4
0.00000
17
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
0.00000
80
0.000030
7
7.
23
2
1
1.
4
2.00000
03
0.00000
0
3.00000
00
3.00000
00
0.00000
00
-
0.00000
42
-
0.000016
2
6.
88