1 HANDS-OUT METODENUMERIK Oleh: Drs. Heri Sutarno, M. T. Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si. JURUSAN PENDIDIKANMATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKANMATEMATIKADAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 20082Pertemuan ke:1 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Pendahuluan 2.Angka Bena, Pembulatan, dan Galat URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 1.Pendahuluan Metodenumerikmerupakanteknik-teknikyangdigunakanuntuk merumuskanmasalah-masalahmatematikaagardapatdiselesaikandengan operasi-operasiaritmatika(hitungan)biasa(tambah,kurang,kali,danbagi).Ada beberapa alasan mengapa mempelajari metode numerik, yaitu: 1)Metodenumerikmerupakanalatuntukmemecahkanmasalahmatematika yangsangathandal.Banyakpermasalahanteknikyangmustahildapat diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem persamaanyangbesar,tidaklineardancakupanyangkompleks,dapat diselesaikan dengan metode numerik. 2)Program paket numerik, misalnya MATLAB, MAPLE, dansebagainya yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika dengan metode numerik dibuat oleh orang yang mempunyai dasar-dasar teori metode numerik. 3)Banyakmasalahmatematikayangtidakdapatdiselesaikandenganmemakai program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Olehkarenaitu kita perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software) untuk masalah sendiri. 4)Metodenumerikmerupakansuatusaranayangefisienuntukmempelajari penggunaankomputer.Belajarpemrogramansecaraefektifadalahmenulis programkomputer.Metodenumerikmengandungbagianyangdirancang untuk diterapkan pada komputer, misalnya membuat algoritma. 5)Metode numerik merupakan suatu sarana untuk lebih memahami matematika. Karenafungsimetodenumerikadalahmenyederhanakanmatematikayang lebih tinggi dengan operasi-operasi hitungan dasar. 3Tahap-tahapdalammenyelesaikanmasalahmatematikasecaranumerik dengan memakai alat bantu komputer secara umum adalah: 1)Pemodelan 2)Pemilihan metode (algoritma) numerik 3)Pemrograman (koding) 4)Dokumentasi 1)Penafsiranhasil. 2.Angka Bena, Pembulatan, dan Galat Angkabena(significantfigure)suatubilangancadalahsebarangangka yangdiberikanolehc,kecualiuntuknol-noldikiriangkataknolpertamayang hanya bertindak untuk mencocokkan posisi titik (koma) desimal. Kebanyakankomputerdigitalmempunyaiduacarauntuk menyatakan bilangan, yaitu: 1)Sistem titik kambang (floating point). Bilangan titik kambang a ditulis sebagaia = m x b p

dengan : m = mantis (riil); b = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dan sebagainya); dan p = pangkat (berupa bilangan bulat tak negatif). Contoh : 0,6238 x 103dalam sistem titik kambang dengan basis 10.2)Sistem titik tetap (fixed-point). Suatubilangandinyatakandengansejumlahtetapposisidesimaldiujung kanan,tetapisistembilangantitiktetaptidakpraktisdalampekerjaanilmiah karena keterbatasan rentangnya, contoh : 62,358. Solusiyangdiperolehsecaranumerikmerupakannilaihampirandari solusieksaknya.Iniberartiterdapatgalat(error)padasolusihampirantersebut. Galatnumerikadalahbesaranyangmerupakanselisihantaranilaihampiran dengan nilai eksak. Hubungan ini dirumuskan menjadi : Ea = x -xataux =x + Ea

4dimanaEaadalahgalatabsolut(galatmutlak),xnilaieksak,danxnilai hampiran.Galat mutlak dapat didefinisikan sebagai , Ea ,=, x -x , .Galat relatifdinyatakan sebagaier=.

xaEeksak nilaiabsolut galat=

Adadua jenis galat dalam komputasi, yaitu: 1)Galatbawaan(inherenterror)adalahgalatdaridatayangdiberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran atau ketidaktelitian alat ukur. 2)Galatprosesadalahgalatyangterjadikarenaproseskomputasi,galatini dibedakan menjadidua macam,yaitu:a)Galat pembulatan (round-off error) Contoh :x = 1/3 =0,33333 . . . dan x = 0,33333. Galat pembulatannyaE = 0,00000333 . . . . b)Galat pemotongan (truncation error) Contoh :Hampiranfungsisin xdenganbantuanderetTaylordi sekitar x = 0 adalah y=sinx=x + + 7 5 3 7 5 3!x!x!x . . . Jikaderettersebutdipotongsampaisukuorden=3,galat pemotongannya menjadi E = ! 7 ! 57 5x x+ . . . . Pertemuan ke:2 5Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Pendahuluan 2.Metode Grafik Tunggal dan Metode Grafik Ganda 3.Aturan Tanda Descartes 4.Metode Tabulasi 5.Metode Tertutup(Metode Bagidua dan Metode Posisi Palsu) URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 2.1Pendahuluan Padabagianiniakandiuraikanbeberapametodeiteratifyangdigunakan untuk menentukan solusi dari persamaan0 ) ( = x f , yaitu bilangan-bilangan = xsedemikian sehingga0 ) ( = f . Bilangan-bilanganyang memenuhi persamaan itu disebut akar persamaan atau titik nol fungsi tersebut.Adabeberapapertanyaanyangditanyakansehubungandenganmetode-metodeiteratifuntukmenentukanakarpersamaan0 ) ( = x f .Pertanyaan-pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut : (i)Bagaimanamemilihtebakanawaluntukmendapatkanakar persamaan ? (ii)Bagaimanamemulaiprosesiterasidaritebakanawalsampai mendapatkan hampiran akar ? (iii)Seberapa cepat metode iteratif yang digunakan untuk mendapatkan hampiran akar ini konvergen ke akar persamaan ? (iv)Seberapa banyak usaha komputasi diperlukan dalam setiap iterasi ? (v)Kapan kita harus menghentikan siklus iterasi ? Pertamakaliakandibahasmetodeiteratifyangdisebutsebagaimetodepengurung, disebut sebagai metodepengurungkarena akaryangakan dihampiri 6dikurungolehsuatuselangyangmemuatakaratauselangakar.Metode pengurung ini disebut juga metode tertutup karena selalu konvergen.Metode-metodeyangtermasukkedalammetodetertutupdiantaranya adalahmetodebagidua(bisectionmethod)danmetodeposisipalsu(metode regula falsi/false position method). 2.2.Metode Grafik Tunggal dan Metode Grafik Ganda Untukfungsi-fungsiyangsederhanadimanagrafikfungsinyadapat digambarkandenganmudah,adaduametodegrafikyangdapatdilakukanuntuk mendapatkantebakanawaldariakarpersamaan0 ) ( = x f ,yaitumetodegrafik tunggaldanmetodegrafikganda.Padametodegrafiktunggal,tebakanawal dipilihyangdekatdenganabsisdarititikperpotonganatauakarpersamaan 0 ) ( = x f . Contoh :Tentukan lokasi akar dan tebakan awal untuk akar persamaan fungsi : 0 96 , 3 46 , 2 5 , 2 ) (2 3= + = x x x x f . Penyelesaian : Grafik fungsi96 , 3 46 , 2 5 , 2 ) (2 3+ = x x x x f . Titik potongyang pertama terletak pada selang (-2,-1) sedang titik potong yang kedua adalah (1,0) dan titik potong yang ketigaterletakpadaselang(2,3) yaitumendekatinilai2,8.Sehinggatebakanawaluntukakarpersamaan(2.1) y = f(x) X Y 7dapat dipilih beberapa titik yang cukup dekat dengan akar persamaan seperti : -2, -1, 0 atau 2.Metodegrafikgandadigunakanuntukpersamaanfungsi0 ) ( = x f yang penjabaranfungsi) (x f dapatdidekomposisimenjadipenguranganduabuah fungsiyaitu0 ) ( ) ( ) (2 1= = x f x f x f .Tebakanawaldipilihcukupdekatdengan absis titik perpotongan kedua fungsi yaitu) (1x f dan) (2x f .2.3 Aturan Tanda Descartes Untuk menentukan lokasi akar polinom yaitu akar dari persamaan berikut : 0 ... ) (0 111= + + + + =a x a x a x a x pnnnn

perhatikanuraianberikut.Misalkanuadalahbanyaknyapergantiantanda koefisien ia daripolinom) (x p dannpadalahbanyaknyaakarriilpositif,maka berlaku : (i)np s u (ii)u - np = 0, 2, 4, Sedangkanuntukmenentukankomposisiakarriilnegatif,misalkanvadalah banyaknyapergantiantandakoefisien ia daripolinom) ( x p danngadalah banyaknya akar riil negatif, maka berlaku : (i)ng s v (ii)v ng = 0, 2, 4, Penentuan batas selang akar ditentukan oleh aturan berikut : )`+ =s snkn kaamaks r11 . Sehingga selang akar yang dicari adalah [-r,r]. 82.4 Metode Tabulasi Misalkan panjang selang tabulasi : Ax, xmax dan xmin adalah titik-titik ujung selangdimananilai-nilaifungsifditabulasikan,dannadalahbilanganbulat terdekat untuk (xax - xmin)/ Ax,makaprosedur untuk membuat tabulasi nilai-nilai) (x fadalah sebagai berikut : Masukan:n, ) (x f , Ax , ixuntuk setiap i=1,2,,n. Keluaran:) (ix funtuk setiap i=1,2,,n. Langkah : Untuki=1,2,,n lakukan : hitung ) (ix f cetak ix,) (ix fx x xi iA + . 2.5 Metode Bagidua Metode bagidua memulai siklus iterasi dengan memilih dua tebakan awal misal0x dan 1x yangcukupdekatdenganakar,dengannilai) (0x f dannilai ) (1x fberlawanan tanda. Kemudian selang) , (1 0x x dibagi dua dan titik tengahnya dinamakan 2x ,sehingga2 / ) (1 0 2x x x + = .Jika0 ) ( ). (1 0> x f x f ,makatebakan awal tidak cocok. Sedangkan jika0 ) ( ). (2 0< x f x fmaka tukar 1xdengan 2x , jika tidaktukar 0x dengan2x .Kemudianjikadariduaiterasiyangberurutangalat relatifnyakurangdariatausamadengangalatyangditetapkanberartisudah diperoleh hampiran akarnya. 2.6 Metode Posisi Palsu Metodeposisipalsudibuatuntukmemperbaikimetodebagiduayaitu untuk mempercepat kekonvergenan metode bagidua. Prosedur metode posisi palsu mulaidenganmemilihduatebakanawalyaitu 0x dan 1x dimananilaifungsinya 9padakeduatebakanawaliniberbedatanda,selanjutnyaperhatikangambar berikut.

) (1x f ) (x f y =) (2x f u 0x2x 1x ) (0x fGambaran Metode Posisi Palsu Hubungkankeduatitikyaitu)) ( , (0 0x f x dan)) ( , (1 1x f x dengangaris lurus, dan tentukan titik perpotongangarisini dengansumbu X. Sebut absis titik perpotongandengan 2x .Tangenumerupakankemiringangarisyang menghubungkan)) ( , (0 0x f x dan)) ( , (1 1x f xsehingga : ) ( ) () ( ) (0 10 1 1 02x f x fx f x x f xx= . Jika) (2x f dan) (0x f berlawanantandamakagantikan 1x dengan 2x , sebaliknya gantikan0xdengan 2x . Kemudian gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkantitik)) ( , (0 0x f x dengan)) ( , (2 2x f x untukmenentukantitik perpotonganyangbaru.Lajukekonvergenanmetodeiniakanlebihcepat dibandingkan dengan metode bagidua. 10Pertemuan ke:3 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:Metode-metode Terbuka : 1. Metode Newton Raphson 2. Metode Secant 3. Metode Iterasi Titik Tetap URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN Metode-metodeyangtermasukkedalammetodeterbukadiantaranya adalahmetodeNewton-Raphson,metodesecant,danmetodeiterasititik tetap. Disebut metode tebuka karena akarnya tidak selalu konvergen.3.1Metode Newton Raphson Prosedur metode Newton-Raphson (metode N-R) mulai dari sebarang titik 0x yang cukup dekat dengan akar. Pertama tentukan kemiringan dari fungsi ) (x fpada 0x x = , namakan) (0x f ' .Lalu tentukan 1xdengan rumus ) () (000 1x fx fx x' = .Untuk setiap iterasi ke) 1 ( + i hitung:) () (1iii ix fx fx x' =+. Hentikan iterasi bila dua hampiran akaryang berurutan cukup dekat. Dibandingkan dengan kedua metodesebelumnyayaitumetodebagiduadanmetodeposisipalsuternyata metode N-R lebih cepat konvergen. 3.2 Metode Secant DalamsetiapiterasiuntukmetodeN-Rdilakukanpenghitunganturunan pertama fungsi atau) (x f ' . Pada beberapa kasus pernyataan untuk) (x f ' panjang danmembutuhkanusahakomputasiyangcukuplamauntukmenghitungnya. Metode secant menghampiri turunan pertama fungsi atau) (x f 'dengan : 11 11) ( ) () (~ 'i ii iix xx f x fx fdimanaixdan 1 ixadalah dua hampiran akar untuk iterasi ke-i dan iterasi ke-(i-1). Nilai hampiran akar pada iterasi ke-(i+1) diperoleh dari dua nilai hampiran akar sebelumnya yaitu 1 ixdan ixyang diterapkan pada persamaan tersebut : ) ( ) () ( ) (11 11 +=i ii i i iix f x fx f x x f xx dengan 1 ixadalah absis titik perpotongan garis lurus yang menghubungkan dua titik yaitu)) ( , (1 1 i ix f x dengan)) ( , (i ix f x .3.3 Metode Iterasi Titik Tetap Persamaan0 ) ( = x f secaraaljabardapatditransformasikebentuk ) (x g x = .Sehinggaproseduriterasiyangberpadanandenganbentuktersebut adalah ) (1 n nx g x =+. Contoh : Tentukan akar persamaan berikut :0 8 2 ) (2= = x x x f . Fungsitersebutdapatditulis:) (1x g x = = 4212 x .Sehingga) (1 1 n nx g x =+= 4212nx . Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai : (1) xx g x82 ) (2+ = =(2)8 2 ) (3+ = = x x g xdan(3)8 2 ) (4+ = = x x g x . Selanjutnya iterasikan 4 buah fungsi ini dan cekkekonvergenannya.Kekonvergenanmetodeinibergantungpadakenyataan bahwadisekitarakar,kurva) (x g kurangcuramnyadaripadagarislurusy=x atau kondisi1 ) ( < ' x gmerupakan syarat cukup untuk kekonvergenan. 12Pertemuan ke:4 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Pendahuluan 2.Beda Hingga 3. Interpolasi Linier 4. Interpolasi Kuadrat URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 4.1 Pendahuluan Paraahliilmualamseringbekerjadengansejumlahdatadiskritdalam bentuktabel.Datatabeltersebutmungkindiperolehdarihasilpengamatandi lapangan,hasilpengukurandilaboratorium,danlain-lain.Tabeltersebutberupa kumpulan suatu peubah bebas yang diskrit misalnya nx ,..., x , x2 1 yang mempunyaihubungandengansuatukumpulannilai-nilaifungsig(x1),g(x2),g(x3),..., n) , . . . 2, 1, (i Nilai g(xn=ix ).disebut argumen dari fungsi. Misalkandiberikansuatutabelnilai-nilainumeris) (j jx f f = darisuatu fungsifpadaargument atau titik - titik yangberjaraksama:x0,x1 = x0 + h,x2=x0 + 2h,x3 =x0 + 3h, ..., denganh > 0 tetap.Serta., . . , f , f , f , f , f2 1 0 1 2 adalah nilai-nilai dari) (jx fmasing-masing untuk. . . , x , x , x , x , x2 1 0 1 2 .4.2Beda Hingga 4.2.1 Beda - beda Maju (Forward Difference) Notasi yang dipakai dalam beda-beda maju adalah sebagai berikut: 1 2 1 0 1 0;f f f f f f = A = Adan seterusnya, disebut beda-beda maju pertama. Secara umum ditulis:m m mf f f = A+1.Dengancarayangsamadapatdinotasikanbeda-bedamajuketiga,keempat,dan seterusnya. Bentuk umumnya: An+1fm =Anfm+1-Anfm untuk n = 0,1,2,... 13Tabelberikutmenunjukkanbeda-bedamajudarisemuatingkatyangdapat dibentuk. XfAA2A3A4 x 2 x 1 x0 x1 x2 f 2 f 1 f0 f1 f2 A f 2 A f 1 A f0 A f1 A2 f 2 A2 f 1 A2 f 0 A3 f 2 A3 f 1 A4 f 2 4.2.2Beda - beda Mundur (Backward Difference) Bentuk umum beda-beda mundur adalah sebagai berikut: Vn+1fm=Vnfm-Vnfm-1untuk n = 0, 1, 2, ... Tabelberikutmenunjukkanbeda-bedamundurdarisemuatingkatyangdapat dibentuk: xfVV2V3V4 X 2 x 1 x0 x1 x2 f 2 f 1 f0 f1 f2 V f 1 V f 0 V f1 V f2 V2 f 0 V2 f 1 V2 f 2 V3 f 1 V3 f 2 V4 f 2 4.2.3Beda - beda Pusat Bentuk umum beda-beda pusat adalah sebagai berikut:

21 - 2m

21 2m m2f ff =+. 14Tabel Beda-Beda Pusat 4.3 Interpolasi LinearBentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik data dengan garis lurus, lihat gambar berikut. Karena segitigaDEC sebangun dengan segitigaABC,maka berlaku: 0) (1)0(x xx p x f=0 1)1( )0(x xx f x f. Akibatnya : P1(x)=f0+r. A f0. xFoo2o3o4 X 2 x 1 x0 x1 x2 f 2 f 1 f0 f1 f2 o f 3/2 o f 1/2 o f1/2 o f3/2 o2 f 1 o2 f 0 o2 f 1 o3 f 1/2 o3 f 1/2 o4 f 0 yf(x0)=f0C P1(x) ED f(x1)=f1 B A rh 0 x0 x x1 x 154.4Interpolasi Kuadrat Misalkan tersedia tiga titik data (x0,f0), (x1,f1), dan (x2,f2), interpolasi dapat dilaksanakandenganpolinomordekedua (polinomkuadrat).Bentuksecarakhas yang cocok untuk maksud ini adalah: p2(x)=b0+b1 (x x0) + b2 (x x0) (x x1). Atau p2(x)=f0+r . A f0+2) 1 ( r r A 2f0

dengan0srs n. 16 Pertemuan ke:5 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur Newton 2.Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton 3. Polinom Interpolasi Lagrange URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 5.1Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur Newton Polinom interpolasi derajat ndiberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton : f(x) ~ Pn(x)= 0s0 fsrns=||.|

\| = f0 + r . Af0 + ! 2) 1 ( r r A2 f0

+ . . . +!1) n- (r. . . ) 1 (nr r + An f0 denganx=x0+rh,r= hx x0 , 0 s r s n. Suaturumusyangserupadenganrumustaditetapimelibatkanbeda- mundur adalah rumus interpolasi beda-mundur Newton : f(x)~Pn(x)=f0+r.V f0+! 2) 1 ( + r rV2 f0+ . .+ !) 1 ( . . . ) 1 (nn r r r + +Vn f0 denganx = x0 + rh,r=(x x0)/h ,0srsn. 17 5.2 Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton Sebelumsampaikepadaformulainterpolasinya,didefinisikanterlebih dahulu beda-beda terbagi, yang secara iteratif dinyatakan oleh hubungan: f[x0,x1]=0 10 1x - x) x ( f ) x ( f f[x0,x1,x2]=0 21 0 2 1x - x] x , x [ f ] x , x [ f ...Tabel Beda-Beda Terbagi xk f(xk) f[xk, xk+1] f[. . . , . . . , . .] f[... , ... , ..., ..] x0 x1 x2 x3 f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f[x0,x1] f[x1,x2] f[x2,x3] f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3] Formula Interpolasi Ordo1 adalahP1(x)=f0 + (x-x0). f[x0,x1] .Formula InterpolasiOrdo2 adalahP2(x)=f0+(x-x0) . f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1) . f[x0,x1,x2]. Secara umum sampai denganordon akan diperolehrumus sebagai berikut: f(x)=Pn(x)=f0+(x-x0) . f[x0,x1] +(x-x0)(x-x1) . f[x0,x1,x2]+. . . .+. (x-x0)(x-x1) . . . (x-xn-1) . f[x0,x1, . . ., xn] FormulainterpolasibedaterbagiNewtontersebutdiatasdapatditulis sebagai berikut: 18f(x)=f0+] x ,...., x [ f .nii =|||.|

\|=[10 j ) x - (x 0 j1 - i .

5.3 Polinom Interpolasi Lagrange PolinominterpolasiLagrangedapatditurunkanlangsungdaripolinom interpolasi Newton.Untuk menurunkan bentuk Lagrange, beda-beda terbagi dirumuskan ulang sebagaiberikut:f[x0,x1]= 1 000 11x xfx xf+.Dariterakhirinidisubstitusikansehingga diperoleh rumus interpolasi Lagrange ordo 1 : P1(x)=10 1001 01 f .x xx xf .x xx x+==|||||.|

\|==[10 ij

x x - xi j0 j1

iijf .x. Rumus interpolasi Lagrange ordo 2 adalah : P2(x)==|||||.|

\|==[20 ij

x x - xi j0 j2

iijf .x. Secaraumumsampaidenganordon,diperolehformulainterpolasi Lagrange sebagai berikut : Pn(x)= = ==|||||.|

\|==[nii iniijf ). x ( L f .x0 0 ij x x - xi j0 jn. 19Pertemuan ke:6 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Pendahuluan 2.Sistem Persamaan Linear Segitiga Atas 3.Sistem Persamaan Linear Segitiga Bawah URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 6.1 Pendahuluan Perhatikanlahsistemnpersamaanlineartidakhomogendalamnpeubah x1, x2, , xnberikut ini. a11x1+a12x2 ++ alnxn = b1 a21x1+a22x2 ++ a2nxn = b2 an1x1+an2x2 ++ annxn = bn Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis sebagai perkalian matriks berikut : (((((

=(((((

(((((

xxx 21n21212221212111n nnnnn nbbbaaaaaaaaa atau disimbolkan sebagai persamaan matriks AX=Bdengan: A=aijadalah matriks dari koefisienyang mempunyai i barisdan j kolom; X= xi adalah matriks dari peubah yang tak diketahui; danB=biadalah matriks dari bilangan tetapnya. Matriks lengkap dari persamaan matriksAX=Btersebut ialah: [A,B] = 21b

21

22212 12111 (((((

nbbnnanananaaanaaa .

206.2 Sistem Persamaan Linear Segitiga Atas Sistempersamaanlinearyangmempunyaimatrikskoefisienberupa matrikssegitigaatas,disebutsistempersamaanlinearsegitigaatas.Sistem persamaan linear seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk: n nn n n , n nn nn nc xc x a xc x a x ac x a x a x a a a

nn1 1 1 1 - n 1, - n2 2 2 221 1 2 12 1 11== += + += + + + Denganasumsielemen-elemendiagonaltaknol,akk=0untukk=1, 2, ... ,n, makaterdapatsuatusolusitunggaldarisistempersamaan linear di atas.Kondisiakk=0inisangatpentingkarenapersamaantersebutmelibatkan pembagian oleh akk. Jika persyaratan ini tidak terpenuhi maka solusinya tidak ada atau terdapat takhingga banyaknya solusi.Penyelesaiansistempersamaanlinearsegitigaatasmudahdicaridengan mempergunakansubstitusimundur(backwardsubstitution).Persamaanyang terakhir hanya melibatkanxn, dan inilah yang pertama dicari sehingga diperoleh: nnancnx = . Setelahxnada, dipakai untuk mencarixn-1 pada persamaan sebelumnya sebagai berikut:xn-1 = 1 , 1, 1 1 n nanxn nanc Sekarangxn danxn-1 dipakai untuk mencarixn-2 sebagai berikut: xn-2 = 2 , 2, 2 1 1 , 2 2 n nanxn nanxn nanc. Prosesiniditeruskanuntukmencarinilaipeubahyanglainnya.Langkahumum dari proses tersebut adalah: untukk=n-1, n-2, ...,1. xk = kkank jjxkjakc+ =1 ... 216.3 Sistem Persamaan Linear Segitiga Bawah Sistempersamaanlinearyangmempunyaimatrikskoefisienberupa matrikssegitigabawahdisebutsistempersamaanlinearsegitigabawah.Sistem persamaan linear seperti itu dapat dituliskan dalam bentuk: n n nn n nc x accx ax ax ax ax a===+ + ++

212 22 221 11 211 11

Penyelesaiansistempersamaanlinearinidicaridengansubstitusimaju. Persamaanpertamahanyamelibatkanx1,daninilahyangpertamadicaribaru kemudianx2.Prosesiniditeruskansehinggadaripersamaanterakhirdiperoleh nilai xn . Langkah umum dari proses tersebut ialah:

Untuk setiap k=2, 3, ... , n. xk = kkakiixkiakc=11 22Pertemuan ke:7 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Metode Eliminasi Gauss dan Pivoting 2.Metode Dekomposisi/Faktorisasi Segitiga 3.Metode Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidel URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7.1 Metode Eliminasi Gauss dan Pivoting Padabagianinidikembangkancarayangefisienuntukmenyelesaikan sistem persamaan linearAX=Cdengannpersamaan dann peubah. Intinya adalahmembangunsuatusistempersamaansegitigaatasUX=Yyangsetara kemudian solusi X diselesaikan memakai metode substitusi mundur. SistemAX=Cdenganmatrikslengkap[A,C]dapatdiselesaikan denganmelakukanoperasi-operasibariselementer(OBE).DenganOBEitulah dihasilkansistemyangsetarayangberbentuksistempersamaanlinearsegitiga atas.Bentukterakhirinidiselesaikandengansubstitusimundur(backward substitution).ProsesinilahyangdisebuteliminasiGauss. PadaeliminasiGauss,bilanganakkpadaposisi(k,k)yangdipakaiuntukmengeliminasixkdalambaris-barisk+1,k+2, ...,ndinamakan elemen tumpuan (pivot) ke-k, dankdisebut baris tumpuan. Pada sub bab berikut akan dibahas tiga macam metode Eliminasi Gauss. 7.1.1 Metode Eliminasi Gauss Naif Metode berikut ini disebut metode eliminasi Gauss naifkarena metode initidakmenghindarikemungkinanpembagian oleh nol. EliminasiGaussnaif termasukhitunganlangsungsehinggagalatnyatidakdapatdiatur(perambatan galatsulit dihindari). Selainitu juga, elemen tumpuanyangnolsulitdihindari. Untuk itulah diperbaiki dengan strategi pivoting, yaitu : jikaakk = 0, perlu mencari barisr, denganark =0danr>k, kemudian mempertukarkanbariskdenganbarisrsehingga diperoleh elemen tumpuan tak nol. 237.1.2Metode Eliminasi Gauss Pivoting Parsial Pivotingparsialdisarankanuntukmemeriksabesarnyasemuaelemendi kolomkyangterletakpadaataudibawahdiagonal,danmelokasikanbarisryang mempunyai elemen dengan nilai mutlak terbesar, yakni: { } 1 1 nk k , n k , k kk rka , a ,..., a , a maks a +=dan kemudian menukarkan barisrdanbariskjika r>k. Dengan diambilnya elemen dengan nilai mutlak terbesar sebagai elemen tumpuan, akan menghasilkan perambatan galat yang kecil. 7.1.3 Eliminasi Gauss Pivoting Parsial Terskala Langkah-langkahyang diperlukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan eliminasi Gauss pivoting parsial terskala ialah: a)Tentukan ukuran masing-masing baris matriks koefisien, yaitu: di={ } n j 1maksimumijas s b)Tentukan elemen tumpuannya, yaitu: aij=)`s ss s

idija n i j1 - n j 1maksimum . 7.2 Metode Dekomposisi/Faktorisasi Segitiga SuatumatriksAtaksingulardapatdifaktorkanmenjadihasilkalisuatu matrikssegitigabawahLdanmatrikssegitigaatasU.Metodeinidikenal dengan nama metode dekomposisi LU atau metode faktorisasi segitiga.7.2.1PemfaktoranDoolittle,mensyaratkanelemendiagonalLsemuanya1dan elemen diagonalUtaknol. Misalkan untuk matriksA(3x3) dapat ditulis sebagai

|||.|

\||||.|

\|=|||.|

\|3323132212 1132 3121332313322212312111 0 0010010 1

uuuuu ul llaaaaaaaaa . 247.2.2 PemfaktoranCrout,mensyaratkanelemendiagonalLtaknol dansemua elemen diagonalU bernilai1. Misalkan untuk matriksA(3x3) dapat ditulis sebagai |||.|

\||||.|

\|=|||.|

\|1 0100100 0 2313 1233 3222312111332313322212312111uu ul lllllaaaaaaaaa . UntukmenyusunalgoritmapemfaktoranDoolittledigunakanhubunganberikut ini. |||.|

\||||.|

\|=|||.|

\|3323132212 1132 3121332313322212312111 0 0010010 1

uuuuu ul llaaaaaaaaa |||.|

\|+ ++++ =33 23 32 13 3123 13 211322 32 12 3122 12 211211 3111 2111

u u l u lu u luu l u lu u luu lu lu. 7.3 Metode Iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel SistemPersamaanLinnierAX=Cdapatdiselesaikandenganmetode iterasiJacobidanmetodeiterasiGauss-Seidelsehinggakonvergen,apabila matriks koefisien A memenuhi syarat cukup yaitu dominan secara diagonal: = =>ni j , jij iia a1 , untuk setiap i = 1, 2,3, . . . , n. Pandang Sistem Persamaan Linear berikut : a11x1 + a12x2+ . . .+ a1nxn=b1 a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn=b2 an1x1 + an2x2+ . . .+annxn =bn dengan matriks koefisiennya dominan secara diagonal.Misalkan diberikannilai awal (x1,x2, . . ., xn), persamaaniterasi Jacobi adalah sebagai berikut.Pada iterasi 1 : 111 3 13 2 12 1 11a) x a ... x a x a ( bxn n + + + =25 222 3 23 1 21 2 12a) x a ... x a x a ( bxn n + + + = nnn n , n n n nna) x a ... x a x a ( bx 1 1 2 2 1 1 1 + + + =Kemudian lanjutkan dengan iterasi kedua dan ketiga. Secara umum proses iteratif ke (k+1) adalah : 111 3 13 2 12 1 11a) x a ... x a x a ( bxkn nk kk+ + + =+ 222 3 23 1 21 2 12a) x a ... x a x a ( bxkn nk kk+ + + =+ nnkn n , nknkn n kna) x a ... x a x a ( bx 1 1 2 2 1 1 1 ++ + + =Jadi bentuk umum proses iteratif Jacobi adalah ;it k dan n i untukax a bxiini jjkj ij ikimax ,.... 2 , 1 , 0 ,..., 2 , 1 11= ====+. KekonvergenanmetodeiterasiJacobiagaklambat.Kekonvergenaninidapat dipercepatbilasetiaphargaxiyangbarudihasilkansegeradipakaipada persamaanberikutnyauntukmenentukanhargaxi+1yanglainnya.Teknikinilah yangdipakaipadametodeiterasiGauss-Seidel.Secaraumumprosesiteratif Gauss-Seidel adalah iiani jkjxijaijkjxijaibkix + ==+=+11111 untuk setiap i = 1, 2, . . ., n dank = 0, 1, 2, . . .maxit (maksimum iterasi). 26Pertemuan ke:8 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:UTS (Materi pertemuan 1 sampai dengan 7) Pertemuan ke:9 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:Penghampiran Fungsi dengan Metode Kuadrat Terkecil (Regresi Linier dan Polinom) URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 9.1 Penghampiran Fungsi dengan Metode Kuadrat Terkecil Misalkan 1x , 2x ,,nx adalahnilai-nilaidarisebuahpeubahbebasXdan 1y , 2y ,,ny adalah nilai-nilai dari peubah tak bebas (terikat) Y yang bersesuaian denganX.Misalkanpula) ( x f y = adalahnilaihampiranatautaksiranuntuk sebuah fungsif . Galat antaraynilai-nilaihampiranuntuk fungsifdenganynilai-nilai sebenarnya yang ditabulasikan adalahi i iy y d = .Fungsi) (x fdipilih dengan suatu cara agar nd d d ,..., ,2 1 kecil. Y

1d

3y3d

3 y 2d 4d 3x X Gambaran pencocokan kurva Akandipelajaripadapertemuankesembilanini,masalahmencocokkan sebuahfungsi) (x f padanilai-nilaiyangditabulasikandenganmeminimumkan 27jumlah kuadrat simpangan. Metode ini disebut pencocokkan kuadrat terkecil atau least squares fit. 9.1.1Regresi Linier Diberikan data sebagai berikut : i123456789 ix1,51,82,43,03,53,94,44,85,0 iy4,85,77,08,310,912,413,113,615,3 Plot data tersebut : xy5 4 3 2 115.012.510.07.55.0Scatterplot of y vs x Dilihat dari titik-titik data yang diplot pada tabel di atas, jikaxbertambah besarmakay bertambahbesar.Olehkarenadatayangdiplotmengumpuldi sekitarsebuahgarislurussehinggadapatdikatakanbahwasebuahgarislurus menggambarkan situasi yang cukup masuk akal.Sehingga dapat dinyatakanx a a y1 0 + =sebagai persamaan yang menggambarkan sebuah garis lurus.Selanjutnya diminimumkan S (jumlah kuadrat galat) yang diberikan oleh : Min S = Min( )21=nii iy y = Min( ) | |211 0 =+ niix a a y28S adalah fungsi dari dua peubah yang tidak diketahui yaitu 0a dan 1a . Maka untuk meminimumkanSdiambilturunanparsialdariSterhadap 0a dan 1a kemudian samakan dengan nol. Maka : ( ) 0 ) 1 ( 210 10= =cc=nii ia x a yaS(*)( ) 0 ) ( 210 11= =cc=inii ix a x a yaS (**)Sehingga persamaan (*) menjadi : = 00 1na x a yi i . Persamaan (**) menjadi : 0021= + + i i i ix a x a y x.Denganpengaturankembalikeduapersamaantersebutdiperoleh persamaansimultanlinieruntuk 0a dan 1a berikutyangdisebutpersamaan normal :( ) = +i iy a x na1 0. ( ) ( ) = +i i i iy x a x a x120. . .Penyelesaiannya adalah : ( ) =2220i ii i i i ix x ny x x x ya ( )221 =i ii i i ix x ny x y x na. Koefisien-koefisiendarigarisregresiliniermetodekuadratterkecilpadakedua persamaan tersebut disebut koefisien regresi. 9.1.2Regresi Polinom Misalkannpasangankoordinat) , (i iy x yangdiberikanakandihampiri oleh sebuah fungsi kuadrat yang dinyatakan oleh : 22 1 0 x a x a a y + + = . 29Sehingga jumlah kuadrat galat diberikan oleh : ( ) ( )222 1 02 = = x a x a a y y y Si i i .Turunkan S terhadap 0a , 1a , 2a dan samakan masing-masing turunan terhadap koefisien-koefisien ini dengan nol, maka akan diperoleh : = + +i i iy x a x a na22 1 0

= + +i i i i iy x x a x a x a32210

= + +i i i i iy x x a x a x a2 423120. 30Pertemuan ke:10 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:Penghampiran Fungsi dengan Metode Kuadrat Terkecil (Fungsi Eksponensial, Hiperbol, Trigonometri, dan Geometri) URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 10.1Pencocokan Fungsi Eksponensial dan Fungsi Trigonometri Perhatikanbeberapatipedaridistribusititik-titikpercobaanyang ditunjukkanpadagambarberikut:(a)menyerupaisebuahkurvaeksponensial yang menurun, sedang gambar (b) menyerupai sebuah kurva sinus dan gambar (c) menyerupai sebuah kurva geometri.Y X (a) Y X (b) Y ( c ) X 3110.1.1Pencocokan Sebuah Kurva EksponensialMisalkan bxe a y= adalahkurvayangakandicocokkan.Transformasi yangdigunakanadalahy z log = .Gunakantransformasiinipadapersamaan sebelumnya sehingga diperoleh : ) ( log log log bx a e a y zbx + = = =.Misalkan log0a a =dan1b a = . Akibatnya :x a a z1 0 + = . Persamaantersebutmerupakanpersamaanlinierdandapatmenggunakan persamaan normal untuk regresi linier sehingga diperoleh : ( ) = +i iz a x na1 0. ( ) ( ) = +i i i iz x a x a x120. . . Dari 0a dan 1a diperoleh nilaiadanb:0ae a =dan1a b = . 10.1.2Pencocokan Sebuah Kurva Hiperbol Asumsikanpersamaanpadakasusiniadalah bx ay+=1 .Jikaditulis yz1 =makadiperolehbx a z + = yang merupakan persamaan linier. 10.1.3Pencocokan Sebuah Fungsi Trigonometri Asumsikan persamaan kurva :( ) + = sin x A y . PersamaaninimempunyaitigaparameteryangtidakdiketahuiyaituA, dan .Diakanmengasumsikanbahwa diketahui.Perluaspersamaantersebutsehingga diperoleh( ) sin cos cos sin x x A y + = x A x A cos sin sin cos+ = = x a x a cos sin2 1+. Minimumkan jumlah kuadrat galat berikut : ( )22 1cos sin =i i ix a x a y S . 32Samakan dengan nol turunan parsial dari S terhadap 1a dan 2a agar diperoleh = +i i i i ix y x x a x a sin cos sin sin221 = +i i i i ix y x a x x a cos cos cos sin22 1 .Selesaikan dua persamaan linier simultan untuk 1a dan 2a di atas agar diperoleh 2221a a A + =dan ||.|

\|=12 1tanaa . 10.1.4Kurva Geometri Misalkan kurva yang dicocokkan dinyatakan oleh persamaan : c x a yb+ = . Asumsikan parameteradanbtidak diketahui sedangkancdiketahui sehingga bx a c y ) ( = . Ambil logaritma pada kedua ruas persamaan tersebut sehingga diperoleh : ( ) x b a ax c y zblog log log log + = = = t a a z1 0 + = dengana a log0 = ,b a =1 danx t log =. Akibatnya :( ) ( ) = + c y b x a ni i log log log( ) ( ) ( ) = + c y x b x a xi i i i log log log log log2. 33Pertemuan ke:11 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Penghampiran Fungsi dengan Deret Taylor2.Penghampiran Fungsi dengan Deret Chebyshev URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 11.1Penghampiran Fungsi dengan Deret Taylor Teorema 11.1 : Jikasuatufungsi) (x f mempunyaiturunansampaiturunanke( 1 + n ) dalamselang[a,b]makafungsitersebutdapatdinyatakandisekitar 0x x =pada selang [a, b] sebagai :

! 33)0x (x)0(x! 22)0x (x)0(x )0x )(x0(x )0(x (x)+' ' + ' + = f''' f f f f+ + ! ) 1 (1)0() (1f!)0()0(++++nnx xsnnnx xxnf. Padapersamaandiatas) (0x f ' dan ) (0x f ' ' adalahturunanpertamadan keduadari) (x f yangdievaluasipada 0x x = .Suku ! ) 1 (1)0() (1f+++nnx xsn disebutsukusisadengansadalahbilanganyangterletakantaraxdanx0.Suku sisamemberikangalatpemotonganjikahanyanbuahsukupertamapadaderet Taylor yang digunakan untuk menyatakan fungsi. Galat pemotongannya adalah :Galat pemotongan = ! ) 1 (1)0( ) (1f+++nnx x snatau Mnnx xET .! ) 1 (1)0(++s ;dimana M = max) (1s fn + untuk x pada selang [a, b]. 3411.2Deret Chebyshev Polinom Chebyshev yang didefinisikan oleh . Tn(x) = Cos n udimana x = Cos u. MakaTn(x) = Cos (n arc cos x) Polinom-polinom tersebut adalah : T0(x) = Cos 0 = 1 T1(x) = Cos u = x T2(x) = Cos 2u = Cos 2u - Sin 2u = x2 (1-x2) = (2x2 1 ) . Selain pembentukan suku-suku menggunakan relasi trigonometri seperti di atas, dapat dibentuk relasi yang mendefinisikan Tn+1 dalam Tn dan Tn-1.Tn+1(x) = Cos(n + 1) u= Cos n u Cos u - Sin n uSin u Tn-1(x) = Cos (n - 1) u= Cos n u Cos u + Sin n uSin u . Dengan menambahkan dua persamaan di atas diperoleh : Tn+1(x) + Tn-1(x) = 2 Cos n u Cos u = 2 x Tn(x) MakaTn+1(x) = 2 x Tn(x) - Tn-1(x) . Sehingga diperoleh : T3(x) = 4 x3 3 xT4(x) = 8 x4 8 x2 +1 T5(x) = 16 x5 20 x3 + 5 x. Fungsi e-x dinyatakan dalam polinom Chebyshevsebagai berikut : e-x = 1,266066 T0 1,130318 T1 + 0,271495 T2 0,044337 T3

+ 0,005474 T4 0,000543 T5.Jika pernyataan untuk T0 , T1, T2 , T3 , T4 , dan T5 digantikan ke dalam persamaan tersebut diperoleh : e-x=1,0000451,000022x+0,499199x2-0,166488x3+0,043794x4 0,008687 x5. 35Pertemuan ke:12 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:IntegralNumerik(AturanTrapesium,AturanKomposisi Trapesium) URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 12.1Aturan Trapesium MengevaluasisuatuintegraltertentuI= }badx ) x ( f untukf(x)sebarang fungsiyangkontinupadaselang[a,b],denganmetodeanalitikbiasanyasulit bahkanadayangtakdapatdievaluasi.Mengatasipersoalaninidanpersoalan integrasiyanglebihumumyanghanya mempunyaibeberapanilaidari f(x)(denganargumenx=xi,i=0,1,2,...,n)dibutuhkanbeberapapendekatan. Pilihannyaadalahmencarisebuahfungsi,misalnyag(x)yangsesuaiuntuk mengatasi kedua persoalanyaitu merupakan pendekatandarif(x) yangmudahuntukdiintegralkansecaraanalitik. Diberikan dua buah titik data (x0,f(x0)) dan (x1,f(x1)).Karena f(x)melalui dua buah titik (x0,f(x0)) dan (x1,f(x1)),maka dipakai interpolasiberorde satu f(x) ~ P1(x). Yf(x) h 0 a =x0b = x1 x Integral dengan Aturan Trapesium, h = b - a Menurut interpolasi beda terbagi Newton orde satu :P1(x) = f0 + f[x0,x1] (x-x0). Dengan memakai f(x) ~ P1(x)tersebut diperoleh : } }~babadx ) x ( P dx ) x ( f1

} + ~badx )] x x ]( x , x [ f f [0 1 0 0

36 | ( )dxox xbaox xof fbaxof + ~}11. Dapat ditunjukkan bahwa bentuk terakhir ini sama dengan ( )12f fa bo +atau( ) ) ( ) (2b f a fa b+. Jadi aturan trapesium adalah ( ) ) ( ) (2) ( b f a fhdx x fba+ ~}denganh = b - a.. 12.2Aturan Komposisi Trapesium Selang [a,b] dibagi menjadi n selang bagian dengan lebar selang : h = na b .Berdasarkan aturan trapesium diperoleh

} } } }+ + + ~bxxxxabandx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f1211 ( ) ( ) + + + + ~ )2( )1(2)1( ) (2x f x fhx f x fh( ) ) b ( f ) x ( fhn+ +12 ( ) )) x ( f ) x ( f ) x ( f ) b ( f ) a ( fhn 1 2 12 2 22+ + + + + ~ . Jadi,|.|

\|+ + ~}=1122niiba) x ( f ) b ( f ) a ( fhdx ) x ( f. . 37Pertemuan ke:13 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:IntegralNumerik(AturanSimpson,AturanKomposisi Simpson, dan Kuadratur Gauss-Legendre) URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 13.1Aturan Simpson (31) AturanSimpsonmiripdenganaturantrapesiumyaitukeduanyamembagi daerahyangakandiintegralkandalamintervalbagianyangkecildankemudian menjumlahkansemuaintegraldaridaerahyangdibatasiolehsumbuyangkecil tersebut.HanyadalamaturanSimpsonpendekatanfungsif(x)diperolehdari interpolasipolinomialderajatdua(parabola)yangmelaluitigaordinatdaridua selangyangberdampingan.JadiaturanSimpsonakantepatuntukfungsiderajat dua atau lebih kecil. Perhatikan gambar berikut. YYy = f(x) O hh O a = x0c=(a+b)/2 = x1b=x2X = X Aturan Simpson (1/3) Dengan polinomialLagrangeyang melalui titik-titik (a,f(a)), (c,f(c)), dan (b,f(b)) diperoleh: ) () )( () )( () () )( () )( () (2b fc b a bc x a xa fc a b ac x b xx P + ~ ) () )( () )( (c fb c a cb x a x + . 38Substitusikan ke dalam}=badx ) x ( f Iakan diperoleh dx c fb c a cb x a xc a b aIba} ((

+ + = ) () )( () )( (f(b)c) - a)(b - (bc) - a)(x - (xf(a)) )( (c) - b)(x - (x Jikasumbuyditranslasikansehinggaberimpitdengantitika,makadapat ditunjukkan : } ((

+ + =hodx c fh h o hh x o xb fh h o hh x o xa fh o h oh x h xI2) () 2 )( () 2 )( () () 2 )( 2 () )( () () )( 2 () )( 2 ( | | ) ( ) ( 4 ) (31 . . . b f c f a f h + + = = .Jadi, | |2 1 431 f f f h Io+ + =. 13.2Aturan Komposisi Simpson|.|

\|31 Selang[a,b]dipartisimenjadi(M+1)titikdenganMgenap,dengan lebar selang bagiannya h =|.|

\| Ma b. xo=a h x1hx2hx3hx4...xM-2hxM-1h xM= b

Berdasarkan aturan Simpson diperoleh } } } }+ + + = =baxaxxbxMdx ) fx dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f I2 422| | | | + + + + + + =4 3 2 2 14344 ) (34f f f f f a f | |b M Mf f f + + + 1 2434. ((((

+ + + = ====1212222 434

MiiMiii i) x ( f ) x ( f ) b ( f ) a ( f I . 3913.3Kuadratur Gauss - Legendre Kita ingin menghitung luas daerah di bawah kurva Y = f(x) pada 1 s x s 1 yaitu}=11) ( dx x f I dengan aturan trapesium. galatY Y = f(x) -1 01X | | ) ( f ) ( f ) ( f ) ( fhdx ) x ( f I 1 1 1 12 11 + ~ + ~ = } denganh = (1-(-1)) = 2. Persamaan I ~ f(1) + f(-1)dapatditulissebagai I ~ W1f(a) + W2 f(b) dengan a = -1, b = 1, W1 = W2 = 2h = 22 = 1. Dengan carakoefisientak tentu, dan diuji dengan monomial 1, x,x2, dan x3, karena}=11) ( dx x f Ieksak untuk empat fungsitersebut, diperoleh: ) ( ) ( ) (2 2 1 111x f W x f W dx x f I + ~ = })31( . 1 )31( . 1 f f + ~ )31( )31( f f + ~Jadi ) ( f ) ( f dx ) x ( f I31

31

11+ ~ = }. PersamaaninidinamakanmetodeGauss-Legendre 2titik. Denganmetodeini, menghitungintegralf(x) dalamselang [-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi fungsi f di x = 1/ 3dan di x = -1 3 . Metode Gauss-Legendre3 titik dapat ditulis sebagai ) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 111x f W x f W x f W dx x f I + + ~ = } 40Parameterx1, x2, x3, W1,W2, danW3dapatdicaridenganfungsif(x) = 1,f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) = x4, dan f(x) =x5, karenakuadratur Gauss bernilai eksak untuk fungsi-fungsi tersebut. Dengan carayang sama seperti untuk metode Gauss-Legendre 2 titik akan diperoleh : ||.|

\|+ +||.|

\| ~ = }5395 098

5395

11f . ) ( f . f . dx ) x ( f I. AturanGauss-Legendreumumn-titikeksakuntukpolinomberderajat kurang dari atau sama dengan(2n-1). Penurunan metode Gauss-Legendre2-titik dan3-titik dapatdijadikanpolauntukmenghasilkan metode Gauss-Legendre n-titik ) x ( f W ) x ( f W ) x ( f W dx ) x ( fn n+ + + ~}2 2 1 111.Tabel Nilai-nilai wn , xn dan galat pemotongan untuk Kuadratur Gauss-Legendre 6 titik NBobot WnAbsis xnGalat pemotongan 2 1,00000000 1,00000000 -0,57735027 0,57735027 ~ f(4) (c) 3 0,55555556 0,88888889 0,55555556 -0,77459667 0 0,77459667 ~ f(6) (c) 4 0,34785485 0,65214515 0,65214515 0,34785485 -0,86113631 -0,33998104 0,33998104 0,86113631 ~ f(8) (c) 5 0,23692689 0,47862867 0,56888889 0,47862867 0,23692689 -0,90617985 -0,53846931 0 0,53846931 0,90617985 ~ f(10) (c) 6 0,17132449 0,36076157 0,46791393 0,46791393 0,36076157 0,17132449 -0,93246951 -0,66120939 -0,23861919 0,23861919 0,66120939 0,93246951 ~ f(12) (c) 41Untuk menghitung integrasi }=badx x f I ) (harus dilakukan transformasi:a) selang [a,b] ke dalam [-1,1]b) peubahxke dalam peubah z c) diferensialdxke dalam dz . Dari transformasiz = px+q atau z = a ba bxa b +2 akan diperoleh : x = 2 2a bza b ++sehingga dx =dza b2. Substitusikanxdandxke }=badx x f I ) (, maka akan diperoleh dza bza bfa bdx x f Iba 2 2 2) (11} }|.|

\| ++ = = . 42Pertemuan ke:14 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Solusi Persamaan Diferensial Biasa2.Metode Euler URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 14.1Solusi Persamaan Diferensial Biasa Bentuk baku PDB orde satu dengan nilai awal ditulis sebagai y' =f(x.y) .dengan nilai awal y(x0) = y0 PDBordesatuyangtidakmengikutibentukbakutersebutharusditulisulang menjadibentukpersamaansepertidiatas,agariadapatdiselesaikansecara numerik. PenyelesaianPDBsecaranumerikberartimenghitungnilaifungsidixr+1 = xr + h dengan h adalah ukuran langkah setiap iterasi.Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusiyang unik, sedangkan pada metode numerik nilai awal berfungsi untuk memulai iterasi. 14.2Metode Euler Diberikan PDB orde satu,y'= dy/dx = f(x,y) dan y(x0) = y0 . Misalkanyr = y(xr)adalah hampiran nilai y di xr yang dihitung dengan metode Euler.Dalam halinixr=x0+rh,denganr=0,1,2,...n.MetodaEulerditurunkandengan menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke dalam deret Taylor : y(xr+1) = y(xr) + !) x x (r r11 +. y' (xr) + !) x x (r r221 +. y"(xr) + ... Dua suku pertama persamaan tersebut adalah y(xr+1)~ y(xr) + hf(xr, yr) ; r = 0,1,2,...,n 43 menyatakanpersamaanmetodeEulerataumetodeEuler-Cauchy.Metode Euler disebut juga metode orde-pertama. MetodeEulermemberikanhampiransolusiyangburuk,sehinggadalam masalahpraktekmetodeinikurangdisukai,namunmetodeinimembantuuntuk memahamigagasandasarmetodepenyelesaianPDBdenganordeyanglebih tinggi. 44Pertemuan ke:15 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:1.Solusi PDB dengan Metode Heun URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 15.1Metode HeunMetodeEulermempunyaiketelitianyangrendahkarenagalatnyabesar (sebanding denganh). Buruknyagalat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metodeHeun,yangmerupakanperbaikanmetodeEuler(modifiedEulers method).PadametodeHeun,solusidarimetodeEulerdijadikansebagaisolusi perkiraan awal (predictor). Metode Heun adalah sebagai berikut : yr+1= yr +2h [f(xr,yr) + f(xr+1, yr+1)]. yang merupakan metode Heun, atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki. Metode Heun dapat diterapkan untuk mencari solusi PDB berikut : dy/dx = x + y;y(0) = 1 Hitung y(0.10) dengan metode Heun (h = 0.02). Pertemuan ke:16 Penyusun:Dewi Rachmatin dan Heri Sutarno Materi:UAS (Materi pertemuan 9 sampai dengan 15) 45Daftar Pustaka : Atkinson,K.(1985).ElementaryNumericalAnalysis.NewYork:John Wiley & Sons. Chapra,S.&Canale.(1991).NumericalMethodsforEngineerswith Personal Computer Applications. MacGraw-Hill Book Company.

Conte, S. & Boor. (1992). Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic Approach.3rd Edition. MacGraw-Hills. Inc. Epperson,J.(2002).IntroductiontoNumericalMethodsandAnalysis. New York John Wiley & Sons. Mathews,J.(1993).NumericalMethodsforMathematics,Scienceand Engineering. 2nd Edition. London : Prentice-Hall Int. Munir,R.(1997).MetodeNumerikuntukTeknikInformatika.Institut Teknologi Bandung. Nakamura. S. (1991). Applied Numerical Methods with Software. London: Prentice-Hall Int. Rajaraman, V. (1981). Computer Oriented Numerical Methods. New Delhi : Prentice-Hall of India. Ralston, A. (1965). A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill. Susila, Nyoman. (1994). Dasar-dasar Metode Numerik. Jakarta : DIKTI. Walpole, R. & Myers. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung : Penerbit ITB.