BAB I

PENDAHULUAN

A. Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan

dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan

yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai

penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan

dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh

perhatikan integral berikut ini.

L=∫0

1sin ( x)

xdx

Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan

integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak

mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian,

hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa

memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama.

Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam

bidang teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi,

filtering dan optimasi pola radiasi.

Gambar.Kurva y=sin(x)

1

Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu

yang dapat digunakan untuk menghitung integral tersebut. Meskipun metode

tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidak sudah

mendekati nilai yang diharapkan.

Pada persoalan lain, misalnya diketahui suatu kurva dari fungsi non-linier

y=x2+exp(x)sebagai berikut :

Gambar.Kurva y=x2+exp(x)

Perhatikan kurva y=x2+exp(x)memotong sumbu X di antara –1 dan –0.5, tetapi

untuk menentukan akar persamaan (titik potong dengan sumbu X) tersebut dengan

menggunakan metode manual dapat dikatakan tidak mungkin. Sehingga diperlukan

metode-metode pendekatan untuk dapat memperoleh akar yang dapat dikatakan

benar. Metode tersebut adalah metode numerik, yaitu metode yang menggunakan

analisisanalisis pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.

Persoalan lain adalah bagaimana menentukan fungsi polynomial yang terbaik

yang dapat mewakili suatu data seperti berikut:

2

Gambar.Kurva Pendekatan

Secara analitik, untuk memperoleh fungsi polynomial dari jumlah data yang

kecil (<20) masih bisa dilakukan, tetapi untuk jumlah data yang besar sulit sekali

dilakukan karena akan membutuhkan waktu yang sangat lama. Untuk itulah

digunakan perhitungan komputer, dan pemakaian metode numeric mejadi penting

artinya untuk menyelesaikan permasalahan ini.

Selain adanya persoalan-persoalan di atas, seiring dengan perkembangan

pemakaian komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persoalan, maka

pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang

dapat dimengerti oleh komputer. Sehingga metode numerik yang memang

berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam

menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. Telah banyak yang

menawarkan program program numerik ini sebagai alat bantu perhitungan.

Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan

perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaan dan metode yang digunakan untuk

menghasilkan penyelesaian yang baik adalah :

1. Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema

analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan

tersebut, maka penyelesaian matematis (metode analitik) adalah

penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan

bagi pemakaian metode pendekatan.

2. Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara

matematis (analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat

digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.

3. Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas

tinggi,sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian

dengan baik,maka dapat digunakan metode-metode simulasi.

Prinsip-prinsip Metode numerik

Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan

secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran

bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-

3

pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini

disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan

mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan

analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar

pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah

merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa

algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan

maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasiyaitu pengulangan proses

perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah

perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh

hasil yang main mendekati nilai penyelesaian exact. Perhatikan salah bentuk

formulasi dalam metode numerik adalah:

xn=xn-1+δxn-1

Terlihat bahwa hasil iterasi ke n adalah hasil iterasi ke n-1 (sebelumnya) dengan

ditambah δxn-1yang merupakan nilai perbaikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa

semakain banyak iterasi yang digunakan, maka nilainya semakin mendekati nilai

exact atau semakin baik hasil yang diperoleh.

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentukan setiap nilai

hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa

metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahan dalam

pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar,

tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu

membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

Persoalan-persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik adalah

persoalan-persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan

menggunakan metode analitik, antara lain:

Menyelesaikan persamaan non linier

Menyelesaikan persamaan simultan atau multi-variabel

Menyelesaikan differensial dan integral

Interpolasi dan Regresi

4

Menyelesaikan persamaan differensial

Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

B. Komputasi Numerik

Adanya kemajuan teknologi komputer yang memungkinkan pelaksanaan

komputasi secara tepat dan cepat menjadikan berbagai metode penyelesaian

persoalan dengan pendekatan numerik sangata berguna, karena antara lain :

1) Pendekatan numerik yang mungkin merupakan salah satunya alternatif

penyelesaian dapat diperoleh secara efisien

2) Pendekatan numerik memungkinkan pengkajian parametrik dari berbagai

persoalan dari medan yang bersifat sembarang,yang tidak dapat dipecahkan

secara eksak.

Guna menunjang komputasi ilmiah ada beberapa hal yang berkaitan dengan

teknik pemrograman dan penggunaan komputer yang perlu diketahui yaitu:

1. Bahasa pemrograman dan beberapa diantaranya yang banyak dipakai pada saat

ini adalah MATLAB,Turbo C++,Borland C++ ,Maple dll.

2. Sistem komputer yang menggunakan bahasa pemrograman tersebut

3. Cara men debug (melenyapkan kesalahan) dari program komputer dan

memastikan keabsahan hasil yang diperoleh

4. Cara menyusun prosedur komputasi

C Mengenal Bahasa Pemrograman MATLAB

MATLAB merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi yang berbasis

dengan matrik yang sering digunakan untuk tehnik komputasi numerik yang

digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang malibatkan operasi

matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi, dll. MATLAB terdiri dari :

1. Window – window MATLAB

Ada beberapa macam window yang tersedia dalam MATLAB yaitu:

a. MATLAB Command window atau Editor

MATLAB Command window atau editor merupakan window yang

dibuka pertama kali MATLAB dijalankan, seperti terlihat dibawah ini :

5

Pada window diatas dapat dilakukan akses – akses ke command – command

MATLAB dengan mengetikkan barisan-barisan ekpresi MATLAB, seperti

mengakses help window dan lain-lainnya.

b. MATLAB Editor atau Debugger (Editor M-File atau Pencarian

Kesalahan)

Window ini merupakan tool yang disediakan oleh MATLAB yang

berfungsi sebagai editor script MATLAB (M-File). Walaupun sebenarnya

script ini dalam pemrograman MATLAB dapat saja menggunakan editor

lain seperti Notepad, Wordpad, bahkan Word. Untuk mengakses M-File

dapat dilakukan dengan cara :

1. Memilih File lalu pilih New

2. Pilih M-File, maka MATLAB akan menampilkan editor window.

6

Selain cara di atas, untuk menampilkan editor M-File ini dapat juga dengan

mengetik >> edit.

c. Figure Windows

Window ini adalah hasil visualisasi script MATLAB. Namun

MATLAB juga memberi kemudahan untuk mengedit window ini

sekaligus memberikan program khusus untuk itu sehingga window ini

selain berfungsi sebagai visualisasi output daopt juga sekaligus menjadi

media input yang interaktif.

d. MATLAB Help Window

MATLAB menyediakan system help yang dapat diakses dengan

perintah help. Misalnya untuk memperoleh informasi mengenai fungsi

elfan, yaitu untuk fungsi trigonometri , eksponsila, kompleks, dan lain-

lain, yand dapt diakses dengan mengetik : >> help elfun, lalu tekan enter.

Maka dilayar akan muncul informasi dalam bentuk teks pada layar

MATLAB.

3. Bilangan dan Operator Matematika di MATLAB

Ada tiga tipe bilangan di dalam MATLAB yaitu :

Bilangan Bulat (integer),

Bilangan Real

Bilangan Kompleks

4. Komentar dan tanda Baca

7

Semua teks sesudah tanda % dianggap statement komentar, contoh :

Semester=8 % jumlah semester S I

Semester =

8

8

BAB II

METODE BAGI DUA (BISECTION)

A. Tujuan Praktikum

1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar

persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua.

2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan.

B. Dasar Teori

Metode bagi dua(bisection) ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi

kontinu,yaitu bahwa suatu selang[a,b] harus mengandung f(x)= 0,bila f(a) dan f(b)

berlawanan tanda misalnya f(a)>0 dan f(b)<0.Proses dilakukan dengan pengulangan

membagi selang [a,b] menjadi dua dalam setiap langkah diambil setengah selang

yang memenihi persyaratan tersebut.Proses ini didapatkan ketelitian yang sama

dengan interval[a,b] terakhir.

Dalam algoritma digunakan variable :

a sebagai batas bawah selang

b sebagai batas atas selang

T sebagai titik tengah

Bila f(a)>0 dan f(b)<0 maka perkalian keduanya menghasilkan bilangan yang

kecil dari 0 atau f(a)∙f(b)<0.ini berarti selang [a,b] terdapat paling sedikitnya satu

akar.

Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, a <

b ,yang harus memenuhi f(a),f(b) < 0 ; selang (a,b) mengandung satu akar. Mula-

mula ditentukan titik tengah selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama

panjang,sebut titik Tengahnya T. Dua selang baru yang diperoleh yakni (a,T) dan

(T,b), salah satu diantaranya apsti mengandung akar.Proses diulangi dengan

membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang mana yang

9

mengandung akar. Pembagi-duaan selang ini dilanjutkan sampai lebar selang yang

ditinjau cukup kecil.

Gambar.Metode bagi dua

C. Algoritma

Masukan : f(x),a,b dan epsilon

Keluaran : Akar

Langkah-langkah :

1. bm := am : cm = bm

2. untuk iterasi =1,2,. . .,m

untuk i= m–1,m–2,...,1

bi= ai+

3. f(a).f(b)< 0

4. T :=a+b2

5. Jika f(a).f(T) < 0 berarti akar berada pada selang [a,T] maka b := T jika

tidak a:= T

6. Jika b–a≤ epsilonmaka estimasi akar:= T.Selesai

7. Ulangi kembali ke langkah 1

D. Flowchart

10Mulai

Variabel Xa,Xb,Xt

e = 0,0001

Xa = Input

Xb=Input

X t=Xa+ Xb

2

f(Xa) * f(Xr) < 0

f(Xa) * f(Xt) > 0

f(Xa) * f(Xt) = 0

Xb = Xt

Xa = Xt

Tidak

Ya

Ya

E. Listing Program

11

Selesai

MFILE 1

MFILE 2

Output Program Metode Bagi Dua

12

F. Kesimpulan

Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas

segmen nilai fungsi yang dicari.Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x)

untuk x = a dan x = b.Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a)x f(b)<

0.Apabila terpenuhi syarat tersebut,berarti terdapat akar fungsi dalam segmen

tinjauan.Jika tidak demikan,kembali harus ditetapkan nilai a dan b sedemikian rupa

sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a)x f(b)< 0.

Dengan rumusan m = ( a + b ) / 2,diperiksa apakah nilai mutlak f(m) < 10-6

( batas simpangan kesalahan ). Jika benar,nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika

tidak terpenuhi,ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila

f(a)*f(m)< 0,dan mengganti a = m bila f(a)* f(m)> 0,proses menemukan m baru

dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.

Metode bisection adalah salah satu kelas metode pengelompokan karena

prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan

kelompok akar.Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi

penentuan nilai x. Misalnya,tidak digunakannya ukuran relative f(a)dan f(b)karena

umumnya jika f(a)< f(b)dalam nilai mutlaknya,maka akar persamaan akan terletak

lebih dekat ke f(a). Salah satu cara efektif mendaptkan nilai m ini adalah

13

menghubungkan f(a)dan f(b)dengan garis lurus dan perpotongan garis ini dengan

absis x merupakan nilai m.

BAB III

14

METODE NEWTON RAPHSON

A.Tujuan praktikum

1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya

menggunakan metode Newton Raphson.

2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan.

B.Dasar Teori

Gambar. Metode Newton-Raphson

Metode newton raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan

persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’.Metode ini

menggunakan suatu garis lurus sebagai ampiran fungsi pada selang.Garis tersebut

adalah garis singgung pada kurva.Dengan menggunakan suatu nilai awal xo dan

ditetapkan xi adalah titik potong sumbu x dengan garis singgung pada kurva fdititik

xo.maka :

tan∝=f ' ¿¿¿

Dalam setiap iterasi akan terbentuk xi secara berulang-ulang hingga

manghasilkan nilai X yang membuat f(x)=0.

15

Turunan pertama dari f(x) terhadap x adalah sama dengan kemiringan garis

singgung dititik tersebut.

f ' ( x i )=f (x0)x0−x1

⇔ x i+1=x i−f (xi)f ' (x i)

Dalam metode ini prinsip pengurangan akar tidak dipergunakan lagi, akibatnya

metode ini tidak dijamin lagi kekonvergenannya. Iterasi dihentikan apabila dua

iterasi yang beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama. Dalam rumus iterasi

pada penyebut terdapat duku f '( x1). Agar metode berhasil, maka selama iterasi

nilasi ini tidak boleh pernah sama dengan nol.

C. Algorima

Masukan : f(x),f’(x),xo,epsilon,m( banyaknya iterasi )

Keluaran : Akar

Langkah-langkah :

1. definisikan terlebih dahulu fungsi dan aturan fungsinya

2. jika f’(x)=0 maka proses gagal.Selesai

3. jika tidak,xr≔ x0

f (x0)f '(x0)

4. jika |xr−x0

xr| ≤ epsilonmaka akar:= xr.Selesai satu iterasi

5. ulangi iterasi dengan mengambil x0:= xr

D. Flowchart

16

Mulai

E. Listing Program

MFILE 1

17

Definisikan fungsi

(abs(x(iter)-x(iter-1))<=eps)Iter>iter_max

Baca x0, x1, tol, iter

max

Iter = 0

Iter = iter+1

Fx=F(x0)

F1x=F’(x0)

x(iter)=x(iter-1)-((feval(fname,x(iter-1)))/(feval(dfname,x(iter-1))))

x0=xb

Tulis hasil xb,

F(xb)

Selesai

MFILE 2

MFILE 3

18

Output Program Newton Raphson

F. Kesimpulan

Metode yang paling baik dalam memilih g’(x) adalah dengan membuat garis

singgung dari f(x)untuk nilai x yang dipilih,an dengan menggunakan besaran x dari

perpotongan garis singgung terhadap absis sehingga diperoleh nilai x baru.

19

Keuntungan dalam menggunakan metode ini adalah sifat konvergensi kuadratik

dalam proses iterasi,karena terjadinya koreksi digit ganda di setiap

proses.Sedangkan kekruangan metode ini adalah harus mencari f’(x) dan nilainya

mungkin 0,tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen,dalam perhitungan

ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen,kecuali nilai perkiraan

awal x cukup tepat.

BAB IV

20

METODE SECANT

A. Tujuan praktikum

1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya

menggunakan metode Secant.

2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan.

B. Dasar Teori

Gambar. Metode Secant

Metode secant diperoleh dari metode newton dengan cara menggantikan

turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi,

f ' ( xn )=f ( xn )−f (xn−1)

xn−xn−1

Kemudian sebagaiganti skema iterasi Newton diperolah

xn+1 := xn−f ( xn )xn−xn−1

f ( xn )−f (xn−1)

Secara geometri,dalam metode newton xn+1 merupakan perpotongan sumbu x

dan garis singgung di xn,sedangkan dalam metode secant xn+1 berupa perpotongan

21

sumbu x dan tali busur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn-1 dan xn.Metode

secant memerlukan dua tebakan awal,xo dan x1 tetapi menghindari perhitungan

turunan.dapat diperlihatkan bahwa metode sacant lebih lambat dibandingkan

dengan metode newton,tetapi tetap lebih disukai bilamana kerja perhitungan suatu

nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja perhitungan nilai f(x).Algoritmanya

serupa dengan metode newton,tidak dianjurkan menuliskan skema iterasi diatas

dalam bentuk

xn+1=xn−1 f ( xn )−xn f (xn−1)

f ( xn )−f (xn−1)

Karena boleh jadi akan menimbulkan kesukaran (kehilangan angka benar)pada

waktu xn dan xn-1 bernilai sama.

C. Algoritma

Masukkan : xn,xn-1,f(x),x,epsilondan m( banyaknya iterasi )

Keluaran : akar

Langkah-langkah:

1. masukkan 2 tebakan awal

2. jika f beda hingga = 0 maka proses gagal.Selesai

3. jika tidak, xn+1 := xn−f ( xn )xn−xn−1

f ( xn )− f (xn−1)

4. Jika |xn+1−xn

xn+1| ≤ epsilon maka akar:= xn+1baru.Selesai satu iterasi

5. Ulangi iterasi dengan mengambil xn:= xn+I hingga galat≤ epsilonatau sesuai

jumlah iterasi

D. Flowchart

22Mulai

Ya

Tidak

E. Listing Program

23

Definisikan fungsi

abs(x(iter)-x(iter-1))<=eps

Baca xa, xb, eps,

iter max

Iter = 0

Iter = iter+1

x(iter+1)=x(iter)-y(iter)*(x(iter)-x(iter-1))/(y(iter)-y(iter-1))

x(iter)-x(iter-1)

Tulis hasil x(iter),

F(x(iter-1))

Selesai

MFILE 1

MFILE 2

Output Progam Metode Secant

24

F. Kesimpulan

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton

raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil

bentuk garis lurus yang melalui satu titik.

y-y0=m(x− x0 )

Persamaan ini yang menjadi dasar pada proses pendekatan dimana nilai

pendekatannya adalah :

δ n=− yn

xn−xn+1

yn− yn+1

Sehingga untuk menggunakan metode secant ini diperlukan dua titik

pendekatan x0 dan x1. Kedua titik pendekatan ini diambil pada titik-titik yang dekat

agar konvergensinya dapat dijamin.

BAB V 25

INTERPOLASI LINIER

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi linier.

2. Dapat mengaplikasikan interpolasi tersebut dalm berbagai permasalahan

yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

B.Dasar Teori

Interpolasi linier adalah interpolasi yang menggunakan sarana garis lurus

melalui dua buah titik (xo,fo) dan (x1,f1) ditunjukan oleh persamaan berderajat satu

P1 (x )=f 0+( x−x0 ) f [ x0 , x1 ] dengan f [ x0 , x1 ] adalah beda terbagi pertama yang

didefenisikan sebagai f [ x0 , x1 ]=f 1−f 0

x1−x0

Gambar. Interpolasi Linier

C. Algoritma

26

Masukan : xi,f(xi),x ; i = 1,2,…,n

keluaran : ilinier

Langkah-langkah

1. Untuk i = 1,2, masukan xidan f(xi)

2. Beda terbagi : = f (x2)−f (x1)

x2−x1

3. Ilinier : = f(x1) + Beda terbagi x( x–x1)

D. Flowchart

G.Listing Program

27

Tulis Hasil Taksiran

y(1)+(((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)))*(x(3)-x(1)))

Baca x,x0,x1

Mulai

Selesai

MFILE 1

MFILE 2

Output Program Interpolasi Linear

28

F. Kesimpulan

Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan,di dalam

interpolasi linier misalkan kita mempunyai mbuah data x,dan tiap-tiap x memiliki

pasangan harga y,yang merupakan fungsi x,dengan perkataan lain y = f(x).Untuk

suatu harga x.Dengan x terletak diantara dua nilai x yang ada pada himpunan

data,misalnya

xk< x < xk+1

Interpolasi linear untuk meramalkan nilai y = f(x) dapat dilakukan dengan

menganggap bahwa yk dan yk+1 dihubungkan oleh suatu garis lurus. Secara

geometric,peramalan garis L yang menghubungkan titik (xk,yk) dengan titik

(xk+1,yk+1) dapat dinyatakan oleh persamaan

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

Sehingga

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

Dengan demikian hasil yang diperoleh akan benar ( exact ),bilamana f(x)

memang merupakan fungsi linear. Jika f(x)bukan merupakan fungsi linear,maka

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

29

Akan merupakan pendekatan dari nilai sebenarnya,sehingga dengan demikian

kan terdapat kesalahan ( galat ) antara y yang dinyatakan oleh persamaan

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

Dengan nilai yyang sebenarnya.

BAB VI

INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON

30

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi beda terbagi newton.

2. Dapat mengaplikasikan interpolasi beda terbagi newton tersebut dalam

berbagai permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program

komputer.

B. Dasar Teori

Kita perhatikan interpolasi linier yang membuat hampiran suatu titik dari dua

titik yang diberikan.Dari grafik diatas terlihat sekali bahwa interpolasi linier

mempunyai kemungkinan galat yang sangat besar untuk kurva yang tidak linier.

Untuk itu akan dibahas Interpolasi newton yang bias membuat hampiran suatu

titik dari banyak titik yang diberikan

Secara umum,Interpolasi Newton dapat dituliskan sebagai :

F(x)=fo+(x-xo)f[xox1]+(x-xo)(x–x1)f[xo,x1,x2]+∙∙∙+(x-xo)∙∙∙(x-xn-1)f[xo,

∙∙∙,xn]

Rumus newton sahih untuk simpul-simpul berjarak sama sebarang seperti yang

mungkin terjadi dalam praktek, dalam percobaan atau pengamatan atau seperti

diinginkan seseorang.

C. Algoritma

Masukan : n,xi,f(xi),z,epsilon ; i = 1,2,…,n

Keluaran : perkiraan bagi (pbagi)

Langkah-langkah

bo : = f(xo) pbagi :=bo faktor :=i

Untuk i :=1,2,…,n lakukan

bi:= f(xi)

untuk j:=i-1,…,0 lakukan

b j=b j+1−b

x i−x j

faktor := faktor∙(z–xi-1)

31

suku :=bo∙faktor

pbagi := pbagi + suku

Jika |suku|≤ epsilon ,selesai

D. Flowchart

E. Listing Program

MFILE

32

Baca Data : n

Mulai

For i= 2: n

Baca a(i),y(i),y(j),a(j)

Baca y(i)

P = stirling

Tulis hasil P

Selesai

Output Program Interpolasi Beda Terbagi Dua

F. Kesimpulan

Interpolasi suatu fungsi atau beberapa data beberapa kali,dan tiap kali derajat polinom

dan jumlah data ditambah.Didalam masalah galat nilai dari metode ini masih konsisten dari

taksiran galat.

BAB VII

INTERPOLASI LAGRANGE

33

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi Langrange beserta keuntungan dan

kerugiannya.

2. Dapat mengaplikasikan Interpolasi Langrange tersebut dalam berbagai

permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

B. Dasar Teori

Bila diberikan titik-titik (xo,fo), (x1,f1), . . .,(xn,fn) maka didefinisikan rumus

Interpolasi Langrange sebagai berikut :

f ( x )=Ln ( x )=∑k=0

n lk (x)lk (xk )

f k

Dimana lo(x)=(x–x1)(x–x2)...(x–xn)

C. Algoritma

Masukan : n,xi,f(xi),x; i:= 0,1,2,. . .,n

Keluaran : perkiraan langrange (plag)

Langkah-langkah

1. Plag := 0

2. Untuk i:=0,1,2 , …,n

3. Jika j≠I,faktor:= factor.x−x j

xi−x j

4. Plag:=plag+faktor.f(xi)

D. Flowchart

34

Mulai

E. Listing Program

MFILE

35

Baca Data : n

For I : 1: n

Baca x(i),y(i)

Baca x

Tulis hasil P

Selesai

P = Langrange (x)

Output Program Interpolasi Lagrange

F. Kesimpulan

Dalam interpolasi lagrange variable bebas dalam formulanya tidak perlu

berjarak sama dan tidak diperlukan perbedaan fungsi,sehingga hasil yang diperoleh

tidak dapat diperiksa ketelitiannya,karena formulanya diyatakan dua hubungan

variable maka berlaku juga,dalam formula lagrange,jika variable bebas mempunyai

jarak interpolasi terlalu besar,hasil menjadi kurang akurat.

36

BAB VIII

INTEGRASI NUMERIK(ATURAN TRAPESIUM)

37

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami aturan trapesium untuk menyelesaikan integral.

2. Dapat menggunakan aturan Trapesium untuk menyelesaikan permasalahan

yang diberikan.

B. Dasar Teori

Penyelesaian suatu integral tertentu dapat dilakukan dengan cara membagi

daerah antara x=a dengan x=b menjadi pita-pia tipis yang lebarnya ρx ,yang

membentuk bangun trapesium.

Karena setiap pita berbentuk trapesium maka luas pita I yang terletak antara x i

dan xi+1 adalah sesuai dengan aturan luas trapesium yaitu:12

t (A+B).

Jadi, untuk daerah yang dibentuk oleh pita-pita tipis tadi, dapat kita hitung

masing-masing luasnya sebagai : Ai= 12

ρx [ f ( x i)+ f (x i+1)] sehingga untuk n buah pita,

jumlah luasnya adalah :

A=∑i=0

n

A i=∑i=0

n12

ρx [f ( x i )+ f ( x i+1 ) ]

12

ρx [ f (a )+2 f ( x i )+2 f ( x2 )+…+2 f ( xn)+ f (b)]

Gambar.Aturan Trapesium

Ini adalah hampiran terhadap integrasi dari f(x) dan dapat dituliskan sebagai

berikut :

F ( x )=∫b

a

f ( x i) dx

38

C. Algoritma

Masukan : a,b,n,f(x)

Keluaran : A (Luas daerah)

Langkah-langkah

1. h≔(b−a)

n

2. jsisi := 0

3. Untuk i := sampai n-1 lakukan

4. x≔ a+h∗( i+1 )

5. jsisi := jsisi+ f (x )

6. jsisi≔ h2[ f (a )+ f (b )+2∗ jsisi]

D. Flowchart

39

Mulai

E. Listing Program

MFILE 1

40

Baca : a,b,n

I = 1 to n-1

Selesai

H = (b – a) / n,sum = F(a)

Sum=sum + 2F (a+ib)

I = h/2 * (sum+f(b))

Definisikan Fungsi

Tulis Hasil I

MFILE 2

Output Program Aturan Trapesium

41

F. Kesimpulan

Aturan trapesium adalah formula yang paling sederhana untuk integrasi secara

numeric,dimana didekati dengan sejumlah n buah trapesium. Dimana selang akan

dipecah atas n selang yag sam panjang,masing-masing dengan panjang h=( b– a

) / n.

Kesalahan pemotongan yang akan ditinjau jauh lebih baik dari metode

lainnya.dalam galat integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan h3.

BAB IX

42

INTEGRASI NUMERIK(ATURAN SIMPSON)

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami aturan komposisi simpson untuk menyelesaikan integral.

2. Dapat menggunakan aturan simpson untuk menyelesaikan permasalahan

yang diberikan.

3. Dapat membandingkan aturan komposisi trapesium dan simpson.

B. Dasar Teori

Karena kesalahan yang cukup besar bila menggunakan pendekatan terhadap

kurva,x =a dan x =b didekati dengan potongan –potongan garis lurus. Maka

digunakan pendekatan potongan kurva yang lain yaitu dengan menggunakan

parabola atau polinom orde dua.

Jadi akan dianggap bahwa kurva y=f(x) dihampiri oleh suatu parabola yang

melalui tiga titik (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2) dan diperoleh polinom penginterpolasian P(x)

derajat ≤ 2. Jika diintegralkan P(x) pada [x0,x2] dan memakai nilai untuk

menghampiri integral f(x) maka dipakai aturan simpson. Bilamana proses ini

diulang pada interval-interval bagian dari [a,b].

Untuk menurunkan rumus iterasinya xi+1ditempatkan pada x= 0,maka xiberada

pada x =−ρx dan xi+2 berada pada x =ρx. Bilamana persamaan parabola yang

dipakai adalah : f(x)=a2x2+ a1x+ ao.

Bilama kita bagi selang [a,b] menjadi 2n bagian yang berlebar sama yakni

h=b−a2n

dan menggunakan a=xo < x1< x2 < . . . < x2n = bdan dengan xk =a+ hk

untuk i= 0,1,…,2nmaka hampiran integral dengan aturan simpson untuk kurva f(x)

pada selang [a,b] adalah

A=1/3 h[f(xo)+ 4f(x1)+ 4f(x3)+ . . . + 4f(x2n-1) + 2f(x2)+ 2f(x4)+ . . . + f(x2n)] atau

A=h/3 ∑1

n

[ f ( x2 n−2)+4 f ( x2n−1 )+ f (x2 n)]

A adalah hampiran integrasi numerik dari kurva dengan aturan simpson

43

Gambar.Aturan Simpson

C. Algoritma

Masukan : a,b,n,f(x)

Keluaran : Luas

Langkah-langkah

1. definisikan fungsi F(x)

2. input a,b,n

3. dinyatakan xo=adan luas=0

dengan menggunakan rumus

x1=xo+ 2h

x2=x1+ 2h

Luas=Luas+( 2n/3 ) (f(xo) + 4f(x1) + f(x2))

hingga x2=b

maka integral dari F(x)adalah Luas

44

D. Flowchart

Tidak

ya

Ya

45

Mulai

Baca data

T = T + THPING

H = B – A / N

T = Temp1

I = I + 2X= X ++ 2H

I = IX = A + H

Sum4 = 0Sum2 = 0

Hitung EFF

Tuliskan T,EFF

Sum4 = sum4 + F(x)Sum2 = sum2 + F(x+h)

Selesai

T < Temp2

I= N -3

E. Listing Program

MFILE 1

MFILE 2

46

Output Program Aturan Simpson

F. Kesimpulan

Didalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu aturan simpson 1/3 dan

3/8.Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan

menggunakan polinom interpolasi yang berderajat lebih tinggi.Misalkan fungsi f(x)

dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk

parabola.Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah

di bawah parabola,untuk itu dibutuhkan 3 buah titik data,misalkan (0,f(0)), (h,f(h)),

(2h,f(2h)).

Sedangkan untuk aturan simpson 3/8 dibutuhkan 4 buah titik dimana tingkat

nilai dari integrasi cenderung lebih baik daripada aturan simpson 1/3.

47

Daftar Pustaka

Sumber Internet :

1. mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htm - 24k

2. mages.jlitheng1371.multiply.com/attachment/0/

R@yOrgoKCsoAAHfJELM1/bpk%20menum.doc?nmid=88422089

3. pksm.mercubuana.ac.id/new/elearning/files_modul/15016-14-

696551097528.doc -

4. http://www.box.net/shared/ynagzq884g

5. http://www.box.net/shared/dinxtmpkws

6. elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar_metode_numerik/

bab5integrasi.pdf -

7. mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Pendahuluan.htm - 14k –

8. cw.unnes.ac.id/ocw/matematika/matematika-s1/mat307-metode.../Metode

%20Numerik%20-%20Drs.%20Rochmad-%20M.Si...

9. uk.staff.ugm.ac.id/numerik/MetodaNumerik.pdf

10. mail.si.itb.ac.id/~amrinsyah/bab-3a.pdf

11. benny_irawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/11533/interpolasi.pdf

12. syont.wordpress.com/2006/12/22/ooo-calc-interpolasi-linear/ - 14k -

13. pksm.mercubuana.ac.id/new/elearning/files_modul/15016-9-

726687804254.pdf -

Sumber Buku :

1. Munir,Rinaldi.MetodeNumerik.Edisi Revisi.Informatika.2003.Bandung

2. Djojodihardjo,Harijono.Metode Numerik.PT Gramedia Pustaka

Utama.2000.Jakarta

3. Nasution,A.,Hasballah,Z.MetodeNumerikdalamIlmuReakayasaSipil.PT ITB

Bandung.2001.Bandung

48