Tugas 2: Mata Kuliah Metode Numerik

DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

Oleh:

Kelompok V:

1. Diah Rahmawati (2011-84-202-016)

2. Istiqomah (2011-84-202-019)

3. Umi Tarwiyah (2011-84-202-035)

4. Transsiono (2011-84-202-046)

5. Paskalina Tarem (2010-84-202-038)

Dosen Pembina: KAMARIAH, S.Pd., M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE2014

Tugas 2: Mata Kuliah Metode Numerik

DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

Oleh:

Kelompok V:

1. Diah Rahmawati (2011-84-202-016)

2. Istiqomah (2011-84-202-019)

3. Umi Tarwiyah (2011-84-202-035)

4. Transsiono (2011-84-202-046)

5. Paskalina Tarem (2010-84-202-038)

Dosen Pembina: KAMARIAH, S.Pd., M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE2014

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan hidayah

darri-Nya tugas makalah Metode Numerik ini dapat terselesaikan dengan tepat

waktu. Tugas ini dapat terselesaikan atas bimbingan dan bantuan dari berbagai

pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:

1. Ibu Kamariah S.Pd., M.Pd., dosen pembina mata kuliah Metode Numerik.

2. Orang tua tercinta yang selalu memberi motivasi dan limpahan do’a serta

kasih sayang kepada kami semua.

3. Rekan-rekan seperjuangan Pendidikan Matematika angkatan 2011 yang

selalu mejadi motivasi dan semua pihak yang tidak bisa kami sebut satu

persatu.

Penulis menyadari bahwa penulisan tugas makalah dengan judul

“Diferensiasi dan Integrasi Numerik” masih ada kekurangan. Oleh karena itu,

kritik dan saran yang membangun dari semua pihak, khususnya dosen pembina

mata kuliah sangat diharapkan guna perbaikan penulisan ini.

Semoga tulisan ini bermanfaat bagi kita semua.

Merauke, 28 Mei 2014

Penyusun

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL..................................................................................... i

KATA PENGANTAR........................................................................................ ii

DAFTAR ISI..................................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang........................................................................................

B. Rumusan Masalah...................................................................................

C. Tujuan......................................................................................................

D. Manfaat....................................................................................................

BAB II PEMBAHASAN

A. Diferensiasi Numerik...............................................................................

B. Nilai Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi ................................

C. Integrasi Numerik....................................................................................

D. Metode Trapesoida..................................................................................

E. Metode Simpson........................................................................................

F. Integrasi Romberg.....................................................................................

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan.............................................................................................

B. Saran.......................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................

iii

BAB IPENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dalam penulisan ini

dirumuskan sebagai berikut:

1. Bagaimanakah menghitung derivatif pertama (awal) dari suatu daftar nilai x

dan y?

2. Bagaimanakah menghitung derivatif tengah dari suatu daftar nilai x dan y?

3. Bagaimanakah menghitung derivatif kedua (akhir) dari suatu daftar nilai x

dan y?

4. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Metode (Aturan)

Trapesoida?

5. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Metode Simpson?

6. Bagaimana menghitung integral tertentu dengan memakai Integrasi

Romberg?

C. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penulisan ini

adalah:

1. Untuk mengetahui Diferensiasi Numerik.

2. Untuk mengetahui Nilai Supremum dan Infimum dari suatu Fungsi

Diferensiasi Numerik.

3. Untuk mengetahui suatu Integrasi Numerik.

4. Untuk mengetahui pengunaan Metode Trapesoida dalam Integrasi Numerik.

5. Mengetahui suatu Integrasi Numerik dengan menggunakan Metode Simpson.

6. Untuk mengetahui suatu Integrasi Romberg dalam Integrasi Numerik.

D. Manfaat Penulisan

1

Dengan adanya penulisan ini diharapkan dapat memberikan manfaat baik

secara:

1. Praktis

a. Bagi Mahasiswa

Sebagai bahan referensi dalam proses perkuliahan metode numerik agar

mudah untuk dipahami.

b. Bagi Penulis

Sebagai pengetahuan tambahan dalam mempelajari program mata kuliah

metode numerik.

2. Teoritis

Sebagai tambahan referensi materi perkuliahan metode numerik yang telah

ada sebelumnya agar lebih mudah dipahami.

2

BAB IIPEMBAHASAN

A. Diferensiasi Numerik

Metode yang umum untuk mencari formula diferensiasi numerik adalah

metode ferensiasikan interpolasi polinom. Oleh karenanya, hubungan tiap-tiap

formula yang dibicarakan pada interpolasi, kita pakai untuk memperoleh suatu

formula untuk derivatif. Sebagai ilustrasi, derifatif dengan formula selisih muka

Newton, metode derifatif tersebut sama dengan formula yang lainnya.

Perhatikan formula selisih muka Newton berikut:

y = y0 + u Δ y0 +u (u−1)

2 !Δ2 y0 +

u (u−1)(u−2)3 !

Δ3 y0 + . . . .. .. . .. .. .. . .. .(1)

dengan x = x0 + uh . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(2 )

Maka

dydx

= dydu

.dudx

=1

h [Δ y0 + 2 u − 12

Δ2 y0 + 3 u−6 u+26

Δ3 y0+ . .. ] . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . (3 )

Formula (5.3) dapat dipakai untuk menghitung nilai

dydx untuk nilai-nilai x yang

tidak didaftar. Untuk nilai-nilai x yang didaftar, diberikan formula dalam bentuk

sederhana, dengan mengambil x = x0 sehingga diperoleh u = 0 dari (5.2), dan

dalam hal ini (5.3) memberikan:

[ dydx ]

x= x0

= 1h [Δ y0 − 1

2Δ2 y0+

13

Δ3 y0−14

Δ4 y0 +.. .] . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(4 )

Dengan mendeferensiasi (5.3) sekali lagi, kita peroleh

d2 ydx2

= 1h2 [Δ2 y0+

6 u−66

Δ2 y0+12u3−36 u+2224

Δ4 y0+.. .] .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .(5)

Dari (5.5) diperoleh

[ dy2

dx2 ]x=x0

= 1h2 [Δ2 y 0−Δ3 y0−

1112

Δ4 y0−.. .] .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(6 )

3

Formula untuk turunan (derivatif) yang lebih tinggi dapat diperoleh dengan

diferensiasi berturut-turut. Dengan cara yang sama, formula diferensiasi dapat

dicari dengan memulai formula interpolasi lainnya.

Dengan demikian, maka:

a) Formula selisih belakang Newton memberikan:

[ dydx ]

x= x0

= 1h [∇ yn+

12

∇ 2 yn +13

∇3 yn+. ..] . . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(7 )

[ dy2

dx2 ]x=x0

= 1h2 [∇2 yn+∇ 3 yn +

1112

∇ 4 yn+56

∇5 yn+. ..] . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(8)

b) Formula Stirling memberikan:

[ dydx ]

x= x0

= 1h [ Δy−1+Δy 0

2−1

6Δ3 y−2 +Δ3 y−1

2+ 1

30Δ5 y−3+ Δ5 y−2

2+. ..] .. . .. . (9)

[ dy2

dx2 ]x=x0

= 1h2 [Δ2 y−1−

112

Δ4 y−2+1

90Δ6 y−3+

56

∇ 5 yn−.. .] . .. .. . .. .. . .. .. . (10 )

Bila derivatif yang diinginkan dekat ke akhir dari suatu daftar, salah satu dari

formula berikut dapat digunakan untuk memperoleh ketelitian yang tinggi:

hy0' =(Δ−1

2Δ2+1

3Δ3−1

4Δ4+1

5Δ5−1

6Δ6+1

7Δ7−1

8Δ8+. . .) y0 .. . .. .. . .. .(11)

= (Δ−12

Δ2−16

Δ3+112

Δ4−120

Δ5+130

Δ6−142

Δ7+156

Δ8+. .) y−1 . .. . .. . (12)

h2 y0''= (Δ2−Δ3+11

12Δ4−5

6Δ5+137

180Δ6−7

10Δ7+363

560Δ8+. ..) . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .(13)

=(Δ2− 1

12Δ4+ 1

12Δ5−13

180Δ6+11

180Δ7−29

560Δ8+.. .) y−1. . .. .. . .. .. . .. .. .(14 )

hyn' =(∇+1

2∇2+1

3∇ 3+1

4∇4+1

5∇5+1

6∇6+1

7∇7+1

8∇8+ .. .) yn .. . .. .. (15 )

=(∇−12

∇ 2−18

∇3−112

∇ 4−120

∇5−130

∇ 6 142

∇7−156

∇8+. ..) yn+1 .. . .. (16 )

4

h2 yn''= (∇2+∇3+11

12∇ 4+5

6∇ 5+137

180∇ 6+7

10∇7+363

560∇8+.. .) yn . .. .. . ..(17 )

= (∇2−112

∇4−112

∇5−13180

∇ 6−11180

∇ 7−29560

∇ 8−.. .) y n−1 . .. . .. .. . . (18)

Contoh 1:

Dari tabel nilai x dan y berikut, carilah

dydx dan

d2 ydx2

untuk x = 1,2

x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,7 2,0 2,2

y 27,183 33,201 40,552 49,330 60,496 73,891 90,250

Jawab:

Daftar selisih dari tabel di atas adalah

x y          1,0

27,183

0,6018

1,2

33,201 0,1333

0,7351 0,0294

1,4

40,552 0,1627 0,0067

0,8978 0,0361 0,0013

1,6

49,530 0,1988 0,0080 0,0001

10,966 0,0441 0,0014  

1,8

60,496 0,2429 0,0094 

    13,395   0,00635      

2,0

73,891 0,2964       

16,359        

2,2

902,520

       

Di dalam soal ini, x0=1 , 2 , y0 = 3 ,3201 , dan h = 0,2 .

Dengan menggunakan formula (11) diperoleh:

5

2 3 4 5 6

[ dydx ]

x= x0

= 1h [Δ − 1

2Δ2+ 1

3Δ3−1

4Δ4+ 1

5Δ5] y0 , jadi

[dydx ]

x=1,2= 1

0,2 [0 ,7351−12

(0 ,1627 )+13

(0 , 0361 )−14

(0 , 0080 )+15

(0 ,0014 )]= 3 , 3205

Bila digunakan formula (12), maka kita harus menggunakan selisih diagonal dari

0,6018 dan memberikan hasil:

[dydx ]

x= x0

= 1h [Δ +1

2Δ2 +1

6Δ3+1

12Δ4 +1

20Δ5] y−1 , jadi

[dydx ]

x=1,2= 1

0,2 [0 ,6018+12

(0 ,1333 )−16

(0 , 0294 )+112

(0 , 0067 )−120

(0 , 0013 )]= 3 , 3205 , sama seperti di atas .

Dengan cara yang sama, formula (13) memberikan

[d2 ydx2 ]

x= x0

= 1h2 [Δ2 −Δ3 +11

12Δ4−5

6Δ5] y0 , jadi

[d2 ydx2 ]

x=1,2

= 10 , 04 [0 ,1627−0 ,0361+11

12(0 , 0080 )−5

6(0 , 0014 )]

= 3 ,318

Dengan menggunakan formula (14) kita peroleh:

[d2 ydx2 ]

x= x0

= 1h2 [Δ2 −11

12Δ4 +1

12Δ5] , jadi

[d2 ydx2 ]

x=1,2

= 10 , 04 [0 ,1333−11

12(0 , 0067 )+1

12(0 , 0013 )]

= 3,32

Contoh 2:

Hitunglah derivatif ke satu dan ke dua dari tabel fungsi pada contoh 1 di titik

x = 2,2 dan juga [ dy

dx ]x=2,0

Jawab:

6

Kita gunakan tabel selisih pada contoh 1.

Dalam soal ini, xn=2,2 , yn=9 , 0250 dan h= 0,2 .

Dengan menggunakan formula (15) didapati:

[dydx ]

x= xn

= 1h [∇ +1

2∇2−1

3∇ 3+1

4∇ 4+1

5∇ 5] yn , jadi

[dydx ]

x=2,2= 1

0,2 [1 , 6359+12

(0 , 29364 )+13

(0 ,0535 )+14

(0 ,0094 )+15

(0 ,0014 )]= 9 , 0228 , dan

[d2 ydx2 ]

x= xn

= 1h2 [∇2+∇ 3+11

12∇ 4+5

6∇ 5] yn, jadi

[dydx ]

x=2,2= 1

0 , 04 [0 , 2964+0 ,0535+1112

(0 ,0094 )+56

(0 ,0014 )]= 8,992

Untuk mencari [ dy

dx ]x=2,0 , kita dapat menggunakan formula (15) atau (16).

Dalam dalam soal ini, xn=2,2 , yn=9 , 0250 dan h= 0,2 .

Formula (15), memberikan hasil:

[dydx ]

x= xn

= 1h [∇+1

2∇2 +1

3∇3+1

4∇ 4+1

5∇ 5+1

6∇ 6] y0 , jadi

[dydx ]

x=2,0

= 10,2

¿ [1, 3395+12

(0 , 2429 )+13

(0 ,0441 )+14

(0 , 0080 )+15

(0 ,0013 )+ ¿]¿¿

¿

¿

¿

Dengan menggunakan formula (16) kita peroleh

[dydx ]

x= xn

= 1h [∇ −1

2∇2−1

6∇3−1

12∇ 4−1

20∇5] yn+1 , jadi

[dydx ]

x=2,0= 1

0,2 [1, 6359−12

(0 ,29364 )−16

(0 , 0535 )−112

(0 , 0094 )−120

(0 , 0014 )]= 7,3896

Contoh 3

7

Carilah

dydx dan

dy

dx2 di titik x = 1,6 untuk daftar x dan y pada contoh 1.

Jawab:

Kita pilih x0=1,6 , maka dengan formula (9) diperoleh

[ dydx ]

x= x0

= 1h [ Δy−1+Δy 0

2−1

6Δ3 y−2 +Δ3 y−1

2+ 1

30Δ5 y−3+ Δ5 y−2

2+. ..]

[dydx ]

x=1,6= 1

0,2 [0 ,8978+1 , 09662

−16

0 , 0361+0 , 04412

+130

0 ,0013+0 , 00142 ]

= 4 ,9527

Dengan cara yang sama, formula (10) memberikan hasil:

[d2 ydx2 ]

x= x0

= 1h2 [Δ2 y−1 −1

12Δ4 y−2 +

190

Δ6 y−3] , jadi

[d2 ydx2 ]

x=1,6

= 10 ,04 [0 ,1988−1

12(0 , 0080 )+1

90(0 , 0001 )]

= 4,9525

B. Nilai Maksimum Dan Nilai Minimum Dari Daftar Suatu Fungsi

Sudah kita ketahui bahwa nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi

dapat dicari dengan menyamakan derivatif (turunan) pertama sama dengan nol

(0), sehingga diperoleh nilai variabel yang menyebabkan nilai suatu fungsi itu

maksimum atau minimum.

Dengan cara yang sama seperti disebutkan di atas, dapat digunakan pula

untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu daftar fungsi.

Perhatikan formula selisih muka Newton berikut:

y = y0 + p Δ y0 +p( p−1 )

2Δ2 y0+

p( p−1 )( p−2 )6

Δ3 y0+ .. .

Bila formula tersebut dideferensiasi ke p, kita peroleh:

dydp

=Δ y0+2 p−1

2Δ2 y0+

3 p2−3 p+26

Δ3 y0+.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . ..(19 )

8

Nilai maksimum atau minimum diperoleh, bila

dydp

= 0. Karena itu, ruas kanan

dari formula (19) disederhanakan, dengan menganggap sesudah selisih ketiga

sama dengan nol, diperoleh bentuk kuadrat dalam p seperti berikut:

c0+c1 p+c2 p2=0 . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. (20 )

di mana,

c0=Δ y0−12

Δ2 y0+13

Δ3 y0

c1=Δ2 y0−Δ3 y0 .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(21)

c2=12

Δ3 y0

Nilai x dapat dicari dari relasi x=x0+ ph

Sebagai ilustrasi pelajari contoh berikut:

Contoh 4

Dari tabel berikut, carilah x teliti sampai dua temapt decimal, untuk nilai y

maksimum, dan carilah nilai maksimum y tersebut.

x 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6y 0,9320 0,9636 0,9855 0,9975 0,9996

Jawab:

x y 1,2

0,9320

0,03161,3

0,9636 -0,0097

0,02191,4

0,9855 -0,0099

0,01201,5

0,9975 -0,0099

0,00211,6

0,9996

9

2

Misal x0 = 1,2 maka dari formula (19), berhenti sesudah selisih kedua, diperoleh:

dydp

=Δ y0+2 p−12

Δ2 y0=0

0= 0 , 0316+2 p−12

(−0 ,0097 )

p = 3,8

Diperoleh juga, x=x0+ ph = 1,2+3,8 (0,1)=1 ,58

Untuk nilai x tersebut, formula selisih belakang Newton xn=1,6 ( yn=0 , 9996 ) ,

diperoleh:

y ( x )= yn+ p ∇ yn+p ( p+1)2!

∇2 yn , dengan

p =x−xn

n= 1,5−1,6

0,1=−0,2, dan

y (1,58 )=0 ,9996−0,2 (0 , 0021 )+−0,2 (−0,2+1 )2

(−0 , 0099 )

= 0 , 9996−0 ,0004+0 , 0008= 1,0

C. Integrasi Numerik

Masalah (problema) umum dari integrasi numerik dapat dinyatakan sebagai

berikut:

Diberikan sekumpulan titik-titik (x0 , y0 ) , (x1 , y1) , . .. , (xn , yn ) dari fungsi y =

f(x), di mana bentuk eksplisit dari f(x) tidak diketahui, dan dari data (keterangan)

tersebut akan dihitung nilai integral tentu berikut:

I =∫b

ay dx . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(22 )

Seperti di dalam diferensiasi numerik, f(x) akan di aproksimasikan oleh

interpolasi polinom q(x), dan hasilnya pada integrasi tersebut adalah nilai dari

aproksimasi integral tentu. Jadi, perbedaan formula integrasi bergantung pada

bentuk dari formula integrasi yang dipakai. Dalam bagian ini formula umum

untuk integrasi numerik akan dipakai formula selisih muka dari Newton.

10

Misalkan interval [a,b] dibagi menjadi n interval bagian, sedemikian hingga

a = x0 < x1 , x2< .. .<xn=b . Jadi xn=x0+nh , maka kita peroleh:

I =∫x 0

xn y dx

Aproksimasi y oleh formula selisih muka Newton, kita peroleh

I =∫x 0

xn [ y0+ pΔ y0+p( p−1)

2Δ2 y0+

p( p−1)( p−2)6

Δ3 y0+.. .] dx

Karena x=x0+ ph maka dx = h . dp , dan karenanya integral di atas

menghasilkan:

I = h∫0

n [ y0+ pΔ y0+p ( p−1 )

2Δ2 y0+

p( p−1 )( p−2 )6

Δ3 y0+. . .] dp

Dan setelah disederhanakan diperoleh:

∫x0

xny dx=nh[ y0+

n2

Δ y0+n(2 n−3 )12

Δ2 y0+n(n−2 )2

24Δ3 y0+. ..] . .. . .. .. . .. ..(23 )

Dari formula umum (23), kita peroleh macam-macam formula integrasi dengn

mengambil n = 1,2,3,… dan seterusnya. Dalam pembicaraan kita di sini, hanya di

ambil untuk n = 1 dan n = 2, karena untuk n = 1 dan n = 2 akan diperoleh hasil

yang cukup teliti untuk pemakaian praktis.

Untuk metode Simpson

38 dan metode Weddle berturut-turut diperoleh untuk n =

3 dan n = 6 dari formula umum (23) yang akan dibicarakan pada bagian

berikutnya.

D. Metode (Aturan) Tropesoida

Untuk n = 1 dalam formula umum (23) dan semua turunan yang lebih dari

turunan pertama sama dengan nol, kita peroleh:

11

∫x0

x1 y dx = h [ y0+

12

Δ y0]= h [ y0+

12

( y1− y0)]= h

2 [ y0+ y1] .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(24 )

Untuk interval berikutnya [ x1 , x2] , dengan cara yang sama akan kita peroleh:

∫x1

x2 y dx = h2

[ y1 , y2 ] . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .(25)

Dan untuk interval terakhir [ xn−1 , xn ] , kita peroleh

∫n−1

xn y dx = h2

[ y n−1 + yn ] .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(26 )

Menggabungkan hasil-hasil tersebut di ats, kita peroleh aturan (hukum) berikut:

∫x0

xn y dx = h2 [ y0+2 ( y1 + y2 +.. .+ yn−1 )+ yn ] .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .(27 )

Yang disebut “Metode (Aturan) Trapesoida”

Secara geometri “Metode Trapesoida” dapat dijelaskan sebagai berikut:

Untuk memperoleh hasil aproksimasi ∫a

bf ( x ) dx

, dengan nilai-nilai fungsi f

diketahui dari sekumpulan nilai x yang berjarak sama pada interval [ a , b ] . Kita

tulis nilai-nilai x danxr ( x=0 , 1 , 2 ,. .. , n ) di mana, x0=a , xr=x0+rh ,

xn=x0+nh = b , dan h konstanta, dan kita tulis nilai-nilai yang

berkorespondensi dengan xr oleh fr, yaitu fr = f (xr )= f ( x0+rh ). Lihat gambar

berikut ini:

f(x) f

c

d

f0 f1 f2 fn-1 fn

12

A B E

0 x0 = a x1 x2 xn-1 xn = b x

Gambar 1

Karena kita tidak mengetahui bentuk dari grafik f(x), akan kita gunakan

aproksimasi pertama dari kurva tersebut oleh titik-titik yang terletak pada kurva

yaitu titik-titik (xr , f r ) dan (xr+1 , f r+1) untuk r = 0,1,2,…,(n-1) yang dihubungkan

oleh suatu garis lurus (lihat gambar 1).

Persamaan garis lurus yang menghubungkan titik (x0 , f 0 ) dan (x1 , f 1) adalah:

y = f 0 + ( x−x0) ( f 1−f 0

x 1−x0)

Maka dengan aproksimasi f(x) dalam interval [ x0 , x1] , kita lihat bahwa:

∫x0

x2 f ( x ) dx ≃ luas daerah trapesium ABCD (lihat gambar 1)

=∫x0

x1 [ f 0+(x−x0 )( f 1−f 0

x1−x0)] dx

=f 0 ( x1−x0 )+12

(x1−x0 )2 (f 1−f 0

x1−x0)

¿12

h ( f 0+ f 1 )

Demikian juga

∫x1

x2 f ( x ) dx ≃ luas daerah trapezium ABCD (lihat gambar 1)

= 12

h ( f 0+ f 1)

Berdasarkan hal di atas, jumlah semua luas trapesium di antara x = a dan x = b,

dapat diperoleh sebagai berikut:

∫a

bf ( x ) dx =∫x 0

xn f ( x ) dx

=∫x0

x1f ( x ) dx +∫x1

x2f ( x ) dx + . ..+∫xn−1

xnf ( x ) dx

13

≃

12

h ( f 0+ f 1)+ 12

h ( f 1+f 2)+. ..+ 12

h ( f n−1+ f n)

= 1

2h (f 0+2 f 1+.. .+2 f n−1+ f n)

Apabila formula terakhir ini, kita substitusikan f(x) = y, sehingga y0= f 0 , y1= f 1 ,

…, yn= f n dan a = x0 serta b = xn kita peroleh formula:

∫x0

x1 y dx = h2 [ y0+2 ( y1 + y2+. . .+ yn−1 )+ y n ]

, yang sama seperti formula (27).

Catatan:

Perhatikan integrasi numerik, dilakukan apabila:

i. Fungsi yang akan di integrasi sedemikian hinggga tidak ada metode analitik

untuk menyelesaikannya.

Contoh: ∫a

b √sin x dx

ii. Metode analitik ada (bisa dipakai), tetapi kompleks:

Misalnya: ∫a

b 1

1+ x4dx

iii. Fungsi yang akan di integrasi, bentuk eksplisitnya tak diketahui, tetapi

diberikan nilai-nilai variabel bebasnya dan nilai-nilai fungsi yang

berkorespondensinya di dalam suatu interval [a,b].

Contoh 5

Gunakan aturan trapesoida untuk menghitung ∫2

4f ( x ) dx

dengan

menggunakan data berikut:

x f(x)2,0 1,73212,5 1,87083,0 2,00003,5 2,1213

4, 2,2361

14

0

Jawab:

Pada soal ini, dari data yang diketahui h = 0,5 dan dengan menggunakan

metode trapesoida diperoleh:

∫2

4f ( x ) dx≃

12

× 0,5 [1 , 7321+2 (1 , 8708+2 , 0000+2 ,1213 )+2 ,2361 ]

= 0 , 25 (15 , 9524 )=3 ,9881

Kekeliruan dari formula trapezoida dapat ditentukan dengan jalan:

Misalkan y = f(x) kontinu dan mempunyai derivatif dalam[ x0 , xn ] . ekspansi y

dalam deret Taylor di sekitar x = x0, memberikan:

∫x0

x1 y dx =∫x0

x1 ¿¿¿¿

¿¿

Kita peroleh pula:

h2 [ y 0 + y1 ] = h

2 [ y0+ y0+h y0' +h2

2y0

} } + { {h rSup { size 8{3} } } over {6} } y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{+.. .]= h y0 +h2

2y0

} } + { {h rSup { size 8{3} } } over {4} } y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{+. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .(29)

Dari formula (28) dan (29) kita peroleh

∫x0

x1 y dx − h2

[ y0+ y1 ] =− 112

h3 y0} } size 12{+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \( 30 \) }} { ¿¿¿

Yang merupakan kekeliruan dalam interval [ x0 , x1] .Dengan cara yang sama, kita peroleh kekeliruan-kekeliruan di dalam setiap

interval bagian: [ x1 , x2] , [ x2 , x3] , …, [ xn−1 , xn ] . Jadi kita peroleh semua kekeliruan

(E) berikut:

E =− 112

h3 ( y0} } +y rSub { size 8{1} } rSup { size 8{+. ..+ yn−1

} } \) . . . . . . . . . . . . . . . . . \( 31 \) } { ¿¿¿

15

Dengan E disebut kekeliruan total. Apabila ruas kanan pada formula (31)

disubstitusikan y left ( { bar {x}} right )`=` left (y rSub { size 8{0} } rSup { size 8{ ¿+ y1} } + . . . +y rSub { size 8{n - 1} } rSup { size 8{¿¿¿, maka kita peroleh

E =−(b−a )12

h2 y left ( { bar {x}} right ) . . . . . . . . . . . . . . . \( 32 \) } {¿

Karena nh = (b-a).

E. Metode Simpson

Metode Simpson diperoleh dari persamaan (23) untuk n = 2, yaitu dengan

aproksimasi parabolis.

Maka kita peroleh:

∫x0

x2 y dx = 2 h [ y0+ Δ y0+

16

Δ2 y0]= 2 h [ y0+ ( y1− y0)+1

6Δ ( Δ y0)]

¿ 2h [ y1+16

Δ ( y1− y0 )]¿ 2h [ y1+

16 ( Δ y1−Δ y0) ]

= 2h [ y1+16 {( y2− y1)−( y1− y0 )}]

¿ 2h [ y1+16

( y2−2 y1+ y0 )]¿ 2h [16 y0+

23

y1+16

y1]¿ h

3 [ y0+4 y1+ y2 ]Dengan cara yang sama diperoleh pula

∫x2

x4 y dx = h3

[ y2 +4 y3+ y4 ]

Dan terakhir kita peroleh:

∫xn−2

xn y dx = h3

[ yn−2+4 y n−1 + yn ],

Jumlah dari semua hasil di atas, kita peroleh:

16

∫x0

xny dx =

h3 [ y0+4 ( y1+ y3 + y5+. . .+ yn−1) ]

= 2 [ ( y 2+ y4+ y6+ .. .+ yn−2 )+ yn ] .. .. . .. .. . .. .. . .(33)

Dengan formula (33) disebut Metode Simpson

13 atau disingkat Metode Simpson.

Di dalam metode ini interval integrasi dibagi menjadi interval bagian yang

banyaknya genap dengan jarak h.

Seperti pada Metode Trapesoida, kekeliruan pada Metode Simpson dapat

ditunjukkan sebagai berikut:

∫a

bf ( x ) dx =

h3 [ y0+4 ( y1+ y3+ y5+. . .+ yn−1)+2 ( y2+ y 4+ y6+. ..+ yn−2)+ yn]

=−(b−a )180

h4 y4 ( x̄ ) ,. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(34 )

Dimana y4 ( x̄ ) adalah nilai terbesar dari derivative ke-4.

Contoh 6

Gunakan Metode Simpson untuk menghitung ∫2

4f ( x ) dx

bila nilai x dan f(x)

diketahui berikut:

x f(x)

2,0 1,7321 ( y 0)

2,5 1,8708 ( y1 )

3,0 2,0000 ( y2 )

3,5 2,1213 ( y3 )

4,0 2,2361 ( y5 )

Dari data di atas kita peroleh h = 0,5, dan dengan menggunakan Metode Simpson

kita peroleh:

∫2

4f ( x ) dx ≃

h3 [ y0+4 ( y1+ y3)+2 ( y2)+ y 4 ]

17

=0,53

[1 , 732+4 (1 , 8708+2 , 1213 )+2 (2, 000 )+2, 2361 ]

= 0,53

(23 , 9366 )

= 3 , 9894 dibulatkan kelima angka signifikan

Contoh 7

Sebuah bangun (benda) yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = 0, garis x = 1,

dan kurva yang melalui titik-titik pada daftar berikut diputar mengelilingi sumbu

X.

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

y 1,0000 0,9896 0,9589 0,9089 0,8415

Estimasilah volume benda yang terjadi, dan hitunglah teliti sampai tiga desimal.

Jawab:

Bila V adalah volume benda yang terjadi, maka kita peroleh:

V = π ∫0

1y2dx

Dari formula terakhir ini kita perlukan nilai-nilai y2 seperti pada tabel

berikut, teliti samapai empat tempat desimal.

x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

y 10,000 0,9793 0,9195 0,8261 0,7081

Dengan h = 0,25 Metode Simpson memberikan:

V = πh3 [ y0+4 ( y1+ y3)+2 ( y2)+ y 4 ]

= π0 ,253

[1 ,0000+4 (0 , 9793+0 , 8261 )+2 (0 ,9195 )+0 , 7081 ]= 2,819

Contoh 8

Evaluasi I = ∫0

1 11+x

dx, teliti ke tiga tempat desimal.

Kita selesaikan contoh ini dengan menggunakan Metode Trapesoida dan Metode

Simpson, dengan mengambil h = 0,5, h = 0,25 dan h = 0,125.

i. Untuk h = 0,5, maka nilai x dan y ditunjukkan oleh tabel berikut:

18

x 0 0,5 1,0

y 1,0000 0,6667 0,5

a. Metode Trapesoida memberikan:

I =14

[1 ,0000+2 (0 , 6667 )+0,5 ]= 0 , 708

b. Metode Simpson memberikan:

I =16

[1 ,0000+2 (0 , 6667 )+0,5 ]= 0 , 694

ii. Untuk h = 0,25 daftar nilai x dan y adalah:

x 0 0,25 0,50 0,75 1,00

y 1,0000 0,8000 0,6667 0,5714 0,5

a. Metode Trapesoida memberikan:

I =18

[1 ,0000+2 (0 , 8000+0 , 6667+0 , 5714 )+0,5 ]= 0 , 697

b. Metode Simpson memberikan:

I =112

[1 ,0000+4 (0 ,8000+0 ,5714 )+2 (0 ,6667 )+0,5 ]= 0 ,693

iii. Untuk h = 0,125, daftar nilai x dan y adalah:

x 0 0,125 0,250 0,375 0,5 0,625 0,750 0,875 1,0

y 1,0 0,88890,800

00,7273 0,6667 0,6154 0,5714 0,5333 0,5

a. Metode Trapesoida memberikan:

I=116

[1 ,0000+2 (0 ,8000+0 ,7273+0 ,6667+0 ,6154+0 ,5714+0 , 5333 )+0,5 ]= 0 , 694

b. Metode Simpson memberikan:

19

I =124

¿ [1 ,0000+2 (0 , 8889+0 ,7273+0 ,6154+0 ,53330 )+ ¿ ]¿¿

¿

¿¿

Dari hasil perhitungan di atas, nilai dar I adalah 0,693 teliti sampai tiga tempat

desimal. Nilai yang eksak dari I adalah e log 2 atau ln 2, yang sama dengan

0,693147… contoh tersebut menunjukkan bahwa pada umumnya, Metode

Simpson lebih teliti daripada Metode Trapesoida.

F. Integrasi Romberg

Metode ini sering digunakan untuk memperbaiki hasil aproksimasi oleh

metode selisih terhingga. Metode ini dipakai untuk evaluasi numerik dari integral

tentu, misalnya dalam penggunaan aturan trapesoida, dapat ditentukan seperti

berikut:

Perhatikan integral tertentu.

I =∫a

by dx

Dan evaluasilah integral tersebut dengan aturan trapesoida formula (27) dengan

dua interval bagian yang berbeda dengan panjang h1 dan h2 untuk memperoleh

aproksimasi nilai-nilai I 1dan I 2 .

Maka persamaan (32) memberikan kekeliruan E1 dan E2 sebagai:

E1 =−112

(b−a ) h12 y ` left ( { bar {x}} right ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \( 35 \) } {} # E rSub { size 8{2} } `=` - { {1} over { 12} } left (b - a right )`h rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } `y ( ¯̄x ) . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(36 ) ¿

Karena suku y ` left ( { bar bar {x}} right )} {¿ dalam formula (36) adalah nilai terbesar dari y ` left (x right )} {¿, maka

cukup beralasan untuk dianggap bahwa y ̀left ( { bar {x}} right )} {¿ dan y ` left ( { bar bar {x}} right )} {¿ adalah sama.

Sehingga kita peroleh:

E1

E2

=h1

2

h22

dan berdasarkan perbandingan itu diperoleh pula

20

E2

E2−E1

=h2

2

h22−h1

2

Karena E2−E1 = I 2−I 1 , maka diperoleh:

E2=h2

2

h22−h1

2 ( I 2−I 1) .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. ..(37 )

Oleh karena itu kita peroleh aproksimasi baru I 3 yang didefinisikan oleh:

I 3 = I 2−E2

I 3 = I 2 −h2

2

h22−h1

2 ( I 2−I 1)

I 3 =I 1 h2

2−I 2 h12

h22−h1

2. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..(38 )

Yang umumnya, formula (38) akan mendekati nilai yang sebenarnya. Bila kita

substitusikan h2=

12

h1=12

h. Persamaan (38) dapat ditulis dalam bentuk

I (h ,12

h) = 13 [ 4 I ( 1

2h)−I (h )] . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(39)

Di mana I (h )= I 1 , I ( 1

2h)= I 2 dan I (h ,

12

h) = I 3

Penulisan seperti di atas dapat dibuat daftarnya (tabel) sebagai berikut:

I ( h)

I (h ,12

h)I ( 1

2h) I (h ,

12

h ,14

h)I ( 1

2h ,

14

h) I (h ,12

h ,14

h ,18

h)I ( 1

4h) I ( 1

2h ,

14

h ,18

h)I ( 1

4h ,

18

h)

21

I ( 18

h)

Dalam perhitungan ini dapat kita hentikan bila untuk dua nilai yang berdekatan

sudah cukup berdekatan antara yang satu dengan yang lainnya. Metode ini, oleh

L. F. Richardson disebut penundaan pendekatan untuk limit dan sistematis

tabulasinya disebut Integrasi Romberg.

Contoh 9

Gunakan Metode Romberg untuk menghitung I =∫0

1 11+x

dx, teliti ke tiga

tempat desimal. Ambilah berturut-turut h = 0,5, h = 0,25, h = 0,125 dan gunakan

hasil yang diperoleh dari contoh 8.

Jawab:

Kita peroleh f (h) = 0 , 7084 , f ( 1

2h)=0 , 6970 dan f ( 1

4h)=0 ,6941

dengan

memakai formula (39) diperoleh:

f (h ,12

h)= 13 [4 I (12 h)−I (h )]

= 13

[4 (0 , 6970 )−0 , 7084 ]= 0 , 6932

Dan

f (12 h ,14

h)= 13 [4 I (14 h)−I (1

2h)]

= 13

[ 4 (0 ,6941 )−0 , 6970 ]= 0 , 6931

Akhirnya,

22

f (h ,12

h ,14

h) =13 [ 4 I (12 h ,

14

h)−I (h ,12

h)]= 1

3[4 (0 ,6931 )−0 ,6932 ]

= 0 , 6931

Tabel dari nilai tersebut adalah

0,7084    

  0,6932  

0,6970   0,6931

  0,6931  

0,6941    

Ternyata keuntungan dari Metode Romberg adalah bahwa ketelitian dari

perhitungan nilainya diketahui pada setiap langkah.

BAB IIIPENUTUP

A. Kesimpulan

Untuk menghitung derivatif kesatu dan kedua dari suatu daftar nilai x dan y

yang berkorespondensi (dengan x berjarak sama) di suatu nilai, gunakanlah

formula berikut:

23

1. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai awal, maka formula yang dipakai

adalah:

[dydx ]

x= x0

= y0' =1

h (Δ−12

Δ2 +13

Δ3−14

Δ4 +15

Δ5−16

Δ6 +17

Δ7−. . .) y0

= 1h (Δ+1

2Δ2−1

6Δ3+1

12Δ4−1

20Δ5+1

30Δ6−1

42Δ7+1

56Δ8−. . .) y−1

[d2 ydx2 ]

x= x0

= y0} size 12{ {}= { {1} over {h} } left [Δ rSup {2} size 12{ - Δ rSup {3} } size 12{+ { {11} over {12 } } Δ rSup {4} } size 12{ - { {5} over {6} } Δ rSup {5} } size 12{+ { {137} over {180 } } Δ rSup {6} } size 12{ - { {7} over {10 } } Δ rSup {7} } size 12{+ { {363} over {560 } } Δ rSup {8} } size 12{+ . . . } right ]y rSub {0} }} {} # size 12{```̀ ```= { {1} over {h rSup { size 8{2} } } } ` left (Δ rSup { size 8{3} } - { {1} over {12 } } Δ rSup { size 8{4} } + { {1} over { 12 } } Δ rSup { size 8{5} } - { {13 } over {180} } Δ rSup { size 8{6} } + { {11 } over {180 } } Δ rSup { size 8{7} } - { {29 } over {560} } Δ rSup { size 8{8} } + . . . right )y rSub { size 8{ - 1} } } {} } } {¿¿

¿

¿

2. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai tengah, maka formula yang dipakai

adalah formula Stirling berikut:

[dydx ]

x= x0

=1h [Δy−1+ Δy0

2−1

6Δ3 y−2−Δ3 y−1

2+1

30Δ5 y−3 +Δ5 y−2

2+. ..]

[d2 ydx2 ]

x= x0

=1h2 [Δ2 y−1−

112

Δ4 y−2+190

Δ6 y−3−.. .]3. Bila derivatif yang dicari dekat ke nilai akhir, maka formula yang dipakai

adalah:

[dydx ]

x= xn

=1h [∇ yn+

12

∇ 2 yn+13

∇ 3 y n+. ..][dy2

dx2 ]x=xn

=1h2 [∇2 yn+∇3 yn +

1112

∇ 4 yn+56

∇ 5 y n+. ..]4. Aturan Trapesoida untuk

∫x0

xn y dx adalah

∫x0

xn y dx = h2 [ y0+2 ( y1 + y2 +.. .+ yn−1 )+ yn ]

5. Metode Simpson untuk menghitung ∫x0

xn y dx adalah

∫x0

xn y dx = h3 [ y0+4 ( y1+ y3+ y5 +.. .+ yn−1 )+2 ( y2+ y4 +. ..+ yn−2 )+ yn ]

6. Dasar dalam Integrasi Romberg:

24

I (h ,12

h ,14

h) = I (12 h ,14

h)−13 [I (12 h ,

14

h)−I (h ,12

h)]I (h ,

12

h)= I (12 h)−13 [I (12 h)−I (h )]

B. Saran

Adapun saran yang dapat di sampaikan penulis kepada pembaca adalah

sebagai pembaca hendaknya meningkatkan pengetahuan dan menambah wawasan

referensi dengan lebih banyak membaca buku. Dan semoga dengan adanya

makalah ini dapat dijadikan sebagai referensi tambahan dalam proses

pembelajaran metode numerik khususnya dalam materi Diferensiasi dan Integrasi

Numerik.

25

DAFTAR PUSTAKA

Diktat Kulias Metode Numerik. Tidak dipublikasikan

26