Metamtika teknik 04-aplikasi nyata pd

PERTEMUAN - 4

Aplikasi Nyata Persamaan Diferensial Orde-Pertama

Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama

• Pertumbuhan dan Peluruhan • Suhu (Pendinginan/Pemanasan) • Benda Jatuh • Pengenceran Larutan • Rangkaian Listrik RL-RC


Pertumbuhan dan Peluruhan

Misalkan 𝑁 𝑡 melambangkan jumlah zat (atau populasi) yang bertumbuh atau luruh. Jika kita mengasumsikan bahwa 𝑑𝑁/𝑑𝑡, laju perubahan jumlah zat ini, proporsional terhadap jumlah zat yang ada, maka dN/dt = 𝑘𝑁 ; (k adalah konstanta), atau :

𝑑𝑁

𝑑𝑡− 𝑘𝑁 = 0 , → 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑁 𝑡 = 𝑐𝑒𝑘𝑡

Soal 4.1

Suatu kultur bakteri dari tanaman kentang

diketahui berkembang dengan laju yang proporsional. Setelah 1 jam pengamatan , jumlah bakteri berkembang menjadii 1,000 , dan setelah 4 jam menjadi 3,000. Tentukan : a) Ekspresi matematis perkiraan jumlah bakteri

yang berkembang pada setiap waktu t b) Perkirakan jumlah awal bakteri dalam kultura

yang diamati.

𝑵 𝒕 = 𝟔𝟗𝟒𝒆𝟎.𝟑𝟔𝟔𝒕, 𝑵 𝟎 = 𝟔𝟗𝟒 𝑩𝒂𝒌𝒕𝒆𝒓𝒊,


Suhu (Pendinginan/Pemanasan)

Hukum Pendinginan Newton “Laju perubahan temperatur suatu benda adalah proporsional terhadap perbedaan temperatur antara benda tersebut dan medium sekitarnya”.

𝑇 = 𝑆𝑢𝑕𝑢 𝐵𝑒𝑛𝑑𝑎 , 𝑇𝑚 = 𝑆𝑢𝑕𝑢 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑢𝑚 , 𝑑𝑇/𝑑𝑡 = 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑕𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑕𝑢 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −𝑘 𝑇 − 𝑇𝑚 , 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇𝑚

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛𝑎𝑛 ∶ 𝑇 > 𝑇𝑚 ; 𝑃𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠𝑎𝑛 ∶ 𝑇 < 𝑇𝑚

Soal 4.2

Sebuah karkas daging dari dalam lemari pembeku

dikeluarkan dan diletakkan pada ruangan dengan suhu konstan 30 celcius. Jika setelah 10 menit suhu daging tersebut menjadi 0 celcius dan setelah 20 menit menjadi 15 celcius. Tentukan berapa suhu awal karkas daging tersebut ?

𝑻𝟎 = −𝟑𝟎 𝒐𝑪𝒆𝒍𝒄𝒊𝒖𝒔


Benda Jatuh

Hukum II Newton : “Gaya netto yang bekerja pada benda sebanding dengan laju perubahan momentum benda tersebut (untuk massa dan gravitasi konstan)”.

𝐹 = 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 , 𝑣 = 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 , 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎, 𝑡 = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

𝐹 = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑘𝑎𝑛 𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 −𝑘 ∶

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝑘

𝑚𝑣 = 𝑔 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 0 ; 𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑔 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 > 0 ;

𝑚𝑔

𝑘= 𝑣1

Soal 4.3

Sebuah benda seberat 64 lb dijatuhkan dari ketinggian

100 ft dengan kecepatan awal 10 ft/det dengan hambatan udara yang proporsional terhadap kecepatan benda tersebut. Jika v limit diketahui sebesar 128 ft/det, dan g sebesar 32 ft/𝑑𝑒𝑡2 tentukan : a) Ekspresi matematis untuk kecepatan benda pada

setiap waktu t b) Ekspresi matematis untuk posisi benda pada setiap

waktu t

𝒗 = −𝟏𝟏𝟖𝒆−𝒕𝟒 + 𝟏𝟐𝟖 𝒙 = 𝟒𝟕𝟐𝒆−𝒕/𝟒 + 𝟏𝟐𝟖𝒕 − 𝟒𝟕𝟐


Pengenceran Larutan

𝑉0 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟

𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

𝑓 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑚

𝑏 𝑔𝑟𝑎𝑚

𝑄= Jumlah zat dalam tangki pada setiap waktu 𝑡

Laju perubahan 𝑑𝑄/𝑑𝑡 sama dengan laju masuknya zat kedalam tangki dikurangi dengan laju keluarnya zat dari tangki.

Volume larutan pada setiap waktu :

𝑉0 + 𝑒𝑡 − 𝑓𝑡

Konsentrasi zat didalam tanki pada setiap waktu adalah :

𝑓𝑄


𝑄


Zat keluar dari tangki dengan laju :

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑓

𝑉0 + 𝑒 − 𝑓 𝑡𝑄 = 𝑏𝑒

atau :

Soal 4.4

Sebuah tanki awalnya menampung 100 liter larutan pemanis

yang mengandung 1 kg gula. Pada t = 0 larutan pemanis lainnya yang mengandung 1 kg gula per liter dituangkan kedalam tanki tersebut dengan laju 3 liter/menit, sementara campuran pemanis yang sidah teraduk sempurna keluar dari tanki dengan laju yang sama. Tentukan ; a) Jumlah gula dalam tanki pada setiap waktu t dalam

persamaan matematis b) Waktu yang dibutuhkan sehingga campuran dalam tanki

mengandung 2 kg gula.

Soal 4.4

Sebuah tanki awalnya menampung 100 liter larutan pemanis

yang mengandung 1 kg gula. Pada t = 0 larutan pemanis lainnya yang mengandung 1 kg gula per liter dituangkan kedalam tanki tersebut dengan laju 3 liter/menit, sementara campuran pemanis yang sidah teraduk sempurna keluar dari tanki dengan laju yang sama. Tentukan ; a) Jumlah gula dalam tanki pada setiap waktu t dalam

persamaan matematis b) Waktu yang dibutuhkan sehingga campuran dalam tanki

mengandung 2 kg gula.

𝑸 = −𝟗𝟗𝒆−𝟎.𝟎𝟑𝒕 + 𝟏𝟎𝟎 𝒕 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟖 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

Soal 4.5

Sebuah tanki dengan kapasitas 50 liter awalnya menampung 10

liter air tawar. Pada t = 0, suatu larutan air asin yang mengandung 1 kg garam per liter dituangkan ke dalam tanki dengan laju 4 liter/menit, sementara campuran yang sudah teraduk sempurna keluar dari tanki dengan laju 2 liter/menit. Tentukan : a) Waktu yang diperlukan sampai terjadi luapan tanki b) Jumlah garam dalam tanki sampai terjadi luapan

Soal 4.5

Sebuah tanki dengan kapasitas 50 liter awalnya menampung 10

liter air tawar. Pada t = 0, suatu larutan air asin yang mengandung 1 kg garam per liter dituangkan ke dalam tanki dengan laju 4 liter/menit, sementara campuran yang sudah teraduk sempurna keluar dari tanki dengan laju 2 liter/menit. Tentukan : a) Waktu yang diperlukan sampai terjadi luapan tanki b) Jumlah garam dalam tanki sampai terjadi luapan

𝑸 = 𝟒𝟖 𝒌𝒈 𝒕 = 𝟐𝟎 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕


Pengenceran Larutan

A gram B gram

C liter/menit

D liter/menit

X1 X2

𝑑𝑥

𝑑𝑡: Laju perubahan jumlah garam di tanki = jumlah

laju garam yang masuk – laju jumlah garam keluar

A gram B gram

C liter/menit D liter/menit

X1 X2

Dua buah tanki yang masing-masing mempunyai volume 100 liter

berisi larutan garam dengan konsentrasi yang berbeda. Pada permulaanya, tanki I berisi garam sebesar 20 gram dan tangki II sebesar 10 gram. Pada waktu awal (t=0), air murni dialirkan ke tangki I dengan debit 2 liter/menit. Campuran dari tanki I masuk ke tangki II. Campuran di tangki II dialirkan keluar dengan debit sama 2 liter/menit. Tentukan banyaknya garam dimasing-masing tanki setiao saat (pada waktu t) setelah proses berlangsung.

E liter/menit


Rangkaian Listrik RL

𝑑𝐼

𝑑𝑡+

𝑅

𝐿𝐼 =

𝐸

𝐿

𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎,

𝐼 = 𝐴𝑟𝑢𝑠 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 𝑅 = 𝐻𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑜𝑕𝑚 𝐿 = 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑕𝑒𝑛𝑟𝑦 𝐸 = 𝑇𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 (𝑣𝑜𝑙𝑙𝑡)


Rangkaian Listrik RC

𝑑𝑞

𝑑𝑡+

1

𝑅𝐶𝑞 =

𝐸

𝑅

𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎,

q= 𝑀𝑢𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏) 𝑅 = 𝐻𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑜𝑕𝑚

𝐶 = 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑠𝑖𝑡𝑎𝑛𝑠𝑖 (𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑) 𝐸 = 𝑇𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 (𝑣𝑜𝑙𝑙𝑡)

; 𝐼 =𝑑𝑞

𝑑𝑡

Soal 4.6

Sebuah rangkaian RL memiliki tegangan 5 volt, resistansi 50

ohm, induktansi 1 henry dan tanpa arus awal. Tentukanlah nilai arus awal dalam rangkaian tersebut pada setiap waktu t.

Sebuah rangkaian RC memiliki tegangan (volt) yang

dinyatakan dalam 400 , resistansi 100 ohm dan kapasitansi 0.02 farad. Awalnya tidak ada muatan dalam kapasitor. Carilah arus dalam rangkaian tersebut pada setiap waktu t.

(a)

(b)

𝑰 = −𝟏

𝟏𝟎𝒆−𝟓𝟎𝒕 +

𝟏

𝟏𝟎

𝑰 = 𝟒𝒆−𝟎,𝟓𝒕

PERTEMUAN - 4

Terima Kasih

Metamtika teknik 04-aplikasi nyata pd

Engineering

Transcript of Metamtika teknik 04-aplikasi nyata pd