PD Handout

download PD Handout

of 22

  • date post

    09-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    225
  • download

    10

Embed Size (px)

description

kalkulus teknik sipil

Transcript of PD Handout

  • Persamaan Diferensial BiasaKalkulus 2 TI, Matematika 2 TS

    Livia Owen, Farah Kristiani

    Universitas Katolik Parahyangan

    April 27, 2015

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 1 / 22

  • Definisi persamaan diferensialPersamaan yang meliputi turunan fungsi satu atau lebih variabel terikatterhadap satu atau lebih variabel bebas.

    Solusi persamaan diferensialKebenaran suatu solusi PD dapat diperiksa dengan cara mensubstitusikanfungsi solusi tersebut dan turunannya ke PD.

    Solusi umum : Solusi yang masih mengandung konstanta esensial,biasa dimisalkan CContoh : dydt 3y = 1 mempunyai solusi umum y = 13 + Ce3tSolusi khusus : Solusi tidak mengandung konstanta esensial karenaadanya syarat awal atau syarat batasContoh : dydt 3y = 1, y(0) = 1 mempunyai solusi khususy = 13 + 43e3t

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 2 / 22

  • Klasifikasi

    Pers.Dif.Biasa (PDB) : Jika turunan fungsi hanya bergantung darisatu variabel bebas.

    Pers.Dif.Parsial (PDP) : Jika turunan fungsi bergantung lebih darisatu variabel bebas.

    Orde : pangkat tertinggi dari turunan dalam pers diferensial.Bentuk umum PDB orde n untuk y fungsi dari t :

    F (t, y , y , y, . . . , y (n)) = 0 (1)

    Linear : Jika variabel terikat dan turunannya berpangkat satu dengankoefisien konstanta atau koefisien yang bergantung pada variabelbebasnya. Jika tidak, PD dikatakan Non Linear.Bentuk umum PDB linear orde n untuk y fungsi dari t adalahpersamaan (1) dengan F fungsi linear atau

    an(t)y(n)+an1(t)y (n1)+. . .+a2(t)y+a1(t)y +a0(t)y = g(t) (2)

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 3 / 22

  • Klasifikasi

    Homogen : Jika pada ruas persamaan kiri PD tersebut hanyamengandung variabel terikat dan turunannya beserta koefisiennya,sedangkan ruas kanan yang tersisa hanya nol. Jika pada ruas kananterdapat variabel bebas / konstanta maka PD tsb Non Homogen.

    Masalah Nilai Awal : Masalah yang melibatkan waktu dandipresentasikan pada PDB bersama-sama dengan nilai awalnya.Contoh : dydt = y , y(0) = 10 artinya nilai awal saat t = 0 adalahy = 10

    Masalah Nilai Batas : Masalah yang melibatkan daerah (untukdimensi 2) atau interval (untuk dimensi 1) dan dipresentasikan padaPDB bersama-sama dengan syarat-syarat batasnya.

    Contoh : d2y

    dx2= y , y(0) = 1, y(l) = 0 artinya syarat batas saat x = 0

    adalah y = 1 dan saat x = l adalah y = 0

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 4 / 22

  • Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

    dy

    dx= f (x)

    dy = f (x)dxdy =

    f (x) dx

    Solusi umum : y = F (x) + C

    Solusi khusus : substitusi y(x0) = y0 dan carilah nilai C

    Carilah solusi umum dan khusus dari PDB berikut1

    dydx = 2x dengan y(1) = 2

    2dydx = x ln x dengan y(1) = 0

    3 f (x) = 2 dengan f (0) = 3 dan f (0) = 44 y = x sin(x2) dengan y(0) = 35 y = ex

    ex + 3 dengan y(0) = 1

    6 f (x) = x + 1x3

    dengan f (2) = 1 dan f (2) = 07 f (x) = sin 3x dengan f (pi) = 2 dan f (pi) = 3

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 5 / 22

  • Metode pemisahan variabel

    dy

    dx= f (x) g(y)

    dy

    g(y)= f (x)dx

    dy

    g(y)=

    f (x) dx

    belum tentu ln |g(y)| = F (x) + CCarilah solusi umum dan khusus (jika ada nilai awal) dari PDB orde 1

    1dydx = 6xy di titik (0,7)

    2dydx =

    x+3x2

    y2bila y = 6 saat x = 0

    3dydx = 2y + 3

    4dydx = ay + b

    5 (x ln x) y = y6

    dydt = y y2

    7dydt =

    1+y2

    tLivia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 6 / 22

  • Soal Terapan Metode pemisahan variabel

    1 Diketahui laju pertumbuhan suatu bakteri berbanding lurus denganjumlah bakteri pada saat itu. Bakteri A akan meningkat jumlahnyamenjadi 2 kali semula dalam 3,5 detik. Bakteri B akan meningkatjumlahnya menjadi 3 kali semula dalam 2,75 detik. Jika mula-mulajumlah bakteri A (misalkan A0) = 48 kali jumlah bakteri B(misalkan B0) , pada detik keberapa jumlah bakteri A sama denganjumlah bakteri B? Petunjuk : ln 2 0, 7 ln 3 1, 1

    2 Jika glukosa diinfuskan ke dalam aliran darah seorang pasien denganlaju 3 gram/menit, maka badan pasien akan mengubah danmemindahkan glukosa tersebut dari darahnya dengan laju 0, 02 kalijumlah glukosanya pada setiap saat. Jika Q (t) menyatakan jumlahglukosa dalam darah pada saat t dan Q (0) = 120 gram, tentukan :

    1 PD untuk laju perubahan jumlah glukosa dalam darah pada setiap t.2 Solusinya!3 Apa yang terjadi pada Q dalam jangka panjang!

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 7 / 22

  • Soal Terapan Metode pemisahan variabel

    3 Di suatu kamar hotel ditemukan mayat di dalam kamar yang bersuhutetap 70F . Pada jam 12 siang suhu mayat adalah 80F dan 1 jamkemudian suhunya 75F (suhu orang sehat 98, 6F ), dengan asumsipendinginan suhu mayat mengikuti hukum pendinginan Newton.Polisi pergi berkonsulatsi ke Prof. Calculus untuk menanyakan jamterjadinya penbunuhan. Bantulah Prof. Calculus untuk menentukanjam terjadinya pembunuhan tersebut! Petunjuk :

    1 Hukum pendinginan Newton : laju perubahan suhu benda berbandinglurus dengan selisih antar suhu benda dan suhu medium

    2 ln 2, 86 = 1, 05 dan ln 0, 5 = 0, 7

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 8 / 22

  • Faktor Integrasi

    dy

    dt+ a y = g(t)

    eatdy

    dt+ eata y = eatg(t)

    IngatDt [u.v ] = u.v + u.v

    Dt[eat y(t)

    ]= eatg(t)

    eaty(t) =

    eatg(t) dt + C

    y(t) = eat tt0

    easg(s) ds + Ceat

    Pengali eat disebut faktor integrasi

    (t) = ea dt

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 9 / 22

  • Faktor Integrasi

    dy

    dt+ p(t) y = g(t)

    Faktor integrasi : (t) = ep(t) dt

    (t)dy

    dt+ (t)p(t) y = (t)g(t)Dt [(t) y(t)] = (t)g(t)

    (t)y(t) =

    (t)g(t) dt + C

    y(t) =1

    (t)

    [ tt0

    (s)g(s) ds + C

    ]

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 10 / 22

  • Latihan Faktor Integrasi

    dy

    dt+ p(t) y = g(t)

    Faktor integrasi : (t) = ep(t) dt

    y(t) =1

    (t)

    [ tt0

    (s)g(s) ds + C

    ]1 x3 dydx + x

    2y = 2x3 + 1

    2 dydx y = 2ex3 , y(0) = 0

    3 (x2 + 1)dydx + 3xy = 6x

    4 dydx +2x y =

    sin 3xx2

    5 y = 2y + cos x6 x dy + (3 x) y dx = 07 x3y +

    (2 3x2) y = 0

    8 y = 2x + 3y , y (0) = 2Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 11 / 22

  • Soal Terapan Faktor Integrasi

    Sebuah tangki mula-mula berisi 120 galon air asin, larutan tsbmengandung 75 pon garam laut. Air garam yang berisi 1,2 pon garam pergalon memasuki tangki pada laju 2 galon per menit dan air asin keluartangki dengan laju yang sama. Jika campuran tsb dipertahankan seragamdengan cara tetap mengaduknya, tentukan banyaknya garam dalam tangkisetelah 1 jam.

    Misal Q(t) menyatakan jumlah garam saat t.

    dQ

    dt= rate in - rate out

    dQ

    dt= 1, 2pon/galon 2galon/menit Q

    120pon/galon 2galon/menit

    dQ

    dt= 2, 4 1

    60Q

    dengan nilai awal Q(0) = 75.

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 12 / 22

  • 2.3 Pemodelan dengan PD orde 1

    Solusi PD Q = 144 69et/60

    Untuk jangka waktu yang lama, apakah konsentrat air di dalam tangki tsbkonstan? Berapa banyaknya garam?jaw : y(t ) = 144 dan konsentrat 1,2

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 13 / 22

  • PD Eksak

    (hanya untuk T.Sipil, TI tidak termasuk bahan)

    M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0

    M

    y=

    N

    x

    Solusi : Akan dicari F (x , y) = C yang memenuhi

    F

    x= M dan

    F

    y= N

    Buktikan PD berikut eksak dan cari solusinya

    1 2xydx +(x2 + y2

    )dy = 0

    2 eydx + (xey + 2y) dy = 0

    3 (2xy 3) dx + (x2 4y) dy = 0, y (1) = 2Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 14 / 22

  • Persamaan Diferensial Orde 2 Homogen

    ad2y

    dt2+ b

    dy

    dt+ cy = 0

    ay + by + cy = 0

    y = et adalah solusi PDB tersebut sehingga (a2 + b+ c)et = 0.Karena ex 6= 0 maka persamaan karakteristik

    (a2 + b+ c) = 0

    1 dan 2 adalah akar-akar karakteristik.

    Review SMA

    1,2 =b b2 4ac

    2a

    Diskriminan D = b2 4ac1 D > 0 2 akar riil beda2 D = 0 2 akar riil sama3 D < 0 2 akar kompleks

    Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 15 / 22

  • PDB Orde 2 Homogen1 2 akar riil beda 1 6= 2

    yh = C1e1t + C2e

    2t

    Contoh : y + 5y + 6y = 0 dengan y(0) = 2, y (0) = 3