Mekanikastatistik- Pendahuluan Teori Ensembel

7/24/2019 Mekanikastatistik- Pendahuluan Teori Ensembel

1/14

2/2/20

Pendahuluan Teori Ensembel

dan Ensembel Mikrokanik

Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 7

Ruang Fasa Klasik (Classical Phase Space) Model : Gas dalam volum V sejumlah N partikel klasik yang terbedakan.

Satu keadaan dari sistem ini dikarakterisasi oleh 1 buah koordinat di ruang

fasa yang berdimensi 6N yaitu : (q1,..,qN, p1,,pN) denganqkadalah posisi

partikel ke-k danpk: momentum partikel ke-k. Titik ini disebut juga titik fasa

(phase point)

Ruang fasaterdiri dari 6 koordinat (x,y,z, Px,Py,Pz), setiap keadaan 1 partikeldiwakili oleh 1 titik.

Ruang yg berdimensi 6N, dengan koordinat di atas disebut ruang fasa ().

Sketsa gambar di bawah ini menunjukkan hubungan ruang fasadan dalammenggambarkan 1 sistem N partikel yang sama:

r(x,y,z)

(Px, py, pz)

r1,,rN

P1,,pN

1 partikel

1 sistem N

partikel

1 sistem N

partikel

1 sistem N

partikel

Simbolik Ruang Fasa Simbolik Ruang Fasa


2/14

2/2/20

Dinamika sistem N partikel dinyatakan oleh koordinat posisi sebanyak 3Nq={q1,,qN} dan momentum p={p1,p2,pN},denganqk, pk: koordinat vektor

posisi dan momentum partikel ke k.

Misal hamiltonian sistem diberikan oleh : H= H(p1,p2,pN, q1,q2,qN,), maka

persamaan gerak sistem diberikan oleh (perkomponen):

Njq

Hq

q

Hp

j

j

j

j 3,..,1

Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian)

Spefisikasi keadaan 1 sistem N partikel ini akan diberikan oleh 3N+3N koordinat

posisi dan momentum {q,p}. Tiap titik di ruang fasa mewakili satu keadaan

sistem. Evolusi sistem N-partikel ini akan berupa trayektori di ruang fasa .

Jika sistem konservatif (kekekalan energi), maka berlaku

H(q,p)= E= konstan.

Gas dengan keadaan makroskopik tertentu (misal P,V,T) akan terkait dengan

sejumlah sangat besar keadaan mikroskopik {q,p} yang semuanya akan

memiliki keadaan makroskopik yang sama!

Kumpulan dari sistem-sistem dengan keadaan makroskopik yang sama ini

disebut sebagai ENSEMBEL.

Dalam limit thermodinamika (N--> tak hingga, N/V : berhingga}, maka

kumpulan titik-titik di ruang fasa tsb dapat didekati sebagai kontinuum.

Sehingga jumlah total keadaan mikroskopik di ruang fasa tsb, akan diberikan

oleh volume sbb:

: jumlah seluruh keadaan mikroskopik sistem yang

berada di dalam volum d3Np d3Nq. Dengan fungsi = (q,p,t) adalah fungsi rapat keadaan.

Sehingga deskripsi evolusi sistem diberikan oleh fungsi (p,q,t).

pqddt NN 33),,( pq

Ensembel dan Fungsi Rapat Keadaan


3/14

2/2/20

Kecepatan Evolusi Titik-titik Fasa

Di ruang fasa, titik-titik fasa {q,p} akan bergerak dengan kecepatan yangdiberikan oleh vektor kecepatan:

},{ pqv

Gerak titik ini di akan terbatas dalam volume di sebab TOTAL ENERGI dan

momentum sistem sudah tertentu dan terbatas.

Tinjau sekumpulan (ensembel) titik-titik representasi sistem yang terkait

dengan makroskopik yang sama di ruang .

Sejalan dengan t, titik-titik tsb akan bergerak (mengalir), pergerakan ini

digambarkan oleh evolusi dari fungsi kerapatan (q,p,t).

Rata-rata Ensembel

pqpq

pqpqpq

NN

NN

ddt

ddtff

33

33

),,(

),,(),(

Dengan mengetahui ini dapat dihitung rata-rata dari suatu besaran f tertentu

(rata-rata ensembel):

Integral tsb prinsipnya dilakukan di seluruh ruang fasa 6N-D, akan tetapi secara

efektif, hanya perlu dilakukan dimana 0 saja.

Suatu ensembel disebut stasioner kalau nilai bukan fungsi waktu (t) secara

eksplisit, yaitu jika

Untuk ensembel stasioner, maka nilai rata-rata ensembelnya juga tidak

bergantung waktu, jadi independent dari waktu.

0

t


4/14

2/2/20

Tinjau suatu elemen volume d dengan luas permukaan di ruang fasa .

Laju (rate) penambahan jumlah titik dalam elemen volum diberikan oleh:

Sedangkan laju netto arus titik-titik yang menembus keluar permuakaan batas :

Teorema Liouville: Pergerakan Titik Representasi

0

t

n

v

d

pqqp NN ddddt

t

33),,(

dt nvqp ),,(

Menurut teorema Divergensi Gauss maka :

Dengan divergensi ruas kanan adalah:

Karena titik-titik representasi dlm ruang fasa kekal (tidak ada sumber atau

sumur), maka berlaku hukum kekekalan jumlah titik representasi, sehingga:

Atau:

Pers. Ini harus berlaku tak peduli berapapun ukuran , sehingga mestilah:

Pers. Kontinutas/Liouville:

Persamaan Kontinuitas/Liouville

N

k k

k

k

k3

1

)(p

p

q

qv

dd )( vnv

dd

t

)( v

0)(

dt

v

0)(

t

v


5/14

2/2/20

Jadi mestilah:

Tetapi suku terakhir =0, sebab berlaku :

Sehingga: atau

Sedang suku kedua dapat dituliskan sbg:

Teorema Liouville

03

1

N

k k

k

k

k

t p

p

q

q

03

1

3

1

N

k k

k

k

kN

k

k

k

k

kt p

p

q

qp

pq

q

kkk

k

k

k

HH

pqq

q

pq

2

kkk

k

k

k

HH

qpp

p

qp

2

0

k

k

k

k

p

p

q

q 0

3

1

22

N

k kkkkk

HH

ppqpq

kkkk

k

k

k

k q

H

pp

H

qp

pq

q

Berarti pers kontinutas menjadi:

Atau dapat dituliskan sbg:

Telah dipakai definisi Poisson Bracket :

Berarti secara umum karena d/dt=0, maka jumlah titik kekal dan aliran titik tsb

seperti fluida incompressible.

Jikalau ensembel stasioner atau dalam

Kesetimbangan maka akibatnya:

atau {,H}=0

Teorema Liouville

03

1

dt

d

t

N

k

k

k

k

k

p

pq

q

03

1

N

k

k

k

k

k

pp

qq

0

t

0},{

Htdt

d

N

k kkkk q

H

pp

H

qH

3

1

},{


6/14

2/2/20

Solusi dari kondisi stasioner ini adalah(1) jika: independent dariqdanp!

Dengan adalah daerah dimana titik-titik fasa (microstate) memenuhi syarat

batas persoalannya.

Nilai fungsi rapat keadaan = konstan, artinya sembarang nilai(q,p) punya nilai

sama untuk muncul! Asal di dalam volume yg memenuhi syarat batas!

Prinsip Equal Apriori Probability:

Setiap keadaan mikroskopik (microstate) yg berkenaan dengan keadaan

makroskopik (macrostate) yang sama (syarat batas), memiliki peluang yang sama

untuk muncul atau terpilih.

Akibatnya nilai rata-rata besaran f(q,p) diberikan oleh:

Postulate : Equal Apriori Probability

lainnya

kons

0

),(tan),(

pqpq

pqddtf

f

NN 33),,(),( pqpq Ensembelmikrokanonik

Ensembel Mikrokanonik1. Hypersurface

2. Hypershell

,H q p E

1

,2

H q p E

f rata-rata ensembel f = rata-rata thd waktu f

= rata-rata thd waktu f 2 perata2an ini independen

= rata-rata waktu f dari 1 anggota ensembel untuk t lama sekali

= fterukur

Jika0 volume (fundamental) yg berisi 1 keadaan microstate, makabanyak keadaan untuk volume adalah:

Kaitan mekanika statistik dengan thermodinamika diberikan oleh definisi:

lainnya

C

0

),(),(

pqpq

0

lnkS

2/

33

2/

33),,(EH

NN

EH

NN pqddCpqddtpq volume Hypershell


7/14

2/2/20

Mengapa S=k ln

Secara termodinamika, kesetimbangan termal jika temperatur sistem

sama (T1=T2).

Bagaimana hal ini dipahami di Mekanika Statistik?

Definisikan (N,V,E)= banyak microstate terkait dengan macrostate

dengan nilai besaran (N,V,E).

Tinjau 2 buah sistem makroskopik 1 dan 2 yg dipisah dinding diathermal.

Gabungan sistem 1+2 terisolasi.

Asumsi

N1,N2: konstan

V1, V2: konstan E0= E1+E2= konstan

N1,

E1V1

N2,E

2V2

Kesetimbangan Thermal Dalam

Mekanika Statistik

Banyak keadaan sistem-1 : 1(N1,V1,E1)

Banyak keadaan sistem-2 : 2(N2,V2,E2)

Banyak keadaan sistem 1+2, dimana energi sistem 1: E1dan sistem 2: E2adalah:

(E1,E2) = 1(E1)2(E2) = 1(E1)2(E0-E1)

Kesetimbangan tercapai = nilai E1yg memaksimalkan (E1,E2)

Saat kesetimbangan berarti : d/dE1=0

0)()(

)()(

11

*1

2222

*1

11

*1 221111

E

E

EE

E

E

E EEEEEE

0)()(

)()(

11

1

2

*2

2222

*1

11

*1 221111

EE

E

E

EE

E

E

EEEEEEE


8/14

2/2/20


Mekanika Statistik

Karena E0=E1+E2, maka saat kesetimbangan thermal :

Bandingkan dengan kesetimbangan thermal menurut thermodinamika,

yaitu T1= T2, dan

)()(

)()(

11

*2

2222

*1

11

2211

EE

EE

E

E

EEEE

2211 *2

22

12*1

11

11

)(

)(

1)(

)(

1

EEEE E

E

EE

E

E

2211 *2

22

*1

11 )(ln)(ln

EEEE E

E

E

E

TE

S

VN

1

,


Mekanika Statistik

Maka ln sebanding dengan S (entropi thermodinamika). Planck

mengusulkan :

Dengan k: konstanta Boltzmann.

Dalam limit thermodinamika, formulasi yang ekivalen dari bentuk diatas

adalah :

(E) : banyak keadaan dengan H < E

(E) : density of states (d/dE)

)(ln EkS

)(ln EkS

)(ln EkS


9/14

2/2/20

Berapa Besar Fundamental Volume 0?

Tinjau kasus Osilator harmonis 1D.

Hamiltonian sistem :

Persamaan geraknya :

Dengan solusi umum :

Energi total osilator E :

Persamaan trayektori di ruang fasa (q,p) untuk H=E=konstan Permukaan

0 qm

kq

m

pkqpqH

22

1),(

22

)cos()(0

tAtq

222

2

1

2

1AmkAE

Em

pk

qEH 2/2

22

12/2

22

mEp

kEq

Persamaan Ellips

2mk

12/2

2

2

2

mEp

mEq

Volume (Luas) ellips di ruang fasa

Luas kulit ellips dengan energi antara

E-1/2dan E-1/2:

Berapa Besar Fundamental Volume 0?

q

pmE2

2/2 mE

E

mEmEA 2

/22 2

2)2/1()2/1(

2

2/12/1

EEdqdpAEHE

Menurut Mekanika Kuantum, energi Osilator Harmonis : En= (n+1/2)

Jadi jarak antara 2 energi berdekatanE=

Berarti nilaiterkecil : = Luas terkecil di ruang fasa yang berisi 1 status keadaan:

Volume fundamental di ruang fasa yg berisi 1 status keadaan:0=h

Hal ini berlaku umum, pxterkecilberisi 1 status keadaan = h

Sehingga secara umum: untuk N partikel banyak status keadaan :

hA

2

Nh3


10/14

2/2/20

Banyak Keadaan Ensembel Mikrokanonik

2/

33

32/

33 1),,(EH

NN

NEH

NN pqddh

pqddtpq

Jadi banyak status keadaan untuk ensembel mikrokanonik :

Batasan Volume di ruang fasa dapat diganti menjadi : hypersurface atau

hypervolume

Strategi Menerapkan Ensembel

Mikrokanonik

1. Dapatkan Hamiltonian sistem yang terisolasi

2. Hitung banyak keadaan untuk :

H= E= konstan = hypersurface

E-/2 < H < E+/2 : hypershell

H < E = konstan : hypervolume

3. Hitung banyak keadaan microstate:

, atau atau

4. Pakai definisi entropi S = k ln , atau k ln atau k ln

5. Pecahkan persamaan U = fungs (S,V) dengan U=E= energi sistem6. Pakai hubungan-hubungan Thermodinamika, misalnya:

USV V

ST

S

UP

S

UT


11/14

2/2/20

Strategi Menerapkan Ensembel

Mikrokanonik

Serta berbagai hubungan thermodinamika yg lain spt:

A = U TS

G = U+PV TS

V

VT

UC

Partikel Tunggal bebas dalam Volume V

mEppp

zyx

mEpppVEH

zyxzyx

dpdpdph

Vpdqd

hpqddt

2)(

3

2)(

33

3

33

1222222

1),,( pq

m

pppH

zyx

2

222

3

3

4pVp

3

3

13

4)(

h

pVp

mEp 22

3

2/3

13

)2(4)(

h

mEVE

Hamiltonian Partikel tunggal bebas :

Banyak keadaan dalam hypervolume dengan

H


12/14

2/2/20

Gas Ideal dalam Volume V

mEpppV

N

NEH

NN

N

iziyix

pdqdh

pqddt2

33

3

33

222

1),,( pq

N

i

iziyix ppp

mH

1

222

2

1

)12

3(

)2()(

)12

3(

)(2/32/3

3

32/3

3

N

mEEV

N

RRV

NN

N

NN

N

Hamiltonian N partikel bebas dalam volume V :

Banyak keadaan dalam hypervolume dengan

H


13/14

2/2/20

Gas Ideal dalam Volume V

Sehingga entropi dapat diaproksimasi sbb:

Untuk menurunkan berbagai perilaku thermodinamika, tuliskan E sebagai

fungsi E:

Temperature T: atau

Persamaan keadaan diperoleh dari :

2

3

3

4ln),(

2/3

2

Nk

Nh

mEVNkVES

Nk

U

S

UT

V 3

2

1

3

2exp

4

3),(

3/2

2

Nk

S

V

N

m

hVSEU

NkTU2

3

VNkT

VU

VUP

S

3

2

Paradox Gibbs


14/14

2/2/20

2.5. Quantum States & the Phase

SpacePhase space volume of 1 quantum state may

be estimated from the uncertainty principle:q p

Among the first to suggest 0DoF

h

are Tetrode, Sackur, & Bose.

Bose (black-body radiation) :h

pc

3 3d q d p

2

4 h h

Vc c

23

3

4h V

c

Cf. Rayleighs number of modes2

3

4V

c

30 h

for photons

Caution: Above formulae consider only a single polarization component.

Mekanikastatistik- Pendahuluan Teori Ensembel

Documents

Transcript of Mekanikastatistik- Pendahuluan Teori Ensembel