INTEGRAL

A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU

Jika kita mengambil buku dari tempatnya maka kita dapat mengembalikannya lagi ke tempat semula.

Operasi yang kedua ”menghapus” operasi yang pertama. Kita katakan bahwa dua operasi tersebut

adalah operasi balikan (invers). Dalam matematika banyak sekali ditemukan pasangan operasi invers,

yaitu penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar,

serta penarikan logaritma dan penghitungan logaritma. Sekarang kita akan mengkaji operasi invers

dari derivatif yaitu antiderivatif.

1.1. Definisi

F(x) dinamakan antiderivatif dari suatu fungsi f(x) dalam interval [a, b] jika untuk setiap titik dalam

interval tersebut berlaku:

'F x f x .

1.2. Contoh:

Misal diberikan fungsi f(x) = x5. Dari definisi di atas maka F(x) = 6

6x, karena berlaku:

'

66 1 51

' .6.6 6

xF x x x

pada ),( . Perhatikan bahwa jawaban tersebut ternyata bukan satu-satunya jawaban yang

benar, karena berlaku F(x) = 6

6x + 7 maupun F(x) =

6

6x 7 juga jawaban yang benar, sehingga untuk

contoh ini jawaban umumnya adalah F(x) = 6

6x + c.

Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

dxxf )( = F(x) + c.

Integral tersebut dinamakan “integral tak tentu”, karena hasilnya masih memuat c (suatu konstanta).

Dalam hal ini:

a) f(x) disebut sebagai integran.

b) F(x) disebut sebagai elemen integrasi.

c) c disebut sebagai konstanta integrasi.

RANGKUMAN MATERI

Secara umum, anti derivative dapat kita nyatakan sebagai berikut:

B. Rumus-rumus Dasar

Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada integral tak tentu:

1. 1

, 11

nn x

x dx c nn

2. 1 ln

dxx dx x c

x

3. b dx bx c

4. sin cosx dx x c

5. 1

sin cosmx n dx mx n cm

6. cos sinx dx x c

7. 1

cos sinmx n dx mx n cm

8. tan ln cosx dx x c

9. cot ln sinx dx x c

10. sec ln sec tanx dx x x c

11. 2

2sec tan

cos

dxxdx x c

x

12. 2

2cosec cot

sin

dxxdx x c

x

13. 11sin cos sin

1

m mx xdx x cm

14. 11cos sin cos

1

m mx xdx x cm

15. sec tan secx x dx x c

16. csc cot cscx x dx x c

17. x xe dx e c

18. ca

adxa

xx

ln

19. 2

1arctan

1x c

x

20. 2 2

1arctan

dx xc

a aa x

21.

c

xa

xa

axa

dxln

2

122

22.

cxx

dxarcsin

1 2

23. 2 2

arcsindx x

caa x

24. 2

arcsec 1

dxx c

x x

25.

caxxax

dx 22

22ln

f (x)dx f(x) C

Contoh:

a) 5x ...

Jawab:

Perhatikan bahwa:

n n 11x dx x c, syarat n -1

n 1

Dengan demikian,

5 5 1 61 1x dx x c x c

5 1 6

b) 22x 3x 4dx ...

Jawab:

Perhatikan bahwa:

n n 1aax dx x c, syarat n -1

n 1

Dengan demikian,

2 3 22 32x 3x 4dx x x 4x c

3 2

Latihan:

1. x ...

2. x 3 ...

3. 2x 4 ...

4. 2x ...

5. 3x ...

6. 54x ...

7. 1

2x ...

8. 5

9x ...

9. 3

45x ...

10. 2x 3x ...

11. 2x x 4 ...

12. 22x 3x 2 ...

13. 3 24x 3x 2x ...

14. 5 4 64x 5x 2x ...

15. 7 8 92x x 2x ...

Contoh:

C. Integral Substitusi

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan integral adalah metode substitusi, yaitu

sebagai berikut:

a) 42x x 5 dx ...

Jawab:

Perhatikan bahwa:

2 2d x 5 d x 52x xdx

dx 2

Dari sini akan kita peroleh:

4 42 2

42 2

4 12

52

x x 5 dx x 5 xdx

x 5 d x 5

1x 5 c

4 1

1x 5 c

5

b) 42 3x 3x 5 dx ...

Jawab:

42 3x 3x 5 dx ...

Substitusi

3 2 2du 1U 3x 5 9x x dx du

dx 9

Sehingga diperoleh:

42 3 4

4 1

5

53

1x 3x 5 dx U du

9

1 1U c

9 4 1

1U c

45

13x 5 c

45

Cara lain:

Perhatikan bahwa:

3 3

2 2d 3x 5 d 3x 5

9x x dxdx 9

.

Dari sini akan kita peroleh:

n 1n f(x)

f '(x) f(x) dx cn 1

4 42 3 3 2

343

43 3

4 13

53

x 3x 5 dx 3x 5 x dx

d 3x 53x 5

9

13x 5 d 3x 5

9

1 1. 3x 5 c

9 4 1

13x 5 c

45

Latihan:

1. 22 32x 3x 1 dx ...

2. 42x 3 x 6x dx ...

3. 622x 5x 20x 25 dx ...

4.

8212x 2x x dx ...

2

5.

1

221

3x 15 x 5x dx ...2

6. 92 318x 2 3x x dx ...

7. 1

2 3 23x 2 x 2 dx ...

8. 723x 2 3x 4x dx ...

9.

102x

x 5 5x dx ...2

10. 22x 5x 4x 5 dx ...

D. Integral Parsial

Ada bentuk integral yang tidak mudah untuk diselesaikan dengan metode substitusi, yaitu bentuk

u dv . Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini, kita menggunakan metode parsial.

Sebelumnya kita misalkan y = uv.

Perhatikan bahwa:

y uv

d uvdy dv duu v

dx dx dx dx

d uv u dv v du

Jika kedua ruas kita integralkan, maka akan kita peroleh hal seperti berikut:

Contoh:

d uv u dv v du

uv u dv v du

uv v du u dv

Dengan demikian, kita peroleh aturan untuk menyelesaikan integral parsial, yaitu sebagai berikut:

a) 3x sinx dx ...

Jawab:

Secara singkat penyelesaian integral tersebut adalah sebagai berikut:

3x sinx dx 3 x sinx dx

3 x sinx dx

3 xd cosx

3 x cosx cosx dx

3 x cosx sinx c

3x cosx 3sinx c

Dengan demikian diperoleh: 3x sinx dx 3xcosx 3sinx c .

b) x cosx dx ….

Jawab:

misal : U = x dan dV = cos x dx

dU = dx dan V = cos x dx

V = sin x

Dengan rumus:

UdV = UV VdU

x cos x dx = x.(sin x) sin x dx

= x.sin x + cosx+c

Cara lain:

u dv uv v du

x cos x

1

0

sin x

- cos x

Turunkan Integralkan

Maka diperoleh: x cos x dx = x.sin x + cos x + c

Latihan:

1. 2xsin 7x dx ...

2. 3xcos 3x dx ...

3. x

x sin dx ...2

4. 3xsin2x dx ...

5. xsin x-1 dx ...

6. 22xsin x +1 dx ...

7. x

xcos dx ...5

8. xcos 1-x dx ...

9.

x5xcos 1- dx ...

2

10. 2x +12xe dx ...

11. xxe dx ...

12. 2x-1xe dx ...

13. 2 3x2x e dx ...

14. 3 5x2x e dx ...

15. 5 -x2x e dx ...

E. Integral Tertentu

Integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu memiliki batas untuk variable

integrasi x, biasanya dinotasikan dengan:

b

a

f x dx

+ _

Contoh:

Teorema:

Jika f adalah fungsi kontinu pada interval tertutup [a,b], maka berlaku

b

b

aa

f x dx F x F b F a

dengan F adalah antiderivatif dari f, yaitu F’(x) = f(x).

Sifat-sifat integral tertentu:

a) a

a

f x dx 0

b) b a

a b

f x dx f x dx

c) c b b

a c a

f x dx f x dx f x dx, a c b

d) b b

a a

k f x dx k f x dx dengan k adalah konstanta.

e) b a a

a b b

f x g x dx f x dx g x dx

a) 1

0

x dx ...

Jawab:

11

2

00

2 2

1x dx x

2

1 11 0

2 2

10

2

1

2

b) 2

0

3x x-2 dx ...

Jawab:

2 2

2

0 0

23 2

0

3 2 3 2

3x x-2 dx 3x -6x dx

x 3x

2 3.2 0 3.0

4 0

4

Aplikasi dari integral tertentu ini beberapa di antaranya untuk menghitung luas daerah di antara dua

kurva dan menghitung volume benda putar. Kedua hal tersebut akan dibahas di sini.

5.1. Luas Daerah

Secara umum, langkah-langkah untuk menghitung luas daerah di antara dua kurva y1 dan y2 yaitu

sebagai berikut:

a) Membuat sketsa kurva y1 dan y2 yang meliputi selang [a,b] yang diinginkan.

b) Memperhatikan selang tempat kurva verada, apakah di atas sumbu x atau di bawah sumbu y.

c) Menghitung luas daerah di atas dan di bawah sumbu x dengan menggunakan integral tertentu

dengan cara terpisah. Jika ada yang hasilnya negatif maka harus dimutlakkan agar mendapatkan

hasil yang positif, karena tidak mungkin luas hasilnya negatif.

d) Menjumlahkan hasil keduanya sehingga didapatkan luas total.

Perhatikan kedua gambar di bawah ini!

d

kanan kiri

c

d

2 1

c

L x x dy

L x x dy

b

atas bawah

a

b

2 1

a

L y y dx

L y y dx

Contoh:

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y sinx, y cosx dan sumbu x untuk 0 x2

adalah…

Jawab:

4 2

40

Luas sinxdx cosxdx

2.

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu x seperti gambar adalah 32. Ordinat puncak

parabola adalah …

Jawab:

Dengan menggunakan rumus cepat diperoleh:

4

L a b3

4Luas 2 b

3

8b32

3

8b 96

96b

8

b 12

3. Luas daerah yang dibatasi kurva 2y x 6x 5 dan sumbu x adalah…

Jawab:

Dengan menggunakan rumus cepat:

2

D DLuas

6a

Syarat:

1. Jika kedua kurva dipotongkan akan menghasilkan persamaan kuadrat

2. Batas integral adalah titik potong

Persamaan: 2y x 6x 5

2

2

D b 4ac

6 4( 1)( 5)

36 20

16

Sehingga luasnya adalah:

2

16 16 32L

6 1 3

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y sin2x , sumbu x dan garis x6

dan garis x

3

adalah…

Jawab:

6 3

6 3

0 0

0 0

6 3

23 3

L sin2xdx sin2xdx

1 1cos2x cos2x

2 2

1 1 1 1cos2. cos2.0 cos2. cos2.0

2 2 2 2

1 1 1 1cos cos0 cos cos0

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1. .1 . .1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

4 2 4 2

1 3

4 4

1

5. Luas yang dibatasi garis 1

y2

dan kurva 2

2

xy

1 x

dapat dinyatakan sebagai integral tertentu,

yaitu …

Kunci: 1 2

2

0

1 xdx

1 x

2

2

2 2

2

x 1

x 1 2

2x x 1

x 1

x 1

Luas daerah yang diarsir adalah:

1 2

2

0

1 2

2

0

1 2

2

0

1 xLuas 2 dx

2 x 1

1 x2 dx

2(1 x )

1 x dx

1 x

Contoh:

5.2. Volume Benda Putar

Perhatikan kedua hal berikut:

1. Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p x q , maka volume benda putar yang dibatasi oleh y1

dan y2 bila diputar terhadap sumbu x.

2. Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r x s , maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1

dan x2 terhadap sumbu y

1. Daerah D dibatasi oleh kurva y sinx , 0 x dan sumbu x. Jika daerah D diputar terhadap

sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

Jawab: 21

2

Volume benda putar:

s

2 2

2 1

r

s

2 2

jauh dekat

r

V (x ) (x ) dy

V (x ) (x ) dy

q

2 2

2 1

p

q

2 2

jauh dekat

p

V (y ) (y ) dx

V (y ) (y ) dx

2

0

0

2

0

v sin x dx

1cos2x dx

2

1 1 1x sin2x

2 2 2

Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 21

2 satuan volume.

2. Daerah bidang datar yang dibatasi 1

yx

, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 4 diputar

mengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terbentuk adalah …

Kunci: 28

3

12

12

12

12

1

4 2 2

0

1

3

0

v (y 1) dy 4 1 dy

1y y 15y

3

4 8 1 15

3 3 2 2

28

3

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 28

3 satuan volume.

Latihan:

1) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis x = 0, x = 2 dan absis x!

2) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x(x-2), x = 0, x = 3 dan absis x!

3) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva y = x2 + 2 dan y = 5 – 2x!

4) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4, sumbu y, sumbu x dan garis x = 4 adalah …

5) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4, sumbu y dan sumbu x adalah …

6) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 6 – x adalah …

7) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x + 3 adalah …

8) Diberikan f(x) = (x – 2)2 - 4 dan g(x) = -f(x). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah

9) Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 di kuadran I, garis y = 2 – x dan garis y = 4

adalah …

10) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 – 1, sumbu x, garis x = -1 dan x = 2 adalah …

11) Daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = 10x, y2 = 4x dan x = 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu x.

Volume benda putar yang terjadi adalah …

12) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 2

14

xy , sumbu x, sumbu y dan diputar mengelilingi sumbu x adalah …

13) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 2 1y x dan sumbu x dari x = -1 sampai x = 1, diputar mengelilingi sumbu x 3600

adalah …

14) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 29y x dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y 3600 adalah …

15) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva 22 1y x , x = 1, sumbu x dan sumbu y diputar mengelilingi sumbu x 3600 adalah …

1. 3cosx sin xdx …

Jawab:

Dengan menggunakan rumus cepat: n 1

n a UaU dx c

U' n 1

Syarat: a

kU'

Sehingga: 4

3

4

cosx sin xcosx sin xdx c

cosx 4

1 sin x c

4

2. Jika 3 3df(x)x x

dx

dan 11

f(1)20

, maka 2

1

f(x)dx …

Jawab:

Diketahui:

3 3df(x)x x

dx

Maka:

3 3

4 2

f(x) x x dx

1 1x x c

4 2

Akan dicari nilai c:

4 2

11f(1)

20

1 1 11.1 .1 c

4 2 20

1 1 11c

4 2 20

1 11c

4 20

11 1c

20 4

11 5c

20 20

6 3

20 10

Sehingga diperoleh persamaan:

SOAL DAN PEMBAHASAN TAMBAHAN

4 21 1 3f(x) x x

4 2 10

21

5 1

0 1

1 1 3f(x)dx x x x

20 2 10

32 1 6 1 1 3

20 4 10 20 2 10

32 5 12 1 10 6

20 20 20 20 20 20

25 5

20 20

20

20

1

3. Turunan pertama dari f(x) adalah 3

41

x , jika f(1) =5, maka f(2) = …

Jawab:

Diketahui:

1

3

4f (x) 1

x

Maka:

2f(x) 2x x c

Jika f(1) =5, maka:

5 2 1 c c 6

Sehingga diperoleh persamaan:

2f(x) 2x x 6

Nilai f(2) adalah:

12

1f(2) 2 6

2

7

4. Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 23x 5x 2 0 , maka p

q

(5 3x)dx …

Jawab:

Diketahui:

factor prima dari 42: 2, 3, 7 p = 3

Akar positif dari persamaan 23x 5x 2 0 adalah x = 2 q = 2

Jadi:

3p

2

2q

3(5 3x)dx 5x x

2

2715 10 6

2

12

2

5. Jika f(x) ax b , 1

0

f(x)dx 1 dan 2

1

f(x)dx 5 , maka a+b = …

Jawab:

Diketahui:

f(x) ax b

Jika1

0

ax b dx 1 , maka:

1

2

0

a ax bx b 1.....(i)

2 2

Jika 2

1

ax b dx 5 , maka:

2

2

1

a 3x bx a b .....(ii)

2 2

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

3a b 5

2

1a b 1

2

a 4 b 1

Sehingga a + b = 3

6. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x,y) sama dengan 2x - 5. Jika kurva ini melalui titik

(4,7), maka kurva tersebut memotong sumbu y di titik …

Jawab:

Diketahui gradien = 2x – 5 dan melalui titik (4, 7), maka persamaan kurvanya:

2f(x) 2x 5 dx x 5x c

f(4) 16 20 c 7 c 11

Jadi persamaan garisnya adalah 2f(x) x 5x 11

Persamaan kurva memotong sumbu y x 0 2f(0) (0) 5(0) 11

11

7. Untuk interval x8 8

, nilai 2 4 61 tan 2x tan 2x tan 2x ...dx ...

Jawab:

2 4 61 tan 2x tan 2x tan 2x ...dx ..

Persamaan merupakan deret geometri tak hingga, maka:

2

2

2

aS

1 r

1

1 tan 2x

1

sec 2x

cos 2x

Jadi:

2 4 6

2

1 tan 2x tan 2x tan 2x ...dx

cos 2xdx cos2xdx

1sin2x k

2

8. Daerah D dibatasi oleh grafik, fungsi 1

yx

, garis x =1, garis x = 4 dan sumbu x. Jika garis x = c

memotong daerah D sehingga menjadi daerah 1 2D dan D yang luasnya sama, maka c = …

Jawab:

1 12 2

1 12 2

x 4

1 x

p 4

1 p

x dx x dx

2x 2x

2 p 2 2 4 2 p

3 1

p p 22 4

9. Jika b

a

xcos dx c,c 0

c

, maka

b

2

a

xsin dx

2c …

Jawab:

b

a

b b

a a

xcos dx c

c

x xcos dx c cos dx c

c c

Sehingga

b b

2

a a

x 1 1 xsin dx cos dx

2c 2 2 c

b b

a a

1 1 xx cos dx

2 2 c

1 1 1b a c (b a c)

2 2 2

10.

Luas daerah yang diarsir adalah …

Jawab:

1 2sin2x 0 2sin2x 1

1 1sin2x sin2x

2 2

2x6

x12

Luas daerah yang diarsir adalah:

12

12

0

0

0

L 1 2sin2xdx

x cos2x

cos2. 0 cos2.012 12

cos 0 cos2.012 6

cos30 cos012

13 (1)

12 2

13 1

12 2

1. Hasil dari 3x 2 dx ....

2. Hasil dari 24x 3x 2 dx ....

3. Hasil dari 524x 3x 2 8x 3 dx ....

4. Hasil dari 524x 3x 2 24x 9 dx ....

5. Hasil dari 2x 8x dx ....

6. Hasil dari 32x 8x x 4 dx ....

7. Hasil dari 22x x dx ....

8. Hasil dari

42 12x x x dx ....

4

9. Hasil dari 0

52 3

1

x x 2 dx ....

10. Hasil dari 2cos xsinx dx adalah….

11. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2f(x) x 6x 5 , sumbu x, x = 2 dan x = 4 adalah….

12. 2

0

1 cosx sinxdx

…

13. Jika a b

3 2

0 0

1 3x dx , 2x 3 dx 4

2 10 dan a,b > 0, maka nilai 2 2a 2ab b …

14. Gradien garis singgung fungsi y = f(x) di setiap titik P(x,y) sama dengan dua kali absis titik P

tersebut. Jika grafik fungsi melalui (0,1), maka f(x) = …

15. Luas daerah yang dibatasi kurva 2y x 3x 4 , sumbu x, garis x = 2 dan x = 6 adalah …

16. Jika D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola 2y 4x x serta garis yang melalui (4,0) dan

puncak parabola, maka luas D adalah …

17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi y cosx dan turunannya pada interval 32 2

x

adalah …

18. Jika 3 3df(x)x x

dx

dan 11

f(1)20

, maka 2

1

f(x)dx …

19. Diketahui 3df(x)x

dx . Jika f(4) = 19, maka f(1) = …

SOAL LATIHAN TAMBAHAN

20. Turunan pertama fungsi f(x) adalah 3

41

x . Jika f(1) = 5, maka f(2) = …

21. Jika 1

0

f(x) ax b, f(x)dx 1 dan 2

1

f(x)dx 5 maka a + b = …

22. Diketahui 2f(x) x dx . Jika 19

f(2)3

, maka kurva itu memotong sumbu x pada …

23.

3

13 dx

x ...

24. Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 3x2 – 5x – 2 = 0, maka

p

q

5 3x dx = ...

25. Volume benda putar bila daerah dibatas oleh kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar mengelilingi

sumbu y adalah …

26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3 diputar

mengelilingi sumbu x adalah …

27. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, x = 0 dan x = 3

diputar mengelilingi sumbu X seperti pada gambar di bawah adalah ...

28. Luas daerah antara kurva y = x2 + 4x + 7 dan y = 13 – x2 adalah ...

29.

n n 11x dx x c

n 1, dengan c bilangan tetap, berlaku ...

30. Luas daerah antara kurva y = (x + 1)3, garis y = 1, garis x = -1 dan x = 2 dapat dinyatakan sebagai

...

31. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4, sumbu y, sumbu x dan garis x = 4 adalah …

32. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4, sumbu x dan sumbu y adalah …

33. Jika b > 0 dan memenuhi persamaan b

2 3 2

0

3b x 3bx dx 0 , maka nilai dari a2 -2a + 1 adalah …

34. Hasil dari 3sin2x dx ....

35. Hasil dari 3 33sin2x dx ....

0 3

y = x + 2

Y

X

36. Hasil dari 2 28sin3x dx ....

37. Hasil dari 5cos6 x d x ....

38. Hasil dari 3cos 5x 3 dx ....

39. Hasil dari 3sinx 2cosx dx ....

40. Hasil dari

12sin3x cos2x dx ....

2

41. Hasil dari 53sinxcos xdx ....

42. Hasil dari 65sin xcosxdx ....

43. Hasil dari 3xcosxdx ....

44. Hasil dari 4x sin 2x dx ....

45. Hasil dari x2xe dx ....

46. Hasil dari 2 2x7x e dx ....

47. Nilai dari

6

0

2sin x cos x dx ....3 3

48. Nilai dari

0

2cos2xcosxdx ....

49. Nilai dari 2

3

0

2 2x 1 dx ....

50. Nilai dari

1

2

1

8x 2x 1dx ....