Matek 2 Sistem PD dan Solusinya

Rudy Dikairono

Outline

• Sistem PD dan Solusinya– Metode deret pangkat (AEM p 167)– Teori metode deret pangkat (AEM p 170)

Metode Deret Pangkat

• Bentuk dasar persamaan deret pangkat

x adalah sebuah varibel dan a0,a1,a2 …. adalah konstanta2nya. x0 adalah sebuah konstanta yang disebut sebagai pusat dari deret. Jika x0 = 0, kita dapatkan deret pangkat x.

Contoh deret pangkatDeret Maclaurin

Ide dari metode deret pangkat

• PD 2 :

Kita asumsikan penyelesaian dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut :

Contoh • Kita punya persamaan PD:

Masukkan (3) dan (4a)

Kita cari koefisien yang bersesuaian

koef ganjil :

koef genap :

Hasil akhirnya adalah:

• Penyelesaian yang lebih cepat dapat dilakukan sebagai berikut:

Kita mempunyai dua buah deret yang mempunyai bentuk hampir sama, selanjutkan kita geser index m = 2 + s agar didapatkan index yang sama.

Kita samakan koefisien x dengan pangkat yang bersesuaian.

Contoh

• Selesaikan

Tugas “Metode deret pangkat”

Selesaikan persamaan berikut dengan metodederet pangkat.

Teori Metode Deret PangkatKonsep Dasar

Kita punya deret pangkat

Jumlah suku ke n adalah

Remaindernya adalah

Konsep dasar

Remainder didapatkan dengan menghilangkan a0. Misalnya pada deret berikut:

s0(x), s1(x), s2(x),…. disebut jumlah deret parsial.

Konsep dasar

Untuk x =x1 deret ini dikatakan konvergen jika

dan deret (1) dikatakan konvergen pada x = x1, jumlah dari s(x1) disebut nilai atau jumlah dari (1) pada x1. dan kita tulis:

Untuk setiap n kita dapatkan:

Konsep dasar

Pada kasus konvergen, untuk semua E positif ada sebuah N dimana

Secara geometri, ini berarti sn(x1) dengan n > N berada diantara s(x1) – E dan s(x1) + E.

Secara praktis kita dapat mencari s(x1) dari (1) pada x1 dengan pendekatan nilai sn(x1) dengan n yang cukup besar.

Interval konvergensi

• Berdasarkan konvergensi dari deret pangkat (1). Maka ada 3 kasus (three cases).– Case 1 => the useless case– Case 2 => the usual case– Case 3 => the best case

Case 1 (the useless case)

Deret pangkat (1) selalu konvergen pada x = x0.

Semua bagian-bagiannya sama dengan 0, kecuali a0.

Case 2 (the usual case)

Jika ada beberapa nilai x dalam interval tertentu yang menyebabkan (1) konvergen, maka interval ini disebut convergence interval. Jika interval ini finit,dia mempunyai nilai tengah x0, dan dapat digambarkan sebagai

deret pangkat (1) konvergen untuk semua x pada |x-x0| < R dan |x – x0| > R. Angka R disebut sebagai radius of convergence.

Radius of Convergence

R dapat dihitung dengan rumus

Dengan nilai limit tidak sama dengan nol.Jika nilai dari limit ini infinite, maka deret pangkat (1) hanya konvergen pada center x0.

Case 3 (the best case)

• Nilai interval konvergensi adalah infinite. Sehingga deret pangkat (1) konvergen untuk semua nilai x.

• Sebagai contoh bila pada 7(a) atau 7(b) nilai dari limit adalah nol, maka R = ∞. (untuk pembuktian dapat dilihat pada bab 15.2)

• Untuk setiap x pada deret pangkat (1) dinyatakan konvergen bila mempunyai nilai pasti s(x). Kita mengatakan bahwa (1) merepresentasikan nilai s(x) pada interval konvergen dan dapat ditulis

Contoh Case 1Hitung nilai R dari deret berikut:

Maka deret ini konvergen hanya pada center x = 0. sehingga deret ini adalah useless case.

Contoh Case 2Hitung nilai R dari deret berikut:

Contoh Case 3Hitung nilai R dari deret berikut:

Maka deret tersebut konvergen untuk semua nilai x

LatihanHitung nilai R dari deret berikut:

Maka deret ini konvergen pada

Operasi-operasi pada Deret Pangkat

• Diferensial• Penjumlahan• Perkalian• Menghilangkan koefisien dari deret.

Diferensial

• Deret pangkat dapat diturunkan bagian per bagian. (term by term)

konvergen untuk |x - x0| < R dimana R > 0, maka deret turunannya juga konvergen.

Penjumlahan

• Deret pangkat dapat dijumlahkan bagian per bagian. (term by term)

Mempunyai radius konvergensi positif, dan total jumlah mereka adalah f(x) dan g(x). Maka deret

konvergen dan merepresentasikan f(x) + g(x) untuk setiap x dalam radius konvergensi.

Perkalian

• Deret pangkat dapat dikalikan bagian per bagian. (term by term)

Mempunyai radius konvergensi positif, dan total jumlah mereka adalah f(x) dan g(x). Maka deret

konvergen dan merepresentasikan f(x)g(x) untuk setiap x dalam radius konvergensi.

Menghilangkan koefisien dari deret

• If a power series has positive radius of convergence and a sum that is identically zero throughout its interval of convergence, then each coefficient of the series mush be zero.

• Jika deret pangkat mempunyai radius konvergensi positif dan sebuah total jumlah yang sama dengan nol pada seluruh interval konvergensinya, maka seluruh koefisien dari deret tersebut adalah nol.

Keberadaan penyelesaian Deret Pangkat

• Apakah setiap Persamaan Differensial mempunyai penyelesaian Deret Pangkat?

Jika koefisien p, q dan r dapat direpresentasikan oleh deret pangkat, maka Persamaan Diferensial tersebut mempunyai penyelesaian deret pangkat.

Wrap up

• Today’s LectureSistem PD dan Solusinya– Metode deret pangkat (AEM p 167)– Teori metode deret pangkat (AEM p 170)

• Next Lecture– Integral