Deret Pangkat New 2 [Compatibility Mode]

DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT

TAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGA

DERET PANGKATDERET PANGKAT

Definisi deret pangkat :

( ) ( ) ( ) ( ) ...332210

++++=

=

axcaxcaxccaxC on

n

n

adalah konstantancdimana dan ax adalah variabel

Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja memilihindeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, c0, yangselanjutnya disebut suku ke-nol. Hal ini dilakukan untuk memudahkanpenulisan, terutama ketika membahas pernyataan suatu fungsi dalamderet pangkat

Beberapa contoh deret pangkat

Selang konvergensi deret pangkatSelang konvergensi deret pangkat

Deret pada contoh (a)

Selang konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan menggunakan konsep uji rasio (uji nisbah), sbb :

Menurut syarat uji nisbah suatu deret akan konvergen jika :

1

Sehingga :

12

Untuk x = -2, deret menjadi :

........11111 ++++++Deret ini akan tak hingga jumlahnya, maka untuk x = 2 deret menjadidivergen. Dengan demikian 2 tidak termasuk dalam selangkonvergensi deret (a)

Untuk x = 2, deret menjadi :

Sehingga selang konvergensi deret pangkat (a) adalah

Untuk x = 2, deret menjadi :

........11111 +++Merupakan deret bolak-balik dengan |an| = 1. karena |an+1| = |an| makaderet ini juga divergen. Dengan demikian 2 juga tidak termasuk dalamselang konvergensi deret (a)

22

TUGASTUGAS

Tentukan selang konvergensi deret pangkat pada contoh (b), (c), dan (d)

TEOREMATEOREMA--TEOREMA PENTING TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKATTERKAIT DERET PANGKAT

TEOREMA-TEOREMA PENTING1. Integrasi dan diferensiasi deret pangkat dapat dilakukan per suku,

yaitu:

=

=

=

=

=

=

00

0 0

)()(

,,)()(

n

n

n

n

n

n

q

pn n

q

p

n

n

n

n

dxaxCdxd

axCdxd

raxqpdxaxCdxaxC

Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan,sama seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya, perludiselidiki.

2. Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan diperkalikan;deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi masing-masing deret. Jadi, misalkan I1 dan I2 selang konvergensi masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang dihasilkanadalah ( lambang teori himpunan bagi irisan).

21 II

== 00 nn dxdx

3. Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkanpenyebutnya tak-nol di x = a, atau nol di x = a,tetapi tercoretkan (seperti ). Selangkonvergensinya harus dicari kembali.

4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam

x

x)1ln( +

4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalamderet pangkat lainnya, asalkan selangkonvergensi deret yang disisipkan terkandungdalam deret lainnya. Jadi, misalkan I1 selangkonvergensinya I2, maka ( lambangteori himpunan bagi himpunan bagian).

21 II

5. Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret pangkatkonvergen, adalah tunggal. Artinya ada satupernyataan deret pangkat untuk satu fungsi,sejauh variabel x berada dalam selangkonvergensi deret.konvergensi deret.

URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI

Seperti telah diungkapkan di atas, bahwa suatu fungsif(x) yang dapat dinyatakan dalam deret pangkat.Kenyataan ini menguntungkan, karena deret pangkatsangat mudah ditangani secara analitis, ketimbangfungsi f(x) itu sendiri. Misalnya, dalam perhitunganintegral dari fungsi f(x), bila seandainya f(x) adalahsuatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapatsuatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapatdalam tabel integral, maka penyelesaiannya akansulit. Penanganan dalam pernyataan deret dari f(x)mungkin dapat lebih mudah ditangani.

Sebagai contoh, integral tentu berikut:

Muncul dalam persoalan fisika, yaitu pada persoalandifraksi Fresnel gelombang cahaya oleh sebuahcelah. Integral jenis ini tak terdaftarkan dalam tabelintegral, karena hasilnya tak dapat diungkapkan

1

02sin dxx

integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkandalam pernyataan suatu fungsi primitif tertentu.Sehingga sulit diselesaikan secara analitik denganmenggunakan teknik dasar integral.

Integral seperti ini dapat dengan mudah diselesaikandengan metode aproksimasi menggunakan metodederet pangkat.

Misalkan kita ingin menyatakan sebuah fungsi f(x)yang diketahui dalam pernyataan deret pangkat,maka mula-mula kita tulis bentuk umum sepertiberikut :

LL +++++= nn axCaxCaxCCxf )()()()( 2210

Tetapan a dapat pula bernilai nol. Masalahselanjutnya adalah:

a. Menentukan nilai-nilai koefisien Cn, sebagai fungsidari n, sehingga penulisan di atas berupa suatuidentitas (berlaku bagi semua nilai x).identitas (berlaku bagi semua nilai x).

b. Menentukan selang konvergensi deret pangkatnyadalam mana identitas (a) berlaku.

Dengan menerapkan teorema diferensiasi deretpangkat, kita peroleh:

n

n

n

n

n

n

CCnnCafCnCCCafCCCCCaf

................................................................................

!2)0()1(1.200)(")0()0(20)('

)0()0()0()(

22

2

11

21

02

210

=+++++=

=+++++=

=+++++=

LL

LL

LL

nn

n CnCnaf !0!000)(................................................................................

=++++++= LL

)(!

1 )( afn

C nn =

Jadi:

Dengan demikian,

nn axafn

axafaxafafxf

1

))((!

1

))(("!2

1))((')()( 2

=

++

+++=

L

L

nn

n

axafn

xf ))((!

1)(0

=

=

Uraian Taylor dari fungsi f(x) disekitar x = a

Khusus untuk x = 0, uraian deret pangkat dari fungsi f(x) disebutderet McLaurin

Misalkan kita ingin menyatakan fungsi sinus xdalam deret pangkat disekitar x = 0

Bentuk umum :

Tugas kita adalah mencari a0, a1, a2, a3, .... dst

Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :

Pada x = 0,

Jadi : a1 = 1

( ) ( ) ...03020 2321 +++= aaaCos

Turunan kedua dari fungsi sin x terhadap x adalah :

pada x = 0

Jadi : a = 0

...3.42.32sin 2432 +++= xaxaax

( ) ( ) ...03.402.320sin 2432 +++= aaaJadi : a2 = 0

Dst........lakukan proses yang sama untuk turunan ke-tiga, ke-empat, ke-lima, akan didapat :

Interval konvergensi deret sin x

Notasi umum :

( ) !1212

n

x n

Dengan uji nisbah didapat :( ) !12 n

( )( )

12

121 !12

!12 +

+ +

==n

n

n

nn

x

n

n

x

a

a

( ) ( )( )( )

( )( )nnx

x

n

nnn

xn

n

n 212!12

122!12

2

12

12

+=

+

=

+

didapat :

10

Pernyataan deret dari fungsi Selang konvergensi

...,

!7!5!3.1

753

++=xxx

xxSin Semua nilai x

...,

!6!4!21.2

642

++=xxx

xCos Semua nilai x

...,1.3432

+++++=xxx

xex Semua nilai x...,!4!3!2

1.3 +++++= xxxxex Semua nilai x

( ) ...,432

1ln.4432

++=+xxx

xx-1 < x 1

( ) ( ) ( )( ) ...,!3

21!2111.5

32

+

+

++=+xpppxpppxx p |x| < 1

Disebut deret Binomial, dengan p adalah bilangan real positif atau negatif

Teknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu fungsi

A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian deret dengan deret

Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari : ( ) xx sin1+Maka kita lakukan perkalian ( )1+x xsinDengan deret Sbb :

Contoh 2Untuk mencari pernyataan deret dari : xe

x cos

Maka kita lakukan perkalian deretxe xcosDengan deret Sbb :

B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu polinomial

Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari : ( )x

x+1ln1

Maka kita lakukan pembagian ( )x+1ln xDengan deret Sbb :

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari :x+1

1

Maka kita lakukan pembagian 1 ( )x+1Dengan Sbb :

Contoh 3

Untuk mencari pernyataan deret dari : xtan

Maka kita lakukan pembagian deret xcosdengan deret Sbb :xsin

C. Menggunakan deret Binomial

Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari :

11+x

Digunakan deret Binomial Sbb :

(contoh B2)

Hasilnya sama dengan contoh B2

D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel dalam deret lain

Contoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari :

2xe

Maka kita lakukan substitusi 2x pada variabel x dalam deret Sbb :xe

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari : xe tan kita lakukan substitusi sbb :

E. Metode KombinasiContoh 1Untuk mencari pernyataan deret dari : xarc tanDigunakan metode Sbb :

karena

Kita tuliskan 1 Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan 21

1t+

Sebagai deret Binomial sbb :

sehingga

Soal latihan

x

ex

1.1

xsec.2 xsec.2

=

+ x

t

dtx

x

0211

1ln.3

2cosh.4

xx eex

+=

E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-LaurinContoh 1Untuk mencari pernyataan deret taylor dari fungsi xlndisekitar x = 1, kita tuliskan:

Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :

( ) 432 ++=+ xxx( ) ...,432

1ln432

++=+xxx

xx

Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...,4

13

12

1111lnln432

+

+

=+=xxx

xxx

Contoh 2

Cari uraian Taylor dari fungsi xcos disekitar 23pi

=x

Kita tuliskan:

Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :

...,

!7!5!3

753

++=xxx

xxSin

Kemudian ganti x dengan (x - 3pipipipi/2), didapat :

( ) ( ) ( ) ( ) ...!5

23

!32

32

32

353

+

+

==

pipipipi

xxxxSinxCos

Soal Latihan

Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian McLaurin :

11)(.1 == adisekitarx

xf

25)(.2 == adisekitarxxf

Beberapa penggunaan deret

A. Perhitungan secara numerikContoh 1

hitunglah di x = 0,0015

Contoh 2

hitunglah

Lakukan diferensiasi empat kali dan masukan x=0,1, didapat :

B. Penjumlahan deretContoh 1

hitunglah

Mulai dengan deret :

Ambil x = 1

Jadi

69,0....41

31

211 =++

Soal latihan

.........

71

51

311.1 =++

.........

!7!5!3.2

642

=+pipipi

Gunakan xarc tan

Gunakan x

xsin!7!5!3

( ) ( ).........

!33ln

!23ln3ln.3

32

=+++

x

Gunakan 1xe

C. Menghitung integral tertentu

Contoh :

hitunglah

Mulai dengan deret :

Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel

....

!5!3sin

10622

+=xx

xx

Jadi

!5!3

D. Menghitung Limit

Contoh :

hitunglah

Jawab :

Soal latihan

dtet t01,0

0

.1

01,01

.22

3

3

=

xdix

ex

dxd x

13 xdx

( )x

x

x

1lnlim.30

E. Menentukan nilai e

Gunakan pernyataan deret pangkat untuk xe dengan x = 1

...,

!4!3!21

432

+++++=xxx

xex

...,

11111432

+++++=e ...,!4

1!3

1!2

111 +++++=e

..718,2...,...017,05,02 =++++=e

F. Menentukan akar suatu bilangan

Tentukanlah niali 9 dengan deret Binomial

Kita tidak bisa menulis

Deret Binomial :

( ) ( ) ( )( ) ...,!3

21!2111

32

+

+

++=+xpppxpppxx p

9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+Kita tidak bisa menulis 9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+Karena konvergensi deret Binomial adalah 1> c

Jadi nilai 9

( )2/12

2/1

1029

2109

=

( ) ( ) 2/12/12/1

2/1 64,01510064

1001005

1003659 =

=

=

Itulah hasilnya

( ) ( ) ( ) 3...864,0164,05,0159

22/1

=

++=

Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan FisikaContoh 1

Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok !Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur tanjakandengan sudut kemiringan terhadap horizontal. Di dekat bagian bawah jalurterdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif. Muatan positif yang samaditempatkan pula di atas kereta. Jika gesekan kereta luncur dengan lintasandiabaikan dan diasumsikan percepatan gravitasi g, berapakah besar gayatolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam ditolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam ditempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari .

Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika

Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :

= 0F

sinwC FF = sinwC FF =

sinmgFC =

++= ....

!5!3

53 mgFC

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret PangkatCari solusi PDB berikut :

xyy 2'=Dengan metode pemisahan variabel

xydy 2= xdxdy 2=xydx

2= xdxy

2=

= xdxydy 2

cxy lnln 2 +=2xCey =

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret PangkatMencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :

PDB yang dicari solusinya berorde satu (y), maka perlu dicari y :...

44

33

2210 +++++= xaxaxaxaay

...432' 342

321 ++++= xaxaxaay 4321

xyy 2'=PDB :

02' = xyy

...2222 322

10 += xaxaxaxy

...432' 342

321 ++++= xaxaxaay

+..........................0 32 ++++= xxx

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Buat matriks seperti berikut :

2220 aaa

4321 432 aaaa

320 xxxx

'y

xy2210 2220 aaa

+

( ) ( ) ( ) ( ) ....24232200 2413021 ++++= aaaaaaa

xy2

didapat :

001 =a 022 02 = aa02 aa =

023 13 = aa01323 == aa

24 24 aa =02

124

24 aaa ==01 =a


Dengan demikian :

...

44

33


....

310

2100 60

540

3200 +++++++= xaxxaxxaxay 32

....

!31

!21 6

04

02

00 ++++= xaxaxaay

++++= ....

!3!21

642

0xx

xay

2

0xeay = Sama dengan hasil sebelumnya

Soal Latihan

xxyy +='.2

Cari solusi PDB Berikut dengan metode deret pangkat

yxy 23'.1 =

xyy 3sin4''.3 =+

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret PangkatCari solusi PDB berikut :

xxyy +='

Dengan metode pemisahan variabel

( )1' += yxy

( )1+= yxdy ( ) dxxdy

=

+( )1+= yx

dx ( ) dxxy =+1

( ) =+ dxxydy

1

.......................................

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret PangkatMencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :

PDB yang dicari solusinya berorde satu (y), maka perlu dicari y :...

44

33


...432' 342

321 ++++= xaxaxaay 4321PDB :

...

32

210 += xaxaxaxy

...432' 342

321 ++++= xaxaxaay

+..........................

32 ++++= xxxx

xxyy +=' xxyy ='



0 aaa

4321 432 aaaa

320 xxxx

'y

xy2100 aaa

+

( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324213021 ++++= xaaxaaxaaax

xy

didapat :

001 =a12 02 = aa

221

21 00

2aa

a +=+

=01 =a



0 aaa

4321 432 aaaa

320 xxxx

'y

xy2100 aaa

+

( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324213021 ++++= xaaxaaxaaax

xy

didapat :

03 13 = aa

01313 == aa

04 24 = aa

881

21 00

41

241

4aa

aa +=

+== dst


Dengan demikian :

...

44

33


....088

1022

10 5403200 ++

+++

+++= xx

axx

axay

8822

++++

++= ....

821....

82

42

0

42 xxa

xxy

....

881

221 4020

0 +

++

++= x

ax

aay

SELESAI

TERIMA KASIH

Deret Pangkat New 2 [Compatibility Mode]

Documents

Transcript of Deret Pangkat New 2 [Compatibility Mode]