BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari - hari, banyak fenomena yang dalam menyelesaikannya

menggunakan persamaan diferensial linier orde satu. Contoh penerapan persamaan

diferensial linier orde satu sering dijumpai dalam masalah konsentrasi suatu cairan,

masalah suku bunga bank, masalah pembelahan dan pertumbuhan sel, masalah dalam

mekanika dan lain sebagainya. [6]

Dalam pemodelan matematika ini, penulis membahas tentang salah satu

penerapan persamaan diferensial orde satu yaitu masalah konsentrasi suatu cairan.

Permasalahan ini diperoleh dari literatur yang bejudul ” Elementary Differential

Equations and Boundary Value Problems” (William E. Boyce and Richard C. DiPrima,

2001: 136 ) dan beberapa jurnal ilmiah yang lain yang membahas tentang lake polution

( terlampir dalam daftar pustaka ).

Dalam makalah ini penulis membahas masalah pencampuran suatu pencemar

pada danau, dimana masalah pencampuran ini terjadi hanya pada satu danau. Pencemar

merupakan suatu zat aditif yang dapat merusak lingkungan. Suatu pencemar mengalir ke

dalam danau dan mencemari air di dalam danau yang masih jernih. Pencemar yang masuk

dan keluar dari danau bergantung pada laju aliran masuk dan laju aliran keluar. Pada

waktu tertentu jumlah pencemar yang tercampur di dalam danau akan berbeda. Suatu

pencemar tersebut diasumsikan tercampur dengan baik dan volum air pada danau

konstan. Berdasarkan asumsi - asumsi tersebut dapat ditentukan model matematika untuk

masalah pencampuran suatu pencemar pada danau. Dalam menentukan model

matematika dari permasalahan tersebut menggunakan hukum keseimbangan ( Balance

Law ). Selain itu untuk menggambarkan sistem model matematika tersebut menggunakan

model kompartemen ( compartment model ) dimana danau sebagai kompartemen.

Berdasarkan pemodelan matematika tersebut akan ditentukan solusinya, yang

menunjukkan jumlah suatu pencemar di dalam danau pada waktu tertentu. Tahap - tahap

memeroleh solusi tersebut menggunakan metode faktor integrasi dan mensubstitusikan

kondisi awal.

1

1.2 Rumusan masalah

Bagaimana model matematika dari masalah pencampuran suatu pencemar dalam

danau dan solusinya ?

1.3 Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini antara lain :

1. Menentukan model matematika dari pencampuran suatu pencemar pada danau

berdasarkan asumsi – asumsi yang diberikan.

2. Menentukan solusi umum dari model matematika dari pencampuran suatu pencemar

pada danau.

3. Menentukan solusi khusus yang menunjukan jumlah suatu pencemar dalam danau

pada waktu tertentu.

2

BAB II

TEORI – TEORI yang RELAVAN

2.1 Definisi Turunan Fungsi y

Fungsi y didefinisikan dalam interval I = ( a , b ) dan maka turunan fungsi

y pada dinyatakan dengan adalah

Jika limit ini ada.[10]

2.2 Teorema Antiturunan

Teorema dasar kalkulus menjadi kunci dasar untuk menentukan solusi

persamaan diferensial. Konsep dasar dari teorema ini adalah antiturunan. Suatu

antiturunan dari fungsi adalah sehingga .

Misalkan adalah suatu antiturunan dari fungsi kontinu pada interval t.

Maka semua solusi dari persamaan diferensial pada interval t yaitu

, dimana C sebarang konstanta.

Bukti : Misalkan sebarang solusi dari , adalah suatu antiturunan dari

dan sebarang titik dalam interval t. dengan menggunakan teorema fundamental

kalkulus dan mengintegralkan dari ke t, diperoleh

, untuk setiap t dalam interval.

Sehingga memiliki bentuk dimana suatu konstanta

3

tersebut adalah . Maka adalah solusi dari persamaan

diferensial untuk sebarang nilai konstanta C. [2]

2.3 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu

variabel bebas ( independent ) x, suatu variabel tak bebas ( dependent ) y, dan satu atau

lebih turunan y terhadap x. Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan

tertinggi dalam persamaan tersebut.[7]

Bentuk standar dari persamaan diferensial linier orde satu adalah

dimana dan adalah fungsi kontinu di x pada interval I. Beberapa contoh dari

persamaan diferensial linier orde satu yaitu :

, ,

[5]

2.4 Metode Faktor Integrasi

Penyelesaian persamaan diferensial diperoleh dengan cara memanipulasi

persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan

antara x dan y. Salah satu metode untuk menentukan penyelesaian persamaan diferensial

linier orde satu adalah dengan metode faktor integrasi , dengan mengubah sisi kiri

persamaan ke dalam hasil turunan . sehingga diperoleh faktor

sebagai berikut :

4

Ambil C=I, kalikan kedua ruas dengan pada persamaan

diperoleh

Maka solusi umum persamaan diferensial linier orde satu adalah

dimana C sebarang konstanta. [1]

Misalkan adalah suatu antiturunan dari koefisien pada interval I dan

adalah antiturunan dari maka solusi umum persamaan diferensial

linier orde satu menjadi

atau dimana C sebarang konstanta.[2]

2.5 Masalah nilai awal

5

Dalam penerapan persamaan diferensial biasanya terdapat kondisi untuk

menentukan nilai – nilai tertentu untuk konstanta sebarang. Untuk persamaan diferensial

linier orde satu, sebarang konstanta tunggal dapat ditentukan dengan menentukan nilai

dari fungsi tak diketahui pada sebarang nilai t misal katakan disebut

kondisi awal. Solusi masalah dari persamaan diferensial linier orde satu untuk kondisi

awal disebut masalah nilai awal persamaan diferensial linier orde satu. Secara geometris,

kondisi awal dapat direpresentasikan dalam kurva integral yang melewati titik

. Bentuk standar dari masalah nilai awal persamaan diferensial linier orde satu

dengan . [5]

2.6 Keujudan dan ketunggalan

Diberikan dan dalah fungsi kontinu di x pada interval I. dan setiap

titik dalam interval I. Jika sebarang nilai maka dengan kondisi

awal memiliki solusi yang didefinisikan pada setiap interval I

( keujudan ) dan tidak ada yang lain ( ketunggalan ).

Bukti : Dengan menggunakan metode faktor integrasi diperoleh solusi umum dari

adalah dengan x pada interval I ,

adalah suatu antiturunan dari koefisien pada interval I, adalah antiturunan dari

dan C sebarang konstanta. Untuk memenuhi kondisi ,

substitusikan dan ke dalam solusi umum sehingga diperoleh

maka persamaan aljabar C memiliki sulusi tunggal yaitu

6

Teorema keujudan dan ketunggalan menjadi dasar dalam aplikasi masalah nilai awal

persamaan diferensial orde satu karena menjamin bahwa masalah nilai awal memiliki

tepat satu solusi.[2]

2.7 Hukum keseimbangan dan model kompartemen

Jika menyatakan suatu ukuran populasi atau jumlah zat dalam

kompartemen pada waktu t, maka laju perubahan dapat dihitung sebagai “ laju

masuk “ dikurang “ laju keluar “ untuk suatu kompartemen. Sehingga dapat diformulakan

sebagai hukum keseimbangan ( Balance Law ) : Tingkat laju perubahan = laju masuk –

laju keluar.

Sebuah model kompartemen (Compartment Model) terdiri dari jumlah terbatas

kompartemen ( atau kotak ) yang terhubung dengan panah. Setiap panah memiliki arti,

yaitu kaki panah artinya zat yang dilacak meninggalkan kotak dan kepala panah artinya

zat yang dilacak memasuki kotak. Model kompartemen yang paling sederhana adalah

cascade linear. Sebuah kompartemen adalah cascade linear jika:

1. Panah dimulai dan diakhiri pada kotak yang sama,

2. Zat yang keluar dari kotak sebanding dengan jumlah yang masuk ke kotak, dan akan

sama jika memasuki kotak lain.

Panah yang menunjuk ke arah satu kotak, tetapi tidak keluar dari yang lain, menunjukkan

eksternal sumber zat (yaitu, input). Panah – panah ini diberi label “ I “, dimana “ I “

adalah laju masuk zat. Panah yang menjauh dari kotak tetapi tidak menuju kotak lain

berarti bahwa zat keluar dari sistem kotak tersebut. Suatu variabel menyatakan

jumlah zat dalam kotak i pada waktu t. Simbol dengan panah meninggalkan kotak i

dan masuk kotak j berarti bahwa zat kelur kotak i dan masuk kotak j pada laju .

7

Gambar 1. Sebuah cascade linear yang bergabung-bercabang

Gambar 1 menunjukkan cascade linear dengan dua input. Persamaan diferensial

dapat dikonstruksi secara langsung dari kotak dan panah. Sistem persamaan diferensial

linier orde satu didasarkan pada hukum keseimbangan yang diterapkan pada setiap kotak :

Sumber : [2]

BAB III

PEMBAHASAN DAN SIMULASI

3.1 Pemodelan Matematika dari Pencampuran Suatu Pencemar pada Danau

Memodelkan bagaimana pencemar dapat bergerak ke suatu lingkungan adalah

hal penting untuk mengetahui efek berbahaya dari pencemar. Salah satu situasi yang

paling sederhana adalah sumber pencemar yang mengotori suatu habitat seperti danau.

8

Dalam memodelkan sistem ini, bayangkan danau sebagai kompartemen, pencemar dalam

air mengalir masuk dan keluar dari kompartemen. Berikut diagram kompartemen untuk

mengilustrasikan model pencemar pada danau, di mana kotak merupakan kompartemen

dan panah merupakan laju aliran.[12]

Gambar 2. Compartment model untuk model pencemar pada danau

Untuk menentukan model matematika dari pencampuran suatu pencemar pada

danau, dibutuhkan beberapa asumsi – asumsi berikut ini :

1. Volum air pada suatu danau konstan

Batasan ini dibuat dalam periode tertentu terjadi pasang surut volum air dalam danau.

2. Campuran dalam danau tercampur dengan baik

Batasan ini dibuat agar konsentrasi pencemar yang masuk ke dalam danau sama

dengan konsentrasi pencemar yang keluar dari danau.

Untuk memeroleh persamaan perubahan laju jumlah pencemar di danau pada

saat t, menggunakan hukum keseimbangan ( balanced law ). Diberikan

L(t) sebagai jumlah pencemar dalam danau pada waktu t.

sebagai “laju masuk” adalah laju pencemar yang mengalir ke dalam danau pada waktu

t .

sebagai “ laju keluar “ adalah laju pencemar yang mengalir keluar danau pada waktu

t.

Maka dengan menggunakan hukum keseimbangan diperoleh

. . . . . ( 1 )

9

dengan sebagai laju perubahan pencemar dalam danau pada waktu t.

Persamaan diferensial tersebut digunakan saat tidak diketahui laju masuk dan

laju keluar, tetapi biasanya laju ini tidak konstan, Maka persamaan diferensial tersebut

bergantung pada laju aliran air yang masuk ke danau, laju aliran air yang keluar dari

danau dan konsentrasi pencemar yang masuk ke danau.

Diberikan beberapa parameter untuk memodelkan jumlah suatu pencemar dalam

waktu tertentu pada suatu danau :

1. V sebagai volum air pada suatu danau

2. sebagai volum aliran air yang masuk ke danau

3. sebagai volum aliran air yang keluar danau

4. sebagai konsentrasi pencemar yang masuk ke danau

Sehingga dapat dihitung laju masuk dan laju keluar

. . . . . ( 2 )

Untuk menghitung laju keluar, dihitung terlebih dahulu konsentrasi pencemar pada waktu

t

maka laju keluar . . . . . ( 3 )

Catatan : Jika volum air dalam danau tidak diasumsikan konstan, maka untuk menentukan

volum air pada danau pada saat t dapat menggunakan masalah nilai awal ,

sehingga .

10

Berdasarkan (1) ,(2) ,(3) diperoleh persamaan dtferensial yang merupakan

pemodelan matematika dari permasalahan pencampuran suatu pencemar pada danau pada

waktu t sebagai berikut.[12]

atau . . . . . ( 4 )

3.2 Solusi Umum Model Matematika dari Pencampuran Suatu Pencemar pada Danau

Pada subbab 3.1, diperoleh suatu model matematika dari permasalahn

pencampuran suatu pencemar pada danau yaitu

Untuk menentukan solusi umum dari model tersebut, menggunakan persamaan diferensial

linier order satu yang memiliki bentuk umum

Sehingga . . . . . ( 5 )

dimana dan dimana p(t) dan q(t) sebarang konstanta.

Dengan menggunakan faktor integrasi . Karena p(t) dan q(t)

suatu konstanta maka

dimana c sebarang konstanta.

Dipilih , kalikan kedua ruas dengan pada persamaan (5), diperoleh

11

Integralkan kedua ruas

. . . . . ( 6 )

Jadi persamaan (6) adalah solusi umum dari model matematika dari pencampuran suatu

pencemar pada danau, dimana dan dengan p(t) dan q(t)

sebarang konstanta.

3.3 Permasalahan Nilai Awal dari Model Matematika Pencampuran Suatu Pencemar

pada Danau

Menentukan nilai awal dari model matematika pencampuran suatu pencemar

pada danau dengan cara mensubstitusikan ke solusi umumnya

diperoleh .

Sehingga solusi khusus dari masalah nilai awal adalah

12

. . . . . ( 7 )

Solusi khusus tersebut menunjukkan jumlah suatu pencemar di dalam danau pada waktu

tertentu.

Berikut ini diberikan suatu ilustrasi contoh model matematika untuk

permasalahan pencampuran suatu pencemar pada danau untuk menentukan jumlah

pencemar dalam danau pada waktu t. [8]

Contoh 1 : Asumsikan bahwa volum suatu danau . Kondisi awal air danau masih

jernih, tetapi saat t = 0 sebuah industri lemak trans mulai mencemari danau dengan

memompakan limbah dengan konsentrasi zat kimia “F” sebanyak . Limbah yang

dipompakan ke dalam danau dengan laju . Ada juga sumber air murni yang

memasuki danau dengan laju . Pencemar di dalam danau tercampur dengan baik

dan campuran air keluar dari danau dengan laju . ( sehingga volum danau

dipertahankan ). Akan ditentukan jumlah zat kimia “F” di dalam danau saat t

mendekati tak hingga ( dalam satuan kilogram ).

Penyelesaian : Pertama ditentukan terlebih dahulu model persamaan diferensialnya

sebagai berikut. Ambil L(t) sebagai jumlah zat kimia “F” di dalam danau setelah t hari,

maka sebagai laju perubahan pencemar dalam danau pada waktu t. Dengan

menggunakan hukum keseimbangan diperoleh .

Menghitung laju masuk

13

dan laju keluar

Sehingga persamaan diferensial dari masalah campuran ini adalah

atau . . . . . ( 8 )

Menentukan solusi umum dari masalah campuran ini, dengan menggunakan metode

integrasi , dengan C sebarang konstanta. Pilih kemudian kalikan kedua

ruas dengan pada persamaan (8) sehingga sisi kiri persamaan (8) sama

dengan hasil turunan diperoleh

Dengan mecngintegralkan kedua ruas terhadap t, diperoleh

Kalikan kedua ruas dengan , diperoleh

Dengan syarat awal L(0)=0 yang menerangkan keadaan air danau masih jernih saat t=0

diperoleh jadi,

.

Maka dapat ditentukan jumlah zat kimia “F” dalam danau tersebut saat t menuju tak

hingga sebanyak . Berikut grafik dari

permasalahan pencampuran zat kimia “F” dalam danau saat t mendekati tak hingga.

Penggambaran grafik menggunakan software Maple 11.

14

Gambar 3. Jumlah zat kimia “F” di dalam danau saat waktu t mendekati tak hingga

Berikut simulasi komputer untuk memeroleh solusi dari contoh 1 di atas dengan

menggunakan software Maple 11:

1. Menggunakan algoritma untuk memeroleh solusi dari persamaan diferensial yaitu

>

2. Mendefinisikan model persamaan diferensial dari masalah pencampuran tersebut

dengan menggunakan notasi operasi D(L)(t) sebagai fungsi

turunan L tehadap t dan L(t) sebagai fungsi L.

> diperoleh

3. Mengalikan kedua ruas persamaan ode tersebut dengan faktor integrasi

sehingga ruas kiri persamaan ode sama dengan hasil turunan . Integralkan

kedua ruas dan kalikan dengan sehingga diperoleh solusi umum dengan sebarang

konstanta C.

> diperoleh

15

4. Sederhanakan solusi tersebut

> diperoleh

5. Menentukan C dengan menggunakan kondisi awal L(0)=0 dan menggunakan algoritma

solve untuk C.

> diperoleh

6. Menentukan solusi khusus dengan mensubstitusi C= - 200000 ke Soln.

> diperoleh

7. Algoritma untuk menggambar grafik dari masalah pencampuran pada contoh 1.

16

BAB IV

PENUTUP

4.1 Simpulan

Berdasarkan asumsi – asumsi yang diberikan dan menggunakan model

kompartemen serta hukum keseimbangan telah diperoleh pemodelan matematika dari

masalah pencampuran suatu pencemar pada danau yang berbentuk

dimana sebagai laju perubahan pencemar dalam danau pada waktu t

V sebagai volum air pada suatu danau

17

sebagai volum aliran air yang masuk ke danau

sebagai volum aliran air yang keluar danau

sebagai konsentrasi pencemar yang masuk ke danau

Dengan menggunakan metode faktor integrasi telah diperoleh solusi umum dari

model matematika tersebut

dimana , dengan p(t), q(t) dan C sebarang konstanta.

Dengan menggunakan kondisi awal telah diperoleh solusi khusus

dari model matematika tersebut yang menunjukan jumlah suatu pencemar dalam danau

pada waktu tertentu

4.2 Saran

Penerapan persamaan deferensial linier orde satu khususnya masalah

pencampuran suatu pencemar pada danau masih dapat dilakukan pengembangan lain

dalam menentukan pemodelan matematika dan solusinya. Hal ini bergantung pada asumsi

– asumsi yang diberikan misalnya diasumsikan volum danau tidak konstan, suatu

pencemar tercampur ke dalam beberapa danau dan lain sebagainya. Dalam makalah ini,

penulis fokus pada masalah pencampuran suatu pencemar pada satu danau, maka

disarankan untuk ada pengkajian masalah pencampuran suatu pencemar pada beberapa

danau dengan pengembangan pada asumsi yang diberikan.

18

DAFTAR PUSTAKA

[1] First – Order Linear Differential Equations [online]. Termuat di:

college.cengage.com/mathematics/larson/calculus.../clc7eap1502.pdf [Tanggal akses:

21 April 2012].

[2] First-Order Differential Equations and Models [online]. Termuat di:

www.wiley.com/college/borrelli/pdf/bctext1.pdf [Tanggal akses: 21 Maret 2012].

19

[3] Joel Aguirre dan Darren Tully ( 1999 ) Lake Poluttion Models [ online ]. Termuat di:

online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/deproj/.../lakepollution.pdf [Tanggal akses:

15 Maret 2012].

[4] Linear equations and the integrating factor [online]. Termuat di:

http://www.jirka.org/diffyqs/htmlver/diffyqsse6.html [Tanggal akses: 21 April 2012].

[5] Mathematical Modeling With Differential Equations [online]. Termuat di:

higheredbcs.wiley.com/.../ mathematical_modeling_with_diff_equations.pdf [Tanggal

akses: 21 April 2012].

[6] Paul Dawkins (2012), Modeling with First Order Differential Equations [online].

Termuat di: http://alfysta.wordpress.com [Tanggal akses: 14 Februari 2012].

[7] Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu [online]. Termuat di:

syafii.staff.uns.ac.id/files/2011/02/bab-i.pdf [Tanggal akses: 21 April 2012].

[8] Prof. Swift (2007) Differential Equations Final Exam [online]. Termuat di:

oak.ucc.nau.edu/jws8/classes/239.2012.1/S07FinalSolutions.pdf [Tanggal akses: 21

Maret 2012].

[9] Steve McKelvey, St. Olaf College ( 1995 ) Great Lakes Pollution [ online ]. Termuat di

: www.pagines.ma1.upc.edu/~edis/ lakes . pdf [Tanggal akses: 15 Maret 2012 ].

[10] William A. Adkins dan Mark G. Davidson ( 2004 ) Ordinary Diferential Equations

[ online ]. Termuat di: marian.fsik.cvut.cz/~herrmann/Adkins_Davidson.pdf [Tanggal

akses: 21 April 2012].

[11] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. ( 2001 ) Compartment Models [ online ].

Termuat di: www.kau.edu.sa/GetFile.aspx?id=134396&fn=Chapter%208.pdf [Tanggal

akses:21 Maret 2012].

[12] William E. Boyce, and Richard C. DiPrima (2001) Elementary Differential Equations

and Boundary Value Problems Seventh Edition. United States of America : John Wiley

& Sons, Inc.

[13] William Fox, dkk (1995) Lake Poluttion [ online ]. Termuat di:

www.cengage.com/math/book_content/...cd/.../lake_pollution.pdf [Tanggal akses: 18

Maret 2012].

20

21