KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMAMATERI TENTANGLINGKARAN

NAMA KELOMPOK :ASKA MUTA YULIANI (09320017 )AYU DWI ASNANTIA ( 09320042 )INDAH YUNIAWATI KHAIRIAH ( 09320046 )

KELAS 3AJURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG2010

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI 2

A. PERSAMAAN LINGKARAN 31. Definisi Lingkaran 32. Jarak dua titik 33. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari jari r44. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan jari jari r 55. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 7

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN 91. Definisi Garis Singgung92. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran 103. Persamaan Garis Singgung Bergradien m 114. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran 11C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN 13D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN 16

KUMPULAN SOAL SOAL 19

DAFTAR PUSTAKA 21

A. PERSAMAAN LINGKARAN

OABC1. Definisi LingkaranPerhatikan gambar lingkaran di samping!Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsure, diantaranya jari jari dan pusat lingkaran .O merupakan titik pusat.OA, OB , dan OC adalah jari jari .Jari jari (r) pada lingkaran memiliki panjang yang sama. Sehingga, OA = OB = OCDengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :Lingkaran adalah tempat kedudukan titik titik (himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu adalah sama ( konstan ) .Titik tertentu disebut pusat lingkaran,dan jarak konstan disebut jari jari lingkaran.

2. Jarak Dua TitikSebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,) .

0yxA(x1,y1)CB(x2,y2)

Pada segitiga ABC di atas, berlaku :

Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari jarinya r.

3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

YXP(x0,y0)O

Misalkan titik P(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka:

Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi .

Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari jari r Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari jari:a. 5 b. 10 c. 8

Jawab :a. b. c.

Tentukan panjang jari jari lingkaran apabila diketahui persamaannya :a. b.

Jawab :a. b.

4. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r

OP ( x0,y0 )M (a,b)YX

Jarak MP = r = jari jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x0,y0) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran didapat :

Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : ( Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari jari r adalah :

. Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari jari r Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat M(5,2) dan jari jari 4.Jawab :

Tentukan pusat dan jari jari lingkaran bila diketahui persamaan lingkaran :

Jawab :

Jadi, pusat lingkaran (5,2) dan jari jari lingkaran 10

5. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut :

Persamaan Lingkaran

Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari jari lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah dan jari jari lingkaran

tidak diambil, karena jari jari lingkaran selalu positif.

Contoh Soal .Tentukan pusat dan jari jari lingkaran jika persamaan lingkarannya adalah :

a.

b.

Jawab :

a.

=

b.

Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah :

Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari jari r adalah

Persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan jari jari r adalah

Persamaan Lingkaran dengan bentuk Umum :

Memiliki pusat lingkaran

Dan jari - jari

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Definisi Garis SinggungGaris singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!

P(a,b)999rA(x1,y2)D=0gGaris SinggungO(0,0)

g Garis singgung A(x1,Y1)titik singgung

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:

Y=mx+cT(X1,y1)

Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

Y=m+c2Y=m+c1

Garis singgung bergradien m

Y=m2x+c2R(x1,y1)Y=m1x+c1

Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada LingkaranRumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Persamaan LingkaranPersamaan Garis Singgung

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran.

Contoh Soal .Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran yang melalui titik (-3,1).Jawab:Titik (-3,1) dan , terletak pada Persamaan garis singgungnya Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (-3,1) adalah

3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m

Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah

Persamaan LingkaranPersamaan Garis Singgung

Ubah bentuk persamaan ke gunakan rumus

4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.

a. Menggunakan rumus Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran adalah adalah dengan

b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien mTeknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m.

Contoh :Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, yang malalui (7,1)JawabPersamaan 1 : Persamaan 2 :

Persamaan Garis singgung 1

Persamaan Garis singgung ke 2

C. HUBUNGAN ANTARA GARIS DAN LINGKARAN

PYXACB0

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis yang memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu:

1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

AB

D>0garis memotong pada 2 titik yang berbeda

2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung Lingkaran

A

D= 0garis menyinggung pada satu titik

3. Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran

D < 0maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:

1. Jika D < 0Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang BerbedaD= 0garis menyinggung pada satu titikD>0garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Contoh SoalTentukan posisi garis y = !Penyelesaian:y = subsitusi pada

==944D>0Maka garis memotong pada dua titik yang berbeda

D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN

Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran :Pada gambar a lngkaran dan berpotongan di dua titik yang berlainan Jika pusat lingkaran berada di lingkaran , atau sebaliknya dikatakan dan berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i) Jika pusat lingkaran di luar lingkaran atau sebaliknya ,dikatakan dan berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)

(b) dan bersinggungan

Pada gambar b (i) lingkaran dan bersinggungan di dalam sedangkan gambar b(ii), lingkaran dan bersinggungan di luar

(c). dan Tidak berpotongan maupun bersinggungan

Pada gambar c(i), lingkaran dan tidak berpotongan maupun bersinggung didalam Pada gambar c(ii), lingkaran dan tidak berpotongan maupun bersinggung diluar Jika lingkaran dan tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka dan saling lepas. Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu: Dua lingkaran sepusat atau kosentris

Lingkaran dikatakan sepusat dengan lingkaran , jika pusat lingkaran berimpit dengan pusat lingkaran , tetapi jari jari lingkaran tidak sama dengan jari jari lingkaran Dua lingkaran berimpit Lingaran dikatakan berimpit dengan lingkaran jika pusat dan jari jari lingkaran sama dengan pusat dan jari jari lingkaran

CONTOH SOALTentukan Posisi dua Lingkaran berikut.

Jawab :

Substitusi ke diperoleh :

Nilai Diskriminan persamaan kuadrat adalah:

KUMPULAN SOAL SOAL LINGKARAN

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari a. 3 b. c. 7 d. e.

2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat dan jari-jari sebagai berikut:a. pusat (5, 1) dan jari-jari 4b. pusat (2, 3) dan jari-jari 12c. pusat (3, 4) dan jari-jari 9d. pusat (1, 5) dan jari-jari 3

3. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran jika persamaannya :a. b. c. d. e. f.

4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O(0,0), pusatnya pada garis x + 2y = 5, dan jari-jarinya 5.

5. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu y dititik asal dan melalui titik (6, 3).

6. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x, r = 2 dan pusatnya pada garis 2x + y = 4.

7. Bagaimana Posisi :

a. Garis terhadap lingkaran b. Garis terhadap lingkaran c. Garis terhadap lingkaran

8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2, - 1 ), (4,5), dan ( - 3, - 2 ).

9. Tentukan pusat dan jari jari lingkaran yang melalui titik titik (0,5),(12,0) dan titik pusat O.

10. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui :a. Titik (24, - 7) pada lingkaran 11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dan mempunyai gradient 3!

12. Sebuah lingkaran berpusat pada O(0,0) dan berjari jari 5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran itu dan yang harus sejajar dengan garis

13. Tentukan Posisi dari dua Lingkaran berikut!

DAFTAR PUSTAKA

Bird, John. 2002. Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga

Budiyono. 1984. Matematika Program Inti. Malang : Widia Duta

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 untuk SMA kelas XI Program Ilmu Alam. Jakarta : Erlangga

http://matematikaict.files.wordpress.com.2009.03.pembelajaran-lingkaran-SMA-dengan-geometri-analitik.html

18