LOGIKA MATEMATIKALOGIKA MATEMATIKAKALKULUS PROPOSISIKALKULUS PROPOSISI

Definisi (Proposisi)Definisi (Proposisi) Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimatdeklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B)atau ”Salah”(S).

Kalkulus proposisi (propotional calculus) merupakan metode untukkalkulasi menggunakan proposisi/kalimat. Dalam kalkulus proposisiyang ditinjau adalah nilai kalimat deklaratif (true/false), metodepenggabungan kalimat dan penarikan kesimpulan (kalimat)berdasarkan kalimat tersebut.

Suatu proposisi adalah sebuah variabel logika p, q, r, ... atau sebuahungkapan yang dibangun dari variabel-variabel ini dan hubungandengan logika (∧, ∨, ∼).

Tabel kebenaran dari proposisi terdiri dari kolom-kolom dalam variabel-variabel dan kolom-kolom dalam proposisi.

Beberapa contoh proposisi dan bukan proposisi:1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.4. Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tennes.5. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.6. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.7. Berolahragalah secara teratur!8. Pergi kamu!9. Ke Bogor.10. Apa yang kamu lakukan?

• Kalimat deklaratif pertama, kedua dan ketiga dalam tidak memuat penghubung disebut proposisi primitip(primitif ), dan dilambangkan dengan huruf kecil: p, q, r, s.

• Kalimat deklaratif keempat dan kelima memuat penghubung ”atau” dan ”jika...maka...” disebut proposisi majemuk(composite). Kalimat keenam, ketujuh, kedelapan, kesembilan, dan sepuluh bukan proposisi.

• Sebuah statemen (pernyataan) adalah suatu koleksi simbolik yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah statemen disebut nilai kebenaran.

Penghubung atau Penghubung atau konektif(konektif(connectiveconnective))

Dalam logika matematika dikenal sebanyak

5 penghubung, yaitu:

• Konjungsi(Conjunction)

• Disjungsi(Disjunction)

• Negasi(Negation)

• Implikasi(Implication)

• Ekuivalensi(Equivalence)

• Konjungsi / AND / ∧Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, p ∧ q,

adalah sebuah proposisi yang bernilai benar jika

proposisi p dan q keduanya bernilai benar.

Pernyataan ”p DAN q” dapat ditulis p ∧ q

Contoh: • p = Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai

kehidupan. (B)• q = Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)• p ∧ q = Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang

mempunyai kehidupan dan satu dekade sama dengan 10 tahun.

Tabel kebenaran:

• Disjungsi / OR / ∨Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p ∨ q,

adalah proposisi yang bernilai salah jika

proposisi p dan q keduanya bernilai salah.

Pernyataan ”p ATAU q” dapat ditulis p ∨ q

Contoh:• p = Blaise Pascal menemukan mesin hitung.• q = Taufik hidayat pandai bermain bulu tangkis.• p ∨ q = Blaise Pascal menemukan mesin hitung atau Taufik

hidayat pandai bermain bulu tangkis

Tabel kebenaran:

• Negasi / NOT / ∼Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai

kebenaran, B=S, maka negasinya ditulis sebagai, p,

memiliki nilai kebenaran lawannya ∼ p, S=B

∼ p = bukan p / tidak p/ tidak benar bahwa a

∼ p adalah benar bilamana p salah, dan ∼ p adalah

salah bilaman p benar. Nilai kebenaran dari negasi

suatu pernyataan selalu berlawanan dengan nilai

kebenaran pernyataan aslinya.

Contoh:• p = Komputer digital elektronik pertama dirakit pada abad ke

dua puluh.

∀ ∼ p = Komputer digital elektronik tidak dirakit pada abad ke dua puluh

Tabel Kebenarannya:

• Implikasi / → Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p → q,

ialah proposisi yang bernilai salah jika dan hanya

jika p bernilai benar dan q bernilai salah.

Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa)

dan proposisi q disebut

konsekuen(konklusi/kesimpulan)

Pernyataan ”Jika p maka q” ditulis dengan notasi p → q

Contoh:• p = Bunga mawar berwarna merah.• q = Manusia memiliki rambut.• p → q = Jika Bunga mawar berwarna merah maka manusia memili

rambut.

Tabel kebenaran:

• Bi - Implikasi / ↔ Proposisi bersyarat penting lainnya adalah berbentuk “p

jika dan hanya jika q” yang dinamakan bi-implikasi.

Ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan, p ↔ q, adalah

proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q

mempunyai nilai kebenaran sama. Pernyataan ”jika p dan

hanya jika q” ditulis dengan notasi p ↔ q

Contoh:• p = Saya pergi ke Puncak.• q = Mobil berada di rumah.• p ↔ q = Saya pergi ke Puncak jika dan hanya jika mobil berada di

rumah.

Tabel kebenaran:

Contoh soalContoh soal1. Misalkan p adalah ”Dia tinggi” dan q adalah ”Dia tampan”. Tuliskan setiappernyataan berikut dalam bentuk simbolik dengan menggunakan p dan q(Asumsikan bahwa ”Dia rendah” berarti ”Dia tidak tinggi”.)• Dia tinggi dan tampan.• Dia tinggi tetapi tidak tampan.• Salah bahwa dia rendah atu tampan.• Dia tidak tinggi maupun tampan.JAWAB:• p ∧ q c. ∼ (∼ p ∨ q)• p ∧ ∼ q d. ∼ p ∧ ∼ q

2. Misalkan p adalah ”Sam orang kaya” dan q adalah ”Sam bahagia”. Berikansebuah kalimat verbal sederhana yang menggambarkan setiap pernyataanberikut:a. p ∧ q c. p ∨ ∼ qb. ∼ p ∧ ∼ q d. ∼ p ∨ (p ∧ ∼ q)JAWAB:• Sam orang miskin tetapi bahagia.• Saya tidak kaya maupun bahagia.• Sam orang kaya atau tidak bahagia.• Sam orang miskin atau juga dia orang kaya dan tidak bahagia.

3. Misalkan p adalah ”Audi berbicara bahasa

Perancis” dan q adalah ” Audi berbicara bahasa

Mandarin. Tuliskan setiap pernyataan berikut

dalam bentuk simbolik.

• Audi berbicara bahasa Perancis atau Mandarin.• Audi berbicara bahasa Perancis dan Mandarin.• Audi berbicara bahasa Perancis tetapi tidak Mandarin.• Audi tidak berbicara bahasa Perancis atau dia tidak berbicara bahasa

Mandarin.

JAWAB:

a. p ∨ q c. p ∧ ∼ q

b. p ∧ q d. ∼p ∨ ∼ q

4. Buatlah tabel kebenaran dari ∼ (p ∨ q)!

JAWAB:

Tabel kebenaran untuk ∼(p ∨ q)

5. Buat tabel kebenaran untuk:– p ∨ ∼ q

� ∼ p ∨ ∼ q

JAWAB:

a. Tabel kebenaran untuk p ∨ ∼ q

b. Tabel kebenaran untuk ∼ p ∨ ∼ q

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSITAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI • Sebuah proposisi disebut tautologi jika ia benar

untuk semua kasus, proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat B (benar).

• Sebuah proposisi disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus, proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat S (salah).

• Contoh Tautologi:– Buktikan bahwa proposisi p ∨ ∼ (p ∧ q) adalah sebuah

tautologi. Buatlah tabel kebenarannya!

• Jawab:

Karena nilai kebenaran dari p ∨ ∼ (p ∧ q) adalah B (benar) untuk semuanilai p dan q maka proposisi adalah sebuah Tautologi.Contoh Kontradiksi:1. Buktikan bahwa proposisi (p∧q) ∧ ∼ (p∨q) adalah sebuah Kontradiksi.JawabTabel kebenaran:

Karena nilai kebenaran dari (p∧q) ∧ ∼ (p∨q) adalah S (salah) untuk semua nilai p

dan q maka proposisi adalak sebuah kontradiksi.

Latihan Latihan 1. Buatlah kedalam notasi simbolik proposisi-proposisi dibawah ini:• Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.• Jika Amir bukan orang kaya, maka tidak mempunyai mobil.• Mata Anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi.• Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan.

2. Buatlah kalimat yang baik sesuai dengan notasi simbolik berikut:• p ∨ q• q → ∼p∀ ∼p ∧ (∼q ∨ r)∀ ∼ (p ∨ q) ∧

3. Buktikan bahwa proposisi ∼ (p ∧ q) ↔ ∼ p ∨ ∼q adalah sebuahtautologi. Buatlah tabel kebenarannya!

4. Jika p, q, r adalah proposisi. Buatlah table kebenaran dari proposisiberikut: (p ∧ q) ∨ (∼q ∧ r)