Logika Proposisi

LOGIKA PROPOSISI

Bagian Keempat :

K U L I A H M AT E M AT I K A D I S K R I T

Program Studi Teknik Elektro

Logika Proposisi

ARI FADLI, S.T.

Logika Proposisi



Tujuan :Mahasiswa dapat menyebutkan tentang logika proposisi, operator dan sifat proposisi

Proposisi



Definisi : Setiap pernyataan yang hanya memiliki

satu nilai benar atau salah. disimbolkan menggunakan huruf Pernyataan yang memiliki makna/arti Disebut juga sebagai kalimat deklaratif Bukan merupakan kalimat perintah atau tanya

Logika Proposisi



Definisi :Logika yang menangani, memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi

Logika Proposisi



Definisi :1. Pernyataan = suatu kalimat yang

memiliki arti2. Ditulis dengan huruf besar/kecil A,B,c,d3. Nilai dari pernyataan tersebut bisa

bernilai benar atau salah4. Disebut juga sebagai kalimat deklaratif

Logika Proposisi



Contoh :1. 2 + 2 = 42. Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23.

Bukan Proposisi :1. A + B 5

Logika Proposisi



DeskripsiA = Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23.A atau lainnya yang menggantikan atau mewakili proposisi disebut sebagai variable proporsisionalTrue/False/T/F kemudian disebut sebagai konstanta proporsisional

Soal



Proposisi atau bukan ?1. Dewi belajar2. Budi adalah seorang mahasiswa yang

pandai pada matakuliah Matematika Diskrit

3. Angka 13 adalah angka sial4. Tati, cepat kerjakan tugasmu !5. Tari, apakah anda sudah menyelesaikan

final report

Jawaban



1. Pernyataan ke-3 menimbulkan perdebatan karena tidak setiap orang setuju ada juga yang tidak perduli, atau tidak juga memiliki arti (bukan proposisi)

2. Pernyataan ke-1 dan 2 (merupakan proposisi)

3. Pernyataan ke-4 dan ke-5 (bukan proposisi karena merupakan kalimat perintah dan kalimat tanya)

Contoh Soal



“Gajah lebih besar daripada kucing”

Ini suatu perrnyataan ?

Ini suatu proposisi ? Apa nilai kebenarannya ?

benar

Latihan



1. “1089 < 101”

2. “y > 16”

3. “Bulan ini Februari”4. “Jangan Tidur dikelas”5. “Jika gajah berwarna hijau mereka

dapat berlindung dibawah pohon bambu”

6. “x < y jika dan hanya jika y > x”

Jawaban



“1089 < 101”

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? ya

Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? sala

h

Jawaban



“y > 15”

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? bukanNilai kebenarannya bergantung pada nilai y, tapi nilai ini tidak spesifik. Kita katakan tipe pernyataan ini adalah fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

Jawaban



“Bulan ini februari”

Ini pernyataan ? ya

Ini proposisi ? ya

Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? sala

h

Jawaban



“Jangan tidur di kelas”

Ini pernyataan ? bukan

Ini proposisi ? bukan

Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi.

Jawaban



“Jika gajah berwarna merah,mereka dapat berlindung di bawah pohon bambu”

Ini pernyataan ? Ya

Ini proposisi ? Ya

Apa nilai kebenaran proposisi tersebut ? probably

false

Jawaban



“x < y jika dan hanya jika y > x”

Ini pernyataan ? Ya

Ini proposisi ? Ya

Apa nilai kebenaran dari proposisi tsb ?

true

… sebab nilai kebenarannya tidak bergantung pada nilai x dan y.

Logika Proposisi



Macam :1. Proposisi tunggal (atomic)

Proposi yang hanya berisi satu variable atau satu konstanta proporsisional

2. Proropisi majemuk (compound)Penggabungan proposisi atomik menggunakan kata penghubung (connectives)

Logika Proposisi



Contoh :1. Proposisi tunggal (atomic)

Setiap mahasiswa teknik elektro pandai2. Proropisi majemuk (compound)

Bono kaya raya dan memiliki banyak harta

Logika Proposisi



Penghubung Logika (Logical Connectives) :

1. Tidak/Not/Negasi Simbol 2. Dan/And/Konjungsi Simbol 3. Atau/Or/Disjungsi Simbol 4. Implikasi Simbol 5. Bi-Implikasi Simbol 6. Exclusive OR (XOR) Simbol 7. Tidak Dan Simbol |

8. Tidak Atau Simbol

Logika Proposisi



Hirarki Penghubung :Hirarki

ke -Simb

ol Nama

1 Negasi tidak ….

2 Konjungsi …. dan ….

3 Disjungsi(XOR)

.... atau ….

4 Implikasi /Conditional

.... jika …. Maka

5 Ekuivalensi / Bi Implikasi

/ Bi Conditional

.... bila dan hanya bila ….

Tabel Kebenaran



DefinisiMerupakan satu tabel yang menunjukan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.

Tabel Kebenaran



Tabel Kebenaran Negasi

p Ø p

0 1

1 0

Contoh: p = Budi seorang mahasiswa p = Budi bukan seorang mahasiswa

Tabel Kebenaran



Tabel Kebenaran Konjungsi

p q p q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

P : Harimau adalah binatang buas q : Malang adalah ibukota Jawa Timur p q : Harimau adalah binatang buas dan

Malang adalah ibukota Jawa Timur

Definisi : p q akan benar jika dan hanya jika keduanya bernilai benar

dan jika lainnya pasti salah

Tabel Kebenaran



Tabel Kebenaran Disjungsi

p q p v q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

p : Bono seorang mahasiswa q : Wira seorang sarjana teknikp v q : Bono seorang mahasiswa atau

Wira seorang sarjana teknik

Definisi : p q akan benar jika dan Salah satu diantaranya adalah benar

dan jika lainnya pasti salah

Tabel Kebenaran



Tabel Kebenaran Implikasi

p q p q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

p : Bono seorang mahasiswa q : Wira seorang sarjana teknikp q : jika Bono seorang mahasiswa maka Wira seorang sarjana teknik

antecendent consequent hipotesis kesimpulanDefinisi : p q akan salah jikanilai p

bernilai benar dan nilai q bernilai salah dan jika lainnya pasti benar

Proposisi



Cara Penyebutan Implikasi

if p then qwhenever p then qp is sufficient for qp only if qp implies q

Tabel Kebenaran



Cara Penyebutan Implikasi

q if p q whenever pq is neccesarry for pq is implied by p

Tabel Kebenaran



Syarat Implikasi adalah perlu dan Cukup, perhatikan contoh berikut ini : Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. Perlu = necessary; Cukup = sufficient

Contoh:

Jika Bono seorang mahasiswa maka Wira

seorang sarjana teknik Kondisi perlu : Wira seorang sarjana teknik Kondisi cukup : Bono seorang mahasiswa

Tabel Kebenaran



Tabel Kebenaran Bi Implikasip q p p

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Definisi : Proposisi yang bernilai benar Jika p bernilai benar dan q bernilai benarJika p bernilai salah dan q bernilai salahDan lainnya pasti salah

Tabel Kebenaran



Tabel Kebenaran Tidak Atau

p q p q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

P q dapat pula disebut sebagai not orDan akan bernilai benar jika p bernilai

salah dan q bernilai salah, dan jika lainnya pasti salah

Tabel Kebenaran



Tabel Kebenaran Tidak Dan

p q p | q

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

p | q dapat pula disebut sebagai not andAkan bernilai salah jika p bernilai benar

dan q bernilai benar dan jika lainnya pasti benar

Logika Proposisi



Contoh Penerapan :p : motor itu bannya kurang anginq : motor itu kehabisan bahan bakar

Motor itu bannya kurang angin dan kehabisan bahan bakar dapat disimbolkan dengan

p q

Logika Proposisi



Contoh :Dengan kondisi sama simbolkanlah

pernyataan berikut :

1. Motor itu tidak kehabisan bahan bakar tapi bannya kurang angin

2. Tidak benar bahwa motor itu kehabisan bahan bakar dan bannya kurang angin

Logika Proposisi



p = Motor itu tidak kehabisan bahan bakar q = Motor itu bannya kurang angin

Logika Proposisi



Solusi :Motor itu tidak kehabisan bahan bakar tapi bannya kurang angin

q pTidak benar bahwa motor itu kehabisan bahan bakar dan bannya kurang angin

(q p)

Logika Proposisi



Tabel Kebenaran :

p q p p q p q p q p q

T T F T T T T

T F T F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

Latihan



Misalkan kondisinya seperti ini :A = Budi sakit fluB = Budi test SPMBC = Budi lulus

Buatlah pernyataan dan tabel kebenarannya berikut ini :1. A B 3. (A B) C2. B C 4. (A B) C

Jawaban



A = Budi sakit flu

B = Budi test SPMB

C = Budi lulus

1. A B Jika Budi sakit flu maka budi tidak test SPMB Oleh karena budi sakit flu maka budi

tidak test SPMB Budi tidak test SPMB jika Budi sakit flu Budi tidak test SPMB oleh karena budi sakit flu

A B Ø B

A B

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

Jawaban



A = Budi sakit flu

B = Budi test SPMB

C = Budi lulus

1. B C Jika Budi test SMPB maka budi tidak test lulus

B C Ø C

B C

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

Jawaban



A = Budi sakit flu

B = Budi test SPMB

C = Budi lulus

1. (A B) C (A B) CA B

CA B

(A B ) C

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 1 1

A B C

A B

(A B ) C

0 0 1 0 1

0 1 0 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

Proposisi



Tautologi, proposisi yg memuat nilai true untuk variabel hasilnya. p v p

Kontradiksi, proposisi yg memuat nilai false untuk variabel hasilnya. p p

Kontingensi, proposisi yg memuat campuran dari true dan false utk kolom hasilnya. p q

Proposisi



Contoh Tautologi (Disimbolkan oleh) = Excluded Middle Law p v p

p Ø p

p v p

T F T

T T T

F F T

F F T

Proposisi



Contoh Kontradiksi p p

p Ø p

p p

T F F

T F F

F T F

F T F

Proposisi



Contoh Kontingensi p q

p Ø p

q p q

T F T T

T F F F

F T T F

F T F F

Proposisi



Konversi

q p disebut konversi dari p q Inversi

dari p q adalah p q Kontraposisi

q p disebut kontrapositif dari p q

Proposisi



Hukum Ekuivalensi Logika

1. Hukum Komutatif

a

2. Hukum Asosiatif ( ) ( ) ( ) ( )

Proposisi




3. Hukum Distributif ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4. Hukum Identitasp T p p R p

Proposisi




5. Hukum Ikatanp T T p F F

6. Hukum Negasi Ganda

7. Hukum Negasip p T

Proposisi




8. Hukum Idempotenp p p p p p

9. Hukum Demorgan ( ) ( )

Proposisi




10. Hukum Absorpsip (p p) p p (p p) p

Contoh Soal



Tunjukkan bahwa p (p q) p q !

p (p q) p ( p q) (Hukum De Morgan)

(p p) (p q) (Hukum distributif)

T (p q) (Hukum negasi)

p q (Hukum identitas)

Solusi :

Contoh Soal



Buktikan hukum penyerapan : p (p q) p !

Solusi :

p (p q) (p F ) (p q) (Hukum identitas)

p (F q) (Hukum distributif)

p F (Hukum Null)

p (Hukum identitas)

Logika Proposisi

Documents

Transcript of Logika Proposisi