LOGIKA MATEMATIKA - Student Blog · • Validitas pembuktian. Matematika Industri I Pokok Bahasan...

Matematika Industri I

LOGIKA MATEMATIKA


TIP – FTP - UB


Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

• Validitas pembuktian


Logika dan Logika Matematika

• Logika ilmu yang mempelajari secarasistematis kaidah-kaidah penalaran yang valid – Penalaran deduktif dan penalaran induktif– Penalaran diungkapkan dalam bahasa (kalimat-

kalimat)– Logika mempelajari kalimat-kalimat yang

mengungkapkan atau merumuskan penalaranmanusia

• Logika matematika (logika simbol) logika yang menggunakan bahasa matematika (lambang-lambang atau simbol-simbol)– Ringkas, univalent dan universal


Pernyataan dan Proposisi

• Pernyataan– Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau

salah). – Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung

kalimat disebut pernyataan primer / pernyataantunggal / pernyataan atom, sedangkan pernyataanyang mengandung satu atau lebih kata hubungkalimat disebut pernyataan majemuk

• Proposisi– Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar

(true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya


“Gajah lebih besar daripada tikus.”

ApakahApakah iniini sebuahsebuah pernyataanpernyataan?? YAYA

ApakahApakah iniini sebuahsebuah proposisiproposisi?? YAYA

ApakahApakah nilainilai kebenarankebenarandaridari proposisiproposisi iniini??

BENARBENAR

Permainan


“520 < 111”




SALAHSALAH

Permainan


“y > 5”

NilaiNilai kebenarankebenaran daridari pernyataanpernyataan tersebuttersebutbergantungbergantung padapada y, y, tapitapi nilainyanilainya belumbelumditentukanditentukan..

PernyataanPernyataan jenisjenis iniini kitakita sebutsebut sebagaisebagaifungsifungsi proposisiproposisi atauatau kalimatkalimat terbukaterbuka..


ApakahApakah iniini sebuahsebuah proposisiproposisi?? TIDAKTIDAK

Permainan


“Sekarang tahun 2011 dan 99 < 5”




SALAHSALAH

Permainan


“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

TIDAKTIDAK

TIDAKTIDAK

HanyaHanya pernyataanlahpernyataanlah yang yang bisabisa menjadimenjadiproposisiproposisi..

IniIni adalahadalah sebuahsebuah permintaanpermintaan..

ApakahApakah iniini sebuahsebuah pernyataanpernyataan??

ApakahApakah iniini sebuahsebuah proposisiproposisi??

Permainan


“x < y jika dan hanya jika y > x.”

ApakahApakah iniini pernyataanpernyataan ?? YAYA

ApakahApakah iniini proposisiproposisi ?? YAYA

ApakahApakah nilainilai kebenarankebenarandaridari proposisiproposisi iniini ?? BENARBENAR

…… karenakarena nilainilai kebenarannyakebenarannyatidaktidak bergantungbergantung hargahargaspesifikspesifik x x maupunmaupun y.y.

Permainan


Proposisi dilambangkan dengan hurufkecil p, q, r, ….

Contoh:

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Soekarno adalah alumnus UGM.

r : 2 + 2 = 4


Mengkombinasikan Proposisi

• Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction): p dan q

Notasi p q,2. Disjungsi (disjunction): p atau q

Notasi: p q3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p

Notasi: p

• p dan q disebut proposisi atomik• Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi

majemuk (compound proposition)


Contoh Proposisi-proposisi berikut:

p : Hari ini hujanq : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkandari sekolah

p q : Hari ini hujan atau murid-muriddiliburkan dari sekolah

p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari initidak hujan)


Pokok Bahasan



• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor



Tabel Kebenaran

p q p q p q p q p q

T T T T T T T FT F F T F T F TF T F F T TF F F F F F

Contoh. Misalkan

p : 17 adalah bilangan prima (benar)q : bilangan prima selalu ganjil (salah)

p q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil (salah)


Hukum-hukum Logika

Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.

1. Hukum identitas: p F p p T p

2. Hukum null/dominasi: p F F p T T

3. Hukum negasi: p ~p T p ~p F

4. Hukum idempoten: p p p p p p

5. Hukum involusi (negasi ganda): ~(~p) p

6. Hukum penyerapan (absorpsi): p (p q) p p (p q) p


7. Hukum komutatif: p q q p p q q p

8. Hukum asosiatif: p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r

9. Hukum distributif: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

10. Hukum De Morgan: ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q


Pokok Bahasan



• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor



TAUTOLOGI

• Tautologi adalah suatu bentuk kalimat majemukyang selalu bernilai benar untuk setiap penggantianpeubahnya dengan sebarang pernyataan.

• Suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilaisalah untuk setiap perngantian peubahnya dengansebarang pernyataan disebut Kontradiksi

• Bila penggantian peubah-peubah itu denganpernyataan dapat menghasilkan pernyataan yang benar atau pernyataan yang salah, maka bentuk itudisebut Kontingensi


TAUTOLOGI

• Pembuktian Tautologi :1. Dengan Tabel Kebenaran Bentuk pernyataan

majemuk adalah tautologi bila kolom terakhir daridaftar kebenarannya berisi nilai ‘1’ semua

2. Bentuk pernyataan majemuk diturunkan menjadibentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnyadiperoleh bentuk yang dikenal sebagai Tautologi

3. Khusus untuk bentuk pernyataan majemuk yang berupa suatu ekuivalensi Salah satu rupanyaditurunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk dariruas lainnya.


Contoh. p ~(p q) adalah sebuah tautologi

p q p q ~(p q) p ~(p q)

T T T F TT F F T TF T F T TF F F T T

Proposisi majemuk disebut tautologi jikaia benar untuk semua kasus


Pokok Bahasan



• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor



Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.

Notasi: P(p, q, …) Q(p, q, …)

Contoh. Hukum De Morgan: ~(p q) ~p ~q.

p q p q ~ (p q) ~ p ~q ~ p ~ q

T T T F F F FT F F T F T TF T F T T F TF F F T T T T


Pokok Bahasan



• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor



Conto. (p q) ~(p q) adalah sebuah kontradiksi

p q p q p q ~(p q) (p q) ~(p q)

T T T F F FT F F T F FF T F T F FF F F F T F

Proposisi majemuk disebut kontradiksijika ia salah untuk semua kasus


Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya• Nilai kebenaran dari proposisi• Tautologi• Ekuivalen• Kontradiksi• Kuantor• Validitas pembuktian


PERNYATAAN BERKUANTOR

• Suatu kalimat terbuka akan diubah menjadi pernyataanbila semua peubahnya diganti dengan konstanta darisemesta pembicaraannya.

• Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadipernyataan ialah dengan memakai kuantor (dari kata”quantity” yang berarti ”banyaknya” ).

• Ada dua macam kuantor, yaitu:

a. Kuantor Universal, lambangnya : ” ”

b. Kuantor Eksistensial, lambangnya : ” ”


PERNYATAAN BERKUANTOR

• Kalimat terbuka ”P(x)” akan berubah menjadi pernyataan apabiladi depannya ditambahkan suatu kuantor, sbb:

• ( x ). P (x), yang dibaca :Semesta pembicaraan: Bilangan AsliUntuk setiap x, x adalah bilangan positif. Setiap ( semua) x adalah bilangan positif.

Ini adalah pernyataan yang bernilai benar. • ( x ). P ( x ), yang dibaca :

Semesta: Bilangan BulatTerdapatlah x sedemikian sehingga x adalah bilanganpositif ( “ Terdapat “ disini berarti sekurang – kurangnya

ada satu ).Ini adalah pernyataan yang bernilai benar.


• Bila suatu kalimat terbuka memuat lebihdari satu peubah, maka untukmengubahnya menjadi pernyataan setiappeubahnya harus diberi kuantor.

• Banyaknya kuantor yang dibutuhkan didepan kalimat terbuka harus sama denganbanyaknya peubah agar kalimat terbukaitu berubah menjadi peryataan.


• Misalnya suatu kalimat terbuka yang memuat duabuah peubah x dan y disajikan dengan lambang”P(x,y)” Jika mendapatkan tambahan kuantormenjadi :

( x ). P(x,y) ( y ). P(x, y)( x ) . P(x,y) ( y ). P(x,y)

Semuanya masih tetap merupakan kalimat terbuka. • Peubah yang diberi kuantor disebut peubah terikat,

sedangkan peubah yang tidak diberi kuantor disebutpeubah bebas.


• Sedangkan bentuk-bentuk:

( x ) ( y ). P(x,y).

( x ) (y ). P(x,y)

( x) ( y ). P(x,y).

(x ) ( y ). P(x,y)

Semuanya merupakan pernyataan.


Ingkaran dari pernyataanberkuantor

• Ingkaran dari suatu peryataan berkuantor dapatdinyatakan dengan lambang logika berikut ini:

• Menyatakan bahwa “ Tidak semua manusia pandai “sama dengan menyatakan bahwa : “ Ada manusiayang tidak pandai “Dengan P(x) adalah lambang untuk “x adalah pandai “Demikian pula : Mengatakan bahwa “Tidak adamanusia yang pandai “ Sama dengan mengatakanbahwa : “ Semua manusia tidak pandai “

Dengan perkataan lain kedua peryataan tersebut adalahekuivalen

)()()()( xPxxPx

)()()()( xPxxPx


Pokok Bahasan



• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor



Validitas pembuktian

• Validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran

• Bentuk kebenaran yang digeluti matematikawan adalah kebenaran relatif– Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan

dengan sistem aksiomatik tertentu– Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid

dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah• Menentukan validitas argumen dengan tabel kebenaran

tidaklah selalu praktis. – Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran

dasar dan bentuk kondisional• Bentuk agumen yang paling sederhana dan klasik

– Modus ponens dan Modus tolens


Modus Ponen

• Premis 1 : p q• Premis 2 : p• Konklusi : q• Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar,

dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda untuk menyatakan konklusi, seperti p q, p q)

• Contoh :• Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)• Premis 2 : Saya belajar (benar)• Konklusi : Saya lulus ujian (benar)• Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi)

menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen


Modus Tolen

• Premis 1 : p q• Premis 2 : ~ q• Konklusi : ~ p• Contoh :• Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai

jas hujan (benar)• Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar)• Konklusi : Hari tidak hujan (benar)• Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi,

sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.


Silogisma

Premis 1 : p qPremis 2 : q rKonklusi : p r

Contoh :Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B)Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B)Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B)


Silogisma Disjungtif

Premis 1 : p qPremis 2 : ~ qKonklusi : p

Jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid

Premis 1 : p ∨ qPremis 2 : qKonklusi : ~ p

Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), makasillogisma disjungtif di atas adalah valid.

Contoh :1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya

atau membosankan (B)Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B)Konklusi : Pengalaman ini membosankan (B)

2. Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B)Premis 2 : Air ini panas (B)Konklusi : Air ini tidak dingin (B)

3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatuPremis 2 : Obyek ini berwarna merahKonklusi : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)


Konjungsi

Premis 1 : p

Premis 2 : q

Konklusi : p q

Artinya : p benar, q benar. Maka p q benar.


Tambahan (Addition)

Premis 1 : p

Konklusi : p q

Artinya : p benar, maka p q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).


Dilema Konstruktif

Premis 1 : (p q) (r s)Premis 2 : p rKonklusi : q s

Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).

Contoh :Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja.Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang.Konklusi : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja.


Dilema Destruktif

Premis 1 : (p q) (r s)Premis 2 : ~ q ~ sKonklusi : ~ p ~ r

Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen).Contoh :Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut, aku akan ditembakmatiPremis 2 : Aku tidak akan ditembak mati atau digantung.Konklusi : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut

LOGIKA MATEMATIKA - Student Blog · • Validitas pembuktian. Matematika Industri I Pokok Bahasan...

Documents

Transcript of LOGIKA MATEMATIKA - Student Blog · • Validitas pembuktian. Matematika Industri I Pokok Bahasan...