Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)

7/25/2019 Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)

http://slidepdf.com/reader/full/matematika-dan-iad-bab-14-proposisi 1/13

PROPOSISI

1.1 PROPOSISI dan TABEL KEBENARAN

1.1.1 ProposisiDi dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya

kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat

tersebut dinamakan proposisi ( preposition).

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar ( true) atau salah ( false), tetapi tidak

dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai

kebenarannya (truth value).

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana

yang bukan.

Contoh 1.1

a) 6 adalah bilangan genap b) oekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama

") # $ # % &

d) !bukota Pro'insi aa *arat adalah emarang

e) +# +-

f) Kemarin hari hujan

g) uhu di permukaan laut adalah #+ derajat "el"ius

h) Pemuda itu tinggi

i) Kehidupan hanya ada di Planet *umi

emuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, " bernilai benar, tetapi proposisi d

salah karena ibukota aa *arat seharusnya *andung dan proposisi e bernilai salah karena

seharusnya +# +-. Proposisi f sampai ! memang tidak dapat langsung ditetapkan

kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi/proposisi tersebut tidak mungkin benar

dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah.

0isalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah

(hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias

benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuan yang dapat memastikan

kebenarannya.

Contoh 1.2

a) am berapa kereta api 1rgo *romo tiba di 2ambir3 b) erahkan uangmu sekarang4

") 5 $ % 7

d) 5 8

bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat 9anya, sedangkan kalimat b adalah kalimat

perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari "ontoh +.+ dan +.# di atas,

dapat disimpulkan baha proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai

kalimat 9anya maupun kalimat perintah. Kalimat " dan d bukan proposisi karena kedua



kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung

peubah ('ariable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. 9etapi kalimat

:;ntuk sembarang bilangan bulat n <, maka #n adalah bilangan genap=

*idang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi( propositional

calculus) atau logika proposisi ( propositional logic).

e"ara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf ke"il seperti p, q, r , >.misalnya,

p? 6 adalah bilangan genap,

;ntuk mendefinisikan p sebagai proposisi :6 adalah bilangan genap=. *egitu juga untuk

q ? soekarno adalah Presiden !ndonesia yang pertama.

r ? # $ # % &.

dan sebagainya.

1.1.2 Ta!l K!!naran @ilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi

atomiknya dan "ara mereka dihubungkan oleh operator logika.• "isalkan p dan q adalah proposisi.• Kon#ungsi p $ % !rnilai !nar #ika p dan q k!duan&a !nar' s!lain itu nilain&a

salah• (is#ungsi p ) % !rnilai salah #ika p dan q k!duan&a salah' s!lain itu nilain&a !nar

N!gasi p' &aitu * p' !rnilai !nar #ika p salah' dan s!alikn&a0isalkan

p? +A adalah bilangan prima

q? bilangan prima selalu ganjil

jelas baha p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi

p B q? +A adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.

atu "ara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah

menggunakan tabel kebenaran. 9abel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai

kebenaran dari proposisi atomik. 9abel +.+ menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi,

disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, 9%true(benar), dan % false(salah).

Ta!l 1.1 9abel kebenaran konjungsi, disjungsi, ingkaran



Contoh soal? ika p, q, r adalah proposisi. *entuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika

(p B ) ' (E B r)Penyelesaian?

1da buah proposisi atomi" di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya

mempunyai # kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut

adalah buah. 9abel kebenaran dari proposisi (p B ) ' (E B r) ditunjukkan pada tabel +.#.

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai

kebenaran masing/masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk berbagai

kemungkinan nilai kebenaran masing/masing proposisi atomiknya. adi, sebuah proposisi

majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya

disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Fang dimaksud dengan :semua kasus= di dalam definisi si atas adalah semua

kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi di"irikan pada

kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat Tru!. Proposisi kontradiksidi"irikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat +als!.

1.1., -uku / -uku ProposisiProposisi, dalam kerangka hubungan eki'alen logika, memenuhi sifat/sifat yang

dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di baah.*eberapa hukum tersebut mirip

dengan hukum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b $ ") % ab $ a", yaitu hukum



distributif, sehingga kadang/kadang hukum logika proposisi dinamakan juga huku0huku al#aar proposisi .

Hukum/hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan ke/eki'alenan dua

buah proposisi. elain menggunakan tabel kebenaran, ke/eki'alenan dapat dibuktikan

dengan hukum/hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai

banyak proposisi atomik. *ila suatu proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi

atomi", maka table kebenarannya terdiri dari baris. ;ntuk n yang besar jelas tidak praktis

menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=+< terdapat baris di dalam tabel

kebenarannya.



2.1 TATOLOI (AN KONTRA(IKSI2.1.1 Tautologi

9autologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan/pernyataan komponennya. ebuah 9autologi

yang memuat pernyataan !mplikasi disebut !mplikasi Gogis. ;ntuk membuktikan apakah

suatu pernyataan 9autologi, maka ada dua "ara yang digunakan. Cara pertama denganmenggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai * (benar) maka disebut

9autologi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan

menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum kui'alensi Gogika.

Contoh:

Gihat pada argumen berikut?

ika 9ono pergi kuliah, maka 9ini juga pergi kuliah. ika iska tidur, maka 9ini pergi

kuliah. Dengan demikian, jika 9ono pergi kuliah atau iska tidur, maka 9ini pergi kulah.

Diubah ke 'ariabel proposional?

1 9ono pergi kuliah* 9ini pergi kuliah

C iska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis/premis dan kesimpilan.

kspresi logika + dan # adalah premis/premis, sedangkan ekspresi logika adalah

kesimpulan.

(+) 1 I * (Premis)

(#) C I * (premis)

() (1 J C) I * (kesimpulan)

0aka sekarang dapat ditulis? ((1 I *) (C I *)) I ((1 J C) I *ʌ

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan baha pernyataan majemuk ?



((1 I *) (C I *)) I ((1 J C) I * adalahʌ s!ua !nar (9autologi)#L.

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran?

+. (p ʌ E) p

Pembahasan?

!ni adalah tabel kebenaran yang menunjukkan 9autologi dengan alasan yaitu semua

pernyataannya bersifat benar atau 9rue (9). maka dengan perkataan lain pernyataan

majemuk (p ʌ E) p s!lalu !nar.#. (p ) ʌ pL p

Pembahasan?

+) (#) () (&) (M)

*erdasrkan tabel diatas pada kolom M, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah

****. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk (p ) pLʌ p s!lalu !narPembuktian dengan "ara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan

menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum ekui'alensi logika.

Contoh?

+. (p ʌ )

Penyelesaian?

(p )ʌ E(p ) ' ʌ

Ep ' E '

Ep ' 9

https://muthiashri.wordpress.com/2014/04/29/artikel-16/#_ftn2

https://muthiashri.wordpress.com/2014/04/29/artikel-16/#_ftn2



Dari pembuktian diatas telah nampaklah baha pernyataan majemuk dari (p ʌ ) adalah

tautologi karena hasilnya 9 (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ )

yaitu?

Pada tabel diatas nampaklah baha kalimat majemuk (p )ʌ merupakan 9autologi.

#. (p ' )

penyelesaian?

(p ' ) E ' (p ' )

E ' ( ' p)

9 ' p

2.1.2 KontradiksiKontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya

mempunyai "ontoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah

dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen/komponennya. ;ntuk

membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua "ara yangdigunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan

bernilai atau salah maka disebut kontradiksi, dan "ara kedua yaitu dengan melakukan

penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari +# hukum/hukum

kui'alensi Gogika.

Contoh dari Kontradiksi?

+. (1 ʌ E1)

Pembahasan?

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan baha pernyataan majemuk

(1 ʌ E1) s!lalu salah.#. P (Ep )ʌ ʌ



Pembahasan?

!ni adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua

pernyataan bernilai salah ().

,.1 EKI3ALENSI (AN LOIKADua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut

ekui'alensi logika dengan notasi : dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekui'alen, jika

kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran pernyataan/pernyataan komponen/komponennya.

,.1.1 -uku0-uku Ekui)al!nsi Logika1. -uku Koutati45 p ʌ pʌ

p ' ' p

2. -uku Asosiati45

(p ) r ʌ ʌ p (ʌ r)ʌ

(p ' ) ' r p ' ( ' r)

,. -uku (istriuti45 p ( ' r)ʌ (p ) ' (p r)ʌ ʌ

p ' ( r)ʌ (p ' ) (p ' r)ʌ

6. -uku Id!ntitas5 p 9ʌ p

p ' p

7. -uku Ikatan 8(oinasi95P ' 9 9

P '

:. -uku N!gasi5P ' Ep 9

P ʌ Ep

;. -uku N!gasi anda 8In)olusi95E(Ep) p

<. -uku Id!pot!n5

P pʌ p p ' p p

=. -uku (! "organ5E( p )ʌ Ep ' E

E(p ' ) Ep ʌ E

1>. -uku P!n&!rapan 8Asorpsi95 p ' (P )ʌ p

P (p ' )ʌ p

11. -uku T (an +5E9

E 9

12. -uku Iplikasi K! And?Or5P Ep '



Dengan adanya hukum/hukum diatas, penyelesaian soal/soal baik yang bersifat

tautologi, kontradiksi dan ekui'alensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran

namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan +#

(dua belas) hukum/hukum ekui'alensi logika tersebut.

6.1 AL@ABAR PROPOSISIetiap proposisi yang saling eki'alen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan

yang lainnya.

Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:

a. -uku Id!pot!n 8Id!9

• p∨ p ek p

• p∧ p ek p

. -uku Asosiati4 8As9

• (p∨)∨r ek p∨(∨r)

• (p∧)∧r ek p∧(∧r)

. -uku Koutati4 8Ko9

• ∨ ek ∨ p

• p∧ ek ∧ p

d. -uku (istriuti4 8(ist9

• p∨(∧r) ek (p∨)∧(p∨r)

• p∧(∨r) ek (p∧)∨(p∧r)

!. -uku Id!ntitas 8Id9

• p∨ ek p

• p∨9 ek 9

• p∧ ek

• p∧9 ek p

4. -uku Kopl!!n 8Kop9

• p∨∼ p ek 9

• p∧∼ p ek

• ∼(∼ p) ek p

• ∼9 ek

g. -uku Transposisi 8Trans9

• p⇒ ek ∼⇒∼ p

h. -uku Iplikasi 8Ip9

• p⇒ ek ∼ p∨

i. -uku Eki)al!nsi 8Eki9

• p⇔ ek (p⇒)∧(⇒ p)

• p⇔ ek (p∧)∨(∼∧∼ p)

#. -uku Eksportasi 8Eksp9

• (p∧)⇒r ek p⇒(⇒r)

k. -uku (! "organ 8("9

• ∼(p∨) ek ∼ p∧∼

• ∼(p∧) ek ∼ p∨∼



7.1 I"PLIKASI LOIK 8LOICAL I"PLICATION9 7.1.1 Iplikasi 8Proposisi B!rs&arat9

• !mplikasi adalah 0isalkan ada # pernyataan p dan , untuk menunjukkan atau

membuktikan baha jika p bernilai benar akan menjadikan bernilai benar juga,

diletakkan kata :!K1= sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata :01K1=

sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebutdengan :implikasiNpernyataan, bersyaratNkondisionalNhypotheti"al dengan notasi :◊=. notasi

p ◊ dapat diba"a ?

• +. ika p maka

• #. jika p

• . p adalah syarat "ukup untuk

• &. adalah syarat perlu untuk p

•

ontoh !mplikasi ":

• p ? Pak 1li adalah seorang haji.

• ? Pak 1li adalah seorang muslim.

• p O ? ika Pak 1li adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.

• !mplikasi dari p ke dinyatakan dengan, p8, ialah proposisi yang bernilai salah

jika dan hanya jika p bernilai benar dan bernilai salah. Proposisi p disebut anteseden

(premisNhipotesa) dan proposisi disebut konsekuen(konklusiNkesimpulan).

•

ontoh !mplikasi ":

• a. ika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.

• b. ika suhu men"apai 7<C, maka alarm berbunyi.

• ". ika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri• Pernyataan berbentuk :jika p, maka = sema"am itu disebut proposisi bersyarat atau

kondisional atau implikasi.

•

• :.1 +NSI PROPOSISI (AN -I"PNAN KEBENARAN

• 0isalkan P(5) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung 'ariabel 5 dan D

adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi

proposisi (dalam D) jika untuk setiap 5 di D, P(5) adalah proposisi.

• ontoh :

+. 0isalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan

bilangan bulat positif. 0aka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembi"araan D

karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa

bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). ika n%+, dapat diperoleh proposisi. +

adalah bilangan ganjil bernilai benar. ika n%#, diperoleh proposisi # adalah bilangan

ganjil bernilai salah.

http://miamiaw.blogspot.co.id/2009/10/makalah-tentangimplikasi-logik-logical.html




#. ungsi proposisi :5$#8A= yang didefinisikan pada @, yakni himpunan bilangan asli.

0aka Q5 R 5 @, 5$#8AS % Q6,A,7,>Sadalah himpunan kebenarannya.

•

• ;.1 PENKR @"LA- NI3ERSAL• 0isalkan # sebuah penyataan, dan $ menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin

menunjukkan baha # bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai $, kita tuliskan ∀5 #.

∀ $ disebut pengukur jumlah uni'ersal (universal quantifier ), dan # dikatakan sebagai ruang

lingkup ( scope) dari pengukur jumlah tersebut. Jariabel $ dikatakan menjadi 'ariabel

terbatas (bound ) dari pengukur jumlah tersebut. imbol ∀ diba"a :;ntuk semua=.

• ;ntuk pernyataan :emua ku"ing punya ekor= dapat kita nyatakan dalam

kalkulus predikat sebagai ? ∀5 (Ku"ing(5)⇒Punyakor(5))

•

• <.1 PENKR @"LA- EKSISTENSIAL 8∃9

• 0isalkan 1 sebuah penyataan, dan 5 menyatakan suatu 'ariabel. ika kita ingin

menunjukkan baha 1 bernilai benar untuk sedikitnya satu nilai 5, kita tuliskan ∃5 1, yang

diba"a :1da satu 5 yang memenuhi 1=. ∃5 disebut pengukur jumlah eksistensial (e5istential

uantifier), dan 1 dikatakan sebagai ruang lingkup (s"ope) dari pengukur jumlah tersebut.

Jariabel 5 dikatakan menjadi 'ariabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut.

• Contohnya, jika domain berupa sekumpulan benda, maka ∃5*lue(5) menyatakan

baha :1da benda yang berarna biru=.

• emua pengukur jumlah tersebut diperlakukan seperti operator uner, yang

mempunya tingkat presedensi lebih tinggi daripada operator biner. ebagai "ontoh, misalkan

P(5) meakili pernyataan :5 hidup= dan T(5) untuk :5 mati= maka• ∀5 (P(5) ∨ T(5)) diartikan baha :semua hidup atau mati= tetapi

• ∀5 P(5) ∨ T(5) diartikan :semua hidup atau 5 mati=

• Jariabel 5 dalam suatu pengukur jumlah dapat digantikan dengan 'ariabel lain tanpa

merubah arti dari seluruh pernyataan yang diakilinya. 0isalkan ∀5P(5) dengan ∀yP(y)

adalah hal yang samaU dan se"ara logika keduanya eki'alen. Pernyataan ∀yP(y) disebut

sebagai 'ariant dari ∀5P(5).

• Pengukur jumlah (uantifier) mungkin terjadi se"ara bersarang. Dimana ada suatu

pengukur jumlah dalam satu pernyataan yang didalamnya mengandung suatu pengukur

jumlah yang lain.

•

=.1 NEASI INKARAN• Kalimat ingkaran ( @egasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu

pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlaanan dengan

pernyataan sebelumnya.

• *eberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut.



•

• 9abel nilai kebenaran @egasi ?

•

• ontoh :

•9entukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.+. ( + ) p ? !bukota aa *arat adalah urabaya.#. s ? # $ # % M

. t ? Pinguin adalah *urung

• aab ?

+. p ? !bukota aa *arat adalah urabaya.

• Ep ? !bukota aa *arat *ukan urabaya.

• p bernilai ( salah ) dan Ep bernilai * ( benar )

#. ( # ) s ? # $ # % M

• Es ? # $ # V M

• s bernilai ( salah ) dan Es bernilai * ( benar )

. t ? Pinguin adalah burung.• Et ? Pinguin bukan burung.

• t bernilai * ( benar ) dan Et bernilai ( salah )

•

•

•

Su!r5• https?NNmuthiashri.ordpress."omN#<+&N<&N#-Nartikel/+6N

• http?NNnurha'ida.blogspot."o.idN#<+N<&Nmakalah/hukum/hukum/aljabar/

proposisi.html

• http?NNmiamia.blogspot."o.idN#<<-N+<Nmakalah/tentangimplikasi/logik/logi"al.html

• https?NNindahkardani.ordpress."omN#<+&N<6N#7NlogikaN

• http?NNjessioimeliojordy.blogspot."o.idN#<+&N+<Nsap/6/matematika/sistem/informasi/

+.html

• https?NNsu"ilaksmi+A<&.ordpress."omNmateri/smu/kelas/5iNlogika/

matematikaNkalimat/ingkaran/negasiN

https://muthiashri.wordpress.com/2014/04/29/artikel-16/

http://nurhavida.blogspot.co.id/2013/04/makalah-hukum-hukum-aljabar-proposisi.html



https://indahkwardani.wordpress.com/2014/06/28/logika/

http://jessioimeliojordy.blogspot.co.id/2014/10/sap-6-matematika-sistem-informasi-1.html


https://sucilaksmi1704.wordpress.com/materi-smu-kelas-xi/logika-matematika/kalimat-ingkaran-negasi/


https://muthiashri.wordpress.com/2014/04/29/artikel-16/




https://indahkwardani.wordpress.com/2014/06/28/logika/







•

Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)

Documents

Transcript of Matematika Dan IAD (Bab 14 Proposisi)