Logika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-2.pdf · Sebuah proposisi majemuk disebut...

Tahun Ajaran 2013/2014

LogikaMatematika Diskret (TKE132107)

Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>

Logika Klasik

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Silogisme.(proposisi, penalaran)


Tetralema.(afirmasi, negasi, konjungsi, disjungsi)


Logika boolean, atau aljabar boolean.(Nilai kebenaran, aplikasi: pensaklaran, rangkaian digital, IC, ...)


Teori formal kebenaran.(benar dan salah)

Logika Modern


Logika fuzzy.(perluasan logika boolean,

kebenaran parsial)


Fullofstars, CC BY-SA 3.0, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fuzzy_logic_temperature_en.svg


Logika modal.(modal, kemungkinan, contoh: “biasanya”)


Logika komputabilitas.(masalah komputasi, “selalu dapat dihitung”)


Logika konstruktif.(intuisi, keberadaan bukti, justifikasi)


Logika relevansi.(saya manusia, maka 1+1=2)


Teori logika yang alami?

Logika


Berkaitan dengan argumen.(dan hubungan antar argumen)


Studi penalaran.


Agar kita dapat menentukan apakah sebuahargumen bernilai benar atau salah.


Logika

● Logika dapat berbentuk bahasa kita sehari-hari maupun bukti-bukti matematis.

● Aturan logika bersifat umum dan tidak terikat pada kalimat, atau disiplin ilmu tertentu.

● Lebih ke sintaks, daripada semantik.

Penalaran


Cara (perihal) menggunakan nalar; pemikiran atau cara berpikir logis; jangkauan pemikiran. – Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI)


Hal mengembangkan atau mengendalikan sesuatu dengan nalar dan bukan dengan

perasaan atau pengalaman. – KBBI


Proses mental dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta atau prinsip. – KBBI


Penalaran membutuhkan logika.

Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

Apa benar?

Semua manusia akan mati.Setsuna adalah manusia.Jadi, Setsuna akan mati.


Hukum logika menentukan maknadari sebuah pernyataan matematis.


Juga menentukan sebuahargumen valid/tidak valid.


Melakukan pembuktian (teorema).

Proposisi


Kalimat deklaratif yang bernilai benaratau salah, tetapi tidak keduanya.


Nilai kebenaran.

5 adalah bilangan ganjil.

2 + 1 = 3

4 adalah bilangan prima.

1200 > 1199

Purwokerto adalah ibukotaKabupaten Banyumas.

Tadi pagi hujan.

Suhu sekarang ini 29° C.

Apa kamu sudah mandi?

Berikan saya nilai A untukMatematika Diskret!


Proposisi dinyatakan dengan kalimat berita.

Ubai lebih tinggi daripada Dudi.

x + 5 = 23

x < 88

53 mencintai 35.

x + y = y + x


Kalkulus proposisi/logika proposisi.


Proposisi dilambangkandengan huruf kecil.


p = saya mempunyai makananq = 9 adalah bilangan ganjil

Kombinasi Proposisi


Operator logika.(dan, atau, tidak)


Konjungsi.


Disjungsi.


Negasi.


Proposisi majemuk.(terbentuk dari proposisi atomik)


Notasi simbolik.


Metode kombinasi proposisi dibahaspada buku “The Laws of Thought”.


∧ Dan/And/Konjungsi ∨ Atau/Or/Disjungsi

~ Tidak/Not/Negasi


Ekpresi logika.(ekspresi proposisi majemuk dalam bentuk notasi simbolik)

p: Hari ini hujanq: Murid-murid diliburkan dari sekolah

Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!

p: Hari ini panasq: Hari ini cerah


p: Saya suka jerukq: Saya suka salak


p: Saya itu pintar matematikaq: Saya itu bijaksana

Nyatakan dalam Notasi Simbolik (1)

1) Saya itu pintar matematika dan bijaksana2) Saya itu pintar matematika, tapi tidak bijaksana3) Saya itu tidak pintar matematika, juga tidak

bijaksana4) Tidak benar bahwa saya pintar dan bijaksana5) Saya itu tidak pintar, atau pintar dan tidak

bijaksana6) Tidak benar bahwa saya itu tidak pintar atau

tidak bijaksana

Nyatakan dalam Notasi Simbolik (2)

Tabel Kebenaran


Nilai kebenaran proposisi majemukditentukan oleh proposisi atomik.

(+cara proposisi tersebut dihubungkan dengan operator logika)


p dan q adalah proposisi.

Konjungsi p∧q bernilai benar jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya …

Gambarkan tabel kebenarannya!

Disjungsi p∨q bernilai salah jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya …


Negasi ~p bernilai benar jika p ..., sebaliknyabernilai salah jika p …


p: 17 adalah bilangan primaq: Bilangan prima selalu ganjil

Apa nilai konjungsi p∧q?


Tabel kebenaran adalah salah satu cara untuk menentukan kebenaran proposisi majemuk.

Jika ada n variabel, tabelkebenaran memuat

berapa baris?


Tabel kebenaran menampilkan hubunganantara nilai kebenaran dari proposisi atomik.


Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi, jika benar untuk semua kasus.


Sebuah proposisi majemuk disebut kontradiksi, jika salah untuk semua kasus.

Gambarkan tabel kebenaran dari proposisi majemuk: p∨~(p∧q)!


Lihat kolom terakhir.


Dua proposisi majemuk disebut ekivalen jika keduanya mempunyai tabel kebenaran

yang identik. (lihat kolom terakhir)

Disjungsi Eksklusif


OR inklusif.


Seorang dosen sedang mencari mahasiswa yang pernah mengambil mata kuliah Sinyal dan Sistem atau Sistem Kontrol.


OR eksklusif.


Engkau bisa memilih, antara aku atau dia.


XOR ( )

Hukum-HukumLogika Proposisi


Identitas, dominasi, negasi, idempoten,involusi, penyerapan, komutatif, asosiatif,

distributif, De Morgan.


Untuk membuktikan keekivalenandua buah proposisi.

Sederhanakan bentuk berikut.~(~p q)∧ ∧(p∨q)

Buktikan ekivalensi~(p∨~q)∨(~p∧~q) ~p⇔

Proposisi Bersyarat(kondisional atau implikasi)


Jika p, maka q.


Jika mahasiswa mendapat nilai 90 untuk Mate- matika Diskret, Ia akan mendapat nilai A.


Jika aku lulus nanti, akuakan tetap mengingatmu.


p → q

Hipotesis

Konklusi

Bagaimana tabelkebenarannya?


Berbeda antara implikasibahasa dan matematika.

(matematika: valid/tidak valid)


jika p, qp mengakibatkan qq jika pp hanya jika qp syarat cukup agar qq syarat perlu bagi pq bilamana p

Ubahlah proposisi berikut menjadi pernyataan “jika p, q”

1) Banyak minum kopi robusta dapat menyebabkan kita tidak mengantuk.

2) Syarat wajib bagi mahasiswa agar dapat mengikuti mata kuliah Sistem Operasi adalah sudah mengambil mata kuliah Arsitektur Komputer.


Konvers: q → pInvers: ~p → ~qKontraposisi: ~q → ~p

Gambarkan tabelkebenarannya!

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut.

“Jika Badu sudah mandi, Ia tidak bau.”

Bi-implikasi


Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q”disebut bi-implikasi atau bikondisional.


p q

Gambarkan tabelkebenarannya!

Ekivalen secara logika dengan …?


Jika p, q dan jika q, p.


p↔q ⇔ (p→q)∧(q→p)


p adalah syarat perlu dan cukup untuk qjika p, q, dan sebaliknyap iff q

1+1=2 jika dan hanya jika 2+2=4

Ubahlah pernyataan berikut menjadibentuk “p jika dan hanya jika q”:

Syarat cukup dan perlu agar kita mendapatkan nilai bagus adalah

kita belajar yang rajin.

Buktikan dengan tabel kebenaranbahwa ~(p∧q) ⇔ ~p∨~q!

Buktikan dengan tabel kebenaranbahwa ~(p∧q)↔~p∨~q!


Bikondisional hanya benar jika kedua proposisi mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Inferensi


1 proposisi.


2 proposisi.


Beberapa proposisi.


Kita dapat menarik kesimpulan baru.


Proses penarikan kesimpulan daribeberapa proposisi disebut inferensi.


Modus-modus.


Ponen, Tollen, Silogisme Hipotesis, Silogisme Disjungtif, Simplifikasi, Penjumlahan, Konjungsi.

Argumen


Rangkaian kalimat-kalimat.(deret proposisi)


Deret proposisi yang dituliskan

p1p2⋮p

n

─(jadi) q

Hipotesis

Kesimpulan


Sahih atau valid.


Palsu atau tidak valid.


Sebuah argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, dan konklusinya benar.


Jika sebaliknya, berarti argumendikatakan palsu atau tidak valid.


(p1∧p2∧ … ∧pn) → q


Implikasi bernilai benar.


Argumen palsu menunjukkanpenalaran yang tidak benar.

p ∨ (q ∨ r)~r

... p ∨ q

Apakah argumen di atas sahih?Buktikan dengan tabel kebenaran!


1) Tentukan hipotesis dan kesimpulan.2) Buat tabel kebenaran.3) Cari baris kritis: semua hipotesis benar.4) Jika semua kesimpulan benar pada baris kritis,

berarti argumen tersebut sahih/valid.

Jika mahasiswa mendapat nilai 90, Ia akan mendapat nilai A. Mahasiswa mendapat nilai 90, karena itu Ia mendapat nilai A.

Tunjukkan bahwa argumen di atas adalah sahih!

Di mana kacamata Roni?

Pada suatu ketika, Roni pergi ke kampus dan baru menyadari bahwa Ia tidak menggunakan kacamata. Setelah Ia mengingat-ingat, ada beberapa hal/fakta yang muncul.● Jika kacamataku ada di meja dapur, aku pasti melihatnya ketika

sarapan pagi.● Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di

dapur.● Jika aku membaca koran di ruang tamu, pastilah kacamata

kuletakkan di meja tamu.● Aku tidak melihat kacamataku saat sarapan pagi.● Jika aku membaca buku di tempat tidur, kacamata kuletakkan di

meja samping tempat tidur.● Jika aku membaca koran di dapur, kacamataku ada di meja dapur.


Daftar Bacaan

● Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.

● Siang, J.S. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Penerbit Andi.

Logika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-2.pdf · Sebuah proposisi majemuk disebut...

Documents

Transcript of Logika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-2.pdf · Sebuah proposisi majemuk disebut...