LOGIKA MATEMATIKA

(Ingkaran, Pernyataan Majemuk, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi)

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah

Kajian Matematika SMA

Dosen Pengampu: Padrul Jana, M.Sc

Disusun Oleh:

Kelompok 11

1. Diana Rahmawati (14144100113)

2. Muhammad Mukti Ali (14144100133)

3. Ambar Retno Mutia (14144100150)

5A4

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

i

Ingkaran, Pernyataan Majemuk, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi

A. Ingkaran atau Negasi

Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan

menumbuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila

mungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan

semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara seperti itu disebut

ingkaran atau negasi.

Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p

dapat ditulis memakai lambang.

p

(dibaca: tidak benar atau bukan p)

Contoh:

Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut:

Q: 7 adalah bilangan prima

Penyelesaian:

Ingkaran dari q: 7 adalah bilangan prima

q : Tidak benar 7 adalah bilangan prima, atau

q :7 bukan bilangan prima

Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan

pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut:

i. Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka p bernilai salah.

ii. Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka p bernilai benar.

Ungkapan tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel yang disebut

sebagai tabel kebenaran.

Pp p

B S

S B

Tabel 1

1

Dengan menggunakan lambang nilai kebenaran. Tabel di atas dapat ditulis

sebagai berikut:

Jika τ ( p )=B , maka τ ( p )=S dan jika τ ( p )=S , maka τ ( p )=B .

B. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa

pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata

hubung logika. Pernyataan-pernyataan tunggal p dan q, yang membentuk

pernyataan majemuk itu, disebut komponen atau pernyataan perangkai.

Sedangkan kata-kata hubung atau (), dan (), jika. . .maka…(), dan jika dan

hanya jika () disebut kata hubung logika.

Berikut beberapa pernyataan majemuk yang sederhana:

1. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan yang bentuk dari dua pernyataan p dan q yang

dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.

Disjungsi pernyataan p dan qditulis dengan lambang sebagai berikut:

p∨q

(dibaca: p atau q)

Ada dua jenis disjungsi, yaitu disjungsi eksklusif dan disjungsi inklusif.

Untuk membedakan kedua jenis disjungsi itu, simaklah disjungsi-disjungsi

berikut:

i. Akar dari bilangan rasional positif adalah rasional atau irrasional

ii. Sebuah bilangan asli adalah bilangan cacah atau bilangan bulat.

Disjungsi i, yang dimaksudkan adalah salah satu saja, rasional atau

irasional, tetapi tidak keduanya sekaligus. Sebab, jika akar dari bilangan

rasional positif adalah rasional, pasti bukan irasional. Dan jika akar dari

bilangan rasional positif adalah irasional, pasti bukan rasional. Dalam hal

demikian kata hubung atau dikatakan bersifat memisah atau menyisih atau

eksklusif. Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan

disjungsi eksklusif dan ditulis dengan lambang p.

2

Disjungsi ii, yang dimaksudkan dapat dua-duanya, bilangan cacah

atau bilangan bulat, atau bilangan cacah dan bilangan bulat. Dalam hal

demikian, kata hubung atau dikatakan bersifat mencakup atau inklusif.

Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan disjungsi

inklusif dan ditulis dengan lambang p ˅q¿dibaca: p atau q).

Nilai kebenaran disjungsi p ˅ q dapat ditentukan melalui definisi

berikut:

p˅qbenar, jika salah satu diantara p dan q benar atau p dan q dua-duanya

benar. p˅qsalah, jika p dan q dua-duanya salah.

Tabel kebenaran:

Pp q p ˅ q

B B B

B S B

S B B

S S S

Tabel 2

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari setiap disjungsi berikut ini!

1) 3×5=15 atau 15 adalah bilangan ganjil

2) 3×5=8 atau 8 adalah bilangan ganjil

Jawab:

1) atau,

B B

disjungsi ini bernilai benar

2) atau,

S S

disjungsi ini bernilai salah.

3

15 adalah bilangan ganjil

3×5=8 8 adalah bilangan ganjil

2. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, p

dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan. Konjungsi

pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:

p ˄ q

(dibaca: p dan q)

Nilai kebenaran konjungsi p ˄ q dapat ditentukan dengan menggunakan

definisi berikut:

p ˄ q benar, jika p benar dan q benar

p ˄ q salah, jika salah satu p atau q salah

atau p salah dan q salah

Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran konjungsi p ˄ q dapat

ditunjukkan seperti pada tabel berikut.

Tabel 3

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut!

1) 6 : 3 = 2 dan ibukota Indonesia adalah Jakarta.

2) 3 adalah bilangan ganjil dan 9 adalah bilangan prima.

Jawab:

1) 6 : 3 = 2 (pernyataan bernilai benar) dan ibukota Indonesia adalah

Jakarta (pernyataan bernilai benar)

Kedua pernyataan bernilai benar maka merupakan konjungsi yang

benar.

2) 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar) dan 9 adalah

bilangan prima (pernyataan bernilai salah).

4

p Qq p q

B B B

B S S

S B S

S S S

Salah satu pernyataan bernilai salah maka merupakan konjungsi yang

salah.

Konjungsi pada contoh 1), jelas bahwa pernyataan “ 6 : 3” dengan

pernyataan “ ibukota Indonesia adalah Jakarta” tidak memiliki hubungan

arti. Dengan demikian, konjungsi tersebut tidak mempunyai arti. Dalam

logika matematika yang dipentingkan bukan arti dari sebuah pernyataan,

tetapi nilai kebenarannya.

Dalam bahasa sehari-hari, kata perangkai dan dapat diganti dengan

kata perangkai tetapi atau walaupun atau meskipun. Dalam beberapa hal,

seringkali dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) ˄ q” dengan p(x)

merupakan suatu kalimat terbuka dan q merupakan suatu pernyataan.

Kalimat “p(x) ˄ q” dapat diubah menjadi konjungsi yang benar/salah

dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x).

Contoh:

Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.

1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit.

Jawab:

Kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” terdiri atas

kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 dan pernyataan q: 10 adalah bilangan

komposit. Pernyataan q bernilai benar. Agar kalimat itu menjadi konjungsi

yang benar, maka kalimat terbuka p(x) = 1 – x = 2x – 5 harus diubah

menjadi pernyataan yang benar. Nilai x yang menyebabkan kalimat

terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 menjadi pernyataan yang benar adalah

penyelesaian dari kalimat itu, yaitu untuk x = 2.

Jadi, kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” menjadi

konjungsi yang benar untuk nilai x = 2.

3. Implikasi

Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan

majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk

jika p maka q. Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian

“maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.

5

Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.

p q

(dibaca: jika p maka q)

dalam berbagai penerapan, implikasi p q dapat dibaca:

(i) p hanya jika q

(ii) q jika p

(iii) p syarat cukup bagi q

(iv) q syarat perlu bagi p

Nilai kebenaran implikasi p q dapat ditentukan dengan menggunakan

definisi berikut:

p q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah.

Dalam kemungkinan yang lainnya p q dinyatakan benar.

Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p q dapat

ditunjukkan seperti pada Tabel 4 berikut

Tabel 4

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut!

1) Jika 11 adalah bilangan ganjil, maka Jogjakarta ibukota Indonesia.

2) Jika log 6 + log 5 = log 10, maka 123 × 125 = 127

Jawab:

1) Implikasi ini bernilai salah, karena alasan benar dan kesimpulan salah.

2) Implikasi ini bernilai benar benar, karena alasan salah dan kesimpulan

salah.

Dalam implikasi juga dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) q”

atau “p q(x), dengan p(x) dan q(x) merupakan kalimat-kalimat terbuka,

6

p qQ p q

B B B

B S S

S B B

S S B

p dan q merupakan pernyataan-pernyataan. Kalimat-kalimat “p(x) q atau

“p q(x)”, dapat diubah menjadi implikasi yang benar/salah dengan cara

menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x).

Contoh:

Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi implikasi yang benar!

Jika x – 3 = 4, maka 4 adalah bilangan prima.

Jawab:

Kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” dapat

dituliskan dalam bentuk “p(x) q” dengan p(x): x – 3 = 4 merupakan

kalimat terbuka dan q: 4 adalah bilangan prima merupakan suatu

pernyataan. Agar kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima”

menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – 3 =

4 harus diubah menjadi pernyataan yang salah, sebab pernyataan q sudah

jelas bernilai salah.

Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 menjadi

pertanyaan yang salah adalah x ≠ 7.

Jadi, kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” menjadi

implikasi yang bernilai benar untuk x ≠ 7.

4. Biimplikasi atau Implikasi Dua Arah

Pernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan menggunakan

kata hubung “jika dan hanya jika” sehingga diperoleh pernyataan baru

yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”. pernyataan yang dirangkai

dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dua arah.

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang

p⇔q

(dibaca: p jika dan hanya jika q)

Dalam beberapa penerapan, biimplikasi p ⇔q dapat juga dibaca sebagai

berikut:

(i) Jika p maka q dan jika q maka p

(ii) p syarat perlu dan cukup bagi q

7

(iii) q syarat perlu dan cukup bagi p

Nilai kebenaran biimplikasi p⇔q dapat ditentukan dengan menggunakan

definisi berikut:

p⇔q dinyatakan benar, jika τ ( p )=τ (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai

kebenaran yang sama)

p⇔q dinyatakan salah, jika τ ( p ) ≠ τ (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai

kebenaran yang tidak sama)

Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran biimplikasi p ⇔q dapat

ditunjukkan seperti tabel berikut

p q p⇔q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

Tabel 5

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut!

1) (16 )12=4 jika dan hanya jika 16 log 4=1

2

2) x2−4 x+3=0 mempunyai akar real jika dan hanya jika

x2−4 x+3=0 tidak mempunyai akar real

Jawab:

1) (16 )12=4 jika dan hanya jika 16 log 4=1

2

Merupakan biimplikasi yang bernilai benar

2) x2−4 x+3=0 mempunyai akar real jika dan hanya jika

x2−4 x+3=0 tidak mempunyai akar real.

Merupakan biimplikasi yang bernilai salah

Seperti halnya dalam disjungsi, konjungsi dan implikasi, dalam

biimplikasi juga sering dijumpai kalimat yang berbentuk “ p(x )⇔q” atau

p ⇔q (x), dengan p(x) dan q(x) merupakan kalimat-kalimat terbuka, p dan

8

q merupakan pernyataan-pernyataan. Kalimat-kalimat “ p(x )⇔q” atau

p ⇔q (x) dapat diubah menjadi biimplikasi yang bernilai benar/salah

dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x).

Contoh:

Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai

benar. 3 x−4=2 x+2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap!

Jawab:

Kalimat “3 x−4=2 x+2 jika dan hanya jika 6 adaah bilangan genap”

dapat dituliskan dalam bentuk p(x )⇔ q dengan p ( x ) :3 x−4=2x+2

merupakan suatu kalimat terbuka dan q :6 adalah bilangan genap

merupakan suatu pernyataan. Agar kalimat “3 x−4=2 x+2 jika dan hanya

jika 6 adalah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar

maka kalimat terbuka p ( x ) :3 x−4=2x+2 haruslah diubah menjadi

pernyataan yang benar, sebab pernyataan q sudah jelas bernilai benar.

Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p ( x ) :3 x−4=2x+2

menjadi pernyataan yang benar adalah himpunan penyelesaian dari kalimat

terbuka itu, yaitu untuk x = 6. jadi, kalimat “3 x−4=2x+2 jika dan hanya

jika 6 adalah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar

untuk nilai x=6

Disamping pernyataan-pernyataan majemuk sedehana di atas, seringkali

dijumpai pernyataan-pernyataan mejemuk yang lebih rumit. Pernyataan

majemuk yang rumit terdiri atas pernyataan-pernyataan p, q, r, . ., dan

seterusnya, disertai gabungan operasi ingkaran (), disjungsi (), konjungsi

(), implikasi (), biimplikasi (). Berikut ini adalah beberapa contoh

pernyataan majemuk yang rumit.

(i) (p q)p (iii) [p (pq)]

(ii) q(p q) (iv) [(p q)r]

Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti di atas dapat ditentukan

dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran.

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (p q)

9

Jawab:

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yaitu dengan

menggunakan tabel kebenaran.

Tabel kebenaran pernyataan (p q) ditentukan melalui langkah-langkah

berikut

Tabel 6

1) Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan

pernyataan q. Pernyataan p dan q beserta nilai kebenarannya

dituliskan pada kolom (1) dan (2).

2) Tentukan nilai kebenaran q. Pernyataan q beserta nilai

kebenarannya dituliskan pada kolom (3).

3) Tentukan nilai kebenaran (p q). Pernyataan (p q) beserta nilai

kebenarannya dituliskan pada kolom (4).

4) Tentukan nilai kebenaran (p q). Pernyataan (p q) beserta

nilai kebenarannya dituliskan pada kolom (5)

10

Nilai kebenaran pernyataan (p q) dapat dibaca dari atas ke bawah pada

kolom (5). Yaitu: S, S, B, S. dengan menggunakan lambang, nilai kebenaran

pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut

τ [ ( p q ) ]=S S B S

C. Tautologi

Tinjaulah pernyatanan majemuk berikut ini:

[( p⟹q) p]⟹q

Nilai kebenaran pernyataan majemuk itu diperlihatkan pada tabel berikut.

p Q p⟹q p⟹q p ¿ p¿⟹q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

B

B

Tabel 8

Berdasarkan Tabel 8 pada kolom (5) nilai kebenaran pernyataan

majemuk itu adalah BBBB. Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari

tiap pernyataan komponennya. Pernyataan majemuk yang bersifat seperti itu

dikatakan benar logis. Pernyataan majemuk yang benar logis disebut

tautologi. Suatu tautologi yang memuat pernyataan implikasi, seperti ¿

p¿⟹q, dinamakan implikasi logis. Berdasarkan uraian diatas, dapat

disimpulkan sebagai berikut:

1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk

semua kemungkinan nilai kebenarannya dari pernyataan-pernyataan

komponennya.

2. Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan

implikasi.

Contoh:

Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) adalah

sebuah tautologi!

Jawab:

11

Perhatikan tabel kebenaran ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) pada tabel berikut

p q r p⟹q q⟹ r p⟹r ( p⟹q)

(q⟹ r )

¿(q⟹ r ) ¿⟹ ( p⟹ r)

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

S

S

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

B

S

B

S

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Tabel 9

Dari tabel 9, kolom (8) jelas bahwa

τ ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) = BBBBBBBB

Jadi, pernyataan majemuk ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) adalah sebuah tautologi.

D. Kontradiksi

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu

salah.

Contoh pernyataan majemuk yang merupakan kontradiksi:

(pq) (pq)

Tabel nilai kebenarannya:

p Q q pq pq (pq)(pq)

B B S B S S

B S B S B S

S B S S B S

S S B S B S

12

Tabel 10

Dari tabel di atas, nilai kebenaran dari: (pq)(pq) selalu bernilai salah,

sehingga (pq)(pq) merupakan suatu kontradiksi.

E. Kontingensi

Suatu pernyataan majemuk merupakan kontingensi, jika nilai kebenarannya memuat benar dan salah.Contoh pernyataan majemuk yang merupakan kontingensi:

(pq) (pq)

Tabel nilai kebenarannya:

p q q pq

(pq)pq (pq)(pq)

B B S B S S S

B S B S B B B

S B S B S S S

S S B B S S S

Tabel 11

13

DAFTAR PUSTAKA

Mangelep, Navel. 2009. Modul Logika Matematika. Universitas Negeri Manado:

FMIPA

Modul kelas XII semester 2 SMAN 2 WATES

Sri Kurnianingsih, dkk. 2010. Mathematics 1a For Senior High School GradeX.

Esis: Bandung

14