LIMIT FUNGSI DI RUANG METRIK

Disusun untuk memenuhitugas mata kuliah Analisis Real

oleh

Nida Shafiyanti (3125111218)

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

2013

Daftar Isi

1 PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang dan Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 PEMBAHASAN 32.1 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Pemetaan (Fungsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Ruang Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Himpunan Buka, Himpunan Tutup . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Limit Fungsi di Ruang Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 KESIMPULAN 9

i

ABSTRACT

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi terse-but memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) ”dekat” pada L ketika x dekatpada p. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yangsangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit. Dan memiliki limit jikasebaliknya. Kajian lebih lanjut menunjukkan bahwa konsep limit fungsi di ruangmetrik adalah serupa dengan apa yang diketahui di bilangan real. Akan tetapi,tidak bisa langsung memperoleh sifat-sifat kelinieran serta yang lainnya karenasituasinya jelas berbeda.

Kata kunci: limit fungsi, ruang metrik.

ii

1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Permasalahan

Analisis matematis, dalam matematika disebut dengan analisis (saja). Merupakankajian secara taat azas (rigorous) dari kalkulus. Dalam hal ini dilakukan analisisrinci dari besaran peubah maupun fungsi di dalamnya berdasarkan pendefinisianpengertian besaran kecil ε dan ∆. Dengan pendefinisian tersebut dikaji limit (lim-it barisan, limit fungsi), teori diferensiasi, integrasi, deret takhingga, dan fungsianalitik. Teori-teori yang dipelajari di dalamnya dalam kerangka bilangan real,bilangan kompleks, dan fungsi real, fungsi kompleks. Disamping itu secara lanjutdikaji pula dalam kerangka ruang obyek matematis (ruang topologi) yang mem-pertimbangkan jaraknya (ruang metrik).

Sistem bilangan real serta berbagai hal terkait telah dipelajari pada kuli-ah Analisis Real. Hampir keseluruhan topik yang dipelajari tidak terlepas darigagasan nilai mutlak. Diketahui konsep nilai mutlak memegang peranan pentingdalam merumuskan konsep-konsep lainnya seperti limit dan kekontinuan.

Fungsi yang lebih umum dari pada nilai mutlak yaitu apa yang disebut metrik,selalu bisa dirumuskan pada sebarang himpunan. Dengan cara serupa, metrik inidapat digunakan untuk merumuskan konsep-konsep lain sebagaimana yang telahdiketahui di sistem bilangan real.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mempelajari lmit fungsi di ruang metrik.Diantaranya mengetahui mengenai penndefinisian dari fungsi serta limitnya. Ke-mudian mengkaji contoh-contoh fungsi pada ruang metrik. Kajian lebih lanjutmenunjukkan bahwa konsep limit fungsi di ruang metrik adalah serupa denganapa yang diketahui di bilangan real.

1.3 Sistematika Penulisan

Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri dari 3 bagianyang dilengkapi oleh abstrak, daftar isi, dan lampiran-lampiran yang mendukung.Secara garis besar, sistematika pembahasan pada tugas akhir ini adalah sebagaiberikut : Bagian 1 Pendahuluan, pada bab ini dikemukakan tentang latar be-lakang masalah pembuatan tugas akhir, perumusan masalah yang dihadapi didalam menyusun tugas akhir, tujuan tugas akhir dan sistematika pembahasan la-poran tugas akhir yang menerangkan sekilas dari isi tiap bab yang terdapat pada

1

laporan tugas akhir ini. Bagian 2 Pembahasan, pada bab ini dibahas mengenailimit, limit fungsi dan ruang metrik serta bagaimana generalisasi fungsi real dalamruang metrik. Bagian 3 Kesimpulan, bab ini merupakan bab akhir laporan yangmemuat kesimpulan dari seluruh proses penyelesaian tugas akhir ini. Terakhir,daftar pustaka pada bagian akhir makalah.

2

2 PEMBAHASAN

2.1 Fungsi

2.1.1 Pemetaan (Fungsi)

Diketahui X dan Y adalah himpunan–himpunan dan A merupakan himpunanbagian X (A⊂X)

Definisi 2.1.1. Suatu pemetaan (fungsi) f dari A ke Y adalah suatu aturanyang pada setiap anggota dari A menentukan dengan tunggal satu anggota dariY. Himpunan A dinamakan daerah sumber (domain) disajikan dengan D(f) danY disebut daerah kawan (kodomain).

f : A → Y

D(f) → Y

Apabila x ⊂ D(f), maka kawannya (tunggal) y ⊂ Y disajikan dengan fx (ditulisy=fx) dikataan bahwa x dibawa ke fx

f : D(f) → Y

x → fx

Dan himpunan anggota-anggota dari Y yang mempunyai kawan dalam D(f) dise-but daerah hasil (range) diajikan dengan R(f).

R(f) = {y ∈ Y |y = fx ∀x ∈ D(f)}

Gambar / figure 1

Definisi 2.1.2. Jika setiap y ∈ Y mempunyai kawan di dalam D(f) atau dengankata lain jika setiap y ∈ Y berasal dari suati x ∈ D(f) maka fungsi ini disebutfungsi A onto Y (A = D(f)).Sehingga berlaku Y = R(f) (Daerah hasil (range) berhimpit dengan daerah kawan(kodomain)).

3

2.1.2 Limit Fungsi

Ingat definisi limit dan kontinuitas fungsi nilai riil pada variabel real.

Definisi 2.1.3. Misalkan f adalah fungsi bernilai real, p ∈ R dan ada interval Iyang memuat p , kecuali kemungkinan untuk p adalah dalam domain f .Kemudian limit f , x mendekati p adalah L jika dan hanya jika

(∀x)(ε > 0 ⇒ (∃δ = δ(ε))(δ > 0 ∧ (∀x)(0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε)))

Dalam kasus ini, dapat dituliskan

limx→p

f(x) = L

Definisi 2.1.4. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan p ∈ dom(f). Kemudianf kontinu pada p jika dan hanya jika

limx→p

f(x) = f(p)

Definisi 2.1.5. Misalkan f adalah fungsi bernilai real, dom(f) = A dan p ∈ A′

(i.e p adalah titik limit dari domain f). Maka limit dari f

(∀ε)(ε > 0 ⇒ (∃δ = δ(ε) > 0)[(∀x)(x ∈ A ∧ 0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε])

Contoh 1. Dengan menggunakan definisi, buktikan limx→3(2x2 + 4x + 1) = 31

Sebelum dibuktikan, akan di ilustrasikan beberapa ”perluasan” pekerjaan awalatau analisis pendahuluan untuk mengarahakan pada bukti tersebut. Akan ditun-jukkan bahwa, untuk setiap ε > 0 akan mendapat δ > 0, sehingga 0 < |x − 3| <δ ⇒ |(2x2 + 4x + 1) − 31| < ε. Cara termudah adalah dengan menghasilkan δsebagai fungsi dari ε. Perhatikan bahwa,

|(2x2 + 4x + 1)− 31| = |2x2 + 4x− 30| = 2|x− 3||x + 5|

Misalkan tempatkan batasan pertama pada δ yang mengharuskan bahwa δ ≤ 1,kemudian 0 < |x− 3| < δ ≤ 1 ⇒ |x + 5| = |(x− 3) + 8| ≤ |x− 3|+ 8 < 9 sekarang

|(2x2 + 4x + 1)− 31| = 2|x− 3||x + 5| < 2 · δ · 9 ≤ ε

dimana δ ≤ ε18

. Untuk mendapatkan kedua batas akan diberlakukan δ =maks{1, ε18}.

Maka terbukti.Sekarang untuk ε > 0 diberikan δ =maks{1, ε

18}. Maka

0 < |x− 3| < δ ≤ 1 ⇒ |x + 5| = |(x− 3) + 8| ≤ |x− 3|+ 8 < 9

dan|(2x2 + 4x + 1)− 31| = 2|x− 3||x + 5| < 2 · δ · 9 ≤ 18 · ε

18= ε

Karena ε > 0 sebarang, dapat disimpulkan untuk setiap ε > 0, terdapat δ =min{1, ε18} >

0, sehingga 0 < |x−3| < δ ⇒ |(2x2 +4x+1)−31| < ε; i.e., limx→3(2x2 +4x+1) =

31.

4

2.2 Ruang Metrik

Pada bab ini akan diperlihatkan fungsi yang lebih umum dari pada nilai mutlakyaitu apa yang disebut metrik. Metrik ini selalu bisa dirumuskan pada sebaranghimpunan. Dengan cara serupa, metrik ini dapat digunakan untuk merumuskankonsep-konsep lain sebagaimana yang telah diketahui di sistem bilangan real.

Definisi 2.2.1. Misal X adalah himpunan tidak kosong. Suatu fungsi bernilaireal d yang didefinisikan pada X×X yaitu pasangan berurutan dalam X, disebutmetrik atau fungsi jarak pada X jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhiaksioma-aksioma berikut, yaitu untuk setiap a, b, c ∈ X:

(i) d(a, b) ≥ 0(ii) d(a, b) = 0. Jika dan hanya jika a = b Definit Positif(iii) d(a, b) = d(b, a) Simetris(iv) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) Ketaksamaan Segitiga

Bilangan Real d(a, b) disebut jarak dari a ke b.

Himpunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X, d)disebut Ruang Metrik (Metric Space). Anggota ruang metrik (X, d) disebuttitik atau point dan untuk setiap a, b ∈ X ada bilangan non-negatif d(a, b) yaitujarak titik a dengan b.

Contoh 2. Perhatikan himpunan bilangan real R yang dilengkapi dengan fungsi

d(a, b) = |a− b|

Dengan menggunakan sifat-sifat fungsi nilai mutlak dapat dibuktikan bahwa dsuatu metrik di R.Bukti:

1. d(a, b) = |a− b| ≥ 0 dan d(a, b) = 0 jika dan hanya jika a = b.

2. d(a, b) = |a− b| = |b− a| = d(b, a)

3. |a− b|+ |b− c| ≥ |a− b + b− c| = |a− c|atau d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) , a < b < c

4. d(a, b) = |a− b| > 0 jika a 6= b

Contoh 3. (R, d) dengan R adalah sistem bilangan riil dan metrik d dinamakanmetrik biasa yang didefinisikan sebagai:

d(x, y) = |x− y| ∀x, y ∈ R

5

Contoh 4. (R2, d) dengan R2 dinamakan bidang Euclidean dapat kita ambilpasangan-pasangan berurutan dari bilangan riil, ditulis x = (x1, x2) dan y =(y1, y2),.......dan metrik Euclidean didefinisikan sebagai

d(x, y) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

2.3 Himpunan Buka, Himpunan Tutup

Pada garis bilangan real, telah diperkenalkan mengenai konsep interval bukamaupun interval tutup. Dan selanjutnya, konsep ini akan diperumum di ruangmetrik dengan sebutan bola buka dan bola tutup.

Definisi 2.3.1. Misalkan a ∈ X dan r > 0. Bola buka dengan pusat a danjari-jari r adalah himpunan

Br(a) = {x ∈ X : ρ(x, a) < r}

Serupa dengan ini, bola tutup dengan pusat a dan jari-jari r adalah himpunan

Br(a) = {x ∈ X : ρ(x, a) 6 r}

Selanjutnya, sifat buka dan tutup ini akan diterapkan pula untuk sebaranghimpunan pada ruang metrik.

1. Suatu himpunan V ⊂ X disebut buka jika untuk setiap x ∈ V terdapatr > 0. sehingga bola buka Br(x) termuat di V .

2. Suatu himpunan E ⊂ X dikatakan tutup jika Ec = X adalah buka.

Suatu bola buka B(a, r) sering disebut lingkungan-r dari a. Adapun lingkun-gan dari a adalah sebarang subhimpunan yang memuat B(a, r). Berdasarkandefinisi, a merupakan suatu elemen di sebarang lingkungannya.

Titik x0 ∈ M ⊂ X disebut titik dalam dari M jika M merupakan suatulingkungan dari x0. Himpunan semua titik dalam dari M disebut interior dari M .Lebih lanjut, dapat diperiksa bahwa interior M suatu himpunan buka terbesaryang dimuat oleh M .

2.4 Limit Fungsi di Ruang Metrik

Pada bagian ini akan dibahas mengenai konsep limit fungsi di ruang metrik.

6

Definisi 2.4.1. Misalkan (X, ρ) dan (Y, τ) masing-masing adalah ruang metrik,dan a suatu titik limit dari (X, ρ). Perhatikan fungsi f : X → Y . f(x) dikatakankonvergen ke L untuk x menuju a, jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

0 < ρ(x, a) < δ ⇒ τ(f(x), L) < ε

Dalam hal ini kita menuliskan

limx→a

f(x) = L

dan L disebut limit dari f(x) untuk x menuju a.

Akibat 2.4.1. Diberikan S ruang metrik dan A ∈ S, dan misalkan f : A → R′.Jika

f → L karena p → p0 pada A dan f → M karena p → p0 pada A

buktikan bahwa L = M .Bukti: Akan dibuktikan, f → L karena x → a dan f → M karena x → a,maka L = M . Untuk L 6= M , ambil ε = 1

2· |L − M |. Dengan menggunakan

definisi limit, terdapat nilai positif δ1 dan δ2 maka 0 < |x − a| < δ1 shingga|f(x)−L| < ε dan 0 < |x− a| < δ2 sehingga |f(x)−M | < ε. Ambil x0 ∈ R maka0 < |x0− a| <min{δ1, δ2}. Kemudian, |L−M | ≤ |L− f(x0)|+ |M − f(x0)| < 2ε.Kontradiksi dengan hukum trikotomi. �

Akibat 2.4.2. Diberikan f dan g fungsi bernilai real, dengan domain A dan ruangmetrik (S, d), a ∈ (S, d). Jika limp→p0 f(p) = L dan limp→p0 g(p) = M , denganp ∈ A. Maka limp→p0(f + g)(p) = L + M .Bukti: Akan ditunjukan, jika limx→a f(x) = L dan limx→a g(x) = M , lalulimx→a(f + g)(p) = L + M . Ambil ε > 0, maka ada bilangan positif δ1 danδ2 sehingga 0 < |x − a| < δ1 berimplikasi |f(x) − L| < ε

2dan 0 < |x − a| < δ2

berimplikasi |g(x)−M | < ε2. Untuk δ =min{δ1, δ2}, 0 < |x− a| < δ berimplikasi

pada |(f + g)(x)− (L + M)| ≤ |f(x)− L|+ |g(x)−M | < ε�.

Penjelasan diatas telah memperlihatkan bahwa konsep limit fungsi di ruangmetrik adalah serupa dengan apa yang diketahui di bilangan real. Sehinnga,tidak bisa langsung memperoleh sifat-sifat kelinieran serta yang lainnya karenasituasinya jelas berbeda. Namun demikian, jika diasumsikan Y = R tentu dapatmemperoleh beberapa sifat limit yang serupa.Sekarang,akan dibahas mengenai kekontinuan fungsi di ruang metrik.

Definisi 2.4.2. Misalkan (X, ρ) dan (Y, τ) masing-masing adalah ruang metrik,dan a suatu elemen di (X, ρ). Perhatikan fungsi f : X → Y . f(x) dikatakankontinu di a, jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

ρ(x, a) < δ ⇒ τ(f(x), f(a)) < ε

7

Dalam hal ini jika f kontinu di setiap a ∈ X maka f dikatakan kontinu.Bagian ini akan ditutup dengan dua teorema berkaitan dengan kekontinuan fungsidi ruang metrik.

Teorema 2.4.1. Perhatikan fungsi f : X → Y dengan a ∈ X. Fungsi f kontinudi a jika dan hanya jika berlaku bahwa untuk setiap barisan xn di X yang konver-gen ke a berimplikasi f(xn) konvergen ke f(a).

Teorema 2.4.2. Pemetaan f : X → Y kontinu jika dan hanya jika untuk setiapsubhimpunan buka M ⊂ Y , f−1(M) buka di X.

Contoh 5. Ruang fungsi C[a, b] = x = himpunan semua fungsi riil kontinu padainterval tertutup j = [a, b] metrik d didefinisikan sebagai

d(x, y) = maxt∈j

|x(t)− y(t)|

Contoh 6. Diberikan f : C → R dan f(z) = Re(z), z ∈ C. Buktikan bahwa

limz→3+i

f(z) = 3

Analisis Pendahuluan;Ambil bilangan compleks ζ, |Re(ζ)| ≤ |ζ|.Bukti:Untuk ε > 0, diberikan δ = ε. Kemudian 0 < |z − (3 + i)| < δ = ε berimplikasipada

|f(z)− 3| = |Re(z)− 3| = |Re(z − (3 + i))| ≤ |z − (3 + i)| < ε

Karena ε > 0 sebarang z ∈ C, maka dapat disimpulkan

limz→3+i

f(z) = 3�

Contoh 7. Buktikan bahwa fungsi dari f : R× R diberikan,

f((x, y)) =

{ xyx3+y3 , untuk (x, y) 6= (0, 0);

0 untuk x = y = 0.

tidak kontinu pada (0, 0).Ambil pn = ( 1

n, 1

n). Kemudian {pn}∞n=1 konvergen ke (0, 0) tetapi,

limn→∞

f(pn) = limn→∞

( 1n)( 1

n)

( 1n)3 + ( 1

n)3

= limn→∞

n

2= +∞ 6= 0

Oleh karena itu, dengan karakteristik barisan untuk limit fungsi, dapat disim-pulkan bahwa f tidak kontinu pada (0, 0).

8

3 KESIMPULAN

Saat mempelajari fungsi nilai riil dengan variabel riil dalam kalkulus, teknik danteori dibangun di atas sifat kontinuitas, diferensiabilitas, dan integrability. Semuakonsep-konsep didefinisikan menggunakan ide yang tepat dari limit. Sedangkanlimit fungsi di ruang metrik itu sendiri menurut definisi adalah, Misalkan (X, ρ)dan (Y, τ) masing-masing adalah ruang metrik, dan a suatu titik limit dari (X, ρ).Perhatikan fungsi f : X → Y . f(x) dikatakan konvergen ke L untuk x menuju a,jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

0 < ρ(x, a) < δ ⇒ τ(f(x), L) < ε

Dalam hal ini kita menuliskan

limx→a

f(x) = L

dan L disebut limit dari f(x) untuk x menuju a.

Dalam penulisan ini, sudah diperlihatkan dan dijelaskan mengenai limit fungsipada ruang metrik serta beberapa contoh yang berhubungan dengan materi ini.Sehingga diharapkan dapat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah yang terkaitdengan hal tersebut.

9

Pustaka

[1] Muhamad Najibufahmi. Fungsi Lipshiyzian Seragam di Ruang Metrikdengan Struktur Normal Seragam.

[2] Retno Endah. Pemetaan dan Ruang Metrik.

[3] Sumanang Muchtar Gozali. Pengantar Analisis Fungsional.

10