1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kombinatorika mempunyai beberapa aspek, yaitu enumerasi, teori graf, dan

konfigurasi atau penyusunan. Enumerasi membahas penghitungan susunan berbagai

tipe. Sebagai contoh:

(i) menghitung banyaknya cara memilih 2 kartu jantung (heart) dalam satu set

kartu bridge dalam satu pengambilan,

(ii) menghitung banyaknya cara menyusun 16 siswa kelas II salah satu SMA

di Yogyakarta ke dalam 4 grup atas 4 anggota,

(iii) menyusun 12 buku berbeda dengan urutan tertentu.

Cara paling mudah melakukan enumerasi adalah mendaftar semua kemungkinan yang

terjadi. Untuk permasalahan dengan cacah bilangan yang kecil tidak menjadi

masalah, tetapi untuk permasalahan yang melibatkan cacah bilangan yang cukup

besar menjadi tidak efektif dan efisien. Kombinatorika memberikan metode untuk

mempermudah menyelesaikan permasalahan tersebut.

B. Tujuan dan Sasaran

Tulisan ini bertujuan memberi gambaran bagi para pembaca yang tertarik

dengan masalah kombinatorika, khususnya para siswa sekolah menengah atas.

C. Ruang Lingkup

Materi yang diberikan meliputi: Aturan Penjumlahan, Aturan Perkalian,

Prinsip Inklusi-Eksklusi, Permutasi dan Kombinasi, Koefisien Binomial dan

2

Multinomial, Pemilihan dengan dan tanpa pengembalian, Prinsip Sarang Merpati, dan

Relasi Rekurensi.

D. Pedoman Penggunaan Paket

Paket ini dimulai dengan pemaparan pengertian dasar dan sifat-sifatnya.

Contoh diberikan pada setiap pembahasan pengertian yang disampaikan dengan

pembahasan yang lengkap. Pembaca diharapkan mengembangkan pemahaman materi

melalui soal-soal di dalam latihan, sehingga jawaban latihan hanya merupakan kunci

saja. Di samping itu contoh dan latihan diusahakan memberikan gambaran

pemakaiannya pada beberapa masalah sehari-hari. Dari contoh dan latihan yang

dipaparkan diharapkan pembaca dapat mengerjakan masalah-masalah sejenis atau

yang dapat diselesaikan dengan materi tersebut.

3

BAB II

PENGERTIAN DASAR

Masalah di dalam kombinatorika dapat beraneka-ragam. Untuk dapat mengikuti

tulisan ini, diperlukan pengertian-pengertian dasar, seperti: himpunan, barisan aritmetika

dan barisan geometri, pembagi persekutuan terbesar (great common divisor / GCD),

induksi matematika, dan fungsi. Pada bagian ini hanya disampaikan pengertian fungsi

injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif. Pengertian bilangan modulo diberikan di

dalam pembahasan Prinsip Sarang Merpati.

A. Aturan Penjumlahan dan Perkalian

1 Aturan Penjumlahan

Prinsip ini mengambil dasar bahwa jika kAAA ,,, 21 adalah himpunan yang saling

asing dengan kardinal hingga dan k

iiAA

1

, maka

k

iiAA

1

.

2. Aturan Perkalian

Jika suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah dengan sifat untuk setiap langkah

ke-i, ,,,3,2,1 ki dapat dikerjakan dalam ni cara maka keseluruhan pekerjaan dapat

dilaksanakan dalam knnn 21 cara.

Contoh 2.1:

1. Sekelompok siswa terdiri dari 4 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan. Berapa

banyaknya cara memilih satu siswa wakil pria dan satu siswa wakil perempuan?

4

Jawab: Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil siswa laki-laki, dan 3

kemungkinan memilih satu wakil siswa permpuan. Jika dua siswa dipilih, masing-

masing 1 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuan, maka banyaknya cara pemilihan

adalah .1234

2. Perpustakaan "Rajin Membaca" mempunyai 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah

buku berbahasa Perancis, dan 10 buah buku berbahasa Jerman. Diketahui masing-

masing buku mempunyai judul yang berbeda. Berapa banyaknya cara memilih

a. 3 buah buku yang meliputi tiap bahasa yang berbeda?

Jawab: banyaknya cara memilih 3 buah buku, masing-masing dari bahasa

berbeda, adalah 4801086 cara.

b. 1 buah buku?

Jawab: banyaknya cara memilih 1 buah buku adalah 6 + 8 + 10 = 24 cara.

3. Sekelompok siswa terdiri dari 4 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan. Berapa

banyaknya cara memilih satu siswa dari kelompok tersebut?

Jawab: Ada 4 kemungkinan memilih satu wakil siswa laki-laki, dan 3

kemungkinan memilih satu wakil siswa permpuan. Jika satu siswa dipilih, maka

banyaknya cara pemilihan adalah 4 + 3 = 7.

Latihan 2.1

1. Jika tiga dadu seimbang yang berbeda dilemparkan, berapa banyaknya

kemungkinan angka yang muncul?

2. Dua dadu berwarna merah dan putih. Berapa cara untuk mendapatkan jumlah angka

9 atau 5? 8 cara

3. Suatu pabrik makanan kaleng memberi kode pada produknya dengan kode yang

terdiri 3 huruf diikuti 4 angka (misalkan ABD2531).

a. Jika huruf maupun angka boleh berulang, berapa banyak kode yang dapat

dibuat pabrik tersebut?

5

b. Jika hanya huruf yang dapat diulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat

pabrik tersebut?

c. Jika hanya angka yang dapat diulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat

pabrik tersebut?

d. Jika angka dan huruf tidak boleh diulang, berapa banyak kode yang dapat

dibuat pabrik tersebut?

Jawaban Latihan 2.1:

1. 63 2. 8 cara 3. a. (26)

3×10

4

b. (26)3×10

×9×8×7

c. 26 × 25 ×24 ×104

d. 26 × 25 ×24×10 ×9×8×7

B. Prinsip Inklusi-Eksklusi

Dasar prinsip inklusi-eksklusi adalah

. BABABA (1)

Selanjutnya, prinsip (1) diperluas menjadi

.)1(1

1

11

n

ii

n

kjikji

jiji

n

ii

n

ii AAAAAAAA

(2)

Dengan induksi matematika, tunjukkan pernyataan di dalam (2)!

Contoh 2.2:

1. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100

yang habis dibagi 3 atau 7!

Jawab: Katakan A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang atau sama

dengan (≤) 100 yang habis dibagi 3 dan B adalah himpunan bilangan bulat positif

yang kurang atau sama dengan (≤) 100 yang habis dibagi 7.

Diperoleh A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ..., 99}, B = { 7, 14, 21, 28, ..., 98}, dan

6

A B = {21, 42, 63, 84}. Berarti, |A| = 33, |B| =14, dan | A B| = 4, sehingga

| A B| = |A| + |B| – | A B| = 33 + 14 – 3 = 44.

Jadi banyaknya bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100 yang

habis dibagi 3 atau 7 adalah 44 bilangan.

2. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan (≤) 100

yang habis dibagi 3 atau 4 atau 7!

Jawab: Gunakan prinsip

| A B C| = |A| + |B| + |C| – | A B – | A C| – | B C| + | A B C|.

C. Relasi dan Fungsi

Pembahasan bagian ini hanya sebatas yang diperlukan untuk memahami tulisan di

dalam pembahasan berikutnya.

Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi R dari A ke B adalah aturan yang

mengawankan anggota-anggota A ke anggota B.

Contoh 2.3: Diketahui A = {Tini, Tono, Tata, Teteh} dan B = {a, i, u, e, o}. Aturan yang

mengawankan anggota A ke anggota B diberikan dengan ”setiap nama anggota A

dikawankan dengan huruf hidup yang termuat di dalam nama yang bersesuaian”.

Dengan menggunakan diagram panah, relasi tersebut dapat digambarkan dalam Gambar

2.1.

A B

Gambar 2.1

Tini

Tono

Tata

Teteh

a

i

u

e

o

7

Relasi f dari A ke B dengan sifat bahwa setiap anggota A mempunyai kawan tunggal

di B disebut fungsi. Selanjutnya, A disebut domain fungsi f (dituliskan Df) dan B disebut

kodomain f. Daerah hasil (range) fungsi f, dituliskan Rf, didefinisikan dengan

}.,),(/{ ByAxxfyyR f

Penulisan Rf dinyatakan juga seperti berikut

}.),(:{ AxxfyByR f

Perhatikan bahwa Rf B. Jika fungsi f mempunyai daerah hasil sama dengan kodomain (Rf

= B), fungsi f dikatakan surjektif atau onto. Lebih lanjut, jika fungsi f mempunyai sifat

bahwa setiap anggota Rf menjadi kawan tunggal anggota A, fungsi f dikatakan injektif.

Fungsi yang sekaligus surjektif dan injektif disebut fungsi bijektif.

Pada Contoh 2.3, relasi yang diberikan pada Gambar 2.1 merupakan fungsi, sebab

setiap anggota A mempunyai kawan tunggal di B. Katakan fungsi tersebut dinyatakan

dengan f. Perhatikan bahwa Rf = {a, i, e, o}. Fungsi tersebut merupakan fungsi injektif

sebab setiap anggota Rf menjadi kawan tunggal anggota A. Karena Rf ≠ B, maka fungsi

tersebut bukan fungsi surjektif. Akibatnya, fungsi tersebut bukan fungsi bijektif.

Contoh 2.4: Diketahui A = {Tini, Tono, Tata, Teteh} ke C = {Laki-laki, Perempuan}.

Fungsi g dari A ke C diberikan di dalam diagram panah pada Gambar 2.2!

A C

Gambar 2.2

Pada Contoh 2.4 ini, fungsi g mempunyai Rg = {Laki-laki, Perempuan} = C. Berarti g

merupakan fungsi surjektif. Namun, perhatikan bahwa anggota dari C, yaitu Laki-laki,

tidak menjadi kawan tunggal dari anggota A. Dengan demikian, g bukan fungsi injektif.

Akibatnya, g bukan fungsi bijektif.

Tini

Tono

Tata

Teteh

Laki-laki

Perempuan

o

8

Contoh 2.5: Diketahui A = {Tini, Tono, Tata, Teteh} ke D = {Ta, Te, Ti, To}. Fungsi h

dari A ke D diberikan di dalam diagram panah pada Gambar 2.3!

A D

Gambar 2.3

Fungsi h mempunyai Rh = { Ta, Te, Ti, To } = D. Berarti g merupakan fungsi surjektif.

Perhatikan bahwa setiap anggota anggota Rh = D menjadi kawan tunggal dari anggota A.

Dengan demikian, h fungsi injektif. Akibatnya, h fungsi bijektif.

Latihan 2.2:

Diketahui S = {x : x bilangan bulat di antara -3 dan 7}, T = { x : x huruf hidup}, dan

U = { x : x bilangan bulat positif yang kuadratnya kurang dari 36}.

1. Buatlah fungsi

a. dari S ke T!

b. dari T ke S!

c. dari S ke U!

d. dari T ke U!

2. Dapatkah Anda membuat fungsi surjektif

a. dari S ke T?

b. dari T ke S?

c. dari S ke U?

d. dari T ke U?

Tini

Tono

Tata

Teteh

Ta

Te

Ti

To

o

9

3. Dapatkah Anda membuat fungsi injektif

a. dari S ke T?

b. dari T ke S?

c. dari S ke U?

d. dari T ke U?

4. Dapatkah Anda membuat fungsi bijektif

a. dari S ke T?

b. dari T ke S?

c. dari S ke U?

d. dari T ke U?

Jawaban Latihan 2.2:

2 a. Bisa 3 a. Tidak bisa 4 a. Tidak bisa

b. Tidak bisa b. Bisa b. Tidak bisa

c. Bisa c. Tidak bisa c. Tidak bisa

d. Bisa d. Bisa d. Bisa

10

BAB III

PERMUTASI DAN KOMBINASI SERTA PEMAKAIANNYA

A. Permutasi dan Kombinasi

Pembahasan permutasi dan kombinasi mendasarkan pada pengertian faktorial.

Untuk bilangan asli n, didefinisikan

.321! nn

Selanjutnya, didefinisikan

1!0 .

Permasalahan permutasi adalah menentukan banyaknya penyusunan yang berbeda

dalam pengaturan obyek-obyek. Permutasi merupakan bentuk khusus dari penggunaan

aturan perkalian. Jika banyaknya obyek yang disusun adalah n, maka urutan pertama

dipilih dari n obyek, urutan ke-2 dipilih dari (n-1) obyek, urutan ke-3 dipilih dari (n-2)

obyek, dan seterusnya hingga urutan ke-n dipilih dari 1 obyek. Dengan menggunakan

aturan perkalian, banyaknya permutasi n obyek adalah

n(n-1)(n-2) (2)(1) = n!.

Permutasi r dari n elemen, P(n, r), adalah banyaknya kemungkinan urutan r buah elemen

yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam pemilihan ini urutan

diperhatikan. Dalam permutasi susunan ab berbeda dengan susunan ba.

Perhatikan bahwa pada permutasi r dari n elemen,urutan pertama ditempati oleh satu

elemen dari n elemen, urutan ke-2 ditempati oleh satu elemen dari (n-1) elemen, urutan ke-

3 ditempati oleh satu elemen dari (n-2) elemen, dan seterusnya hingga urutan ke-r ditempati

oleh satu elemen dari (n-r+1) elemen. Dengan demikian, banyaknya permutasi r dari n

elemen adalah

11

n(n-1)(n-2) (n-r+1) = )!(

!

rn

n

.

Jadi

)!(

!),(

rn

nrnP

.

Persoalan kombinasi C(n, r) =

r

n adalah menghitung banyaknya himpunan

bagian dengan r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dengan

demikian beberapa himpunan dengan elemen-elemen sama (meskipun urutan berbeda)

merupakan himpunan yang sama, sehingga dihitung sekali. Perhatikan bahwa himpunan

{a,b} dapat juga dituliskan dengan {b, a}.

Perhatikan bahwa ada sebanyak r! buah himpunan atas r elemen yang sama. Dengan

demikian,

C(n, r) r! = P(n, r),

sehingga

C(n, r) = )!(!

!

!

),(

rnr

n

r

rnP

.

Jadi

)!(!

!),(

rnr

n

r

nrnC

.

Kombinasi C(n, r) =

r

n dapat juga dipandang sebagai banyaknya cara pemilihan r

buah elemen dari n buah elemen. Pada kombinasi urutan tidak diperhatikan, ab dipandang

sama dengan ba.

Hal penting yang perlu diperhatikan adalah penyusunan dilakukan dalam suatu deret

atau dalam lingkaran. Dalam penyusunan dalam lingkaran, dua pengaturan atau lebih

12

dikatakan sama jika urutan di sebelah kiri dan kanan tidak berubah. Jadi ketiga pengaturan

di Gambar 3.1 adalah sama.

Gambar 3.1

Perluasan permutasi dan kombinasi diberikan sebagai berikut.

Diketahui n obyek terdiri dari k item dengan cacah masing-masing item berturut-turut

adalah 1n item pertama, 2n item ke-dua, , kn item ke-k. Banyaknya cara pengaturan n

obyek tersebut adalah .!!!

!

21 knnn

n

Perhatikan bahwa

).,,,;(),,,;(!!!

!2121

21kk

k

nnnnCnnnnPnnn

n

Contoh 3.1:

1. Seorang pelatih volley akan memilih pemain-pemain di dalam tim utama, tanpa

memperhatikan komposisi pemain, yang akan diturunkan dalam suatu

pertandingan. Ada 12 orang yang dapat dipilih. Berapa cara tim yang dapat

dibentuknya?

Jawab: Dalam pemilihan ini tidak diperhatikan komposisi pemain, sehingga

banyaknya cara adalah

6

12 = 924 cara.

2. Dalam suatu acara pariwisata ke pulau Bali, 20 orang berminat naik bus I. Bus I

hanya diijinkan untuk 40 penumpang dan ternyata sudah ada 32 orang di bus I.

Berapa banyak cara memilih 8 orang yang dapat naik di bus I?

C

A

B

A

B

C

B

C

A

13

Jawab: Dari 20 orang dipilih 8 orang. Jadi banyaknya cara memilih adalah

8

20.

3. Dalam suatu perlombaan menggambar hadir 15 peserta. Panitia hanya ingin

mengambil 3 pemenang saja. Berapa banyak cara memilih 3 pemenang dari peserta

tersebut untuk diberi gelar juara I, II, dan III?

Jawab: Perhatikan bahwa dalam masalah ini urutan diperhatikan, karena seseorang

menjadi juara I dan juara II tidaklah sama. Jadi banyaknya cara melakukan

pemilihan adalah P(15, 3) = 2730 cara.

4. Suatu kelompok terdiri dari 7 pria dan 3 wanita. Ada berapa cara berbaris yang

mungkin jika ketiga wanita tersebut harus berdiri bersebelahan satu sama lain?

Jawab: Cara mengatur wanita untuk selalu berbaris bersebelahan adalah 3! = 6

cara. Dengan demikian, banyaknya cara berbaris dengan syarat ketiga wanita selalu

bersebelahan adalah 6(8!) = 241920 cara.

Latihan 3.1

1. Tunjukkan bahwa untuk bilangan bulat r, 0 ≤ r ≤ n, berlaku

rn

n

r

n.

2. Tunjukkan bahwa untuk bilangan bulat positif r, r ≤ n, berlaku

1

1

r

n

r

n

r

n.

3. Suatu komite dibentuk untuk mengawasi pelaksanaan pemilihan presiden. Komite

tersebut beranggotakan 8 orang. Jika tersedia 12 orang wanita dan 15 orang pria,

berapa banyak cara penyusunan komite jika

a. komite terdiri dari 4 pria dan 4 wanita?

b. paling sedikit 1 pria di dalam komite tersebut?

c. komite mempunyai anggota pria lebih banyak daripada anggota wanita?

4. Sepuluh Perdana Menteri negara penghasil minyak di dunia duduk dalam rapat meja

bundar di Kuwait. Sebuah kursi tertentu sudah ditandai untuk Perdana Menteri

14

Kuwait. Berapa banyak cara penyusunan tempat duduk untuk kesepuluh perdana

menteri tersebut?

5. Ada n pelamar sedang antri wawancara tahap I untuk suatu pekerjaan tertentu. Pada

tahap ini hanya seleksi administratif sehingga wawancara dilakukan r pelamar dapat

masuk sekaligus untuk didudukkan dalam kursi berbentuk lingkaran dengan r kursi.

Berapa banyaknya cara pemilihan r pelamar tersebut untuk wawancara yang

dilakukan dalam sususnan lingkaran?

6. Perhatikan papan catur 55 dengan aturan tambahan yang menyatakan: "Suatu

bidak hanya boleh bergerak ke kanan dan ke atas saja". Jika bidak tersebut

ditempatkan di diagonal kiri bawah, berapa banyaknya cara yang dapat dilakukan

untuk membawa bidak ke diagonal atas kanan?

7. Berapa banyak cara menyusun kata berdasarkan huruf-huruf di dalam kata

"COMMITTEE"?

8. Diberikan 12 kertas akan diwarnai sehingga 3 berwarna hijau, 2 berwarna merah, 5

bernwarna kuning, dan sisanya biru. Berapa banyaknya cara pewarnaan?

9. Diketahui A = {1, 2, 3, , m} dan B = {p, q}. Berapa banyaknya

a. fungsi yang dapat dibuat dari A ke B?

b. fungsi surjektif yang dapat dibuat dari A ke B?

c. fungsi tidak surjektif yang dapat dibuat dari A ke B?

d. fungsi injektif yang dapat dibuat dari A ke B?

e. fungsi bijektif yang dapat dibuat dari A ke B?

10. Berapa banyaknya bilangan bulat positif yang merupakan faktor 30030?

(Jawab: 26)

11. Sepuluh siswa, termasuk Tono dan Tina, mengumpulkan tugas membuat kliping

kebersihan kota. Berapa cara yang dapat dilakukan agar supaya kliping milik Tono

dan Tina tertentu tidak berurutan?

12. Buktikan bahwa n

k

n

k k

kn2

2

1

0

.

15

Jawaban Latihan 3.1: Hanya diberikan untuk nomor genap!

4. Banyaknya cara penyusunan tempat duduk adalah 9! = 362880.

6. Ada

5

10 = 252 cara.

8. Ada !2!2!1!2!1!1

!12 = 1386 cara pewarnaan.

10. Ada 26 = 64.

B. Koefisien Binomial dan Multinomial

Pada kombinatorika, koefisien Binomial dapat diturunkan menggunakan kombinasi.

Perhatikan rumus Binomium Newton

.1210

1210

112211

112211

nnnnn

nonnnonn

bn

nba

n

nba

nba

na

n

ban

nba

n

nba

nba

nba

nba

.

Permasalahan yang dapat diturunkan dengan menggunakan koefisien binomial disebut

masalah binomial dan proses penurunannya disebut proses binomial. Terkait dengan

koefisien binomial adalah Segitiga Pascal.

Selanjutnya, koefisien binomial diperluas menjadi koefisien multinomial berdasarkan

prinsip multinomial.

k

k

q

n

qq

nqqq k

n

n xxxqqq

nxxx

21

21

21

21

21!!!

!

.

Contoh 3.2:

1. Berapa koefisien

2. 32 yx dalam penjabaran 5yx ?

Jawab: .102

20

!3!2

!5

16

3. Berapa koefisien 32 yx dalam 54yx ?

Jawab: .64010)64(!3!2

!5)4( 3

4. Berapa koefisien zyx 32 dalam 62 zyx ?

Jawab: .480)60)(8(!1!3!2

!6)1()2( 3

C. Pemilihan dengan atau tanpa pengembalian

Pemilihan beberapa obyek dari keseluruhan obyek yang tersedia dapat dilakukan

dengan memberikan syarat:

1. pengembalian (sesudah mengambil dikembalikan lagi). Pemilihan dengan cara ini

memungkinkan obyek yang sudah terpilih dapat terpilih lagi.

2. tanpa pengembalian (sesudah mengambil tidak boleh dikembalikan lagi). Jadi yang

sudah terambil tidak akan terpilih lagi.

Berikut diberikan contoh permasalahan yang menggunakan prinsip ini.

Suatu kotak berisi 5 buah bola berwarna merah, 3 buah bola berwarna biru, dan 4 buah

bola berwarna hijau. Diambil 3 buah bola dari kotak tersebut. Tentukan banyaknya

cara untuk mendapatkan bola dengan ketiga warna tersebut jika pemilihan dilakukan

a. satu-persatu dengan pengembalian.

b. sekaligus.

Teorema 3.1: Banyaknya pemilihan tak berurutan sebanyak r dari n yang

memperbolehkan pengulangan adalah

r

rn 1.

17

Bukti: Pada pembuktian, yang dimaksud ix 0s adalah 000 dengan banyaknya komponen

0 adalah ix .

Sebarang pemilihan akan terdiri dari 1x pemilihan obyek pertama, 2x pemilihan obyek ke-

dua, dan seterusnya dengan rxxx n 21 . Dengan demikian, banyaknya pemilihan

adalah banyaknya penyelesaian bilangan bulat non-negatif persamaan

rxxx n 21 .

Penyelesaian nxxx ,,, 21 dapat dinyatakan dalam barisan biner:

sxsxsx n 0,,0,0 21 .

Angka 1 menunjukkan suatu perpindahan dari satu obyek ke obyek berikutnya. Sebagai

contoh, penyelesaian 1,2,0,2 4321 xxxx dari 54321 xxxx

berkorespondensi dengan barisan biner 00110010. Pada rxxx n 21 , terdapat (n-

1)1s dan r0s, sehingga setiap barisan mempunyai panjang n+r-1 yang memuat tepat r buah

digit 0. Perhatikan bahwa, r buah digit 0 dapat berada di n+r-1 tempat, sehingga

banyaknya pemilihan tak berurutan dengan pengembalian diperbolehkan adalah

r

rn 1, yaitu banyaknya cara memilih r tempat dari n+r-1.

Akibat 3.2: Banyaknya penyelesaian bilangan bulat tak negatif persamaan

rxxx n 21 adalah

r

rn 1.

Contoh 3.3:

1. Banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari 20321 xxx adalah

.20

22

20

1203

2. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari 20321 xxx , dengan

01 x ?

18

Jawab: Karena 01 x , berarti 011 x . Dengan mengambil 11

*

1 xx , maka

masalah menjadi 1932

*

1 xxx . Dengan demikian, banyaknya bilangan bulat

yang dicari adalah .19

21

19

1193

3. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari 20321 xxx , dengan

90 1 x ?

Jawab: Jawaban adalah nilai di jawaban soal no 2 dikurangi nilai dari cacah

penyelesaian bulat tak negatif dengan syarat 91 x .

Latihan 3.2

1. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari 254321 xxxx ?

2. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari 154 321 xxx dengan

syarat 21 x dan 02 x ?

3. Berapa banyaknya penyelesaian bulat tak negatif dari 0 zyx dengan syarat

1x , 2y , dan 3z ?

4. Berapa banyaknya cara menyusun 8 tanda + dan 3 tanda – dalam suatu baris

sehingga tidak ada 2 tanda – yang berdampingan?

Jawaban Latihan 3.2:

1. Ada 3.276 buah penyelesaian.

2. Ada 136 buah penyelesaian.

3. Ada 10 buah penyelesaian.

4. Ada 84 cara.

19

BAB IV

PRINSIP SARANG MERPATI ( PIGEONHOLE PRINCIPLE)

Prinsip ini hanya digunakan untuk menunjukkan adanya item (obyek) dengan

sifat tertentu, bukan untuk menemukan obyeknya atau banyaknya obyek dengan sifat

yang telah ditentukan.

Prinsip ini mempunyai 3 versi, yaitu:

Bentuk I: sebanyak r merpati masuk ke dalam n sangkar, dengan r > n, maka

terdapat paling sedikit satu sangkar yang terisi dua ekor atau lebih merpati.

Bentuk II: Jika f adalah fungsi dari himpunan berhingga X ke himpunan berhingga Y

dan |X| > |Y|, maka terdapat ,,, 2121 xxxx dengan )()( 21 xfxf .

Pada bentuk II, X menyatakan himpunan merpati dan Y menyatakan himpunan

sangkar.

Pada bentuk III berikut, yang dimaksud dengan

m

n adalah bilangan bulat terbesar

yang lebih kecil dari m

n.

Bentuk III: Jika f adalah fungsi dari himpunan berhingga X ke himpunan berhingga

Y dengan |X| = n, |Y| = m, dan k =

m

n, maka terdapat Xxxxxx k ,,,, 2121

dengan )()()( 21 kxfxfxf .

Permasalahan menggunakan prinsip ini memerlukan penalaran yang cukup di-

samping pengertian fungsi. Pengertian lain terkait dengan permasalahan ini adalah

pengertian modulo.

Dua bilangan bulat x dan y dikatakan kongruen modulo n, dituliskan

x y (mod n),

jika x – y habis dibagi n.

20

Catatan: x y (mod n) dibaca “x kongruen dengan y modulo n”.

Sifat 4.1: Untuk setiap bilangan bulat x, y, dan z berlaku

(i) x x(mod n).

(ii) jika x y (mod n) maka y x (mod n).

(iii) jika { x y (mod n) dan y z (mod n)}, maka x z (mod n).

Contoh 4.1: Tunjukkan bahwa pernyataan berikut benar: “Dari 52 buah bilangan

bulat, maka terdapat 2 buah bilangan yang jumlah atau selisihnya habis dibagi 100”.

Jawab: Katakan a1, a2, , a52 adalah 52 buah bilangan bulat yang dimaksud.

Dicari bilangan bulat i dan j dengan 1 i j 52 dengan sifat

ai + aj atau ai – aj

habis dibagi 100.

Katakan ri ai (mod 100). Dengan kata lain, ri adalah sisa pembagian ai oleh 100.

Berarti ai = qi 100 + ri untuk suatu qi Z, untuk i = 1, 2, , 52.

Didefinisikan

.50,100

50,

ii

iii

rr

rrs

Ada 50 + 1 = 51 kemungkinan nilai si, yaitu 0, 1, 2, , 50. Karena ada 52 buah

bilangan bulat, maka ada i dan j dengan i j dan

.100

100100

jjii

jijiji rsdanrs

rrataurrss

Perhatikan bahwa terdapat qi,qj Z,

ai = qi 100 + ri

aj = qj 100 + rj

21

Jika si = ri = rj = sj, berarti

ai = qi 100 + ri

aj = qj 100 + rj= qj 100 + ri

sehingga ai - aj habis dibagi 100.

Jika si = sj, dengan 100 – ri = 100 – rj , maka ri – rj = 0. Akibatnya,

ai - aj = (qi – qj ) 100.

Jadi ai - aj habis dibagi 100.

Jika si = ri, dengan sj = 100 – rj.

Karena si = sj, maka ri = 100 – rj ri + rj = 100.

Akibatnya, ai + aj = qi 100 + ri + qj 100 + rj= (qi + qj + 1) 100.

Jadi ai + aj habis dibagi 100.

Latihan 4.1

1. Buktikan Sifat 4.1!

2. Diketahui n buah bilangan bulat. Tunjukkan bahwa ada salah satu atau jumlah

beberapa bilangan tersebut habis dibagi n!

3. Diambil (n+1) anggota dari himpunan A = {1, 2, 3, , 2n}. Tunjukkan bahwa

a. terdapat x, y A dengan x, y relatif prima!

b. Terdapat x, y A dengan x | y atau y | x !

4. Dua puluh lima team bola basket memasuki turnamen yang akan berlangsung 10

hari. Tunjukkan bahwa pada akhir hari ke-4, paling sedikit satu dari dua puluh

lima team memainkan sebanyak genap pertandingan!

5. Jika ada 13 orang yang menghadiri ulang tahun Pak Andi yang ke-40, maka

tunjukkan bahwa paling sedikit terdapat 2 orang yang mempunyai bulan kelahiran

yang sama!

6. Dalam satu kelompok yang terdiri dari 10 orang, maka tunjukkan terdapat dua

umur yang jumlah atau selisihnya habis dibagi 16.

22

7. Tujuh buah bilangan diambil dari bilangan 1 sampai dengan 12, maka tunjukkan

terdapat dua bilangan yang jumlahnya 13.

8. Dipilih 8 buah bilangan bulat positif, tunjukkan terdapat 2 bilangan yang

mempunyai sisa pembagian yang sama saat dibagi 7!

9. Diberikan sebelas buah bilangan bulat berbeda. Buktikan bahwa dua di antara

bilangan-bilangan tersebut memiliki selisih yang merupakan kelipatan 10!

23

BAB V

RELASI REKURENSI

Penulisan barisan bilangan {an} dapat diberikan dalam 3 (tiga) cara, yaitu:

(i) cara mendaftar

Beberapa anggota didaftar dengan memperhatikan bahwa tidak boleh

terjadinya keraguan untuk penentuan suku-suku berikutnya.

Contoh 5.1:{ na } = {3, 5, 7, } belum memberikan gambaran yang jelas

untuk penentuan suku ke-4. Hal ini disebabkan perbedaan persepsi yang

mungkin terjadi mengenai barisan tersebut. Barisan tersebut dapat ditafsirkan

sebagai barisan bilangan prima dimulai dengan 3 atau dapat juga ditafsirkan

sebagai barisan bilangan bulat positif ganjil mulai 3. Jika yang dimaksud

adalah barisan bilangan ganjil atas bilangan bulat positif mulai 3, maka

barisan tersebut akan dituliskan

{ na } = {3, 5, 7, 9, }.

(ii) cara eksplisit

Pada cara ini, suku ke-n, na , diberikan secara eksplisit. Barisan { na } pada

Contoh 1, dapat dinyatakan secara eksplisit, yaitu barisan dengan

12 nan .

(iii) cara rekurensi

Suku ke-n, na , tidak lagi diberikan secara eksplisit tetapi diberikan dalam

perumusan yang memanfaatkan satu atau beberapa suku sebelumnya.

Penulisan barisan pada Contoh 1, secara rekurensi dapat dituliskan sebagai

berikut

.2,2,3 11 naaa nn

Pada umumnya, perumusan rekurensi lebih mudah dan lebih sederhana.

Selanjutnya, dari perumusan rekurensi dengan penurunan suku-sukunya

24

diperoleh perumusan eksplisitnya. Permasalahan terkait dengan perumusan

rekurensi yang seringkali muncul adalah masalah menara Hanoi dan barisan

Fibonnaci. Perhatikan barisan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . Barisan tersebut

dikenal sebagai barisan Fibonacci yang mempunyai perumusan rekurensi

.1, 2121 fffff nnn

Permasalahan yang muncul di dalam relasi rekurensi adalah menentukan perumusan

eksplisit suku ke-n dari barisan yang bersesuaian. Penentuan rumus eksplisit dapat

dilakukan dengan cara melakukan penurunan ke suku yang lebih rendah, sehingga

dapat digunakan suku-suku yang diketahui. Cara ini dikenal dengan cara backward.

Untuk keperluan cara backward ini, pada umumnya, diperlukan jumlahan n-buah

suku pertama barisan/deret aritmetika atau geometri. Beberapa deret yang sering

digunakan, di antaranya adalah:

.2

)1(4321

nnn

.6

)12)(1(4321 22222

nnn

n

,1

)1( 132

r

raarararara

nn

untuk |r| < 1.

,1

)1( 132

r

raarararara

nn untuk |r| > 1.

Contoh 5.2: Salah satu contoh terkenal persamaan rekurensi adalah Permasalahan

Menara Hanoi. Menurut legenda, ada sebuah kuil Budha yang di dalamnya terdapat 3

buah tiang berdiameter kecil terbuat dari permata, katakan tiang A, B, dan C. Ada 64

buah cakram dengan ukuran diameter berbeda-beda di tiang A, tersusun dari bawah

ke atas dari diameter terbesar ke terkecil. Permasalahannya adalah memindahkan

cakram-cakram tersebut ke tiang C dengan bantuan tiang B dengan syarat sebagai

berikut: pemindahan hanya boleh dilakukan satu-persatu (tidak boleh

25

memindahkan beberapa cakram sekaligus), dan pada setiap keadaan, cakram

yang berdiameter lebih kecil harus berada di atas cakram berdiameter lebih

besar. Berapa banyaknya langkah yang ditempuh untuk memindahkan cakram-

cakram dari tiang A ke tiang C tersebut?

Jawab: Jika diketahui cara memindahkan (k-1) cakram dari satu tiang ke tiang lain

(dengan tetap memenuhi syarat yang ada), maka cara paling efisien untuk

memindahkan k buah cakram dari tiang A ke tiang C adalah sebagai berikut.

Langkah I: pindahkan (k-1) buah cakram dari tiang A ke tiang B. Jika k > 2, perlu

dilakukan sejumlah proses untuk memindahkan cakram satu-persatu. Karena

menggunakan metode rekursif, proses-proses tersebut tidak perlu dirisaukan.

Langkah II: pindahkan cakram yang terletak paling bawah dari tiang A ke tiang C.

Langkah III: pindahkan (k-1) buah cakram dari tiang B ke tiang C. Lakukan seperti

langkah I.

Katakan mn menyatakan banyaknya langkah minimal untuk memindahkan n buah

cakram dari satu tiang ke tiang lain. Perhatikan bahwa mn tidak tergantung oleh asal

dan tujuan tiang ataupun banyaknya cakram yang terletak di bawah n buah cakram

yang dipindahkan tersebut.

Langkah I memerlukan 1km kali perpindahan.

Langkah II memerlukan 1 kali perpindahan.

Langkah III memerlukan 1km kali perpindahan.

Jadi keseluruhan perpindahan minimal adalah

.121 111 kkkk mmmm

26

Syarat (kondisi) awal terjadi jika k = 1 (jumlah langkah minimal untuk memindahkan

1 buah cakram dari tiang A ke tiang C). Jadi hanya diperlukan diperlukan 1 kali

perpindahan, atau m1 =1. Dengan demikian diperoleh persamaan rekursif

.1

12

1

1

m

mm kk

Untuk memindahkan

2 buah cakram, diperlukan sebanyak 31)1(212 12 mm langkah.

3 buah cakram, diperlukan sebanyak 71)3(212 23 mm langkah.

4 buah cakram, diperlukan sebanyak 151)7(212 34 mm langkah, dan

seterusnya.

Akhirnya untuk memindahkan 64 buah cakram, dihitung m64.

Persamaan eksplisit permasalahan Menara Hanoi adalah sebagai berikut:

12 1 kk mm dengan m1=1.

= 1221)12(2 2

2

2 kk mm

= 122212)12(2 2

3

3

3

2 kk mm

= 12222 23

4

4 km

= ….

= 122222 232

)1(

1

kk

kk

k m

= 122222 232

1

1 kkk m

= 122222 2321 kkk

= .1,1212

)12(1

kk

k

Sekarang dengan induksi matematika ditunjukkan bahwa untuk bilangan Asli k 1,

12 k

km

Perhatikan bahwa untuk k = 1, m1=1.

27

Jika rumus benar untuk k, yaitu 12 k

km benar, maka

.121221)12(212 11

1

kkk

kk mm

Berarti rumus benar untuk k+1.

Jadi terbukti bahwa 12 k

km untuk k 1.

Dengan demikian, )12( 64

64 m .

Latihan 5.1

1. Diberikan suatu barisan {an} dengan n

n

na

aa 1

2

1

. Tentukan 1998a !

2. Pada barisan Fibonacci tunjukkan bahwa 12

22

1 nnn fff !

3. Pada penyimpanan uang di bank, biasanya bank memberikan bunga yang

dihitung per tahun, katakan i. Jika bunga diberikan per periode tertentu dan

dalam satu tahun ada m kali periode, maka besarnya bunga per periode adalah

m

i. Untuk k 1, Pk menyatakan jumlah tabungan pada akhir periode ke-k.

Jika Po menyatakan besar tabungan mula-mula, Nyatakan Pk

a. menggunakan rumus rekurensi!

b. Menggunakan rumus eksplisitnya!

4. Seorang penjahit, yang sangat gemar memotong kain, mempunyai sepuluh

potong bagian. Dia memutuskan untuk memotong beberapa dari potongan-

potongan ini menjadi masing-masing sepuluh potong. Lalu dia memotong

beberapa dari potongan-hasil menjadi masing-masing sepuluh potongan. Lalu

dia memotong beberapa dari potongan-hasil masing-masing menjadi sepuluh

potongan. Dia melanjutkan cara ini sampai dia akhirnya lelah dan berhenti.

Dia mulai menghitung jumlah total potongan kain yang sekarang dimilikinya;

setelah bekerja beberapa menit dia menetapkan jumlah 1984. Buktikan bahwa

hitungannya salah!

28

5. Dari satu buah bujursangkar dapatkah anda mendapatkan 1993 bujursangkar?

Jawaban Latihan 5.1

1. 1

21998

1

a

aa

.

3. a. 11

kk P

m

iP untuk k ≥ 1.

b. o

k

k Pm

iP

1 untuk k ≥ 1.

5. Tidak bisa. (Petunjuk: 1993 tidak merupakan jumlahan deret geometri dengan suku

awal 1 dan rasio 4).

29

BAB IV

PENUTUP

Permasalahan kombinatorika di dalam olimpiade matematika di satu negara

dengan negara yang lain sangatlah beragam. Pada umumnya, permasalahan berada di

sekitar permutasi, kombinasi dan gabungan keduanya. Di Indonesia, masalah di

sekitar permutasi dan kombinasi mendominasi permasalahan kombinatorika,

baik di tingkat propinsi maupun di tingkat nasional. Di Colorado persoalan

kombinatorika mendominasi permasalahan olimpiade matematika di negara tersebut.

Permasalahan di negara ini lebih banyak terkait dengan Prinsip Sarang Merpati. Di

Kanada prosentase masalah kombinatorika sangat kecil. Di Singapura prosentase

masalah kombinatorika sedang dengan materi yang mengaitkan bilangan Bell dan

Stirling disamping pengertian di sekitar permutasi dan kombinasi.

Pada umumnya prinsip kombinasi dan permutasi dengan cepat dapat dikuasai.

Sebaiknya disadari bahwa banyak permasalahan yang merupakan gabungan dari

permasalahan kombinasi dan permutasi, tidak berdiri sendiri-sendiri. Selain itu, perlu

diperhatikan permasalahan yang merupakan permasalahan multinomial. Pada

permasalahan multinomial perlu diperhatikan apakah diperbolehkan adanya

pengulangan atau tidak.

Banyak masalah tidak dapat langsung diselesaikan dengan rumus-rumus yang

tersedia, tetapi merupakan gabungan dari beberapa rumus. Dengan demikian,

pemahaman soal menjadi bagian penting yang tidak boleh ditinggalkan.

Selain penalaran menjadi dasar yang penting, ketelitian dan ketangguhan

(daya juang) merupakan unsur yang tidak boleh dilepaskan. Banyak masalah yang

diberikan dalam soal cerita yang agak panjang, demikian juga dengan

penyelesaiannya. Dengan demikian, diperlukan pemahaman, ketelitian, dan

ketahanan berpikir. Ketangguhan yang baik akan membuat tidak segera menyerah

dengan soal yang diberikan. Unsur ketelitian sangat membantu menyelesaikan soal-

soal dengan penurunan yang cukup panjang.

30

DAFTAR PUSTAKA

Pustaka pendukung yang membahas materi kombinatorika banyak diberikan dalam

buku matematika diskrit. Berikut diberikan tiga buah buku yang dapat digunakan

sebagai acuan pemahaman materi-materi di atas.

Anderson, I., 2001, A First Course in Discrete Mathematics, London: Springer-

Verlag London Limited.

Cohen, D.I.A, 1978, Basic Techniques of Combinatorial Theory, New York: John

Wiley and Sons.

Johnsonbaugh, R., 1997, Discrete Mathematics, International Edition, Fourth Edition,

New Jersey: Prentice Hall International.

31

Lampiran

Contoh Soal Seleksi Bidang Kombinatorika

Penjelasan:

Notasi

k

n menyatakan banyaknya cara memilih k unsur dari suatu himpunan

dengan n unsur.

BAGIAN PERTAMA

1. Suatu delegasi yang terdiri dari 5 orang akan dibentuk dari 10 siswa laki-laki

dan 8 siswa perempuan. Banyaknya pilihan tim yang dapat dibentuk yang

memuat paling sedikit 2 siswa perempuan adalah ......................

2. Sebuah kelas terdiri dari 30 siswa. Di kelas tersebut 12 siswa menyukai

matematika, 14 menyukai biologi, 13 menyukai kimia, 5 siswa menyukai

matematika dan biologi, 7 siswa menyukai biologi dan kimia, dan 4 siswa

menyukai matematika dan kimia. Kemudian 4 siswa tidak menyukai satu pun

dari ketiga matapelajaran itu. Banyaknya siswa yang menyukai matematika,

biologi, dan kimia adalah ........

3. Banyaknya penyelesaian bilangan asli bagi pertidaksamaan 11 dcba

adalah .........

4.

1002

0 2

2004

n n = ........

32

5. Banyak titik minimal yang harus diambil dari sebuah persegi dengan panjang

sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang jarak antara

keduanya tidak lebih dari 22

1 adalah .......

6. Diberikan hubungan rekursi

.1),0(,3

12 1 onn annaa

Bentuk eksplisit untuk na adalah ................

7. Seekor semut berjalan dari titik asal koordinat O(0, 0) ke titik P(4, 5). Semut

tersebut hanya berjalan pada arah horisontal ke kanan dan vertikal ke atas saja.

Berapa banyak cara yang dapat ditempuh semut tersebut dari titik O ke titik P?

BAGIAN KE-DUA

1. Diberikan sebelas buah bilangan berbeda. Buktikan bahwa dua di antara bilangan-

bilangan tersebut memiliki selisih yang merupakan kelipatan 10.

2. Buktikan bahwa

.22

1 nn

okkk

kn