Disusun Oleh:

Kelompok X/ 6A1

Suryani (11144100166)

Nur Hidayah (11144100174)

Rin Widiarti (13244100001)

Diah Ajeng Titisari (08144100009)

A. Geometri Analitik, Matematika Abad Ke-17

Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665).

Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Geometri projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama lain.

B. Ahli-Ahli Matematika Abad Ke-17 dan Penemuannya

Rene Descartes (1596-1650)

Terobosan baru pada penemuan karya matematika dalam bidang analitik geometri yang dipelopori oleh Descartes. Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan dalam tulisanya yang berjudul la geometrie. Karyanya yaitu koordinat kartesius. Uraian geometri pada bagian pertama dari karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai pengembangan dari aljabar geometri gerik purbakala. Saat Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu. Descartes menemukan hasil mengejutkan, diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menentukan suatu titik memenuhi relasi x dan y.

Pada suatu sumbu dilukiskan x, mengapit sudut tertentu dengan sumbu yang dilukiskan y, maka terbentuk (x,y).

Rene Descartes

Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk ruang diperlukan sebuah grafik untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan menyilangkan garis horizontal - diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama sumbu y, dimana persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan sedang di sisi bawah negatif. Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik sesuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh, sebuah titik dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu x dan lainnya menunjukkan jarak pada sumbu y.

Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 3 dan 2 menunjuk 3 satuan ukuran pada sumbu x dan 2 satuan ukuran [yang identik] pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (2,3). Notasi positif karena berada di kuadran 1. Pada kuadran 2, maka titik pada sumbu x bertanda negatif dan titik pada sumbu Y positif seperti pada contoh (-2,3). Pada kuadran 3, titik-titik pada sumbu X maupun sumbu Y, sama-sama negatif seperti contoh (-1,-2). Untuk kuadran 4, titik pada sumbu X positif sedang titik pada sumbu Y bertanda negatif seperti (2,-3). Untuk lebih jelasnya Anda bisa melihat gambar di bawah ini.

Gambar : Fungsi Lingkaran

Saat Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes menemukan hasil mengejutkan. Diketahui bahwa semua bentuk memunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menggambar theorema Pythagoras, pada sebuah lingkaran dengan pusat pada titik (0,0) dengan x dan y masing-masing menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r². Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran.

Pierre de Fermat (1601-1665)

Fermat lahir di Toulouse, anak dari seorang

saudagar kulit. Beliau menerima pendidikan

pertama di rumah. Beliau memperoleh pendidikan di

bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum

dengan penampilannya yang sederhana. Beliau

dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam

tugasnya dan bersikap rendah hati sebagai anggota

dewan kota praja Toulouse pada usia 30 tahun.

Beliau memanfaatkan waktu luangnya belajar

matematika. Bersamaan dengan saat Descartes

merumuskan dasar geometri analitik, Fermat juga

mempelajari bahan pelajaran itu. Maka Fermat

dipandang sebagai jenius matematika Prancis abad-

17.

Pierre de Fermat

Penemuan fermat terpenting adalah mengenai teori bilangan. Dalam teori bilangan Beliau dipandang memiliki intuisi dan kemampuan luar biasa yakni:

Jika m suatu bilangan prima dan p bilangan relatif prima kepada m maka pm-1 -1 habis dibagi m. Misalnya: m = 5, p =4 maka 45-1 -1 = 255 habis dibagi 5.

Tiap bilangan prima ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua kuadrat hanya dengan satu cara. Teorema ini dibuktikan sebagai berikut :

Jika p suatu bilangan prima ganjil, maka :

Bukti yang diberikan itu amat sederhana. Sebut p = x2 – y2, maka p = (x + y) (x - y) Karena p adalah bilangan prima, maka faktornya hanyalah x +y = p dan, x - y = 1.

Suatu Bilangan Prima dalam bentuk p = 4m+1 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat. Misalnya: 13 = 4 x 3 + 1= 22 + 32

29 = 4 x 7 + 1 = 52+ 22. Bilangan Prima p = 4m +1 hanya

terjadi satu kali sebagai hipotenusa segitiga siku. Kuadrat dari p dapat terjadi dua kali sebagai hipotenusa dan pangkat tiga dari p dapat terjadi tiga kali sebagai hipotenusa dan seterusnya. Contohnya : p = 13 = 4(3) + 1, maka 132 = 122 + 52 ( satu kali),

p = 169, maka 1692 = 1562 + 652= 1202 + 1192 (dua kali) Dan seterusnya.

Terdapat hanya satu bilangan bulat sebagai

penyelesaian dari x2 + 2 = y3, dan hanya dua dari x2

+ 4 = y3. Soal ini dikemukakan Fermat sebagai

tantangan kepada ahli matematika inggris.

Penyelesaiannya :

x = 5 , y = 3 pada persamaan pertama.

x=2, y =2 ; x =1 , y = 5 pada persamaan kedua

Huygens (1629-1695)

Huygens lahir di Hague, belajar di Leiden pada Frans van Schooten de Younger. Pada tahun 1951 yaitu pada usia 22 tahun. Beliau menerbitkan makalah yang menunjukkan kesalahan Saint-Vincent dalam perhitungan kuadratur lingkaran. Tulisan itu diikuti dengan karya-karyanya mengenai kuadratur irisan kerucut, perbaikan trigonometri dari Snell dalam metode perhitungan. Pada tahun 1665, Huygens pindah ke Paris untuk mempergunakan pensiun yang diberikan Louis XIV. Semasa berada di paris Beliau berhubungan dengan Royal Society London dengan mengirim makalah mengenai eksperimen bahwa momentum dari dua benda pada arah yang ditentukan adalah sama sebelum dan sesudah tumbukan. Pada tahun 1675 Beliau menerbitkan karya besarnya di Paris, dengan judul “HOROLOGIUM OSCILATORIUM”.

Huygens

Karya itu terdiri dari lima bagian yakni:

Bagian pertama mengenai jam bandul yang ditemukannya pada tahun 1656. Bagian kedua membicarakan benda jatuh bebas dalam ruang kosong, tentang benda yang menggelinding pada bidang miring atau yang menggelinding pada kurva licin.

Dalam bagian dua itu diuraikan sifat isochron dari busur cycloida terbalik, bahwa partikel berat akan mencapai dasar dari busur cycloida terbalik dalam panjang dan waktu yang sama dari titik manapun partikel mulai turun.

Pada bagian ketiga Beliau menguraikan sifat-sifat dari evolut dan involut. Huygens menemukan evolut dari parabola adalah semi parabola deratat tiga, sedang evolut dari cyclodia adalah cyclodia dengan ukuran yang sama.

Pada bagian empat diuraikan sifat dari bandulan majemuk dengan bukti bahwa pusat oskilasi dan titik gantung dapat dipertukarkan. Pada bagian lima diuraikan mengenai teori dari jam. Dalam bagian itu didapat gambar dari bandul cycloida dengan periode oskilasi selalu sama bagaimanapun besar atau kecilnya amplitudo dari askelasi itu.

Bagian terakhir dari 13 teorinya yang berkenaan dengan gaya sentrifugal dalam gerak melingkar yang dikenal sekarang dengan gerak melingkar uniform. Bahwa besar gaya sentrifugal berbanding lurus dengan pangkat dua dengan kecepatan linier dan berbanding terbalik dengan jari-jari lingkaran.

Evangelista Terricolli (1608 – 1647)Terricolli adalah murid dari Galileo di Italia. Pada

tahun 1643, Torricelli membuat eksperimen sederhana, yang dinamakan Torricelli Experiment, yaitu beliau menggunakan sebuah tabung kaca kuat dengan panjang kira-kira 1 m dan salah satu ujungnya tertutup. Dengan menggunakan sarung menghadap ke atas. Dengan menggunakan corong beliau menuangkan raksa dari botol ke dalam tabung sampai penuh. Kemudian Beliau menutup ujung terbuka tabung dengan jempolnya, dan segera membaliknya. Dengan cepat beliau melepaskan jempolnya dari ujung tabung dan menaruh tabung vertikal dalam sebuah bejana berisi raksa. Ia mengamati permukaan raksa dalam tabung turun dan berhenti ketika tinggi kolom raksa dalam tabung 76 cm di atas permukaan raksa dalam bejana. Ruang vakum terperangkap di atas kolam raksa. Pada tahun 1644,Beliau menerbitkan karyanya yang pertama menentukan cycloida sama dengan tiga kali luas lingkaran yang menggelinding itu. Buktinya dengan metoda kecil tak berhingga. Bukti yang diberikannya dengan metoda kecil tak berhingga.Terricolli lebih dikenal dari penemuannya dalam fisika, yakni mengenai barometer. Beliau juga mengemukakan teori-teori tentang percepatan dan gravitas, gerakan cairan dan teori proyektil.

Evangelista Terricolli

Bachet de Meziriac (1581 – 1638)

Penyair dan matematika awal Akademi Perancis, paling dikenal untuk terjemahan tahun 1621 dari Diophantus's Arithmetica, buku yang Pierre de Fermat sedang membaca ketika Beliau menuliskan margin dengan terkenal Teorema Terakhir. Bachet juga dikenang sebagai seorang kolektor teka-teki matematika, banyak yang, termasuk masalah penyeberangan sungai, mengukur dan menimbang teka-teki, nomor trik, dan kotak ajaib, beliau diterbitkan di Problèmes plaisans et Delectables qui font yang par les nombres (1612). Salah satu teka-teki adalah untuk menemukan jumlah terkecil dari bobot yang dapat digunakan pada panci skala untuk menimbang setiap jumlah integral pound 1-40 inklusif, jika bobot dapat ditempatkan dalam salah satu dari panci skala. Jawabannya adalah

empat: 1, 3, 9, dan 27 kilogram.

Bachet de Meziriac

Marin Mercenne (1588 – 1648)

Marin Mersenne (diucapkan Mehr-Senn) lahir dari orang tua petani dekat Oizé, Maine (hari ini Sarthe, Prancis). Beliau dididik di Le Mans dan di Jesuit College of La Fleche. Pada tanggal 17 Juli 1611, beliau bergabung dengan Minim Friars dan setelah mempelajari teologi dan Ibrani di Paris menerima penuh perintah suci pada 1613.

Beliau seorang ahli teori dan penulis besar dalam berbagai bidang ilmu di Perancis. Beliau juga mengelola suatu jurnal, sebagai bank ide matematika dan menulis berbagai bidang ilmu dan jurnalnya. Namanya terkenal, karena terkait dengan yang disebut “MERSSENNE PRIM” yakni bilangan prima dalam bentuk 2n – 1.

Marin Mercenne

Gilles Persone de Roberval (1602 – 1675)

Beliau seorang ahli geometri dan fisika di Perancis. Penemuannya antara lain, metoda menggambar tangent, kurva dan menemukan beberapa kurva datar derajat tinggi. Menurutnya, kurva datar adalah tempat kedudukan titik-titik ysng mengikuti dua gerak yang diketahui. Konsep tangent itu juga dikemukakan oleh Terricolli. Siapa penemunya tidak dapat dipastikan. Demikian juga mengenai metoda tak terbagi sebagai awal dari kalkulus dari Cavaleri. Roberval mengatakan bahwa dialah penemunya. Beliau menuntut bahwa Beliaulah penemu membujur sangkarkan daerah cycloida oleh Terricolli. Roberval berhasil menggunakan metoda tak terbagi untuk menentukan luas, isi dan titik beratnya.

Gilles Persone de Roberval

Phillipe de la Hire (1642 – 1718)

Lahir pada tanggal 18 Maret 1640 di Paris, Perancis dan meninggal dunia pada tanggal 21 April 1718 di paris, Perancis. Beliau dipandang sebagai jenius dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, sebagai pelukis, arsitek, astronomi dan ahli matematika. Karyanya mengenai Matematika adalah irisan kerucut, metoda grafik, kurva datar derajat tinggi dan bujursangkar ajaib. Beliau menggambar peta bumi dengan proyeksi globe dengan pusat proyeksi pada garis melalui kutub sejauh r sin 45o di luar bola.

Teorema-Teorema dalam Geometri Proyektif :Teorema 1: Dua garis berbeda insiden dengan tepat satu titik.Phillipe de la Hire

Bukti:

Andaikan dua garis tersebut memiliki 2 titik potong A dan B. Berdasarkan aksioma 3, setiap garis ditentukan oleh dua titik tersebut. Maka dua garis tersebut sama (coincide). Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa 2 garis tersebut berbeda. Jadi pengandaian salah. Yang benar kedua garis hanya perpotongan di 1 titik.Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang sebidang memiliki paling sedikit satu titik potong.Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada garis BC maka A, B, dan C berbeda dan nonkolinear.Teorema 4 : sebuah garis dan sebuah titik di luar garis hanya termuat pada sebuah bidang Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik potong maka garis tersebut sebidangTeorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya adalah sebuah garisTeorema 7: Terdapat empat titik sebidang yang tiga diantaranya tidak collinearTeorema 8: (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden dengan minimal 3 garis berbeda

1. Menurut penemuan Phillipe de la Hire ada 8 teorema dalam geometri

proyektif. Buktikan Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang sebidang

memiliki paling sedikit satu titik potong.

2. Geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu sangat praktis dengan

segala cara anda melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer Anda,

semua perhitunganuntuk menghasilkan citra realistik dihitung dengan

menggunakan rumus geometri proyektif. Carilah contoh aplikasi Geometri

Proyektif menurut Phillipe de la Hire !

3. Gambarlah grafik menurut Rene Descartes segitiga ABC yang titik

sudutnya A (5,4), B(-3,2), C(0,-1)!

1. Bukti:

Misal diberikan garis AC dan BD. ACE adalah bidang yang memuat AC dan BD. Titik E tidak pada AC dan BD. Karena bidang ACE ditentukan oleh pensil garis yang melalui E dan memotong AC, sedangkan BD menghubungkan 2 titik pada garis pensil berbeda. Misal: B pada EA maka EA = BA. Titik D pada EC maka EC = CD. Maka BA berpotongan dengan CD. Berdasarkan aksioma 4, AC dan BD memiliki titik potong.

E C

B

A

D

2. Sebuah kamera lubang jarum memberikan ilustrasi perspektif yang sangat bagus. Sebuah kamera lubang jarum hanya kotak lampu-ketat dengan satu film melekat di dalam wajah dan dengan lubang jarum pada wajah berlawanan yang tercakup sampai kita ingin mengambil foto. Untuk mengambil foto, titik lubang jarum di arahkan yang benar, menangkap sampai film benar terkena, tutup lagi, kemudian keluarkan dan mengembangkan film di kamar gelap.

 

Bayangkan Anda mengambil foto garis pada sebelah kanan dengan titik ditandai di atasnya. Cahaya tersebar dari setiap titik ke segala arah. Jadi, Geometri proyektif menggunakan prinsip utama seni perspektif yaitu garis sejajar berpotongan di tak hingga dan tidak didasarkan konsep jarak.

3. Gambar grafik menurut Rene Descartes segitiga ABC yang titik sudutnya A (5,4), B(-3,2), C(0,-1) yakni:

Aby.2011.http://aby-matematika.blogspot.com/2011/08/sejarah-geometri.html(accesed jum’at, 9 Mei 2014 pukul 13.25)

Andhini,Febriza.2012.http://febrizaandhini27.blogspot.com/2012/12/ahli-ahli-matematika terkemuka-abad.html (accesed jum’at 19 Mei 2014 pukul 16.57).

Antique-horology.2014.http://www.antique-horology.org/thuret/huygensthureteng.html.( accesed jum’a, 30 mei 2014 pukul 5.39).

Gabung.2011.http://gabung-bergabung.blogspot.com/2011/06/matematika-abad-xvii.html (accesed jum’at, 9 mei 2014 pukul 13.19).

Samarah,kevin.2012.http://tokoh-duniaku.blogspot.com/2012/12/marin-mersenne-pencetus-hukum-mersenne.html.( accesed jum’at, 9 mei 2014 pukul 13.19)