Sejarah Dan Filsafat Matematika

7/24/2019 Sejarah Dan Filsafat Matematika

1/37

SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA Oleh Dr Marsigit, M. A.

A. Sejarah Matematika Menrt !erggren, JL, "##$, %eneman matematika %a&ajaman Mes'%'tamia &an Mesir Kn', &i&asarkan %a&a (an)ak &'kmen asli )angmasih a&a &itlis 'leh jr tlis. Meski%n &'kmen*&'kmen )ang (er%a arte+akti&ak terlal (an)ak, teta%i mereka &iangga% mam% mengngka%kan matematika

%a&a jamanterse(t. Arte+ak matematika )ang &itemkan mennjkkan (aha(angsa Mes'%'tamia telah memiliki (an)ak %engetahan matematika )ang lar(iasa, meski%n matematika mereka masih %rimiti+ &an (elm &issn se-ara&e&kti+ se%erti sekarang. Matematika %a&a jaman Mesir Kn' &a%at &i%elajari &ariarte+ak )ang &itemkan )ang kem&ian &ise(t se(agai a%)rs Rhin& /&ie&it%ertama kalin)a %a&a 01223, telah mem(erikan gam(aran (agaimana matematika&i Mesir kn' telah (erkem(ang %esat. Arte+ak*arte+ak (erkaitan &enganmatematika )ang &itemkan (erkaitan &engan &aerah*&aerah kerajaan se%ertikerajaan Smeria 4### SM, Akka&ia &an !a()l'nia re5im /"### SM3, &an kerajaanAs)r /0### SM3, ersia /a(a& 6*$ SM3, &an 7nani /a(a& ke 4 * 0 SM3. a&a jaman

7nani kn' %aling ti&ak ter-atat matematikaan %enting )ait Thales &an

)thag'ras. Thales &an )thag'ras mem%el'%'ri %emikiran &alam (i&ang 8e'metri,teta%i )thag'raslah )ang memlai melakkan ata mem(at (kti*(ktimatematika. Sam%ai masa %emerintahan Ale9an&er Agng &ari 7nani &anses&ahn)a, telah ter-atat Kar)a m'nmental &ari E-li&es (er%a kar)a (k)ang (erj&l Element /nsr*nsr3 )ang mer%akan (k 8e'metri %ertama )ang&issn se-ara &e&ksi. Risalah %enting &ari %eri'&e aal matematika Islam (an)ak)ang hilang, sehingga a&a %ertan)aan )ang (elm terjaa( masih (an)ak tentangh(ngan antara matematika Islam aal &an matematika &ari 7nani &an In&ia.Selain it, jmlah jmlah &'kmen )ang relati+ se&ikit men)e(a(kan kitamengalami keslitan ntk menelsri sejah mana %eran matematikaan Islam&alam %engem(angan matematika &i Er'%a selanjtn)a. Teta%i )ang jelas,

sm(angan matematikaan Islam -k% (esar (ersamaan &engan ke(angkitan%emikiran m'&ern )ang mn-l him%nanelah jaman kegela%an sam%ai sekitara(a& ke 0: him%nanelah masehi. eneman alat -etak men-etak %a&a jamanm'&ern, )ait sekitar a(a& ke 06, telah memngkinkan %ara matematikaan sat&engan )ang lainn)a melakkan k'mnikasi se-ara le(ih intensi+, sehingga mam%mener(itkan kar)a*kar)a he(at. Hingga sam%ailah %a&a jamann)a Hil(ert )ang(ersaha ntk men-i%takan matematika se(agai sat sistem )ang tnggal,lengka% &an k'nsisten. Namn saha Hil(ert kem&ian &a%at &i%atahkan ata&itemkan kesalahann)a 'leh mri&n)a sen&iri )ang (ernama 8'&el )angmen)atakan (aha ti&aklah mngkin &i-i%takan matematika )ang tnggal, lengka%&an k'nsisten. ers'alan 8e'metri &an Alja(ar kn', &a%at &itemkan &i &'kmen

)ang tersim%an &i !erlin. Salah sat %ers'alan terse(t misaln)a mem%erkirakan%anjang &iag'nal sat %ersegi %anjang. Mereka menggnakanh(ngan antara%anjang sisi*sisi %ersegi %anjang )ang kem&ian mereka menemkan (entksegitiga sik*sik. H(ngan antara sisi*sisi sik*sik ini kem&ian &ikenal &engannama Te'rema )thag'ras. Te'rema )thag'ras ini se(etln)a telah &ignakanle(ih &ari 0### tahn se(elm &itemkan 'leh )thag'ras. Orang*'rang !a(il'niatelah menemkan sistem (ilangan se9agesimal )ang kem&ian (ergna ntkmelakkan %erhitngan (erkaitan &engan ilm*ilm %er(intangan. ara astr'n'm


2/37

%a&a jaman !a(il'nia telah (ersaha ntk mem%re&iksi sat keja&ian &enganmengaitkan &engan +en'mena %er(intangan, se%erti gerhana (lan &an titik kritis&alam sikls %lanet /k'njngsi, '%'sisi, titik stasi'ner, &an ;isi(ilitas %ertama &anterakhir3. Mereka menemkan teknik ntk menghitng %'sisi ini /&in)atakan &alam&erajat lintang &an (jr, &ikr relati+ terha&a% jalr gerakan jelas tahnan

Matahari3 &engan (ertrt*trt menam(ahkan istilah )ang te%at &alam%erkem(angan aritmatika. Matematika &i Mesir Kn' &isam%ing &ikarenakan%engarh &ari Mas'%'tamia &an !a(il'nia, teta%i jga &i%engarhi 'leh k'nteksMesir )ang mem%n)ai aliran sngai )ang le(ar &an %anjang )ang menghi&%imas)arakat Mesir &engan %era&a(ann)a. ers'alan h(ngan kemas)arakatanmn-l &ikarenakan kegiatan sr;i;e (angsa Mesir mengha&a%i kea&aan alam )ang&a%at menim(lkan k'n


3/37

masih rele;an &an &ignakan hingga saat kini. Element ter&iri &ari 04 jili&. !k I(erkaitan &engan k'ngrensi segitiga, si+at*si+at garis %aralel, &an h(ngan &aerah&ari segitiga &an jajaran genjang> !k II meneta%kan kehim%nanaraan )ang(erh(ngan &engan k'tak, %ersegi %anjang, &an segitiga> !k III (erisi si+at*si+atLingkaran> &an !k I? (erisi tentang %'lig'n &alam lingkaran. Se(agian (esar isi

&ari !k I*III a&alah kar)a*kar)a Hi%%'-rates, &an isi &ari !k I? &a%at &ikaitkan&engan )thag'ras, sehingga &a%at &i%ahami (aha (k Elemen ini memilikisejarahn)a hingga (era(a&*a(a& se(elmn)a. !k ? mengraikan se(ah te'rimm %r'%'rsi, )ait se(ah te'ri )ang ti&ak memerlkan %em(atasan ntk(esaran se%a&an. Ini te'ri mm (erasal &ari E&'9s. !er&asarkan te'ri, !k ?Imenggam(arkan si+at (jrsangkar &an generalisasi &ari te'ri k'ngrensi %a&a!k I. !k ?II*I@ (erisi tentang a%a )ang 'leh 'rang*'rang 7nani &ise(taritmatika, te'ri (ilangan (lat. Ini men-ak% si+at*si+at %r'%'rsi nmerik,%em(agi ter(esar, keli%atan mm, &an (ilangan %rima/!k ?II3> %r'%'sisi %a&a%r'gresi nmerik &an %ersegi /!k ?III3, &an hasil khss, se%erti +akt'risasi(ilangan %rima )ang nik ke &alam, ke(era&aan )ang ti&ak ter(atas jmlah(ilangan %rima, &an %em(entkan sem%rna angka, )ait angka*angka )angsama &engan jmlah %em(agi /!k I@3. Dalam (e(era%a (entk, !k ?II (erasal&ari Theaetets &an !k ?III &ari Ar-h)tas. !k @ men)ajikan te'ri garis irasi'nal&an (erasal &ari kar)a Theaetets &an E&'9s. !k @i(erisi tentang (angnrang> !k @II mem(ktikan the'rems %a&a rasi' lingkaran, rasi' ('la, &an;'lme %irami&a &an ker-t. Barisan Matematika 7nani, tertama &alamge'metri , sangat (esar. Dari %eri'&e aal 'rang*'rang 7nani mermskan tjanmatematika ti&ak &alam hal %r'se&r %raktis teta%i se(agai &isi%lin te'ritis(erk'mitmen ntk mengem(angkan %r'%'sisi mm &an &em'nstrasi +'rmal.Kisaran &an keragaman teman mereka, tertama )ang &ari a(a& SM*4, ge'metritelah menja&i materi %elajaran selama (era(a&*a(a& him%nanelah it, meski%ntra&isi )ang &itransmisikan ke A(a& ertengahan &an Renaissan-e ti&ak lengka%

&an -a-at. eningkatan %esat &ari matematika &i a(a& ke*02 &i&asarkan se(agian%a&a %em(aharan terha&a% matematika kn' &an matematika %a&a jaman 7nani.Mekanika &ari 8alile' &an %erhitngan*%erhitngan )ang &i(at Ke%ler &anCa;alieri, mer%akan ins%irasi langsng (agi Ar-hime&es. St&i tentang ge'metri)ang &ilakkan 'leh A%'ll'nis &an a%%s &irangsang 'leh %en&ekatan (ar &alamge'metri*misaln)a, analitik )ang &ikem(angkan 'leh Des-artes &an te'ri %r')ekti+&ari Desarges 8irar&. Ke(angkitan matematika %a&a a(a& 02 sejalan &enganke(angkitan %emikiran %ara =ls+ se(agai anti tesis a(a& gela% &imana ke(enaran&i&'minasi 'leh 8ereja. Maka C'%erni-s mer%akan t'k'h %en&'(rak )angmenantang %an&angan 8ereja (aha (mi se(agai %sat jagat ra)a> &an se(agaigantin)a &ia mengtarakan i&e (aha (kanlah !mi melainkan Mataharilah )ang

mer%akan %sat tata sr)a, se&angkan !mi mengelilingin)a. Jaman ke(angkitanini kem&ian &ikenal se(agai Jaman M'&ern, )ang &itan&ai &engan mn-ln)at'k'h*t'k'h %emikir =lsa+at sekaligs matematikaan se%erti Immanel Kant, ReneDes-artes, Da;i& Hme, 8alile', Ke%ler, Ca;alieri, &st. !. Filsa+at MatematikaBilkins, DR, "##$, menjelaskan (aha ter&a%at (e(era%a &e=nisi tentangmatematika )ang (er(e&a*(e&a. Ahli l'gika Bhitehea& men)atakan (ahamatematika &alam arti )ang %aling las a&alah %engem(angan sema jenis%engetahan )ang (ersi+at +'rmal &an %enalarann)a (ersi+at &e&kti+. !''le


4/37

(er%en&a%at (aha it matematika a&alah i&e*i&e tentang jmlah &an kantitas.Kant mengemkakan (aha ilm matematika mer%akan -'nt'h )ang %aling-emerlang tentang (agaimana akal mrni (erhasil (isa mem%er'leh kesksesann)a&engan (antan %engalaman. ?'n Nemann %er-a)a (aha se(agian (esarins%irasi matematika ter(aik (erasal &ari %engalaman. Riemann men)atakan (aha

jika &ia han)a memiliki te'rema, maka ia (isa menemkan (kti -k% m&ah.Ka%lansk) men)atakan (aha saat )ang %aling menarik a&alah (kan &i manasesat ter(kti ta%i &i mana k'nse% (ar &itemkan. Be)l men)atakan (aha

Than a&a karena matematika a&alah k'nsisten &an i(lis a&a karena kita ti&ak&a%at mem(ktikan matematika k'nsistensi ini. Hil(ert men)im%lkan (aha ilmmatematika a&alah kesatan )ang k'nsisten, )ait se(ah strktr )angtergantng %a&a ;italitas h(ngan antara (agian*(agiann)a, &an %eneman&alam matematika &i(at &engan %en)e&erhanaan met'&e, menghilangn)a%r'se&r lama )ang telah kehilangan kegnaann)a &an %en)atan kem(ali nsr*nsrn)a ntk menemkan k'nse% (ar. Hem%el, C8, "##0, menegaskan kem(alia%a )ang telah &ikemkakan 'leh J'hn Start Mill (aha matematika it sen&irimer%akan ilm em%iris )ang (er(e&a &ari -a(ang lain se%erti astr'n'mi, =sika,kimia, &ll, tertama &alam &a hal materi %elajaran a&alah le(ih mm &ari%a&aa%a%n lainn)a &ari %enelitian ilmiah, &an %r'%'sisi )ang telah &iji &an&ik'n=rmasi ke tingkat )ang le(ih (esar &i(an&ingkan (e(era%a (agian )ang %alingma%an astr'n'mi ata =sika. Dengan &emikian, sejah mana hkm*hkmmatematika telah &i(ktikan 'leh %engalaman masa lal mat mansia (egit lar(iasa (aha kita telah &i(enarkan 'lh te'rema matematika &alam (entk kalitati+(er(e&a &ari hi%'tesis (aik &ari -a(ang lain. Hem%el, C8, "##0, le(ih lanjtmen)atakan (aha sekali istilah %rimiti+ &an &alil*&alil )ang telah &iteta%kan,selrh te'ri se%enhn)a &itentkan. Dia men)im%lkan (aha him%nania% istilah&ari te'ri matematika a&alah &i&e=nisikan &alam hal %rimiti+, &an him%nania%%r'%'sisi te'ri se-ara l'gis &e&-i(le &ari %'stlat, a&alah se%enhn)a te%at. erl

jga ntk menentkan %rinsi%*%rinsi% l'gika )ang &ignakan &alam %em(ktian%r'%'sisi matematika. Ia mengaki (aha %rinsi%*%rinsi% &a%at &in)atakan se-araeks%lisit ke &alam kalimat %rimiti+ ata &alil*&alil l'gika. Dengan mengga(ngkananalisis &ari as%ek sistem ean', Hem%el menerima tesis &ari l'gi-ism (ahaMatematika a&alah -a(ang &ari l'gika karena sema k'nse% matematika, )aitaritmatika, alja(ar analisis, &an, &a%at &i&e=nisikan &alam em%at k'nse% &ari l'gikamrni, &an sema te'rema matematika &a%at &isim%lkan &ari &e=nisi terse(tmelali %rinsi%*%rinsi% l'gika. !'l&, T., "##$, men)atakan (aha k'm%'nen %enting&ari matematika men-ak% k'nse% angka integer, %e-ahan, %enam(ahan,%er%e-ahan &an %ersamaan> &i mana %enam(ahan &an %em(agian terh(ng&engan st&i %r'%'sisi matematika &an k'nse% (ilangan (lat &an %e-ahan a&alah

elemen &ari k'nse%*k'nse% matematika. !'l&, T., "##$, le(ih lanjt mennjkkan(aha elemen %enting ke&a ntk inter%retasi k'nse% matematika a&alahkemam%an mansia &ari a(strak, )ait kemam%an %ikiran ntk mengetahisi+at a(strak &ari &ari '()ek &an menggnakann)a tan%a keha&iran '()ek. Karenaken)ataan (aha sema matematika a&alah a(strak, ia %er-a)a (aha salah satm'ti+ &ari intiti'nists ntk (er%ikir matematika a&alah %r'&k sat*satn)a%ikiran. Dia menam(ahkan (aha elemen %enting ketiga a&alah k'nse% in=nit),se&angkan k'nse% tak ter(atas &i&asarkan %a&a k'nse% kemngkinan. Dengan


5/37

&emikian, k'nse% tak ter(atas (kan kantitas, teta%i k'nse% )ang (ertm% %a&akemngkinan tak ter(atas, )ang mer%akan karakter &ari kemngkinan. !eriktn)aia mengklaim (aha k'nse% %e-ahan han)a (er&asarkan a(straksi &ankemngkinan. Menrt &ia, is )ang terli(at &engan (ilangan rasi'nal &an irasi'nalsama sekali ti&ak rele;an ntk inter%retasi k'nse% %e-ahan se(agaimana selal

&ikhaatirkan 'leh He)ting Aren&. Sejah (erkenaan &engan k'nse%k'nse%matematika, (ilangan rasi'nal se(agai n % &an (ilangan irasi'nal &engan % a&alah(ilangan (lat, han)a masalah -ara (ereks%resi. er(e&aan antara mereka a&alahmasalah &alam matematika ntk &ijelaskan &engan istilah matematika &an(ahasa. Di sisi lain, '&nieks, K., 0", men)atakan (aha k'nse% (ilangan asli&ikem(angkan &ari '%erasi mansia &engan k'leksi (en&a*(en&a k'ngkrit, namnti&ak mngkin ntk mem;eri=kasi %ern)ataan se%erti it se-ara em%iris &ank'nse% (ilangan asli s&ah )ang sta(il tentang &an terle%as &ari sm(er )aitse(enarn)a. H(ngan kantitati+ &ari him%nan(en&a*(en&a =sik &alam %raktekmansia, &an mlai (ekerja se(agai m'&el man&iri )ang k'k'h. Menrt &ia, sistem(ilangan asli a&alah i&ealisasi h(ngan*h(ngan kantitati+> &i mana 'rangmem%er'lehn)a &ari %engalaman mereka &engan him%nan &an ekstra%'lasiatran ke him%nan )ang jah le(ih (esar /jtaan hal3 &an &engan &emikian sitasii&ealn)a menja&i n)ata. Dia menegaskan (aha %r'ses i&ealisasi (erakhir k'k'h,teta%, &an man&iri , sementara (angn*(angn =sikn)a (er(ah. Sementarak'nse% matematika &i%er'leh &engan-ara mele%askan se(agian (esar si+at*si+atn)akem&ian ntk memikirkan se(agian ke-il si+at*si+at tertentn)a saja. Hal&emikian )ang kem&ian &ise(t se(agai a(straksi. Sementara si+at*si+at )angtersisa )ang memang hars &i%elajari, &iasmsikan (aha mereka mem%n)ai si+at)ang sem%rna> misal (aha lrs a&alah sem%rna lrs, lan-i% a&alah sem%rnalan-i%, &emikian him%nanersn)a. 7ang &emikian itlah )ang kem&ian &ikenalse(agai i&ealisasi. eters'n, I., 01, menjelaskan (aha %a&a aal a(a& ke*"#,

Jerman )ang he(at matematika Da;i& Hil(ert /016"*0$43 menganjrkan %r'gram

)ang am(isis ntk mermskan sat sistem aksi'ma &an atran in+erensi )angakan men-ak% sema matematika, &ari &asar aritmatika hingga mahir kalkls>im%iann)a a&alah men)sn met'&e %enalaran matematika &an menem%atkanmereka &alam kerangka tnggal. Hil(ert menegaskan (aha sat sistem +'rmal&ari aksi'ma &an atran hars k'nsisten, )ang (erarti (aha sese'rang ti&ak &a%atmem(ktikan se(ah %ern)ataan &an ke(alikann)a %a&a saat )ang sama, ia jgamenginginkan skema )ang lengka%, artin)a sat selal &a%at mem(ktikan%ern)ataan )ang &i(erikan (isa (enar ata salah. Hil(ert (er%en&a%at (aha harsa&a %r'se&r )ang jelas ntk memtskan a%akah sat %r'%'sisi tertent (erikt&ari him%nan aksi'ma, &engan it, &i(erikan se(ah sistem )ang jelas &ariaksi'ma &an atran in+erensi )ang te%at, akan le(ih mngkin, meski%n ti&ak

(enar*(enar %raktis, ntk menjalankan melali sema %r'%'sisi mngkin, &imlai&engan rtan ter%en&ek sim('l, &an ntk memeriksa mana )ang ;ali&. a&a%rinsi%n)a, sat %r'se&r ke%tsan se-ara 't'matis akan menghasilkan semate'rema mngkin &alam matematika. Di sisi lain, ia menjelaskan (ahamatematika +'rmal &i&asarkan %a&a l'gika +'rmal> mengrangi h(nganmatematis ntk %ertan)aan keangg'taan him%nan> '(jek %rimiti+ han)ater&e=nisi &alam matematika +'rmal a&alah him%nan k's'ng )ang (erisi a%a*a%a.A&a klaim (aha ham%ir setia% a(straksi matematika )ang %ernah &iseli&iki &a%at


6/37

&itrnkan se(agai se%erangkat aksi'ma te'ri him%nan &an ham%ir setia% (ktimatematis )ang %ernah &i(angn &a%at &i(at &engan asmsi ti&ak a&a &i lar)ang aksi'ma. It jga men)atakan (aha jika tak terhingga mer%akan %'tensi&an ti&ak %ernah menja&i ken)ataan selesai maka him%nan ter(atas ti&ak a&a,karena it, ahli matematika men-'(a ntk men&e=nisikan strktr tak ter(atas

)ang %aling mm &i(a)angkan karena it tam%akn)a mem(erikan hara%an %aling(aik, jika him%nan ti&ak ter(atas a&a maka akan menja&i lan&asan matematika)ang k'k'h. Le(ih lanjt, ia men)atakan (aha matematika hars langsngterh(ng ke si+at %r'gram n'n*&eterministi- &i alam semesta )ang %'tensial ti&akter(atas, hal ini akan mem(atasi ekstensi ntk se(ah him%nan (ilangan 'r&inal&an him%nan )ang &a%at &i(angn &ari mereka. O()ek &i&e=nisikan &alam satsistem matematis )ang +'rmal ti&ak %e&li a%akah aksi'ma tak terhingga ittermask )ang &imaskkan, &an (aha sistem +'rmal &a%at &iartikan se(agai sat%r'gram k'm%ter ntk menghasilkan te'rema &i mana %r'gram terse(t &a%atmenghasilkan sema nama*nama (en&a ata him%nan )ang &i&e=nisikan &alamsistem terse(t. Selanjtn)a, sema (ilangan kar&inal )ang le(ih (esar )ang%ernah &i&e=nisikan &alam sistem matematika )ang ter(atas, ti&ak akan &ihitng&ari &alam sistem terse(t. eters'n, I., 01, men-atat (aha a%a Hil(ert(er%en&a%at (aha kita &a%at meme-ahkan masalah jika kita -k% %intar &an(ekerja -k% lama, &an matematikaan 8reg'r) J. Chaitin &an Th'mas J. Bats'nti&ak %er-a)a &engan %rinsi% (aha a&a (atas ntk a%a matematika (isa &i-a%ai.Namn, %a&a tahn 04#, Krt 8'&el /0#6*0213 mem(ktikan (aha ti&ak a&a%r'se&r ke%tsan terse(t a&alah mngkin ntk setia% sistem l'gika )ang ter&iri&ari aksi'ma &an %r'%'sisi -k% -anggih ntk men-ak% jenis masalahmatematika )ang he(at )ang (ekerja %a&a setia% hari> ia mennjkkan (aha jikakita asmsikan (aha sistem matematika k'nsisten, maka kita (isa mennjkkan(aha it ti&ak lengka%. eters'n mengatakan (aha &alam %ikiran 8'&el, ti&ak%e&li a%a sistem aksi'ma ata atrann)a, akan selal a&a (e(era%a %ern)ataan

)ang &a%at ti&ak ter(kti ata ti&ak ;ali& &alam sistem. Memang, matematika%enh &engan %ern)ataan &gaan &an menngg (kti &engan jaminan (aha

jaa(an tertent telah %ernah a&a. Chaitin mem(ktikan (aha sat %r'se&rti&ak &a%at menghasilkan hasil )ang le(ih k'm%leks &ari %a&a %r'se&r it sen&iri,&engan kata lain, &ia mem(at te'ri (aha anita (er('('t 0*%'n ti&ak (isamelahirkan (a)i (er('('t 0#*%'n. Banita (er('('t 0# %'n ti&ak (isa melahirkan(a)i 0## %'n, &st. Se(alikn)a, Chaitin jga mennjkkan (aha ti&ak mngkinmem(at %r'se&r ntk mem(ktikan (aha sejmlah k'm%leksitas (ersi+at a-ak,maka, sejah (aha %ikiran mansia a&alah sejenis k'm%ter, mngkin a&a jenisk'm%leksitas (egit men&alam &an hals )ang akal kita ti&ak %ernah (isamemahami n)a> rtan a%a%n )ang mngkin terletak %a&a ke&alaman akan &a%at

&iakses, &an selal akan mn-l ntk kita se(agai kea-akan. a&a saat )angsama, mem(ktikan (aha (errtan a&alah a-ak jga &a%at mengatasi keslitan,ti&ak a&a -ara ntk memastikan (aha kita ti&ak &ia(aikan. eters'n, I., 01,men)atakan (aha hasil Chaitin ini mennjkkan (aha kita jah le(ih mngkinntk menemkan kea-akan &ari keterti(an &alam &'main matematika tertent>k'm%leksitas ;ersin te'rema 8'&el men)atakan (aha meski%n ham%ir sema(ilangan a&alah a-ak, ti&ak a&a sistem +'rmal aksi'matis )ang akan memngkinkankita ntk mem(ktikan +akta ini. Selanjtn)a, eters'n, I., 01, men)im%lkan


7/37

(aha %ekerjaan Chaitin ini mennjkkan (aha a&a jmlah tak ter(atas%ern)ataan matematika &i mana sese'rang &a%at mem(at, katakanlah, aritmatika)ang ti&ak &a%at &ire&ksi menja&i aksi'ma aritmatika, ja&i ti&ak a&a -ara ntkmem(ktikan a%akah %ern)ataan terse(t (enar ata salah &engan menggnakanaritmatika> &alam %an&angan Chaitin ini, it %raktis sama &engan mengatakan

(aha strktr aritmatika a&alah a-ak. Chaitin men)im%lkan (aha strktrmatematika a&alah +akta matematis )ang anal'g &engan hasil &ari se(ahlem%aran k'in &an kita ti&ak %ernah (isa (enar*(enar mem(ktikan se-ara l'gisa%akah it a&alah (enar, ia menam(ahkan (aha &engan -ara )ang sama (ahati&ak mngkin ntk mem%re&iksi saat )ang te%at &i mana se'rang in&i;i& )angterkena ra&iasi at'm mengalami %elrhan ra&i'akti+. Matematika tak (er&a)antk menjaa( %ertan)aan tertent, se&angkan =sikaan masih &a%at mem(at%re&iksi )ang &a%at &ian&alkan tentang rata*rata le(ih &ari (esar &ari at'm, ahlimatematika mngkin &alam (e(era%a kass ter(atas %a&a %en&ekatan )ang sama>)ang mem(at matematika jah le(ih &ari ilm %engetahan eks%erimental.Hem%el, C8, "##0, (er%en&a%at (aha setia% sistem %'stlat matematika )angk'nsisten, (agaimana%n, mem%n)ai inter%retasi )ang (er(e&a &ari istilah%rimiti+n)a, se&angkan sat him%nan &e=nisi &alam arti kata )ang kakmenentkan arti &ari &e=nien&a &engan -ara )ang nik . Sistem )ang le(ih las&ari it ean' %'stlat )ang &i%er'leh masih (elm lengka% &alam arti (aha ti&aksetia% (ilangan memiliki akar ka&rat, &an le(ih mm, ti&ak setia% %ersamaanalja(ar memiliki s'lsi &alam sistem> ini mennjkkan (aha eks%ansi le(ih lanjt&ari sistem (ilangan &engan %engenalan (ilangan real &an akhirn)a k'm%leks.Hem%el men)im%lkan (aha %a&a &asar &ari &alil '%erasi aritmatika &an alja(ar(er(agai &a%at &i&e=nisikan ntk jmlah sistem (ar, k'nse% +ngsi, limit, trnan&an integral &a%at &i%erkenalkan, &an te'rema (erkaitan erat &engan k'nse%*k'nse% ini &a%at &i(ktikan, sehingga akhirn)a sistem (esar matematika se%erti &isini &i(atasi (ertm% %a&a &asar )ang sem%it &ari sistem ean' it> setia% k'nse%

matematika &a%at &i&e=nisikan &engan menggnakan tiga nsr %rimiti+ &ariean', &an setia% %r'%'sisi matematika &a%at &isim%lkan &ari lima %'stlat )ang&i%erka)a 'leh &e=nisi &ari n'n*%rimiti+ terse(t, langkah %en)e&erhanaan, &alam(an)ak kass, &engan -ara ti&ak le(ih &ari %rinsi%*%rinsi% l'gika +'rmal> (kti(e(era%a the'rems tentang (ilangan real, (agaimana%n, memerlkan sat asmsi)ang (iasan)a ti&ak termask &i antara )ang terakhir &an ini a&alah aksi'ma )ang&ise(t %ilihan &i mana ia men)atakan (aha ter&a%at him%nan*him%nan salingeksklsi+, ti&ak a&a )ang k's'ng, a&a seti&akn)a sat him%nan )ang memilikite%at sat elemen )ang sama &engan masing*masing him%nan )ang &i(erikan.Hem%el, C8, "##0, men)atakan (aha (er&asarkan %rinsi% &an atran l'gika+'rmal, isi sema matematika &a%at &itrnkan &ari sistem se&erhana ean' ini

)ait %restasi )ang lar (iasa &an sistematis, isi matematika &an %enjelasan &asar*&asar )ang ;ali&itas. Menrt &ia, sistem ean' memngkinkan inter%retasi )ang(er(e&a, se&angkan &alam sehari*hari ma%n &alam (ahasa ilmiah, &a%at&ikem(angkan ntk arti khss ntk k'nse% aritmatika. Hem%el (ersikeras(aha jika karena it matematika a&alah menja&i te'ri )ang (enar &ari k'nse%*k'nse% matematika &alam arti )ang &imaks&kan, ti&ak -k% ntk ;ali&asi ntkmennjkkan (aha selrh sistem a&alah &itrnkan &ari ean' men&alilkanke-'-'kan &e=nisi, melainkan, kita hars (ertan)a le(ih jah a%akah %'stlat ean'


8/37

se(enarn)a (enar ketika nsr %rimiti+ &i%ahami &alam arti seke&ar se(agaike(iasaan. Jika &e=nisi &i sini &itan&ai se-ara hati*hati &an &itlis )ait (aha hal inimer%akan salah sat kass &i mana teknik*teknik sim('lik, ata matematika, &anl'gika mem(ktikan (aha &e=niens &ari setia% sat &ari mereka se-ara eksklsi+mengan&ng istilah &ari (i&ang l'gika mrni. Hem%el, C8, "##0, men)atakan

(aha sistem man&iri )ang sta(il tentang %rinsi% &asar a&alah -iri khas &ari te'rimatematika> m'&el matematika &ari (e(era%a %r'ses alami ata %erangkat teknis%a&a &asarn)a a&alah se(ah m'&el )ang )ang sta(il tentang )ang &a%at &iseli&ikise-ara in&e%en&en &ari aslin)a &an, &engan &emikian, kemiri%an m'&el &an aslihan)a menja&i ter(atas, han)a m'&el terse(t &a%at &iseli&iki 'lehmatematikaan. Hem%el (er%ikir (aha setia% %a)a ntk men)em%rnakanm'&el )ait ntk meng(ah &e=nisi ntk men&a%atkan kesamaan le(ih &enganasli, mengarah ke m'&el (ar )ang hars teta% sta(il, ntk memngkinkan%en)eli&ikan matematika, &engan it, te'ri*te'ri matematika a&alah (agian &ariilm kita )ang (isa se-ara ters melakkann)a jika kita (angn. Hem%elmen)atakan (aha m'&el matematika ti&ak terikat &engan ke aslian sm(ern)a>akan teta%i terlihat (aha (e(era%a m'&el &i(angn &engan (rk, &alam artik'res%'n&ensi ntk aslian sm(er mereka, namn )ang matematikaanin;estigasi (erlangsng &engan skses. Menrt &ia, sejak m'&el matematis&i&e=nisikan &engan te%at, ti&ak %erl lagi keaslian n)a sm(er lagi. Sat&a%at meng(ah m'&el ata mem%er'leh (e(era%a m'&el (ar ti&ak han)a ntkke%entingan k'res%'n&ensi &engan sm(er asli, teta%i jga ntk %er-'(aan(elaka. Dengan -ara ini 'rang &a%at mem%er'leh (er(agai m'&el &engan m&ah)ang ti&ak memiliki sm(er asli n)a, )ait se(ah -a(ang matematika )ang telah&ikem(angkan )ang ti&ak memiliki &an ti&ak &a%at memiliki a%likasi ntk masalah)ang n)ata. Hem%el, C8, "##0, men-atat (aha, &alam matematika, te'rema &arite'ri a%a%n ter&iri &ari &a (agian * %remis &an kesim%lan, karena it,kesim%lan &ari te'rema (erasal ti&ak han)a &ari him%nan aksi'ma, teta%i jga

&ari %remis )ang khss ntk te'rema tertent> &an %remis ini (kan%er%anjangan &ari sistemn)a. Dia men)a&ari (aha te'ri*te'ri matematika )angter(ka ntk gagasan*gagasan (ar, &engan &emikian, &i Kalkls setelah k'nse%k'ntinitas terh(ng maka (erikt &i%erkenalkan titik &isk'ntin), k'ntinitas,k'n&isi Li%s-hit5, &ll &an sema ini ti&ak (ertentangan &engan tesis tentangkarakter aksi'ma, %rinsi% &an atran in+erensi, namn ti&ak memngkinkanmatematika (ekerja &engan mengangga% te'ri*te'ri matematika se(agai )angsesat teta%. Kemerling, 8., "##", menjelaskan (aha %a&a %ergantian a(a&ke&a %lh, =ls+ mlai men-rahkan %erhatian terha&a% &asar*&asar sistem l'gis&an matematis, karena &a ri(an tahn l'gika Arist'telian tam%ak %enjelasan)ang lengka% &an =nal &ari akal mansia, namn ge'metri E-li& jga tam%akn)a

aman, sam%ai L'(a-he;sk) &an Riemann mennjkkan (aha k'nse%si alternati+ti&ak han)a mngkin teta%i (ergna &alam (an)ak a%likasi. Dia men)atakan (aha%a)a%a)a ser%a ntk (er%ikir lang strktr l'gika mlai akhir a(a&kesem(ilan (elas &i mana J'hn Start Mill men-'(a ntk mengem(angkan se(ahrekening k'm%rehensi+ %emikiran mansia )ang &i+'kskan %a&a in&kti+ &ari%a&a%enalaran &e&kti+> (ahkan %enalaran matematika, J'hn Start Mill seharsn)a,&a%at &i&asarkan %a&a %engamatan em%iris. Kemerling smme% % )ang (an)ak=ls+ &an matematikaan Namn, mengam(il %en&ekatan )ang (er(e&a. Ia


9/37

menjelaskan (aha L'gika a&alah st&i tentang ke(enaran )ang &i%erlkan &anmet'&e sistematis ntk mengeks%resikan &engan jelas &an rig'r'sl)mennjkkan ke(enaran terse(t> l'gi-ism a&alah te'ri =lsa+at tentang statske(enaran matematika, )akni, (aha mereka se-ara l'gis &i%erlkan ata analitik.Disarankan (aha ntk memahami l'gika %ertama*tama %erl ntk memahami

%er(e&aan %enting antara %r'%'sisi k'ntingen, )ang mngkin ata mngkin ti&ak(enar, &an %r'%'sisi %erl, )ang ti&ak (isa salah> l'gika a&alah (kti ntkmem(angn, )ang mem(erikan kita k'n=rmasi )ang &a%at &ian&alkan ke(enaran%r'%'sisi ter(kti. L'gika &a%at &i&e=nisikan se(agai (ersangktan &engan met'&entk %enalaran. Sistem l'gi-al kem&ian +'rmalisati'ns sat met'&e )ang te%at&an ke(enaran l'gis a&alah mereka &i(ktikan &engan met'&e )ang (enar.Ke(enaran*ke(enaran matematika karena it k'ntingen, namn ntk l'gi-ism,ke(enaran matematika a&alah sama &alam sema kemngkinan &nia, karenamereka ti&ak tergantng %a&a ke(era&aan him%nan, han)a %a&a k'nsistensiangga%an (aha him%nan )ang &i(thkan a&a> sejak (enar &alam him%nania%&nia )ang mngkin, matematika hars l'gis &i%erlkan. Sha%ir', S., "###,(ersikeras (aha, l'gika a&alah -a(ang ke&a matematika &an -a(ang =lsa+at>(ahasa +'rmal, sistem &e&kti+, &an m'&el*te'ri semantik a&alah '(jek matematika&an, &engan &emikian, ahli l'gika )ang tertarik %a&a mereka matematika si+at &anh(ngan. Menrt Sha%ir', l'gika a&alah st&i tentang %enalaran )ang (enar, &an%enalaran mer%akan kegiatan, e%istemis mental, &an karena it menim(lkan%ertan)aan mengenai rele;ansi =l's'=s as%ek matematis &ari l'gika> (agaimana&e&-i(ilit) &an ;ali&itas, se(agai %r'%erti (ahasa +'rmal, (erh(ngan &engan%enalaran )ang (enar, a%a hasil matematika &ila%'rkan &i (aah ini a&ah(ngann)a &engan masalah =l's'=s asli. !e(era%a =ls+ men)atakan (ahakalimat &eklarati+ (ahasa alam telah men&asari (entk l'gis &an (aha (entk*(entk )ang &itam%ilkan 'leh +'rmla (ahasa +'rmal. B?O Gine men)atakan(aha (ahasa alam hars teratr, &i(ersihkan ntk %ekerjaan ilmiah &an meta=sik

)ang seris, salah sesat )g &iinginkan %ersahaan a&alah (aha strktr l'gis&alam (ahasa &i%erintah hars trans%aran. Oleh karena it, (ahasa +'rmal a&alahm'&el matematika &ari (ahasa alami, se(ah (ahasa +'rmal menam%ilkan =trtertent &ari (ahasa alam, ata i&ealisasi &ari %a&an)a, sementara menga(aikanata men)e&erhanakan =tr lainn)a. Sha%ir' men)atakan (aha tjan &ari m'&elmatematika a&alah ntk menjelaskan a%a )ang mereka m'&el, tan%a mengklaim(aha m'&el terse(t akrat &alam sema hal ata (aha m'&el hars menggantia%a it m'&el. Kemerling, 8. "##", menjelaskan (aha titik %n-ak &ari %en&ekatan(ar ntk l'gika terletak %a&a ka%asitasn)a ntk menerangi si+at %enalaranmatematika, se&angkan kam i&ealis (ersaha ntk mengngka%kan h(nganinternal &ari realitas a(s'lt &an %ragmatis &itaarkan ntk mem%erhitngkan

mansia ermintaan se(agai %'la l'nggar in;estigasi, ahli l'gika (ar (erhara%ntk mennjkkan (aha h(ngan %aling signi=kan antara &a%at &i%ahamise(agai mrni +'rmal &an eksternal. Kemerling men-atat (aha matematikaanse%erti Ri-har& De&ekin& men)a&ari (aha atas &asar ini &imngkinkan ntkmem(angn matematika tegas &engan alasan l'gis, se&angkan 8ise%%e ean'telah mennjkkan %a&a 011 (aha sema aritmatika &a%at &ikrangi ke sistemaksi'matis &engan hati*hati &i(atasi him%nan aal men&alilkan . a&a sisi lain,Frege segera (ersaha ntk mengeks%resikan men&alilkan &alam n'tasi sim('lik


10/37

temann)a sen&iri, &an &engan 004, Rssell &an Bhitehea& telahmen)elesaikanm'nmental rin-i%ia Mathemati-a /0043, &engan tiga ;'lme(esar ntk (ergerak &ari se(ah aksi'ma l'gis saja melali &e=nisi n'm'r (kti(aha 0 0 ". Kemerling men)atakan (aha meski%n kar)a 8&el &i(atmengha%s keter(atasan &ari %en&ekatan ini, signi=kansi (agi %emahaman kita

tentang l'gika &an matematika teta% n&imme&. ietr'ski, ., "##", (ersikeras )angmenarik (agi (entk l'gis mn-l &alam k'nteks %a)a ntk mengatakan le(ih(an)ak tentang %er(e&aan antara kesim%lan intiti+ sem%rna, )ang mengn&angmeta+'ra keamanan &an ke&ekatan, &an kesim%lan )ang meli(atkan risik'tergelin-ir &ari ke(enaran ke%alsan . Dia men)atakan (aha %emikiran kn'a&alah (aha kesim%lan tan%a -ela mennjkkan %'la )ang &a%at &i-irikan 'lehskema a(strak &ari isi tertent &ari tem%at tertent &an kesim%lan, &engan&emikian mengngka%kan (entk mm (ersama (an)ak kesim%lan sem%rnalainn)a> (entk se%erti, (ersama &engan kesim%lan (aha -'nt'h mereka,&ikatakan ;ali&. ietr'ski &iraikan kesim%lan St'ik men-erminkan (entk a(strak

jika %ertama kem&ian )ang ke&a, &an )ang %ertama, maka )ang ke&a. Olehkarena it, St'ik &irmskan )ait skemata lain )ang ;ali&. Jika %ertama kem&ian)ang ke&a, teta%i ti&ak )ang ke&a, ja&i (kan )ang %ertama> Entah %ertama atake&a, teta%i ti&ak )ang ke&a, ja&i )ang %ertama, &an ti&ak (aik )ang %ertama&an ke&a, ta%i )ang %ertama, sehingga ti&ak )ang ke&a . ietr'ski, ., "##",men)atakan (aha +'rmlasi skema l'gis memerlkan ;aria(el &alam %r'%'sisi>%r'%'sisi a&alah istilah seni ntk a%a%n ;aria(el &i atas &ire%resentasikan &alam(er(agai (erani le(ih &an &engan &emikian mer%akan hal*hal )ang (isa (enarata salah, se(a( mereka a&alah tem%at %'tensial )ait kesim%lan. hal )ang (isamen-ari &alam kesim%lan )ang ;ali&. Dia mengatakan (aha kesim%lan &a%atmenja&i %r'ses mental &imana %emikir menarik kesim%lan &ari (e(era%a tem%at,ata %r'%'sisi %emikir akan menerima mngkin sementara ata hi%'tetis jika &iamenerima l'kasi &an kesim%lan, &engan sat %r'%'sisi &itnjk se(agai

k'nsekensi &gaan 'rang lain. Dia men-atat (aha ti&ak jelas (aha semakesim%lan sem%rna a&alah -'nt'h &ari (e(era%a (entk )ang ;ali&, &an &engan&emikian kesim%lan )ang im%e--a(ilit) a&alah karena (entk %r'%'sisi*%r'%'sisi)ang rele;an, teta%i %ikiran ini menja(at se(agai i&eal ntk st&i in+erensi,him%nani&akn)a sejak %eng'(atan Arist'teles tentang -'nt'h se%erti. Menrt&ia, Arist'teles mem(ahas (er(agai kesim%lan tertent, )ang &ise(t sil'gisme,)ait meli(atkan anti=-ati'nal %r'%'sisi. &itnjkkan &engan kata*kata se%ertisetia% &an (e(era%a. . ietr'ski, ., "##", menggnakan termin'l'gi )ang se&ikit(er(e&a (aha te'retiks lain mem%erlakkan sema elemen mm se(agai%re&ikat, &an %r'%'sisi &engan strktr tertent &an &ikatakan memiliki (entkkateg'ris se(agai (erikt s()ek*kata kerja %engh(ng*%re&ikat, &imana se(ah

kata kerja %engh(ng, &itnjkkan &engan kata*kata se%erti a&alah ata a&alah,link s(jek )ang ter&iri &ari %em(ilang &an %re&ikat ntk %re&ikat, teta%i &enganmermskan (er(agai s-hemata in+erensi Arist'telian, &engan analisis %r'%'sisik'm%leks, in+ereren-es sem%rna (an)ak )ang terngka% se(agai kass (entksil'gisme ;ali&. ietr'ski men)atakan (aha %ara ahli l'gika a(a& %ertengahanmem(ahas h(ngan l'gika ntk tata (ahasa, ia mem(e&akan (aha (ahasa)ang &i-a%kan hars ment%i as%ek*as%ek tertent &ari strktr l'gis &anmemiliki strktr> mereka ter&iri, &engan -ara )ang sistematis, &ari kata*kata> &an


11/37

asmsi a&alah (aha kalimat men-erminkan as%ek tama (entk l'gis, termasks(jek*%re&ikat strktr. Dia mengaki (aha menjelang akhir a(a& ke&ela%an(elas, Kant (isa mengatakan tan%a (erle(ihan (aha (an)ak l'gika mengikti jalrtnggal sejak aal, &an (aha sejak Arist'teles it ti&ak hars menelsri kem(alisat langkah. Menrt &ia, Kant mengatakan (aha l'gika sil'gisme a&alah ntk

sema tam%ilan lengka% &an sem%rna. Han)a a&a tiga istilah &alam sil'gisme,karena ke&a istilah &alam kesim%lan s&ah &alam %remisn)a, &an sat istilahmm (agi ke&a %remisn)a. Ini mengarah %a&a &e=nisi (erikt %re&ikat &alamkesim%lan &ise(t sk tama, s(jek &alam kesim%lan &ise(t sk ke-il> istilahmm &ise(t term tengah, se&angkan %remis )ang mengan&ng istilah tama&ise(t %remis tama> &an %remis )ang mengan&ng istilah min'r &ise(t %remismin'r. Sil'gisme selal &itlis %remis ma)'r, %remis min'r, kesim%lan, melainkanter(atas %a&a argmen sil'gisme, &an ti&ak (isa menjelaskan kesim%lan mm)ang meli(atkan (e(era%a argmen. H(ngan &an i&entitas hars &i%erlakkanse(agai h(ngan s(jek*%re&ikat, )ang mem(at %ern)ataan i&entitasmatematika slit ntk &itangani, &an tent saja istilah tnggal &an %r'%'sisitnggal. ietr'ski, ., "##", menjelaskan (aha &engan &emikian, 'rang mngkinmen&ga (aha a&a relati+ se&ikit &isim%lkan %'la &asar, (e(era%a kesim%lan(isa men-erminkan transisi inheren menarik &alam %ikiran> jelas (aha %ara ahlil'gika (erhak ntk mengam(il atran in+erensi &ari ! jika A , &an A, maka !se(agai sesat )ang aksi'matis, &an namn, (era%a (an)ak atran )ang maskakal &iangga% se(agai +n&amental &alam %engertian ini Dia (er%en&a%at (ahakeanggnan te'ritis &an te'ri*te'ri )ang men&kng %enjelasan men&alam &enganasmsi tere&ksi se&ikit, &an ge'metri E-li& telah lama men)e&iakan m'&el ntk(agaimana men)ajikan '()ek %engetahan se(agai jaringan %r'%'sisi )angmengikti &ari aksi'ma &asar (e(era%a, &an ntk (e(era%a alasan, &asar%ertan)aan memainkan %eran %enting &alam l'gika a(a& kesem(ilan (elas &anmatematika. ietr'ski mengam(il kar)a !''le &an lain*lain ntk mennjkkan

(aha kemajan &alam hal ini a&alah mngkin seh(ngan &engan kesim%lanl'gika )ang meli(atkan ;aria(el %r'%'sisi'nal> namn sil'gisme teta% ti&ak &a%at&isatkan &an ti&ak lengka%, )ang (erh(ngan &engan alasan lain &ari gagaln)al'gika tra&isi'nal tata (ahasa. Dalam %engem(angan matematika m'&ern, n'tasiFrege &iran-ang %ertama )ang -'-'k ntk mem(angn matematika +'rmal. N'tasi)ang le(ih %resisi memngkinkan Rssell ntk menemkan kelemahan &alam%enalaran )ang mereka &kng, )ang &ikenal se(agai %ara&'ks Rssell. Hal ini%a&a gilirann)a men&'r'ng %erkem(angan le(ih lanjt &alam %emahaman kitatentang te'ri +'rmal, khssn)a, mereka menghasilkan a9i'mati5ati'n te'rihim%nan )ang &i&kng 'leh intisi semantik )ang mer%akan iterati+ k'nse%si)ang &iteta%kan. Hal tama &ari met'&e analisis l'gis +'rmal a&alah %enggnaan

m'&el matematika ntk menja(arkan arti &ari k'nse% )ang &i%ertim(angkan> inimem(aa nsr semantik ke latar &e%an &an men&'r'ng %engakan (aha ketikakita ingin menggnakan (ahasa se-ara te%at kita hars memilih arti )ang te%at%la, &engan mengangga% (aha makna )ang te%at )ang (isa &i&a%atkan &ari%rese&en, &a%at &ilakkan. a&a sisi lain, Kemerling, 8., "##", men)atakan (ahaBilliam Hamilt'n men)arankan (aha kanti=kasi %re&ikat terkan&ng &alam%r'%'sisi kateg'ris tra&isi'nal mngkin mengi5inkan inter%retasi alja(ar )ang isin)amer%akan %ern)ataan eks%lisit &ari i&entitas> %an&angan ini &i&'r'ng Agsts De


12/37

M'rgan )ang mengslkan eks%resi sim('lis &ari k'%la se(agai h(ngan l'gismrni, )ang resmi men&a%atkan =tr &alam k'nteks )ang (er(e&a (an)ak. Diamen-atat (aha Te'rema De M'rgan sama (aikn)a ntk him%nan irisan,him%nan ga(ngan, &an &alam l'gika &an &isjngsi, De M'rgan jga menjelajahigagasan La%la-e %r'(a(ilitas se(agai &erajat ke)akinan rasi'nal )ang (isa jath

antara ke%astian sem%rna &ari ke(enaran ata ke%alsan. Selanjtn)a, Kemerlingmenjelaskan (aha 8e'rge !''le men)elesaikan trans+'rmasi ini &engan se-araeks%lisit &an mena+sirkan l'gika kateg'ris &engan re+erensi him%nan &ari hal*hal&imana l'gis him%nan*te'ritis matematika relasi ters &i antara kelas terse(t&a%at &in)atakan seti&akn)a jga &alam alja(ar !''lean. Kemerling men-atat(aha Le'nhar& Eler, &an J'hn ?enn mennjkkan, h(ngan ini &a%at&ire%resentasikan &alam &iagram t'%'gra=, m'&el =tr ;ali&itas )ang +'rmal>&ansema %erkem(angan ini men&'r'ng %ara =ls+ ntk memeriksa is'm'r=smal'gika &an matematika le(ih &ekat. Ia menjelaskan (aha l'gika tra&isi'nal a&alahistilah )ang l'nggar ntk tra&isi l'gis )ang (erasal &ari Arist'teles &an (an)ak(er(ah sam%ai mn-ln)a l'gika %re&ikat m'&ern &i akhir a(a& kesem(ilan (elas,&an asmsi men&asar &alam l'gika tra&isi'nal a&alah (aha %r'%'sisi ter&iri &ari&a istilah &an (aha %r'ses %enalaran %a&a gilirann)a &i(angn &ari %r'%'sisi>istilah a&alah (agian &ari meakili sesat, teta%i )ang ti&ak (enar ata salah&alam &irin)a sen&iri> %r'%'sisi ter&iri &ari &a istilah, &i mana sat istilah&itegaskan &an )ang lainn)a ke(enaran ata ke%alsan> sil'gisme a&alahkesim%lan )ang salah sat %r'%'sisi (erikt ke(than &ari &a 'rang lain. Dalaml'gika , %r'%'sisi han)alah se(ah (entk (ahasa jenis kalimat tertent, &alams(jek &an %re&ikat &iga(ngkan, sehingga ntk men)atakan sesat (enar atasalah, it (kan %ikiran, ata entitas )ang a(strak ata a%a%n> kata %r'%'siti'(erasal &ari (ahasa Latin, )ang (erarti %remis %ertama &ari sil'gisme. Arist'telesmenggnakan %remis kata /%r'tasis3 se(agai kalimat )ang menegaskan atamen)angkal sat hal lain sehingga %remis jga mer%akan (entk kata*kata.

Namn, &alam l'gika =lsa+at m'&ern, sekarang (erarti a%a )ang &itegaskan se(agaihasil &ari meng-a%kan kalimat, &an &iangga% se(agai sesat )ang aneh mentalata &isengaja. Kalitas %r'%'sisi a&alah a%akah it %'siti+ ata negati+. Dengan&emikian setia% 'rang a&alah +ana a&alah )a, karena +ana &itegaskan &arimansia> Ti&ak a&a %ria a(a&i a&alah negati+, karena a(a&i &it'lak &arimansia , se&angkan, kantitas %r'%'sisi a&alah a%akah it ni;ersal atatertent. L'gika Arist'teles, jga &ikenal se(agai sil'gisme, a&alah jenis tertent&ari l'gika )ang &i(at 'leh Arist'teles, tertama &alam kar)a*kar)an)a Se(elmAnal)ti-s &an De Inter%retati'ne, teta%i kem&ian &ikem(angkan menja&i a%a )ang&ikenal se(agai l'gika tra&isi'nal ata L'gika Jangka. Arist'teles mem(at $ma-am kalimat terkr, masingmasing )ang mengan&ng s(jek &an %re&ikat

a=rmati+ )ang ni;ersal )ait S setia% > )ait negati+ )ang ni;ersal ti&ak S a&alah> )ait a=rmati+ tertent (e(era%a S a&alah , &an negati+ tertent ti&ak setia% Sa&alah . A&a (er(agai -ara ntk mengga(ngkan kalimat terse(t ke &alamsil'gisme, ke&an)a ;ali& &an ti&ak ;ali&> &i 5aman a(a& %ertengahan, l'gikaArist'telian &iklasi=kasikan setia% kemngkinan &an mem(eri mereka nama.Arist'teles jga mengaki (aha setia% jenis memiliki kalimat, misaln)a, ke(enaranni;ersal )ang memerlkan se(ah a=rmati+ ke(enaran a=rmati+ tertent )angsesai, serta kesalahan negati+ )ang sesai negati+ &an tertent ni;ersal.


13/37

M's-h';akis, J., "##", (ersikeras (aha l'gika intiti'nisti- meli%ti %rinsi%*%rinsi%%enalaran l'gis )ang &ignakan 'leh LEJ !r'er &alam mengem(angkanmatematika intiti'nisti- n)a, se-ara =l's'=s, intiti'nism (er(e&a &ari l'gi-ism&engan mem%erlakkan l'gika se(agai (agian &ari matematika (kan se(agai&asar &ari matematika > &ari =nitism &engan memngkinkan %enalaran tentang

k'leksi tak ter(atas, &an &ari lat'nisme &engan melihat '(jek matematika se(agaik'nstrksi mental )ang tan%a ke(era&aan )ang i&eal in&e%en&en. M's-h';akismen)atakan (aha %r'gram +'rmalis Hil(ert, ntk mem(enarkan matematikaklasik &engan mengrangi ke sistem +'rmal )ang k'nsistensi hars &iteta%kan&engan -ara =nitisti-, a&alah saingan k'ntem%'rer %aling am%h ntk intiti'nism!r'er s (erkem(ang. a&a tahn 00" Intiti'nism &an F'rmalisme !r'er&engan te%at mem%re&iksikan (aha setia% %a)a ntk mem(ktikan k'nsistensiin&ksi lengka% tentang (ilangan alam akan mengaki(atkan lingkaran setan.!an)ak =ls+ telah mengam(il matematika menja&i %ara&igma %engetahan, &an%enalaran )ang &ignakan &alam mengikti (kti matematika sering &iangga%se(agai lam(ang %emikiran rasi'nal, namn matematika jga mer%akan sm(er)ang ka)a masalah =l's'=s )ang menja&i %sat e%istem'l'gi &an meta=sika sejakaal =lsa+at !arat> &i antara )ang %aling %enting a&alah se(agai (erikt (ilangann'l &an entitas matematika lainn)a a&a se-ara in&e%en&en &ari k'gnisi mansia>

Jika ti&ak maka (agaimana kita menjelaskan %enera%an matematika )ang lar (iasa(agi ilm %engetahan &an rsan %raktis Jika &emikian maka a%a hal )angmereka &an (agaimana kita (isa tah tentang mereka> Dan A%a h(ngan antaramatematika &an l'gika /. Filsa+at Matematika, htt%8''glesear-h3 ertan)aan%ertama a&alah %ertan)aan meta=sik &engan ke&ekatan &ekat &engan %ertan)aantentang ke(era&aan entitas lain se%erti ni;ersal, si+at &an nilai*nilai, sesai &engan(an)ak =ls+, jika entitas terse(t a&a maka mereka sehingga &i lar rang &anakt, &an mereka ti&ak memiliki kekatan kasal, mereka sering &ise(t a(strak&i(an&ingkan &engan entitas (et'n. Jika kita menerima ke(era&aan '(jek

matematika a(strak maka e%istem'l'gi )ang mema&ai matematika harsmenjelaskan (agaimana kita (isa tah tentang mereka, tent saja, (kti tam%akn)amenja&i sm(er tama %em(enaran (agi %r'%'sisi matematika teta%i (kti(ergantng %a&a aksi'ma &an %ertan)aan tentang (agaimana kita (isa tahke(enaran &ari aksi'ma teta%. Hal ini (iasan)a (er%ikir (aha ke(enaranmatematika a&alah ke(enaran )ang &i%erlkan, (agaimana kem&ian a%akahmngkin (agi ter(atas, makhlk =sik )ang men&iami &nia )ang k'ntingen memiliki%engetahan tentang ke(enaran terse(t Da %an&angan )ang las se-ara (aik)ait mngkin ke(enaran matematika &ikenal &engan alasan, ata mereka &ikenal'leh in+erensi &ari %engalaman sens'rik. an&angan rasi'nalis mantan &ia&'%si 'lehDes-artes &an Lei(ni5 )ang jga (er%ikir (aha k'nse%*k'nse% matematika a&alah

(aaan, se&angkan L'-ke &an Hme him%nanj (aha ke(enaran matematika&ikenal 'leh akal ta%i mereka %ikir sema k'nse%*k'nse% matematika )ang&i%er'leh a(straksi &ari %engalaman> &an Mill a&alah se'rang em%iris lengka%tentang matematika &an memegang ke&a (aha k'nse%*k'nse% matematika(erasal &ari %engalaman &an jga (aha ke(enaran matematika a&alah (enar*(enar generalisasi in&kti+ &ari %engalaman. Sementara it, %eneman %a&a%ertengahan a(a& kesem(ilan (elas n'nE-li&ean ge'metri (erarti (aha =ls+&i%aksa ntk menilai kem(ali stats ge'metri E-li&ean )ang se(elmn)a telah


14/37

&iangga% se(agai -'nt'h Shinning %engetahan tertent &i &nia, (an)akmengam(il ke(era&aan n'n k'nsisten *E-li&ean ge'metri menja&i %enentanganse-ara langsng &ari ke&a Mill &an =lsa+at Kant tentang matematika. a&a akhira(a& kesem(ilan (elas %en)an)i telah &itemkan (er(agai %ara&'ks &alam te'rikelas &an a&a sesat krisis &alam &asar matematika. a&a aal a(a& ke&a %lh

kita melihat kemajan (esar &alam matematika &an jga &alam l'gika matematika&an &asar matematika &an se(agian (esar is*is +n&amental &alam =lsa+atmatematika &a%at &iakses 'leh sia%a saja )ang akra( &engan ge'metri &anaritmatika &an )ang telah memiliki %engalaman mengikti matematika (kti.Namn, (e(era%a %erkem(angan =l's'=s %aling %enting &ari a(a& ke&a %lh it&i%i- 'leh %erkem(angan )ang men&alam )ang terja&i &alam matematika &anl'gika, &an a%resiasi )ang te%at &ari masalah ini han)a terse&ia (agi sese'rang)ang memiliki %emahaman tentang te'ri him%nan &asar &an menengah l'gika.ntk mem(ahas +alsa+ah matematika %a&a tingkat lanjtan )ang (enar*(enarhars memeriksa gagasan )ang men-ak% (kti &ari te'rema keti&aklengka%an8&el s serta mem(a-a tentang (er(agai t'%ik &alam =lsa+at matematika. Niklin,D., "##$, menjelaskan (aha %ara ilman kn' &an =ls+ )ang mengikti %r'gramlat'nis)thag'ras, &irasakan (aha matematika &an met'&e )ang &a%at&ignakan ntk menggam(arkan alam. Menrt lat', matematika &a%atmem(erikan %engetahan tentang engsel )ang ti&ak (isa se(alikn)a &an karena itti&ak a&a h(ngann)a &engan hal*hal =sik %ernah lan-ar, tentang )ang han)a a&a%en&a%at )ang mngkin (enar. Niklin men)atakan (aha lat'nis hati*hatimem(e&akan antara aritmetika &an ge'metri &alam matematika it sen&iri, se(ahrek'nstrksi te'ri l'tins &ari n'm'r, )ang men-ak% %em(agian lat' an &ariangka ke s(stansial &an kantitati+, mennjkkan (aha angka )ang terstrktr&an &i%ahami (ertentangan &engan entitas ge'metris. Se-ara khss, angka ini&i(entk se(agai kesatan sintetis ter%isahkan, nit &iskrit, se&angkan '(jekge'metris )ang ters meners &an ti&ak ter&iri &ari (agian tak ter%isahkan. Niklin,

D., "##$, menemkan (aha lat'nis &iangga% (aha '()ek matematika &iangga%entitas interme&iate antara hal*hal =sik /'()ek3 &an niskala, han)a mask akal,entitas /%engertian3. Menrt &ia, &alam tra&isi lat'nis, ke-er&asan, &ilihat &arikateg'ri kehi&%an, mam% hamil %rinsi% %ertama> &ita+sirkan se(agai &anaktalitas mrni, intelek selanjtn)a &isajikan melali %er(e&aan antara %ikiranse(agai (er%ikir &an (er%ikir se(agai mask akal , se(agai '(jek %emikiran )anga&a &alam k'mnikasi tergangg> %a&a %emikiran, (ertentangan &iskrsi+, %a&a&asarn)a terli(at &alam argmentasi matematis &an l'gis, ti&ak lengka% &an han)a%arsial. ters meners &an ti&ak ter&iri &ari (agian tak ter%isahkan. Niklinmennjkkan (aha ntk lat'nis alasan &iskrsi+ melakkan kegiatann)a &isejmlah langkah (errtan &ilakkan, karena, ti&ak se%erti intelek, ti&ak mam%

meakili '()ek %emikiran se-ara keselrhan &an k'm%leksitas )ang nik &an&engan &emikian hars memahami (agian '(jek &engan se(agian, &alam rtantertent. Sementara, F'lkerts, M., "##$, mennjkkan (aha lat'nis %er-a)a(aha realitas a(strak a&alah ken)ataan. Dengan &emikian, mereka ti&ak memilikimasalah &engan ke(enaran karena '(jek &i (agian i&eal matematika memiliki si+at.Se(alikn)a lat'nis memiliki masalah e%istem'l'gis * sese'rang &a%at memiliki%engetahan tentang '(jek &i (agian i&eal matematika, mereka ti&ak &a%atmenim%a %a&a in&era kita &engan -ara a%a%n. Ini mngkin (aha selama (agian


15/37

tengah a(a& ini a&a &i&irikan ntk sementara akt %enasaran stan&*'P> saat ini(aik l'gi-ism &an F'rmalisme &itahan telah gagal, hasil keti&aklengka%an 8&el stelah ikt (er%eran &alam ke&a kass, ta%i intiti'nism teta% th , maka se-ara=l's'=s intiti'nism menja&i hal tama. He(at matematika &i sisi lain, se%anjangmereka mengangga% hal ini, mngkin teta% +'malist ata l'gi-ist &alam

ke-en&erngan, &alam %arh ke&a tekanan %a&a a(a& ini %ara&igma klasik telah(erkem(ang &ari (e(era%a sm(er. ntk %er(e&aan %en&a%at %ara =ls+ telah&itam(ahkan %er(e&aan %en&a%at &ari ahli matematika )ang telah menemkankesalahan &engan te'ri him%nan klasik se(agai se(ah )a)asan, ata )angmeragkan %erln)a memiliki &asar sama sekali> ilm k'm%ter semakin te'ritistelah memaski arena ini, &an telah -en&erng %engarh ra&ikal. /*****, 02,Kateg'ri Te'ri &an Dasar*&asar Matematika R!J,htt%.r(j'nes.-'mr(j%(r(j.htm3 Istilah &asar ata lan&asan matematikaka&ang*ka&ang &ignakan ntk (i&ang tertent &ari matematika it sen&iri, )aitntk l'gika matematika, te'ri him%nan aksi'matik, te'ri (kti &an te'ri m'&el>%en-arian &asar matematika A&alah jga %ertan)aan sentral &ari =l's'=matematika atas &asar a%a &a%at la%'ran tama matematika &ise(t (enarara&igma matematika saat ini &'minan &i&asarkan %a&a te'ri him%nanaksi'matik &an l'gika +'rmal> sema te'rema matematika hari ini &a%at &irmskanse(agai te'rema te'ri &issn> ke(enaran %ern)ataan matematika, &alam%an&angan ini, kem&ian a%a*a%a ke-ali klaim (aha %ern)ataan it &a%at (erasal&ari aksi'ma te'ri him%nan menggnakan atran l'gika +'rmal. Namn,%en&ekatan +'rmalistik ti&ak menjelaskan (e(era%a is se%erti menga%a kita harsmenggnakan aksi'ma )ang kita lakkan &an (kan 'rang lain, menga%a kita harsmenggnakan atran l'gika )ang kita lakkan &an (kan lainn)a, menga%a (enar%ern)ataan matematika tam%akn)a (enar &alam &nia =sik> &imana Bigner &ise(tini se(agai e+ekti;itas )ang ti&ak mask akal matematika &alam ilm =sika. *****,02, Dasar*&asar matematika Biki%e&ia, ensikl'%e&ia (e(as.

htt%en.iki%e&ia.'rgiki8NQFDL. Kita mngkin mem%ertan)akan a%akahmngkin (aha sema %ern)ataan matematika, (ahkan k'ntra&iksi, &a%at&itrnkan &ari aksi'ma*aksi'ma te'ri mengatr, a%alagi, se(agai k'nsekensi &arite'rema keti&aklengka%an 8&el ke&a, kita ti&ak %ernah (isa )akin (aha ini ti&akterja&i. Selanjtn)a, ia menjelaskan (aha &alam realisme matematika,ka&angka&ang &ise(t lat'nisme, ke(era&aan &nia '(jek matematikain&e%en&en &ari mansia ini men&alilkan> ke(enaran tentang '()ek &itemkan 'lehmansia, &alam %an&angan ini, hkm alam &an hkm*hkm matematikamemiliki stats )ang sama, &an e+ekti;itas (erhenti menja&i mask akal &anti&ak aksi'ma kita, teta%i &nia )ang sangat n)ata &ari '(jek matematikamem(entk )a)asan. Ia menjelaskan (aha %ertan)aan )ang jelas, kem&ian,

a&alah (agaimana kita mengakses &nia ini, (e(era%a te'ri m'&ern &alam =lsa+atmatematika men)angkal ke(era&aan )a)asan &alam arti asli> (e(era%a te'ri-en&erng (er+'ks %a&a %raktek matematika, &an (ertjan ntkmenggam(arkan &an menganalisis kerja aktal )ang he(at matematika se(agaikel'm%'k s'sial, se&angkan, )ang lain men-'(a ntk men-i%takan ilm%engetahan k'gniti+ matematika, &engan +'ks %a&a k'gnisi mansia se(agai asal&ari kean&alan matematika ketika &itera%kan %a&a &nia n)ata, &an karena it, inite'ri akan mengslkan ntk menemkan &asar han)a &alam %emikiran mansia,


16/37

ti&ak &alam tjan &i lar k'nstrk. Singkatn)a, masalah ini masih k'ntr';ersial./*****, 02, Dasar*&asar matematika Biki%e&ia, ensikl'%e&ia (e(as.Htt%en.iki%e&ia.'rgiki8NQFDL3 '&nieks, K, 0", (er%en&a%at a%akahmatematika han)a se(ah ilm %engetahan a(strak &engan &e=nisi )ang ketat)ang han)a masalah %em(ktian &an kejam, ata tentang &nia =sik ta%i kita hars

(elajar (agaimana menggnakan te'ri )ang te%at tentang a%a )ang kita rasakan &i)ang kita %erl te'ri intisi ntk memngkinkan kita ntk menjaga (agianin=nitar) matematika. Ia mennjkkan (aha &alam matematika, ini, &iaki (ahamasalah tim(l karena kejelasan n*)ang he(at matematika memiliki sekitarh(ngan antara met'&e ge'metris &an met'&e nmerik> met'&e ge'metris )angmemngkinkan sangat ke-il terlal ti&ak te%at &an ini men)e(a(kan %engenalanaritmatika teknik ntk mem%elajari analisis sangat ke-il ntk mem(erikankekakan )ang kem(ali ke i&e*i&e )thag'ras. Sementara Kal&er'n, ME, "##$,men)atakan (aha ntk mengem(alikan stan&ar E-li&ean lama kekakan&engan mem(erikan (kti jelas klaim aritmatika )ang memenhi &a k'n&isi (ahaasmsi him%nania% eks%lisit &in)atakan, &an him%nania% transisi in+erensiala&alah sesai &engan atran mengaki . Dia mengatakan (aha &'r'ngan (ar&ari kekakan &alam ge'metri &an analisis )ang telah menai (er(ah &enganmengngka%kan (atas (erlak the'rems %enting, &engan mem(at eks%lisit%rinsi%*%rinsi% &a%at &isim%lkan (aha se-ara im%lisit meman& %enilaian kitakita &a%at sam%ai %a&a met'&e mm %em(entkan k'nse% )ang &a%at mem(antkita ntk meme-ahkan %ertan)aan matematika ter(ka. Kal&er'n mengklaim(aha &engan mengrangi jmlah %enilaian )ang &iterima tan%a (kti kitamen-a%ai ek'n'mi te'ritis )ang (erharga, (ahkan jika ke(enaran a&alah jelasmasih mer%akan mka matematis ntk mem(ktikann)a. Kal&er'n, ME, "##$,(er%en&a%at a%akah titik %r')ek Frege ntk mem(ktikan )ang s&ah jelas atati&ak, a%a a&alah stats e%istem'l'gis ke(enaran matematika> Mereka analitika%ri'ri, sintetik a%ri'ri, ata sintetik a%'steri'ri> Dan (agaimana a&alah angka

)ang &i(erikan ke%a&a kami> (agaimana me&ia Kant sensi(ilitas &an menengahFrege nalar Menrt &ia, ke%tsan matematika a&alah analitik han)a &alam kassk'nse% s(jek (erisi k'nse% %re&ikat, &an %enilaian matematika a&alah analitikhan)a &alam kass %en'lakan a&alah k'ntra&iksi*&iri. Menrt Kal&er'n, Kantmengangga% k'nse% se(agai meli(atkan -he-k list =tr, k'nse% em%iris a&alahk'nse% ma-am hal en-'ntera(le &alam %engalaman mana ntk menja&i jenis)ang rele;an &ari hal a&alah memiliki =tr se-ara em%iris &a%at &iamati, F0, F", ...,Fn, )ang se-ara l'gis in&e%en&en, karena it, %enghakiman a&alah analitik han)a&alam kass &a+tar =tr )ang (erh(ngan &engan k'nse% %re&ikat a&alah (agian&ari &a+tar =tr )ang (erh(ngan &engan k'nse% s(jek. Kal&er'n men-atat(aha Kant menlis se'lah*'lah k'nse% selal k'nse% khss en-'ntera(le> ia

ti&ak mem(at tnjangan ntk k'nse% relasi'nal ata ntk k'nse% hal )ang ti&akteramati &an =tr %a&a &a+tar terse(t )ang seharsn)a se-ara l'gis in&e%en&en,teta%i ti&ak sema k'nse% em%iris sesai %'la ini &an ti&ak sema k'nse% memiliki&a+tar =tr. Kant, 0212, (er%en&a%at (aha matematika a&alah %r'&k mrnialasan, &an terle(ih lagi a&alah (enar*(enar kimis, ia menemkan (aha semak'gnisi matematika memiliki keganjilan ini &an %ertama kali hars mennjkkank'nse% &alam intisi ;isal &an memang a%ri'ri, 'leh karena it &alam intisi )angti&ak em%iris, teta%i mrni> tan%a ini, matematika ti&ak &a%at mengam(il sat


17/37

langkah, 'leh karena ke%tsan*ke%tsann)a selal ;isal, )ait, intiti+>.se&angkan =lsa+at hars %as &engan %enilaian &iskrsi+ &ari k'nse%*k'nse% (elaka,&an meski%n mngkin menggam(arkan &'ktrin*&'ktrinn)a melali s's'k ;isal,ti&ak %ernah &a%at mem%er'leh mereka &ari it. Di sisi lain, Kant mengklaim (ahaintisi em%iris memngkinkan kita tan%a keslitan ntk mem%er(esar k'nse% )ang

kita (ingkai &ari sat '()ek &ari intisi, &engan %re&ikat (ar, )ang intisi itsen&iri men)ajikan se-ara sintetis &alam %engalaman, se&angkan intisi mrnimelakkann)a jga, han)a &engan %er(e&aan ini , (aha &alam kass terakhir%enghakiman kimis a&alah a%ri'ri tertent &an a%'&ei-ti-al, &alam, mantan han)a%'steri'ri &an em%iris tertent> karena )ang terakhir ini han)a (erisi a%a )angterja&i %a&a intisi em%iris k'ntingen, teta%i )ang %ertama, )ang tent hars&itemkan &alam intisi mrni. Menrt Kant, karena intisi a&alah satre%resentasi se(agai segera tergantng %a&a ke(era&aan '(jek, tam%akn)a ti&akmngkin ntk intisi &ari aal a%ri'ri, karena intisi akan &alam a-ara )ang(erlangsng tan%a (aik mantan ata (en&a ha&ir ntk merjk ntk, &an 'lehk'nsekensi ti&ak (isa intisi. Selanjtn)a, Kant, 0212, (er%en&a%at (aha intisimatematika mrni )ang meletakkan %a&a &asar &ari sema k'gnisi &an %enilaian)ang mn-l sekaligs a%'&iktis &an &i%erlkan a&alah Rang &an Bakt, karenamatematika hars terle(ih &ahl memiliki sema k'nse% &alam intisi, &anmatematika mrni intisi mrni, maka, matematika hars mem(angn mereka.Menrt Kant, 8e'metri &i&asarkan %a&a intisi mrni rang, &an, aritmatikamen)elesaikan k'nse% angka &engan %enam(ahan (errtan &ari nit &alamakt> &an mekanik mrni tertama ti&ak &a%at men-a%ai k'nse% gerak tan%amenggnakan re%resentasi akt. Kant men)im%lkan (aha matematika mrni,se(agai k'gnisi kimis a%ri'ri, han)a mngkin &engan menga- a&a (en&a selain)ang in&ra, &i mana, &i &asar intisi em%iris mereka terletak se(ah intisi mrni/rang &an akt3 )ang a%ri'ri. Kant menggam(arkan (aha &alam %r'se&r (iasa&an %erl ge'meters, sema (kti kesesaian lengka% &ari &a angka )ang

&i(erikan akhirn)a &atang ini (aha mereka mngkin &i(at (erte%atan> )angtern)ata ti&ak lain %r'%'sisi kimis (eristirahat %a&a intisi langsng, &an intisi inihars mrni, ata &i(erikan se-ara a%ri'ri, jika %r'%'sisi ti&ak &a%at %eringkatse(agai a%'&i-ti-all) tertent, teta%i akan memiliki ke%astian em%iris saja. Kantselanjtn)a men)im%lkan (aha &asar matematika se(enarn)a intisi mrni,se&angkan &e&ksi transen&ental tentang k'nse%k'nse% rang &an aktmenjelaskan, %a&a saat )ang sama, kemngkinan matematika mrni. Kant, 0212,men)atakan (aha %enilaian Matematika sema kimis &an ia (er%en&a%at (aha+akta ini tam%akn)a sam%ai sekarang telah sama sekali l'l's &ari %engamatanmereka )ang telah &ianalisis akal mansia> (ahkan tam%akn)a langsngmenentang sema &gaan mereka, meski%n tak &iragkan tertent, &an )ang

%aling %enting &alam k'nsekensin)a. Le(ih lanjt ia men)atakan (aha ntk saat&itemkan (aha kesim%lan )ang he(at matematika sema (erjalan sesaihkm k'ntra&iksi se%erti )ang &itntt 'leh sema ke%astian a%'&iktis, %riame)akinkan &irin)a sen&iri (aha %rinsi%*%rinsi% &asar )ang &ikenal &ari hkm)ang sama. Ini a&alah kesalahan (esar, katan)a. Dia kem&ian men)am%aikanalasan (aha ntk %r'%'sisi sintetis memang (isa &i%ahami menrt hkmk'ntra&iksi, teta%i han)a &engan mengan&aikan lain %r'%'sisi sintetis &ari )ang(erikt, teta%i ti&ak %ernah &alam &irin)a sen&iri. Kant mengemkakan (aha


18/37

sema %rinsi%*%rinsi% ge'metri ti&ak krang analitis, ia mengklaim (aha atri(tsesak karena it sama sekali tam(ahan, &an ti&ak &a%at &i%er'leh 'lehhim%nania% analisis k'nse%, &an ;isalisasi )ang hars &atang ntk mem(antkita, &an 'leh karena it saja mem(at sintesis mngkin. Kant (ersaha ntkmennjkkan (aha &alam kass %r'%'sisi i&entik, se(agai met'&e Rangkaian, &an

(kan se(agai %rinsi%, e. g., a a, keselrhan a&alah sama &engan &irin)a, ata a ( a, keselrhan le(ih (esar &ari (agiann)a &an men)atakan (aha meski%nmereka &iaki se(agai sah &ari k'nse%*k'nse% (elaka, mereka han)a&i%erkenankan &alam matematika, karena mereka &a%at &ire%resentasikan &alam(entk ;isal. Kal&er'n, ME, "##$, ter%a%ar (aha %enilaian analitik a&alah mereka)ang men)angkal a&alah k'ntra&iksi*&iri, &an karakterisasi ini a&alah han)a se(agai(aik se(agai l'gika &asar, teta%i Kant masih menerima l'gika lama )ang &iarisi&ari Arist'teles. Selanjtn)a, Kal&er'n mengklaim (aha karakterisasi %enahanank'nse%tal han)a (erlak ntk %enilaian a=rmati+ ni;ersal, )ait, %enilaian &ari(entk Sema Se(agaimana !., Dan karakterisasi l'gis memiliki jangkaan )angle(ih las %enera%ann)a karena ti&ak ter(atas %a&a a=rmati+ )ang ni;ersal%enilaian. Kal&er'n (er%en&a%at (aha re-'nstral Frege &ari gagasan Kanttentang anal)ti-it) sekaligs men)elesaikan keslitan &an men)atkankarakterisasi )ang (er(e&a> ke(enaran a&alah analitik han)a &alam kass it (isa&i(ah menja&i se(ah ke(enaran l'gis 'leh s(stitsi sin'nim ntk sin'nim,sementara ke(enaran l'gis a&alah ke(enaran )ang &a%at &i(ktikan &ari l'gikasaja. Kal&er'n mengklaim (aha %en'lakan se(ah ke(enaran l'gis a&alahk'ntra&iksi*&iri, sehingga karakterisasi Frege a&alah him%nania &engan semangatkarakterisasi l'gis> (aha ke(enaran l'gis ti(a &i melali s(stitsi sin'nim ntksin'nim e9%li-ates meta+'ra Kant %enahanan k'nse%tal. Kal&er'n le(ih lanjtmenegaskan (aha se&angkan Kant mengklaim (aha %enilaian analitik ti&ak (isamem%er%anjang klaim Frege %engetahan )ang mereka (isa> menrt Frege,%er(e&aan ini &ise(a(kan k'nse%si miskin Kant tentang %em(entkan k'nse%

&i(erikan kehim%naniaan ke%a&a l'gika lama. Kal&er'n, ME, "##$, (ersikeras(aha k'nse%*k'nse% (ar )ang &i&a%at &engan '%erasi %ersim%angan &an inklsi,&an &i(erikan l'gika ta, mem(entk k'nse% (ar selal masalah %eman+aatan(atas*(atas ila)ah )ang &iteta%kan 'leh k'nse% ante-e&entl) &i(erikan> &an Fregemem%ertahankan (aha, mengingat l'gika (arn)a, a&a kemngkinanmenggam(ar (atas*(atas (ar. Namn, men&e=nisikan k'nse%*k'nse% (ar&engan -ara ini lisensi kita ntk menarik kesim%lan (aha kami ti&ak (erlisensintk menarik se(elmn)a, sehingga mem%erlas %engetahan kita. Kal&er'nmen)atakan (aha S ke(enaran a%ri'ri han)a jika ter&a%at (kti &ari S )ang ti&ak(ergantng %a&a +akta*+akta &asar tentang '(jek tertent, )ait, kala*kalater&a%at him%nani&akn)a sat (kti S )ang han)a meli(atkan ke(enaran mm

se(agai tem%at. Menrt Kal&er'n, Frege tam%akn)a telah mem(erikankarakterisasi l'gis &ari a%a )ang se(elmn)a telah &ita+sirkan se(agai gagasane%istem'l'gis> Frege &irasakan (aha %engetahan a%'steri'ri tergantng %a&a%engalaman ntk %em(enaran, &an it han)a in+'rmati+ jika %engalaman &a%at&itentkan se-ara in&e%en&en &ari %eran n'rmati+ . Kal&er'n mengklaim (aha&asar matematika a&alah tertama kar)a matematika meski%n karakter in+'rmal.Dia men-atat (aha Frege han)a menjaa( %ertan)aan =l's'=s k'n=grasi lang'leh mereka ntk memiliki jaa(an matematika, &an m'ti;asi matematika Frege


19/37

)ang ti&ak asli menrt stan&ar akhir matematika a(a& ke*0 &an mngkinke(enaran a&alah sat tem%at &i antara. Kal&er'n, ME, "##$, men)atakan (ahaaritmetika a&alah analitik a%ri'ri> menja&i analitik, ke(enaran aritmatika hars&itrans+'rmasikan ke &alam ke(enaran l'gis 'leh s(stitsi sin'nim ntk sin'nim,&an ntk (ersika% a%ri'ri, ke(enaran aritmatika hars memiliki him%nani&akn)a

sat (kti &ari tem%at mrni mm. Kal&er'n men)atakan (aha Frege harsmelaksanakan %r')ek matematika ntk menentkan a%a aritmatika sejah &a%at&i(ktikan &ari l'gika &an &e=nisi saja. Di sisi lain, &alam kaitann)a &engan

i;asi matematika, Kal&er'n (ersikeras (aha menemkan (kti mana (ktiterse&ia selal kemajan matematika (ahkan jika (atas*(atas kea(sahan te'rema(enar*(enar jelas &an te'rema se-ara ni;ersal &iangga% se(agai jelas. MenrtKal&er'n, &alam mengngka% &e%en&ensi l'gis antara %emikiran ilm hitng, satse-ara eks%lisit mengartiklasikan k'nten mereka sehingga mem%erjelas materi%elajaran aritmatika> ntk &i(enarkan &alam %en&a%at matematika sese'ranga&alah ntk mem(aa mereka sejalan &engan rtan ketergantngan '(jekti;itasantara %emikiran ilm hitng &ingka%kan 'leh (kti matematis, karena it,

menemkan (kti mana (kti )ang terse&ia a&alah kemajan matematika sejah%em(enaran %en&a%at matematika tergantng &i atasn)a, )ang %ertamatergantng %a&a klaim =l's'=s tentang k'nten, )ang ke&a tergantng %a&a klaim=l's'=s tentang %em(enaran. Selanjtn)a, Kal&er'n, ME, "##$, (er%en&a%at (ahakass Frege ntk klaim (aha aritmatika a&alah analitik a%ri'ri memiliki tigak'm%'nen )ang mer%akan argmen %'siti+ tnggal, sanggahan alternati+ )angmasih a&a, )akni argmen terha&a% Kant, &an &e=nisi &an sketsa (kti Frege kass&i mana han)a akan selesai ketika &e=nisi &an sketsa (kti se-ara +'rmal&ilaksanakan &alam (ahasa !egriPss-hri+t. Menrt Frege, ke(enaran aritmatikamengatr sema )ang &%t &ihitng, ini a&alah &'main terlas &ari sema, karenantk it milik ti&ak han)a )ang se(enarn)a, ti&ak han)a intita(le, ta%i mask

akal seman)a. !r'er kem&ian mengem(angkan te'ri him%nan &an te'ri%engkran serta te'ri +ngsi, tan%a menggnakan %rinsi% &ike-alikan tengah, iaa&alah )ang %ertama ntk mem(angn se(ah te'ri matematika menggnakanl'gika selain )ang (iasan)a &iterima. /Htt%h'me.mira.net an&) kar)a ;ale.htm3. Ja&i, &ia &ikenal se(agai intinists )ang mengslkan +alsa+ahmatematika tan%a &asar, se&angkan Kant s'rt ntk aritmatika &asar &alam%engalaman akt &an ge'metri &alam %engalaman rang, !r'er men-'(antk mem%erhitngkan sema matematika &alam hal intisi )ait sa&ar%engalaman akt. Intiti'nism (entr'k &engan matematika klasik sejah !r'ermen)atakan (aha ti&ak a&a ke(enaran &i lar %engalaman, &an karenan)a (ahahkm tengah &ike-alikan ti&ak &a%at &itera%kan %a&a sema %ern)ataan

matematika )ait &i (agian in=nitar) tertent matematika a&alah tak tent(erkaitan &engan (e(era%a si+at . !ri&ges, D., 02, mennjkkan (aha &alam=lsa+at !r'er s, matematika a&alah -i%taan (e(as &ari %ikiran mansia, &an'(jek a&a jika &an han)a jika &a%at &i(angn mental. '&nieks, K., 0",mennjkkan (aha Hil(ert %a&a tahn 010 (erhasil mem%r'&ksi ters meners,namn ti&ak sat*ke*sat, %emetaan &ari sat segmen ke %ersegi %anjang, &an&isim%an gagasan &imensi &engan mem(ktikan (aha De&ekin& )ang te%at )angters meners sat ke*sat k'res%'n&ensi antara k'ntinm &ari &imensi'nalities


20/37

(er(e&a a&alah mstahil. '&nieks, K., 0", terkena %ekerjaan !r'er &arirangkaian hi%'tesa )ang &ise(t, &i mana &engan (er(agai ter(atas him%nan %'in%en)an)i meneta%kan (aha sema ter(atas him%nan &ia (isa menghasilkan,ter(agi &alam &a kateg'ri him%nan &%t &ihitng )ait him%nan )ang (isa&ihitng &engan menggnakan (ilangan asli &an him%nan )ang him%nanara

&engan selrh k'ntinm )ait him%nan sema (ilangan real. Menrt '&nieks,%en)an)i sen&iri ti&ak &a%at menghasilkan him%nan kekatan menengah,him%nan terhitng )ait titik )ang ti&ak him%nanara &engan selrh k'ntinm,inilah menga%a ia men&ga (aha him%nan terse(t ti&ak a&a &an &gaan ini&ikenal se(agai k'ntinm hi%'tesis menrt !r'er )ang him%nania% rangkaiantak ter(atas %'in (aik a&alah terhitng, ata him%nanara &engan selrhk'ntinm. '&nieks, K., 0", (ersikeras (aha intiti'nism memelk &a te'ri=l's'=s %enting )ait Ajaran !r'er )ang (enar a&alah menja&i (er%engalaman,a%a%n a&a (eraal %a&a %ikiran sa&ar kita. Menrt !r'er, '()ek matematika(ersi+at a(strak, a%ri'ri, (entk intisi kita, Dia %er-a)a (aha %ikiran han)a a&alahmilikn)a sen&iri, &an krang %e&li &engan antars(jekti;itas &ari Immanel Kant.!r'er men'lak klaim intisi a%ri'ri rang, melainkan ia (er%ikir matematika&i&asarkan se%enhn)a %a&a intisi a%ri'ri akt. Menrt 's), !r'er %er-a)a(aha strktr %an&an akt sema kegiatan sa&ar &an ke(era&aann'nE-li&ean ge'metri melarang intisi )ang sat a%ri'ri rang. 's) menjelaskan(aha !r'er hars merek'nstrksi (agian*(agian tertent &ari matematika&i(erikan ken&ala sen&iri. r'gram %'siti+ intiti'nism a&alah k'nstrksimatematika se(agai &i(atasi 'leh Te'ri !r'er s Kesa&aran. r'gram negati+intiti'nism (er%en&a%at (aha matematika stan&ar se(enarn)a salah ata %alingti&ak k'nsisten. !r'er ti&ak (er%en&a%at (aha matematika stan&ar ti&akk'nsisten> argmenn)a &i&asarkan %a&a i&ealisme e%istem'l'gis n)a. !r'ermem(at se&ikit %er(e&aan antara Hil(ert &an lat'nis. !e(era%a k'nstrksi!r'er s tergantng %a&a asmsi (aha jika %r'%'sisi a&alah (enar, kita (isa

mengetahi (aha it (enar. 8'&el, K., 060, men)atakan (aha matematika,(er&asarkan si+atn)a se(agai se(ah ilm a%ri'ri, selal telah, &alam &an &ari&irin)a sen&iri &an, ntk alasan ini, telah lama (ertahan semangat &ari akt )angtelah memerintah sejak )ait Renaissan-e, te'ri em%iris matematika> matematikatelah (erkem(ang menja&i a(straksi )ang le(ih tinggi, jah &ari kejelasan materi&an ntk semakin (esar &i +'n&asin)a misaln)a, &engan mem(erikan lan&asan)ang te%at &ari kalkls &an (ilangan k'm%leks, &an &engan &emikian, jah &arisika% ske%tis. Namn, sekitar %ergantian a(a&, jam n)a &isam(ar antin'mi te'rihim%nan, k'ntra&iksi )ang &i&ga mn-l &alam matematika, )ang %enting it&i(esar*(esarkan 'leh s-e%ti-ist &an em%irisis &an )ang &i%ekerjakan se(agaialasan ntk %erg'lakan ke kiri. 8'&el men)atakan (aha, him%nanelah sema,

a%a ke%entingan matematika a&alah a%a )ang &a%at &ilakkan, &alam ke(enaran,matematika menja&i ilm em%iris, jika kita mem(ktikan &ari aksi'ma seenang*enang men&alilkan (aha him%nania% (ilangan asli a&alah jmlah &ari em%atk'tak, ti&ak &i sema mengikti &engan %asti (aha kita ti&ak akan %ernahmenemkan -'nter*-'nt'h ntk te'rema ini, karena aksi'ma kami (isahim%nanelah sema menja&i ti&ak k'nsisten, &an kita &a%at mengatakan (ahait (erikt &engan %r'(a(ilitas tertent, karena meski%n %em't'ngan (an)akk'ntra&iksi sejah ini &itemkan. Menrt 8'&el, melali k'nse%si hi%'tetis


21/37

matematika, (an)ak %ertan)aan )ang kehilangan (entk a%akah %r'%'sisi A tersata ti&ak ata A ata A. 8'&el, K., 060, (er%en&a%at (aha +'rmalisme Hil(ertmeakili (aik &engan semangat akt &an hakekat matematika &i mana, &i satsisi, sesai &engan i&e*i&e )ang (erlak &alam =lsa+at &easa ini, ke(enaran &ariaksi'ma &ari mana matematika mlai kelar ti&ak &a%at &i(enarkan ata &iaki

&engan -ara a%a%n, &an karena it gam(ar k'nsekensi &ari mereka memilikimakna han)a &alam %engertian hi%'tesis, &imana ini gam(ar &ari k'nsekensi itsen&iri &ita+sirkan se(agai %ermainan (elaka &engan sim('l menrt atrantertent, jga ti&ak &i&kng 'leh aasan. Le(ih lanjt, 8'&el mengklaim (aha(kti atas ke(enaran sat %r'%'sisi se(agai re%resenta(ilit) &ari him%nania%n'm'r se(agai jmlah &ari em%at k'tak hars mem(erikan lan&asan )ang amanntk %r'%'sisi (aha (aha him%nania% )a*ata*ti&ak te%at &irmskan%ertan)aan &alam matematika hars memiliki jelas *mem't'ng jaa(an )ait sat(ertjan ntk mem(ktikan (aha &ari &a kalimat A &an A, te%at sat selal&a%at &itrnkan. 8'&el mengklaim (aha ti&ak ke&an)a &a%at &itrnkanmer%akan k'nsistensi, &an )ang sat selal (isa (enar*(enar &itrnkan (erarti(aha %ertan)aan matematika &ingka%kan 'leh A &a%at tegas menjaa(. 8'&elmen)arankan (aha jika sese'rang ingin mem(enarkan &a %ern)ataan &enganke%astian matematika, (agian tertent &ari matematika hars &iaki se(agai (enar&alam arti =l's'= kanan ta. 8'&el, K., 060, (ersikeras (aha jika kita mem(atasi&iri &engan te'ri (ilangan asli, a&alah mstahil ntk menemkan sistem aksi'ma&an atran +'rmal &i mana ntk him%nania% %r'%'sisi n'm'r*te'ri A, A ata? A akan selal &itrnkan, &an ntk aksi'ma -k% k'm%rehensi+matematika, ti&ak mngkin ntk melaksanakan (kti k'nsistensi han)a &enganmere


22/37

k'm%rehensi+ &an aman ke &alam h(ngan men&asar )ang hi&% &i antaramereka, )ait, ke &alam aksi'ma )ang ters (agi mereka, ti&ak 'leh men-'(amem(erikan &e=nisi eks%lisit ntk k'nse% &an (kti ntk aksi'ma, karena ntksat )ang jelas %erl lainn)a n*&i&e=nisikan k'nse%*k'nse% a(strak &an aksi'main&k mereka, jika ti&ak 'rang akan memiliki a%a*a%a &ari mana 'rang (isa

men&e=nisikan ata mem(ktikan. 8'&el mengklaim (aha %r'se&r it harsterletak &alam klari=kasi makna )ang ti&ak ter&iri &alam mem(erikan &e=nisi, iamen)atakan (aha &alam %em(entkan sistematis &ari aksi'ma matematika,aksi'ma (ar menja&i jelas &an sama sekali ti&ak &ike-alikan 'leh hasil negati+)ang teta% him%nania% jelas &iajkan matematika )a ata a&a %ertan)aan&i%e-ahkan &engan -ara ini, karena han)a ini menja&i jelas aksi'ma le(ih &an le(ih(ar atas &asar arti &ari %engertian %rimiti+ (aha mesin ti&ak &a%at menir. Ir;ine,AD, "##4, menjelaskan (aha l'gi-ism %ertama kali &ianjrkan %a&a a(a& ketjh(elas*an 'leh 8'tt+rie& Lei(ni5. Kem&ian, i&e it &i%ertahankan se-ara le(ih rin-i'leh Frege 8'ttl'(. Irnine mennjkkan (aha selama gerakan kritis &imlai %a&a01"#*an, ahli matematika se%erti !ernar& !'l5an', Niels A(el, L'is Ca-h) &anKarl Beierstrass (erhasil menghilangkan (an)ak keti&akjelasan &an (an)akk'ntra&iksi )ang a&a &alam te'ri matematika &ari hari mereka, &an 'leh 01##*an,Billiam Hamilt'n jga mem%erkenalkan %asangan teratr &ari real se(agai langkah%ertama &alam memas'k se-ara l'gis ntk n'm'r k'm%leks. Ir;ine mennjkkan(aha &alam (an)ak semangat )ang sama, Karl Beierstrass, Ri-har& De&ekin& &an8e'rg Cant'r memiliki jga sema met'&e &ikem(angkan ntk men&irikanirrati'nals &alam hal rati'nals, &an menggnakan kar)a H8 8rassmann &an Ri-har&De&ekin&, 8ise%%e ean' telah kem&ian %ergi ntk mengem(angkan te'rirati'nals (er&asarkan a9i'ms sekarang terkenal &engan alam n'm'r, serta &emihari Frege, se-ara mm &iaki (aha se(agian (esar matematika (isa &itrnkan&ari sat him%nan )ang relati+ ke-il &ari gagasan %rimiti+. L'gi-ism a&alah &'ktrin(aha Matematika a&alah &ire&ksi ke L'gi-. Tra&isi analitik m'&ern &imlai

&engan kar)a Frege &an Rssell ntk ke&an)a matematika a&alah %erhatiansentral. Se(agai l'gi-ists men)atakan (aha %ern)ataan matematis, jika mereka(enar sama sekali, a&alah (enar tent, maka %rinsi%*%rinsi% l'gika jga (iasan)a&iangga% ke(enaran )ang &i%erlkan, mngkin maka ke(enaran matematika )ang(enar*(enar ke(enaran l'gis han)a rmit. L'gi-ism a&alah nama )ang &i(erikanntk %r'gram %enelitian )ang &i%rakarsai 'leh Frege &an &ikem(angkan 'lehRssell &an Bhitehea& tjan )ang a&alah ntk mennjkkan (agaimanamatematika &ire&ksi menja&i l'gika. Frege men-'(a ntk mem(erikanmatematika &engan &asar )ang l'gis sara, sa)angn)a Rssel menemkan (ahasistem Frege ti&ak k'nsisten> kar)a terkenal Rssell %a&a te'ri jenis mer%akan%a)a ntk menghin&ari %ara&'ks )ang menim%a ;ersi Frege &ari l'gi-ism.

/Fil's'= Matematika, htt%8''glesear-h.3. M's-h';akis, JR, 0, mengatakan(aha l'gika intiti'nisti- meli%ti %rinsi%*%rinsi% %enalaran l'gis )ang &ignakan'leh LEJ !r'er> =l's'=s, intiti'nism (er(e&a &ari l'gi-ism &enganmem%erlakkan l'gika se(agai (agian &ari matematika (kan se(agai &asar &arimatematika, &ari =nitism &engan memngkinkan / k'nstrkti+3 %enalaran tentangk'leksi tak ter(atas, &an &ari lat'nisme &engan melihat '(jek matematika se(agaik'nstrksi mental )ang tan%a ke(era&aan )ang i&eal in&e%en&en. M's-h';akismen)atakan (aha %r'gram +'rmalis Hil(ert, ntk mem(enarkan matematika


23/37

klasik &engan mengrangi ke sistem +'rmal )ang k'nsistensi hars &iteta%kan&engan -ara =nitisti-, a&alah saingan k'ntem%'rer %aling am%h ntk intiti'nism!r'er s (erkem(ang> ia men'lak +'rmalisme semata teta%i mengaki kegnaan%'tensi mermskan mm %rinsi%*%rinsi% l'gis mengeks%resikan k'nstrksiintiti'nisti-all) (enar, se%erti m'&s %'nens. M's-h';akis mennjkkan (aha

sistem +'rmal ntk l'gika %r'%'sisi'nal &an %re&ikat intiti'nisti- terse(t&ikem(angkan 'leh He)ting 04#U, 8ent5en 04:U &an Kleene 0:"U> &anterjemahan 8&el*8ent5en negati+ &ita+sirkan l'gika %re&ikat klasik &alams(sistem intiti'nisti- n)a. Dalam 06:U Kri%ke mem(erikan semantik terha&a%)ang l'gika %re&ikat intiti'nisti- selesai. '&nieks, K., 0", men-atat (ahamenrt intiti'nists, %ersamaan )ang meli(atkan '%erat'r nmerik &asar se%erti,terkait &engan em%at kegiatan menghasilkan angka, melihat &a &ari mereka(ersama*sama, &an mengenali mereka sama &engan ketiga, &an intiti'nismstan&ar !r'er s han)a mem(atasi kita ntk a%a )ang =nitar) &an menrt te'riintisi'nis, re&-ti' a& a(sr&m (kti ti&ak &iijinkan ntk mem(ktikan (ahasesat it a&a meski%n mereka &iterima ntk hasil negati+. !r'er melihat(aha him%nan alg'ritma &ihitng a&alah enmera(le )ait memiliki jmlahkar&inal #, sehingga kita ti&ak (isa mem(atasi angka n)ata ntk him%nan ini,karena kem&ian akan ti&ak memiliki si+at (aha real terhitng miliki. 's)mennjkkan (aha s'lsi !r'er a&alah generalisasi &ari k'nse% alg'ritma ataatran ntk mem(erikan jmlah tak terhitng alg'ritma ntk mem(erikan a%a)ang &i(thkan ntk real it a&alah gagasan tentang rtan %ilihan. !r'ermm alg'ritma &engan mel'nggarkan %ers)aratan (aha alg'ritma menja&i&eterministik &an hasiln)a a&alah rtan &i mana elemen (errtan &a%at &i%ilih&ari sekm%lan kan&i&at. Menrt !r'er, rtan %ilihan &i(erikan 'leh atran&eterministik ntk mem(erikan (e(era%a elemen %ertama, &an atran ti&ak*selal*&eterministik ntk memilih elemen (eriktn)a. 's) (ertan)a*tan)a a%akahmereka a&alah sama &an (ertem &engan (ilangan real )ang sama, &ia

mengatakan (aha &ia ti&ak &an ti&ak &a%at mengetahi hal ini. Dengan &emikian,men)e(a(kan kesim%lan (aha (e(era%a %ertan)aan %enting tentang rtan%ilihan ti&ak &ijaa( &alam jmlah akt )ang ter(atas &an &engan &emikian, ti&aka&a ke(enaran tentang %ertan)aan tentang kehim%nanaraan akhir &an kita(ahkan ti&ak tah a%akah kita akan tah menjaa( &alam jmlah akt )angter(atas. 's) men)im%lkan (aha !r'er hars him%nan lang te'ri(erte%atan &engan k'nstrksi )ang lain &i mana &i (aah ;ersin)a meneta%kante'ri, %er(e&aan antara nsr sat him%nan &an him%nan sen&iri krangter&e=nisi &engan (aik. Dalam hal ge'metri, 's), C., 0", mennjkkan (aha!r'er merasakan (aha si+at rang &iangga% mrni ge'metris &a%at &in)atakantem%'ral sekali kita mengaki (aha a%a )ang menja&i -iri strktr akt a&alah

(aha masa &e%an masih rag*rag. Menrt 's), !r'er %er-a)a (aha(agian*(agian )ang i&eal matematika ter&iri &ari '(jek )ang se(enarn)a &i-i%takan&alam %ikiran. Di sisi lain, !r'er mengaki (aha a&a masalah &engan rtan%ilihan karena +akta (aha sejmlah n)ata &i-i%takan 'leh tin&akan %ilihantam%akn)a ti&ak te%at )ang &i%erlkan tin&akan mansia )ang !r'er ti&akmerasa it hars &imaskkan &alam matematika . Namn, !r'er telahmem%erkenalkan met'&e s(jek men-i%takan ntk menghasilkan (ilangan real)ang men)e(a(kan &ia menja&i se'rang matematikaan i&eal, ia t'ke !, &an


24/37

mem(agi %enelitian ke taha% &i mana %a&a him%nania% taha% a&a masalahmatematika )ang (elm ter%e-ahkan se(agai /n3 V jika %a&a taha% n, ! (elmter(kti ata mem(antah masalah )ang (elm ter%e-ahkan, /n3 jika %a&a taha%n, ! telah meme-ahkan masalah. !r'er mengatakan (aha %r'ses inimem(entk rtan )ang a&alah (ilangan real &an ti&ak a&a tin&akan %ilihan,

namn a&a %r'se&r 't'matis, menangka% e+ek )ang sama &engan rtan %ilihan,tan%a meman+aatkan tin&akan n'n*matematika %ilihan. 's) &isim%lkan (ahamet'&e ini ti&ak akan (ekerja jika masalah (elm ter%e-ahkan &iselesaikan,sehingga, agar met'&e s()ek men-i%takan menja&i met'&e )ang &a%at &iterima,hars a&a %as'kan )ang tak ha(is*ha(isn)a masalah matematika )ang takter%e-ahkan. !r'er %er-a)a hal ini (enar, namn Hil(ert mengatakan (ahati&ak akan a&a masalah )ang tak ter%e-ahkan %a&a %rinsi%n)a, &imana !r'er

jelas (ertentangan &engan %an&angann)a. Menrt te'ri +'rmalis, kita memilikik'nse%si sangat mask akal %engetahan '(jek &alam matematika n)ata>seh(ngan &engan matematika )ang i&eal, kita &a%at mem%er'leh k'nse%si &ari'(jek melali %enggnaan sistem +'rmal. Namn, ke(enaran han)a (isa ntk(agian n)ata &ari matematika, ti&ak a&a hal*hal sesai &engan ke)akinan kita &i(agian )ang i&eal. Hal ini menghasilkan te'ri &alistik ke(enaran * (e(era%a%emikiran )ang (enar melali te'ri, hi(ri&a (atan, sementara )ang lain a&alah(enar melali -ara*-ara n'rmal /F'lkerts, M., "##$3. F'rmalisme tertama terkait&engan Da;i& Hil(ert )ang sering &i-irikan se(agai %an&angan (aha l'gika &anmatematika a&alah %ermainan )ang +'rmal (elaka &an memiliki legitimasi )angin&e%en&en &ari isi semantik &ari +'rmalisme, asalkan kita &a%at &i)akinkan &arik'nsistensi sistem +'rmal. r'gram Hil(ert ntk men)elesaikan %ara&'ks a&alahntk men-ari (kti k'nsistensi =nitar) ntk selrh matematika klasik, ini(iasan)a &ia&akan ntk telah &itnjkkan mngkin 'leh te'rema keti&aklengka%anke&a 8&el, (agaimana%n nsr keti&ak%astian tentang a%a )ang &imaks&&engan =nitar) mem(at ini ti&ak mtlak k'nklsi+. *****, 02, Kateg'ri Te'ri &an

Dasar*&asar Matematika, R!J, htt%.r(j'nes.-'mr(j%(r(j.htm. Sementarait, F'lkerts, M., "##$, mennjkkan (aha %a&a tahn 0"# Hil(ert mengajkan%r'%'sal )ang %aling rin-i ntk meneta%kan ;ali&itas matematika> menrt te'ri(kti, seman)a akan &imaskkan ke &alam (entk aksi'ma, memngkinkanatran in+erensi menja&i han)a l'gika &asar, &an han)a mereka kesim%lan )ang(isa &i-a%ai &ari him%nan (erhingga &ari aksi'ma &an atran in+erensi it hars&iterima. Dia mengslkan (aha se(ah sistem )ang memaskan akan menja&isalah sat )ang k'nsisten, lengka%, &an &e-i&a(le> 'leh Hil(ert k'nsisten (erarti(aha it hars mngkin ntk menrnkan ke&a %ern)ataan &an nega

Sejarah Dan Filsafat Matematika

Documents

Transcript of Sejarah Dan Filsafat Matematika