Kalkulus I Word

KLASIFIKASI BILANGAN RIIL

KLASIFIKASI BILANGAN RIILBilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli :

1, 2, 3, 4, 5,.

Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulat :

, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,

Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasional. Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai contoh adalah :

2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 )

3 5 1 9 2 2 -2Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat. Contoh bilangan irasional :

3, 5, 1 + 2, 37, , cos 19

Bilangan rasional dan irasional bersama-sama membangun suatu klas bilangan yang lebih besar yang disebut bilangan riil atau kadang disebut system bilangan riil.PEMBAGIAN DENGAN NOL Pada perhitungan dengan bilangan riil, pembagian dengan nol tidak pernah diperkenankan karena hubungan dalam bentuk y = p/0 akan mengakibatkan

0 . y = pBILANGAN KOMPLEKS Karena kuadrat suatu bilangan riil tidak negatif, persamaan :

x2 = -1

i = -1 didefinisikan memiliki sifat i2 = -1.

Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan yang berbentuk :

a + bi

dengan a dan b bilangan riil. Beberapa contohnya adalah :

2 + 3i [a = 2, b = 3]

3 4i [a = 3, b = -4]

6i [a = 0, b = 6]

2 [a = 2 , b = 0]REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN RIIL Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat dibedakan berdasarkan bentuk penyajian desimalnya.

4 = 1.333, [3 berulang]

3

3 = .272727, [27 berulang]

11

5 = .714285714285, [714285 berulang]

7

Desimal berulang yang memuat nol setelah beberapa titik disebut desimal terakhir.

1 = .50000, 12 = 3.0000, 8 = .320000GARIS KOORDINAT Geometri analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya, kurva geometri dengan rumus aljabar.

Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan yang lain sebagai arah negatif.-+Titik Asal

Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat dari titik tersebut. Pada gambar diberi tanda tempat titik-titik dengan koordinat 4, -3, -2,75, -1/2, 2, , dan 4. Tempat dari 2 merupakan hampiran yang diperoleh dari hampiran desimalnya yaitu 3.14 dan 2 1.41

-4 -3 -1.75 -1/2 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2

SIFAT-SIFAT URUTANKETIDAKSAMAAN :

1. a a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri b

Ilustrasi :

a b

2. a b atau b a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atauberimpit dengan b

Ilustrasi : a b

a b

3. 0 < a atau a > 0

Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal

Ilustrasi : 0 a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal4. a < 0 atau 0 > a

Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal

Ilustrasi : a 0

5. a < b < c Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan

b sebelah kiri c

Ilustrasi : a b c

Simbol a -7, - > -12, 5 5, 3 > 0 > -1.TEOREMA 1.1Misal a, b, c, dan d bilangan riil :

a) Jika a bc untuk c negatif

d) Jika a 1/bJika arah suatu ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka bagian (b)-(e) teorema di atas dapat diuraikan secara informal sebagai berikut :

b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya

ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang

sama.

c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya

digandakan dengan bilangan positif yang sama,

tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua

sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang

sama.

d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat

dijumlahkan.

e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda

yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan

berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang

berlawanan pada setiap sisinya.Pernyataan dlm teorema 1.1 diIlustrasikan :1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6

Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7

Ketidaksamaan hasil : 5 < 13

2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6

Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8

Ketidaksamaan hasil : -10 < -2

3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6

Operasi : kedua sisi digandakan 3

Ketidaksamaan hasil : -6 < 18

4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7


Ketidaksamaan hasil : 12 28

5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7


Ketidaksamaan hasil : -12 > -28PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN

Penyelesaian ketidaksamaan dalam x yang tidak diketahui merupakan nilai untuk x yang membuat ketidaksamaan itu sebagai pernyataan yang benar. Sebagai contoh x = 1 merupakan penyelesaian dari ketidaksamaan x < 5, tetapi x = 7 bukan merupakan penyelesaian.

Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan disebut menyelesaikanketidaksamaan.

Contoh : Selesaikan 3 + 7x 2x 9

Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1 dengan mengumpulkan x pada satu sisi ketidaksamaan

3 + 7x 2x 9 [diberikan]

7x 2x 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi]

5x -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi]

x - 12 [gandakan kedua sisi dengan 1/5]

5

krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung x, ketidaksamaan (1)=(4). Jadi himpunannya berupa selang (-, - 12/5)

-12

5

NILAI MUTLAKNilai mutlak atau magnitude suatu bilangan riil a dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan dengan :

|a| = a jika a 0

-a jika a < 0

Contoh :

|5| = 5[karena 5 > 0]

|-4/7| = -(-4/7) = 4/7[karena 4/7 < 0]

|0| = 0[karena 0 0]Pengambilan nilai mutlak pada sebuah bilangan berakibat pada hilangnya tanda minus jika bilangan negatif dan tidak berubah jika bilangan itu tak-negatif. Jadi |a| merupakan bilangan tak-negatif untuk semua nilai a dan

-|a| a |a| HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN NILAI MUTLAK Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar kuadrat dari a. Setiap bilangan riil positif a mempunyai dua akar kuadrat riil, satu positif dan satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan dengan a.

Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua akar kuadrat 3 dan 3. Karena 3 merupakan akar kuadrat positif, diperoleh 9 = 3. Sebagai tambahan didefinisikan 0 = 0. Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan a2 = a. Meskipun persamaan ini benar apabila a tak negatif, tetapi salah untuk a negatif. Sebagai contoh jika a = -4, maka :

a2 = (-4)2 = 16 = 4 a Teorema : Untuk setiap bilangan riil a

a2 = |a|

Bukti : Karena a2 = (+a)2 = (-a)2, maka bilangan +a dan a merupakan akar-akar kuadrat dari a2. Jika a 0, maka +a merupakan akar kuadrat tak-negatif dari a2, dan jika a < 0, maka a akar kuadrat tak-negatif dari a2, sehingga diperoleh

a2 = +a jika a 0

a2 = - a jika a < 0

Jadi a2 = |a|.SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka

(a) |-a| = |a|Suatu bilangan dan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama (b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak

(c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian merupakan pembagian nilai mutlak Bukti (a) : |-a| = (-a)2 = a2 = |a| Bukti (b) : |ab| = (ab)2 = a2b2 = a2 b2

= |a||b|KETIDAKSAMAAN SEGITIGA Secara umum tidak selalu benar bahwa |a + b| =

|a| + |b|.

Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = -3, maka a + b = -1, sehingga|a + b| = |-1| = 1

Sedangkan ;|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5 Jadi |a + b| |a| + |b|.

Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai mutlak. Hal ini merupakan isi teorema yang sangat penting, yang dikenal dengan ketidaksamaan segitiga.Teorema (Ketidaksamaan Segitiga) : Jika a dan b sebarang bilangan riil, maka

|a + b| |a| + |b|

Bukti :-|a| a |a| dan -|b| |b| |b| Dengan menambahkan kedua ketidaksamaan tersebut didapat

-(|a| + |b|) a + b (|a| + |b|)INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK

Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka jarak d antara A dan B adalah :

b a jika a b

0 jika a = b

A B B A

a b b a

b-a a-b

(1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a|

(2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a| TEOREMA 1.5 Rumus Jarak ;

Jika A dan B titik titik pada suatu garis koordinat yang masing-masing mempunyai koordinat a dan b, maka jarak d antara A dan B adalah ;

d = | b - a|

Rumus diatas memberikan interpretasi geometrik yang berguna untuk beberapa ekspresi matematika yang umum dan dapat dituliskan sbb ;TABEL RUMUS JARAKEKSPRESI INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS KOORDINAT

|x - a| Jarak antara x dan a

|x + a| Jarak antara x dan a (krn |x+a|=|x-(-a)|)

|x| Jarak antara x dan titik asal (karena |x|=|x-0|)

Ketidaksamaan dalam bentuk |x-a| < k dan |x-a| > k, sering digunakan, sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ;

Ketidak Interpretasi Gambar Bentuk Alternatif Himpunan

Samaan geometrik ketidaksamaan penyelesain

(k>0)

|x-a|3

2x, x

3 dapatkan ;

(a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)

2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;

a). f

b.). f(x2) + f2(x)

3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ;

a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x

b. f(x) =

, g(x) =

4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;

_1252045368.unknown

_1252046193.unknown

_1252046235.unknown

_1252045879.unknown

_1250960189.unknown

_1313473999.unknown

_1313474220.doc Dapatkan limit-limit berikut ini ;

5. a. lim

b. lim

x 5 x 3

6. a.lim

b. lim

x 2 x 4

7. a. lim

b. lim

x x

8. a. Lim

b. lim

x - x +

9. lim

b. lim

s + s +

_1252047427.unknown

_1252047731.unknown

_1252048015.unknown

_1252048141.unknown

_1252049046.unknown

_1252047885.unknown

_1252047620.unknown

_1252047230.unknown

_1252047333.unknown

_1252046917.unknown

_1313473975.unknown

_1313473120.doc 5. a. lim

b. lim

x 5 x 3

6. a.lim

b. lim

x 2 x 4

7. a. lim

b. lim

x x

8. a. Lim

b. lim

x - x +

9. lim

b. lim

s + s +

_1252047427.unknown

_1252047731.unknown

_1252048015.unknown

_1252048141.unknown

_1252049046.unknown

_1252047885.unknown

_1252047620.unknown

_1252047230.unknown

_1252047333.unknown

_1252046917.unknown

_1313473027.unknown

_1313472929.unknown

_1313472945.unknown

_1313472906.unknown

_1313472835.unknown

_1313472851.unknown

_1313472815.unknown

_1313472290.doc

y=1/x y=1/x

x x

Lim 1/x = +, lim 1/x =-

x o+ xo-

lim 1/x =0, lim 1/x = 0

x+ x -

_1313472617.doc Lim xn = +, untuk n = 1,2,3,4..........

x +

lim xn = +, untuk n = 2,4,6........

x - = - , untuk n = 1,3,5.......

untuk perkalian xn bilangan real negatip menghasilkan tanda berlawan. Tapi untuk perkalian xn bilangan real positip menghasilkan tanda sama.

Contoh ; lim 2x5 = + lim 2x5 = -

x + x -

lim -7x6 = - lim -7x6 = -

x + x -

lim

= (lim

)n = 0,

x + x +

_1251531575.unknown

_1251531633.unknown

_1313472683.unknown

_1313472588.doc y y

8 8

y=x y=x2

x x

-4 4 -4 +4

Lim x = + , lim x2 = + ,

x + x +

Lim x = - , lim x2 = + ,

x - x -

y y

8 8

y=x3 y=x4

x x

-4 +4 -4 +4

_1313472021.doc

NILAI

KESIMPULAN

x

1/x

1 10 100 1000 10.000 .

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 .

Untuk x nilai dari 1/x turun menuju nol

x

1/x

-1 -10 -100 -1000 -10.000 .

-1 -0,1 -,001 -,001 -0,0001 ..

Untuk x - nilai dari 1/x bertambah/naik menuju nol

x

1/x

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 .

1 10 100 1000 10.000 .

Untuk x o+ nilai dari 1/x naik menuju tanpa batas

x

1/x

-1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

-1 -10 -100 -1000 -10.000

Untuk xo- nilai dari 1/x turun menuju tanpa batas

_1313472041.doc Lim 1/x = +, lim 1/x = -, lim 1/x =0, lim 1/x = 0

x o+ xo- x+ x -

_1313471988.doc Lim x2 4 = lim (x 2)(x + 2) = lim (x + 2) = 4

x 2 x 2 x 2 x - 2 x 2

_1313471304.doc

Garis singgung di P

y

y = f (x)

x

P(x0, y0)

_1313471582.docLimit

Contoh

lim k = k

x ( a

lim 3 = 3 lim 3 = 3

x ( 2 x ( -2

lim k = k

x ( +

lim 3 = 3 lim 0 = 0

x ( + x ( +

lim k = k

x ( -

lim 3 = 3 lim 0 = 0

x ( - x ( -

lim x = a

x ( a

lim x = 5 lim x = 0 lim x = -2

x ( 5 x ( 0 x ( -2

lim x = +

x ( +

lim x = -

x ( -

_1313471659.docL1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x) keduanya ada, maka

(a) lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2

(b) lim [ f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2

(c) lim [ f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2

(d) lim f(x) = lim f(x) = L1 jika L2 0

g(x) lim g(x) L2

(e) lim n f(x) = nlim f(x) = nL1 , untuk L1 0 jika n genap.

_1313471773.doclim [ f1(x) + f2(x) ++ fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) +

+ lim fn(x)

lim [f1(x) f2(x) fn(x)] = lim f1(x) lim f2(x) lim fn(x)

lim [ f(x)]n = [lim f(x)]n

lim xn = [ lim x]n = an

x ( a x ( a

Contoh :

lim x4 = 34 = 81

x ( 3

_1313471622.docTeorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu dari limit-limit lim , lim , lim , lim atau lim . Jika

x ( a x ( a- x ( a+ x ( + x ( -

_1313471446.doc

y = f (x)

a b

x

y

_1313471528.docContoh ; f(x) = sin x/x, dibuat tabel sbb ;

x f(x) = sin x/x x f(x) = sinx/x

1,0 0,84147 -1,0 0,84147

0,9 0,87036 -0.9 0,87036

0,8 0,89670 -0,8 0,89670

0,7 0,92031 -0,7 0,92031

0,6 0,94107 -0,6 0,94107

0,5 0,95885 -0,5 0,95885

0,4 0,97355 -0,4 0,97355

0,3 0,98507 -0,3 0,98507

0,2 0,99335 -0,2 0,99335

0,1 0,99833 -0,1 0,99833

0 0,99998 0 0,99998

_1313471380.doc1. Diberikan f(x) = {

x>3

2x, x

3 dapatkan ;

(a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)

2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;

a). f

b.). f(x2) + f2(x)

3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ;

a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x

b. f(x) =

, g(x) =

4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;

a). f(x) = 2 sin x b). g(x) = {x2, x 4

0 , x = 4

_1252045368.unknown

_1252046193.unknown

_1252046235.unknown

_1252045879.unknown

_1250960189.unknown

_1313470920.doc A0 + a1x + ax2 + + anxn

F(x) = b0 + b1x +b2x2 + + bnxn

_1313471159.doc y

x

_1313471245.docContoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ;

y = x2 + 2

y = x2 2

y = (x+2)2

y = ( x 2)2

_1313470956.docContoh : f(x) = x2/3 = ( x)2 dan g(x) =

_1251482762.unknown

_1313470831.docDESKRIPSI

RUMUS UMUM

Polinomial linier

Polinomial kuadratik

Polinomial kubik

a0 + a1 x (a1 0)

a0 + a1 x + a2 x2 (a2 0)

a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 (a3 0)

_1313470886.docAdalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua polinomial.

Contoh :

X5 2x2 + 1 x

X2 - 4 x + 1

_1313470698.docRumus untuk polinomial dalam x adalah

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 ++ an xn

atau

f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 ++a0

_1313427067.doc

y

8

x

-2 2

-8

_1313469774.doc

y

P2 (x2, y2)

y2 y1

(rise)

P1 (x1, y1)

x2 x1

x

(run)

_1313470007.doc

y

(0, 3)

x

(-4, 0)

3x 4y + 12 = 0

_1313470590.docx3 + 4x + 7, 3 2x3 + x17, 9, 17 2 x, x5

3

_1313469873.doc

P2 (x2, y2)

y

P2 (x2, y2)

y2 y1

y2 y1

Q

P1 (x1, y1)

x2 x1

P1 (x1, y1)

Q

x2 x1

x

_1313469210.doc

y = -x2

y

x

x

y = x2

y

x = y2

y

x

y

x

x = -y2

y

y

x

x

y = -x

y = x

_1313469694.doc

y

y = 3x

x

y

x

y = x3

y

x

y = 1/x

x

y

y = -1/x

y

x

y

x

y = -1/x2

y = 1/x2

_1313428831.doc

140

x

-2 2

y

-140

_1313426713.doc

x

y

8

-8

-2 2

_1313426803.docx

y = x2

(x, y)

0

1

2

3

-1

-2

-3

0

1

4

9

1

4

9

(0, 0)

(1, 1)

(2, 4)

(3, 9)

(-1, 1)

(-2, 4)

(-3, 9)

_1313426928.doc

perpotongan-y

perpotongan-x

(a, 0)

x

(0, b)

3

2

3x + 2y = 6

_1313426759.docx

y = x3

(x, y)

0

1

2

-1

-2

0

1

8

-1

-8

(0, 0)

(1, 1)

(2, 8)

(-1, -1)

(-1, 1)

_1313426363.doc

Kuadran Kuadran

II I

Kuadran Kuadran

III IV

( - , + ) ( + , + )

( - , - ) ( + , - )

_1313426558.doc

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 1 2 3

_1313426265.doc

titik asal

sumbu-y

0

-1

-2

-3

-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

sumbu-x

Kalkulus I Word

Documents

Transcript of Kalkulus I Word